Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 3, стр. 391-402

О гладком решении второй начально-краевой задачи для модельной параболической системы в полуограниченной негладкой области на плоскости

Е. А. Бадерко^1, *, А. А. Стасенко^1, **

¹ МГУ им. М.В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики
119991 Москва, Ленинские горы, 1, Россия

^* E-mail: baderko.ea@yandex.ru
^** E-mail: stasenko.aa@yandex.ru

Поступила в редакцию 02.06.2021
После доработки 02.06.2021
Принята к публикации 17.11.2021

EDN: SJLJYF
DOI: 10.31857/S0044466922030036

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрена вторая начально-краевая задача для параболической по Петровскому системы второго порядка с постоянными коэффициентами в полуограниченной плоской области с негладкой боковой границей. Доказана единственность решения этой задачи в классе ${{C}^{{2,1}}}(\Omega ) \cap {{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$. Исследовано минимальное условие на граничную функцию, при котором решение задачи принадлежит классу ${{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega })$. Методом граничных интегральных уравнений получен конструктивный вид решения. Библ. 24.

Ключевые слова: параболические системы, граничные интегральные уравнения, теория параболических потенциалов, вторая начально-краевая задача.

ВВЕДЕНИЕ

В статье рассматривается вторая начально-краевая задача с нулевым начальным условием для однородной параболической системы второго порядка с постоянными коэффициентами, с одной пространственной переменной, в полуограниченной области с негладкой боковой границей из класса ${{H}^{{(1 + \alpha )/2}}}[0,T]$, допускающей, в частности, наличие “клювов”. Методом граничных интегральных уравнений строится решение поставленной задачи из класса ${{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega })$. Это решение имеет вид специального параболического потенциала.

Из [1], [2, с. 706–707] следует, что если боковая граница области достаточно гладкая, а именно, из класса ${{H}^{{1 + \alpha /2}}}[0,T],0 < \alpha < 1$, то для любой правой части $\psi \in {{\mathop H\limits_0 }^{{(1 + \alpha )/2}}}[0,T]$ граничного условия II рода существует единственное решение такой задачи в классе ${{\mathop H\limits_0 }^{{2 + \alpha ,1 + \alpha /2}}}(\bar {\Omega })$.

В [3] для случая одного многомерного по пространственным переменным параболического уравнения с переменными коэффициентами доказано, что любое решение второй начально-краевой задачи принадлежит пространству ${{\mathop H\limits_0 }^{{2 + \alpha ,1 + \alpha /2}}}(\bar {\Omega })$ при существенно более слабом условии на боковую границу, а именно, если эта граница является нецилиндрической из класса ${{H}^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega })$.

В [4], [5] этот результат обобщен на одномерные по пространственной переменной параболические системы второго порядка: построено решение из класса ${{\mathop H\limits_0 }^{{2 + \alpha ,1 + \alpha /2}}}(\bar {\Omega })$. Единственность решения в этих работах не исследовалась.

В [6], [7] построено решение в виде потенциала простого слоя второй начально-краевой задачи для параболических систем в полуограниченных плоских областях с негладкими боковыми границами, при непрерывной правой части $\psi $ граничного условия. Кроме того, в [7] установлено, что полученное решение принадлежит пространству ${{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega })$, если $\psi \in {{\mathop H\limits_0 }^{{\alpha /2}}}[0,T],\;0 < \alpha < 1.$ Позднее данные результаты были обобщены в [8], [9] для случая пространств Дини–Гёльдера. Единственность решения в данных работах также не исследовалась.

Заметим, что в [10] доказано, что для параболических систем, вообще говоря, не имеет места принцип максимума.

В настоящей работе доказывается, что любое решение поставленной задачи принадлежит классу ${{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega }),$ если граничная функция принадлежит пространству ${{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$, т.е. имеет непрерывную дробную производную порядка $1{\text{/}}2$, обращающуюся в нуль при $t = 0$. При этом предварительно устанавливается теорема единственности для решения в классе ${{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$. Кроме того, в работе показывается, что условие $\psi \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$ на граничную функцию является минимальным для принадлежности решения классу ${{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega })$.

В качестве приложения полученный результат может использоваться для исследования процессов тепло- и массопереноса в сплавах (см., например, [12]). Конструктивное представление решения в виде потенциала и сведение решения поставленной задачи к решению системы граничных интегральных уравнений Вольтеррa I рода могут представлять теоретическую основу для получения численного решения задачи методом граничных элементов (см., например [12], [13]).

Статья состоит из пяти разделов. В разд. 1 вводятся используемые в работе обозначения и функциональные пространства, приводится постановка задачи и формулируются основные теоремы. В разд. 2 приводится доказательство теоремы единственности. В разд. 3 исследуется гладкость специального параболического потенциала. В разд. 4 доказывается основная теорема. В разд. 5 показывается минимальность условия $\psi \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$ для принадлежности решения классу ${{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega })$.

1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ И ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТОВ

В полосе $D = \{ (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{2}}:0 < t < T\} ,$ $0 < T < + \infty $, рассматривается параболический по И.Г. Петровскому (см. [14]) матричный оператор 2-го порядка с постоянными коэффициентами $Lu = {{\partial }_{t}}u - A\partial _{x}^{2}u,$ $u = ({{u}_{1}}, \ldots ,{{u}_{m}}),$ $m \geqslant 1,$ где ${{\partial }_{t}} = \partial {\text{/}}\partial t,$ $\partial _{x}^{2} = {{\partial }^{2}}{\text{/}}\partial {{x}^{2}},$ $A = \left\| {{{a}_{{ij}}}} \right\|_{{i,j = 1}}^{m}$ – матрица размерности $m \times m$. Предполагается, что собственные числа ${{\mu }_{k}}$ матрицы $A$ удовлетворяют условию

(1)

$\operatorname{Re} {{\mu }_{k}} > 0,\quad k = \overline {1,m} .$

Условие (1) (см. [15, с. 297–305], [16, с. 64–116]) обеспечивает существование фундаментальной матрицы решений $Z(x - \xi ,t - \tau )$ системы $Lu = 0$, которая имеет вид

$Z(x,t) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop {\int }\limits_\mathbb{R} {{e}^{{i\sigma x}}}\exp ( - {{\sigma }^{2}}At)d\sigma ,\quad t > 0,$

$Z \equiv 0,$ $t \leqslant 0;$ $x \in \mathbb{R}$, и справедлива оценка

$\left| {\partial _{t}^{l}\partial _{x}^{k}Z(x,t)} \right| \leqslant C(l,k){{t}^{{ - (2l + k + 1)/2}}}\exp ( - c{{x}^{2}}{\text{/}}t),$

$l \geqslant 0,$ $k \geqslant 0,$ $x \in \mathbb{R},$ $t > 0,$ для некоторых положительных постоянных $C(l,k),\;c$, где $\partial _{t}^{l} = {{\partial }^{l}}{\text{/}}\partial {{t}^{l}}$, $\partial _{x}^{k} = {{\partial }^{k}}{\text{/}}\partial {{x}^{k}}$.

