Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 2, стр. 330-341

1. ВВЕДЕНИЕ

Теория аттракторов динамических систем создана уже давно и довольно хорошо развита. Она получила применение в ряде задач гидродинамики, для которых имеет место теорема единственности решения. В качестве наиболее известных примеров можно привести результаты О.А. Ладыженской для системы Навье–Стокса в двумерном случае [1], [2] и Г.А. Серегина для модели Бингама в двумерном случае [3]. При этом требование единственности решения является очень ограничительным и не выполняется для подавляющего большинства моделей гидродинамики. В связи с этим М.И. Вишиком и В.В. Чепыжовым [4], а также независимо от них Дж. Селлом [5], была создана теория инвариантных траекторных аттракторов и с ее помощью удалось исследовать аттракторы системы Навье–Стокса в трехмерном случае и ряда других систем. В дальнейшем эта теория была усовершенствована В.Г. Звягиным и Д.А. Воротниковым в работе [6] (подробное изложение см. в монографии [7]). А именно, на основе аппроксимационно-топологического метода исследования задач гидродинамики удалось отказаться от требования трансляционной инвариантности пространства траекторий. На основе этой теории аттракторов был исследован целый ряд моделей неньютоновской гидродинамики (см., например, обзорную статью [8] и имеющуюся там библиографию).

Отметим, что с прикладной точки зрения также важно уметь приближенно находить аттракторы изучаемых систем. Однако это вызывает сложности в связи с “плохими” математическими свойствами рассматриваемых моделей. Поэтому представляет интерес вопрос об аппроксимации аттракторов рассматриваемых моделей аттракторами моделей с “хорошими” свойствами. А именно, рассматривается некоторая аппроксимационная задача, для которой имеют место теорема единственности решений и свойство непрерывной зависимости решений от данных задачи. Следовательно, для этой аппроксимационной задачи можно будет воспользоваться различными численными методами. После чего показывается, что аттракторы этой аппроксимационной задачи сходятся к аттракторам исходной модели в смысле полуотклонения. Это должно позволить получить численно представление об аттракторах изучаемой модели.

В работе рассматриваются вопросы сходимости к аттракторам модифицированной модели Кельвина–Фойгта аттракторов ее аппроксимационной задачи.

2. ОПИСАНИЕ РАССМАТРИВАЕМОЙ МОДЕЛИ

В ограниченной области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ $(n = 2,3)$ с границей $\partial \Omega $ класса ${{C}^{3}}$ рассматривается следующая система уравнений:

Здесь ${v}(x,t)$ – вектор скорости частицы жидкости, находящейся в точке $x$ в момент времени $t;$ $p(x,t)$ – давление жидкости в точке $x$ в момент времени $t;$ $f(x,t)$ – вектор плотности внешних сил; $\nu > 0,$ $\varkappa > 0$ – вязкость жидкости и время релаксации соответственно. Неизвестными функциями являются $v$ и $p.$

Рассматриваемая модель впервые была введена В.А. Павловским [9]. Она была подтверждена рядом экспериментальных исследований растворов полиэтиленоксида, полиакриламида и гуаровой смолы [10], [11].

Для системы (2.1), (2.2) рассмотрим начально-краевую задачу с начальным и граничным условиями

В задаче (2.1)–(2.4) известные параметры $\nu $, $\varkappa $, а также плотность внешних сил $f$ мы считаем раз и навсегда зафиксированными.

Для рассматриваемой модифицированной модели Кельвина–Фойгта в работе [12] было доказано существование слабого решения на произвольном конечном промежутке времени $[0,T].$ Существование траекторного и глобального аттракторов доказано в [13]. Также в работах [14], [15] было доказано существование решения задачи оптимального управления с обратной связью для этой модели.

Важно отметить, что для слабых решений начально-краевой задачи (2.1)–(2.4) не доказана теорема единственности. При этом для сильных решений рассматриваемой задачи теорема единственности имеет место [11], но существование сильных решений начально-краевой задачи (2.1)–(2.4) до сих пор не установлено.

3. НЕОБХОДИМЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Приведем необходимые нам определения.

Определение 1. Пусть на линейном пространстве $X$ определена не более чем счетная система полунорм ${{\mathcal{P}}_{X}}$ такая, что из условия $p(x) = 0$ для всех $p \in {{\mathcal{P}}_{X}}$ следует, что $x = \theta .$ Тогда пара $(X,{{\mathcal{P}}_{X}})$ называется счетно-нормированным пространством.

Нам потребуется ряд фактов из теории аттракторов (подробнее см. [7], [8]).

Через $E,$ ${{E}_{0}}$ будем обозначать два банаховых пространства. Будем предполагать, что пространство $E$ рефлексивно и вложение $E \subset {{E}_{0}}$ – непрерывно. Через ${{\mathbb{R}}_{ + }}$ будем обозначать неотрицательную полуось числовой прямой $\mathbb{R}$.

