Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 4, стр. 616-624

В области $D$, ограниченной гладким контуром $\Gamma $, рассмотрим для эллиптического уравнения

с коэффициентами ${{a}_{r}} \in \mathbb{R}$, ${{a}_{{ij}}} \in {{C}^{\mu }}\left( {\bar {D}} \right)$, $0 < \mu < 1$, краевую задачу где $n = {{n}_{1}} + i{{n}_{2}}$ означает единичную внешнюю нормаль. В предположении $\Gamma \in {{C}^{{4,\mu }}}$ оператор задачи ограничен: ${{C}^{{4,\mu }}}\left( {\bar {D}} \right) \to {{C}^{\mu }}\left( {\bar {D}} \right) \times {{C}^{{4,\mu }}}(\Gamma ) \times {{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$. Соответственно, решение ищется в классе ${{C}^{{4,\mu }}}\left( {\bar {D}} \right)$ с правыми частями $f \in {{C}^{\mu }}\left( {\bar {D}} \right)$, ${{f}_{1}} \in {{C}^{{4,\mu }}}(\Gamma )$ и ${{f}_{2}} \in {{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$. Фредгольмовость и индекс задачи понимаются по отношению к этому оператору.

Эта задача занимает особое место в классе задач этого типа

поскольку, как установлено в [1], все остальные задачи фредгольмовы индекса нуль.

В силу эллиптичности характеристический многочлен ${{z}^{4}} - {{a}_{3}}{{z}^{3}} - {{a}_{2}}{{z}^{2}} - {{a}_{1}}z - {{a}_{0}}$ уравнения (1) не имеет вещественных корней. Обозначим через ${{\nu }_{1}}$, ${{\nu }_{2}}$ его корни в верхней полуплоскости, при этом случаи (i) ${{\nu }_{1}} \ne {{\nu }_{2}}$ различных корней и (ii) ${{\nu }_{1}} = {{\nu }_{2}} = \nu $ кратного корня выделим особо.

C точки зрения общей эллиптической теории (см. [2]) задача (1), (2) фредгольмова в пространстве ${{C}^{{4,\mu }}}\left( {\bar {D}} \right)$ тогда и только тогда, когда ее краевые условия удовлетворяют так называемому условию дополнительности (или условию Шапиро–Лопатинского). В этом случае говорят также (см. [3]), что краевые условия (2) накрывают дифференциальный оператор, отвечающий главной части (1). Как показано в [1], в обозначениях

это условие равносильно тому, что функция всюду отлична от нуля на единичной окружности $\mathbb{T}$.

Очевидно, в случае кратного корня это условие всегда выполнено и индекс задачи равен нулю. В случае $({\text{i}})$ его можно выразить следующим образом.

Лемма 1. Условие

равносильно тому, что где положено

При выполнении этого условия индекс Коши

где $n$ равно числу точек $a_{1}^{ \pm }$, $a_{2}^{ \pm }$, лежащих в нижней полуплоскости (с учетом их возможных совпадений), и приращение на окружности берется против часовой стрелки.

Доказательство. Запишем

,

где произведение берется по трем корням $q = 1,{{e}^{{ \pm 2\pi i/3}}}$ уравнения ${{q}^{3}} = 1$. В явном виде:

где ${{h}_{k}}(e) = ({{\nu }_{1}} - q{{\nu }_{2}})e_{2}^{2} + (1 - q)(1 - {{\nu }_{1}}{{\nu }_{2}}){{e}_{1}}{{e}_{2}} - ({{\nu }_{2}} - q{{\nu }_{1}})e_{1}^{2}$ и $q = {{e}^{{2\pi i/3}}}$ для $k = 1$, $q = {{e}^{{ - 2\pi i/3}}}$ для $k = 2$.

В частности, первое условие в (5) непосредственно следует из (4) при ${{e}_{2}} = 0$. Поскольку ${{q}^{2}} + q + 1 = 0$, то можно записать

с корнями Так как ${{e}^{{ \pm 2\pi i/3}}} - 1 = \pm i\sqrt 3 {{e}^{{ \pm \pi i/3}}}$, отсюда , $z_{2}^{ \pm } = a_{1}^{ \mp }$. Итак, при выполнении первого условия в (5) имеем равенство с некоторым $c \ne 0$, которое приводит к эквивалентности условий (4) и (5).

