Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 3, стр. 381-390

Задачи оптимального управления для уравнений сложного теплообмена c френелевскими условиями сопряжения

А. Ю. Чеботарев^*, **

Институт прикладной математики ДВО РАН
690041 Владивосток, ул. Радио, 7, Россия

^* E-mail: cheb@iam.dvo.ru
^** E-mail: chebotarev.ayu@dvfu.ru

Поступила в редакцию 13.04.2021
После доработки 31.05.2021
Принята к публикации 09.10.2021

EDN: WHXINA
DOI: 10.31857/S004446692203005X

Аннотация

Рассматривается класс задач оптимального управления для системы нелинейных эллиптических уравнений, моделирующих радиационный теплообмен с френелевскими условиями сопряжения на поверхностях разрыва коэффициента преломления. На основе оценок решения краевой задачи доказана разрешимость задач оптимального управления. Выполнен анализ существования и единственности решения линеаризованной задачи с условиями сопряжения и доказана невырожденность условий оптимальности. В качестве примера рассмотрена задача управления с граничным наблюдением и показана релейность оптимального управления. Библ. 37.

Ключевые слова: стационарные уравнения радиационного теплообмена, френелевские условия сопряжения, задачи оптимального управления, условия оптимальности, релейное управление.

1. ВВЕДЕНИЕ

Оптимизация процессов радиационно-диффузионного (сложного) теплообмена важна для инженерных и медицинских приложений (см. [1]–[6]). При моделировании таких процессов хорошую эффективность показало использование диффузионного ${{P}_{1}}$-приближения для уравнения переноса излучения. Анализ краевых задач, задач оптимального управления и обратных задач для уравнений сложного теплообмена с ${{P}_{1}}$-приближением уравнения переноса излучения представлен в [7]–[25]. Отметим также интересные результаты А.А. Амосова по анализу краевых задач, связанных с радиационным теплообменом (см. [26]–[31]).

Дальнейшее развитие моделирования и анализа процессов сложного теплообмена связано с рассмотрением многокомпонентных областей с кусочно-постоянными параметрами среды. В [32]–[34] представлены построение модели сложного теплообмена с учетом эффектов отражения и преломления на поверхностях разрыва коэффициента преломления и анализ краевых и обратных задач.

Настоящая работа посвящена анализу задач оптимального управления для указанной нелинейной модели сложного теплообмена.

Статья организована следующим образом. В разд. 2 формулируется краевая задача для уравнений сложного теплообмена с условиями сопряжения, определяются пространства и операторы. Задача оптимального управления формализуется как задача минимизации слабо полунепрерывного снизу функционала на решениях системы уравнений с операторными коэффициентами. Разрешимость задачи управления доказана в разд. 3. Невырожденные условия оптимальности получены в разд. 4 на основе доказанной эпиморфности производной оператора ограничений. В разд. 5 рассмотрено приложение полученных результатов к задаче оптимального управления с граничным наблюдением. Показано, что условия оптимальности влекут релейность оптимального управления. Доказательство важных результатов о существовании и единственности линеаризованной задачи с условиями сопряжения и положительности температурного поля представлено в разд. 6.

2. ПОСТАНОВКА И ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Для описания процесса радиационного теплообмена в многокомпонентной среде рассмотрим, следуя [32], ограниченную липшицеву область $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$, содержащую конечное число липшицевых подобластей ${{\Omega }_{j}}$, $j = 1,2, \ldots ,m,$ замыкания которых не пересекаются. Подобласть

${{\Omega }_{0}} = \Omega {{\backslash }}\left( {\bigcup\limits_{j = 1}^m \,{{{\bar {\Omega }}}_{j}}} \right)$

является внешней, при этом $\Gamma = \partial \Omega \subset {{\Gamma }_{0}} = \partial {{\Omega }_{0}}$, ${{\Gamma }_{j}} = \partial {{\Omega }_{j}} \subset {{\Gamma }_{0}}$, $j = 1,2,...,m$.

В каждой из областей ${{\Omega }_{j}}$, $j = 0,1, \ldots ,m$, температура $\theta $ и интенсивность теплового излучения $\varphi $ удовлетворяют уравнениям

(1)

$ - a\Delta \theta + b({{\theta }^{3}}{\text{|}}\theta {\text{|}} - \varphi ) = f, - \alpha \Delta \varphi + \beta (\varphi - {{\theta }^{3}}{\text{|}}\theta {\text{|}}) = {{g}_{0}}.$

Положительные физические параметры $a$, $b$, $\alpha $ и $\beta $, описывающие свойства среды, определяются стандартным образом (см. [32]). Указанные параметры так же, как и коэффициент преломления $n > 0$, принимают постоянные значения в областях ${{\Omega }_{j}}$, $j = 0,1, \ldots ,m$, и при этом, что важно, $b = \sigma \beta {{n}^{2}}$, $\sigma = {\text{Const}} > 0.$ Функции $f$ и ${{g}_{0}}$ моделируют тепловые источники и источники излучения соответственно.

На внешней границе $\Gamma = \partial \Omega $ задаются граничные условия

(2)

${{\left. {\{ a{{\partial }_{\nu }}\theta + c(\theta - {{\theta }_{b}})\} } \right|}_{\Gamma }} = 0,\quad {{\left. {\{ \alpha {{\partial }_{\nu }}\varphi + \gamma (\varphi - \theta _{b}^{4})\} } \right|}_{\Gamma }} = 0,$

где ${{\theta }_{b}}$ – заданная температура, $c$ – коэффициент теплопередачи, $0 < \gamma \leqslant 1{\text{/}}2$ – параметр, зависящий от коэффициента излучения. Через ${{\partial }_{\nu }}$ обозначаем производную в направлении внешней нормали $\nu $ к границе.

Выведенные в [32] условия сопряжения для температуры ${{\theta }_{j}} = {{\left. \theta \right|}_{{{{\Omega }_{j}}}}}$ и интенсивности излучения ${{\varphi }_{j}} = {{\left. \varphi \right|}_{{{{\Omega }_{j}}}}}$ на внутренних границах ${{\Gamma }_{j}} = \partial {{\Omega }_{j}}$, $j = 1,2, \ldots ,m$, имеют вид

(3)

${{\theta }_{0}} = {{\theta }_{j}},\quad {{a}_{0}}{{\partial }_{\nu }}{{\theta }_{0}} = {{a}_{j}}{{\partial }_{\nu }}{{\theta }_{j}},$

(4)

$n_{0}^{2}{{\alpha }_{0}}{{\partial }_{\nu }}{{\varphi }_{0}} = n_{j}^{2}{{\alpha }_{j}}{{\partial }_{\nu }}{{\varphi }_{j}},\quad {{h}_{j}}({{\varphi }_{j}} - {{\varphi }_{0}}) = {{\alpha }_{0}}{{\partial }_{\nu }}{{\varphi }_{0}}.$

Здесь $\{ {{a}_{j}},{{\alpha }_{j}},{{n}_{j}}\} = {{\left. {\{ a,\alpha ,n\} } \right|}_{{{{\Omega }_{j}}}}}$, ${{h}_{j}} > 0$ – параметры, зависящие от коэффициентов отражения на внутренних границах (см. [32]).

