Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 6, стр. 912-932
Формулы аналитического продолжения функций горна двух переменных
С. И. Безродных *
ФИЦ ИУ РАН
119333 Москва, ул. Вавилова, 44, Россия
* E-mail: sbezrodnykh@mail.ru
Поступила в редакцию 02.09.2021
После доработки 24.09.2021
Принята к публикации 07.10.2021
- EDN: GVQBQQ
- DOI: 10.31857/S0044466922060047
Аннотация
Рассматриваются гипергеометрические ряды Горна двух переменных и соответствующие им системы уравнений с частными производными. Предложен метод нахождения формул аналитического продолжения произвольных рядов такого типа в виде линейных комбинаций других решений той же системы уравнений, которой удовлетворяет исходный ряд. В качестве примера построены формулы продолжения двух рядов из известного списка Горна. Библ. 32.
1. ВВЕДЕНИЕ
Гипергеометрические функции двух и большего числа переменных возникают при конструктивном решении многих задач математической физики (см., например, [1]–[14]). Важные классы таких функций определяются в виде кратных степенн${\text{ы}}'$х рядов, имеющих конечные области сходимости. В связи с этим вопрос об аналитическом продолжении является одним из центральных в теории гипергеометрических функций и соответствующих им систем уравнений с частными производными (см. [1], [3], [7], [15]–[17]).
Настоящая работа посвящена выводу формул аналитического продолжения для гипергеометрических рядов Горна следующего вида:
(1.1)
${{F}^{{(M)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}): = \sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \left( {\frac{1}{{{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}}\prod\limits_{j = 1}^M \frac{{\Gamma ({{g}_{j}})}}{{\Gamma ({{g}_{j}} + {{\alpha }_{j}}{{k}_{1}} + {{\beta }_{j}}{{k}_{2}})}}} \right)z_{1}^{{{{k}_{1}}}}z_{2}^{{{{k}_{2}}}},$(1.2)
$\begin{array}{*{20}{l}} {\mathfrak{L} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\alpha }_{1}}}&{{{\alpha }_{2}}}& \ldots &{{{\alpha }_{M}}} \\ {{{\beta }_{1}}}&{{{\beta }_{2}}}& \ldots &{{{\beta }_{M}}} \end{array}} \right),} \end{array}$(1.3)
$\sum\limits_{j = 1}^M {{{\alpha }_{j}}} = - 1,\quad \sum\limits_{j = 1}^M {{{\beta }_{j}}} = - 1;$Отметим, что согласно определению Горна (см. [18], а также [3], [7], [15], [19]) степенной ряд $\sum \,\lambda ({{k}_{1}},{{k}_{2}})z_{1}^{{{{k}_{1}}}}z_{2}^{{{{k}_{2}}}}$ называется гипергеометрическим, если его коэффициенты $\lambda ({{k}_{1}},{{k}_{2}})$ таковы, что отношения двух соседних $\lambda ({{k}_{1}} + 1,{{k}_{2}}){\text{/}}\lambda ({{k}_{1}},{{k}_{2}})$ и $\lambda ({{k}_{1}},{{k}_{2}} + 1){\text{/}}\lambda ({{k}_{1}},{{k}_{2}})$ представляют собой рациональные функции индексов суммирования ${{k}_{1}}$ и ${{k}_{2}}$. Нетрудно убедиться в том, что коэффициенты ряда (1.1), имеющие вид
(1.4)
$\frac{{\Lambda ({{k}_{1}} + 1,{{k}_{2}})}}{{\Lambda ({{k}_{1}},{{k}_{2}})}} = \frac{{{{P}_{1}}({{k}_{1}},{{k}_{2}})}}{{{{Q}_{1}}({{k}_{1}},{{k}_{2}})}},\quad \frac{{\Lambda ({{k}_{1}},{{k}_{2}} + 1)}}{{\Lambda ({{k}_{1}},{{k}_{2}})}} = \frac{{{{P}_{2}}({{k}_{1}},{{k}_{2}})}}{{{{Q}_{2}}({{k}_{1}},{{k}_{2}})}},$(1.5)
${{P}_{1}}({{k}_{1}},{{k}_{2}}) = \prod\limits_{j:{{\alpha }_{j}} < 0} \,{{(({{k}_{1}} + 1){{\alpha }_{j}} + {{k}_{2}}{{\beta }_{j}} + {{g}_{j}})}_{{|{{\alpha }_{j}}|}}},\quad {{Q}_{1}}({{k}_{1}},{{k}_{2}}) = ({{k}_{1}} + 1)\prod\limits_{j:{{\alpha }_{j}} > 0} \,{{({{k}_{1}}{{\alpha }_{j}} + {{k}_{2}}{{\beta }_{j}} + {{g}_{j}})}_{{{{\alpha }_{j}}}}},$(1.6)
${{P}_{2}}({{k}_{1}},{{k}_{2}}) = \prod\limits_{j:{{\beta }_{j}} < 0} \,{{({{k}_{1}}{{\alpha }_{j}} + ({{k}_{2}} + 1){\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\beta }_{j}} + {{g}_{j}})}_{{|{{\beta }_{j}}|}}},\quad {{Q}_{2}}({{k}_{1}},{{k}_{2}}) = ({{k}_{2}} + 1)\prod\limits_{j:{{\beta }_{j}} > 0} \,{{({{k}_{1}}{{\alpha }_{j}} + {{k}_{2}}{{\beta }_{j}} + {{g}_{j}})}_{{{{\beta }_{j}}}}},$(1.7)
${{(a)}_{m}}: = \frac{{\Gamma (a + m)}}{{\Gamma (a)}} = \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}\Gamma (1 - a)}}{{\Gamma (1 - a - m)}},$(1.8)
${{(a)}_{0}} = 1,\quad {{(a)}_{m}} = \left\{ \begin{gathered} {{(a)}_{m}} = a{\kern 1pt} (a + 1) \cdots (a + m - 1),\quad m = 1,2, \ldots , \hfill \\ {{( - 1)}^{m}}{{[(1 - a)(2 - a) \cdots ((1 - a) - m - 1)]}^{{ - 1}}},\quad m = - 1, - 2, \ldots \,. \hfill \\ \end{gathered} \right.$Согласно общим результатам теории рядов Горна, ряд (1.1) является решением следующей системы уравнений с частными производными (см. [3], [7], [15], [19]):
(1.9)
${{\mathcal{Q}}_{1}}(z_{1}^{{ - 1}}u({{z}_{1}},{{z}_{2}})) = {{\mathcal{P}}_{1}}u({{z}_{1}},{{z}_{2}}),\quad {{\mathcal{Q}}_{2}}(z_{2}^{{ - 1}}u({{z}_{1}},{{z}_{2}})) = {{\mathcal{P}}_{2}}u({{z}_{1}},{{z}_{2}}),$В работе рассматривается проблема построения формул аналитического продолжения рядов Горна (1.1) за границу области ${{\Omega }_{0}}$ его сходимости в виде конечных сумм
(1.10)
${{F}^{{(M)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \sum \,{{\lambda }_{m}}{{u}_{m}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}),$Сформулированная задача о построении формул (1.10) является частью общей проблемы аналитического продолжения рядов Горна $N$ переменных. Для конкретных представителей семейства гипергеометрических функций двух и большего числа переменных вопрос о построении формул продолжения рассматривался, например, в [1], [4], [17], [21]–[24], где были получены частные, но содержательные результаты.
Важным этапом в решении общей проблемы аналитического продолжения функций Горна произвольного числа переменных являются результаты статей [7], [25]–[27]. В этих работах была решена проблема продолжения функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$, зависящей от $N \geqslant 2$ переменных $({{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}) \in {{\mathbb{C}}^{N}}$, которая в единичном поликруге ${{\mathbb{U}}^{N}} = \{ |{\kern 1pt} {{z}_{j}}{\kern 1pt} |\, < 1,\;j = \overline {1,N} \} $ представима следующим степенн${\text{ы}}\prime $м рядом:
(1.11)
$F_{D}^{{(N)}}({{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{N}};b,c;{{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}): = \sum\limits_{|{\mathbf{k}}| = 0}^\infty \frac{{{{{(b)}}_{{|{\mathbf{k}}|}}}{{{({{a}_{1}})}}_{{{{k}_{1}}}}} \cdots {{{({{a}_{N}})}}_{{{{k}_{N}}}}}}}{{{{{(c)}}_{{\mathbf{k}}}}{{k}_{1}}! \cdots {{k}_{N}}!}}z_{1}^{{{{k}_{1}}}} \cdots z_{N}^{{{{k}_{N}}}};$В [28], являющейся развитием исследований [7], [25], предложен весьма общий подход, позволяющий находить формулы аналитического продолжения рядов Горна, зависящих от произвольного числа переменных ${{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}$. В настоящей работе результаты [28] применены для случая рядов Горна (1.1) двух переменных, важного как с теоретической, так и с прикладной точек зрения.
Основным результатом следующего разд. 1 является теорема 1, устанавливающая в явном виде формулу продолжения ряда (1.1) по одному из двух переменных ${{z}_{1}}$ или ${{z}_{2}}$. Такая формула дает представления функции ${{F}^{{(M)}}}({{z}_{1}},{{z}_{2}})$ вне области сходимости ряда (1.1) в виде линейной комбинации конечного числа других рядов Горна двух новых переменных ${{w}_{1}}$, ${{w}_{2}}$, одно из которых равно ${{w}_{1}} = 1{\text{/}}{{z}_{1}}$ (или ${{w}_{1}} = 1{\text{/}}{{z}_{2}}$), а второе имеет вид ${{w}_{2}} = z_{1}^{\mu }z_{2}^{\nu }$, где $\mu $ и $\nu $ ($\nu \not { = }0$) – целые числа, выражающиеся через элементы матрицы (1.2). Аналитическое продолжение по двум переменным ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ строится путем повторного (возможно, неоднократного) применения теоремы 1 для продолжения по переменному ${{w}_{2}}$ и новым переменным, которые возникают в результате такого продолжения.
Указанным способом можно, в частности, построить формулы аналитического продолжения всех гипергеометрических рядов второго порядка из списка Горна. В разд. 3 и 4 в качестве примера приложения результатов разд. 2 построены формулы продолжения рядов ${{H}_{3}}$ и ${{H}_{4}}$ из этого списка (см. [1], [15], [16]), которые определяются равенствами
(1.12)
${{H}_{3}}(a,b,c;{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(a)}}_{{2{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(b)}}_{{{{k}_{2}}}}}}}{{{{{(c)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}}z_{1}^{{{{k}_{1}}}}z_{2}^{{{{k}_{2}}}},$(1.13)
${{H}_{4}}(a,b,c,d;{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(a)}}_{{2{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(b)}}_{{{{k}_{2}}}}}}}{{{{{(c)}}_{{{{k}_{1}}}}}{{{(d)}}_{{{{k}_{2}}}}}{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}}z_{1}^{{{{k}_{1}}}}z_{2}^{{{{k}_{2}}}}$(1.14)
$\left\{ {\left| {{{z}_{1}}} \right| < \frac{1}{4},\left| {{{z}_{2}}} \right| < \frac{1}{2} + {{{\left( {\frac{1}{4} - \left| {{{z}_{1}}} \right|} \right)}}^{{1/2}}}} \right\},$(1.15)
$\{ ({{z}_{1}},{{z}_{2}}) \in {{\mathbb{C}}^{2}}:2{{\left| {{{z}_{1}}} \right|}^{{1/2}}} + \left| {{{z}_{2}}} \right| < 1\} .$Отметим, что различные аспекты теории функции Горна двух переменных активно развиваются в настоящее время (см., например, исследования авторов работ [29], [30]).