Пространство $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ состоит из непрерывных функций, определенных на ${{\mathbb{R}}_{ + }}$ и принимающих значения в ${{E}_{0}}.$ Так как полуось ${{\mathbb{R}}_{ + }}$ некомпактна, то в линейном пространстве $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ нельзя задать обычную норму пространства непрерывных функций. Рассмотрим в пространстве $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ семейство полунорм:

и зададим топологию в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ при помощи определения сходимости последовательностей относительно введенных полунорм. А именно, последовательность $\{ {{u}_{m}}\} $ из $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ сходится к функции $u$ при $m \to \infty ,$ если ${{\left\| {{{u}_{m}} - u} \right\|}_{n}} \to 0$ при любом $n = 1,2, \ldots .$ Пространство $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ с семейством полунорм (3.1) является счетно-нормированным пространством. Топология локальной равномерной сходимости в пространстве $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ является метризуемой относительно метрики Полученное метрическое пространство полно, т.е. является пространством Фреше.

В работе мы используем уже устоявшееся в работах по аттракторам неинвариантных пространств траекторий обозначение ${{\left\| {u - {v}} \right\|}_{{C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})}}}$ для метрики в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}}).$ Это связано с использованием абстрактных понятий и утверждений из работ [7], [8], [19], в которых используется данное обозначение (см. также замечания 1 и 2). Отметим, что функционал ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})}}}$ не является нормой, так как ${{\left\| {\lambda {v}} \right\|}_{{C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})}}} \ne \left| \lambda \right|{{\left\| v \right\|}_{{C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})}}}$ при $\lambda \ne \pm 1.$

Обозначим через ${{\Pi }_{M}}$ ($M \geqslant 0$) оператор сужения функций, заданных на ${{\mathbb{R}}_{ + }},$ на отрезок $[0,M].$ Имеет место следующий критерий относительной компактности множеств из $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ (напомним, что множество $P$ называется относительно компактным, если его замыкание компактно).

Лемма 1. Для того чтобы множество $P \subset C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ было относительно компактно в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ необходимо и достаточно, чтобы при любом $M > 0$ множество ${{\Pi }_{M}}P$ было относительно компактно в $C([0,M],{{E}_{0}}).$

Обозначим через ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$ пространство всех существенно ограниченных функций, определенных на ${{\mathbb{R}}_{ + }}$ и принимающих значение в $E$ (т.е. для любой $u \in {{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$ найдется число ${{M}_{u}} < \infty $ такое, что ${{\left\| {u(t)} \right\|}_{E}} \leqslant {{M}_{u}}$ при почти всех $t \in {{\mathbb{R}}_{ + }}$), с нормой ${{\left\| u \right\|}_{{{{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)}}} = \mathop {{\text{vrai}}\,\max }\limits_{t \in {{\mathbb{R}}_{ + }}} {{\left\| {u(t)} \right\|}_{E}}$ (здесь $\mathop {{\text{vrai}}\,\max }\limits_{t \in {{\mathbb{R}}_{ + }}} {{\left\| {u(t)} \right\|}_{E}}$ – это нижняя грань всех ${{M}_{u}}$). Пространство ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$ является банаховым относительно указанной нормы (см. [17]).

Определение 2. Пусть $J$ – конечный или бесконечный интервал вещественной оси и $\bar {J}$ – его замыкание. Далее, пусть $Y$ – банахово пространство. Функция $u:\bar {J} \to Y$ называется слабонепрерывной, если из ${{t}_{n}} \to t,\;{{t}_{n}} \in \bar {J}$ следует, что $u({{t}_{n}}) \to u(t)$ слабо в $Y.$ Множество слабонепрерывных функций $u:\overline J \to Y$ мы будем обозначать через ${{C}_{w}}(\bar {J},Y).$

Также нам потребуется одна известная (см., например, [18])

Теорема 1. Пусть $E$ и ${{E}_{0}}$ – два банаховых пространства таких, что $E \subset {{E}_{0}},$ причем вложение непрерывно. Если функция ${v}$ принадлежит ${{L}_{\infty }}(0,T;E)$ и непрерывна как функция со значениями в ${{E}_{0}},$ то $w$ слабонепрерывна как функция со значениями в $E,$ т.е. ${v} \in {{C}_{w}}([0,T],E).$

Следовательно, функции, принадлежащие классу $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}}) \cap {{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E),$ слабонепрерывны со значениями в $E$ (и потому их значения принадлежат пространству $E$ при всех $t \in {{\mathbb{R}}_{ + }}$); они ограничены со значениями в $E,$ и для $u \in C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}}) \cap {{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$ верно равенство

Рассмотрим операторы сдвигов $T(h)$ ($h \geqslant 0$), каждый из которых функции $f$ ставит в соответствие функцию $T(h)f$ такую, что $T(h)f(t) = f(t + h).$ Отметим, что имеет место тождество $T({{h}_{1}})T({{h}_{2}}) = T({{h}_{1}} + {{h}_{2}}),$ а также что $T(0)$ – тождественный оператор.

Рассмотрим непустое семейство функций

Множество ${{\mathcal{H}}^{ + }}$ будем называть пространством траекторий, а его элементы – траекториями. Будем предполагать, что ${{\mathcal{H}}^{ + }}$ непусто.