Здесь и далее для любой матрицы $B$ (или вектора $b$) под $\left| B \right|$ (соответственно $\left| b \right|$) понимаем максимум из модулей элементов $B$ (компонент $b$).

В $D$ выделяется полуограниченная область $\Omega = \{ (x,t) \in D:x > g(t)\} $ с “боковой” границей $\Sigma = \{ (x,t) \in \bar {\Omega }:x = g(t)\} $, где функция $g$ удовлетворяет условию

(2)

$\left| {g(t + \Delta t) - g(t)} \right| \leqslant K{{\left| {\Delta t} \right|}^{{(1 + \alpha )/2}}},\quad K > 0,\quad 0 < \alpha < 1,\quad t,t + \Delta t \in [0,T].$

Под значениями (вектор)-функции, определенной в $\Omega $, и ее производных на границе области $\Omega $ всюду далее понимаются их предельные значения, полученные предельным переходом “изнутри” области $\Omega .$ Под принадлежностью (вектор)-функции некоторому функциональному пространству понимается, что все ее элементы принадлежат соответствующему пространству.

Для любого сегмента $[d,T - d],$ $0 \leqslant d < T{\text{/}}2,$ через $C[d,T - d]$ обозначаем пространство непрерывных (вектор)-функций $\psi :[d,T - d] \to {{\mathbb{R}}^{m}}$; при этом

${{\left\| {\psi ;[d,T - d]} \right\|}^{0}} = \mathop {\max }\limits_{[d,T - d]} \left| \psi \right|.$

Полагаем

$\mathop C\limits_0 [d,T - d] = \{ \psi \in C[d,T - d]:\psi (d) = 0\} ,$

${{C}^{1}}[0,T] = \{ \psi :\psi ,\psi {\kern 1pt} ' \in C[0,T]\} .$

Пусть

${{\partial }^{{1{\text{/}}2}}}\psi (t) = \frac{1}{{\sqrt \pi }}\frac{d}{{dt}}\mathop {\mathop {\int }\limits^t }\limits_0 {{(t - \tau )}^{{ - 1/2}}}\psi (\tau )d\tau ,\quad t \in [0,T],$

есть оператор дробного дифференцирования порядка $1{\text{/}}2$. Следуя [17], [18], через ${{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$ обозначаем пространство (вектор)-функций $\psi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$, для которых существует ${{\partial }^{{1{\text{/}}2}}}\psi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$; при этом

${{\left\| {\psi ;[0,T]} \right\|}^{{1/2}}} = \mathop {\max }\limits_{[0,T]} \left| \psi \right| + \mathop {\max }\limits_{[0,T]} \left| {{{\partial }^{{1{\text{/}}2}}}\psi } \right|.$

Через ${{H}^{\beta }}[0,T],$ $0 < \beta < 1,$ обозначаем пространство (вектор)-функций $\psi :[0,T] \to {{\mathbb{R}}^{m}},$ для которых конечна величина

${{\left| {\psi ;[0,T]} \right|}^{\beta }} = {{\left\| {\psi ;[0,T]} \right\|}^{0}} + \mathop {\mathop {\sup }\limits_{t,t + \Delta t \in (0,T),} }\limits_{\Delta t \ne 0} {\text{\{ |}}{{\Delta }_{t}}\psi (t){\kern 1pt} {\text{|}}\,{\text{|}}\Delta t{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{ - \beta }}}\} .$

Полагаем ${{\mathop H\limits_0 }^{\beta }}[0,T] = \{ \psi \in {{H}^{\beta }}[0,T]:\psi (0) = 0\} $.

Через $\mathop C\limits_0 (\bar {\Omega })$ обозначаем пространство непрерывных и ограниченных (вектор)-функций $u:\bar {\Omega } \to {{\mathbb{R}}^{m}}$, для которых $u(x,0) = 0$, при этом

${{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{0}} = \mathop {\sup }\limits_\Omega \left| u \right|;$

${{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega }) = \{ u:u,{{\partial }_{x}}u \in \mathop C\limits_0 (\bar {\Omega })\} ,$ при этом

${{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{1,0}}} = \mathop {\mathop {\sum }\limits^1 }\limits_{i = 0} {{\left\| {\partial _{x}^{i}u;\Omega } \right\|}^{0}};$

${{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega }) = \{ u:u,{{\partial }_{x}}u,\partial _{x}^{2}u,{{\partial }_{t}}u \in \mathop C\limits_0 (\bar {\Omega })\} ,$ при этом

${{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{2,1}}} = \mathop {\mathop {\sum }\limits^2 }\limits_{i = 0} {{\left\| {\partial _{x}^{i}u;\Omega } \right\|}^{0}} + {{\left\| {{{\partial }_{t}}u;\Omega } \right\|}^{0}}.$

Через ${{H}^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega }),$ $0 < \alpha < 1,$ обозначаем пространство Гёльдера (вектор)-функций, имеющих в $\bar {\Omega }$ непрерывную производную ${{\partial }_{x}}u$, для которых конечна величина

${{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{(1 + \alpha )}}} = {{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{1,0}}} + \mathop {\sup }\limits_\Omega \frac{{\left| {{{\Delta }_{{x,t}}}{{\partial }_{x}}u} \right|}}{{{{{\left| {\Delta x} \right|}}^{\alpha }} + {{{\left| {\Delta t} \right|}}^{{\alpha /2}}}}} + \mathop {\sup }\limits_\Omega \frac{{\left| {{{\Delta }_{t}}u} \right|}}{{{{{\left| {\Delta t} \right|}}^{{(1 + \alpha )/2}}}}}.$

Через ${{H}^{{2 + \alpha ,1 + \alpha /2}}}(\bar {\Omega }),$ $0 < \alpha < 1,$ обозначаем пространство Гёльдера (вектор)-функций, имеющих в $\bar {\Omega }$ непрерывные производные ${{\partial }_{x}}u,\;\partial _{x}^{2}u,\;{{\partial }_{t}}u$, для которых конечна величина

${{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{(2 + \alpha )}}} = {{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{2,1}}} + \mathop {\sup }\limits_\Omega \frac{{\left| {{{\Delta }_{{x,t}}}\partial _{x}^{2}u} \right|}}{{{{{\left| {\Delta x} \right|}}^{\alpha }} + {{{\left| {\Delta t} \right|}}^{{\alpha /2}}}}} + \mathop {\sup }\limits_\Omega \frac{{\left| {{{\Delta }_{t}}{{\partial }_{x}}u} \right|}}{{{{{\left| {\Delta t} \right|}}^{{(1 + \alpha )/2}}}}} + \mathop {\sup }\limits_\Omega \frac{{\left| {{{\Delta }_{{x,t}}}{{\partial }_{t}}u} \right|}}{{{{{\left| {\Delta x} \right|}}^{\alpha }} + {{{\left| {\Delta t} \right|}}^{{\alpha /2}}}}}.$