Далее через ${{L}^{s}}$, $1 \leqslant s \leqslant \infty $, обозначаем пространства Лебега, через ${{H}^{s}} = W_{2}^{s}$ – пространства Соболева. Пусть $H = {{L}^{2}}(\Omega )$, $V = {{H}^{1}}(\Omega )$ и

$W = \{ w \in H:{{w}_{j}} = {{\left. w \right|}_{{{{\Omega }_{j}}}}} \in {{H}^{1}}({{\Omega }_{j}}),\;j = 0,1,...,m\} \subset {{L}^{6}}(\Omega ).$

Пространство $H$ отождествляем с сопряженным пространством $H{\kern 1pt} '$, $V \subset W \subset H = H{\kern 1pt} ' \subset $ $ \subset W{\kern 1pt} ' \subset V{\kern 1pt} '.$ Здесь $W{\kern 1pt} ',\;V{\kern 1pt} '$ – пространства, сопряженные с $W$ и $V$ соответственно. Через $(f,v)$ обозначаем значение функционала $f \in V{\kern 1pt} '$ на элементе $v \in V$ и скалярное произведение в $H$, если $f,v \in H.$ Для норм и скалярных произведений используем обозначения

${{\left\| v \right\|}^{2}} = (v,v),\quad {{(v,w)}_{j}} = (v,w{{)}_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{j}})}}},\quad \left\| v \right\|_{j}^{2} = (v,v{{)}_{j}},\quad {{(v,w)}_{W}} = \sum\limits_{j = 0}^m \,{{(v,w)}_{{{{H}^{1}}({{\Omega }_{j}})}}}.$

Пусть исходные данные удовлетворяют следующим условиям:

(i) $c,\gamma \in {{L}^{\infty }}(\Gamma )$, $c \geqslant {{c}_{0}} > 0$, $\gamma \geqslant {{\gamma }_{0}} > 0$, ${{c}_{0}},{{\gamma }_{0}} = {\text{const}}$;

(ii) ${{\left. {\{ a,b,\alpha ,\beta ,n\} } \right|}_{{{{\Omega }_{j}}}}} = \{ {{a}_{j}},{{b}_{j}},{{\alpha }_{j}},{{\beta }_{j}},{{n}_{j}}\} ,$ $b = \sigma \beta {{n}^{2}},$ $\sigma = {\text{Const}} > 0$;

(iii) $0 \leqslant {{\theta }_{b}} \in {{L}^{\infty }}(\Gamma );$ $f \in H,$ $g: = \sigma {{n}^{2}}{{g}_{0}} \in H.$

Согласно [33], [34], введем следующие операторы и функционалы ${{A}_{1}}:V \to V{\kern 1pt} '$, ${{A}_{2}}:W \to W{\kern 1pt} '$, ${{f}_{b}} \in V{\kern 1pt} '$, ${{g}_{b}} \in W{\kern 1pt} '$, используя равенства

$({{A}_{1}}\theta ,\eta ) = (a\nabla \theta ,\nabla \eta ) + \int\limits_\Gamma \,c\theta \eta d\Gamma ,$

$({{A}_{2}}\varphi ,w) = \sigma \sum\limits_{j = 0}^m \,{{\alpha }_{j}}n_{j}^{2}{{(\nabla \varphi ,\nabla w)}_{j}} + \sigma n_{0}^{2}\int\limits_\Gamma \,\gamma \varphi wd\Gamma + \sigma n_{0}^{2}{\kern 1pt} \sum\limits_{j = 1}^m \,{{h}_{j}}\int\limits_{{{\Gamma }_{j}}} ({{\varphi }_{0}} - {{\varphi }_{j}})({{w}_{0}} - {{w}_{j}})d\Gamma ,$

$({{f}_{b}},\eta ) = \int\limits_\Gamma \,c{{\theta }_{b}}\eta d\Gamma ,\quad ({{g}_{b}},w) = \sigma n_{0}^{2}{\kern 1pt} \int\limits_\Gamma \,\gamma \theta _{b}^{4}wd\Gamma ,$

которые справедливы для всех $\theta ,\eta \in V$ и $\varphi ,w \in W$. Здесь $\{ {{\varphi }_{j}},{{w}_{j}}\} = {{\left. {\{ \varphi ,w\} } \right|}_{{{{\Omega }_{j}}}}}.$

Билинейная форма $({{A}_{1}}u,v)$ определяет норму, эквивалентную стандартной норме пространства $V$, и поэтому полагаем $\left\| v \right\|_{V}^{2} = ({{A}_{1}}v,v).$ Справедливы следующие неравенства о непрерывности вложений $V \subset {{L}^{s}}(\Omega )$, $W \subset {{L}^{s}}(\Omega )$, $1 \leqslant s \leqslant 6$:

${{\left\| v \right\|}_{{{{L}^{s}}(\Omega )}}} \leqslant {{K}_{1}}{{\left\| v \right\|}_{V}},\quad v \in V,\quad {{\left\| w \right\|}_{{{{L}^{s}}(\Omega )}}} \leqslant {{K}_{2}}{{\left\| w \right\|}_{W}},\quad w \in W,\quad 1 \leqslant s \leqslant 6.$

Через ${{[t]}^{q}} = {{\left| t \right|}^{q}}\operatorname{sign} t$, $q > 0$, $t \in \mathbb{R}$, обозначаем монотонную степенную функцию. Используя краевые условия (2) и условия сопряжения (3), (4) так же, как и в [33], получаем операторную формулировку краевой задачи.

Определение. Пара $\{ \theta ,\varphi \} \in V \times W$ называется слабым решением задачи (1)–(4), если

(5)

${{A}_{1}}\theta + b([\theta {{]}^{4}} - \varphi ) = {{f}_{b}} + f,\quad {{A}_{2}}\varphi + b(\varphi - {{[\theta ]}^{4}}) = {{g}_{b}} + g.$

В [33] доказано, что при выполнении условий (i)–(iii) задача (5) однозначно разрешима.

Для постановки задачи оптимального управления системой (5) рассмотрим пространство управлений $U = H \times H$, множество допустимых управлений ${{U}_{{ad}}}$, пространство состояний $Y = V \times W$ и целевой функционал $J:Y \times {{U}_{{ad}}} \to \mathbb{R}$, удовлетворяющие условиям

(j) ${{U}_{{ad}}} \subset U$ – непустое, выпуклое и замкнутое множество;

(jj) $J$ слабо полунепрерывен снизу;

(jjj) ${{U}_{{ad}}} \subset U$ ограничено или $\forall r > 0$ множество $\{ u \in {{U}_{{ad}}}:J(y,u) \leqslant r,y \in Y\} $ ограничено в $U$.