Приведем основные определения.

Определение 3. Полуотклонением множества $C$ от множества $D$ в метрическом пространстве $(X,\rho )$ называется число

Определение 4. Множество $P \subset C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}}) \cap {{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$ называется притягивающим (для пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }}$), если для всякого множества $B \subset {{\mathcal{H}}^{ + }},$ ограниченного в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E),$ выполняется условие

Замечание 1. Отметим, что в силу определения сходимости в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ условие (3.2) эквивалентно условию

для любого $n = 1,2, \ldots .$

Замечание 2. Отметим, что в (3.2) величина $in{{f}_{{{v} \in P}}}{{\left\| {T(h)u - {v}} \right\|}_{{C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})}}}$ представляет собой расстояние от   точки $T(h)u$ до множества $P$ в пространстве $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}}).$ В свою очередь величина $su{{p}_{{u \in B}}}in{{f}_{{{v} \in P}}}{{\left\| {T(h)u - {v}} \right\|}_{{C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})}}}$ является полуотклонением множества $T(h)u$ от множества $P$ в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}}).$

Определение 5. Множество $P \subset C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}}) \cap {{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$ называется поглощающим (для пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }}$), если для всякого множества $B \subset {{\mathcal{H}}^{ + }},$ ограниченного в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E),$ существует $h \geqslant 0$ такое, что при всех $t \geqslant h$ имеет место включение $T(t)B \subset P.$

Отметим, что любое поглощающее множество является притягивающим.

Определение 6. Множество $P \subset C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}}) \cap {{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$ называется траекторным аттрактором (пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }}$), если оно удовлетворяет следующим условиям:

(i) множество $P$ компактно в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ и ограничено в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$;

(ii) имеет место равенство $T(t)P = P$ для всех $t \geqslant 0$;

(iii) множество $P$ является притягивающим в смысле определения 4.

Определение 7. Минимальным траекторным аттрактором пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }}$ называется наименьший по включению траекторный аттрактор.

Определение 8. Множество $\mathcal{A} \subset E$ называется глобальным аттрактором (в ${{E}_{0}}$) пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }},$ если оно удовлетворяет следующим условиям:

(i) множество $\mathcal{A}$ компактно в ${{E}_{0}}$ и ограничено в $E$;

(ii) для всякого ограниченного в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$ множества $B \subset {{\mathcal{H}}^{ + }}$ выполняется условие притягивания

(iii) множество $\mathcal{A}$ является наименьшим по включению множеством, удовлетворяющим условиям (i) и (ii).

Замечание 3. Если существует минимальный траекторный аттрактор или глобальный аттрактор, то он единственный.

Теорема 2. Пусть существует минимальный траекторный аттрактор $\mathcal{U}$ пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }}.$ Тогда существует глобальный аттрактор $\mathcal{A}$ пространства ${{\mathcal{H}}^{ + }},$ и справедливо соотношение $\mathcal{A} = \mathcal{U}(t),$ $t \geqslant 0.$

Сходимость аттракторов для конкретных пространств траекторий мы будем доказывать на основе следующих абстрактных утверждений (см. [19]).

Квадратными скобками в дальнейшем будем обозначать замыкание в топологии локальной сходимости пространства $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}}).$

Определение 9. Для множества $P \subset C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}}) \cap {{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E),$ ограниченного в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E),$ назовем $\omega $-предельным множеством следующее множество $\omega (P) = \bigcap\nolimits_{t \geqslant 0}^{} {\left[ {\bigcup\nolimits_{s \geqslant t}^{} {T(s)P} } \right]} .$

Лемма 2. Пусть существует поглощающее множество $P \subset {{\mathcal{H}}^{ + }}$, относительно компактное в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$, ограниченное в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E)$ и трансляционно инвариантное ($T(h)P \subset P(h \geqslant 0)$). Тогда $\omega (P)$ – минимальный траекторный аттрактор пространства траекторий ${{\mathcal{H}}^{ + }}.$

Лемма 3. Пусть каждому $\lambda $ из некоторого метрического пространства $\Lambda $ поставлено в соответствие пространство траекторий

пусть $\mathcal{H}_{\lambda }^{ + }$ имеет минимальный траекторный аттрактор вида ${{\mathcal{U}}_{\lambda }} = \omega ({{P}_{\lambda }}),$ где ${{P}_{\lambda }}$ – трансляционно-инвариантное множество и ${{P}_{\lambda }} \subset \mathcal{H}_{\lambda }^{ + } \cap P,$ где $P$ – некоторое множество, относительно компактное в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{E}_{0}})$ и ограниченное в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};E);$ также пусть выполнено условиеТогда имеют место следующие предельные соотношения:

Доказательство приведенных выше утверждений проводится в несколько этапов в работе [19]. Для ясности отметим, что существование глобального аттрактора при доказательстве последней леммы следует из теоремы 2.

4. СЛАБАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И АППРОКСИМАЦИЯ

Обозначим через $C_{0}^{\infty }{{(\Omega )}^{n}}$ пространство функций на $\Omega $ со значениями в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ класса ${{C}^{\infty }}$ с компактным носителем, содержащимся в $\Omega .$ Пусть $\mathcal{V} = \{ {v}(x) = ({{{v}}_{1}}, \ldots ,{{{v}}_{n}}) \in C_{0}^{\infty }{{(\Omega )}^{n}}:\operatorname{div} {v} = 0\} .$ Определим ${{V}^{0}}$ и ${{V}^{1}}$ как пополнение $\mathcal{V}$ по нормам ${{L}_{2}}{{(\Omega )}^{n}}$ и ${{H}^{1}}{{(\Omega )}^{n}}$ соответственно и положим ${{V}^{2}} = {{H}^{2}}{{(\Omega )}^{n}} \cap {{V}^{1}}.$

Пусть $\pi :{{L}_{2}}{{(\Omega )}^{n}} \to {{V}^{0}}$ – проектор Лере. Напомним, что в силу разложения Вейля ${{L}_{2}}{{(\Omega )}^{n}} = {{V}^{0}} \oplus \nabla {{H}^{1}}(\Omega ).$ Рассмотрим в пространстве $\mathcal{V}$ оператор $A = - \pi \Delta ,$ который продолжается в пространстве ${{V}^{0}}$ до замкнутого оператора и является самосопряженным положительным оператором с вполне непрерывным обратным (см., например, в [20], [21]). Область определения $A$ совпадает с ${{V}^{2}}.$ В силу теоремы Гильберта о спектральном разложении вполне непрерывных операторов, собственные функции $\{ {{e}_{j}}\} $ оператора $A$ образуют ортонормированный базис в ${{V}^{0}}.$

Пусть $0 < {{\lambda }_{1}} \leqslant {{\lambda }_{2}} \leqslant {{\lambda }_{3}} \leqslant \ldots \leqslant {{\lambda }_{k}} \leqslant \ldots $ – собственные значения оператора $A.$ Обозначим через ${{E}_{\infty }}$ множество конечных линейных комбинаций, составленных из ${{e}_{j}},$ и определим пространство ${{V}^{\alpha }},\;\alpha \in \mathbb{R},$ как пополнение ${{E}_{\infty }}$ по норме

В [22], [23] показано, что указанные нормы в пространствах ${{V}^{1}}$, ${{V}^{2}}$, ${{V}^{3}}$ эквивалентны следующим нормам: ${{\left\| {v} \right\|}_{{{{V}^{1}}}}} = {{\left\| {{{A}^{{1/2}}}{v}} \right\|}_{{{{V}^{0}}}}},$ ${{\left\| {v} \right\|}_{{{{V}^{2}}}}} = {{\left\| {A{v}} \right\|}_{{{{V}^{0}}}}},$ ${{\left\| {v} \right\|}_{{{{V}^{3}}}}} = {{\left\| {{{A}^{{3/2}}}{v}} \right\|}_{{{{V}^{0}}}}}.$

Для определения слабого решения на отрезке введем следующие пространства:

с соответствующими нормами

Для определения слабого решения на полуоси ${{\mathbb{R}}_{ + }}$ введем пространство $W_{1}^{{{\text{loc}}}}({{\mathbb{R}}_{ + }}),$ состоящее из функций $v,$ определенных почти всюду на ${{\mathbb{R}}_{ + }}$ и принимающих значения в ${{V}^{2}}$ таких, что ограничение $v$ на любой отрезок $[0,T]$ принадлежит ${{W}_{1}}[0,T].$ Также введем пространство $W_{2}^{{{\text{loc}}}}({{\mathbb{R}}_{ + }}),$ состоящее из функций $v$ класса $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{3}})$ таких, что ограничение $v$ на любой отрезок $[0,T]$ принадлежит ${{W}_{2}}[0,T].$

Будем предполагать, что $a \in {{V}^{2}},$ $f \in {{V}^{0}}.$

Определение 10. Слабым решением задачи (2.1)–(2.4) на отрезке $[0,T]$ будем называть функцию $v \in {{W}_{1}}[0,T]$ такую, что тождество

выполнено почти всюду на $(0,T)$ для любой функции $\varphi \in {{V}^{1}}$ и функция $v$ удовлетворяет начальному условию: Здесь символ : обозначает покомпонентное произведение матриц.

Определение 11. Слабым решением задачи (2.1)–(2.4) на полуоси ${{\mathbb{R}}_{ + }}$ будем называть функцию ${v} \in W_{1}^{{{\text{loc}}}}({{\mathbb{R}}_{ + }})$ такую, что при каждом $T > 0$ ограничение $v$ на отрезок $[0,T]$ является слабым решением задачи (2.1)–(2.4) на отрезке $[0,T].$

Введем следующие операторы:

Тогда задача о поиске слабых решений начально-краевой задачи (2.1)–(2.4) эквивалентна задаче о поиске решения $v \in {{W}_{1}}[0,T]$ операторного уравнения удовлетворяющего начальному условию (4.2).