2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ДВОЙНОГО РЯДА ГОРНА
2.1. Формулы продолжения по одному переменному
В настоящем разделе представлена теорема, которая дает формулу аналитического продолжения рядов (1.1) по одному из двух переменных. Далее потребуются следующие обозначения:
(2.1)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{I}^{0}}(\mathfrak{L}): = \{ j:{{\alpha }_{j}} = 0\} ,\quad {{I}^{ - }}(\mathfrak{L}): = \{ j:{{\alpha }_{j}} < 0\} ,\quad {{I}^{ + }}(\mathfrak{L}): = \{ j:{{\alpha }_{j}} > 0\} ,} \end{array}$(2.2)
$\sigma _{{j,{\mathbf{r}}}}^{{(s)}}: = \left\{ \begin{gathered} {{g}_{j}} + \frac{{{{\alpha }_{j}}}}{{{{\alpha }_{s}}}}(1 - {{g}_{s}}) + \frac{1}{{{{\alpha }_{s}}}}[{{\alpha }_{j}}{{r}_{1}} - \omega _{j}^{{(s)}}{{r}_{2}}],\quad j\not { = }s, \hfill \\ 1 + \alpha _{s}^{{ - 1}}(1 - {{g}_{s}} + {{r}_{1}} - {{\beta }_{s}}{{r}_{2}}),\quad j = s, \hfill \\ \end{gathered} \right.$Введем следующий ряд:
(2.4)
${{\mathcal{F}}^{{(M)}}}(\mathfrak{M},\varkappa ;{\mathbf{h}},{\mathbf{r}};{{w}_{1}},{{w}_{2}}): = \sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \,\Xi ({{k}_{1}},{{k}_{2}})w_{1}^{{{{k}_{1}}}}w_{2}^{{{{k}_{2}}}},$(2.5)
$\Xi ({{k}_{1}},{{k}_{2}}): = \frac{1}{{({{r}_{1}} + \varkappa {{k}_{1}})!({{r}_{2}} + \varkappa {{k}_{2}})!}}\prod\limits_{j = 1}^M \frac{{\Gamma ({{h}_{j}})}}{{\Gamma ({{h}_{j}} + {{\lambda }_{j}}{{k}_{1}} + {{\omega }_{j}}{{k}_{2}})}};$(2.7)
$\begin{array}{*{20}{l}} {\mathfrak{M} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\lambda }_{1}}}&{{{\lambda }_{2}}}& \ldots &{{{\lambda }_{M}}} \\ {{{\omega }_{1}}}&{{{\omega }_{2}}}& \ldots &{{{\omega }_{M}}} \end{array}} \right),} \end{array}$$\sum\nolimits_{j = 1}^M \,{{\lambda }_{j}} + \varkappa = 0$, $\sum\nolimits_{j = 1}^M \,{{\omega }_{j}} + \varkappa = 0$.
Следующее утверждение, вытекающее из [28, теорема 2.3], позволяет аналитически продолжить ряд (1.1) по переменному ${{z}_{1}}$.
Теорема 1. Предположим, что параметры ряда (1.1) таковы, что ни одно из следующих чисел не является неположительным целым:
(2.8)
$\begin{array}{*{20}{l}} {(1 - \sigma _{{j,{\mathbf{r}}}}^{{(s)}}) \notin {{\mathbb{Z}}^{ - }},\quad {\mathbf{r}} = ({{r}_{1}},{{r}_{2}}),\quad {{r}_{k}} = \overline {0,|{\kern 1pt} {{\alpha }_{s}}{\kern 1pt} | - 1} ,\quad k = 1,2,\quad s,j \in {{I}^{ - }},} \end{array}$(2.9)
${{F}^{{(M)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \sum\limits_{s \in {{I}^{ - }}} \,\sum\limits_{{{r}_{1}},{{r}_{2}} = 0}^{|{{\alpha }_{s}}| - 1} \,{{B}_{{s,{\mathbf{r}}}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}}){{\mathcal{U}}_{{s,{\mathbf{r}}}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}});$(2.10)
${{\mathcal{U}}_{{s,{\mathbf{r}}}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = (({{\varepsilon }_{1}}{{z}_{1}}{{)}^{{ - 1 + {{g}_{s}} - {{r}_{1}}}}}{{({{\varepsilon }_{{2,s}}}{{w}_{{2,s}}})}^{{{{r}_{2}}}}}{{)}^{{ - 1/{{\alpha }_{s}}}}}{{\mathcal{F}}^{{(M)}}}({{\mathfrak{M}}^{{(s)}}},\;|{\kern 1pt} {{\alpha }_{s}}{\kern 1pt} |;\;{{{\mathbf{h}}}_{{s,{\mathbf{r}}}}},{\mathbf{r}};\;w_{1}^{{(s)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}),w_{2}^{{(s)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}),$(2.11)
$w_{1}^{{(s)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{1}{{{{z}_{1}}}},\quad w_{2}^{{(s)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = z_{1}^{{{{\beta }_{s}}}}z_{2}^{{|{{\alpha }_{s}}|}},$(2.12)
${{\mathfrak{M}}^{{(s)}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {{\alpha }_{1}}}&{ - {{\alpha }_{2}}}& \ldots &{ - {{\alpha }_{{s - 1}}}}&{ - 1}&{ - {{\alpha }_{{s + 1}}}}& \ldots &{ - {{\alpha }_{M}}} \\ {\omega _{1}^{{(s)}}}&{\omega _{2}^{{(s)}}}& \ldots &{\omega _{{s - 1}}^{{(s)}}}&{{{\beta }_{s}}}&{\omega _{{s + 1}}^{{(s)}}}& \ldots &{\omega _{M}^{{(s)}}} \end{array}} \right);$(2.13)
${{\varepsilon }_{1}}: = {{( - 1)}^{{{{\theta }_{1}}}}},\quad {{\theta }_{1}}: = 1 + \sum\limits_{s \in {{I}^{ - }}} \left| {{{\alpha }_{s}}} \right|,\quad {{\varepsilon }_{{2,s}}}: = ( - {{1)}^{{{{\theta }_{{2,s}}}}}},\quad {{\theta }_{{2,s}}}: = {{\beta }_{s}} + \sum\limits_{j \in {{I}^{ - }}\backslash \{ s\} } \omega _{j}^{{(s)}}.$(2.14)
${{B}_{{s,{\mathbf{r}}}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}}) = \frac{{{{{( - 1)}}^{{{{r}_{1}}}}}}}{{|{\kern 1pt} {{\alpha }_{s}}{\kern 1pt} |}}\left( {\prod\limits_{j \in {{I}^{0}} \cup {{I}^{ + }}} \frac{{\Gamma ({{g}_{j}})}}{{\Gamma (\sigma _{{s,{\mathbf{r}}}}^{{(j)}})}}} \right)\prod\limits_{j \in {{I}^{ - }}} \frac{{\Gamma (1 - \sigma _{{j,{\mathbf{r}}}}^{{(s)}})}}{{\Gamma (1 - {{g}_{j}})}},$Если требуется построить формулу продолжения по переменному ${{z}_{2}}$, то для этого, очевидно, достаточно поменять местами первую и вторую строки матрицы $\mathfrak{L}$, переобозначить ${{\tilde {z}}_{1}} = {{z}_{2}}$, ${{\tilde {z}}_{2}} = {{z}_{1}}$, а затем воспользоваться утверждением теоремы 1. Область сходимости представления (2.9) может быть найдена путем применения результатов [15, п. 5.7.2] к каждому из рядов (2.10) с последующим построением пересечения областей их сходимости. Вид таких областей будет продемонстрирован на примере рядов Горна ${{H}_{3}}$ и ${{H}_{4}}$ в разд. 3, 4.
В разд. 3, 4 для нахождения аналитического продолжения рядов (1.12), (1.13) с помощью теоремы 1 будем использовать также следующие обозначения для функций (2.10) и коэффициентов (2.14): ${{\mathcal{U}}_{{s,({{r}_{1}},{{r}_{2}})}}} = {{\mathcal{U}}_{{s,{\mathbf{r}}}}}$, ${{B}_{{s,({{r}_{1}},{{r}_{2}})}}} = {{B}_{{s,{\mathbf{r}}}}}$.
2.2. Формула аналитического продолжения функции Фокса–Райта и ее приложение к аналитическому продолжению ряда Горна
Мы не останавливаемся на подробном выводе формул аналитического продолжения, которые устанавливает теорема 1, поскольку она является следствием теоремы 2.3 работы [28], для которой в [28] представлено подробное доказательство. Опишем лишь в общих чертах ход рассуждений. Прежде всего отметим, что применяемый подход использует следующий гипергеометрический ряд одного переменного, введенный Ф. Фоксом (см. [31]) и Е.М. Райтом (см. [32]):
(2.15)
$_{p}{{\mathcal{F}}_{q}}({\mathbf{a}},{\mathbf{m}};{\mathbf{b}},{\mathbf{n}};z): = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{({{a}_{1}},{{m}_{1}}k) \cdots ({{a}_{p}},{{m}_{p}}k)}}{{({{b}_{1}},{{n}_{1}}k) \cdots ({{b}_{q}},{{n}_{q}}k)k!}}{{z}^{k}},\quad |{\kern 1pt} z{\kern 1pt} |\; < \rho : = \left( {\prod\limits_{j = 1}^p \,m_{j}^{{ - {{m}_{j}}}}} \right)\prod\limits_{s = 1}^q \,n_{s}^{{{{n}_{s}}}},$Используя тождество ${{(a)}_{{m + n}}} = (a{{)}_{m}}{{(a + m)}_{n}}$, можно переписать (1.1) в виде
(2.16)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{F}^{{(M)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{\mathbf{z}}): = \sum\limits_{{{k}_{2}} = 0}^\infty \left[ {\prod\limits_{j = 1}^M \frac{1}{{({{g}_{j}},{{\beta }_{j}}{{k}_{2}})}}\frac{{z_{2}^{{{{k}_{2}}}}}}{{{{k}_{2}}{\text{!}}}}\sum\limits_{{{k}_{1}} = 0}^\infty \,\prod\limits_{j:{{\alpha }_{j}}\not { = }0} \frac{1}{{({{g}_{j}} + {{\beta }_{j}}{{k}_{2}},{{\alpha }_{j}}{{k}_{1}})}}\,\frac{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{{{k}_{1}}{\text{!}}}}} \right].} \end{array}$(2.17)
$\sum\limits_{{{k}_{1}} = 0}^\infty \left( {\prod\limits_{j:{{\alpha }_{j}}\not { = }0} \frac{1}{{({{g}_{j}} + {{\beta }_{j}}{{k}_{2}},{{\alpha }_{j}}{{k}_{1}})}}} \right)\frac{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{{{k}_{1}}{\text{!}}}} = {}_{p}{{\mathcal{F}}_{q}}(\{ 1 - {{g}_{j}} - {{k}_{2}}{{\beta }_{j}}{{\} }_{{j \in {{I}^{ - }}}}},\{ \left| {{{\alpha }_{j}}} \right|{{\} }_{{j \in {{I}^{ - }}}}};\{ {{g}_{j}} + {{k}_{2}}{{\beta }_{j}}{{\} }_{{j \in {{I}^{ + }}}}},\{ {{\alpha }_{j}}{{\} }_{{j \in {{I}^{ + }}}}};( - {{1)}^{\varepsilon }}{{z}_{1}}),$Далее, задача заключается в том, чтобы продолжить ряд $_{p}{{\mathcal{F}}_{q}}$, фигурирующий в (2.17). Следуя [28], введем гипергеометрическую функцию
(2.18)
$_{p}{{\Psi }_{q}}({\mathbf{a}},{\mathbf{m}};{{n}_{0}},r;{\mathbf{b}},{\mathbf{n}};z): = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{({{a}_{1}},{{m}_{1}}k) \cdots ({{a}_{p}},{{m}_{p}}k)}}{{({{b}_{1}},{{n}_{1}}k) \cdots ({{b}_{q}},{{n}_{q}}k)({{n}_{0}}k + r)!}}{{z}^{k}}.$(2.19)
${{{\mathbf{c}}}_{{\alpha ,r}}}: = (1 - c_{{\alpha ,r}}^{{(1)}}, \ldots ,1 - c_{{\alpha ,r}}^{{(q)}},\frac{{{{a}_{\alpha }} + r}}{{{{m}_{\alpha }}}}),\quad c_{{\alpha ,r}}^{{(j)}}: = \frac{{{{m}_{\alpha }}{{b}_{j}} - {{n}_{j}}{{a}_{\alpha }} - {{n}_{j}}r}}{{{{m}_{\alpha }}}},\quad j = \overline {1,q} ,$(2.20)
${{{\mathbf{d}}}_{{\alpha ,r}}}: = (1 - d_{{\alpha ,r}}^{{(1)}}, \ldots ,1 - d_{{\alpha ,r}}^{{(\alpha - 1)}},1 - d_{{\alpha ,r}}^{{(\alpha + 1)}}, \ldots ,1 - d_{{\alpha ,r}}^{{(p)}}),$(2.21)
$d_{{\alpha ,r}}^{{(j)}}: = \frac{{{{m}_{\alpha }}{{a}_{j}} - {{m}_{j}}{{a}_{\alpha }} - {{m}_{j}}r}}{{{{m}_{\alpha }}}},\quad j = \overline {1,q} {{\backslash }}\{ \alpha \} ,$(2.22)
${\mathbf{n}}': = ({{n}_{1}}, \ldots ,{{n}_{q}},1),\quad {\mathbf{m}}_{\alpha }^{'}: = ({{m}_{1}}, \ldots ,{{m}_{{\alpha - 1}}},{{m}_{{\alpha + 1}}}, \ldots ,{{m}_{p}}).$Теорема 2. Если параметры функции $_{p}{{\mathcal{F}}_{q}}({\mathbf{a}},{\mathbf{m}};{\mathbf{b}},{\mathbf{n}};z)$ таковы, что ни одно из чисел $d_{{\alpha ,r}}^{{(j)}}$, заданных равенствами $(36)$, не является неположительным целым, т.е.