Определим оператор ограничений $F:Y \times U \to V{\kern 1pt} '\; \times W{\kern 1pt} '$, полагая для $y = \{ \theta ,\varphi \} ,u = \{ f,g\} $,

$F(y,u) = \{ {{A}_{1}}\theta + b([\theta {{]}^{4}} - \varphi ) - {{f}_{b}} - f,{{A}_{2}}\varphi + b(\varphi - {{[\theta ]}^{4}}) - {{g}_{b}} - g\} .$

Задача (OC). Найти $\hat {y} = \{ \hat {\theta },\hat {\varphi }\} \in Y$, $\hat {u} = \{ \hat {f},\hat {g}\} \in {{U}_{{ad}}}$ такие, что $F(\hat {y},\hat {u}) = 0,$

(6)

$J(\hat {y},\hat {u}) = \inf \left\{ {J(y,u):u \in {{U}_{{ad}}},\;F(y,u) = 0} \right\}.$

Типичным примером задачи оптимального управления, которая возникает при моделировании процессов лазерной абляции (см. [4]–[6]), является задача нахождения интенсивностей тепловых источников и источников излучения, локализованных в ${{\Omega }_{1}}$ при условиях

$J = \int\limits_{{{\Omega }_{2}}} \,{{(\theta - {{\theta }_{d}})}^{2}}dx \to \inf ,\quad F(y,u) = 0,\quad u \in {{U}_{{ad}}},$

${{U}_{{ad}}} = \{ u = \{ f,g\} \in U,\;f \geqslant 0,\;g \geqslant 0,\;f + g \leqslant P,\;\operatorname{supp} f \subset {{\Omega }_{1}},\;\operatorname{supp} g \subset {{\Omega }_{1}}\} .$

Здесь ${{\theta }_{d}}$ – требуемое распределение температуры в подобласти ${{\Omega }_{2}}$, $P$ – ограничение на мощность источников.

3. РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Теорема 1. Пусть выполняются условия (i)–(iii), (j)–(jjj). Тогда существует решение задачи (OC).

Доказательство. Рассмотрим последовательность $\{ {{y}_{j}},{{u}_{j}}\} \in Y \times {{U}_{{ad}}}$:

$J({{y}_{j}},{{u}_{j}}) \to \hat {J} = \inf \left\{ {J(y,u):u \in {{U}_{{ad}}},\;F(y,u) = 0} \right\},$

где ${{y}_{j}} = \{ {{\theta }_{j}},{{\varphi }_{j}}\} ,$ ${{u}_{j}} = \{ {{f}_{j}},{{g}_{j}}\} $ и при этом

(7)

${{A}_{1}}{{\theta }_{j}} + b([{{\theta }_{j}}{{]}^{4}} - {{\varphi }_{j}}) = {{f}_{b}} + {{f}_{j}},\quad {{A}_{2}}{{\varphi }_{j}} + b({{\varphi }_{j}} - {{[{{\theta }_{j}}]}^{4}}) = {{g}_{b}} + {{g}_{j}}.$

Из условия (jjj) следует, что $\{ {{u}_{j}}\} $ ограничена в $U$ и поэтому, в силу оценок решения задачи (7), полученных в [33], заключаем, что последовательность $\{ {{y}_{j}}\} $ ограничена в $V \times W.$ Переходя при необходимости к подпоследовательностям, получаем сходимости

(8)

${{f}_{j}} \to \hat {f},\quad {{g}_{j}} \to \hat {g}\;\;{\text{слабо}}\;{\text{в}}\;\;H,\quad {{\theta }_{j}} \to \hat {\theta }\;\;{\text{слабо}}\;{\text{в}}\;\;V,\quad {\text{сильно}}\;{\text{в}}\;\;{{L}^{3}}(\Omega ),$

(9)

${{\varphi }_{j}} \to \hat {\varphi }\;\;{\text{слабо}}\;{\text{в}}\;\;W,\quad {{\left. {{{\varphi }_{j}}} \right|}_{{{{\Gamma }_{k}}}}} \to {{\left. {\hat {\varphi }} \right|}_{{{{\Gamma }_{k}}}}}\;\;{\text{сильно}}\;{\text{в}}\;\;{{L}^{2}}({{\Gamma }_{k}}),\quad k = 0,1, \ldots ,m.$

Результатов о сходимости (8), (9) достаточно для предельного перехода в (7), причем переход в нелинейных членах гарантируется оценкой

${\text{|}}(b([{{\theta }_{j}}{{]}^{4}} - {{[\hat {\theta }]}^{4}}),v){\text{|}} \leqslant 2\max b\left( {\left\| {{{\theta }_{j}}} \right\|_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}^{3} + \left\| {\hat {\theta }} \right\|_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}^{3}} \right){{\left\| v \right\|}_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}}{{\left\| {{{\theta }_{j}} - \hat {\theta }} \right\|}_{{{{L}^{3}}(\Omega )}}}\quad \forall v \in {{L}^{6}}(\Omega ).$

Следовательно, ${{A}_{1}}\hat {\theta } + b([\hat {\theta }{{]}^{4}} - \hat {\varphi }) = {{f}_{b}} + \hat {f},{{A}_{2}}\hat {\varphi } + b(\hat {\varphi } - {{[\hat {\theta }]}^{4}}) = {{g}_{b}} + \hat {g}$, т.е. $F(\hat {y},\hat {u}) = 0.$ В силу условий (j),(jj) $\hat {u} \in {{U}_{{ad}}}$ и

$\hat {J} \leqslant J(\hat {y},\hat {u}) \leqslant \underline {lim} \,J({{y}_{j}},{{u}_{j}}) = \hat {J}.$

Поэтому $\hat {y},\hat {u}$ – решение задачи (OC).

4. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Для получения системы оптимальности будем использовать принцип Лагранжа для гладко-выпуклых экстремальных задач (см. [35], [36]). Невырожденность условий оптимальности следует из того, что образ производной оператора ограничений $\operatorname{Im} F_{y}^{'}(\hat {y},\hat {u})$, где $\hat {y},\;\hat {u}$ – решение задачи (OC), совпадает с пространством $V{\kern 1pt} '\; \times W{\kern 1pt} '.$

Напомним, что

$F(y,u) = \{ {{A}_{1}}\theta + b([\theta {{]}^{4}} - \varphi ) - {{f}_{b}} - f,{{A}_{2}}\varphi + b(\varphi - {{[\theta ]}^{4}}) - {{g}_{b}} - g\} .$

Лемма 1. Пусть выполняются условия (i)–(iii). Для любой пары $y \in Y,\;u \in U$ справедливо равенство

$\operatorname{Im} F_{y}^{'}(y,u) = V{\kern 1pt} '\; \times W{\kern 1pt} '.$

Доказательство. Пусть $y = \{ \theta ,\varphi \} $. Для доказательства леммы достаточно проверить, что линейная система

(10)

${{A}_{1}}\xi + b(4{\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\xi - \zeta ) = {{\eta }_{1}},\quad {{A}_{2}}\zeta + b(\zeta - 4{\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\xi ) = {{\eta }_{2}}$

разрешима для всех ${{\eta }_{1}} \in V{\kern 1pt} ',\;{{\eta }_{2}} \in W{\kern 1pt} '.$

Билинейная форма $\{ \varphi ,\psi \} \to ({{A}_{2}}\varphi + b\varphi ,\psi )$ является непрерывной, симметричной и положительно-определенной в пространстве $W.$ Поэтому из леммы Лакса–Мильграма следует, что для каждого $\eta \in W{\kern 1pt} '$ существует единственное решение $\varphi \in W$ уравнения ${{A}_{2}}\varphi + b\varphi = \eta $ и оператор ${{({{A}_{2}} + bI)}^{{ - 1}}}:W{\kern 1pt} ' \to W$ непрерывен. Тогда из второго уравнения в (10) следует $\zeta = ({{A}_{2}} + bI{{)}^{{ - 1}}}(4b{\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\xi + {{\eta }_{2}}).$ Кроме того, ${{A}_{1}}\xi + {{A}_{2}}\zeta = {{\eta }_{1}} + {{\eta }_{2}}.$ Следовательно, задача (10) эквивалентна системе

(11)

$\xi + B\xi = {{\eta }_{3}},\quad \zeta = ({{A}_{2}} + bI{{)}^{{ - 1}}}(4b{\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\xi + {{\eta }_{2}}).$

Здесь $B\xi = A_{1}^{{ - 1}}{{A}_{2}}{{({{A}_{2}} + bI)}^{{ - 1}}}(4b{\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\xi )$, ${{\eta }_{3}} = A_{1}^{{ - 1}}({{\eta }_{1}} + {{\eta }_{2}} - {{A}_{2}}{{({{A}_{2}} + bI)}^{{ - 1}}}{{\eta }_{2}}) \in V$.