Рассмотрим следующее аппроксимационное операторное уравнение:

где $\varepsilon \in (0,1],$ а оператор ${{A}^{2}}$ определяется следующим образом:

Операторное уравнение (4.4) будем рассматривать с начальным условием

Определение 12. Решением уравнения (4.4) на отрезке $[0,T]$ будем называть функцию $v \in {{W}_{2}}[0,T]$ такую, что уравнение (4.4) выполнено в ${{L}_{\infty }}(0,T;{{V}^{{ - 1}}}).$ Решением (4.4) на полуоси ${{\mathbb{R}}_{ + }}$ будем называть функцию $v \in W_{2}^{{{\text{loc}}}}({{\mathbb{R}}_{ + }})$ такую, что при каждом $T > 0$ ограничение ${v}$ на отрезок $[0,T]$ является решением уравнения (4.4) на этом отрезке.

5. СХОДИМОСТЬ АТТРАКТОРОВ АППРОКСИМАЦИЙ

В настоящем разделе вводятся пространства траекторий для исходной и аппроксимационной задач и показывается, что их траекторные и глобальные аттракторы сходятся к соответствующим аттракторам исходной задачи. При определении пространств траекторий используются пространства $E = {{V}^{2}}$ и ${{E}_{0}} = {{V}^{1}}.$

Введем постоянную

Здесь $\nu $ и $\varkappa $ – параметры задачи (2.1)–(2.4), а ${{K}_{0}}$ и ${{K}_{1}}$ – постоянные из соответствующих непрерывным вложениям ${{V}^{1}} \subset {{V}^{0}}$ и ${{V}^{2}} \subset {{V}^{1}}$ неравенств:

Ниже приведем теоремы, необходимые нам в дальнейшем.

Теорема 3. При любом $b \in {{V}^{3}}$ задача (4.4), (4.5) имеет единственное решение на полуоси ${{\mathbb{R}}_{ + }},$ причем при почти всех $t \in [0,T]$ справедливо неравенство

где константа

${{C}_{1}} = 2\tfrac{{K_{1}^{2}K_{2}^{2} + {{\varkappa }^{2}}}}{{\alpha \nu \varkappa }}\left\| f \right\|_{{{{V}^{0}}}}^{2}$

не зависит от $\varepsilon ,\;t$ и ${v}.$

Доказательство существования решения задачи (4.4), (4.5) и оценки (5.1) может быть найдено в [13]. Доказательство единственности решения проводится стандартным образом. Предполагается наличие двух решений $u,v,u \ne v$ задачи (4.4), (4.5). Затем из равенства (4.4) для $u$ вычитается равенство (4.4) для $v$ и полученное равенство применяется к функции $(J + \varkappa A)w,$ где $w = (u - v).$ Далее оцениваются сверху слагаемые с операторами ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$ (здесь существенно используется принадлежность функций $u$ и $v$ пространству ${{V}^{3}}$), а остальные слагаемые преобразуются аналогично доказательству неравенства (5.1). К полученному в итоге неравенству применяется лемма Гронуолла–Беллмана, из которой следует, что $w \equiv 0$ и, следовательно, получаем $u = v.$

Доказательство следующих двух утверждений может быть найдено в [13].

Теорема 4. При любом $a \in {{V}^{2}}$ задача (4.3), (4.2) имеет решение на полуоси ${{\mathbb{R}}_{ + }},$ удовлетворяющее при почти всех $t > 0$ неравенству

Здесь ${{C}_{2}} = \left( {\tfrac{{{{C}_{1}}}}{\varkappa } + \tfrac{{{{C}_{1}}{{C}_{4}}}}{\varkappa } + {{C}_{1}}} \right)$ – постоянная, не зависящая от $v,\;t,\;\varepsilon .$

Лемма 4. Пусть $\{ {{{v}}_{m}}\} $ – ограниченная последовательность в пространстве ${{L}_{\infty }}(0,T;{{V}^{2}}),$ а последовательность производных $\{ {v}_{m}^{'}\} $ ограничена в ${{L}_{\infty }}(0,T;{{V}^{1}}).$ Тогда имеют место следующие утверждения.

1. Существует подпоследовательность $\{ {{{v}}_{{{{m}_{k}}}}}\} ,$ сходящаяся к предельной функции ${{{v}}_{ * }}$ в пространстве $C([0,T],{{V}^{1}}),$ причем имеют место сходимости

2. Пусть ${{\varepsilon }_{m}} \to 0$ – числовая последовательность, и последовательность $\{ {{\varepsilon }_{m}}v_{m}^{'}\} $ ограничена в норме пространства ${{L}_{\infty }}(0,T,{{V}^{3}}),$ то найдется подпоследовательность $\{ {{\varepsilon }_{{{{m}_{k}}}}}v_{{{{m}_{k}}}}^{'}\} $ такая, что ${{\varepsilon }_{{{{m}_{k}}}}}{{e}^{{ - \alpha t}}}{{A}^{2}}v_{{{{m}_{k}}}}^{'} \to 0$ слабо в ${{L}_{2}}(0,T;{{V}^{{ - 1}}}).$