(2.23)
$_{p}{{\mathcal{F}}_{q}}({\mathbf{a}},{\mathbf{m}};{\mathbf{b}},{\mathbf{n}};z) = \sum\limits_{\alpha = 1}^p \,\sum\limits_{r = 0}^{{{m}_{\alpha }} - 1} \,{{A}_{{\alpha ,r}}}{{u}_{{\alpha ,r}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{m}};{\mathbf{b}},{\mathbf{n}};z),$(2.24)
${{u}_{{\alpha ,r}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{m}};{\mathbf{b}},{\mathbf{n}};z) = {{( - z)}^{{ - ({{a}_{\alpha }} + r)/{{m}_{\alpha }}}}}_{{q + 1}}{{\Psi }_{p}}({{{\mathbf{c}}}_{{r,\alpha }}},{\mathbf{n}}';{{m}_{\alpha }},r;{{{\mathbf{d}}}_{{r,\alpha }}},{\mathbf{m}}_{\alpha }^{'};1{\text{/}}z),$(2.25)
${{A}_{{\alpha ,r}}} = ( - {{1)}^{r}}\frac{{\prod\limits_{j = 1}^q \,\Gamma ({{b}_{j}})\prod\limits_{j = 1,j\not { = }\alpha }^p \,\Gamma (d_{{\alpha ,r}}^{{(j)}})}}{{{{m}_{\alpha }}{\kern 1pt} \prod\limits_{j = 1}^p \,\Gamma ({{a}_{j}})\prod\limits_{j = 1}^q \,\Gamma (c_{{\alpha ,r}}^{{(j)}})}}{\kern 1pt} \Gamma \left( {\frac{{{{a}_{\alpha }} + r}}{{{{m}_{\alpha }}}}} \right),\quad \alpha = \overline {1,p} ,\quad r = \overline {0,{{m}_{\alpha }} - 1} .$Выполняя аналитическое продолжение функции $_{p}{{\mathcal{F}}_{q}}$, фигурирующей в (2.17), по формулам (2.23)–(2.25) и подставляя результат в (2.16), после некоторых вспомогательных преобразований приходим к формулам (2.9)–(2.14), которые устанавливает теорема 1 для функции (1.1). Завершающее теорему 1 утвержение о том, что функции ${{\mathcal{U}}_{{s,{\mathbf{r}}}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}})$, заданные равенствами (2.10), являются линейно независимыми решениями системы (1.9), (1.5), (1.6), устанавливается непосредственной проверкой.
2.3. Аналитическое продолжение по двум переменным ${{z}_{1}}$ и ${{z}_{2}}$
Формулы продолжения по двум переменным ${{z}_{1}}$ и ${{z}_{2}}$ могут быть получены путем последовательного применения теоремы 1 к ряду (1.1), а также рядам Горна двух переменных, получающихся после такого применения. Обратим внимание на то, что в результате аналитического продолжения по формуле (2.9) возникают ряды (2.4), (2.5), принадлежащие классу Горна, но отличающиеся от исходного ряда (1.1), для которого сформулировано утверждение теоремы 1. Поэтому, если необходимо повторное применение теоремы 1, то, вообще говоря, вначале следует привести ряды (2.4), (2.5) к виду (1.1). Для этого воспользуемся соотношением
(2.26)
$(r + \varkappa k)! = (2\pi {{)}^{{(1 - \varkappa )/2}}}{{\varkappa }^{{\varkappa k + r + 1/2}}}k!\prod\limits_{s = 0,s\not { = }\varkappa - r - 1}^{\varkappa - 1} \Gamma \left( {\frac{{1 + r + s}}{\varkappa } + k} \right),$(2.27)
$\begin{gathered} \Xi ({{k}_{1}},{{k}_{2}}) = \frac{{{{{(2\pi )}}^{{\varkappa - 1}}}{{\varkappa }^{{\varkappa ({{k}_{1}} + {{k}_{2}}) - {{r}_{1}} - {{r}_{2}} - 1}}}}}{{\prod\limits_{s = 0}^{\varkappa - 1} \,[\Gamma ({{\delta }_{{{{r}_{1}},s}}})\Gamma ({{\delta }_{{{{r}_{2}},s}}})]{\kern 1pt} {{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}}\left[ {\prod\limits_{s = 0,s\not { = }\varkappa - {{r}_{1}} - 1}^{\varkappa - 1} \frac{{\Gamma ({{\delta }_{{{{r}_{1}},s}}})}}{{\Gamma ({{\delta }_{{{{r}_{1}},s}}} + {{k}_{1}})}}} \right] \times \\ \times \;\left[ {\prod\limits_{s = 0,s\not { = }\varkappa - {{r}_{2}} - 1}^{\varkappa - 1} \frac{{\Gamma ({{\delta }_{{{{r}_{2}},s}}})}}{{\Gamma ({{\delta }_{{{{r}_{2}},s}}} + {{k}_{2}})}}} \right]\prod\limits_{j = 1}^M \frac{{\Gamma ({{h}_{j}})}}{{\Gamma ({{h}_{j}} + {{\lambda }_{j}}{{k}_{1}} + {{\omega }_{j}}{{k}_{2}})}}, \\ \end{gathered} $(2.28)
${{\mathcal{F}}^{{(M)}}}(\mathfrak{M},\varkappa ;{\mathbf{h}},{\mathbf{r}};{\mathbf{w}}) = \mathcal{K}(\varkappa ,{\mathbf{r}}){{F}^{{(M + 2\varkappa - 2)}}}(\mathfrak{N};{\mathbf{h}}';{{\varkappa }^{{ - \varkappa }}}{{w}_{1}},{{\varkappa }^{{ - \varkappa }}}{{w}_{2}}),$(2.29)
$\mathfrak{N} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1& \ldots &1&0& \ldots &0&{{{\lambda }_{1}}}&{{{\lambda }_{2}}}& \ldots &{{{\lambda }_{M}}} \\ 0& \ldots &0&1& \ldots &1&{{{\omega }_{1}}}&{{{\omega }_{2}}}& \ldots &{{{\omega }_{M}}} \end{array}} \right),$(2.30)
$h{\kern 1pt} ' = ({{\delta }_{{{{r}_{1}},0}}}, \ldots ,{{\delta }_{{{{r}_{1}},\varkappa - {{r}_{1}} - 2}}},{{\delta }_{{{{r}_{1}},\varkappa - {{r}_{1}}}}}, \ldots ,{{\delta }_{{{{r}_{1}},\varkappa - 1}}},{{\delta }_{{{{r}_{2}},0}}}, \ldots ,{{\delta }_{{{{r}_{2}},\varkappa - {{r}_{2}} - 2}}},{{\delta }_{{{{r}_{2}},\varkappa - {{r}_{2}}}}}, \ldots ,{{\delta }_{{{{r}_{2}},\varkappa - 1}}},{{h}_{1}}, \ldots ,{{h}_{M}}),$(2.31)
$\mathcal{K}(\varkappa ,{\mathbf{r}}) = (2\pi {{)}^{{(\varkappa - 1)}}}{{\varkappa }^{{ - \varkappa ({{r}_{1}} + {{r}_{2}}) - 1}}}\prod\limits_{s = 0}^{\varkappa - 1} \,{{[\Gamma ({{\delta }_{{{{r}_{1}},s}}})\Gamma ({{\delta }_{{{{r}_{2}},s}}})]}^{{{\text{--}}1}}},\quad {{\delta }_{{{{r}_{j}},s}}} = \frac{{1 + {{r}_{j}} + s}}{\varkappa },\quad j = 1,2.$В следующих разд. 3 и 4 продемонстрировано применение теоремы 1 для аналитического продолжения гипергеометрических рядов (1.12), (1.13), входящих в список Горна (см. [1], [15], [16]).
3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ РЯДА ГОРНА H3
3.1. Аналитическое продолжение ряда ${{H}_{3}}$ в область больших по модулю значений переменного ${{z}_{1}}$
Используя второе равенство (1.7) для символа Похгаммера, перепишем (1.12) в следующем виде:
(3.1)
${{H}_{3}}(a,b,c;{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{\Gamma (1 - a)}}{{\Gamma (1 - a - 2{{k}_{1}} - {{k}_{2}})}}\frac{{\Gamma (1 - b)}}{{\Gamma (1 - b - {{k}_{2}})}}\frac{{\Gamma (c)}}{{\Gamma (c + {{k}_{1}} + {{k}_{2}})}}\frac{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}z_{2}^{{{{k}_{2}}}}}}{{{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}}.$(3.2)
${{H}_{3}}(a,b,c;{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = {{F}^{{(3)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \,\prod\limits_{j = 1}^3 \frac{{\Gamma ({{g}_{j}})}}{{\Gamma ({{g}_{j}} + {{\alpha }_{j}}{{k}_{1}} + {{\beta }_{j}}{{k}_{2}})}}\frac{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}z_{2}^{{{{k}_{2}}}}}}{{{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}},$(3.3)
$\begin{array}{*{20}{l}} {\mathfrak{L} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\alpha }_{1}}}&{{{\alpha }_{2}}}&{{{\alpha }_{3}}} \\ {{{\beta }_{1}}}&{{{\beta }_{2}}}&{{{\beta }_{3}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&1 \\ { - 1}&{ - 1}&1 \end{array}} \right),} \end{array}$(3.5)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{I}^{0}}(\mathfrak{L}): = \{ s:{{\alpha }_{s}} = 0\} = \{ 2\} ,\quad {{I}^{ - }}(\mathfrak{L}): = \{ s:{{\alpha }_{s}} < 0\} = \{ 1\} ,\quad {{I}^{ + }}(\mathfrak{L}): = \{ s:{{\alpha }_{s}} > 0\} = \{ 3\} .} \end{array}$Поскольку множество ${{I}^{ - }}$ в (3.5) состоит из одного элемента $s = 1$, а соответствующий элемент матрицы $\mathfrak{L}$ равен ${{\alpha }_{1}} = - 2$, то в формуле продолжения (2.9) для функции ${{H}_{3}}$ индекс $s$ принимает лишь одно значение $s = 1$, а каждый из двух индексов ${{r}_{1}}$ и ${{r}_{2}}$ может быть равным $0$ или $|{\kern 1pt} {{\alpha }_{1}}{\kern 1pt} | - 1 = 1$. Таким образом, в формуле (2.9), соответствующей ряду ${{H}_{3}}$, заданному соотношениями (3.2)–(3.4), будут фигурировать четыре слагаемых вида ${{B}_{{1,({{r}_{1}},{{r}_{2}})}}}{{\mathcal{U}}_{{1,({{r}_{1}},{{r}_{2}})}}}$.
Перейдем к нахождению ${{B}_{{1,({{r}_{1}},{{r}_{2}})}}}$ и ${{\mathcal{U}}_{{1,({{r}_{1}},{{r}_{2}})}}}$. Прежде всего, подставляя (3.3), (3.4) в (2.2), (2.3), находим
(3.7)
$\sigma _{{1,(0,0)}}^{{(1)}} = 1 - \frac{a}{2},\quad \sigma _{{2,(0,0)}}^{{(1)}} = 1 - b,\quad \sigma _{{3,(0,0)}}^{{(1)}} = c - \frac{a}{2},$(3.8)
$\sigma _{{1,(1,0)}}^{{(1)}} = \frac{{1 - a}}{2},\quad \sigma _{{2,(1,0)}}^{{(1)}} = 1 - b,\quad \sigma _{{3,(1,0)}}^{{(1)}} = c - \frac{{a + 1}}{2},$(3.9)
$\sigma _{{1,(0,1)}}^{{(1)}} = \frac{{1 - a}}{2},\quad \sigma _{{2,(0,1)}}^{{(1)}} = - b,\quad \sigma _{{3,(0,1)}}^{{(1)}} = c + \frac{{1 - a}}{2},$(3.10)
$\sigma _{{1,(1,1)}}^{{(1)}} = \frac{{ - a}}{2},\quad \sigma _{{2,(1,1)}}^{{(1)}} = - b,\quad \sigma _{{3,(1,1)}}^{{(1)}} = c - \frac{a}{2}.$(3.11)
$\begin{gathered} {{B}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}}) = \frac{{\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{a}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c - \frac{a}{2}} \right)\Gamma (a)}},\quad {{B}_{{1,(1,0)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}}) = - \frac{{\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{a + 1}}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c - \frac{{a + 1}}{2}} \right)\Gamma (a)}}, \\ {{B}_{{1,(0,1)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}}) = - \frac{{b\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{a + 1}}{2}} \right)}}{{2d\Gamma \left( {c + \frac{{1 - a}}{2}} \right)\Gamma (a)}},\quad {{B}_{{1,(1,1)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}}) = \frac{{b\Gamma (c)\Gamma \left( {1 + \frac{a}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c - \frac{a}{2}} \right)\Gamma (a)}}. \\ \end{gathered} $(3.12)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathfrak{M}}^{{(1)}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&{ - 1} \\ { - 1}&{ - 2}&1 \end{array}} \right).} \end{array}$(3.13)
$w_{1}^{{(1)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{1}{{{{z}_{1}}}},\quad w_{2}^{{(1)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}.$(3.14)
$\begin{gathered} {{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{a}{2}}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{\Gamma \left( {1 - \frac{a}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {1 - \frac{a}{2} - {{k}_{1}} - {{k}_{2}}} \right)}}\frac{{\Gamma (1 - b)}}{{\Gamma (1 - b - 2{{k}_{2}})}} \times \\ \times \;\frac{{\Gamma \left( {c - \frac{a}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {c - \frac{a}{2} - {{k}_{1}} + {{k}_{2}}} \right)}}\frac{1}{{(2{{k}_{1}})!(2{{k}_{2}})!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}}, \\ \end{gathered} $(3.15)
$\begin{gathered} {{\mathcal{U}}_{{1,(1,0)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{{a + 1}}{2}}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{\Gamma \left( {\frac{{1 - a}}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{{1 - a}}{2} - {{k}_{1}} - {{k}_{2}}} \right)}}\frac{{\Gamma (1 - b)}}{{\Gamma (1 - b - 2{{k}_{2}})}} \times \\ \times \;\frac{{\Gamma \left( {c - \frac{{1 + a}}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {c - \frac{{1 + a}}{2} - {{k}_{1}} + {{k}_{2}}} \right)}}\frac{1}{{(2{{k}_{1}} + 1)!(2{{k}_{2}})!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}}, \\ \end{gathered} $(3.16)
$\begin{gathered} {{\mathcal{U}}_{{1,(0,1)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{{a + 1}}{2}}}}{{z}_{2}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{\Gamma \left( {\frac{{1 - a}}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{{1 - a}}{2} - {{k}_{1}} - {{k}_{2}}} \right)}}\frac{{\Gamma ( - b)}}{{\Gamma ( - b - 2{{k}_{2}})}} \times \\ \times \;\frac{{\Gamma \left( {c + \frac{{1 - a}}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {c + \frac{{1 - a}}{2} - {{k}_{1}} + {{k}_{2}}} \right)}}\frac{1}{{(2{{k}_{1}})!(2{{k}_{2}} + 1)!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}}{\kern 1pt} , \\ \end{gathered} $(3.17)
$\begin{gathered} {{\mathcal{U}}_{{1,(1,1)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{{a + 2}}{2}}}}{{z}_{2}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{\Gamma \left( {\frac{{ - a}}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{{ - a}}{2} - {{k}_{1}} - {{k}_{2}}} \right)}}\frac{{\Gamma ( - b)}}{{\Gamma ( - b - 2{{k}_{2}})}} \times \\ \times \;\frac{{\Gamma \left( {c - \frac{a}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {c - \frac{a}{2} - {{k}_{1}} + {{k}_{2}}} \right)}}\frac{1}{{(2{{k}_{1}} + 1)!(2{{k}_{2}} + 1)!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}}. \\ \end{gathered} $Теорема 3. Аналитическое продолжение ряда Горна ${{H}_{3}}$, определенного в области (1.14) равенством (1.12), в область
(3.18)
$\{ ({{z}_{1}},{{z}_{2}}) \in {{\mathbb{C}}^{2}}:\left| {{{z}_{1}}} \right| > \frac{1}{4},\;\left| {{{z}_{2}}} \right|(1 + \left| {{{z}_{2}}} \right|) < \left| {{{z}_{1}}} \right|,\;\left| {\arg ( - {{z}_{1}})} \right| < \pi \} $(3.19)
$\begin{gathered} {{H}_{3}}(a,b,c;{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{{\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{a}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c - \frac{a}{2}} \right)\Gamma (a)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) - \frac{{\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{a + 1}}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c - \frac{{a + 1}}{2}} \right)\Gamma (a)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(1,0)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) - \\ - \;\frac{{b\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{1 + a}}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c + \frac{{1 - a}}{2}} \right)\Gamma (a)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(0,1)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) + \frac{{b\Gamma (c)\Gamma \left( {1 + \frac{a}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c - \frac{a}{2}} \right)\Gamma (a)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(1,1)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}), \\ \end{gathered} $(3.20)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{a}{2}}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(b)}}_{{2{{k}_{2}}}}}{{{\left( {1 - c + \frac{a}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} - {{k}_{2}}}}}}}{{(2{{k}_{1}})!(2{{k}_{2}})!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}}^{{{{k}_{2}}}}},} \end{array}$(3.21)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{1,(1,0)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{{a + 1}}{2}}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{\left( {\frac{{1 + a}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(b)}}_{{2{{k}_{2}}}}}{{{\left( {\frac{3}{2} - c + \frac{a}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} - {{k}_{2}}}}}}}{{(2{{k}_{1}} + 1)!(2{{k}_{2}})!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}}^{{{{k}_{2}}}}},} \end{array}$(3.22)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{1,(0,1)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{{a + 1}}{2}}}}{{z}_{2}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{\left( {\frac{{1 + a}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(1 + b)}}_{{2{{k}_{2}}}}}{{{\left( {\frac{{1 + a}}{2} - c} \right)}}_{{{{k}_{1}} - {{k}_{2}}}}}}}{{(2{{k}_{1}})!(2{{k}_{2}} + 1)!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}}^{{{{k}_{2}}}}},} \end{array}$(3.23)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{1,(1,1)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{{a + 2}}{2}}}}{{z}_{2}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{\left( {1 + \frac{a}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(1 + b)}}_{{{{k}_{2}}}}}{{{\left( {1 - c + \frac{a}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} - {{k}_{2}}}}}}}{{(2{{k}_{1}} + 1)!(2{{k}_{2}} + 1)!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}}^{{{{k}_{2}}}}}.} \end{array}$(3.24)
$\begin{gathered} {{\mathcal{P}}_{1}} = \left( {a + 2{{z}_{1}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{1}}}} + {{z}_{2}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{2}}}}} \right)\left( {a + 2{{z}_{1}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{1}}}} + {{z}_{2}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{2}}}} + 1} \right),\quad {{\mathcal{Q}}_{1}} = \left( {c + {{z}_{1}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{1}}}} + {{z}_{2}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{2}}}}} \right)\left( {1 + {{z}_{1}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{1}}}}} \right), \\ {{\mathcal{P}}_{2}} = \left( {a + 2{{z}_{1}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{1}}}} + {{z}_{2}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{2}}}}} \right)\left( {b + {{z}_{2}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{2}}}}} \right),\quad {{\mathcal{Q}}_{2}} = \left( {c + {{z}_{1}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{1}}}} + {{z}_{2}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{2}}}}} \right)\left( {1 + {{z}_{2}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{2}}}}} \right). \\ \end{gathered} $Вид области сходимости (3.18) устанавливается с помощью метода, изложенного в [15, п. 5.7.2]. Остальные утверждения теоремы 3 являются следствием теоремы 1.
Теорема 3 дает представление для ряда Горна ${{H}_{3}}$ в области (3.18), где обе переменные ${{z}_{1}}$ и ${{z}_{2}}$ могут принимать большие по модулю значения. Однако в этой области модуль переменного $\left| {{{z}_{2}}} \right|$ меньше, чем $\left| {{{z}_{1}}} \right|$. Для того чтобы снять такое ограничение, в следующем п. 3.2 теорема 1 применена для продолжения по переменному ${{z}_{2}}$.
3.2. Аналитическое продолжение ряда ${{H}_{3}}$ в область больших по модулю значений переменного ${{z}_{2}}$
Для того чтобы продолжить ряд (3.2) по переменному ${{z}_{2}}$, перепишем его в виде
(3.25)
${{H}_{3}}(a,b,c;{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = {{F}^{{(3)}}}(\mathfrak{L}';{\mathbf{g}};{{z}_{2}},{{z}_{1}}) = \sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \,\prod\limits_{j = 1}^3 \frac{{\Gamma ({{g}_{j}})}}{{\Gamma ({{g}_{j}} + {{\beta }_{j}}{{k}_{1}} + {{\alpha }_{j}}{{k}_{2}})}}\frac{{z_{2}^{{{{k}_{1}}}}z_{1}^{{{{k}_{2}}}}}}{{{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}},$(3.26)
$\begin{array}{*{20}{l}} {\mathfrak{L}' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\beta }_{1}}}&{{{\beta }_{2}}}&{{{\beta }_{3}}} \\ {{{\alpha }_{1}}}&{{{\alpha }_{2}}}&{{{\alpha }_{3}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&1 \\ { - 2}&0&1 \end{array}} \right).} \end{array}$(3.27)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{I}^{0}}(\mathfrak{L}'): = \{ s:{{\alpha }_{s}} = 0\} = \emptyset ,\quad {{I}^{ - }}(\mathfrak{L}'): = \{ s:{{\alpha }_{s}} < 0\} = \{ 1,2\} ,\quad {{I}^{ + }}(\mathfrak{L}'): = \{ s:{{\alpha }_{s}} > 0\} = \{ 3\} .} \end{array}$Заметим, что множество ${{I}^{ - }}$ в (3.27) состоит из двух элементов $s = 1$ и $s = 2$, а соответствующие им элементы первой строки матрицы (3.26) равны ${{\alpha }_{1}} = - 1$ и ${{\alpha }_{2}} = - 1$. Поэтому в формуле продолжения (2.9) индекс $s$ принимает два значения $s = 1$ и $s = 2$, а каждый из двух индексов ${{r}_{1}}$ и ${{r}_{2}}$ – только одно значение $0$, поскольку $|{\kern 1pt} {{\alpha }_{s}}{\kern 1pt} | - 1 = 0$, $s = 1,2$. Таким образом, в формуле (2.9), соответствующей ряду (3.25), (3.26), будут фигурировать два слагаемых вида ${{B}_{{s,(0,0)}}}{{\mathcal{U}}_{{s,(0,0)}}}$.
Перейдем к нахождению ${{B}_{{s,(0,0)}}}$ и ${{\mathcal{U}}_{{s,(0,0)}}}$. Прежде всего, подставляя (3.4), (3.26) в (2.2), (2.3), находим $\omega _{2}^{{(1)}} = 2$, $\omega _{3}^{{(1)}} = - 1$, $\omega _{1}^{{(2)}} = - 2$, $\omega _{3}^{{(2)}} = 1$,
(3.28)
$\sigma _{{1,(0,0)}}^{{(1)}} = 1 - a,\quad \sigma _{{2,(0,0)}}^{{(1)}} = 1 + a - b,\quad \sigma _{{3,(0,0)}}^{{(1)}} = c - a,$(3.29)
$\sigma _{{1,(0,0)}}^{{(2)}} = 1 - a + b,\quad \sigma _{{2,(0,0)}}^{{(2)}} = 1 - b,\quad \sigma _{{3,(0,0)}}^{{(2)}} = c - b.$(3.30)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{B}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L}',{\mathbf{g}}) = \frac{{\Gamma (c)\Gamma (b - a)}}{{\Gamma (c - a)\Gamma (b)}},\quad {{B}_{{2,(0,0)}}}(\mathfrak{L}',{\mathbf{g}}) = \frac{{\Gamma (c)\Gamma (a - b)}}{{\Gamma (c - b)\Gamma (a)}}.} \end{array}$(3.31)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathfrak{M}}^{{(1)}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&{ - 1} \\ { - 2}&2&{ - 1} \end{array}} \right),\quad {{\mathfrak{M}}^{{(2)}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&{ - 1} \\ { - 2}&0&1 \end{array}} \right).} \end{array}$(3.32)
$w_{1}^{{(1)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{1}{{{{z}_{2}}}},\quad w_{2}^{{(1)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}};\quad w_{1}^{{(2)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{1}{{{{z}_{2}}}},\quad w_{2}^{{(2)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = {{z}_{1}}.$Теорема 4. Если параметры ряда Горна ${{H}_{3}}$, определенного в области (1.14) равенством (1.12), таковы, что разность $a - b$ не является целым числом, то аналитическое продолжение ${{H}_{3}}$ в область
(3.33)
$\left\{ {({{z}_{1}},{{z}_{2}}) \in {{\mathbb{C}}^{2}}:\left| {{{z}_{1}}} \right| < \frac{1}{4},\;\left| {{{z}_{2}}} \right| > \frac{1}{2} + {{{\left( {\frac{1}{4} + \left| {{{z}_{1}}} \right|} \right)}}^{{1/2}}},\;\left| {\arg ( - {{z}_{2}})} \right| < \pi } \right\}$(3.34)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{H}_{3}}(a,b,c;{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{{\Gamma (c)\Gamma (b - a)}}{{\Gamma (c - a)\Gamma (b)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L}',{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) + \frac{{\Gamma (c)\Gamma (a - b)}}{{\Gamma (c - b)\Gamma (a)}}{{\mathcal{U}}_{{2,(0,0)}}}(\mathfrak{L}',{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}),} \end{array}$(3.35)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L}',{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{2}}{{)}^{{ - a}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(a)}}_{{2{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(1 + a - c)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}}}{{{{{(1 - b + a)}}_{{2{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}}{{{\left( { - \frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}}} \right)}}^{{{{k}_{1}}}}}\frac{1}{{z_{2}^{{{{k}_{2}}}}}},} \end{array}$(3.36)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{2,(0,0)}}}(\mathfrak{L}',{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{2}}{{)}^{{ - b}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(a - b)}}_{{2{{k}_{1}} - {{k}_{2}}}}}{{{(b)}}_{{{{k}_{2}}}}}}}{{{{{(c - b)}}_{{{{k}_{1}} - {{k}_{2}}}}}{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}}z_{1}^{{{{k}_{1}}}}\frac{1}{{z_{2}^{{{{k}_{2}}}}}}.} \end{array}$Для того чтобы продолжить ряд Горна в область, где обе переменные ${{z}_{1}}$ и ${{z}_{2}}$ могут принимать большие по модулю значения, в следующем п. 3.3 дано применение теоремы 1 к функции (3.36).
3.3. Аналитическое продолжение ряда ${{H}_{3}}$ в область больших по модулю переменных ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$
Для того чтобы продолжить ряд (3.36) по переменному ${{z}_{1}}$, заметим, что
(3.37)
${{\mathcal{U}}_{{2,(0,0)}}}(\mathfrak{L}';{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{2}}{{)}^{{ - b}}}{{F}^{{(3)}}}\left( {\mathfrak{H};{\mathbf{f}};{{z}_{1}},\frac{1}{{{{z}_{2}}}}} \right),$(3.38)
$\begin{array}{*{20}{l}} {\mathfrak{H} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&0 \\ 1&{ - 1}&{ - 1} \end{array}} \right),\quad {\mathbf{f}} = (1 + b - a,c - b,1 - b).} \end{array}$(3.39)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{I}^{0}}(\mathfrak{H}): = \{ s:{{\alpha }_{s}} = 0\} = \{ 3\} ,\quad {{I}^{ - }}(\mathfrak{H}): = \{ s:{{\alpha }_{s}} < 0\} = \{ 1\} ,\quad {{I}^{ + }}(\mathfrak{H}): = \{ s:{{\alpha }_{s}} > 0\} = \{ 2\} .} \end{array}$Заметим, что множество ${{I}^{ - }}$ в (3.39) состоит из одного элемента $s = 1$, а соответствующий элемент первой строки матрицы $\mathfrak{H}$, заданной первым равенством (3.38), равен ${{\alpha }_{1}} = - 2$. Поэтому в формуле продолжения (2.29) для функции (3.37) индекс $s$ принимает лишь одно значение $s = 1$, а каждый из двух индексов ${{r}_{1}}$ и ${{r}_{2}}$ – два значения $0$ и $|{\kern 1pt} {{\alpha }_{1}}{\kern 1pt} | - 1 = 1$. Таким образом, в формуле (2.9), соответствующей ряду (3.37), будут фигурировать четыре слагаемых вида ${{B}_{{1,({{r}_{1}},{{r}_{2}})}}}{{\mathcal{U}}_{{s,({{r}_{1}},{{r}_{2}})}}}$, ${{r}_{1}},{{r}_{2}} = 0,1$. Перейдем к их нахождению.
Прежде всего, подставляя (3.38), (3.39) в (2.2), (2.3), находим
(3.41)
$\sigma _{{1,(0,0)}}^{{(1)}} = 1 + \frac{{b - a}}{2},\quad \sigma _{{2,(0,0)}}^{{(1)}} = c - \frac{{a + b}}{2},\quad \sigma _{{3,(0,0)}}^{{(1)}} = 1 - b,$(3.42)
$\sigma _{{1,(1,0)}}^{{(1)}} = \frac{{1 + b - a}}{2},\quad \sigma _{{2,(1,0)}}^{{(1)}} = c - \frac{{a + b + 1}}{2},\quad \sigma _{{3,(1,0)}}^{{(1)}} = 1 - b,$(3.43)
$\sigma _{{1,(0,1)}}^{{(1)}} = \frac{{3 + b - a}}{2},\quad \sigma _{{2,(0,1)}}^{{(1)}} = c - \frac{{a + b + 1}}{2},\quad \sigma _{{3,(0,1)}}^{{(1)}} = - b,$(3.44)
$\sigma _{{1,(1,1)}}^{{(1)}} = 1 + \frac{{b - a}}{2},\quad \sigma _{{2,(1,1)}}^{{(1)}} = c - \frac{{a + b}}{2} - 1,\quad \sigma _{{3,(1,1)}}^{{(1)}} = - b.$(3.45)
$\begin{gathered} {{B}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}}) = \frac{{\Gamma (c - b)\Gamma \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c - \frac{{a + b}}{2}} \right)\Gamma (a - b)}},\quad {{B}_{{1,(1,0)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}}) = - \frac{{\Gamma (c - b)\Gamma \left( {\frac{{1 + a - b}}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c - \frac{{a + b + 1}}{2}} \right)\Gamma (a - b)}}, \\ {{B}_{{1,(0,1)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}}) = - \frac{{b\Gamma (c - b)\Gamma \left( {\frac{{a - b - 1}}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c - \frac{{a + b + 1}}{2}} \right)\Gamma (a - b)}},\quad {{B}_{{1,(1,1)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}}) = \frac{{b\Gamma (c - b)\Gamma \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c - \frac{{a + b}}{2} - 1} \right)\Gamma (a - b)}}. \\ \end{gathered} $(3.46)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathfrak{M}}^{{(1)}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&0 \\ 1&{ - 1}&{ - 2} \end{array}} \right).} \end{array}$(3.47)
$w_{1}^{{(1)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{1}{{{{z}_{1}}}},\quad w_{2}^{{(1)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}}.$Теорема 5. Если параметры ряда Горна ${{H}_{3}}$, определенного в области (1.14) равенством (1.12), таковы, что разность $a - b$ не является целым числом, то аналитическое продолжение ${{H}_{3}}$ в область
(3.48)
$\left\{ {({{z}_{1}},{{z}_{2}}) \in {{\mathbb{C}}^{2}}:\left| {{{z}_{1}}} \right| > \frac{1}{4},\;\left| {{{z}_{2}}} \right| > \frac{1}{2} + {{{\left( {\frac{1}{4} + \left| {{{z}_{1}}} \right|} \right)}}^{{1/2}}},\;\left| {\arg ( - {{z}_{j}})} \right| < \pi ,\;j = 1,2} \right\}$(3.49)
$\begin{gathered} {{H}_{3}}(a,b,c;{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{{\Gamma (c)\Gamma (b - a)}}{{\Gamma (c - a)\Gamma (b)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L}',{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) + \frac{{\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)}}{{2\Gamma (a)\Gamma \left( {c - \frac{{a + b}}{2}} \right)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) - \\ - \;\frac{{\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{1 + a - b}}{2}} \right)}}{{2\Gamma (a)\Gamma \left( {c - \frac{{a + b + 1}}{2}} \right)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(1,0)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) + \frac{{b\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{a - b - 1}}{2}} \right)}}{{2\Gamma (a)\Gamma \left( {c - \frac{{a + b + 1}}{2}} \right)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(0,1)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) - \\ - \;\frac{{b\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)}}{{2\Gamma (a)\Gamma \left( {c - \frac{{a + b}}{2} - 1} \right)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(1,1)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}), \\ \end{gathered} $(3.50)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L}',{\mathbf{g}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{2}}{{)}^{{ - a}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(a)}}_{{2{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(1 + a - c)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}}}{{{{{(1 - b + a)}}_{{2{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}}{{{\left( { - \frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}}} \right)}}^{{{{k}_{1}}}}}\frac{1}{{z_{2}^{{{{k}_{2}}}}}},} \end{array}$(3.51)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{\frac{{b - a}}{2}}}}{{{( - {{z}_{2}})}}^{{ - b}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(b)}}_{{2{{k}_{2}}}}}{{{\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} - {{k}_{2}}}}}{{{\left( {1 - c + \frac{{a + b}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}}}{{(2{{k}_{1}})!(2{{k}_{2}})!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{{\left( {\frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}}} \right)}}^{{{{k}_{2}}}}},} \end{array}$(3.52)
${{\mathcal{U}}_{{1,(1,0)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{\frac{{b - a - 1}}{2}}}}{{( - {{z}_{2}})}^{{ - b}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(b)}}_{{2{{k}_{2}}}}}{{{\left( {\frac{{1 - b + a}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} - {{k}_{2}}}}}{{{\left( {\frac{{a + b + 3}}{2} - c} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}}}{{(2{{k}_{1}} + 1)!(2{{k}_{2}})!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}},$(3.53)
${{\mathcal{U}}_{{1,(0,1)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{\frac{{b - a + 1}}{2}}}}{{( - {{z}_{2}})}^{{ - b - 1}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(1 + b)}}_{{2{{k}_{2}}}}}{{{\left( {\frac{{a - b - 1}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} - {{k}_{2}}}}}{{{\left( {\frac{{a + b + 3}}{2} - c} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}}}{{(2{{k}_{1}})!(2{{k}_{2}} + 1)!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}},$(3.54)
${{\mathcal{U}}_{{1,(1,1)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{\frac{{b - a}}{2}}}}{{( - {{z}_{2}})}^{{ - b - 1}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(1 + b)}}_{{2{{k}_{2}}}}}{{{\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} - {{k}_{2}}}}}{{{\left( {2 + \frac{{a + b}}{2} - c} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}}}{{(2{{k}_{1}} + 1)!(2{{k}_{2}} + 1)!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}}.$Теоремы 3, 5 дополняют друг друга и дают представление для ряда Горна ${{H}_{3}}$ в областях (3.18), (3.48), где обе переменные ${{z}_{1}}$ и ${{z}_{2}}$ могут принимать большие по модулю значения.
4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ РЯДА ГОРНА H4
4.1. Аналитическое продолжение ряда ${{H}_{4}}$ в область больших по модулю значений переменного ${{z}_{1}}$
Используя тождество (1.8) для символа Похгаммера, перепишем (1.13) в следующем виде:
(4.1)
${{H}_{4}}(a,b,c,d;{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{\Gamma (1 - a)}}{{\Gamma (1 - a - 2{{k}_{1}} - {{k}_{2}})}}\frac{{\Gamma (1 - b)}}{{\Gamma (1 - b - {{k}_{2}})}}\frac{{\Gamma (c)}}{{\Gamma (c + {{k}_{1}})}}\frac{{\Gamma (d)}}{{\Gamma (d + {{k}_{2}})}}\frac{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}z_{2}^{{{{k}_{2}}}}}}{{{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}}.$(4.2)
${{H}_{4}}(a,b,c,d;{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = {{F}^{{(4)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \,\prod\limits_{j = 1}^4 \frac{{\Gamma ({{g}_{j}})}}{{\Gamma ({{g}_{j}} + {{\alpha }_{j}}{{k}_{1}} + {{\beta }_{j}}{{k}_{2}})}}\frac{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}z_{2}^{{{{k}_{2}}}}}}{{{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}},$(4.3)
$\begin{array}{*{20}{l}} {\mathfrak{L} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\alpha }_{1}}}&{{{\alpha }_{2}}}&{{{\alpha }_{3}}}&{{{\alpha }_{4}}} \\ {{{\beta }_{1}}}&{{{\beta }_{2}}}&{{{\beta }_{3}}}&{{{\beta }_{4}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&1&0 \\ { - 1}&{ - 1}&0&1 \end{array}} \right),} \end{array}$(4.5)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{I}^{0}}(\mathfrak{L}): = \{ s:{{\alpha }_{s}} = 0\} = \{ 2,4\} ,\quad {{I}^{ - }}(\mathfrak{L}): = \{ s:{{\alpha }_{s}} < 0\} = \{ 1\} ,\quad {{I}^{ + }}(\mathfrak{L}): = \{ s:{{\alpha }_{s}} > 0\} = \{ 3\} .} \end{array}$Поскольку множество ${{I}^{ - }}$ в (4.5) состоит из одного элемента $s = 1$, а соответствующий элемент матрицы $\mathfrak{L}$ равен ${{\alpha }_{1}} = - 2$, то в формуле продолжения (2.9) для функции ${{H}_{4}}$ индекс $s$ принимает лишь одно значение $s = 1$, а каждый из двух индексов ${{r}_{1}}$ и ${{r}_{2}}$ может быть равным $0$ или $|{\kern 1pt} {{\alpha }_{1}}{\kern 1pt} | - 1 = 1$. Таким образом, в формуле (2.9), соответствующей ряду ${{H}_{4}}$, заданному соотношениями (4.2)–(4.4), будут фигурировать четыре слагаемых вида ${{B}_{{1,({{r}_{1}},{{r}_{2}})}}}{{\mathcal{U}}_{{1,({{r}_{1}},{{r}_{2}})}}}$.
Перейдем к нахождению ${{B}_{{1,({{r}_{1}},{{r}_{2}})}}}$ и ${{\mathcal{U}}_{{1,({{r}_{1}},{{r}_{2}})}}}$. Прежде всего, подставляя (4.3), (4.4) в (2.2), (2.3), находим
(4.7)
$\sigma _{{1,(0,0)}}^{{(1)}} = 1 - \frac{a}{2},\quad \sigma _{{2,(0,0)}}^{{(1)}} = 1 - b,\quad \sigma _{{3,(0,0)}}^{{(1)}} = c - \frac{a}{2},\quad \sigma _{{4,(0,0)}}^{{(1)}} = d,$(4.8)
$\sigma _{{1,(1,0)}}^{{(1)}} = \frac{{1 - a}}{2},\quad \sigma _{{2,(1,0)}}^{{(1)}} = 1 - b,\quad \sigma _{{3,(1,0)}}^{{(1)}} = c - \frac{{a + 1}}{2},\quad \sigma _{{4,(1,0)}}^{{(1)}} = d,$(4.9)
$\sigma _{{1,(0,1)}}^{{(1)}} = \frac{{1 - a}}{2},\quad \sigma _{{2,(0,1)}}^{{(1)}} = - b,\quad \sigma _{{3,(0,1)}}^{{(1)}} = c - \frac{{a + 1}}{2},\quad \sigma _{{4,(0,1)}}^{{(1)}} = d + 1,$(4.10)
$\sigma _{{1,(1,1)}}^{{(1)}} = \frac{{ - a}}{2},\quad \sigma _{{2,(1,1)}}^{{(1)}} = - b,\quad \sigma _{{3,(1,1)}}^{{(1)}} = c - \frac{a}{2} - 1,\quad \sigma _{{4,(1,1)}}^{{(1)}} = d + 1.$(4.11)
$\begin{gathered} {{B}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}}) = \frac{{\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{a}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c - \frac{a}{2}} \right)\Gamma (a)}},\quad {{B}_{{1,(1,0)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}}) = - \frac{{\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{a + 1}}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c - \frac{{a + 1}}{2}} \right)\Gamma (a)}}, \\ {{B}_{{1,(0,1)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}}) = - \frac{{b\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{a + 1}}{2}} \right)}}{{2d\Gamma \left( {c - \frac{{a + 1}}{2}} \right)\Gamma (a)}},\quad {{B}_{{1,(1,1)}}}(\mathfrak{L},{\mathbf{g}}) = \frac{{b\Gamma (c)\Gamma \left( {1 + \frac{a}{2}} \right)}}{{2d\Gamma \left( {c - \frac{a}{2} - 1} \right)\Gamma (a)}}. \\ \end{gathered} $(4.12)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathfrak{M}}^{{(1)}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&{ - 1}&0 \\ { - 1}&{ - 2}&{ - 1}&2 \end{array}} \right).} \end{array}$(4.13)
$w_{1}^{{(1)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{1}{{{{z}_{1}}}},\quad w_{2}^{{(1)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}.$(4.14)
$\begin{gathered} {{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{a}{2}}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{\Gamma \left( {1 - \frac{a}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {1 - \frac{a}{2} - {{k}_{1}} - {{k}_{2}}} \right)}}\frac{{\Gamma (1 - b)}}{{\Gamma (1 - b - 2{{k}_{2}})}} \times \\ \times \;\frac{{\Gamma \left( {c - \frac{a}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {c - \frac{a}{2} - {{k}_{1}} - {{k}_{2}}} \right)}}\frac{{\Gamma (d)}}{{\Gamma (d + 2{{k}_{2}})}}\frac{1}{{(2{{k}_{1}})!(2{{k}_{2}})!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}}{\kern 1pt} , \\ \end{gathered} $(4.15)
$\begin{gathered} {{\mathcal{U}}_{{1,(1,0)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{{a + 1}}{2}}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{\Gamma \left( {\frac{{1 - a}}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{{1 - a}}{2} - {{k}_{1}} - {{k}_{2}}} \right)}}\frac{{\Gamma (1 - b)}}{{\Gamma (1 - b - 2{{k}_{2}})}} \times \\ \times \;\frac{{\Gamma \left( {c - \frac{{1 + a}}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {c - \frac{{1 + a}}{2} - {{k}_{1}} - {{k}_{2}}} \right)}}\frac{{\Gamma (d)}}{{\Gamma (d + 2{{k}_{2}})}}\frac{1}{{(2{{k}_{1}} + 1)!(2{{k}_{2}})!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}}{\kern 1pt} , \\ \end{gathered} $(4.16)
$\begin{gathered} {{\mathcal{U}}_{{1,(0,1)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{{a + 1}}{2}}}}{{z}_{2}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{\Gamma \left( {\frac{{1 - a}}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{{1 - a}}{2} - {{k}_{1}} - {{k}_{2}}} \right)}}\frac{{\Gamma ( - b)}}{{\Gamma ( - b - 2{{k}_{2}})}} \times \\ \times \;\frac{{\Gamma \left( {c - \frac{{1 + a}}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {c - \frac{{1 + a}}{2} - {{k}_{1}} - {{k}_{2}}} \right)}}\frac{{\Gamma (1 + d)}}{{\Gamma (1 + d + 2{{k}_{2}})}}\frac{1}{{(2{{k}_{1}})!(2{{k}_{2}} + 1)!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}}, \\ \end{gathered} $(4.17)
$\begin{gathered} {{\mathcal{U}}_{{1,(1,1)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{{a + 2}}{2}}}}{{z}_{2}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{\Gamma \left( {\frac{{ - a}}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{{ - a}}{2} - {{k}_{1}} - {{k}_{2}}} \right)}}\frac{{\Gamma ( - b)}}{{\Gamma ( - b - 2{{k}_{2}})}} \times \\ \times \;\frac{{\Gamma \left( {c - \frac{a}{2} - 1} \right)}}{{\Gamma \left( {c - \frac{a}{2} - 1 - {{k}_{1}} - {{k}_{2}}} \right)}}\frac{{\Gamma (1 + d)}}{{\Gamma (1 + d + 2{{k}_{2}})}}\frac{1}{{(2{{k}_{1}} + 1)!(2{{k}_{2}} + 1)!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}}{\kern 1pt} . \\ \end{gathered} $Теорема 6. Аналитическое продолжение ряда Горна ${{H}_{4}}$, определенного в области (1.15) равенством (1.13), в область
(4.18)
$\left\{ {({{z}_{1}},{{z}_{2}}) \in {{\mathbb{C}}^{2}}:1 + \frac{{\left| {{{z}_{2}}} \right|}}{2} < {{{\left| {{{z}_{1}}} \right|}}^{{1/2}}},\;\left| {\arg ( - {{z}_{1}})} \right| < \pi } \right\},$(4.19)
$\begin{gathered} {{H}_{4}}(a,b,c,d;{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{{\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{a}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c - \frac{a}{2}} \right)\Gamma (a)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) - \frac{{\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{a + 1}}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c - \frac{{a + 1}}{2}} \right)\Gamma (a)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(1,0)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) - \\ - \;\frac{{b\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{1 + a}}{2}} \right)}}{{2d\Gamma \left( {c - \frac{{a + 1}}{2}} \right)\Gamma (a)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(0,1)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) + \frac{{b\Gamma (c)\Gamma \left( {1 + \frac{a}{2}} \right)}}{{2d\Gamma \left( {c - \frac{a}{2} - 1} \right)\Gamma (a)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(1,1)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}), \\ \end{gathered} $(4.20)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{a}{2}}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(b)}}_{{2{{k}_{2}}}}}{{{\left( {1 - c + \frac{a}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}}}{{{{{(d)}}_{{2{{k}_{2}}}}}(2{{k}_{1}})!(2{{k}_{2}})!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}}^{{{{k}_{2}}}}}{\kern 1pt} ,} \end{array}$(4.21)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{1,(1,0)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{{a + 1}}{2}}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{\left( {\frac{{1 + a}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(b)}}_{{2{{k}_{2}}}}}{{{\left( {\frac{3}{2} - c + \frac{a}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}}}{{{{{(d)}}_{{2{{k}_{2}}}}}(2{{k}_{1}} + 1)!(2{{k}_{2}})!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}}^{{{{k}_{2}}}}}{\kern 1pt} ,} \end{array}$(4.22)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{1,(0,1)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{{a + 1}}{2}}}}{{z}_{2}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{\left( {\frac{{1 + a}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(1 + b)}}_{{2{{k}_{2}}}}}{{{\left( {\frac{{3 + a}}{2} - c} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}}}{{{{{(1 + d)}}_{{2{{k}_{2}}}}}(2{{k}_{1}})!(2{{k}_{2}} + 1)!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}}^{{{{k}_{2}}}}},} \end{array}$(4.23)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{1,(1,1)}}}(\mathfrak{L};{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{ - \frac{{a + 2}}{2}}}}{{z}_{2}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{\left( {1 + \frac{a}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(1 + b)}}_{{{{k}_{2}}}}}{{{\left( {2 - c + \frac{a}{2}} \right)}}_{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}}}{{{{{(1 + d)}}_{{2{{k}_{2}}}}}(2{{k}_{1}} + 1)!(2{{k}_{2}} + 1)!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{{\left( {\frac{{z_{2}^{2}}}{{{{z}_{1}}}}} \right)}}^{{{{k}_{2}}}}}{\kern 1pt} .} \end{array}$(4.24)
$\begin{gathered} {{\mathcal{P}}_{1}} = \left( {a + 2{{z}_{1}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{1}}}} + {{z}_{2}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{2}}}}} \right)\left( {a + 2{{z}_{1}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{1}}}} + {{z}_{2}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{2}}}} + 1} \right),\quad {{\mathcal{Q}}_{1}} = \left( {c + {{z}_{1}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{1}}}}} \right)\left( {1 + {{z}_{1}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{1}}}}} \right), \\ {{\mathcal{P}}_{2}} = \left( {a + 2{{z}_{1}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{1}}}} + {{z}_{2}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{2}}}}} \right)\left( {b + {{z}_{2}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{2}}}}} \right),\quad {{\mathcal{Q}}_{2}} = \left( {d + {{z}_{2}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{2}}}}} \right)\left( {1 + {{z}_{2}}\frac{\partial }{{\partial {{z}_{2}}}}} \right). \\ \end{gathered} $Теорема 6 дает представление для ряда Горна ${{H}_{4}}$ в области (4.18), где обе переменные ${{z}_{1}}$ и ${{z}_{2}}$ могут принимать большие по модулю значения. Однако в этой области модуль переменного $\left| {{{z}_{2}}} \right|$ меньше, чем $\left| {{{z}_{1}}} \right|$. Для того чтобы снять такое ограничение, в следующем п. 4.2 теорема 1 применена для продолжения ${{H}_{4}}$ по переменному ${{z}_{2}}$, а затем – по переменному ${{z}_{1}}$.
4.2. Аналитическое продолжение ряда ${{H}_{4}}$ в область больших по модулю значений переменного ${{z}_{2}}$
Для того чтобы продолжить ряд (4.2) по переменному ${{z}_{2}}$, перепишем его в виде
(4.25)
${{H}_{4}}(a,b,c,d;{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = {{F}^{{(4)}}}(\mathfrak{L}';{\mathbf{g}};{{z}_{2}},{{z}_{1}})\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \,\prod\limits_{j = 1}^4 \frac{{\Gamma ({{g}_{j}})}}{{\Gamma ({{g}_{j}} + {{\beta }_{j}}{{k}_{1}} + {{\alpha }_{j}}{{k}_{2}})}}\frac{{z_{2}^{{{{k}_{1}}}}z_{1}^{{{{k}_{2}}}}}}{{{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}},$(4.26)
$\begin{array}{*{20}{l}} {\mathfrak{L}' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\beta }_{1}}}&{{{\beta }_{2}}}&{{{\beta }_{3}}}&{{{\beta }_{4}}} \\ {{{\alpha }_{1}}}&{{{\alpha }_{2}}}&{{{\alpha }_{3}}}&{{{\alpha }_{4}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&0&1 \\ { - 2}&0&1&0 \end{array}} \right).} \end{array}$(4.27)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{I}^{0}}(\mathfrak{L}'): = \{ s:{{\alpha }_{s}} = 0\} = \{ 3\} ,\quad {{I}^{ - }}(\mathfrak{L}'): = \{ s:{{\alpha }_{s}} < 0\} = \{ 1,2\} ,\quad {{I}^{ + }}(\mathfrak{L}'): = \{ s:{{\alpha }_{s}} > 0\} = \{ 4\} .} \end{array}$Заметим, что множество ${{I}^{ - }}$ в (4.27) состоит из двух элементов $s = 1$ и $s = 2$, а соответствующие им элементы первой строки матрицы $\mathfrak{L}$ равны ${{\alpha }_{1}} = - 1$ и ${{\alpha }_{2}} = - 1$. Поэтому в формуле продолжения (2.9) индекс $s$ принимает два значения $s = 1$ и $s = 2$, а каждый из двух индексов ${{r}_{1}}$ и ${{r}_{2}}$ принимают только нулевое значение, поскольку $\left| {{{\alpha }_{s}}} \right| - 1 = 0$, $s = 1,2$. Таким образом, в формуле (2.9), соответствующей ряду ${{H}_{4}}$, заданному равенствами (4.25), (4.26), будут фигурировать два слагаемых вида ${{B}_{{s,(0,0)}}}{{\mathcal{U}}_{{s,(0,0)}}}$.
Перейдем к нахождению этих величин. Прежде всего, подставляя (4.26), (4.4) в (2.2), (2.3), находим
(4.30)
$\sigma _{{1,(0,0)}}^{{(1)}} = 1 - a,\quad \sigma _{{2,(0,0)}}^{{(1)}} = 1 - b + a,\quad \sigma _{{3,(0,0)}}^{{(1)}} = c,\quad \sigma _{{4,(0,0)}}^{{(1)}} = d - a,$(4.31)
$\sigma _{{1,(0,0)}}^{{(2)}} = 1 + b - a,\quad \sigma _{{2,(0,0)}}^{{(2)}} = 1 - b,\quad \sigma _{{3,(0,0)}}^{{(2)}} = c,\quad \sigma _{{4,(0,0)}}^{{(2)}} = d - b.$(4.32)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{B}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L}',{\mathbf{g}}) = \frac{{\Gamma (d)\Gamma (b - a)}}{{\Gamma (d - a)\Gamma (b)}},\quad {{B}_{{2,(0,0)}}}(\mathfrak{L}',{\mathbf{g}}) = \frac{{\Gamma (d)\Gamma (a - b)}}{{\Gamma (d - b)\Gamma (a)}}.} \end{array}$(4.33)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathfrak{M}}^{{(1)}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&0&{ - 1} \\ { - 2}&2&1&{ - 2} \end{array}} \right),\quad {{\mathfrak{M}}^{{(2)}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&0&{ - 1} \\ { - 2}&0&1&0 \end{array}} \right).} \end{array}$(4.34)
$w_{1}^{{(1)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{1}{{{{z}_{2}}}},\quad w_{2}^{{(1)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}};\quad w_{1}^{{(2)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{1}{{{{z}_{2}}}},\quad w_{2}^{{(2)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = {{z}_{1}}.$Теорема 7. Если параметры ряда Горна ${{H}_{4}}$, определенного в области (1.15) равенством (1.13), таковы, что разность $a - b$ не является целым числом, то аналитическое продолжение ${{H}_{4}}$ в область
(4.35)
$\left\{ {({{z}_{1}},{{z}_{2}}) \in {{\mathbb{C}}^{2}}:\left| {{{z}_{1}}} \right| < \frac{1}{4},\;\left| {{{z}_{2}}} \right| > 1 + 2{{{\left| {{{z}_{1}}} \right|}}^{{1/2}}},\;\left| {\arg ( - {{z}_{2}})} \right| < \pi } \right\}$(4.36)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{H}_{4}}(a,b,c,d;{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{{\Gamma (d)\Gamma (b - a)}}{{\Gamma (d - a)\Gamma (b)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L}';{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) + \frac{{\Gamma (d)\Gamma (a - b)}}{{\Gamma (d - b)\Gamma (a)}}{{\mathcal{U}}_{{2,(0,0)}}}(\mathfrak{L}';{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}),} \end{array}$(4.37)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L}';{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{2}}{{)}^{{ - a}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(a)}}_{{2{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(1 + a - d)}}_{{2{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}}}{{{{{(1 - b + a)}}_{{2{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(c)}}_{{{{k}_{1}}}}}{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}}{{{\left( {\frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}}} \right)}}^{{{{k}_{1}}}}}\frac{1}{{z_{2}^{{{{k}_{2}}}}}},} \end{array}$(4.38)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{2,(0,0)}}}(\mathfrak{L}';{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{2}}{{)}^{{ - b}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(b)}}_{{{{k}_{2}}}}}{{{(1 + b - d)}}_{{{{k}_{2}}}}}}}{{{{{(1 + b - a)}}_{{{{k}_{2}} - 2{{k}_{1}}}}}{{{(c)}}_{{{{k}_{1}}}}}{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}}z_{1}^{{{{k}_{1}}}}\frac{1}{{z_{2}^{{{{k}_{2}}}}}}.} \end{array}$Для того чтобы продолжить ряд Горна ${{H}_{4}}$ в область, где обе переменные ${{z}_{1}}$ и ${{z}_{2}}$ могут принимать большие по модулю значения, в следующем п. 4.3 теорема 1 применена к функции (4.38).
4.3. Аналитическое продолжение ряда ${{H}_{4}}$ по двум переменным ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$
Для нахождения формул продолжение ряда (4.38) по переменному ${{z}_{1}}$ заметим, что
(4.39)
${{\mathcal{U}}_{{2,(0,0)}}}(\mathfrak{L}';{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{2}}{{)}^{{ - b}}}{{F}^{{(4)}}}\left( {\mathfrak{H};{\mathbf{f}};{{z}_{1}},\frac{1}{{{{z}_{2}}}}} \right),$(4.40)
$\begin{array}{*{20}{l}} {\mathfrak{H} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&0&0 \\ 1&0&{ - 1}&{ - 1} \end{array}} \right),\quad {\mathbf{f}} = (1 + b - a,c,1 - b,d - b).} \end{array}$(4.41)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{I}^{0}}(\mathfrak{H}): = \{ s:{{\alpha }_{s}} = 0\} = \{ 3,4\} ,\quad {{I}^{ - }}(\mathfrak{H}): = \{ s:{{\alpha }_{s}} < 0\} = \{ 1\} ,\quad {{I}^{ + }}(\mathfrak{H}): = \{ s:{{\alpha }_{s}} > 0\} = \{ 2\} .} \end{array}$Заметим, что множество ${{I}^{ - }}$ в (4.41) состоит из одного элемента $s = 1$, а соответствующий элемент матрицы $\mathfrak{L}$ равен ${{\alpha }_{1}} = - 2$. Поэтому в формуле продолжения (2.9) индекс $s$ принимает лишь одно значение $s = 1$, а каждый из двух индексов ${{r}_{1}}$ и ${{r}_{2}}$ принимает значение $0$ и $|{\kern 1pt} {{\alpha }_{1}}{\kern 1pt} | - 1 = 1$. Таким образом, в формуле (2.9) будут фигурировать четыре слагаемых вида ${{B}_{{s,({{r}_{1}},{{r}_{2}})}}}{{\mathcal{U}}_{{s,({{r}_{1}},{{r}_{2}})}}}$. Перейдем к нахождению этих величин.
Прежде всего, подставляя (4.40), (4.41) в (2.2), (2.3), находим
(4.43)
$\sigma _{{1,(0,0)}}^{{(1)}} = 1 + \frac{{b - a}}{2},\quad \sigma _{{2,(0,0)}}^{{(1)}} = c + \frac{{b - a}}{2},\quad \sigma _{{3,(0,0)}}^{{(1)}} = 1 - b,\quad \sigma _{{4,(0,0)}}^{{(1)}} = d - b,$(4.44)
$\sigma _{{1,(1,0)}}^{{(1)}} = \frac{{1 + b - a}}{2},\quad \sigma _{{2,(1,0)}}^{{(1)}} = c + \frac{{b - a - 1}}{2},\quad \sigma _{{3,(1,0)}}^{{(1)}} = 1 - b,\quad \sigma _{{4,(1,0)}}^{{(1)}} = d - b,$(4.45)
$\sigma _{{1,(0,1)}}^{{(1)}} = \frac{{3 + b - a}}{2},\quad \sigma _{{2,(0,1)}}^{{(1)}} = c + \frac{{b - a + 1}}{2},\quad \sigma _{{3,(0,1)}}^{{(1)}} = - b,\quad \sigma _{{4,(0,1)}}^{{(1)}} = d - b - 1,$(4.46)
$\sigma _{{1,(1,1)}}^{{(1)}} = 1 + \frac{{b - a}}{2},\quad \sigma _{{2,(1,1)}}^{{(1)}} = c + \frac{{b - a}}{2},\quad \sigma _{{3,(1,1)}}^{{(1)}} = - b,\quad \sigma _{{4,(1,1)}}^{{(1)}} = d - b - 1.$(4.47)
$\begin{gathered} {{B}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}}) = \frac{{\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c + \frac{{b - a}}{2}} \right)\Gamma (a - b)}},\quad {{B}_{{1,(1,0)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}}) = - \frac{{\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{1 + a - b}}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c + \frac{{b - a - 1}}{2}} \right)\Gamma (a - b)}}, \\ {{B}_{{1,(0,1)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}}) = \frac{{b(1 + b - d)\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{a - b - 1}}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c + \frac{{b - a + 1}}{2}} \right)\Gamma (a - b)}},\quad {{B}_{{1,(1,1)}}}(\mathfrak{H},{\mathbf{f}}) = \frac{{b(d - b - 1)\Gamma (c)\Gamma \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)}}{{2\Gamma \left( {c + \frac{{b - a}}{2}} \right)\Gamma (a - b)}}. \\ \end{gathered} $(4.48)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathfrak{M}}^{{(1)}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}&0&0 \\ 1&1&{ - 2}&{ - 2} \end{array}} \right).} \end{array}$(4.49)
$w_{1}^{{(1)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{1}{{{{z}_{1}}}},\quad w_{2}^{{(1)}}({{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}}.$Теорема 8. Если параметры ряда Горна ${{H}_{4}}$, определенного в области (1.15) равенством (1.13), таковы, что ни одно из чисел $a - b$, $c + (b - a \pm 1){\text{/}}2$ не является целым, то аналитическое продолжение ${{H}_{4}}$ в область
(4.50)
$\left\{ {({{z}_{1}},{{z}_{2}}) \in {{\mathbb{C}}^{2}}:\left| {{{z}_{1}}} \right| > \frac{1}{4},\;\left| {{{z}_{2}}} \right| > 1 + 2{{{\left| {{{z}_{1}}} \right|}}^{{1/2}}},\;\left| {\arg ( - {{z}_{j}})} \right| < \pi ,\;j = 1,2} \right\}$(4.51)
$\begin{gathered} {{H}_{4}}(a,b,c,d;{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = \frac{{\Gamma (d)\Gamma (b - a)}}{{\Gamma (d - a)\Gamma (b)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L}';{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) + \\ + \;\frac{{\Gamma (c)\Gamma (d)\Gamma \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)}}{{2\Gamma (a)\Gamma (d - b)\Gamma \left( {c + \frac{{b - a}}{2}} \right)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{H};{\mathbf{f}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) - \frac{{\Gamma (c)\Gamma (d)\Gamma \left( {\frac{{1 + a - b}}{2}} \right)}}{{2\Gamma (a)\Gamma (d - b)\Gamma \left( {c + \frac{{b - a - 1}}{2}} \right)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(1,0)}}}(\mathfrak{H};{\mathbf{f}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) + \\ + \;\frac{{b(d - b - 1)\Gamma (c)\Gamma (d)\Gamma \left( {\frac{{a - b - 1}}{2}} \right)}}{{2\Gamma (a)\Gamma (d - b)\Gamma \left( {c + \frac{{b - a + 1}}{2}} \right)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(0,1)}}}(\mathfrak{H};{\mathbf{f}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) + \\ + \;\frac{{b(1 + b - d)\Gamma (c)\Gamma (d)\Gamma \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)}}{{2\Gamma (a)\Gamma (d - b)\Gamma \left( {c + \frac{{b - a}}{2}} \right)}}{{\mathcal{U}}_{{1,(1,1)}}}(\mathfrak{H};{\mathbf{f}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}), \\ \end{gathered} $(4.52)
$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{L}';{\mathbf{g}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{2}}{{)}^{{ - a}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(a)}}_{{2{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(1 + a - d)}}_{{2{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}}}{{{{{(1 - b + a)}}_{{2{{k}_{1}} + {{k}_{2}}}}}{{{(c)}}_{{{{k}_{1}}}}}{{k}_{1}}!{{k}_{2}}!}}{{{\left( {\frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}}} \right)}}^{{{{k}_{1}}}}}\frac{1}{{z_{2}^{{{{k}_{2}}}}}},} \end{array}$(4.53)
${{\mathcal{U}}_{{1,(0,0)}}}(\mathfrak{H};{\mathbf{f}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{\frac{{b - a}}{2}}}}{{( - {{z}_{2}})}^{{ - b}}}\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(b)}}_{{2{{k}_{2}}}}}{{{(1 + b - d)}}_{{2{{k}_{2}}}}}}}{{{{{\left( {1 + \frac{{b - a}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{2}} - {{k}_{1}}}}}{{{\left( {c + \frac{{b - a}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{2}} - {{k}_{1}}}}}(2{{k}_{1}})!(2{{k}_{2}})!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}},$(4.54)
$\begin{gathered} {{\mathcal{U}}_{{1,(1,0)}}}(\mathfrak{H};{\mathbf{f}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{\frac{{b - a - 1}}{2}}}}{{( - {{z}_{2}})}^{{ - b}}} \times \\ \times \;\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(b)}}_{{2{{k}_{2}}}}}{{{(1 + b - d)}}_{{2{{k}_{2}}}}}}}{{{{{\left( {\frac{{1 + b - a}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{2}} - {{k}_{1}}}}}{{{\left( {c + \frac{{b - a - 1}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{2}} - {{k}_{1}}}}}(2{{k}_{1}} + 1)!(2{{k}_{2}})!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}}, \\ \end{gathered} $(4.55)
$\begin{gathered} {{\mathcal{U}}_{{1,(0,1)}}}(\mathfrak{H};{\mathbf{f}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{\frac{{b - a + 1}}{2}}}}{{( - {{z}_{2}})}^{{ - b - 1}}} \times \\ \times \;\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(1 + b)}}_{{2{{k}_{2}}}}}{{{(2 + b - d)}}_{{2{{k}_{2}}}}}}}{{{{{\left( {\frac{{3 + b - a}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{2}} - {{k}_{1}}}}}{{{\left( {c + \frac{{b - a + 1}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{2}} - {{k}_{1}}}}}(2{{k}_{1}})!(2{{k}_{2}} + 1)!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}}{\kern 1pt} , \\ \end{gathered} $(4.56)
$\begin{gathered} {{\mathcal{U}}_{{1,(1,1)}}}(\mathfrak{H};{\mathbf{f}};{{z}_{1}},{{z}_{2}}) = ( - {{z}_{1}}{{)}^{{\frac{{b - a}}{2}}}}{{( - {{z}_{2}})}^{{ - b - 1}}} \times \\ \times \;\sum\limits_{{{k}_{1}},{{k}_{2}} = 0}^\infty \frac{{{{{(1 + b)}}_{{2{{k}_{2}}}}}{{{(2 + b - d)}}_{{2{{k}_{2}}}}}}}{{{{{\left( {1 + \frac{{b - a}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{2}} - {{k}_{1}}}}}{{{\left( {c + \frac{{b - a}}{2}} \right)}}_{{{{k}_{2}} - {{k}_{1}}}}}(2{{k}_{1}} + 1)!(2{{k}_{2}} + 1)!}}\frac{1}{{z_{1}^{{{{k}_{1}}}}}}{{\left( {\frac{{{{z}_{1}}}}{{z_{2}^{2}}}} \right)}^{{{{k}_{2}}}}}{\kern 1pt} . \\ \end{gathered} $Теоремы 6, 8 дополняют друг друга и дают представление для ряда Горна ${{H}_{4}}$ в областях (4.18), (4.50), где обе переменные ${{z}_{1}}$ и ${{z}_{2}}$ могут принимать большие по модулю значения.
Представления функций ${{H}_{3}}$ и ${{H}_{4}}$, найденные в теоремах 3–8, демонстрируют, что теорема 1 является основой эффективного метода построения формул аналитического продолжения общих рядов Горна (1.1). Полученные в результате применения теоремы 1 формулы дают эффективный алгоритм для вычисления функций Горна вне области сходимости степенного ряда (1.1), которым исходно определяются такие функции. Таким образом, результаты настоящей работы могут быть востребованы в задачах математической физики, при решении которых возникают ряды вида (1.1) или системы уравнений с частными производными (1.9).
Список литературы
Exton H. Multiple hypergeometric functions and application. New York: John Willey & Sons, Inc, 1976.
Iwasaki K., Kimura H., Shimomura Sh., Yoshida M. From Gauss to Painlevé: a modern theory of special functions. Aspects of Mathematics. V. E16. Braunschweig: Friedrich Vieweg & Sohn, 1991.
Гельфанд И.М., Граев М.И., Ретах В.С. Общие гипергеометрические системы уравнений и ряды гипергеометрического типа // Успехи матем. наук. 1992. Т. 47. Вып. 4(286). С. 3–82.
Akerblom N., Flohr M. Explicit formulas for the scalar modes in Seiberg–Witten theory with an application to the Argyres–Douglas point // J. High Energy Phys. 2005. V. 2. № 057. P. 24.
Holzapfel R.-P., Uludag A.M., Yoshida M. Arithmetic and geometry around hypergeometric functions. Progr. Math. V. 260. Basel: Birkhäuser Verlag, 2007.
Тарасов О.В. Применение функциональных уравнений для вычисления фейнмановских интегралов // Теор. и матем. физ. 2019. Т. 200. № 2. С. 324–342.
Безродных С.И. Гипергеометрическая функция Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$, задача Римана–Гильберта и некоторые приложения // Успехи матем. наук. 2018. Т. 73. № 6 (444). С. 3–94.
Brychkov Yu.A., Savischenko N.V. Application of hypergeometric functions of two variables in wireless communication theory // Lobachevskii J. of Math. 2019. V. 40. № 7. P. 938–953.
Berge J., Massey R., Baghi Q., Touboul P. Exponential shapelets: basis functions for data analysis of isolated feature // Month. Notices Royal Astron. Soc. 2019. 486(1). P. 544–559.
Безродных С.И., Власов В.И. Асимптотика задачи Римана–Гильберта для модели магнитного пересоединения в плазме // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60. № 11. С. 1898–1914.
Власов В.И., Скороходов С.Л. Аналитическое решение задачи о кавитационном обтекании клина. I // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60. № 12. С. 2098–2121.
Kalmykov M., Bytev V., Kniehl B., Moch S.-O., Ward B., Yost S. Hypergeometric functions and Feynman diagrams. In: Blümlein J., Schneider C. (eds) Anti-Differentiation and the Calculation of Feynman Amplitudes. Texts & Monographs in Symbolic Computation (A Series of the Research Institute for Symbolic Computation, Johannes Kepler University, Linz, Austria). Springer, Cham, 2021.
Bezrodnykh S.I., Vlasov V.I. Asymptotics of the Riemann–Hilbert problem for the Somov model of magnetic reconnection of long shock waves // Math. Notes. 2021. V. 110. Iss. P. 853–871.
Власов В.И., Скороходов С.Л. Аналитическое решение задачи о кавитационном обтекании клина. II // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. Т. 61. № 11. С. 1873–1893.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973.
Srivastava H.M., Karlsson P.W. Multiple Gaussian hypergeometric series. Chichester: Ellis Horwood, 1985.
Appell P., Kampé de Fériet J. Fonctions hypergéometriques et hypersphérique. Paris: Gauthier–Villars, 1926.
Horn J. Über die konvergenz der hypergeometrischen Reihen zweier und dreier Veränderlichen. Math. Ann. 1889. V. 34. P. 544–600.
Садыков Т.М., Цих А.К. Гипергеометрические и алгебраические функции многих переменных. М.: Наука, 2014.
Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Т. 2. М.: Эдиториал УРСС, 2002.
Olsson O.M. Integration of the partial differential equations for the hypergeometric function ${{F}_{1}}$ and ${{F}_{D}}$ of two and more variables // J. Math. Phys. 1964. V. 5. № 420. P. 420–430.
Srivastava H.M. A note on certain hypergeometric differential equations // Math. Vesnik. 1972. V. 9. № 24. P. 101–107.
Sud A.R., Sud K.K. Analytic continuation of the Lauricella function // J. Math. Phys. 1978. V. 19. № 12.
Власов В.И. Краевые задачи в областях с криволинейной границей. Докторская дисс. М.: ВЦ АН СССР, 1990.
Bezrodnykh S.I. Analytic continuation of the Lauricella function $F_{D}^{{(N)}}$ with arbitrary number of variables // Integral Transforms and Special Functions. 2018. V. 29. № 1. P. 21–42.
Bezrodnykh S.I. Analytic continuation of Lauricella’s function $F_{D}^{{(N)}}$ for large in modulo variables near hyperplanes $\{ {{z}_{j}} = {{z}_{l}}\} $ // Integral Transforms and Special Functions. 2021. Publ. online. https://doi.org/10.1080/10652469.2021.192920610.1080/10652469.2021.1929206
Bezrodnykh S.I. Analytic continuation of Lauricella’s function $F_{D}^{{(N)}}$ for variables close to unit near hyperplanes $\{ {{z}_{j}} = {{z}_{l}}\} $ // Integral Transforms and Special Functions. 2021. Publ. online. https://doi.org/10.1080/10652469.2021.193932910.1080/10652469.2021.1939329
Bezrodnykh S.I. Analytic continuation of the Horn hypergeometric series with an arbitrary number of variables // Integral Transforms and Spec Functions. 2020. V. 31. № 10. P. 788–803.
Brychkov Yu.A., Savischenko N.V. On some formulas for the Horn functions ${{H}_{5}}(a,b;c;w,z)$ and $H_{5}^{c}(a;c;w,z)$ // Integral Transforms and Special Functions. 2021. Publ.online. https://doi.org/10.1080/10652469.2021.193802610.1080/10652469.2021.1938026
Brychkov Yu.A., Savischenko N.V. On some formulas for the Horn functions ${{H}_{6}}(a,b,b',w,z)$ and $H_{8}^{{(c)}}(a,b;w,z)$ // Integral Transforms and Special Functions. 2021. Publ. online. https://doi.org/10.1080/10652469.2021.201742710.1080/10652469.2021.2017427
Fox F. The asymtotic expansion of hypergeometric functions // Proc. London Math. Soc. 1928. V. 27. № 2. P. 389–400.
Wright E.M. The asymtotic expansion of hypergeometric functions // Proc. London Math. Soc. 1935. V. 10. № 4. P. 286–293.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики
Пн.-пт.: 10.00-19.00