Здесь и далее для любой (вектор)-функции $u(x,t)$ полагаем

${{\Delta }_{t}}u = u(x,t + \Delta t) - u(x,t),\quad {{\Delta }_{{x,t}}}u = u(x + \Delta x,t + \Delta t) - u(x,t);$

${{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega }) = \left\{ {u \in {{H}^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega }):\partial _{x}^{i}u(x,0) = 0,\;i = 0,1} \right\},$

${{\mathop H\limits_0 }^{{2 + \alpha ,1 + \alpha /2}}}(\bar {\Omega }) = \left\{ {u \in {{H}^{{2 + \alpha ,1 + \alpha /2}}}(\bar {\Omega }):\partial _{x}^{i}u(x,0) = 0,\;i = 0,1,2,\;{{\partial }_{t}}u(x,0) = 0} \right\}.$

Наконец,

${{\mathop {\widehat C}\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega }) = \{ u \in {{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega }):{\text{||}}u;\Omega {\text{|}}{{{\text{|}}}^{{(2)}}} < \infty \} ,$

где

${{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{(2)}}} = {{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{2,1}}} + \mathop {\sup }\limits_\Omega \frac{{\left| {{{\Delta }_{t}}{{\partial }_{x}}u} \right|}}{{{{{\left| {\Delta t} \right|}}^{{1/2}}}}}.$

Рассмотрим задачу: найти функцию $u \in {{C}^{{2,1}}}(\Omega ) \cap {{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$, являющуюся решением второй начально-краевой задачи

(3)

$Lu = 0\quad {\text{в}}\quad \Omega ,\quad u(x,0) = 0,\quad x \geqslant g(0),\quad {{\partial }_{x}}u(g(t),t) = \psi (t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T.$

Cуществование решения $u$ задачи (3) для $\psi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$ следует из [7]. В [7] также доказано, что $u \in {{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega })$, если $\psi \in {{\mathop H\limits_0 }^{{\alpha /2}}}[0,T]$.

Основными результатами настоящей работы являются следующие три теоремы.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (1), (2) и функция $u \in {{C}^{{2,1}}}(\Omega ) \cap {{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ – решение задачи $(3)$ при условии $\psi \equiv 0$. Тогда $u \equiv 0$.

Замечание. В случае одного уравнения ($m = 1$) утверждение теоремы 1 следует из [19].

Теорема 2. Пусть выполнены условия (1), (2), и $u \in {{C}^{{2,1}}}(\Omega ) \cap {{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ – решение задачи $(3)$. Тогда для любой $\psi \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$ это решение принадлежит пространству ${{\mathop {\widehat C}\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega })$, и верна оценка

${{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{(2)}}} \leqslant C{{\left\| {\psi ;[0,T]} \right\|}^{{1/2}}}.$

Здесь и далее через $C$ и $c$ обозначаем положительные постоянные, зависящие от $T,K,A,m$, конкретный вид которых нас не интересует.

На примере задачи в полуполосе мы показываем, что условие принадлежности граничной функции $\psi $ классу ${{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$ в теореме 2 является точным. А именно, в полуполосе ${{D}_{ + }} = \{ (x,t) \in D:x > 0\} $ рассматриваем вторую начально-краевую задачу

(4)

$Lu = 0\quad {\text{в}}\quad {{D}_{ + }},\quad u(x,0) = 0,\quad x \geqslant 0,\quad {{\partial }_{x}}u(0,t) = \psi (t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T,$

и доказываем, что справедлива следующая

Теорема 3. Решение $u \in {{C}^{{2,1}}}({{D}_{ + }}) \cap {{C}^{{1,0}}}(\overline {{{D}_{ + }}} )$ задачи $(4)$ принадлежит классу ${{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}(\overline {{{D}_{ + }}} )$ тогда и только тогда, когда $\psi \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T].$

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1

Предварительно заметим, что при выполнении условия (2) функцию $u \in {{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega })$ можно продолжить до функции $\hat {u} \in {{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {D})$, причем

${{\left\| {\hat {u};D} \right\|}^{{(1 + \alpha )}}} \leqslant C{{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{(1 + \alpha )}}}.$

В самом деле, положим $y \equiv x - g(t),$ $u(y + g(t),t) \equiv u{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (y,t),\;(y,t) \in \overline {{{D}_{ + }}} .$ Пусть $y \geqslant 0$. Из неравенства

$\begin{gathered} {\text{|}}u(y + g(t + \Delta t),t + \Delta t) - u(y + g(t),t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \\ \leqslant {\text{|}}u(y + g(t + \Delta t),t + \Delta t) - u(y + g(t),t + \Delta t){\kern 1pt} {\text{|}}\; + \;{\text{|}}u(y + g(t),t + \Delta t) - u(y + g(t),t){\kern 1pt} {\text{|}}, \\ \end{gathered} $

если $g(t) \geqslant g(t + \Delta t)$, и неравенства

$\begin{gathered} {\text{|}}u(y + g(t + \Delta t),t + \Delta t) - u(y + g(t),t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \\ \leqslant {\text{|}}u(y + g(t),t) - u(y + g(t + \Delta t),t){\kern 1pt} {\text{|}}\; + \;{\text{|}}u(y + g(t + \Delta t),t) - u(y + g(t + \Delta t),t + \Delta t){\kern 1pt} {\text{|}}, \\ \end{gathered} $

если $g(t) < g(t + \Delta t)$, получаем, что

${\text{|}}{{\Delta }_{t}}u{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (y,t){\text{|}} \leqslant C{{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{1 + \alpha }}}{\text{|}}\Delta t{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{(1 + \alpha )/2}}},\quad (y,t),(y,t + \Delta t) \in \overline {{{D}_{ + }}} .$

Аналогично, показываем, что

${\text{|}}{{\Delta }_{t}}{{\partial }_{y}}u{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (y,t){\kern 1pt} {\text{|}}\;\leqslant \;C{{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{1 + \alpha }}}{\text{|}}\Delta t{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{\alpha /2}}},\quad (y,t),(y,t + \Delta t) \in \overline {{{D}_{ + }}} .$

Таким образом, $u{\kern 1pt} * \in {{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\overline {{{D}_{ + }}} ).$ Следуя [2, с. 345], полагаем $\hat {u}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (y) = u{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (y),$ $y \geqslant 0,$ $\hat {u}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (y) = - 3u{\kern 1pt} *{\kern 1pt} ( - y,t) + 4u{\kern 1pt} *{\kern 1pt} \left( { - y{\text{/}}2,t} \right),$ $y < 0$, и проверяем, что функция $\hat {u}{\kern 1pt} *$ является продолжением $u{\kern 1pt} *$ на $\bar {D}$ с сохранением класса. Сделав обратную замену $x \equiv y + g(t)$, получаем требуемое продолжение для функции $u$.

Для доказательства теоремы 1 используем метод из [20], [21]. Пусть функция $u$ удовлетворяет условиям из теоремы 1. Предположим вначале, что $u \in {{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega })$ для некоторого $\alpha $ из интервала $(0,1)$. Тогда $u$ является решением первой начально-краевой задачи

(5)

$Lv = 0\quad {\text{в}}\quad \Omega ,\quad v(x,0) = 0,\quad x \geqslant g(0),\quad v(g(t),t) = {{\psi }_{0}}(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T,$

где ${{\psi }_{0}}(t) = u(g(t),t),$ $0 \leqslant t \leqslant T.$

Продолжая функцию $u$ с области $\bar {\Omega }$ на полосу $\bar {D}$ с сохранением класса, можно показать, что ${{\psi }_{0}} \in {{\mathop H\limits_0 }^{{(1 + \alpha )/2}}}[0,T]$. Поэтому в силу результатов из [17], [18], [22]–[24] об однозначной разрешимости первой начально-краевой задачи в классе ${{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega })$ для систем вида (5) следует, что $u$ имеет вид (векторного) потенциала простого слоя

$u(x,t) = \mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t Z(x - g(\tau ),t - \tau )\varphi (\tau )d\tau ,\quad (x,t) \in \bar {\Omega },$

где (вектор)-плотность $\varphi \in {{\mathop H\limits_0 }^{{\alpha /2}}}[0,T]$ является единственным в $C[0,T]$ решением системы Вольтеррa I рода

$\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t Z(g(t) - g(\tau ),t - \tau )\varphi (\tau )d\tau = {{\psi }_{0}}(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T.$

Пользуясь формулой “скачка” для пространственной производной потенциала простого слоя (см. [6]), получим, что $\varphi $ одновременно является решением системы Вольтеррa II рода

$ - 1{\text{/}}2{{A}^{{ - 1}}}\varphi (t) + \mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t {{\partial }_{x}}Z(g(t) - g(\tau ),t - \tau )\varphi (\tau )d\tau = 0,\quad 0 \leqslant t \leqslant T,$

которая имеет единственное в $C[0,T]$ решение $\varphi \equiv 0$ (см. [6]). Следовательно, $u \equiv 0.$

Предполагаем теперь, что $u \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$. Для любой ограниченной функции $v:\bar {D} \to \mathbb{R}$ и любого множества $\mathcal{B} \subset \bar {D}$ обозначаем

$\omega (h;\nu ;\mathcal{B}) = \mathop {\mathop {\sup }\limits_{\left| {{{z}_{1}} - {{z}_{2}}} \right| \leqslant h,} }\limits_{{{z}_{1}},{{z}_{2}} \in \mathcal{B}} \left| {\nu ({{z}_{1}}) - \nu ({{z}_{2}})} \right|.$

Продолжаем $u$ на всю полосу $\bar {D}$ с сохранением класса так, что $\bar {u}(x,0) = {{\partial }_{x}}\bar {u}(x,0) = 0$. В результате получаем функцию $\bar {u} \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {D})$, причем $\bar {u}(x,t) = u(x,t),\;(x,t) \in \bar {\Omega }$. Далее, для функции $\bar {u}$ полагаем $\tilde {u}(x,t) = \bar {u}(x,t),$ $0 \leqslant t \leqslant T,$ $\tilde {u}(x,t) = \bar {u}(x,T),$ $t \geqslant T,$ $\tilde {u}(x,t) = 0,$ $t \leqslant 0$.

Фиксируем произвольно точку $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in \Omega $ и докажем, что $\tilde {u}({{x}_{0}},{{t}_{0}}) = 0$.

Рассмотрим “сглаженные” функции

${{\tilde {u}}_{s}}(x,t) = \mathop {\int }\limits_\mathbb{R} \mathop {\int }\limits_\mathbb{R} \tilde {u}\left( {x - \frac{y}{s},\;t - \frac{\tau }{s}} \right)\zeta (y,\tau )dyd\tau ,\quad (x,t) \in \bar {D},\quad s \in \mathbb{N},$

где $\zeta (x,t) = {{C}_{1}}\exp ({{({{x}^{2}} + {{t}^{2}} - 1)}^{{ - 1}}})$ при ${{x}^{2}} + {{t}^{2}} < 1,$ $\zeta (x,t) = 0$ при ${{x}^{2}} + {{t}^{2}} \geqslant 1,$ постоянная ${{C}_{1}}$ выбирается из условия

$\mathop {\int }\limits_\mathbb{R} \mathop {\int }\limits_\mathbb{R} \zeta (x,t)dxdt = 1.$

Фиксируем произвольно $\varepsilon > 0$. Из непрерывности функции $\tilde {u}$ следует, что существует ${{s}_{0}} \in \mathbb{N}$ такое, что

$\left| {{{{\tilde {u}}}_{s}}({{x}_{0}},{{t}_{0}}) - \tilde {u}({{x}_{0}},{{t}_{0}})} \right| < \varepsilon $

для любого $s > {{s}_{0}}.$ Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что существуют ${{s}_{1}} \in \mathbb{N}$ и постоянная $C > 0$ такие, что

(6)

$\left| {{{{\tilde {u}}}_{s}}({{x}_{0}},{{t}_{0}})} \right| \leqslant C\varepsilon \quad {\text{для любого}}\quad s > {{s}_{1}}.$

Рассмотрим область ${{\Omega }_{d}} = \{ (x,t) \in \Omega :x > g(t) + d,\;d < t < T - d\} $, где $0 < d < \min \left\{ {1,T{\text{/}}2} \right\}$ такое, что $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in {{\Omega }_{d}}$. Для любого $s > 1{\text{/}}d$ функция ${{\tilde {u}}_{s}}$ является решением второй начально-краевой задачи

$Lu = 0\quad {\text{в}}\quad {{\Omega }_{d}},\quad u(x,d) = {{h}_{{s,d}}}(x),\quad x \geqslant g(d) + d,\quad {{\partial }_{x}}u(g(t) + d,t) = {{\psi }_{{s,d}}}(t),\quad d \leqslant t \leqslant T - d,$

где ${{h}_{{s,d}}}(x) = {{\tilde {u}}_{s}}(x,d),$ $x \in \mathbb{R},$ ${{\psi }_{{s,d}}}(t) = {{\partial }_{x}}{{\tilde {u}}_{s}}(g(t) + d,t),$ $0 \leqslant t \leqslant T.$

Заметим, что ${{\tilde {u}}_{s}} \in {{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {D})$, откуда в силу только что доказанной единственности решения в данном классе следует (см. [7]), что ${{\tilde {u}}_{s}}$ имеет вид суммы двух параболических потенциалов

(7)

$\begin{gathered} {{u}_{s}}(x,t) = \mathop {\int }\limits_\mathbb{R} Z(x - \xi ,t - d){{h}_{{s,d}}}(\xi )d\xi + \mathop {\mathop {\int }\limits_d }\limits^t Z(x - g(\tau ) - d,t - \tau ){{\varphi }_{{s,d}}}(\tau )d\tau \equiv {{P}_{{s,d}}}(x,t) + {{U}_{{s,d}}}(x,t), \\ (x,t) \in {{{\bar {\Omega }}}_{d}}, \\ \end{gathered} $

где (вектор)-плотность ${{\varphi }_{{s,d}}} \in \mathop C\limits_0 [d,T - d]$ является единственным в $C[d,T - d]$ решением системы граничных интегральных уравнений

(8)

$ - \frac{1}{2}{{A}^{{ - 1}}}{{\varphi }_{{s,d}}}(t) + \mathop {\mathop {\int }\limits_d }\limits^t {{\partial }_{x}}Z(g(t) - g(\tau ) - d,t - \tau ){{\varphi }_{{s,d}}}(\tau )d\tau = {{\Psi }_{{s,d}}}(t),\quad d \leqslant t \leqslant T - d,$

где ${{\Psi }_{{s,d}}}(t) = {{\psi }_{{s,d}}}(t) - {{\partial }_{x}}{{P}_{{s,d}}}(g(t) + d,t),$ $d \leqslant t \leqslant T - d.$

Оценим $\partial _{x}^{k}{{P}_{{s,d}}},\;k = 0,1.$ Пусть ${{\mathbb{B}}_{R}}({{x}_{0}}) = \{ x \in \mathbb{R}:x - {{x}_{0}} \leqslant R\} $, где $R > 0$ достаточно большое, так что $R > {{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{1,0}}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}}$, и цилиндр ${{\mathbb{B}}_{R}}({{x}_{0}}) \times [0,T]$ содержит “внутри” кривую $\Sigma $. Имеем

$\begin{gathered} \partial _{x}^{k}{{P}_{{s,d}}}(x,t) = \mathop {\int }\limits_\mathbb{R} Z(x - \xi ,t - d)\partial _{\xi }^{k}{{h}_{{s,d}}}(\xi )d\xi = \\ = \mathop {\int }\limits_{\left| {x - \xi } \right| > R} Z(x - \xi ,t - d)\partial _{\xi }^{k}{{h}_{{s,d}}}(\xi )d\xi + \mathop {\int }\limits_{\left| {x - \xi } \right| \leqslant R} Z(x - \xi ,t - d)\partial _{\xi }^{k}{{h}_{{s,d}}}(\xi )d\xi = \\ = P_{{s,d}}^{{1,k}}(x,t) + P_{{s,d}}^{{2,k}}(x,t),\quad (x,t) \in {{{\bar {\Omega }}}_{d}},\quad k = 0,1. \\ \end{gathered} $

Рассмотрим $P_{{s,d}}^{{1,k}},\;k = 0,1.$ Так как ${{\left\| {\partial _{\xi }^{k}{{h}_{{s,d}}};\mathbb{R}} \right\|}^{0}} \leqslant {{\left\| {{{{\tilde {u}}}_{s}};D} \right\|}^{{1,0}}} \leqslant C{{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{1,0}}}$ , то

$\begin{gathered} \left| {P_{{s,d}}^{{1,k}}(x,t)} \right| \leqslant C{{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{1,0}}}\mathop {\int }\limits_{\left| {x - \xi } \right| > R} \left| {Z(x - \xi ,t - d)} \right|d\xi \leqslant \\ \leqslant C{{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{1,0}}}\mathop {\int }\limits_{|x - \xi | > R} {{(t - d)}^{{ - 1/2}}}\exp ( - c{{(x - \xi )}^{2}}{\text{/}}(t - d))d\xi \leqslant \\ \leqslant C{{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{1,0}}}{{R}^{{ - 1}}} \leqslant C\varepsilon ,\quad (x,t) \in {{{\bar {\Omega }}}_{d}}. \\ \end{gathered} $

Для оценки $P_{{s,d}}^{{2,k}},\;k = 0,1,$ заметим, что

$\begin{gathered} \left| {\partial _{\xi }^{k}{{h}_{{s,d}}}(\xi )} \right| \leqslant \mathop {\int }\limits_\mathbb{R} \mathop {\int }\limits_\mathbb{R} \left| {\partial _{\xi }^{k}\tilde {u}\left( {\xi - \frac{y}{s},d - \frac{\tau }{s}} \right)\zeta (y,\tau )} \right|dyd\tau = \\ = \mathop {\int }\limits_\mathbb{R} \mathop {\int }\limits_\mathbb{R} \left| {\partial _{\xi }^{k}\tilde {u}\left( {\xi - \frac{y}{s},d - \frac{\tau }{s}} \right) - \partial _{\xi }^{k}\tilde {u}\left( {\xi - \frac{y}{s},0} \right)} \right|\zeta (y,\tau )dyd\tau \leqslant \\ \leqslant \omega \left( {2d,\partial _{\xi }^{k}\tilde {u},{{\mathbb{B}}_{{2R + 1}}}({{x}_{0}}) \times [0,T]} \right),\quad \xi \in {{\mathbb{B}}_{{2R}}}({{x}_{0}}). \\ \end{gathered} $

Поэтому в силу непрерывности функции $\partial _{\xi }^{k}\tilde {u}$ существует ${{d}_{1}} = {{d}_{1}}(R) > 0$ такое, что при всех $d < {{d}_{1}},$ $s > 1{\text{/}}d$

$\left| {P_{{s,d}}^{{2,k}}(x,t)} \right| \leqslant C\varepsilon ,\quad (x,t) \in {{\mathbb{B}}_{R}}({{x}_{0}}) \times [0,T],\quad k = 0,1.$

В итоге при $d < {{d}_{1}},$ $s > 1{\text{/}}d$ имеем

(9)

$\left| {\partial _{x}^{k}{{P}_{{s,d}}}(x,t)} \right| \leqslant C\varepsilon ,\quad (x,t) \in {{\mathbb{B}}_{R}}({{x}_{0}}) \times [0,T],\quad k = 0,1.$

Оценим потенциал простого слоя ${{U}_{{s,d}}},d < {{d}_{2}}$, где ${{d}_{2}} = {{d}_{2}}(R) < {{d}_{1}}$ такое, что цилиндр ${{\mathbb{B}}_{R}}({{x}_{0}}) \times [0,T]$ содержит “боковую” границу области ${{\Omega }_{d}}$ для любых $d < {{d}_{2}}.$ Так как ${{\Psi }_{{s,d}}} \in \mathop C\limits_0 [d,T - d]$, то (см. [6]) система (8) имеет единственное в $C[d,T - d]$ решение ${{\varphi }_{{s,d}}} \in \mathop C\limits_0 [d,T - d]$, причем справедлива оценка

${{\left\| {{{\varphi }_{{s,d}}};[d,T - d]} \right\|}^{0}} \leqslant C{{\left\| {{{\Psi }_{{s,d}}};[d,T - d]} \right\|}^{0}}.$