Определение 13. В качестве пространства траекторий $\mathcal{H}_{0}^{ + }$ уравнения (4.3) будем рассматривать множество решений этого уравнения, определенных на ${{\mathbb{R}}_{ + }},$ существенно ограниченных со значениями в ${{V}^{2}}$ и удовлетворяющих оценке

при почти всех $t > 0$ или оценке

Рассмотрим множество

Исходя из определения множества $P$ имеем, что оно трансляционно-инвариантно, ограничено в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{2}})$ и относительно компактно в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{1}})$ (относительная компактность получается, например, по теореме Обена–Дубинского–Симона [24]). Покажем, что $P$ на самом деле компактно в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{1}}).$ Если последовательность $\{ {{v}_{m}}\} \subset P$ сходится к ${{v}_{0}}$ в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{1}}),$ то в силу ограниченности этой последовательности в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{2}})$ она сходится к своей предельной функции $ * $-слабо в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{2}}).$ Аналогичным образом, последовательность производных $\{ {v}_{m}^{'}\} $ сходится к ${v}_{0}^{'}$ в смысле распределений, а будучи ограниченной в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{1}}),$ она сходится к ${v}_{0}^{'}$ также $ * $-слабо в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{1}}),$ поэтому Таким образом, предельная функция ${{v}_{0}}$ принадлежит множеству $P$, следовательно, $P$ компактно.

Пусть ${{P}_{0}} = \mathcal{H}_{0}^{ + } \cap P.$

Лемма 5. Пространство траекторий $\mathcal{H}_{0}^{ + }$ имеет минимальный траекторный аттрактор ${{\mathcal{U}}_{0}} = \omega ({{P}_{0}}).$

Доказательство. Покажем, что множество ${{P}_{0}}$ удовлетворяет условиям леммы 2. Поскольку множество $P$ компактно в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{1}})$ и ограничено в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{2}}),$ то получаем, что ${{P}_{0}}$ относительно компактно в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{1}})$ и ограничено в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{2}}).$ Теперь покажем, что множество ${{P}_{0}}$ трансляционно-инвариантно. Пусть $v \in {{P}_{0}}$ и $h \geqslant 0.$ Тогда функция $v$ удовлетворяeт уравнению (4.3). В силу автономности уравнения (4.3) функция $T(h){v}$ является его решением и при этом удовлетворяет неравенству:

Откуда получаем, что $T(h)v \in {{P}_{0}}.$

Осталось показать, что ${{P}_{0}}$ – поглощающее множество. Пусть $B \subset \mathcal{H}_{0}^{ + }$ – некоторое множество, ограниченное в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{2}}),$ и пусть ${{\left\| {v} \right\|}_{{{{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{2}})}}} \leqslant R$ для любого $v \in B.$ Выберем такое ${{t}_{0}},$ что ${{R}^{2}}{{e}^{{ - \alpha {{t}_{0}}}}} \leqslant 1.$ Возможны два случая.

1. Если ${v} \in B$ и $v \notin {{P}_{0}},$ то в силу определения множества ${{P}_{0}}$ получаем, что $v \notin P,$ и из определения пространства траекторий $\mathcal{H}_{0}^{ + }$ следует, что ${v}$ удовлетворяет оценке (5.2). Отметим, что оценка (5.3) не может быть выполнена, так как она влечет принадлежность функции ${v}$ множеству $P.$ При $t \geqslant {{t}_{0}}$ имеем

Так как для любых $a(t),b(t) \geqslant 0,$ то, переходя к ${\text{vrai}}\max $ по $t \in {{\mathbb{R}}_{ + }}$ в неравенстве (5.4), получаем, что Это означает, что $T(t)v \in P,$ а поскольку функция $T(t)v$ является решением уравнения (4.3), то $T(t)v \in \mathcal{H}_{0}^{ + }$ и, таким образом, $T(t)v \in {{P}_{0}}$ при $t \geqslant 0.$

2. Если $v \in B$ и $v \in {{P}_{0}},$ то в силу трансляционной инвариантности множества ${{P}_{0}}$ имеем $T(t)v \in {{P}_{0}}$ при любом $t \geqslant 0.$

Таким образом, множество ${{P}_{0}}$ является поглощающим.

В итоге получаем, что множество ${{P}_{0}}$ удовлетворяет предположениям леммы 2. И, следовательно, $\mathcal{H}_{0}^{ + }$ имеет минимальный траекторный аттрактор ${{\mathcal{U}}_{0}} = \omega ({{P}_{0}}).$

Перейдем к аттракторам аппроксимационного уравнения. Сначала введем пространство траекторий для аппроксимационного уравнения (4.4).

Определение 14. В качестве пространства траекторий $\mathcal{H}_{\varepsilon }^{ + }$ уравнения (4.4) будем рассматривать множество, состоящее из решений этого уравнения, определенных на ${{\mathbb{R}}_{ + }},$ существенно ограниченных со значениями в ${{V}^{2}}$ и удовлетворяющих оценке

а также из функций вида $T(h)v,$ где $v$ – решение уравнения (4.4) на ${{\mathbb{R}}_{ + }},\;h \geqslant 0,$ и $T(h)v$ удовлетворяет оценке

Неравенство (5.5) оправдывается тем, что именно такие решения аппроксимационного уравнения были использованы при предельном переходе к решению исходного уравнения при доказательстве теоремы 4.

Отметим, что пространство траекторий определено корректно. В самом деле, поскольку решения аппроксимационного уравнения (4.4) принадлежат пространству $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{3}})$ и мы требуем принадлежность траекторий пространству ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{2}}),$ то включение

имеет место. Далее, пространство $\mathcal{H}_{\varepsilon }^{ + }$ непусто, так как любая функция $b \in {{V}^{3}}$ такая, что $\varepsilon \left\| b \right\|_{{{{V}^{3}}}}^{2} \leqslant 1,$ служит началом новой траектории (в силу теоремы 3). Таким образом, пространство $\mathcal{H}_{n}^{ + }$ не только определенно корректно, но и достаточно “богато” на траектории (содержит большое количество траекторий).

Рассмотрим множество ${{P}_{\varepsilon }} = \mathcal{H}_{\varepsilon }^{ + } \cap P$.

Лемма 6. Пространство траекторий $\mathcal{H}_{\varepsilon }^{ + }(\varepsilon > 0)$ имеет минимальный траекторный аттрактор ${{\mathcal{U}}_{\varepsilon }} = \omega ({{P}_{\varepsilon }}).$

Доказательство. Покажем, что множество ${{P}_{\varepsilon }}$ удовлетворяет условиям леммы 2. Так как ${{P}_{\varepsilon }}$ содержится в $P,$ то ${{P}_{\varepsilon }}$ относительно компактно в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{1}})$ и ограничено в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{2}}).$ Любая траектория, принадлежащая ${{P}_{\varepsilon }}$, имеет вид $T(h)v,$ где $v$ – решение уравнения (4.4). Функция $T(s)T(h)v$ принадлежит $P$ в силу трансляционной инвариантности этого множества. Следовательно, эта функция принадлежит ${{P}_{\varepsilon }} = \mathcal{H}_{\varepsilon }^{ + } \cap P.$ Таким образом, множество ${{P}_{\varepsilon }}$ трансляционно-инвариантно.

Теперь докажем, что множество ${{P}_{\varepsilon }}$ является поглощающим. Возьмем множество $B \subset \mathcal{H}_{\varepsilon }^{ + },$ ограниченное в ${{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{2}}).$ Для определенности предположим, что ${{\left\| v \right\|}_{{{{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{2}})}}} \leqslant R$ для каждого $v \in B.$ Выберем ${{t}_{0}}$ такое, что ${{R}^{2}}{{e}^{{ - \alpha {{t}_{0}}}}} \leqslant 1.$ Рассмотрим произвольную траекторию $v \in B.$ Исходя из определения $\mathcal{H}_{\varepsilon }^{ + },$ существует два возможных варианта.

1. Функция $v$ является решением уравнения (4.4) и удовлетворяет условию (5.5). По теореме 3 функция ${v}$ удовлетворяет при почти всех $t > 0$ неравенству

Используя непрерывность вложения ${{V}^{3}} \subset {{V}^{2}},$ преобразуем это неравенство следующим образом: Используя (5.5), получаем Таким образом, Поэтому, для любого $t \geqslant {{t}_{0}}$ имеем Откуда следует, что для любого $s \geqslant {{t}_{0}}$ справедливо Это означает, что $T(s)v \in P.$ Отсюда следует, что $T(s)v \in {{P}_{\varepsilon }}$ при $s \geqslant {{t}_{0}}.$

2. Если $v$ – функция вида $T(s)w,$ удовлетворяющая неравенству

тогда $v \in {{P}_{\varepsilon }}$ и $T(s)v \in {{P}_{\varepsilon }}$ для любого $s \geqslant 0,$ поскольку ${{P}_{\varepsilon }}$ – трансляционно-инвариантное множество.

Из вышесказанного следует, что в любом из этих случаев $T(s){v} \in {{P}_{\varepsilon }}$ при $s \geqslant {{t}_{0}},$ т.е. ${{P}_{\varepsilon }}$ – поглощающее множество.

Таким образом получили, что все условия леммы 2 выполнены. Следовательно, траекторное пространство $\mathcal{H}_{\varepsilon }^{ + }$ имеет минимальный траекторный аттрактор ${{\mathcal{U}}_{\varepsilon }} = \omega ({{P}_{\varepsilon }}).$

6. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ О СХОДИМОСТИ АТТРАКТОРОВ

Имеет место следующая теорема о сходимости аттракторов.

Теорема 5. Минимальные траекторные аттракторы ${{\mathcal{U}}_{\varepsilon }}$ аппроксимационного уравнения (4.4) сходятся к минимальному траекторному аттрактору ${{\mathcal{U}}_{0}}$ пространства траекторий $\mathcal{H}_{0}^{ + }$ уравнения (4.3) в смысле полуотклонения в пространстве $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{1}}),$ т.е.