Обратимся ко второму утверждению леммы. Функция $H$ четна, и потому

где ${{\mathbb{T}}^{ + }}$ есть правая полуокружность. C другой стороны, отображение $e = {{e}_{1}} + i{{e}_{2}} \to t = {{e}_{2}}{\text{/}}{{e}_{1}}$ осуществляет гомеоморфизм этой полуокружности на расширенную вещественную прямую , причем обход ее от точки $e = - i$ к $e = i$ против часовой стрелки соответствует движению на прямой в положительном направлении. Согласно (7) имеем соотношение $H(e) = cR({{e}_{2}}{\text{/}}{{e}_{1}})$ с некоторой ненулевой постоянной $c$ и рациональной функцией полюса $ - 1{\text{/}}{{\nu }_{k}}$ которой лежат в верхней полуплоскости. Поэтому на основании принципа аргумента, примененного к аналитической функции $R$ в нижней полуплоскости, приходим к равенству где учтено, что положительное направление вещественной прямой оставляет эту полуплоскость слева. Совместно с (8) отсюда следует формула (6), что завершает доказательство леммы.

Теорема 1. Пусть контур $\Gamma \in {{C}^{{4,\mu }}}$ состоит из связных компонент ${{\Gamma }_{0}},{{\Gamma }_{1}},\; \ldots ,\;{{\Gamma }_{s}}$, причем ${{\Gamma }_{0}}$ охватывает все остальные контуры, и условие (4) фредгольмовости задачи (1), (2) выполнено.

Тогда ее индекс ${{\unicode{230} }}$ дается формулой

где $n = 0$ в случае (ii), и $n$ определяется леммой 1 в случае (i).

Доказательство опирается на общие результаты (см. [1], [4], [5]) о фредгольмовости и индексе задач для эллиптических уравнений $2l$-го порядка с $l$ краевыми условиями типа (2). Для односвязных областей $D$ эти вопросы подробно исследованы в [1], [4], в частности, равенство (9) согласуется с формулой индекса, данной в этих статьях. Случаю многосвязной области посвящена работа [5], однако доказательство ее основной теоремы содержит пробел, который привел к ошибочной формуле индекса. Поэтому, следуя рассуждениям указанных работ, приведем полное доказательство применительно к рассматриваемой задаче (1), (2), восполняющее этот пробел.

В соответствии с леммой 1 достаточно убедиться, что

где ${{{{\unicode{230} }}}_{0}}$ означает левую часть (6).

Для функции $\varphi \in {{C}^{1}}(\Gamma )$ положим

где штрих указывает на дифференцирование по параметру длины дуги, $\left| {{{\Gamma }_{i}}} \right|$ есть длина контура ${{\Gamma }_{i}}$, и ${{d}_{1}}t$ означает элемент длины дуги. Видно, что оператор $d$ обратим: ${{C}^{k}}(\Gamma ) \to {{C}^{{k - 1}}}(\Gamma )$, причем ${{d}^{k}}\varphi = {{\varphi }^{{(k)}}} + {{m}^{0}}\varphi $. Следовательно, краевое условие (2) можно заменить равносильным ему где знак $ + $ указывает на граничное значение функции $u$. Очевидно, с некоторыми ${{b}_{{ij}}} \in {{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$, где $e(t) = in(t)$ означает единичный касательный вектор к контуру $\Gamma $ в точке $t$. В явном виде $2{{b}_{{20}}} = 3\left( {e_{1}^{2}} \right){\kern 1pt} {\text{'}},\;2{{b}_{{02}}} = 3\left( {e_{2}^{2}} \right){\kern 1pt} {\text{'}}$, ${{b}_{{11}}} = 3({{e}_{1}}{{e}_{2}}){\text{'}}$ и ${{b}_{{10}}} = e_{1}^{{(2)}}$, ${{b}_{{01}}} = e_{2}^{{(2)}}$.