Оценим ${{\left\| {{{\Psi }_{{s,d}}};[d,T - d]} \right\|}^{0}}$. Заметим, что

$\begin{gathered} \left| {{{\psi }_{{s,d}}}(t)} \right| = \left| {{{\partial }_{x}}{{{\tilde {u}}}_{s}}(g(t) + d,t)} \right| \leqslant \mathop {\int }\limits_\mathbb{R} \mathop {\int }\limits_\mathbb{R} \left| {{{\partial }_{x}}\tilde {u}\left( {g(t) + d - \frac{y}{s},t - \frac{\tau }{s}} \right) - {{\partial }_{x}}\tilde {u}(g(t),t)} \right|\zeta (y,\tau )dyd\tau \leqslant \\ \leqslant \omega \left( {4d,{{\partial }_{x}}\tilde {u},{{\mathbb{B}}_{{R + 1}}}({{x}_{0}}) \times [0,T]} \right). \\ \end{gathered} $

Поэтому существует ${{d}_{3}} = {{d}_{3}}(R)$ такое, что ${{d}_{3}} < {{d}_{2}}$, и при всех $d < {{d}_{3}},$ $s > 1{\text{/}}d$

$\left| {{{\psi }_{{s,d}}}(t)} \right| \leqslant \varepsilon ,\quad d \leqslant t \leqslant T.$

Из оценки (9) при $k = 1$ получаем, что ${{\left\| {{{\Psi }_{{s,d}}};[0,T]} \right\|}^{0}} \leqslant C\varepsilon $ и, следовательно, ${{\left\| {{{\varphi }_{{s,d}}};[d,T - d]} \right\|}^{0}} \leqslant C\varepsilon $ при всех $d < {{d}_{3}},$ $s > 1{\text{/}}d.$

Таким образом, при всех $d < {{d}_{3}},$ $s > 1{\text{/}}d$

$\left| {{{U}_{{s,d}}}(x,t)} \right| < C\varepsilon ,\quad (x,t) \in {{\bar {\Omega }}_{d}}.$

В итоге, из представления (7) и оценок (9), (10) следует (6) для ${{s}_{1}} = [1{\text{/}}{{d}_{3}}]$.

3. СПЕЦИАЛЬНЫЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ

Следуя [5], определим для (вектор)-плотности $\varphi \in C[0,T]$ специальный параболический потенциал $S\varphi $ формулой

(11)

$S\varphi (x,t) = \mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t Y(x - g(\tau ),t - \tau )\varphi (\tau )d\tau ,\quad (x,t) \in \bar {D},$

где

$Y(x,t) = \mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^{ + \infty } Z(x + r,t)dr,\quad (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{2}}.$

Столбцы матрицы $Y$ удовлетворяет уравнению

${{\partial }_{t}}Y(x,t) - A\partial _{x}^{2}Y(x,t) = 0,\quad (x,t) \in \mathbb{R}_{ + }^{2} \equiv \mathbb{R} \times (0, + \infty ),$

и справедливо неравенство

(12)

$\left| {\partial _{x}^{k}Y(x,t)} \right| \leqslant {{C}_{k}}{{t}^{{ - k/2}}},\quad k \geqslant 0,\quad (x,t) \in \mathbb{R}_{ + }^{2}.$

Для любой $\varphi \in C[0,T]$ имеем

(13)

${{\partial }_{t}}S\varphi (x,t) - A\partial _{x}^{2}S\varphi (x,t) = 0,\quad (x,t) \in \Omega .$

Лемма 1. Пусть выполнены условия (1), (2). Тогда для любой $\varphi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$ имеют место оценки

(14)

$\left| {\partial _{x}^{k}S\varphi (x,t)} \right| \leqslant C{{\left\| {\varphi ;[0,T]} \right\|}^{0}}{{t}^{{1 - k/2}}},\quad k = 0,1,\quad (x,t) \in \bar {D},$

(15)

$\left| {\partial _{x}^{2}S\varphi (x,t)} \right| \leqslant C{{\omega }_{\varphi }}(t),\quad (x,t) \in \Omega ,$

(16)

$\left| {{{\Delta }_{t}}{{\partial }_{x}}S\varphi (x,t){\kern 1pt} } \right| \leqslant C{{\left\| {\varphi ;[0,T]} \right\|}^{0}}{{\left| {\Delta t} \right|}^{{1/2}}},\quad (x,t),(x,t + \Delta t) \in \bar {D},$

где ${{\omega }_{\varphi }}$ – модуль непрерывности функции $\varphi $ на $[0,T]$, и справедлива формула

(17)

$\partial _{x}^{2}S\varphi (g(t),t) = \frac{1}{2}{{A}^{{ - 1}}}\varphi (t) + \mathop {\mathop {\int }\limits^t }\limits_0 \partial _{x}^{2}Y(g(t) - g(\tau ),t - \tau )\varphi (\tau )d\tau ,\quad (x,t) \in \Omega ,\quad 0 \leqslant t \leqslant T.$

Доказательство. Неравенство (14) сразу следует из (12). Докажем (15). Имеем

(18)

$\partial _{x}^{2}S\varphi (x,t) = - \mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t {{\partial }_{x}}Z(x - g(\tau ),t - \tau )\varphi (\tau )d\tau ,\quad (x,t) \in \Omega .$

Из равенства ${{\partial }_{x}}Z(x,t) = - \frac{x}{{2t}}{{A}^{{ - 1}}}Z(x,t),$ $x \in \mathbb{R},$ $t > 0,$ (см. [7]) следует, что

$\partial _{x}^{2}S\varphi (x,t) = \frac{1}{2}{{A}^{{ - 1}}}\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t \,(x - g(\tau ))(t - \tau {{)}^{{ - 1}}}Z(x - g(\tau ),t - \tau )(\varphi (\tau ) - \varphi (0))d\tau ,$

поэтому из неравенства ${{(a - b)}^{2}} \geqslant {{a}^{2}}{\text{/}}2 - 2{{b}^{2}}$ для любых $a,b \in \mathbb{R}$ получаем, что

$\begin{gathered} \left| {\partial _{x}^{2}S\varphi (x,t)} \right| \leqslant C\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t \left| {x - g(\tau )} \right|{{(t - \tau )}^{{ - 3/2}}}\exp \left( { - c{{{(x - g(\tau ))}}^{2}}{\text{/}}(t - \tau )} \right){{\omega }_{\varphi }}(\tau )d\tau \leqslant \\ \, \leqslant C{{\omega }_{\varphi }}(t)\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t \frac{{\left| {x - g(t)} \right| + {{{(t - \tau )}}^{{(1 + \alpha )/2}}}}}{{{{{(t - \tau )}}^{{3/2}}}}}\exp \left( { - c{{{(x - g(t))}}^{2}}{\text{/}}(t - \tau )} \right)d\tau \leqslant C{{\omega }_{\varphi }}(t),\quad (x,t) \in \Omega . \\ \end{gathered} $

Докажем (16). Без ограничения общности будем считаем $\Delta t > 0.$ При $0 < t{\text{/}}2 \leqslant \Delta t$ неравенство (16) сразу следует из (14) при $k = 1$. Пусть $\Delta t < t{\text{/}}2.$ Положим