Глобальные аттракторы ${{\mathcal{A}}_{\varepsilon }}$ аппроксимационного уравнения (4.4) сходятся к глобальному аттрактору ${{\mathcal{A}}_{0}}$ пространства траекторий $\mathcal{H}_{0}^{ + }$ уравнения (4.3) в смысле полуотклонения в пространстве ${{V}^{1}},$ т.е.

Доказательство. Проверим выполнение условий леммы 3. Необходимо доказать, что если ${{\varepsilon }_{m}} \to 0,$ ${{v}_{m}} \in {{P}_{{{{\varepsilon }_{m}}}}},$ ${{v}_{m}} \to {{v}_{0}}$ в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{1}}),$ то ${{v}_{0}}$ принадлежит замыканию множества ${{P}_{0}}$ в топологии пространства $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{1}}).$

В силу включений ${{P}_{{{{\varepsilon }_{m}}}}} \subset P$ последовательность $\{ {{v}_{m}}\} $ содержится в множестве $P,$ компактном в $C({{\mathbb{R}}_{ + }};{{V}^{1}}).$ Следовательно, ${{v}_{0}} \in P.$

Покажем, что ${{v}_{0}}$ – решение уравнения (4.3) на ${{\mathbb{R}}_{ + }}.$ В общем случае функции ${{v}_{m}}$ имеют вид $T({{h}_{m}}){{w}_{m}},$ где ${{w}_{m}}$ – решение уравнения (4.4) на полуоси ${{\mathbb{R}}_{ + }}$ (т.е. при почти всех $t \geqslant 0$ функция ${{w}_{m}}$ удовлетворяет уравнению (4.4)). Для любого $t \geqslant 0$ имеем $t + {{h}_{m}} \geqslant 0,$ поэтому при почти всех $t \geqslant 0$ имеет место равенство

По определению ${{w}_{m}}(t + {{h}_{m}}) = T({{h}_{m}}){{w}_{m}}(t) = {{v}_{m}}(t).$ Таким образом, получили, что при почти всех $t \in {{\mathbb{R}}_{ + }}.$

Для того чтобы доказать, что ${{v}_{0}}$ – решение уравнения (4.3) на ${{\mathbb{R}}_{ + }},$ достаточно установить, что ${{\Pi }_{T}}{{{v}}_{0}}$ является решением уравнения (4.3) на отрезке $[0,T]$ при любом $T > 0$.

Из сходимости последовательности $\{ {{{v}}_{m}}\} $ к ${{{v}}_{0}}$ в $C({{\mathbb{R}}_{ + }},{{V}^{1}})$ следует сходимость $\{ {{\Pi }_{T}}{{{v}}_{m}}\} $ к ${{\Pi }_{T}}{{{v}}_{0}}$ в $C([0,T],{{V}^{1}}).$ Так как ${{{v}}_{m}}$ – решение уравнения (6.3) на ${{\mathbb{R}}_{ + }},$ то ${{\Pi }_{T}}{{{v}}_{m}}$ удовлетворяет (6.3) на отрезке $[0,T].$

Так как функция ${{w}_{m}}$ – решение уравнения (4.4) на полуоси, то оно удовлетворяет оценке (5.1). Следовательно, последовательность ${{\varepsilon }_{m}}v_{m}^{'}(t) = {{\varepsilon }_{m}}w_{m}^{'}(t + {{h}_{m}})$ ограничена в ${{L}_{\infty }}(0,T,{{V}^{3}}).$ Откуда получаем, что функции ${{\varepsilon }_{m}}{{\Pi }_{T}}v_{m}^{'}(t)$ ограничены в ${{L}_{\infty }}(0,T,{{V}^{3}}).$

Далее, последовательность $\{ {{\Pi }_{T}}{{{v}}_{m}}\} $ ограничена в ${{L}_{\infty }}(0,T;{{V}^{2}}),$ а $\{ {{\Pi }_{T}}{v}_{m}^{'}\} $ ограничена в ${{L}_{\infty }}(0,T;{{V}^{1}}).$ Поэтому по лемме 4, переходя к пределу в равенстве (6.3) при $\varepsilon \to 0,$ получаем, что ${{\Pi }_{T}}{{v}_{0}}$ удовлетворяет при почти всех $t \in [0,T]$ следующему равенству:

В силу произвольности выбора отрезка $[0,T]$ функция ${{{v}}_{0}}$ является решением задачи (4.3), (4.2) на ${{\mathbb{R}}_{ + }}.$

Поскольку ${{v}_{0}} \in P,$ то ${{v}_{0}}$ удовлетворяет неравенству (5.3), и поэтому ${{v}_{0}} \in \mathcal{H}_{0}^{ + }.$ Получаем, что ${{v}_{0}} \in \mathcal{H}_{0}^{ + } \cap P = {{P}_{0}}.$ Поэтому условия леммы 3 выполнены, и имеют место требуемые сходимости (6.1) и (6.2). Это завершает доказательство.