В силу лемм 3, 4, доказанных в конце статьи, оператор $B:V \to V$ является компактным, и ядро фредгольмовского оператора $I + B$ нулевое. Поэтому первое уравнение в (11) однозначно разрешимо для любой правой части, что означает разрешимость задачи (10) и справедливость утверждения данной леммы.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (i)–(iii), $\{ \hat {y},\hat {u}\} $ – решение задачи (OC) и при этом $\forall u \in {{U}_{{ad}}}$ отображение $y \to J(y,u)$ непрерывно дифференцируемо в окрестности $\hat {y}$, $\forall y$ в окрестности $\hat {y}$ функция $u \to J(y,u)$ выпукла, $J$ дифференцируема по Гато по $u$ в точке $\{ \hat {y},\hat {u}\} $. Тогда существует сопряженное состояние $p = \{ {{p}_{1}},{{p}_{2}}\} \in Y$, удовлетворяющее системе уравнений

(12)

${{A}_{1}}{{p}_{1}} + 4b{\kern 1pt} {\text{|}}\hat {\theta }{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}({{p}_{1}} - {{p}_{2}}) = - J_{\theta }^{'}(\hat {y},\hat {u}),\quad {{A}_{2}}{{p}_{2}} + b({{p}_{2}} - {{p}_{1}}) = - J_{\varphi }^{'}(\hat {y},\hat {u})$

такое, что $\forall u = \{ v,w\} \in {{U}_{{ad}}}$

(13)

$(J_{f}^{'}(\hat {y},\hat {u}) - {{p}_{1}},{v} - \hat {f}) \geqslant 0,\quad (J_{g}^{'}(\hat {y},\hat {u}) - {{p}_{2}},w - \hat {g}) \geqslant 0.$

Здесь $\hat {y} = \{ \hat {\theta },\hat {\varphi }\} $ – оптимальное состояние, $\hat {u} = \{ \hat {f},\hat {g}\} $ – оптимальное управление.

Доказательство. Утверждение теоремы следует из [35, гл. 2, теорема 1.5]. В силу леммы 1 функция Лагранжа задачи (OC) определяется равенством

$L(y,u,p) = J(y,u) + ({{A}_{1}}\theta + b([\theta {{]}^{4}} - \varphi ) - {{f}_{b}} - f,{{p}_{1}}) + ({{A}_{2}}\varphi + b(\varphi - {{[\theta ]}^{4}}) - {{g}_{b}} - g,{{p}_{2}}),$

где $y = \{ \theta ,\varphi \} \in Y$, $u = \{ f,g\} \in U$, $p = \{ {{p}_{1}},{{p}_{2}}\} \in Y.$ В соответствии с принципом Лагранжа равенства $L_{\theta }^{'}(\hat {y},\hat {u},p) = 0,$ $L_{\varphi }^{'}(\hat {y},\hat {u},p) = 0$ дают сопряженную систему (12), а вариационное неравенство ${{(L_{u}^{'}(\hat {y},\hat {u},p),u - \hat {u})}_{U}} \geqslant 0$ $\forall u \in {{U}_{{ad}}}$ влечет условия (13).

5. ПРИЛОЖЕНИЕ УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ. РЕЛЕЙНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

Рассмотрим процесс радиационного теплообмена в области $\Omega $ с одним включением ${{\bar {\Omega }}_{1}} \subset \Omega $. В качестве примера задачи (OC) изучим следующую задачу оптимального управления:

(14)

$\frac{1}{2}\int\limits_\Gamma {{(\theta - {{\theta }_{d}})}^{2}}d\Gamma \to \inf ,$

(15)

${{A}_{1}}\theta + b([\theta {{]}^{4}} - \varphi ) = {{f}_{b}} + f,\quad {{A}_{2}}\varphi + b(\varphi - {{[\theta ]}^{4}}) = {{g}_{b}},$

(16)

$f \in \{ v \in H:\operatorname{supp} {v} \subset {{\bar {\Omega }}_{1}},\;0 \leqslant {{f}_{1}}(x) \leqslant v(x) \leqslant {{f}_{2}}(x),\;x \in {{\Omega }_{1}}\} .$

Здесь ${{\theta }_{d}} \in {{L}^{2}}(\Gamma )$, ${{f}_{1}},{{f}_{2}} \in {{L}^{2}}({{\Omega }_{1}})$ – заданные функции.

Согласно теоремам 1, 2, справедливa

Теорема 3. Пусть выполняются условия (i)–(iii). Тогда существует решение $\{ \hat {\theta },\hat {\varphi },\hat {f}\} $ задачи (14)–(16) и соответствующее сопряженное состояние $\{ {{p}_{1}},{{p}_{2}}\} $ такие, что

(17)

${{A}_{1}}\hat {\theta } + b([\hat {\theta }{{]}^{4}} - \hat {\varphi }) = {{f}_{b}} + \hat {f},\quad {{A}_{2}}\hat {\varphi } + b(\hat {\varphi } - {{[\hat {\theta }]}^{4}}) = {{g}_{b}},$

(18)

${{A}_{1}}{{p}_{1}} + 4b{\kern 1pt} {\text{|}}\hat {\theta }{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}({{p}_{1}} - {{p}_{2}}) = {{g}_{d}},\quad {{A}_{2}}{{p}_{2}} + b({{p}_{2}} - {{p}_{1}}) = 0,$

(19)

$\int\limits_{{{\Omega }_{1}}} \,{{p}_{1}}({v} - \hat {f})dx \leqslant 0\quad \forall {v} \in {{L}^{2}}({{\Omega }_{1}}),\quad 0 \leqslant {{f}_{1}} \leqslant {v} \leqslant {{f}_{2}}.$

Здесь ${{g}_{d}} \in V{\kern 1pt} '$ задается выражением $({{g}_{d}},\eta ) = - \int_\Gamma ^{} {(\hat {\theta } - {{\theta }_{d}})\eta d\Gamma } $ $\forall \eta \in V.$

Система оптимальности (17)–(19) позволяет обосновать релейность оптимального управления (принцип bang-bang), используя следующий результат.

