Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 2, стр. 196-198

1. Пусть $A$ – невырожденная комплексная $n \times n$-матрица. Матрица

называется коквадратом матрицы $A$, а множество называется конгруэнтным централизатором для $A$. Этот термин объясняется тем, что множество $\mathcal{C}_{A}^{*}$ есть аналог обычного централизатора матрицы $A$ для случая, когда вместо подобий группа $G{{L}_{n}}{\text{(}}{\mathbf{C}}{\text{)}}$ действует на матричном пространстве ${{M}_{n}}{\text{(}}{\mathbf{C}}{\text{)}}$ конгруэнциями, т.е. преобразованиями вида $A \to P{\kern 1pt} *{\kern 1pt} AP$ с произвольными невырожденными матрицами $P$.

Пусть $A$ – матрица блочно-диагонального вида:

Блоки $B$ и $C$ суть квадратные матрицы порядков соответственно $k$ и l ($k + l = n$). Для таких $A$ в [1] было доказано следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть $A$ – невырожденная матрица вида (1), а $X$ – произвольная матрица из централизатора $\mathcal{C}_{A}^{*}$. Представим $X$ в блочной форме, согласованной с прямой суммой (1):

Предположим, что коквадраты матриц $B$ и $C$ не имеют общих собственных значений. Тогда, если в (2) подматрицы ${{X}_{{11}}}$ и ${{X}_{{22}}}$ невырожденны, то и матрица $X$ является прямой суммой: Как следствие, ${{X}_{{11}}}$ и ${{X}_{{22}}}$ принадлежат конгруэнтным централизаторам соответственно матриц $B$ и $C$.

В п. 2 настоящей статьи мы показываем, что условие невырожденности блоков ${{X}_{{11}}}$ и ${{X}_{{22}}}$ в этой теореме является лишним, и в действительности все матрицы из $\mathcal{C}_{A}^{*}$ имеют блочно-диагональную форму.

Матрицей Сергейчука–Хорна мы называем матрицу

Матрица ${{\Delta }_{n}}$ представляет один из трех типов блоков, прямой суммой которых является каноническая форма произвольной квадратной матрицы относительно конгруэнций.

В [2] было доказано, что, с точностью до диагональных сомножителей специального вида, все матрицы из конгруэнтного централизатора $\mathcal{C}_{\Delta }^{*}$ матрицы ${{\Delta }_{n}}$ являются верхнетреугольными и тёплицевыми. В п. 3 мы показываем, что в этом утверждении оговорка относительно диагональных сомножителей не нужна, и верна следующая

Теорема 2. Всякая матрица $X \in \mathcal{C}_{\Delta }^{*}$ тёплицева и имеет верхнетреугольную форму.

2. Для произвольных квадратных матриц $A$ и $X$ одинакового порядка справедливо равенство

Если $X \in \mathcal{C}_{A}^{*}$, то правая часть обращается в нуль:

Предположим, что $X$ не имеет собственного значения 1, и умножим (4) слева на матрицу ${{(X{\kern 1pt} *\; - I)}^{{ - 1}}}$, а справа – на ${{(X - I)}^{{ - 1}}}$. Полагая

получаем уравнение для матрицы $Y$. Пользуясь невырожденностью матрицы $A$, выводим отсюда и Подставляя это выражение для $Y{\kern 1pt} *$ в (6), имеем или

В проведенных до сих пор выкладках $A$ могла быть произвольной невырожденной матрицей. Пусть теперь $A$ – блочно-диагональная матрица (1). Ее коквадрат ${{K}_{A}} = {{A}^{ - }}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} A$ также является прямой суммой:

По предположению, матрицы ${{B}^{ - }}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} B$ и ${{C}^{ - }}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} C$ не имеют общих собственных значений. Поэтому матрица $Y$, коммутирующая с ${{A}^{ - }}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} A$, должна быть блочно-диагональной с диагональными блоками порядков $k$ и $l$.

Нетрудно показать, что, как и $X$, матрица $Y$ не имеет собственного значения 1. Разрешая относительно $X$ соотношение (5), имеем

Матрица $X$ сохраняет блочно-диагональную форму матрицы $Y$. Записывая $X$ в виде (3), из условия $X{\kern 1pt} *{\kern 1pt} AX = A$ выводим

Предположение, что $X$ не имеет собственного значения 1, не является ограничительным. Очевидно, что вместе с $X$ централизатору $\mathcal{C}_{A}^{*}$ принадлежат и все матрицы вида $\alpha X$, где ${\text{|}}\alpha {\text{|}} = 1$. Поэтому, если в спектре матрицы $X$ есть 1, то $X$ нужно заменить подходящим кратным ${{\alpha }_{0}}X$, уже не имеющим этого собственного значения.

3. Пусть теперь $A = {{\Delta }_{n}}$, а $X$ – матрица из централизатора $\mathcal{C}_{\Delta }^{*}$, не имеющая собственного значения 1. Определяя матрицу $Y$ формулой (5), приходим, как и в п. 2, к уравнению

Матрица $\Pi = \Delta _{n}^{ - }{\kern 1pt} *{\kern 1pt} {{\Delta }_{n}}$ есть коквадрат матрицы ${{\Delta }_{n}}$. Она описана в [3, задача 4.5.P15] и представляет собой верхнетреугольную тёплицеву матрицу с единичной главной диагональю и числом $2i$ на первой наддиагонали. Прочие детали устройства этой матрицы для нас не важны.

Обозначим через ${{\mathcal{T}}_{n}}$ алгебру верхнетреугольных тёплицевых матриц порядка $n$. Этой алгебре, очевидно, принадлежат матрицы

Матрица ${{(\Pi - {{I}_{n}})}^{k}}$ имеет нулевую главную диагональ и $k - 1$ первых нулевых наддиагоналей; в то же время $k$-я наддиагональ ненулевая. Отсюда следует, что матрицы (9) образуют (линейный) базис алгебры ${{\mathcal{T}}_{n}}$.

Соотношение (8) означает, что матрица $Y$ коммутирует с $\Pi $, а потому $Y$ коммутирует со всеми матрицами (9). Жорданова клетка ${{J}_{n}}(0)$ с нулем на главной диагонали принадлежит алгебре ${{\mathcal{T}}_{n}}$ и, значит,

Это равенство означает (см. [4, гл. VIII, § 2]), что и матрица $Y$ принадлежит ${{T}_{n}}$, т.е. является верхнетреугольной тёплицевой матрицей.

Как и в п. 2, матрица $Y$ не имеет собственного значения 1. Разрешая относительно $X$ соотношение (5), имеем

Отсюда заключаем, что матрица $X$ имеет ту же верхнетреугольную тёплицеву форму, что и $Y$.

Предположение, что $X$ не имеет собственного значения 1, снова не является ограничительным: если в спектре матрицы $X$ есть 1, то $X$ нужно заменить подходящим кратным ${{\alpha }_{0}}X$, не имеющим этого собственного значения.