Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 5, стр. 757-767

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Тёплицевой называется комплексная $n \times n$-матрица T, имеющая вид

Хорошо известными частными случаями тёплицевых матриц являются циркулянты и косые циркулянты. Тёплицева матрица (1) называется циркулянтом, если

и косым циркулянтом при

Обобщением циркулянтов и косых циркулянтов служат φ-циркулянты – тёплицевы матрицы, для которых

где φ – некоторое число.

Рассмотрим следующую задачу: описать пары симметричных тёплицевых матриц $({{T}_{1}},{{T}_{2}})$, удовлетворяющих условиям

В предлагаемой работе дается полное решение этой задачи в виде списка множеств требуемых пар матриц. В разд. 2 формулируется теорема, являющаяся главным результатом статьи, доказательство которой проводится в разд. 4. В разд. 3 приводятся вспомогательные утверждения.

Напомним вначале некоторые определения и факты. Согласно [1], если C – циркулянт, то для него справедливо cпектральное разложение

где $D = {\text{diag}}({{d}_{1}},{{d}_{2}},\; \ldots ,\;{{d}_{n}})$ – диагональная матрица, ${{F}_{n}}$ – (нормированная) матрица дискретного преобразования Фурье и $\epsilon = \exp \left( {\frac{{2\pi i}}{n}} \right)$ – первообразный корень n-й степени из единицы.

Еcли S – косой циркулянт, то вместо (2) имеем

где $\psi = {{e}^{{\frac{{i\pi }}{n}}}}$ есть корень n-й степени из (–1).

В дальнейшем мы будем использовать матрицу-перестановку

называемую иногда перъединичной матрицей.

2. ГЛАВНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ

Теорема. Ненулевые симметричные тёплицевы матрицы ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ удовлетворяют условиям

тогда и только тогда, когда они входят хотя бы в один из описываемых ниже классов:

Класс 1. Матрицы ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ являются циркулянтами, связанными соотношением

где ${{C}_{0}}$ – симметричный нескалярный инволютивный циркулянт.

Класс 2. Матрицы ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ суть косые циркулянты, для которых выполянется равенство

Здесь ${{S}_{0}}$ – симметричный нескалярный инволютивный косой циркулянт.

Класс 3. Матрицы ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ имеют вид

При этом ${{C}_{0}}$ и ${{S}_{0}}$ – симметричные инволютивные циркулянт и косой циркулянт соответственно, не являющиеся одновременно скалярными матрицами, α, β – некоторые числа, $\alpha \ne \pm \beta $.

3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Для доказательства главного результата нам понадобятся некоторые дополнительные утверждения. Начнем с результата, который принадлежит к тёплицеву фольклору. Все знают о нем, но никто не знает первоисточника.

Лемма 1. Произведение нескалярных тёплицевых матриц ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ тогда и только тогда является тёплицевой матрицей, когда ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ принадлежат хотя бы одному из следующих классов:

Класс 1'. Матрицы ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ суть φ-циркулянты для одного и того же числа $\varphi \ne 0$.

Класс 2'. Обе матрицы ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ – верхнетреугольные или же обе – нижнетреугольные.

Другим результатом, нужным в дальнейшем, является следующий факт.

Лемма 2. Матрица T является нескалярным симметричным φ-циркулянтом тогда и только тогда, когда T – симметричный циркулянт или косой циркулянт.

Доказательство леммы 2. Так как достаточность очевидна, то установим лишь необходимость.

Пусть T – φ-циркулянт с первой строкой ${{t}_{0}},{{t}_{1}},\; \ldots ,\;{{t}_{{n - 1}}}$. В силу нескалярности T найдется число $j > 0$ такое, что ${{t}_{j}} \ne 0$. Из определения φ-циркулянта и его симметричности имеем

или

Так как ${{t}_{j}} \ne 0$, то $\varphi = \pm 1$. Лемма 2 доказана.

Из лемм 1 и 2 следует

Лемма 3. Квадрат симметричной нескалярной тёплицевой матрицы T тогда и только тогда является тёплицевой матрицей, когда T – симметричный циркулянт или косой циркулянт.

Также нам потребуются критерии симметричности циркулянта и косого циркулянта.

Лемма 4. Циркулянт C cо спектральным разложением (2) является симметричной матрицей тогда и только тогда, когда

Доказательство леммы 4. Запишем условие симметричности циркулянта C, используя спектральное разложение (2):

После умножения слева и справа на ${{F}_{n}}$ приходим к соотношению

Так как $F_{n}^{2} = {{\mathcal{P}}_{1}} \oplus {{\mathcal{P}}_{{n - 1}}}$ (см. [2, лемма 1.2.17]), получаем утверждение леммы. Лемма 4 доказана.

Лемма 5. Пусть S – косой циркулянт, для которого записано спектральное разложение (3). Матрица S является симметричной тогда и только тогда, когда

Доказательство леммы 5. Запишем условие симметричности косого циркулянта $S$, используя спектральное разложение (3):

Умножение слева на ${{F}_{n}}G_{{ - 1}}^{*}$, а справа на $G_{{ - 1}}^{*}{{F}_{n}}$ приводит к равенству

Учитывая лемму 1.2.20 из [2], имеем

Вместе с предыдущим равенством это дает утверждение леммы. Лемма 5 доказана.

4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГЛАВНОГО РЕЗУЛЬТАТА

В этом разделе приведем обоснование теоремы, являющейся основным результатом.

Хорошо известно, что всякую тёплицеву матрицу можно однозначно представить в виде суммы скалярной матрицы, циркулянта и косого циркулянта с нулевыми диагоналями, поэтому запишем матрицы ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ в виде

где ${{C}^{{(1)}}}$, ${{C}^{{(2)}}}$ – циркулянты, ${{S}^{{(1)}}}$, ${{S}^{{(2)}}}$ – косые циркулянты с нулевыми диагоналями.

Обозначим элементы первых строк циркулянтов ${{C}^{{(1)}}}$ и ${{C}^{{(2)}}}$ через 0, $c_{1}^{{(1)}}$, ..., $c_{{n - 1}}^{{(1)}}$ и 0, $c_{1}^{{(2)}}$, ..., $c_{{n - 1}}^{{(2)}}$ соответственно. Аналогично, элементы первых строк косых циркулянтов ${{S}^{{(1)}}}$ и ${{S}^{{(2)}}}$ обозначим как 0, $s_{1}^{{(1)}}$, ..., $s_{{n - 1}}^{{(1)}}$ и 0, $s_{1}^{{(2)}}$, ..., $s_{{n - 1}}^{{(2)}}$.

Подставим представления (6) в (5):

или

Матрица в правой части, как сумма циркулянтов и косых циркулянтов, тёплицева, значит, и матрица в левой части должна быть тёплицевой:

Подробная запись последнего равенства

в силу тёплицевости ${{C}^{{(1)}}}$, ${{S}^{{(1)}}}$, ${{C}^{{(2)}}}$ и ${{S}^{{(2)}}}$ приобретает вид

Заменим индекс суммирования l на p, полагая $p = l$ в первых четырех суммах и $p = l - 1$ в остальных:

Выполняя элементарные преобразования, приходим к равенству

Так как ${{C}^{{(1)}}}$, ${{C}^{{(2)}}}$ – циркулянты, ${{S}^{{(1)}}}$, ${{S}^{{(2)}}}$ – косые циркулянты, то можем записать

или

Заменяя k на $n - k$, получаем

Введем в рассмотрение две вспомогательные $\left( {n - 1} \right) \times 2$-матрицы $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$, задавая их формулами

и векторы ${{c}^{{(1)}}} = {{\left( {c_{1}^{{(1)}},c_{2}^{{(1)}},\; \ldots ,\;c_{{n - 1}}^{{(1)}}} \right)}^{{\text{т}}}}$, ${{c}^{{(2)}}} = {{\left( {c_{1}^{{(2)}},c_{2}^{{(2)}},\; \ldots ,\;c_{{n - 1}}^{{(2)}}} \right)}^{{\text{т}}}}$, ${{s}^{{(1)}}} = {{\left( {s_{1}^{{(1)}},s_{2}^{{(1)}},\; \ldots ,\;s_{{n - 1}}^{{(1)}}} \right)}^{{\text{т}}}}$, ${{s}^{{(2)}}} = {{\left( {s_{1}^{{(2)}},s_{2}^{{(2)}},\; \ldots ,\;s_{{n - 1}}^{{(2)}}} \right)}^{{\text{т}}}}$.

Из условия симметричности матриц ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ следует симметричность ${{C}^{{(1)}}}$, ${{C}^{{(2)}}}$, ${{S}^{{(1)}}}$ и ${{S}^{{(2)}}}$, поэтому имеем соотношения

Определим величины

Теперь (8) принимает вид

На основании равенства (10) рассмотрим несколько взаимоисключающих случаев, определяемых значениями рангов матриц $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$, и в каждом из них найдем решение уравнения (5).

I. Матрицы $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ нулевые, тогда ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ являются скалярными матрицами и условия (5) не выполнены.

II. Матрица $\mathcal{G}$ нулевая, а $\mathcal{F}$ ненулевая. В этом случае матрица ${{T}_{2}}$ будет скалярной. Из уравнения (5) получаем, что ${{T}_{1}}$ – скалярное кратное инволютивной матрицы и, кроме того, квадрат ${{T}_{1}}$ является тёплицевой матрицей. По лемме 3 заключаем, что либо ${{T}_{1}}$ – симметричный циркулянт и пара $({{T}_{1}},{{T}_{2}})$ принадлежит классу 3 с $\beta = 0$ (скалярная матрица является косым циркулянтом), либо ${{T}_{1}}$ является симметричным косым циркулянтом и пара $({{T}_{1}},{{T}_{2}})$ принадлежит классу 3 с $\alpha = 0$.

III. Матрица $\mathcal{F}$ нулевая, $\mathcal{G}$ ненулевая. Повторяя рассуждения предыдущего случая, снова получаем, что пара $({{T}_{1}},{{T}_{2}})$ принадлежит классу 3.

IV. Матрицы $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ ненулевые и ${\text{rank}}\;\mathcal{F} = 1$. В равенствах (10) все миноры $\Delta _{{km}}^{\mathcal{F}} = 0$, а потому и все миноры $\Delta _{{km}}^{\mathcal{G}} = 0$. Поскольку $\mathcal{G}$ – ненулевая матрица, то ${\text{rank}}\;\mathcal{G} = 1$.

Так как ${\text{rank}}\;\mathcal{F} = 1$, найдется ненулевой вектор ${{z}^{{(1)}}}$ такой, что ${{c}^{{(1)}}}$ и ${{s}^{{(1)}}}$ можно представить в виде ${{c}^{{(1)}}} = {{\gamma }_{1}}{{z}^{{(1)}}}$ и ${{s}^{{(1)}}} = {{\delta }_{1}}{{z}^{{(1)}}}$. Числа ${{\gamma }_{1}}$ и ${{\delta }_{1}}$ удовлетворяют условию

Соотношения (9) запишем в виде

или

Если ${{\gamma }_{1}}{{\delta }_{1}} \ne 0$, то из условий ${{\mathcal{P}}_{{n - 1}}}{{z}^{{(1)}}} = {{z}^{{(1)}}}$ и ${{\mathcal{P}}_{{n - 1}}}{{z}^{{(1)}}} = - {{z}^{{(1)}}}$ получаем, что ${{z}^{{(1)}}}$ – нулевой вектор. Однако ${{z}^{{(1)}}} \ne 0$, поэтому ${{\gamma }_{1}}{{\delta }_{1}} = 0$.

Так как ${\text{rank}}\;\mathcal{G} = 1$, найдется ненулевой вектор ${{z}^{{(2)}}}$ такой, что ${{c}^{{(2)}}}$ и ${{s}^{{(2)}}}$ можно представить в виде ${{c}^{{(2)}}} = {{\gamma }_{2}}{{z}^{{(2)}}}$ и ${{s}^{{(2)}}} = {{\delta }_{2}}{{z}^{{(2)}}}$. Числа ${{\gamma }_{2}}$ и ${{\delta }_{2}}$ удовлетворяют условию

Из (9) имеем

или

Если ${{\gamma }_{2}}{{\delta }_{2}} \ne 0$, то из равенств ${{\mathcal{P}}_{{n - 1}}}{{z}^{{(2)}}} = {{z}^{{(2)}}}$ и ${{\mathcal{P}}_{{n - 1}}}{{z}^{{(2)}}} = - {{z}^{{(2)}}}$ следует, что ${{z}^{{(2)}}}$ – нулевой вектор. Однако ${{z}^{{(2)}}} \ne 0$, поэтому ${{\gamma }_{2}}{{\delta }_{2}} = 0$.

Приходим к совокупности соотношений

из которых заключаем, что возможны четыре взаимоисключающих случая, определяемых равенством нулю или отличием от нуля чисел ${{\gamma }_{1}}$, ${{\delta }_{1}}$, ${{\gamma }_{2}}$ и ${{\delta }_{2}}$.

Если ${{\delta }_{1}} = {{\delta }_{2}} = 0$, то ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ – циркулянты, которые запишем как

где ${{D}_{1}} = {\text{diag}}\left( {d_{1}^{{(1)}},d_{2}^{{(1)}},\; \ldots ,\;d_{n}^{{(1)}}} \right)$ и ${{D}_{2}} = {\text{diag}}\left( {d_{1}^{{(2)}},d_{2}^{{(2)}},\; \ldots ,\;d_{n}^{{(2)}}} \right)$ – диагональные матрицы.

Решаемое уравнение приобретает вид

из которого имеем, что где ${{D}_{0}} = {\text{diag}}\left( {d_{1}^{{(0)}},d_{2}^{{(0)}},\; \ldots ,\;d_{n}^{{(0)}}} \right)$ – нескалярная инволютивная диагональная матрица, для которой

Последние условия нужны для обеспечения симметричности ${{T}_{2}}$.

В результате получаем соотношение

где ${{C}_{0}}$ – симметричный нескалярный инволютивный циркулянт. Пара $({{T}_{1}},{{T}_{2}})$ принадлежит классу 1.

Если ${{\gamma }_{1}} = {{\gamma }_{2}} = 0$, то ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ суть косые циркулянты вида

где ${{D}_{1}} = {\text{diag}}\left( {d_{1}^{{(1)}},d_{2}^{{(1)}},\; \ldots ,\;d_{n}^{{(1)}}} \right)$ и ${{D}_{2}} = {\text{diag}}\left( {d_{1}^{{(2)}},d_{2}^{{(2)}},\; \ldots ,\;d_{n}^{{(2)}}} \right)$ – диагональные матрицы.

Подставляя в уравнение (5), снова имеем соотношение

где ${{D}_{0}} = {\text{diag}}\left( {d_{1}^{{(0)}},d_{2}^{{(0)}},\; \ldots ,\;d_{n}^{{(0)}}} \right)$ – нескалярная инволютивная диагональная матрица, для которой что обеспечивает симметричность ${{T}_{2}}$.

В этом случае можем записать

где ${{S}_{0}}$ – симметричный нескалярный инволютивный косой циркулянт. Пара $({{T}_{1}},{{T}_{2}})$ принадлежит классу 2.

Если ${{\delta }_{1}} = {{\gamma }_{2}} = 0$, то ${{T}_{1}}$ – циркулянт, ${{T}_{2}}$ – косой циркулянт. Равенство $T_{1}^{2} = T_{2}^{2}$ можно рассматривать как систему

из которой следует, что ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ – скалярные кратные инволютивных циркулянта и косого циркулянта соответственно (класс 3 с $\beta = 0$).

Если ${{\delta }_{2}} = {{\gamma }_{1}} = 0$, то, рассуждая как в случае выше, приходим к ситуации, когда ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ – скалярные кратные инволютивных косого циркулянта и циркулянта соответственно. Получаем пару из класса 3 для $\alpha = 0$.

V. Пусть теперь матрицы $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ ненулевые и ${\text{rank}}\;\mathcal{F} > 1$. Так как $\mathcal{F}$ – матрица размера $(n - 1) \times 2$, то ${\text{rank}}\;\mathcal{F} = 2$. Поэтому в равенствах (10) найдется ненулевой минор $\Delta _{{km}}^{\mathcal{F}}$, а значит, и ненулевой минор $\Delta _{{km}}^{\mathcal{G}}$. Тем самым ${\text{rank}}\;\mathcal{G} = 2$.

Применяя лемму из [3], можем написать

Представим матрицу W в виде

Определитель этой матрицы равен единице:

Используя соотношения (9), можем написать

Умножая равенство (11) слева на ${{\mathcal{P}}_{{n - 1}}}$, получаем соотношение

или

Почленно вычитая из последнего равенства соотношение (11), имеем

Так как матрица $\mathcal{F}$ имеет полный ранг, можем написать

или с учетом вида матрицы W:

Приходим к равенству

из которого следует, что ${{w}_{{12}}} = {{w}_{{21}}} = 0$. Пусть ${{w}_{{11}}} = \lambda $, тогда, так как матрица W имеет определитель 1, то ${{w}_{{22}}} = 1{\text{/}}\lambda $ и W – матрица вида

Поэтому верны соотношения

При этом из условия ${\text{rank}}\;\mathcal{F} = 2$ следует, что ${{C}^{{(1)}}}$ и ${{S}^{{(1)}}}$ – нескалярные матрицы.

Рассмотрим сначала два особых случая. Если $\lambda = 1$, то ${{C}^{{(2)}}} = {{C}^{{(1)}}}$, ${{S}^{{(2)}}} = {{S}^{{(1)}}}$ и, используя (6), можем записать

для некоторой нескалярной матрицы $\hat {T}$. Подстановка в уравнение (5) дает условие из которого следует, что $t_{0}^{{(1)}} = t_{0}^{{(2)}}$ и, поэтому, ${{T}_{1}} = {{T}_{2}}$. Этот случай не дает новых классов. Аналогично для $\lambda = - 1$.

Пусть теперь $\lambda \ne \pm 1$. Подстановка представлений (13) в (7) дает соотношение

или

Так как в последнем равенстве слева стоит циркулянт, справа косой циркулянт, то это соотношение эквивалентно системе

для некоторого числа ξ.

Запишем циркулянт ${{C}^{{(1)}}}$ в виде ${{C}^{{(1)}}} = F_{n}^{*}{{D}_{1}}{{F}_{n}}$ и подставим в первое уравнение (14)

После домножения слева на ${{F}_{n}}$, а справа на $F_{n}^{*}$ имеем

Получаем, что каждый диагональный элемент матрицы ${{D}_{1}}$ должен удовлетворять одному и тому же квадратному уравнению

относительно x. Для квадратного уравнения $a{{x}^{2}} + bx + c = 0$ условимся записывать корни как

Тогда, если обозначить корни уравнения (15) как ${{\gamma }_{1}} \pm {{\delta }_{1}}$, то диагональную матрицу ${{D}_{1}}$ можно представить в виде

где $D_{0}^{{(1)}}$ – нескалярная инволютивная диагональная матрица, подчиненная условиям

Тогда для самой матрицы ${{C}_{1}}$ справедливо представление

где ${{C}_{0}}$ – нескалярный симметричный инволютивный циркулянт.

Проведем аналогичные рассуждения для косого циркулянта ${{S}^{{(1)}}}$. А именно, подставим представление ${{S}^{{(1)}}} = {{G}_{{ - 1}}}F_{n}^{*}{{D}_{2}}{{F}_{n}}G_{{ - 1}}^{*}$ во второе уравнение (14)

После умножения слева на ${{F}_{n}}G_{{ - 1}}^{*}$, а справа на ${{G}_{{ - 1}}}F_{n}^{*}$ имеем

Получаем, что каждый диагональный элемент матрицы ${{D}_{2}}$ должен удовлетворять одному и тому же квадратному уравнению

относительно x. Если предположить, что уравнение (17) имеет корни ${{\gamma }_{2}} \pm {{\delta }_{2}}$, то диагональную матрицу ${{D}_{2}}$ можно записать в виде где $D_{0}^{{(2)}}$ – нескалярная инволютивная диагональная матрица, подчиненная условиям

Тогда для самой матрицы ${{S}^{{(1)}}}$ справедливо представление

в котором ${{S}_{0}}$ – нескалярный симметричный инволютивный косой циркулянт.

Заметим, что из нескалярности ${{C}^{{(1)}}}$ и ${{S}^{{(1)}}}$ следуют условия

Используя представления (6), (13), (16) и (18), можем записать

где $a = t_{0}^{{(1)}} + {{\gamma }_{1}} + {{\gamma }_{2}}$, $b = t_{0}^{{(2)}} + \lambda {{\gamma }_{1}} + \frac{1}{\lambda }{{\gamma }_{2}}$.

Подставим выражения (20) в (5)

или

Матрица в левой части является нескалярным циркулянтом, в правой – косым циркулянтом. Это возможно лишь в случае, если

и

В последнем равенстве матрица в левой части является нескалярной, в правой – скалярной. Чтобы это равенство было верным, должно выполняться условие

Так как $\lambda \ne \pm 1$, то из (21) и (23) получаем, что $a = b = 0$ и (22) превращается в условие

Подстановка в (20) дает представление для ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$

Приходим к классу 3 с $\alpha = {{\delta }_{1}}$, $\beta = \lambda {{\delta }_{1}}$ и нескалярными инволютивными циркулянтом ${{C}_{0}}$ и косым циркулянтом $\xi {{S}_{0}}$. Из условия $\lambda \ne \pm 1$ и (19) имеем, что $\alpha \ne \pm \beta $. Теорема доказана.