Очевидно, операторы

компактны ${{C}^{{4,\mu }}}\left( {\bar {D}} \right) \to {{C}^{\mu }}\left( {\bar {D}} \right)$, а операторы компактны ${{C}^{{4,\mu }}}\left( {\bar {D}} \right) \to {{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$.

Поэтому вместе с (1), (2)' задача

также фредгольмова и ее индекс равен ${{\unicode{230} }}$.

Зафиксируем точку ${{z}_{0}} \in D$ и обозначим ${{\tilde {C}}^{{4,\mu }}}\left( {\bar {D}} \right)$ подпространство всех функций $u \in {{C}^{{4,\mu }}}\left( {\bar {D}} \right)$, обращающихся в точке в нуль вместе с частными производными до порядка $3$ включительно. Очевидно, оно замкнуто и его коразмерность, т.е. размерность фактор-пространства ${{C}^{{4,\mu }}}{\text{/}}{{\tilde {C}}^{{4,\mu }}}$, равна $6$. Поэтому в силу известных свойств фредгольмовых операторов (см. [6]) задача (1)'', (2)'' фредгольмова в классе ${{\tilde {C}}^{{4,\mu }}}\left( {\bar {D}} \right)$ и ее индекс

Каждой функции $u \in {{\tilde {C}}^{{4,\mu }}}\left( {\tilde {D}} \right)$ поставим в соответствие вектор $\mathcal{D}u = U$, составленный из частных производных третьего порядка:

Очевидно, оператор $\mathcal{D}$ взаимно однозначен на ${{\tilde {С}}^{{4,\mu }}}(\bar {D})$ и его образ $\tilde {X}$ содержится в замкнутом подпространстве $X \subseteq {{\left[ {{{C}^{{1,\mu }}}(\bar {D})} \right]}^{4}}$, выделяемом условием Утверждается, что подпространство $\tilde {X}$ замкнуто в $X$ и имеет конечную коразмерность, равную

Действительно, в любой односвязной подобласти ${{D}_{0}} \subseteq D$, содержащей точку ${{z}_{0}}$, уравнение $\mathcal{D}u = U$ с правой частью $U \in X$ всегда разрешимо, и его решение определяется последовательным интегрированием вдоль дуги, соединяющей произвольную точку $z \in {{D}_{0}}$ с ${{z}_{0}}$. Например, для $l = 1$

Аналогично, для $l = 2$ следует положить и т.д.

По отношению к исходной области $D$ решением уравнения $\mathcal{D}u = U$ с правой частью $U \in X$ служит многозначная функция $u$, принадлежащая классу ${{C}^{{4,\mu }}}$ в односвязных подобластях ${{D}_{0}}$. При обходе контура ${{\Gamma }_{j}}$, $1 \leqslant j \leqslant s$, она получает приращение в виде некоторого многочлена ${{p}_{j}} \in {{P}_{2}}$ степени не выше двух. Этот факт можно выразить следующим образом. Соединим внутри $D{{\backslash }}\{ {{z}_{0}}\} $ контура ${{\Gamma }_{0}}$ и ${{\Gamma }_{j}}$, $1 \leqslant j \leqslant s$, дугой ${{L}_{j}}$, считая эти дуги попарно непересекающимися. Тогда в области ${{D}_{0}} = D{{\backslash }}({{L}_{1}} \cup \; \ldots \; \cup {{L}_{n}})$ решение $u$ рассматриваемого уравнения однозначно. Предполагая дуги ${{L}_{j}}$ ориентируемыми, для односторонних предельных значений $u_{j}^{ \pm }$ на ${{L}_{j}}$ функции $u$ будем иметь соотношения

с некоторыми ${{p}_{j}}$, причем аналогичные соотношения выполняются и для частных производных функций $u$ и ${{p}_{j}}$ до порядка $k - 1$ включительно. Очевидно, отображение $U \to ({{p}_{1}},\; \ldots ,\;{{p}_{n}})$ переводит пространство $\tilde {X}$ на все $P_{2}^{s}$, и класс ${{\mathcal{X}}_{0}}$ описывается условиями ${{p}_{1}} = \; \ldots \; = {{p}_{n}} = 0$ в этих соотношениях. Поскольку $\dim {{P}_{2}} = 6$, отсюда следует равенство (13).

По отношению к вектору $U = \mathcal{D}u$ задача (1)'', (2)'' может быть переписана в эквивалентной форме

с матрицами где элементы ${{C}_{{ij}}}(t)$, $t \in \Gamma $, определяются из соотношений и положено ${{f}^{1}} = (0,\;0,\;0,f),{{f}^{0}} = (f_{1}^{0},f_{1}^{0})$. В этой связи введем подпространство $Y \subseteq {{\left[ {{{C}^{\mu }}\left( {\bar {D}} \right)} \right]}^{4}}$ векторов ${{f}^{1}}$, первые три компоненты которых равны нулю. Заметим, что прообраз где для краткости

Задачу Римана–Гильберта (14) для эллиптической системы первого порядка, рассматриваемую во всем классе ${{\left[ {{{C}^{{1,\mu }}}\left( {\bar {D}} \right)} \right]}^{4}}$, обозначим через $R$, символ $R$ сохраняем и для ее оператора, действующего ${{\left[ {{{C}^{{1,\mu }}}\left( {\bar {D}} \right)} \right]}^{4}} \to {{\left[ {{{C}^{\mu }}\left( {\bar {D}} \right)} \right]}^{4}} \times {{\left[ {{{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )} \right]}^{2}}$. Символы ${{R}_{{\tilde {X}}}}$ и ${{R}_{X}}$ указывают на эту задачу в соответствующих классах, причем ее операторы действуют из этих классов в $Y \times {{\left[ {{{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )} \right]}^{2}}$.

Поскольку задача ${{R}_{{\tilde {X}}}}$ равносильна задаче (9), (10), то она фредгольмова и ее индекс равен ${{\tilde {\unicode{230} }}}$. Поэтому на основании (13) задача ${{R}_{X}}$ также фредгольмова и ее индекс

Совместно с (11) отсюда

К задаче $R$, рассматриваемой во всем классе ${{\left[ {{{C}^{{1,\mu }}}\left( {\bar {D}} \right)} \right]}^{4}}$, можно применить результаты [7]. С этой целью введем $4 \times 2$-матрицу $B$ с элементами

Составленная с помощью нее квадратная матрица $\tilde {B} = (B\bar {B})$ обратима и приводит матрицу $A$ к жордановой форме где В этих обозначениях на основании теоремы 2 из [7] задача $R$ фредгольмова в классе ${{C}^{{1,\mu }}}\left( {\bar {D}} \right)$ тогда и только тогда, когда и ее индекс дается формулой где приращение вдоль ${{\Gamma }_{j}}$ берется в направлении, оставляющем область $D$ слева.

Из определений матриц $C$ и $B$ видно, что

так что в обозначениях (3) имеем соотношение В частности, на основании (5) условие (18) выполнено, так что задача $R$ фредгольмова.

Когда точка $t$ обходит простой контур ${{\Gamma }_{j}}$ в положительном направлении, единичный вектор $e(t)$ обходит окружность $\mathbb{T}$ против часовой стрелки при $j = 0$ и по часовой стрелке при $1 \leqslant j \leqslant s$. Поэтому при $\operatorname{Im} z > 0$ имеем равенство

и в обозначениях (8) аналогичным образом так что формула (19) принимает следующий вид:

Утверждается, что индексы задач $R$ и ${{R}_{X}}$ совпадают:

В самом деле, в силу (15) пространство решений однородных задач ${{R}_{X}}$ и $R$ совпадают. C другой стороны, условия разрешимости неоднородной задачи $R$ достаточны и для разрешимости неоднородной задачи ${{R}_{X}}$. Поэтому остается убедиться, что в действительности они и необходимы. Запишем необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородной задачи $R$ в виде $p_{i}^{1}{{f}^{1}} + p_{i}^{0}{{f}^{0}} = 0,$ $1 \leqslant i \leqslant s$, где линейные функционалы $p_{i}^{0}$ и $p_{i}^{1}$ непрерывны на ${{\left[ {{{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )} \right]}^{2}}$ и ${{\left[ {{{C}^{\mu }}\left( {\bar {D}} \right)} \right]}^{4}}$ соответственно, и пары ${{p}_{i}} = \left( {p_{i}^{1},p_{i}^{0}} \right)$ линейно независимы. Необходимо показать, что они линейно независимы и как функционалы на $Y \times {{\left[ {{{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )} \right]}^{2}}$.

Предположим противное, т.е. найдется некоторая ненулевая линейная комбинация этих функционалов с коэффициентами ${{\alpha }_{i}}$, равная нулю на $Y \times {{\left[ {{{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )} \right]}^{2}}$. В частности,

Пусть вектор-функция ${{f}^{1}} \in {{\left[ {{{C}^{\mu }}\left( {\bar {D}} \right)} \right]}^{4}}$, продолжим ее до вектор-функции $\varphi $ с компактным носителем из того же класса ${{C}^{\mu }}$ и положим

где ${{d}_{2}}t$ означает элемент площади. Легко проверяется, что при дополнительном условии $\varphi \in {{C}^{1}}$, функция $U = T\varphi $ также непрерывно дифференцируема и удовлетворяет неоднородной системе $Lu = \varphi $. В действительности, этот факт справедлив и для функций $\varphi $, локально удовлетворяющих условию Гельдера (см., например, [8, лемма 3.4.2]). Таким образом, в области $D$ вектор-функция $U$ является решением задачи $R$ с правой частью ${{f}^{1}}$ и ${{f}^{0}} = C{{U}^{ + }}$. Поэтому $p_{i}^{1}\left( {{{f}^{1}}} \right) + p_{i}^{0}\left( {{{f}^{0}}} \right) = 0$, $1 \leqslant i \leqslant s$, так что с учетом (22) Поскольку вектор-функция ${{f}^{1}}$ была выбрана произвольно, совместно с (22) отсюда заключаем, что система функционалов ${{p}_{i}}$ линейно зависима, что невозможно. Тем самым равенство (21) установлено.

Объединяя равенства (20), (21) с (16), приходим к справедливости формулы (10), завершающей доказательство теоремы.

Для некоторых классов уравнений (1) в условиях теоремы 1 критерий фредгольмовости задачи (2) упрощается, и в формуле (9) ее индекса число $n$ подсчитывается явно.

Теорема 2. (a) При $\left| {{{\nu }_{1}}} \right| = \left| {{{\nu }_{2}}} \right| = 1$ условие (4) равносильно

и в формуле (9) число $n = 0$ при $\left| {{{\nu }_{1}} - {{\nu }_{2}}} \right| < \sqrt 3 $ и $n = 2$ при $\left| {{{\nu }_{1}} - {{\nu }_{2}}} \right| > \sqrt 3 $.

(б) При ${{\nu }_{1}} = i{{\rho }_{1}}$, ${{\nu }_{2}} = i{{\rho }_{2}}$ условие (4) равносильно

и в формуле (9) число $n = 0$ при $\left| {{{\rho }_{1}} - {{\rho }_{2}}} \right| < \sqrt {3\left( {1 + {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}} \right)} $ и $n = 2$ при $\left| {{{\rho }_{1}} - {{\rho }_{2}}} \right| > \sqrt 3 (1 + {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}})$.

(в) При ${{\nu }_{1}} = \nu $, ${{\nu }_{2}} = - 1{\text{/}}\nu $ условие (4) равносильно

и в формуле (9) число $n = 0$ при $4\operatorname{Im} \nu < {{\left| \nu \right|}^{2}} + 1$ и $n = 2$ при $4\operatorname{Im} \nu > {{\left| \nu \right|}^{2}} + 1$.

Доказательство достаточно провести для случая (ii) различных корней ${{\nu }_{k}}$, в котором можно воспользоваться леммой 1.

(a) Положим ${{\nu }_{k}} = {{e}^{{{{\theta }_{k}}}}}$, и пусть для краткости

Тогда в обозначениях (6) и $\Delta = {{e}^{{i{{\theta }_{ + }}}}}\left[ { - 12{{{\sin }}^{2}}({{\theta }_{ + }}{\text{/}}2) + 8\cos {{\theta }_{ - }} + 4} \right]$. Заметим, что условие (23a), которое можно записать в форме первого условия в (5), равносильно $0 < \left| {{{\theta }_{{(k)}}}} \right| < \pi $. Поэтому при выполнении этого условия можем записать где положено $b = 2\sqrt 3 \sin ({{\theta }_{ + }}{\text{/}}2)$, $c = 4(2\cos {{\theta }_{ - }} + 1)$. Таким образом, Заметим, что число $c$ имеет одинаковый знак с разностью $\pi {\text{/}}3 - \left| {{{\theta }_{1}} - {{\theta }_{2}}} \right|$. В частности, второе условие в (5) равносильно $c \ne 0$, что, в свою очередь, эквивалентно (23a).

Что касается подсчета $n$ в лемме 1, то при $\left| {{{\theta }_{2}} - {{\theta }_{1}}} \right| < \pi {\text{/}}2$ числа $\sin {{\theta }_{{(k)}}}$, $k = 1,\;2$, и $c$ положительны. Поэтому согласно (24) все точки $a_{k}^{ \pm }$ лежат в верхней полуплоскости и, значит, $n = 0$. При $\left| {{{\theta }_{2}} - {{\theta }_{1}}} \right| > \pi {\text{/}}2$ числа $\sin {{\theta }_{{(k)}}}$, $k = 1,\;2$, имеют противоположные знаки. Поскольку знак левой части (24) не зависит от $k = 1,\;2$, четыре точки $a_{k}^{ \pm }$ распределены поровну в верхней и нижней полуплоскостях, т.е. $n = 2$.

(б) В этом случае первое условие в (5) очевидным образом выполнено, и

по отношению к вещественным числам ${{\delta }_{k}} = ( - {{1)}^{k}}({{\rho }_{1}} - {{\rho }_{2}}) - i\sqrt 3 ({{\rho }_{1}} + {{\rho }_{2}})$ и $\Delta = 3(1 + {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}{{)}^{2}} - $ $ - \;4(\rho _{1}^{2} + \rho _{2}^{2} + {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}})$. В частности,

Пусть далее $\Delta < 0$. Тогда

Поэтому (5) равносильно причем Поскольку условие (26) равносильно (23б), и соотношения (25), (27) приводят к соответствующим значениям числа $n$ леммы 1.

(в) В этом случае первое условие в (5) также выполнено. Что касается второго условия, то по отношению к $\nu $ оно записывается довольно громоздко. Однако этот случай подробно разобран в [1, теорема 3]. Именно, условие (4) равносильно тому, что точка ${{z}_{0}} = {{e}^{{\pi i/6}}}$ не принадлежит окружности ${{\Gamma }_{0}}(\nu )$, определяемой уравнением $\left( {{{{\left| z \right|}}^{2}} + 1} \right)(\operatorname{Im} \nu ) = \left( {{{{\left| {\nu {\kern 1pt} } \right|}}^{2}} + 1} \right)(\operatorname{Im} z)$, т.е. должно выполняться условие ${{\left| \nu \right|}^{2}} + 1 \ne 4\operatorname{Im} \nu $. При этом имеет место равенство (6) с

что на основании (10) завершает доказательство (в) и теоремы.

Заметим, что для $\nu = i\rho $, $\rho > 1$, условие (23в) теоремы согласуется с (23б). В самом деле, в этом случае уравнение ${{\rho }^{2}} + 1 = 4\rho $ дает корень $\rho = 2 + \sqrt 3 $. С другой стороны, этот же корень дает и уравнение $\rho - 1{\text{/}}\rho = 2\sqrt 3 $.