Лемма 2. Пусть выполняются условия (i)–(iii), тройка $\{ \hat {\theta },\hat {\varphi },\hat {f}\} $ – решение задачи (14)–(16), $\{ {{p}_{1}},{{p}_{2}}\} $ – сопряженное состояние и при этом ${{\theta }_{b}} \geqslant \mu = {\text{Const}} > 0$. Тогда либо ${{p}_{1}}(x) \ne 0$ почти всюду на ${{\Omega }_{1}}$, либо ${{p}_{1}} = {{p}_{2}} = 0$ в $\Omega .$

Доказательство. Отметим сразу, и это важно для дальнейшего, что в силу леммы 5, доказанной в разд. 6, $\hat {\theta } \geqslant \mu > 0$ в $\Omega .$ Из уравнений (18) следует, что почти всюду в ${{\Omega }_{1}}$ справедливы равенства

(20)

$ - {{a}_{1}}\Delta {{p}_{1}} + 4{{b}_{1}}{{\hat {\theta }}^{3}}({{p}_{1}} - {{p}_{2}}) = 0,\quad - {\kern 1pt} \sigma {{\alpha }_{1}}n_{1}^{2}\Delta {{p}_{2}} + {{b}_{1}}({{p}_{2}} - {{p}_{1}}) = 0.$

Поэтому $\Delta {{p}_{{1,2}}} \in {{L}^{2}}({{\Omega }_{1}})$ и, как следует из (20),

$ - \sigma {{\alpha }_{1}}n_{1}^{2}{{\Delta }^{2}}{{p}_{2}} + {{b}_{1}}(\Delta {{p}_{2}} - \Delta {{p}_{1}}),\quad \Delta {{p}_{1}} = - \frac{{4\sigma {{\alpha }_{1}}n_{1}^{2}{{{\hat {\theta }}}^{3}}}}{{{{a}_{1}}}}\Delta {{p}_{2}}.$

Таким образом, функция $\xi = \Delta {{p}_{2}}$ удовлетворяет в ${{\Omega }_{1}}$ уравнению

(21)

$ - \sigma {{\alpha }_{1}}n_{1}^{2}\Delta \xi + {{b}_{1}}(1 + 4\sigma {{\alpha }_{1}}n_{1}^{2}{{\hat {\theta }}^{3}}{\text{/}}{{a}_{1}})\xi = 0.$

Если на некоторой подобласти $D \subset {{\Omega }_{1}}$ положительной меры ${{p}_{1}} = 0$, то ${{\left. {\Delta {{p}_{1}}} \right|}_{D}} = 0.$ Тогда из первого уравнения (20) в силу положительности $\hat {\theta }$ следует, что ${{\left. {{{p}_{2}}} \right|}_{D}} = 0$, ${{\left. \xi \right|}_{D}} = {{\left. {\Delta {{p}_{2}}} \right|}_{D}} = 0.$ Из (20), используя свойство единственности продолжения для эллиптических уравнений (см. [37]), заключаем, что $\xi = \Delta {{p}_{2}} = 0$ в ${{\Omega }_{1}}$. Поэтому ${{\left. {{{p}_{2}}} \right|}_{{{{\Omega }_{1}}}}} = 0$, а значит, и ${{\left. {{{p}_{1}}} \right|}_{{{{\Omega }_{1}}}}} = 0.$

Покажем, что ${{\left. {{{{({{p}_{2}})}}_{0}}} \right|}_{{{{\Gamma }_{1}}}}} = 0$, т.е. след ${{\left. {{{p}_{2}}} \right|}_{{{{\Omega }_{0}}}}}$ на ${{\Gamma }_{1}}$ равен нулю. С учетом того, что ${{\left. {{{p}_{2}}} \right|}_{{{{\Omega }_{1}}}}} = 0$, это будет означать, что ${{p}_{2}} \in V = {{H}^{1}}(\Omega ).$ Действительно, умножим скалярно второе уравнение (18) на $w \in W$, ${{\left. w \right|}_{{{{\Omega }_{0}}}}} = 0$. Поскольку ${{\left. {{{p}_{1}}} \right|}_{{{{\Omega }_{1}}}}} = {{\left. {{{p}_{2}}} \right|}_{{{{\Omega }_{1}}}}} = 0$, получаем

$\int\limits_{{{\Gamma }_{1}}} \,{{({{p}_{2}})}_{0}}{{w}_{1}}d\Gamma = 0.$

Следовательно, ${{\left. {{{{({{p}_{2}})}}_{0}}} \right|}_{{{{\Gamma }_{1}}}}} = 0$ и ${{p}_{2}} \in {{H}^{1}}(\Omega ).$ Из уравнений (18) теперь следует, что почти всюду в $\Omega $ справедливы равенства

(22)

$ - {{a}_{0}}\Delta {{p}_{1}} + 4{{b}_{0}}{{\hat {\theta }}^{3}}({{p}_{1}} - {{p}_{2}}) = 0,\quad - {\kern 1pt} \sigma {{\alpha }_{0}}n_{0}^{2}\Delta {{p}_{2}} + {{b}_{0}}({{p}_{2}} - {{p}_{1}}) = 0$

и, что важно, ${{\left. {{{p}_{1}}} \right|}_{{{{\Omega }_{1}}}}} = {{\left. {{{p}_{2}}} \right|}_{{{{\Omega }_{1}}}}} = 0$. Повторяя рассуждения первой части доказательства, заключаем, что ${{p}_{1}} = {{p}_{2}} = 0$ в $\Omega .$

Заметим, что если ${{p}_{1}} \equiv 0$, то можно найти такое управление $\hat {f}$, что $\hat {\theta } - {{\theta }_{d}} = 0$ на внешней границе $\Gamma .$

Теорема 4. Пусть выполняются условия (i)–(iii) и при этом ${{\theta }_{b}} \geqslant \mu = {\text{Const}} > 0$. Если точная нижняя грань целевого функционала в задаче (14)–(16) положительна, то ${{p}_{1}} \ne 0$ почти всюду в ${{\Omega }_{1}}$ и оптимальное управление является релейным:

$\hat {f}(x) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{f}_{1}}(x),}&{\;\;если\;\;{{p}_{1}}(x) < 0,} \\ {{{f}_{2}}(x),}&{\;\;если\;\;{{p}_{1}}(x) > 0.} \end{array}} \right.$

Доказательство. Если ${{p}_{1}} = {{p}_{2}} = 0$ в $\Omega $, то, как следует из первого уравнения (18), справедливо равенство $\hat {\theta } = {{\theta }_{d}}$ на внешней границе $\Gamma $, которое противоречит положительности минимального значения целевого функционала. Следовательно, в силу леммы 2, ${{p}_{1}} \ne 0$ почти всюду в ${{\Omega }_{1}}$.

Из вариационного неравенства (19) вытекает, что

${{p}_{1}}(x)(s - \hat {f}(x)) \leqslant 0\quad \forall s \in [{{f}_{1}}(x),{{f}_{2}}(x)]\quad {\text{для почти всех}}\quad x \in {{\Omega }_{1}}.$

Из полученного неравенства следует утверждение теоремы.

6. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ

Лемма 3. Пусть выполняются условия (i)–(iii). Для любой функции $\theta \in V$ оператор $B:V \to V$, определяемый равенством

$B\xi = A_{1}^{{ - 1}}{{A}_{2}}{{({{A}_{2}} + bI)}^{{ - 1}}}(4b{\kern 1pt} |{\kern 1pt} \theta {\kern 1pt} {{|}^{3}}{\kern 1pt} \xi ),$

является компактным.

Доказательство. Для $\xi ,\eta \in V$ справедливо равенство

(23)

${{(B\xi ,\eta )}_{V}} = ({{A}_{2}}{{({{A}_{2}} + bI)}^{{ - 1}}}(4b{\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\xi ),\eta ) = (4b{\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\xi ,\eta ) - (bw,\eta ),$

где $w = ({{A}_{2}} + bI{{)}^{{ - 1}}}(4b{\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\xi ).$

Оценим функцию $w \in W.$ Уравнение $({{A}_{2}} + bI)w = 4b{\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\xi $ умножим скалярно на $w$ и оценим левую и правую части снизу и сверху соответственно:

$\nu \left\| w \right\|_{W}^{2} \leqslant (({{A}_{2}} + bI)w,w) = 4(b{\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\xi ,w) \leqslant 4\max b\left\| \theta \right\|_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}^{3}{{\left\| \xi \right\|}_{{{{L}^{4}}(\Omega )}}}{{\left\| w \right\|}_{{{{L}^{4}}(\Omega )}}}.$

Здесь $\nu = \min \{ \alpha \sigma {{n}^{2}},b\} .$ С учетом непрерывности вложения $W \subset {{L}^{s}}(\Omega )$, $1 \leqslant s \leqslant 6$, получаем

$\left\| w \right\| \leqslant {{K}_{2}}{{\left\| w \right\|}_{W}} \leqslant \frac{4}{\nu }K_{2}^{2}\max b\left\| \theta \right\|_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}^{3}{{\left\| \xi \right\|}_{{{{L}^{4}}(\Omega )}}}.$

Тогда из (23) следует, что

${{(B\xi ,\eta )}_{V}} \leqslant 4\max b\left\| \theta \right\|_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}^{3}{{\left\| \xi \right\|}_{{{{L}^{4}}(\Omega )}}}{{\left\| \eta \right\|}_{{{{L}^{4}}(\Omega )}}} + \max b\left\| w \right\|\left\| \eta \right\| \leqslant C{{\left\| \xi \right\|}_{{{{L}^{4}}(\Omega )}}}{{\left\| \eta \right\|}_{V}}.$

Здесь $C = 4{{K}_{1}}\max b\left\| \theta \right\|_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}^{3}(1 + K_{2}^{2}\max b{\text{/}}\nu ).$

Полагая в последнем неравенстве $\eta = B\xi $, получаем оценку ${{\left\| {B\xi } \right\|}_{V}} \leqslant C{{\left\| \xi \right\|}_{{{{L}^{4}}(\Omega )}}}$, из которой, в силу компактности вложения $V \subset {{L}^{4}}(\Omega )$, следует компактность оператора $B.$

Лемма 4. $\ker (I + B) = \{ 0\} $.

Доказательство. Пусть $\xi \in \ker (I + B)$, $\zeta = ({{A}_{2}} + bI{{)}^{{ - 1}}}(z\xi )$, где $0 \leqslant z = 4b{\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}} \in {{L}^{2}}(\Omega ).$ Тогда справедливы равенства

(24)

${{A}_{1}}\xi + z\xi - b\zeta = 0,\quad {{A}_{2}}\zeta + b\zeta - z\xi = 0.$

Определим регуляризацию функции ${\text{sign}}$: ${{\mu }_{\delta }}(s) = s{\text{/|}}s{\kern 1pt} {\text{|}}$, если ${\text{|}}s{\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant \delta $; ${{\mu }_{\delta }}(s) = s{\text{/}}\delta $, если ${\text{|}}s{\kern 1pt} {\text{|}} < \delta $. Умножим скалярно первое уравнение в (24) на ${{\mu }_{\delta }}(\xi )$, второе на ${{\mu }_{\delta }}(\zeta )$ и сложим полученные равенства:

$\begin{gathered} (a\nabla \xi ,\mu _{\delta }^{'}(\xi )\nabla \xi ) + \int\limits_\Gamma \,c\xi {{\mu }_{\delta }}(\xi )d\Gamma + \sigma \sum\limits_{j = 0}^m \,{{\alpha }_{j}}n_{j}^{2}{{(\nabla \zeta ,\mu _{\delta }^{'}(\zeta )\nabla \zeta )}_{j}} + \sigma n_{0}^{2}\int\limits_\Gamma \,\gamma \zeta {{\mu }_{\delta }}(\zeta )d\Gamma + \\ \, + \sigma n_{0}^{2}\sum\limits_{j = 1}^m \,{{h}_{j}}\int\limits_{{{\Gamma }_{j}}} \,({{\zeta }_{0}} - {{\zeta }_{j}})({{\mu }_{\delta }}({{\zeta }_{0}}) - {{\mu }_{\delta }}({{\zeta }_{j}}))d\Gamma + (z\xi - b\zeta ,{{\mu }_{\delta }}(\xi ) - {{\mu }_{\delta }}(\zeta )) = 0. \\ \end{gathered} $

Заметим, что функция ${{\mu }_{\delta }}$ неубывающая: $\mu _{\delta }^{'}(s) \geqslant 0,\;s \in \mathbb{R}$, и поэтому, отбросив неотрицательные слагаемые, получаем неравенство

$\int\limits_\Gamma \,c\xi {{\mu }_{\delta }}(\xi )d\Gamma + \sigma n_{0}^{2}\int\limits_\Gamma \,\gamma \zeta {{\mu }_{\delta }}(\zeta )d\Gamma + (z\xi - b\zeta ,{{\mu }_{\delta }}(\xi ) - {{\mu }_{\delta }}(\zeta )) \leqslant 0.$

В пределе при $\delta \to + 0$ получаем

$\int\limits_\Gamma \,{{c}_{1}}{\text{|}}\xi {\text{|}}d\Gamma + \sigma n_{0}^{2}\int\limits_\Gamma \,\gamma {\kern 1pt} {\text{|}}\zeta {\kern 1pt} {\text{|}}d\Gamma + (z\xi - b\zeta ,\operatorname{sign} \xi - \operatorname{sign} \zeta ) \leqslant 0.$

Заметим, что последнее слагаемое здесь неотрицательно, поскольку $z \geqslant 0$ и

$(z\xi - b\zeta )(\operatorname{sign} \xi - \operatorname{sign} \zeta ) = \;z{\kern 1pt} ({\kern 1pt} {\text{|}}\xi {\kern 1pt} {\text{|}} - \xi \operatorname{sign} \zeta ) + b({\kern 1pt} {\text{|}}\zeta {\kern 1pt} {\text{|}} - \zeta \operatorname{sign} \xi ) \geqslant 0.$

Поэтому ${{\left. \xi \right|}_{\Gamma }} = {{\left. \zeta \right|}_{\Gamma }} = 0.$ Далее, умножим скалярно уравнения в (24) на $\psi \in V$ и сложим равенства, учитывая полученные граничные значения на $\Gamma $, а также, что ${{\psi }_{0}} = {{\psi }_{j}}$ на ${{\Gamma }_{j}}$, $j = 1,2, \ldots ,m$. Тогда

(25)

$(a\nabla \xi ,\nabla \psi ) + \sigma \sum\limits_{j = 0}^m \,{{\alpha }_{j}}n_{j}^{2}{{(\nabla \zeta ,\nabla \psi )}_{j}} = 0.$