$\begin{gathered} {{\Delta }_{t}}{{\partial }_{x}}S\varphi (x,t) = \mathop {\mathop {\int }\limits^{t + \Delta t} }\limits_{t - \Delta t} {{\partial }_{x}}Y(x - g(\tau ),t + \Delta t - \tau )\varphi (\tau )d\tau - \\ - \;\mathop {\mathop {\int }\limits^t }\limits_{t - \Delta t} {{\partial }_{x}}Y(x - g(\tau ),t - \tau )\varphi (\tau )d\tau + \mathop {\mathop {\int }\limits^{t - \Delta t} }\limits_0 {{\Delta }_{t}}{{\partial }_{x}}Y(x - g(\tau ),t - \tau )\varphi (\tau )d\tau \equiv {{W}_{1}} - {{W}_{2}} + {{W}_{3}}. \\ \end{gathered} $

${{W}_{1}}$ и ${{W}_{2}}$ оцениваются аналогичным образом. Оценим ${{W}_{2}}$, используя (12):

$\left| {{{W}_{2}}} \right| \leqslant C{{\left\| {\varphi ;[0,T]} \right\|}^{0}}\mathop {\mathop {\int }\limits^t }\limits_{t - \Delta t} {{(t - \tau )}^{{ - 1/2}}}d\tau \leqslant {{C}_{\varphi }}\Delta {{t}^{{1/2}}},\quad (x,t),(x,t + \Delta t) \in \bar {D}.$

Оценим ${{W}_{3}}$, снова применяя оценку (12):

$\left| {{{W}_{3}}} \right| \leqslant C{{\left\| {\varphi ;[0,T]} \right\|}^{0}}\Delta t\mathop {\mathop {\int }\limits^{t - \Delta t} }\limits_0 {{(t - \tau )}^{{ - 3/2}}}d\tau \leqslant C{{\left\| {\varphi ;[0,T]} \right\|}^{0}}\Delta {{t}^{{1/2}}},\quad (x,t),(x,t + \Delta t) \in \bar {D}.$

Формула (17) следует из равенства (18) и формулы “скачка” для пространственной производной потенциала простого слоя, доказанной в [6].

Замечание. Утверждение леммы 2 следует из [4], [5], если повысить требование на гладкость $\varphi $, а именно, если $\varphi \in {{\mathop H\limits_0 }^{{\alpha /2}}}[0,T],\;0 < \alpha < 1.$

Из леммы 1 следует

Теорема 4. Пусть $\varphi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$, и выполнены условия (1), (2). Тогда $S\varphi \in {{\mathop {\widehat C}\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega }),$ и справедлива оценка

$\left\| {S\varphi ;{{\Omega }^{{(2)}}}} \right\| \leqslant C{{\left\| {\varphi ;[0,T]} \right\|}^{0}}.$

4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2

В силу теоремы 1 и результата из [7] существует единственное решение $u$ задачи (3) в классе ${{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$, если $\psi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$. Пусть $\psi \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$. Докажем, что в этом случае $u \in {{\mathop {\widehat C}\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega })$. Для этого решение задачи (3) ищем в виде потенциала $S\varphi $ из (11), где (вектор)-плотность $\varphi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$ подлежит определению. В силу равенства (13) и леммы 1 потенциал $S\varphi $ удовлетворяет уравнению и начальному условию из (3). Подставляя $S\varphi $ в граничное условие из (3), для определения плотности $\varphi $ получаем систему граничных интегральных уравнений Вольтеррa I рода:

$ - \int\limits_0^t {Z(g(t) - g(\tau ),t - \tau )\varphi (\tau )d\tau } = \psi (t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T.$

Из [18] следует, что для любой $\psi \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$ эта система имеет единственное в $C[0,T]$ решение $\varphi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$, и справедлива оценка

${{\left\| {\varphi ;[0,T]} \right\|}^{0}} \leqslant C{{\left\| {\psi ;[0,T]} \right\|}^{{1/2}}},$

откуда в силу теоремы 4 получаем требуемый результат.

5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3

Достаточность следует из теоремы 2. Для доказательства необходимости предварительно заметим, что для любой функции $\psi \in {{C}^{1}}[0,T]$ справедливо равенство

(19)

${{\partial }^{{1/2}}}{{\partial }^{{1/2}}}\psi (t) = \psi {\kern 1pt} '(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T.$

В самом деле, пусть $0 < t \leqslant T.$ Имеем

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\pi }^{{1/2}}}{{\partial }^{{1/2}}}\psi (t) = \frac{d}{{dt}}\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t {{\tau }^{{ - 1/2}}}\psi (t - \tau )d\tau = {{t}^{{ - 1/2}}}\psi (0) + \mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t {{\tau }^{{ - 1/2}}}\psi {\kern 1pt} '(t - \tau )d\tau = } \\ {\, = {{t}^{{ - 1/2}}}\psi (0) + \mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t {{{(t - \tau )}}^{{ - 1/2}}}\psi {\kern 1pt} '(\tau )d\tau ,\quad 0 < t \leqslant T.} \end{array}$

Поэтому

$\begin{gathered} \pi {{\partial }^{{1/2}}}{{\partial }^{{1/2}}}\psi (t) = \frac{d}{{dt}}\mathop {\mathop {\int }\limits_0 \,}\limits^t {{(t - \tau )}^{{ - 1/2}}}{{\tau }^{{ - 1/2}}}\psi (0)d\tau + \frac{d}{{dt}}\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t \,{{(t - \tau )}^{{ - 1/2}}}\left( {\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^\tau \,{{{(\tau - s)}}^{{ - 1/2}}}\psi {\kern 1pt} '(s)ds} \right)d\tau = \\ \, = \pi \frac{d}{{dt}}\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t \psi {\kern 1pt} '(s)ds = \pi \psi '(t),\quad 0 < t \leqslant T. \\ \end{gathered} $

Переходя в последнем равенстве к пределу при $t \to {{0}_{ + }}$, получаем (19) и при $t = 0$.

Пусть $u \in {{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}({{\bar {D}}_{ + }})$ – решение задачи (4). Из теоремы 1 и результата из [7] следует, что $u$ имеет вид потенциала простого слоя

$u(x,t) = - 2\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t Z(x,t - \tau )A\psi (\tau )d\tau ,\quad (x,t) \in {{\bar {D}}_{ + }}.$

Для $(x,t) \in {{D}_{ + }}$ рассмотрим дробную производную порядка $1{\text{/}}2{\text{:}}$

$\begin{gathered} \sqrt \pi \partial _{t}^{{1/2}}u(x,t) = \frac{d}{{dt}}\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t \,{{(t - \tau )}^{{ - 1/2}}}u(x,\tau )d\tau = - 2\frac{d}{{dt}}\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t \,{{(t - \tau )}^{{ - 1/2}}}\left( {\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^\tau Z(x,\tau - \theta )A\psi (\theta )d\theta } \right)d\tau = \\ \, = - 2\frac{d}{{dt}}\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t \left( {\mathop {\mathop {\int }\limits_\tau }\limits^t \,{{{(t - \theta )}}^{{ - 1/2}}}Z(x,\theta - \tau )d\theta } \right)A\psi (\tau )d\tau = \\ = - 2\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t \frac{d}{{dt}}\left( {\mathop {\mathop {\int }\limits_\tau }\limits^t {{{(t - \theta )}}^{{ - 1/2}}}Z(x,\theta - \tau )d\theta } \right)A\psi (\tau )d\tau + \mathop {\lim }\limits_{\tau \to t} \mathop {\mathop {\int }\limits_\tau }\limits^t \,{{(t - \theta )}^{{ - 1/2}}}Z(x,\theta - \tau )A\psi (\tau )d\theta . \\ \end{gathered} $

Так как $x > 0,$ второе слагаемое в последнем выражении обращается в нуль, откуда получаем

$\begin{gathered} \partial _{t}^{{1/2}}u(x,t) = - \frac{2}{{\sqrt \pi }}\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t \frac{d}{{dt}}\left( {\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^{t - \tau } {{{(t - \tau - \theta )}}^{{ - 1/2}}}Z(x,\theta )d\theta } \right)A\psi (\tau )d\tau = \\ = - 2\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t \partial _{t}^{{1/2}}Z(x,t - \tau )A\psi (\tau )d\tau ,\quad (x,t) \in {{D}_{ + }}. \\ \end{gathered} $

Пользуясь равенством (см. [18])

$\partial _{t}^{{1/2}}Z(x,t) = - \operatorname{sign} (x){{\partial }_{x}}Z(x,t){{M}^{{ - 1}}},\quad x \in \mathbb{R},\quad t > 0,$

где ${{M}^{{ - 1}}}$ – матрица, обратная к матрице $M \equiv {{\pi }^{{ - 1/2}}}\int_\mathbb{R}^{} {\exp \{ - {{y}^{2}}A\} dy} ,$ получаем, что

(20)

$\partial _{t}^{{1/2}}u(x,t) = 2\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t {{\partial }_{x}}Z(x,t - \tau ){{M}^{{ - 1}}}A\psi (\tau )d\tau \equiv v(x,t),\quad (x,t) \in {{D}_{ + }}.$

Из формулы “скачка” для пространственной производной потенциала простого слоя (см. [6]) следует, что

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{0}_{ + }}} v(x,t) = - {{A}^{{ - 1}}}{{M}^{{ - 1}}}A\psi (t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T,$

причем сходимость равномерна по $t \in [0,T]$. Кроме того, в силу (19), (20)

(21)

${{\partial }_{t}}u(x,t) = {{\pi }^{{ - 1/2}}}\frac{d}{{dt}}\mathop {\mathop {\int \,}\limits_0 }\limits^t {{(t - \tau )}^{{ - 1/2}}}v(x,\tau )d\tau \equiv {{\partial }_{t}}F(x,t),\quad x > 0,\quad t \geqslant 0.$

Из равенства

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{0}_{ + }}} F(x,t) = - {{\pi }^{{ - 1/2}}}{{A}^{{ - 1}}}{{M}^{{ - 1}}}A\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t {{(t - \tau )}^{{ - 1/2}}}\psi (\tau )d\tau ,\quad 0 \leqslant t \leqslant T,$

и условия ${{\partial }_{t}}u \in \mathop C\limits_0 (\overline {{{D}_{ + }}} )$, переходя к пределу в (21) при $x \to {{0}_{ + }}$, и получаем, что существует ${{\partial }^{{1/2}}}\psi \in \mathop C\limits_0 [0,T].$

Список литературы

Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 83. С. 3–163.
Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
Baderko E.A. Schauder estimates for oblique derivative problems // Comptes Rendus de l’Acadé mie des Sciences. Sé rie I. Mathé matique. Paris. 1998. T. 326. № 12. P. 1377–1380.
Семаан Х. О решении второй краевой задачи для параболических систем в областях на плоскости с негладкой боковой границей. М., 1999, Деп. ВИНИТИ РАН 26.02.99. № 567–В99.
Семаан Х. О решении второй краевой задачи для параболических систем на плоскости. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, механ.-матем. факультет, 1999.
Тверитинов В.А. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка. М., 1988. Деп. в ВИНИТИ 30.09.88. № 6850–В88.
Тверитинов В.А. Решение второй краевой задачи для параболических систем с одной пространственной переменной методом граничных элементов. М., 1989. Деп. в ВИНИТИ 15.11.89. № 6906–В89.
Зейнеддин М. О потенциале простого слоя для параболической системы в классах Дини. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, мех.-мат. факультет, 1992.
Зейнеддин М. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка в классах Дини. М., 1992. Деп в ВИНИТИ РАН 16.04.92. № 1294–В92.
Мазья В.Г., Кресин Г.И. О принципе максимума для сильно эллиптических и параболических систем второго порядка с постоянными коэффициентами// Матем. сб. 1984. Т. 125(167). № 4(12). С. 458–480.
Ворошнин Л.Г., Хусид Б.М. Диффузионный массоперенос в многокомпонентных системах. Минск: Наука и техн., 1971.
Hackbusch W. Integral Equations. Berlin: Birkhauser, 1995.
Chen G., Zhou J. Boundary Element Methods. London: Acad. Press, 1992.
Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций // Бюлл. МГУ. 1938. Секция А. Т. 1. Вып. 7. С. 1–72.
Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.
Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.
Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Первая краевая задача для параболических систем в плоских областях с негладкими боковыми границами // Докл. АН. 2014. Т. 458. № 4. С. 379–381.
Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Потенциал простого слоя и первая краевая задача для параболической системы на плоскости // Дифференц. ур-ния. 2016. Т. 52. № 2. С. 197–208.
Камынин Л.И. О решении методом потенциалов основных краевых задач для одномерного параболического уравнения 2-го порядка // Сиб. матем. ж. 1974. Т. 15. № 4. С. 806–834.
Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. О единственности решения задачи Коши для параболических систем // Дифференц. ур-ния. 2019. Т. 55. № 6. С. 822–830.
Baderko E.A., Cherepova M.F. Uniqueness theorem for parabolic Cauchy problem // Applicable Analys. 2016. T. 95. № 7. P. 1570–1580.
Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Единственность решения первой начально-краевой задачи для параболических систем на плоскости в модельном случае // Докл. АН. 2018. Т. 483. № 3. С. 247–249.
Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. О единственности решения первой начально-краевой задачи для параболических систем с постоянными коэффициентами в полуограниченной области на плоскости // Дифференц. ур-ния. 2019. Т. 55. № 5. С. 673–682.
Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Задача Дирихле для параболических систем с Дини-непрерывными коэффициентами на плоскости // Докл. АН. 2017. Т. 476. № 1. С. 7–10.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал