Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 6, стр. 994-1006

1. ВВЕДЕНИЕ

Многие задачи физики и прикладных наук сводятся к локальным и нелокальным краевым задачам для уравнения параболического типа. Приближенные решения локальных и нелокальных краевых задач для параболических уравнений были широко исследованы многими авторами (см., например, [1]–[32 ] и ссылки, указанные в них).

В статье [19] рассмотрена однозначная разрешимость нелокальной по времени краевой задачи:

для параболического уравнения в гильбертовом пространстве $H$ с позитивными самосопряженными операторами $A$ и $B$. Здесь $f:\left( {0,T} \right) \to H$ и $a:\left[ {0,T} \right] \to {{R}^{1}}$ – заданные функции, $\varphi \in H$ – известный элемент, $B$ является ограниченным и $D(B) = H.$

В данной статье исследуется корректность нелокальной по времени краевой задачи (1.1) для параболического уравнения. Приведены одношаговые абсолютно устойчивые разностные схемы первого и второго порядка точности для численного решения дифференциальной задачи (1.1) и установлены теоремы об устойчивости этих разностных схем. Представлены числовые иллюстрации в тестовом примере.

2. ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ НЕЛОКАЛЬНОЙ ПО ВРЕМЕНИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Лемма 1. Для всех значений $t \geqslant 0$ имеют место оценки:

Лемма 2. Предположим, что условие

выполнено. Тогда оператор $I - \int_0^T {a(s)B{{e}^{{ - As}}}ds} $ имеет обратный $Q$ и последующая оценкавыполнена.

Доказательства этих оценок основаны на спектральном представлении самосопряженного положительно-определенного оператора в гильбертовом пространстве.

Здесь и далее $M$ указывает на положительные константы, которые время от времени могут изменяться. Если константа зависит только от $a$, то мы будем писать ${{M}_{a}}.$

Лемма 3. Для решения задачи (1.1) имеем следующую формулу:

Доказательство. При гладких данных существует единственное решение проблемы (см. [5]):

и для решения имеет место формула (2.4). Применяя эту формулу и нелокальное условие

$u(0) = \int_0^T {a(s)Bu(s)ds} + \varphi ,$

убеждаемся в том, что

По лемме 2 оператор $I - \int_0^T {a(s)B{{e}^{{ - As}}}ds} $ имеет обратную $Q = {{\left( {I - \int_0^T {a(s)B{{e}^{{ - As}}}ds} } \right)}^{{ - 1}}}.$ Отсюда следует и формула (2.5). Лемма 3 доказана.

Обозначим через $C_{0}^{\alpha }\left( {\left[ {0,T} \right],H} \right),\;0 < \alpha < 1,$ банахово пространство, полученное пополнением множества гладких H-значных функций $\varphi (t)$, определенных на $\left[ {0,T} \right]$ в норме

Здесь $C\left( {\left[ {0,T} \right],H} \right)$ обозначает банахово пространство всех абстрактных непрерывных функций $\varphi (t)$, определенных на $\left[ {0,T} \right]$ со значениями в $H$ и нормой

Теорема 1. Предположим, что выполнены условия лемм 1 и 2. Пусть $\varphi \in D(A)$ и $f(t)$ – непрерывно дифференцируемая функция на $[0,T]$. Тогда существует единственное решение $u(t)$ задачи (1.1) и для решения выполняются неравенства устойчивости

и

Доказательство. Применяя формулу (2.4) и оценку (2.1), для всех $t \in \left( {0,T} \right]$ получаем

Используя формулу (2.5), неравенство треугольника и оценки (2.1), (2.2), (2.3), получаем Следовательно, оценка (2.7) следует из (2.9) и (2.10). Теперь получим оценку (2.8). По формуле (2.4) и интегрированием по частям получаем Применяя эту формулу и оценку (2.1), получаем оценку для всех $t \in \left( {0,T} \right]$.

По формуле (2.5) и интегрированием по частям получаем

По этой формуле и оценкам (2.1), (2.2), (2.3), получаем Комбинируя оценки (2.12) и (2.14), получаем Тогда оценка для ${{\left\| {u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} (t)} \right\|}_{H}}$ следует из уравнения (1.1) и оценки (2.15). Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Предположим, что выполнены условия лемм 1 и 2. Пусть $f(t) \in C_{0}^{\alpha }\left( {\left[ {0,T} \right],H} \right)$ и $\varphi \in D(A)$. Тогда краевая задача (1.1) корректна в пространстве Гёльдера $C_{0}^{\alpha }\left( {\left[ {0,T} \right],H} \right).$ Для решения краевой задачи $u(t)$ в $C_{0}^{\alpha }\left( {\left[ {0,T} \right],H} \right)$ коэрцитивное неравенство

выполнено.

Доказательство. Применяя формулу (2.14) и оценки (2.1), (2.2), (2.3), получаем

Отсюда и из корректности начальной задачи (2.6) в $C_{0}^{\alpha }\left( {\left[ {0,T} \right],H} \right)$ статьи [1] следует оценка (2.16). Теорема 2 доказана.

Замечание 1. Отметим, что корректность краевой задачи (1.1) теоремы 2 в произвольном банаховом пространстве $E$ выполняется при предположении $I - \int_0^T {a(s)B{{e}^{{ - As}}}ds} $ имеет ограниченный обратный в $E$.

3. УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЭРЦИТИВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Пусть  ${{C}_{\tau }}\left( H \right) = C\left( {{{{\left[ {0,T} \right]}}_{\tau }},H} \right)$,  $C_{\tau }^{\alpha }\left( H \right) = C_{0}^{\alpha }\left( {{{{\left[ {0,T} \right]}}_{\tau }},H]} \right)$,  $\alpha \in (0,1)$,  –   банаховы пространства всех сеточных функций ${{w}_{\tau }} = \left\{ {{{w}_{k}}} \right\}_{{k = 0}}^{N}$ со значением в $H$ и определенных на ${{\left[ {0,T} \right]}_{\tau }} = \left\{ {{{t}_{k}} = k\tau ,\;0\;\leqslant \;k\;\leqslant \;N,\;N\tau = T} \right\}$ соответствующими нормами

Для приближения краевых задач ((1)) представим соответствующие разностные схемы первого порядка точности и второго порядка точности. Здесь ${{a}_{i}} = a({{t}_{i}}),\;{{t}_{i}} = i\tau ,\;0\;\leqslant \;i\;\leqslant \;N,\;N\tau = T.$ Из положительности оператора $A$ следует, что существуют ограниченные операторы шага $R = R(\tau A),$ $P = P(\tau A)$ этих разностных схем на всем пространстве $H$, определяемые формулами

Лемма 4. Для всех $k = 1,...,N$ оценки

выполнены.

Лемма 5. Предположим, что

Тогда операторимеет обратную ${{Q}_{\tau }}$ и последующая оценкавыполнена.

Доказательства этих оценок основываются на спектральном представлении самосопряженных положительно-определенных операторов в гильбертовом пространстве.

Лемма 6. Для решения разностных схем (3.1) и (3.2) имеем следующую формулу:

Доказательство. Для решения разностных схем

имеем формулу (3.6). Применяя эту формулу и нелокальное условие имеем По лемме 5 оператор $I - \frac{{{{a}_{0}}B + {{a}_{N}}B{{R}^{N}}}}{2}\tau - \sum\nolimits_{i = 1}^{N - 1} {{{a}_{i}}{{R}^{i}}B\tau } $ имеет обратную ${{Q}_{\tau }}$. Отсюда следует формула (3.7). Лемма 6 доказана.

Теорема 3. Пусть $\tau $ – достаточно малое число. Тогда разностные схемы (3.1) и (3.2) устойчивы в ${{C}_{\tau }}(H)$ и $C_{\tau }^{\alpha }(H)$ и для решений разностных схем (3.1) и (3.2) в ${{C}_{\tau }}(H)$ и $C_{\tau }^{\alpha }(H)$ справедливы следующие неравенства устойчивости:

Доказательство. Неравенства устойчивости

для решения разностных схем (3.8) и (3.9) в ${{C}_{\tau }}(H)$ и $C_{\tau }^{\alpha }(H)$ были доказаны ранее (см. [2]). Используя формулу (3.7) и оценку (3.3), получаем оценки для решения разностных схем (3.1) и (3.2) в ${{C}_{\tau }}(H)$ и $C_{\tau }^{\alpha }(H).$ Следовательно, оценки (3.10) и (3.11) вытекают из оценок (3.12)–(3.15). Теорема 3 доказана.

Поскольку нелокальная краевая задача (1.1) в пространстве $C(\left[ {0,T} \right],H)$ непрерывных со значением в $H$ функций, определенных на $[0,T]$, не является корректно поставленным для общего положительного оператора $A$ и пространства $H$, то корректность разностных схем (3.1) и (3.2) в норме ${{C}_{\tau }}(H)$ не имеет места равномерно относительно $\tau > 0$. Это означает, что коэрцитивная норма

стремится к $\infty $ при $\tau \to + 0$. Здесь и в будущем мы полaгаем Исследование разностных схем (3.1) и (3.2) в норме ${{C}_{\tau }}(H)$ позволяет установить порядок роста этой нормы к $\infty $.

Теорема 4. Пусть $\tau $ – достаточно малое число. Тогда для решения разностных схем (3.1) и (3.2) имеем неравенство почти коэрцитивной устойчивости

Доказательство. Доказательство теоремы основано на оценке почти коэрцитивной устойчивости

для решения разностных схем (3.8) и (3.9) в ${{C}_{\tau }}(H)$ работы [2] и оценки для решения разностных схем (3.1) и (3.2) в ${{C}_{\tau }}(H)$. Теорема 4 доказана.

Теорема 5. Пусть $\tau $ – достаточно малое число и $\varphi \in D(A)$. Тогда для решения разностных схем (3.1) и (3.2) выполняется следующее неравенство коэрцитивной устойчивости в $C_{\tau }^{\alpha }(E)$

Доказательство. Доказательство этой теоремы основано на теореме о корректности в $C_{\tau }^{\alpha }(E)$ разностных схем (3.8) и (3.9) статей [2] и [11] и оценки коэрцитивной устойчивости

для решения разностных схем (3.1) и (3.2) . Теорема 5 доказана.

Замечание 2. Переходя к пределу для $\tau \to 0$ в (5), мы можем получить корректность нелокальной краевой задачи (1.1) в $C_{0}^{\alpha }\left( {\left[ {0,T} \right],H} \right)$ теоремы 4.

Замечание 3. Отметим, что оценка устойчивости, оценка почти коэрцитивной устойчивости и оценка коэрцитивной устойчивости разностных схем (3.1) и (3.2) теорем 3–5 в произвольном банаховом пространстве $E$ верны при предположении, что

имеет ограниченный обратный в $E$.

4. ПРИЛОЖЕНИЯ

В этом разделе мы рассмотрим приложения результатов теорем 3 и 4 для нелокальных краевых задач для параболических уравнений и теорем 6–8 для решений разностных схем для приближенных решений этих параболических уравнений.

Во-первых, рассматривается нелокальная краевая задача для одномерного параболического уравнения

Здесь $0 < a \leqslant a\left( x \right),\;a(l) = a(0)$ и $\delta $ – положительная константа. В условиях совместимости задача (4.1) имеет единственное решение $v(t,x)$ для гладких функций $a\left( x \right),\;x \in \left( {0,l} \right),\;\varphi (x)$, $x \in [0,l]$, $f(t,x)$, $(t,x),\;(0,T) \times (0,l)$. Это позволяет сводить смешанную задачу (4.10) к нелокальной краевой задаче (1.1) в гильбертовом пространстве $H = {{L}_{2}}[0,l].$

Известно, что дифференциальное выражение

определяет самосопряженный положительно-определенный оператор $A$ с области определения Применяя результаты теорем 3 и 4, мы можем получить утверждения об устойчивости и коэрцитивной устойчивости.

Теорема 6. Предположим, что $\varphi (x) \in W_{2}^{2}(0,l)$ и $f(t,x) \in C_{0}^{\alpha }\left( {\left[ {0,T} \right],{{L}_{2}}(0,l)} \right)$ и условие $\int_0^T \left| {a(s)} \right|ds{{\left\| B \right\|}_{{{{L}_{2}}(0,l) \to {{L}_{2}}(0,l)}}} < 1$ выполнено. Тогда задача (4.1) имеет единственное решение $u \in C_{0}^{\alpha }\left( {\left[ {0,T} \right],{{L}_{2}}(0,l)} \right)$ и для решения нелокальной краевой задачи (4.1) следующие оценки устойчивости:

и оценки коэрцитивной устойчивостивыполнены.

Здесь пространство Соболева $W_{2}^{2}(0,l)$ определяется как множество всех функций ${v}(x)$, определенных на $(0,l)$, таких что как ${v}(x),\;{v}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} (x)$, так и ${v}{\kern 1pt} ''(x)$ локально интегрируемы в ${{L}_{2}}(0,l)$, снабженные нормой

Кроме того, пусть ${{L}_{{2h}}} = {{L}_{2}}{{\left[ {0,l} \right]}_{h}}$ и $W_{{2h}}^{2} = W_{2}^{2}{{\left[ {0,l} \right]}_{h}}$ – нормированные пространства всех сеточных функций ${{\gamma }^{h}}\left( x \right) = \left\{ {{{\gamma }_{n}}} \right\}_{{n = 0}}^{M}$ определенных на ${{\left[ {0,l} \right]}_{h}} = \left\{ {{{x}_{n}} = nh,\;0\;\leqslant \;n\;\leqslant \;M,\;Mh = l} \right\}$ с нормами и соответственно. Кроме того, введем разностный оператор $A_{h}^{x}$ определенной формулой действующие в пространстве сеточных функций ${{u}^{h}}\left( x \right) = \left\{ {{{u}_{n}}} \right\}_{{n = 0}}^{M}$ определенных на ${{\left[ {0,l} \right]}_{h}}$ удовлетворяющих условиям ${{u}_{M}} = {{u}_{0}},\;{{u}_{1}} - {{u}_{0}} = {{u}_{M}} - {{u}_{{M - 1}}}.$ Для численного решения $\left\{ {u_{k}^{h}\left( x \right)} \right\}_{{k = 0}}^{N}$ нелокальной краевой задачи (4.1), представляем разностные схемы первого и второго порядка точности по $t$ соответственно. Применяя результаты теорем 3, 4 и 5, можно получить результаты устойчивости, почти коэрцитивной устойчивости и коэрцитивной устойчивости для (4.8) и (4.9).

Теорема 7. Пусть $\tau $ и $h$ являются достаточно малыми числами и условие

выполнено. Тогда решения разностных схем (4.8) и (4.9) удовлетворяют оценку устойчивостиоценку почти коэрцитивной устойчивости и оценку почти коэрцитивной устойчивости Во-вторых, пусть $\Omega $ – единичный куб в n-мерном евклидовом пространстве ${{R}^{n}}$ $(0 < {{x}_{k}} < 1,$ $1 \leqslant k \leqslant n)$ с границей $S$ и $\widetilde \Omega = \Omega \cup S.$ B $[0,T] \times \widetilde \Omega $. В $[0,T] \times \widetilde \Omega $ рассмотрим нелокальную краевую задачу для многомерного параболического уравнения Задача (4.10) имеет единственное гладкое решение $u(t,x)$ для гладких функций ${{a}_{r}}(x) \geqslant a > 0$ $(x \in \Omega ),$ $\varphi (x)(x \in \widetilde \Omega )$ и $f(t,x)$ $(t \in [0,T],\;x \in \Omega )$. Это позволяет свести смешанную задачу (4.10) к нелокальной краевой задаче (1.1) в гильбертовом пространстве $H = {{L}_{2}}(\Omega )$ всех интегрируемых функций, определенных на $\Omega ,$ с нормой с самосопряженным положительно-определенным оператором ${{A}^{x}}$, определяемым формулой с областю определения Применяя результаты теорем 1, 2, 3 и теоремы о неравенстве коэрцитивности для решения эллиптической задачи в ${{L}_{2}}(\bar {\Omega })$ (см. [19]), можно получить результаты устойчивости и коэрцитивной устойчивости.

Теорема 8. Предположим, что $\varphi (x) \in W_{2}^{2}(\Omega )$ и $f(t,x) \in C_{0}^{\alpha }\left( {\left[ {0,T} \right],{{L}_{2}}(\Omega )} \right)$ и условие $\int_0^T \left| {a(s)} \right|ds{{\left\| B \right\|}_{{_{{H \to H}}}}} < 1$ выполнено. Тогда задача (4.10) имеет единственное решение $u \in C_{0}^{\alpha }\left( {\left[ {0,T} \right],{{L}_{2}}(\Omega )} \right)$ и решение нелокальной краевой задачи (4.10) удовлетворяет следующим оценкам устойчивости:

и коэрцитивной устойчивостиЗдесь пространство Соболева $W_{2}^{2}(\Omega )$ определяется как множество всех функций $u$, определенных на $\Omega $ таких, что $u$ и все функции производной в частных производных второго порядка ${{u}_{{{{x}_{r}}}}}_{{{{x}_{r}}}},\;r = 1,\;...,\;n,$ все интегрируемы в ${{L}_{2}}(\Omega )$, снабжены нормой Численное решение задачи (4.10) проводилось в два этапа. На первом этапе определяется сетка и сеточный оператор $A_{h}^{x}$ формулой действующий в пространстве сеточных функций ${{u}^{h}}(x),$ удовлетворяющих условиям ${{u}^{h}}(x) = 0$ для всех $x \in {{S}_{h}}$. С помощью $A_{h}^{x}$ мы приходим к нелокальной краевой задаче для бесконечной системы дифференциальных уравнений.

На втором этапе задача (4.16) заменяется разностными схемами первого и второго порядка точности по $t:$

соответственно. Чтобы сформулировать результат устойчивости, введем пространство ${{L}_{{2h}}} = {{L}_{2}}({{\Omega }_{h}})$ всех сеточных функций ${{\varphi }^{h}}(x) = \varphi ({{h}_{1}}{{m}_{1}},...,{{h}_{n}}{{m}_{n}})$, определенных на $x \in {{\widetilde \Omega }_{h}}$, снабженных нормой Применяя результаты теорем 1, 2, 3 и теоремы о неравенстве коэрцитивности для решения эллиптической разностной задачи в ${{L}_{{2h}}}$ (см. [33]), можно получить результаты устойчивости и коэрцитивной устойчивости.

Теорема 9. Пусть $\tau $ и $\left| h \right| = \sqrt {h_{1}^{2} + h_{2}^{2} + ... + h_{n}^{2}} $ – достаточно малые числа и условие

выполнено. Тогда для решения разностных схем (4.17) и (4.18) выполнены оценка устойчивостиоценка почти коэрцитивной устойчивости оценка коэрцитивной устойчивости

5. ЧИСЛЕННЫЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ

Теперь применим разностные схемы первого и второго порядка точности к нелокальной краевой задаче

для одномерного параболического уравнения с использованием разностных схем (4.17) и (4.18) .

Точное решение задачи: $u\left( {t,x} \right) = \exp ( - t)\sin x.$ Набор семейства узлов сетки ${{[0,1]}_{\tau }} \times 0,\pi {{]}_{h}}$ в зависимости от параметров $\tau $ и $h$ определяется в виде

Для численного решения разностных схем применяется модифицированный метод исключения Гаусса для системы уравнений с матричными коэффициентами.

Для сравнения приближенного решения с точным решением ошибка вычисляется по формуле

В табл. 1 представлена ошибка между точным решением и решениями разностных схем (4.17) и (4.18) и порядок соответствующих приближений.

Ошибки разностных схем представлены в табл. 1 для $N,\;M,\;40,\;80,\;160$ соответственно. Из табл. 1 видно, что порядок точности сходится к единице для разностной схемы (4.17) и к двум для разностной схемы (4.18) .

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной статье исследуются нелокальные по времени задачи параболического типа. Приведены одношаговые абсолютно устойчивые разностные схемы первого и второго порядка точности для численного решения дифференциальной задачи и установлены теоремы об устойчивости этих разностных схем. Цифровые иллюстрации описаны в тестовом примере.