Рассмотрим открытый шар $\mathcal{B}$, $\bar {\Omega } \subset \mathcal{B}$. В области $D = \mathcal{B}{{\backslash }}(\Omega {{\backslash }}{{\Omega }_{0}})$ определим функцию $\eta $ так, что ${{\left. \eta \right|}_{{{{\Omega }_{0}}}}} = {{a}_{0}}\xi + \sigma {{\alpha }_{0}}n_{0}^{2}\zeta $, ${{\left. \eta \right|}_{{\mathcal{B}\backslash {{{\bar {\Omega }}}_{0}}}}} = 0.$ Заметим, что $\eta \in {{H}^{1}}(D)$, поскольку ${{\left. \xi \right|}_{\Gamma }} = {{\left. \zeta \right|}_{\Gamma }} = 0.$ Поэтому в силу (25)

$\int\limits_D \,\nabla \eta \nabla \psi dx = \int\limits_{{{\Omega }_{0}}} \,\nabla \eta \nabla \psi dx = 0\quad \forall \psi \in C_{0}^{\infty }(D).$

Следовательно, $\eta = 0$ в $D$ как гармоническая функция, равная нулю на части области, и поэтому

(26)

${{a}_{0}}\xi + \sigma {{\alpha }_{0}}n_{0}^{2}{{\left. \zeta \right|}_{{{{\Omega }_{0}}}}} = 0.$

Определим $\tilde {\xi } \in {{H}^{1}}(D)$ так, что $\tilde {\xi } = \xi $ в ${{\Omega }_{0}}$, $\tilde {\xi } = 0$ в $D{{\backslash }}{{\bar {\Omega }}_{0}}$, и функцию $z$ продолжим нулем вне $\Omega $. Используя первое уравнение в (24) и равенство (26), выводим

$\int\limits_D \left( {\nabla \tilde {\xi }\nabla \psi + \left( {z + \frac{{{{a}_{0}}{{b}_{0}}}}{{{{\alpha }_{0}}\sigma n_{0}^{2}}}} \right)\tilde {\xi }\psi } \right)dx = 0\quad \forall \psi \in C_{0}^{\infty }(D).$

Так как функция $\tilde {\xi }$ равна нулю на подобласти в $D$, то в силу свойства единственности продолжения для эллиптических уравнений (см. [37]) заключаем, что $\xi = 0$ в ${{\Omega }_{0}}$ и соответственно $\zeta = 0$ в ${{\Omega }_{0}}.$

Далее, умножим скалярно второе уравнение в (24) на функцию $\psi \in W$ такую, что ${{\left. \psi \right|}_{{{{\Omega }_{j}}}}} = 0$, $j = 1,2, \ldots ,m$, учитывая полученные равенства $\xi ,{{\left. \zeta \right|}_{{{{\Omega }_{0}}}}} = 0.$ Тогда получим

$\sum\limits_{j = 1}^m \,{{h}_{j}}\int\limits_{{{\Gamma }_{j}}} \,{{\zeta }_{j}}{{\psi }_{0}}d\Gamma = 0.$

Следовательно, ${{\left. {{{\zeta }_{j}}} \right|}_{{{{\Gamma }_{j}}}}} = 0$, $j = 1,2, \ldots ,m$, и поэтому $\zeta \in {{H}^{1}}(\Omega ).$ Из (25) вытекает, что функция ${{a}_{j}}\xi + \sigma {{\alpha }_{j}}n_{j}^{2}\zeta $ является гармонической в ${{\Omega }_{j}}$, $j = 1,2, \ldots ,m$, и при этом равна нулю на ${{\Gamma }_{j}},$ т.е. ${{a}_{j}}\xi + \sigma {{\alpha }_{j}}n_{j}^{2}\zeta = 0.$ Таким образом, почти всюду в $\Omega $ справедливо равенство $a\xi + \sigma \alpha {{n}^{2}}\zeta = 0.$ Поэтому из первого уравнения в (24) следует, что

$\left( {{{A}_{1}}\xi + \left( {z + \frac{{ab}}{{\sigma \alpha {{n}^{2}}}}} \right)\xi ,\xi } \right) = 0.$

Это означает, что функция $\xi $ равна нулю в $\Omega $, что доказывает утверждение леммы.

Лемма 5. Пусть выполняются условия (i)–(iii) и при этом

${{\theta }_{b}} \geqslant \mu = {\text{Const}} > 0,\quad f \geqslant 0,\quad g = 0.$

Если $\{ \theta ,\varphi \} \in V \times W$ – слабое решение задачи (1)–(4), то $\theta \geqslant \mu $ почти всюду в $\Omega .$

Доказательство. Пусть $0 < \varepsilon < \mu $. Определим неубывающую функцию ${{\mu }_{\varepsilon }}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, которая является аппроксимацией функции $\min \{ t - \mu ,0\} ,\;t \in \mathbb{R}$:

${{\mu }_{\varepsilon }}(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{l}} {t + 2\varepsilon - \mu ,}&{\;{\text{если}}\;\;t < - \varepsilon ,} \\ {\varepsilon - \mu ,}&{\;{\text{если}}\;\;{\text{|}}t{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \varepsilon ,} \\ {t - \mu ,}&{\;{\text{если}}\;\;t \in (\varepsilon ,\mu ),} \\ {0,}&{\;{\text{если}}\;\;t \geqslant \mu .} \end{array}} \right.$

Умножим скалярно первое уравнение в (5) на ${{\mu }_{\varepsilon }}(\theta ) \in V$, второе на ${{\mu }_{\varepsilon }}([\varphi {{]}^{{1/4}}}) \in W$ и сложим полученные равенства. Тогда

(27)

$\begin{gathered} (a\nabla \theta ,\nabla {{\mu }_{\varepsilon }}(\theta )) + \int\limits_\Gamma \,c(\theta - {{\theta }_{d}}){{\mu }_{\varepsilon }}(\theta )d\Gamma + \sigma \sum\limits_{j = 0}^m \,{{\alpha }_{j}}n_{j}^{2}{{(\nabla \varphi ,\nabla {{\mu }_{\varepsilon }}([\varphi {{]}^{{1/4}}}))}_{j}} + \\ + \;\int\limits_\Gamma \,\gamma (\varphi - \theta _{b}^{4}){{\mu }_{\varepsilon }}([\varphi {{]}^{{1/4}}})d\Gamma + \sigma n_{0}^{2}\sum\limits_{j = 1}^m \,{{h}_{j}}\int\limits_{{{\Gamma }_{j}}} \,({{\varphi }_{0}} - {{\varphi }_{j}})({{\mu }_{\varepsilon }}([{{\varphi }_{0}}{{]}^{{1/4}}}) - {{\mu }_{\varepsilon }}([{{\varphi }_{j}}{{]}^{{1/4}}}))d\Gamma + \\ \, + (b([\theta {{]}^{4}} - \varphi ),{{\mu }_{\varepsilon }}(\theta ) - {{\mu }_{\varepsilon }}([\varphi {{]}^{{1/4}}})) = (f,{{\mu }_{\varepsilon }}(\theta )) \leqslant 0. \\ \end{gathered} $

В силу монотонности функции ${{\mu }_{\varepsilon }}$ справедливы неравенства

$(\theta - {{\theta }_{d}}){{\mu }_{\varepsilon }}(\theta ) \geqslant (\theta - \mu ){{\mu }_{\varepsilon }}(\theta ) \geqslant 0,\quad \nabla \varphi \cdot \nabla {{\mu }_{\varepsilon }}([\varphi {{]}^{{1/4}}}) \geqslant 0,$

$({{\varphi }_{0}} - {{\varphi }_{j}})({{\mu }_{\varepsilon }}([{{\varphi }_{0}}{{]}^{{1/4}}}) - {{\mu }_{\varepsilon }}([{{\varphi }_{j}}{{]}^{{1/4}}}) \geqslant 0,\quad ([\theta {{]}^{4}} - \varphi )({{\mu }_{\varepsilon }}(\theta ) - {{\mu }_{\varepsilon }}([\varphi {{]}^{{1/4}}}) \geqslant 0.$

Поэтому, отбросив в (27), в силу указанных неравенств, неотрицательные слагаемые, получим

(28)

$(a\nabla \theta ,\nabla {{\mu }_{\varepsilon }}(\theta )) + \int\limits_\Gamma \,c(\theta - \mu ){{\mu }_{\varepsilon }}(\theta )d\Gamma \leqslant 0.$

Переходя в (28) к пределу при $\varepsilon \to + 0$, заключаем

$(a\nabla \psi ,\nabla \psi ) + \int\limits_\Gamma \,c{{\psi }^{2}}d\Gamma \leqslant 0,\quad {\text{где}}\quad \psi = \min \{ \theta - \mu ,0\} .$

Следовательно, $\psi = 0$, что означает справедливость почти всюду неравенства $\theta \geqslant \mu .$

Список литературы

Modest M.F. Radiative heat transfer. New York: Acad. Press, 2003.
Thömmes G., Pinnau R., Sead M., Götz M., Klar A. Numerical methods and optimal control for glass cooling processes // Transport Theory and Statist. Phys. 2002. V. 31. № 4–6. P. 513–529.
Tse O., Pinnau R. Optimal control of a simplified natural convection-radiation model // Comm. Math. Sci. 2013. V. 11. № 3. P. 679–707.
Ковтанюк А.Е., Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Использование диффузионного приближения для моделирования радиационных и тепловых процессов в кожном покрове // Оптика и спектроскопия. 2017. Т. 123. № 2. С. 194–199.
Kovtanyuk A., Chebotarev A., Astrakhantseva A. Inverse extremum problem for a model of endovenous laser ablation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2020. https://doi.org/10.1515/jiip-2020-0118
Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю., Астраханцева А.А., Сущенко А.А. Оптимальное управление внутривенной лазерной абляцией // Оптика и спектроскопия. 2020. Т. 128. Вып. 9. С. 1396–1404.
Pinnau R. Analysis of optimal boundary control for radiative heat transfer modeled by $S{{P}_{1}}$-system // Comm. Math. Sci. 2007. V. 5. № 4. P. 951–969.
Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Нестационарная задача сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 11. С. 1806–1816.
Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Неоднородная нестационарная задача сложного теплообмена // Сиб. электрон. матем. изв. 2015. Т. 12. С. 562–576.
Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Нестационарная задача свободной конвекции с радиационным теплообменом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56. № 2. С. 275–282.
Grenkin G.V., Chebotarev A.Yu., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Boundary optimal control problem of complex heat transfer model // J. Math. Anal. Appl. 2016. V. 433. № 2. P. 1243–1260.
Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu. An iterative method for solving a complex heat transfer problem // Appl. Math. Comput. 2013. V. 219. № 17. P. 9356–9362.
Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. The unique solvability of a complex 3D heat transfer problem // J. Math. Anal. Appl. 2014. V. 409. № 2. P. 808–815.
Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 4. С. 711–719.
Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача свободной конвекции с радиационным теплообменом // Дифференц. ур-ния. 2014. Т. 50. № 12. С. 1590–1597.
Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Theoretical analysis of an optimal control problem of conductive-convective-radiative heat transfer // J. Math. Anal. Appl. 2014. V. 412. № 1. P. 520–528.
Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Unique solvability of a steady-state complex heat transfer model // Comm. Nonlin. Sci. Numer. Simul. 2015. V. 20. № 3. P. 776–784.
Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Optimal boundary control of a steady-state heat transfer model accounting for radiative effects // J. Math. Anal. Appl. 2016. V. 439. № 2. P. 678–689.
Chebotarev A.Yu., Kovtanyuk A.E., Grenkin G.V., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Nondegeneracy of optimality conditions in control problems for a radiative-conductive heat transfer model // Appl. Math. Comput. 2016. V. 289. P. 371–380.
Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Нелокальная однозначная разрешимость стационарной задачи сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56. № 5. С. 816–823.
Chebotarev A.Yu., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E. Inhomogeneous steady-state problem of complex heat transfer // ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 2017. V. 51. № 6. P. 2511–2519.
Chebotarev A.Yu., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Inverse problem with finite overdetermination for steady-state equations of radiative heat exchange // J. Math. Anal. Appl. 2018. V. 460. № 2. P. 737–744.
Chebotarev A.Y., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D. Problem of radiation heat exchange with boundary conditions of the Cauchy type // Comm. Nonlin. Sci. Numer. Simul. 2019. V. 75. P. 262–269.
Chebotarev A.Yu., Pinnau R. An inverse problem for a quasi-static approximate model of radiative heat transfer // J. Math. Anal. Appl. 2019. V. 472. № 1. P. 314–327.
Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Обратная задача для уравнений сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 8. С. 1420–1430.
Амосов А.А. Глобальная разрешимость одной нелинейной нестационарной задачи с нелокальным краевым условием типа теплообмена излучением // Дифференц. ур-ния. 2005. Т. 41. № 1. С. 93–104.
Amosov A.A. Stationary nonlinear nonlocal problem of radiative-conductive heat transfer in a system of opaque bodies with properties depending on the radiation frequency // J. Math. Sci. 2010. V. 164. № 3. P. 309–344.
Amosov A. Unique Solvability of a Nonstationary Problem of Radiative-Conductive Heat Exchange in a System of Semitransparent Bodies // Rus. J. Math. Phys. 2016. V. 23. № 3. P. 309–334.
Amosov A.A. Unique Solvability of Stationary Radiative-Conductive Heat Transfer Problem in a System of Semitransparent Bodies // J. Math. Sci. (United States). 2017. V. 224. № 5. P. 618–646.
Amosov A.A. Asymptotic behavior of a slution to the radiative transfer equation in a multilayered medium with diffuse reflection and refraction conditions // J. Math. Sci. 2020. V. 244. P. 541–575.
Amosov A.A., Krymov N.E. On a nonstandard boundary value problem arising in homogenization of complex heat transfer problems // J. Math. Sci. (United States). 2020. V. 244. P. 357–377.
Chebotarev A.Y., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Diffusion approximation of the radiative-conductive heat transfer model with Fresnel matching conditions // Comm. Nonlin. Sci. and Numer. Simul. 2018. V. 57. P. 290–298.
Чеботарев А.Ю. Неоднородная краевая задача для уравнений сложного теплообмена с френелевскими условиями сопряжения // Дифференц. ур-ния. 2020. Т. 56. № 12. С. 1660–1665.
Чеботарев А.Ю. Обратная задача для уравнений сложного теплообмена с френелевскими условиями сопряжения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. Т. 61. № 2. P. 303–311.
Fursikov A.V. Optimal control of distributed systems // Theory and Appl., Am. Math. Soc., 2000.
Ioffe A.D., Tikhomirov V.M. Theory of extremal problems. North-Holland: Amsterdam, 1979.
Wolff T.H. A Property of measure in ${{R}^{n}}$ and an application to unique continuation // Geomet. and Function. Anal. 1992. V. 2. № 2. P. 225–284.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал