Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 6, стр. 891-911

2.1. Вид асимптотики

Условие А1. Пусть

При условии А1 вырожденное уравнение (3) имеет двукратный корень $z = \varphi (x,y)$.

Условие А2. Достаточная гладкость функций $h,\varphi ,{{F}_{1}},f$.

Как обычно, требуемый порядок гладкости зависит от порядка асимптотики, которую мы хотим построить. Поскольку речь пойдет об асимптотике произвольного порядка, будем считать функции $h$, $\varphi $, ${{F}_{1}}$ и $f$ бесконечно дифференцируемыми в соответствующих областях.

Условие А3. Уравнение (4) имеет относительно $y$ корень $y = {{\bar {y}}_{0}}(x)$ такой, что

Неравенство (10) будет играть в дальнейшем принципиальную роль.

Будем строить асимптотику погранслойного решения задачи (1), (2) в виде (5), где $\xi = x{\text{/}}\varepsilon $ и $\zeta = x{\text{/}}{{\varepsilon }^{2}}$ – погранслойные переменные. Однако, как показывает исследование, регулярная и погранслойная части асимптотики будут теперь рядами по целым степеням $\sqrt \varepsilon $ (а не $\varepsilon $, как в случае простых корней уравнений (3) и (4)):

Более того, как мы увидим ниже, коэффициенты рядов (12) и (13), т.е. функции ${{\Pi }_{i}}z$, ${{\Pi }_{i}}y$ и ${{P}_{i}}z$, ${{P}_{i}}y$, будут зависеть не только, соответственно, от $\xi $ и $\zeta $, но также и от $\varepsilon $, но с целью уменьшения громоздкости записи зависимости их от $\varepsilon $ отмечать не будем, т.е. будем писать ${{\Pi }_{i}}z(\xi )$ вместо ${{\Pi }_{i}}z(\xi ,\varepsilon )$ и также для других функций.

Подставляем выражения (5) в систему (1) и представляем правые части уравнений в виде

таким же образом, как это делается в стандартном алгоритме Васильевой (см. [2]), т.е. и аналогичные выражения имеют $\bar {f}$, $\Pi f$ и $Pf$.

После этого разделяем каждое уравнение системы на три равенства:

К этим равенствам добавим два равенства, которые получаются подстановкой выражений (5) в начальные условия (2): а также добавим условие на бесконечности, стандартное при использовании алгоритма Васильевой для систем типа (1): Из равенств (16)–(21) будем извлекать уравнения и дополнительные условия для коэффициентов рядов (11)–(13).

2.2. Регулярная часть асимптотики

Для нахождения коэффициентов регулярной части асимптотики имеем равенства (16). Запишем их, подставляя вместо $\bar {z}$ и $\bar {y}$ ряды (11) и используя представление для функции $F$ из условия А1:

Отсюда стандартным способом, т.е. разложив правые части равенств в ряды по целым степеням $\sqrt \varepsilon $ и приравнивая затем коэффициенты при одинаковых степенях $\sqrt \varepsilon $ в обеих частях каждого равенства, будем получать системы уравнений для нахождения коэффициентов рядов (11).

В нулевом приближении, т.е. для ${{\bar {z}}_{0}}$, ${{\bar {y}}_{0}}$, получаем систему уравнений

Из первого уравнения следует: ${{\bar {z}}_{0}} = \varphi (x,{{\bar {y}}_{0}})$. Подставив это выражение для ${{\bar {z}}_{0}}$ во второе уравнение, приходим к уравнению $0 = f(x,{{\bar {y}}_{0}},\varphi (x,{{\bar {y}}_{0}}),0)$, т.е. $g(x,{{\bar {y}}_{0}}) = 0$, которое в силу условия А3 имеет решение ${{\bar {y}}_{0}} = {{\bar {y}}_{0}}(x)$, $0 \leqslant x \leqslant X$. Таким образом, найдены главные члены регулярной части асимптотики

Условие А4. Пусть

Это условие понадобится в дальнейшем.

Разложение правой части первого равенства в (22) не содержит членов порядка $\sqrt \varepsilon $. Приравнивая нулю коэффициент при $\varepsilon $ этого разложения, и также коэффициент при $\sqrt \varepsilon $ разложения правой части второго равенства, получаем систему уравнений относительно ${{\bar {z}}_{1}}$, ${{\bar {y}}_{1}}$:

где $\;\overline h (x) > 0\;$ в силу условия А4, ${{\bar {\varphi }}_{y}}(x): = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}(x,{{\bar {y}}_{0}}(x))$, ${{\bar {F}}_{1}}(x): = {{F}_{1}}(x,{{\bar {y}}_{0}}(x),{{\bar {z}}_{0}}(x),0)$ и такой же смысл имеют обозначения ${{\bar {f}}_{y}}(x)$ и ${{\bar {f}}_{z}}(x)$.

Необходимым условием разрешимости первого уравнения системы (25) является неравенство ${{\bar {F}}_{1}}(x) \geqslant 0$. Потребуем выполнения более жесткого условия.

Условие А5. Пусть ${{\bar {F}}_{1}}(x) > 0$, $0 \leqslant x \leqslant X$.

Тогда из первого уравнения (25) получаем

либо ${{\bar {z}}_{1}} - {{\bar {\varphi }}_{y}}(x){{\bar {y}}_{1}} = - a(x) < 0$. Как будет видно из дальнейшего, для того, чтобы решение задачи (1), (2) имело погранслойный характер, нужно взять первое решение, т.е. Подставляя это выражение для ${{\bar {z}}_{1}}$ во второе уравнение (25), получаем линейное алгебраическое уравнение относительно ${{\bar {y}}_{1}}$: Коэффициент при ${{\bar {y}}_{1}}$ равен ${{\bar {g}}_{y}}(x) < 0$ (см. (4) и условие А3), поэтому Для ${{\bar {z}}_{i}}$, ${{\bar {y}}_{i}}$, $i \geqslant 2$, из (22) получаются системы линейных уравнений вида где функция $a(x)$ определена в (26), а ${{G}_{i}}(x)$ и ${{g}_{i}}(x)$ – известные функции, выражающиеся рекуррентно через ${{\bar {z}}_{j}}(x)$, ${{\bar {y}}_{j}}(x)$ с номерами $j < i$. Так как определитель системы (28) равен ${{\bar {f}}_{y}}(x) + {{\bar {f}}_{z}}(x){{\bar {\varphi }}_{y}}(x) = {{\bar {g}}_{y}}(x) \ne 0$ (см. условие А3), то из этой системы однозначно определяются ${{\bar {z}}_{i}}(x)$ и ${{\bar {y}}_{i}}(x)$.

Итак, регулярная часть асимптотики решения построена. Отметим, что частичные суммы

рядов (11) при подстановке их в равенства (16) вместо $\bar {z}$ и $\bar {y}$ удовлетворяют первому равенству в (16) с точностью порядка $O\left( {{{\varepsilon }^{{\frac{{n + 2}}{2}}}}} \right)$, а второму – с точностью порядка $O\left( {{{\varepsilon }^{{\frac{{n + 1}}{2}}}}} \right)$, т.е.

2.3. Погранслойные части асимптотики

Для нахождения коэффициентов погранслойных частей асимптотики, т.е. пограничных функций ${{\Pi }_{i}}z(\xi )$, ${{\Pi }_{i}}y(\xi )$, ${{P}_{i}}z(\zeta )$, ${{P}_{i}}y(\zeta )$ имеем равенства (17)–(21). Запишем равенства (17), используя выражение (14) для $\Pi F$ и аналогичное выражение для $\Pi f$, учитывая вид функции $F$ и подставляя вместо $\bar {z}$ и $\bar {y}$, $\Pi z$ и $\Pi y$ ряды (11) и (12):

Равенства (18) запишем в аналогичном виде, но с тем отличием, что будем использовать еще одну погранслойную переменную $\eta = \frac{x}{{{{\varepsilon }^{{3/2}}}}} = \frac{\xi }{{\sqrt \varepsilon }}$ и обе части второго равенства умножим на $\varepsilon $:

Подставим также ряды (11), (12), (13) в равенства (19), (20) и условие на бесконечности (21):

Из равенств (30)–(33) будем извлекать уравнения, а из равенств (34)–(36) – начальные условия и условие на бесконечности для последовательного определения пограничных функций. На каждом шаге будут определены четыре пограничные функции, причем порядок их нахождения на любом $i$-м шаге будет таким: сначала определяется функция ${{P}_{i}}y(\zeta )$, затем функции ${{\Pi }_{i}}y(\xi )$ и ${{\Pi }_{i}}z(\xi )$ и, наконец, функция ${{P}_{i}}z(\zeta )$. При этом алгоритм формирования уравнений для функций ${{P}_{i}}z(\zeta )$ и ${{P}_{i}}y(\zeta )$ будет существенно отличаться от стандартного алгоритма Васильевой. На начальном шаге из (33) и (36) получаем задачу для ${{P}_{0}}y(\zeta )$: откуда следует, что ${{P}_{0}}y(\zeta ) = 0$, $\zeta \geqslant 0$.

Из (30) и (31) в нулевом приближении имеем уравнения

В силу (24) и (23) вторые слагаемые в правых частях этих уравнений равны нулю, поэтому из первого уравнения находим и после подстановки этого выражения в правую часть второго уравнения получаем уравнение для ${{\Pi }_{0}}y(\xi )$: Его можно записать в виде (см. (4)) Начальное условие для ${{\Pi }_{0}}y(\xi )$ следует из (35) с учетом того, что ${{P}_{0}}y(0) = 0$: В силу (10) имеем ${{g}_{y}}(0,{{\bar {y}}_{0}}(0)) < 0$, поэтому ${{\Pi }_{0}}y = 0$ является асимптотически устойчивой точкой покоя уравнения (38). Чтобы решение ${{\Pi }_{0}}y(\xi )$ задачи (38), (39) стремилось к нулю при $\xi \to \infty $, потребуем выполнения следующего условия.

Условие А6. Начальное значение ${{y}^{0}} - {{\bar {y}}_{0}}(0)$ функции ${{\Pi }_{0}}y(\xi )$ принадлежит области притяжения асимптотически устойчивой точки покоя ${{\Pi }_{0}}y = 0$ уравнения (38).

При этом условии функция ${{\Pi }_{0}}y(\xi )$ монотонно стремится к нулю при $\xi \to \infty $ и имеет экспоненциальную оценку

Как обычно, для упрощения записи одними и теми же буквами $c$ и $\kappa $ будем обозначать в разных оценках подходящие положительные числа, не зависящие от $\varepsilon $.

Таким образом, функция ${{\Pi }_{0}}y(\xi )$ определена, и это позволяет найти ${{\Pi }_{0}}z(\xi )$ из равенства (37). Учитывая, что ${{\bar {z}}_{0}}(0) = \varphi (0,{{\bar {y}}_{0}}(0))$ (см. (24)), запишем ${{\Pi }_{0}}z(\xi )$ в виде

Отсюда следует, что для ${{\Pi }_{0}}z(\xi )$ справедлива оценка типа (40).

Для дальнейшего нахождения пограничных функций нам понадобятся дополнительные требования, связанные с функциями ${{\Pi }_{0}}y(\xi )$ и ${{\Pi }_{0}}z(\xi )$.

Введем две функции, зависящие от ${{\Pi }_{0}}y(\xi )$ и ${{\Pi }_{0}}z(\xi )$:

и Как мы увидим, на следующих шагах алгоритма принципиальную роль будут играть неравенства Чтобы обеспечить эти неравенства, введем следующее требование.

Условие А7. Пусть

Так как и функция ${{\bar {y}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}y(\xi )$ принимает значения от ${{y}^{0}}$ до ${{\bar {y}}_{0}}(0)$ при $\xi \geqslant 0$ в силу монотонного изменения функции ${{\Pi }_{0}}y(\xi )$ от значения $({{y}^{0}} - {{\bar {y}}_{0}}(0))$ до нуля при изменении $\xi $ от 0 до $\infty $, то условие А7 обеспечивает выполнение неравенств (43).

Отметим, что условие А5 и условие А7 в отношении функции $B(y)$ показывают, что в случае двукратного корня вырожденного уравнения (3) (в отличие от случая простого корня) принципиальную роль в построении (и, как увидим далее, в обосновании) погранслойной асимптотики решения задачи (1), (2) играют члены порядка $O(\varepsilon )$, входящие в правую часть первого уравнения системы (1) (а именно, функция $\varepsilon {{F}_{1}}(x,y,z,0)$).

Перейдем к определению пограничной функции ${{P}_{0}}z(\zeta )$. Поскольку функция ${{\Pi }_{0}}z(\xi )$ известна, из равенства (34) находим начальное значение функции ${{P}_{0}}z(\zeta )$ (используем также равенство (37)):

Уравнение для ${{P}_{0}}z(\zeta )$ получим из (32). Стандартный алгоритм, при котором приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon $ в разложениях левой и правой частей равенства (32), дает уравнение

Поскольку $h(0,{{y}^{0}}) > 0$ (в силу условия А7), то решение ${{P}_{0}}z(\zeta )$ уравнения (45) с начальным условием (44) будет стремиться к нулю при $\zeta \to \infty $, т.е. будет удовлетворять стандартному требованию к пограничным функциям, если только ${{P}^{0}} \geqslant 0$. Потребуем выполнения более жесткого условия.

Условие А8. Пусть

Отметим, что если ${{P}^{0}} = 0$, то ${{P}_{0}}z(\zeta ) \equiv 0$, и этот случай требует отдельного рассмотрения. При условии А8 решение задачи (45), (44) имеет вид Следовательно, ${{P}_{0}}z(\zeta ) \to 0$ при $\zeta \to \infty $ степенным образом: ${{P}_{0}}z(\zeta ) = O\left( {\frac{1}{{1 + \zeta }}} \right)$ при $\zeta \to \infty $.

Однако, как показывает исследование, компонента решения, зависящая от погранслойной переменной $\zeta $, т.е. функция ${{P}_{0}}z(\zeta )$ и другие члены рядов (13), ведет себя более сложным образом, чем функция (46). Для правильного описания этой компоненты нужно изменить уравнение для ${{P}_{0}}z(\zeta )$ и также нестандартным образом формировать уравнения для следующих функций ${{P}_{i}}z$ и ${{P}_{i}}y$.

Прежде чем внести изменения в уравнение (45) для ${{P}_{0}}z(\zeta )$, рассмотрим уравнения для функций ${{\Pi }_{1}}z(\xi )$, ${{\Pi }_{1}}y(\xi )$, которые получаются на следующем шаге из (30) и (31). Именно с этими функциями будет связано изменение уравнения (45).

Из (30) в первом приближении, т.е. приравнивая в разложениях обеих частей равенства коэффициенты при $\varepsilon $, получаем (заметим, что разложения левой и правой частей в (30) не содержат членов порядка $O(\sqrt \varepsilon )$):

где $h(\xi )$ определена в (41), ${{\varphi }_{y}}(\xi ): = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}(0,{{\bar {y}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}y(\xi ))$. Учитывая первое равенство в (25) и выражение (42) для функции $b(\xi )$, запишем (47) в виде Так как $h(\xi ) \geqslant c > 0$ и $b(\xi ) \geqslant c > 0$ (см. (43)), то

Поэтому выражение в квадратных скобках в левой части (48) равно либо $\sigma (\xi )$, либо $ - \sigma (\xi )$. Из дальнейшего станет ясно, что нужно взять положительное значение, т.е.

Тогда Отметим также, что в силу (42) и (26) Из (31) в первом приближении получаем уравнение где и такой же смысл имеет обозначение ${{f}_{z}}(\xi )$. Подставляя в правую часть уравнения выражение (51) для ${{\bar {z}}_{1}}(0) + {{\Pi }_{1}}z$, приходим к уравнению для ${{\Pi }_{1}}y(\xi )$: где Заметим, что поэтому

Начальное условие для ${{\Pi }_{1}}y(\xi )$ следует из (35):

Однако нам не известна пока величина ${{P}_{1}}y(0)$, поэтому мы не можем на этом этапе определить функцию ${{\Pi }_{1}}y(\xi )$, а значит, и функцию ${{\Pi }_{1}}z(\xi )$, которая выражается через ${{\Pi }_{1}}y(\xi )$ по формуле (51).

Вернемся к уравнению (45) для ${{P}_{0}}z(\zeta )$, которое мы хотим модернизировать. Добавим в правую часть уравнения слагаемые

содержащиеся в разложении правой части равенства (32). Хотя функции ${{\Pi }_{1}}y(\xi )$ и ${{\Pi }_{1}}z(\xi )$ еще  не определены, но число, заключенное в квадратных скобках, нам известно – это $\sigma (0) = [{{h}^{{ - 1}}}(0)b{{(0)]}^{{1/2}}} > 0$ (см. (50) и (49)). Уравнение для ${{P}_{0}}z(\zeta )$ принимает вид: Решение уравнения (56) с начальным условием (44) находится в явном виде: где $h: = h(0,{{y}^{0}})$, $\sigma : = \sigma (0)$. Отметим, что ${{P}_{0}}z(\zeta ) > 0$ при $\zeta \geqslant 0$, это будет играть важную роль при обосновании асимптотики.

Несложный анализ выражения (57) показывает, что ${{P}_{0}}z(\zeta )$ монотонно стремится к нулю при $\zeta \to \infty $, но убывание функции ${{P}_{0}}z(\zeta )$ имеет различный характер на разных промежутках изменения $\zeta $. Можно разделить полупрямую $\zeta \geqslant 0$ на три зоны.

Первой зоной является промежуток $0 \leqslant \zeta \leqslant {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}$, где в качестве $\gamma $ можно взять любое положительное число, меньшее, чем $\frac{1}{2}$. В этой зоне ${{P}_{0}}z(\zeta ) = O\left( {\frac{1}{{1 + \zeta }}} \right)$, т.е. функция ${{P}_{0}}z(\zeta )$ убывает с ростом $\zeta $ степенным образом так же, как функция (46).

Промежуток ${{\varepsilon }^{{ - \gamma }}} \leqslant \zeta \leqslant {{\varepsilon }^{{ - 1/2}}}$ является второй (переходной) зоной. Здесь происходит изменение характера убывания функции ${{P}_{0}}z(\zeta )$ и изменение масштаба погранслойной переменной.

И, наконец, в третьей зоне, где $\zeta \geqslant {{\varepsilon }^{{ - 1/2}}}$, функция ${{P}_{0}}z(\zeta )$ имеет оценку

т.е. новая погранслойная переменная $\eta $, возникшая в третьей зоне, имеет иной масштаб по сравнению со старой переменной $\zeta $, а функция ${{P}_{0}}z$ убывает в третьей зоне экспоненциально при $\eta \to \infty $.

Отметим, что принципиальную роль в описанном поведении функции ${{P}_{0}}z(\zeta )$ играет положительность чисел $h = h(0,{{y}^{0}})$ и $\sigma = \sigma (0)$.

Итак, на начальном шаге алгоритма определены функции ${{P}_{0}}y$, ${{\Pi }_{0}}y$, ${{\Pi }_{0}}z$, ${{P}_{0}}z$, т.е. главные члены рядов (12) и (13). Из (57) для ${{P}_{0}}z(\zeta )$ следует оценка

где

Функция ${{P}_{\kappa }}(\zeta )$ имеет такое же трехзонное поведение, как и функция ${{P}_{0}}z(\zeta )$. Она будет играть роль эталонной (оценочной) функции для коэффициентов ${{P}_{i}}z(\zeta )$, ${{P}_{i}}y(\zeta )$ рядов (13) аналогично тому, как функция $\exp ( - \kappa \zeta )$ была эталонной функцией в случае простого корня уравнения (3) (см. (9)), т.е. все функции ${{P}_{i}}z(\zeta )$ и ${{P}_{i}}y(\zeta )$ будут иметь оценки типа (58):

с различными, вообще говоря, $c$ и $\kappa $ для различных $i$. Чтобы обеспечить эти оценки, будем формировать уравнения для ${{P}_{i}}z(\zeta )$, ${{P}_{i}}y(\zeta )$, $i = 1,2, \ldots ,$ нестандартным способом.

В правую часть уравнения для ${{P}_{i}}z(\zeta )$ наряду с членом $ - 2h(0,{{y}^{0}}){{P}_{0}}z(\zeta ){{P}_{i}}z$ включим слагаемое $ - 2h(0,{{y}^{0}})\sqrt \varepsilon \sigma (0){{P}_{i}}z$, аналогичное слагаемому $ - 2h(0,{{y}^{0}})\sqrt \varepsilon \sigma (0){{P}_{0}}z$, добавленному в уравнение (45) (см. (56)). Уравнение для ${{P}_{i}}z(\zeta )$, $i = 1,2, \ldots ,$ будет иметь вид

где ${{p}_{i}}(\zeta ,\varepsilon )$ рекуррентно выражаются через ${{P}_{j}}z(\zeta )$ с номерами $j < i$ и ${{P}_{j}}y(\zeta )$ с номерами $j \leqslant i$ и формируются нестандартным способом. Опишем этот способ.

Разложив правую часть (32) в ряд по степеням $\sqrt \varepsilon $, обозначим коэффициент при ${{\varepsilon }^{{\frac{i}{2}}}}$ через ${{\beta }_{i}}(\eta ,{{P}_{0}}z, \ldots ,{{P}_{{i - 1}}}z,{{P}_{1}}y, \ldots ,{{P}_{i}}y)$ (в этот коэффициент мы не включаем слагаемое $ - 2h(0,{{y}^{0}}){{P}_{0}}z(\zeta ){{P}_{i}}z$, оно уже вошло в правую часть уравнения (60)). Если какое-то слагаемое (обозначим его ${{\tilde {\beta }}_{i}}(\eta ,{{P}_{0}}z, \ldots ,{{P}_{{i - 1}}}z,{{P}_{1}}y \ldots ,{{P}_{i}}y$)), входящее в ${{\beta }_{i}}$, имеет оценку по модулю, содержащую не менее двух сомножителей из числа функций $\left| {{{P}_{0}}z} \right|, \ldots ,\left| {{{P}_{{i - 1}}}z} \right|$, $\left| {{{P}_{1}}y} \right|, \ldots ,\left| {{{P}_{i}}y} \right|$ (например, $\left| {{{{\tilde {\beta }}}_{i}}} \right| \leqslant q(\eta )\left| {{{P}_{k}}z(\zeta )} \right| \cdot \left| {{{P}_{l}}y(\zeta )} \right|$, $k \leqslant i - 1$, $l \leqslant i$), то это слагаемое включаем в ${{p}_{i}}(\zeta ,\varepsilon )$; если же оценка $\left| {{{{\tilde {\beta }}}_{i}}} \right|$ содержит только один сомножитель указанного типа, то слагаемое $\sqrt \varepsilon {{\tilde {\beta }}_{i}}$ включаем в ${{p}_{{i - 1}}}(\zeta ,\varepsilon )$, т.е. это слагаемое войдет в правую часть уравнения для ${{P}_{{i - 1}}}z(\zeta )$. Кроме того, переменную $\eta $, входящую в выражение для ${{\beta }_{i}}$, заменяем на $\sqrt \varepsilon \zeta $.

В качестве примера выпишем выражение для ${{p}_{1}}(\zeta ,\varepsilon )$:

где ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$ – известные числа.

Уравнения для ${{P}_{i}}y(\zeta )$, $i = 1,2, \ldots $, извлекаемые из (33), имеют вид

где правые части ${{q}_{i}}(\zeta ,\varepsilon )$ выражаются рекуррентно через известные к моменту рассмотрения этого уравнения на $i$-м шаге функции ${{P}_{j}}z(\zeta )$ и ${{P}_{j}}y(\zeta )$ с номерами $j < i$ и формируются по тому же принципу, что и функции ${{p}_{i}}(\zeta ,\varepsilon )$. В частности, функция ${{q}_{1}}(\zeta ,\varepsilon )$ имеет вид

Рассмотрим теперь шаг алгоритма, на котором определяются пограничные функции с номером 1.

Для ${{P}_{1}}y(\zeta )$ имеем уравнение (62) при $i = 1$, где ${{q}_{1}}(\zeta ,\varepsilon )$ выражается формулой (63) и имеет, очевидно, оценку

последнее неравенство получено с учетом (58). Из (36) для ${{P}_{1}}y(\zeta )$ получаем условие Решение уравнения для ${{P}_{1}}y(\zeta )$ с условием (64) имеет вид Нетрудно доказать так же, как это сделано в лемме в работе $[3]$, что для ${{P}_{1}}y(\zeta )$ имеет место оценка вида (59): Из (65) находим значение ${{P}_{1}}y(0)$: Теперь  мы  можем  найти функцию ${{\Pi }_{1}}y(\xi )$ как решение уравнения (53) с начальным условием (55): Так как в силу (10) и (40), то из (67) с учетом оценки (54) получаем для ${{\Pi }_{1}}y(\xi )$ экспоненциальную оценку типа (40): Функция ${{\Pi }_{1}}z(\xi )$ находится из равенства (51) и также имеет оценку типа (68). Эта оценка следует из вида функции ${{\Pi }_{1}}z(\xi )$ с учетом равенства (см. (26) и (50)): Определив ${{\Pi }_{1}}z(\xi )$, находим из (34) начальное условие для ${{P}_{1}}z(\zeta )$: Уравнение для ${{P}_{1}}z(\zeta )$ имеет вид (60) при $i = 1$, где ${{p}_{1}}(\zeta ,\varepsilon )$ выражается формулой (61) и имеет оценку Последнее неравенство получено с учетом оценок (58), (66) и неравенства $\sqrt \varepsilon \zeta {{P}_{\kappa }}(\zeta ) \leqslant c{{P}_{{{{\kappa }_{1}}}}}(\zeta )$, где ${{\kappa }_{1}} < \kappa $. Решение уравнения для ${{P}_{1}}z(\zeta )$ с начальным условием (69) можно записать в виде где Нетрудно доказать, так же, как это сделано в лемме в работе $[3]$, что для ${{P}_{1}}z(\zeta )$ имеет место оценка вида (59):

На следующих шагах алгоритма (втором, третьем и т.д.) определяются пограничные функции с номерами $2,3, \ldots $. С помощью метода математической индукции можно доказать, что функции ${{\Pi }_{i}}z(\xi )$, ${{\Pi }_{i}}y(\xi )$ и ${{P}_{i}}z(\zeta )$, ${{P}_{i}}y(\zeta )$ ($i \geqslant 2$) имеют оценки типа (68) и (59).

Отметим, что частичные суммы

рядов (12) при подстановке их в равенства (17) вместо $\Pi z$ и $\Pi y$ удовлетворяют первому равенству в (17) с точностью порядка $O\left( {{{\varepsilon }^{{\frac{{n + 2}}{2}}}}} \right)$, а второму – с точностью порядка $O\left( {{{\varepsilon }^{{\frac{{n + 1}}{2}}}}} \right)$, т.е. а частичные суммы рядов (13) при постановке их в равенства (18) вместо $Pz$ и $Py$ удовлетворяют первому равенству с точностью порядка $O\left( {{{\varepsilon }^{{\frac{{n + 1}}{2}}}}} \right)$, а второму – с точностью порядка $O\left( {{{\varepsilon }^{{\frac{n}{2}}}}} \right)$, т.е.

3.1. Теорема о существовании решения задачи (1), (2) с построенной асимптотикой

Для доказательства существования решения задачи (1), (2) с построенным асимптотическим разложением понадобится еще одно требование.

Условие А9. Пусть

Напомним, что

Роль этого условия выяснится ниже.

Обозначим через ${{Z}_{n}}(x,\varepsilon )$, ${{Y}_{n}}(x,\varepsilon )$ частичные суммы построенных разложений (5):

Теорема. Если выполнены условия А1–А9, то для достаточно малых $\varepsilon $ задача (1), (2) имеет решение $z(x,\varepsilon )$, $y(x,\varepsilon )$, и для любого $n = 0,1,2, \ldots $ справедливы асимптотические (при $\varepsilon \to + 0$) равенства

Доказательство. Доказательство теоремы проведем с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств, т.е. путем построения (с использованием частичных сумм (72)) нижнего и верхнего решений задачи (1), (2) (см. $[5]$). В связи с этим напомним понятия нижнего и верхнего решений применительно к задаче (1), (2).

Определение 1. Две пары функций $\underline Z (x,\varepsilon )$, $\underline Y (x,\varepsilon )$ и $\overline Z (x,\varepsilon )$, $\overline Y (x,\varepsilon )$ называются нижним и верхним решениями задачи (1), (2), если они удовлетворяют условиям:

Известно, что если существуют нижнее и верхнее решения задачи (1), (2), то существует решение $z(x,\varepsilon )$, $y(x,\varepsilon )$ этой задачи, удовлетворяющее неравенствам Мы рассмотрим систему (1) последовательно на двух отрезках: в п. 3.3 на отрезке $0 \leqslant x \leqslant \varepsilon {{\xi }_{0}}$ с начальными условиями (2), где выбор числа ${{\xi }_{0}}$ (не зависящего от $\varepsilon $) уточним ниже, и в п. 3.4 на отрезке $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$ с соответствующими начальными условиями в точке $\varepsilon {{\xi }_{0}}$, обеспечивающими гладкое продолжение решения за точку $\varepsilon {{\xi }_{0}}$. На каждом отрезке будут построены подходящие нижнее и верхнее решения, удовлетворяющие условиям ${{1}^{0}}$ и ${{2}^{0}}$ определения 1 с учетом того, что отрезок $0 \leqslant x \leqslant X$, фигурирующий в определении 1, заменяется в первом случае на отрезок $0 \leqslant x \leqslant \varepsilon {{\xi }_{0}}$, а во втором случае – на отрезок $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$.

Предварительно в п. 3.2 будут получены некоторые вспомогательные оценки.

3.2. Вспомогательные оценки

а) Из (29), (70) и (71) следуют асимптотические равенства

Отметим также, что

б) Введем функцию

где ${{Z}_{1}}(x,\varepsilon )$ и ${{Y}_{1}}(x,\varepsilon )$ определены формулами (72) при $n = 1$, и рассмотрим ее сначала на отрезке $0 \leqslant x \leqslant A{{\varepsilon }^{\gamma }}$, где $A$ и $\gamma $ – положительные числа: Последнее равенство в (78) получено с учетом (37) и (50). Из (78) следует: если $0 \leqslant x \leqslant A{{\varepsilon }^{2}}$, т.е. $0 \leqslant \zeta \leqslant A$, то ${{P}_{0}}z(\zeta ) > \frac{c}{A}$, где $c > 0$ – некоторое число (см. (57)), и, следовательно, для достаточно малых $\varepsilon $если $A{{\varepsilon }^{2}} \leqslant x \leqslant {{\varepsilon }^{{\frac{1}{2} + \delta }}}$, где $0 < \delta < \frac{1}{2}$, то, учитывая, что $\sigma (\xi ) \geqslant 2{{c}_{1}} > 0$, где ${{c}_{1}}$ – некоторое число (см. (49)), ${{P}_{0}}z(\zeta ) > 0$ и $\left| {{{P}_{1}}z(\zeta ) - {{\varphi }_{y}}(\xi ){{P}_{1}}y(\zeta )} \right| \leqslant {{c}_{1}}$ при достаточно большом $A$, получаем для достаточно малых $\varepsilon $ неравенство Если ${{\varepsilon }^{{\frac{1}{2} + \delta }}} \leqslant x \leqslant X$, где $0 < \delta < \frac{1}{2}$, то все пограничные функции являются величинами порядка $o({{\varepsilon }^{N}})$ для любого $N$, поэтому из (77) следует (принимаем во внимание (24) и (26)): и, значит, где ${{c}_{2}} > 0$ – некоторое число.

Из (79), (80) и (82) получаем

где ${{c}_{0}}$ – некоторое число, не зависящее от $\varepsilon $.

в) Получим теперь оценки для производных

и где ${{Z}_{n}}(x,\varepsilon )$ и ${{Y}_{n}}(x,\varepsilon )$ определены формулами (72) и $n \geqslant 1$. Для ${{F}_{z}}(x,\varepsilon )$ имеем: В силу условий А4 и А7 справедливо неравенство Учитывая также (83), из (84) получаем для достаточно малых $\varepsilon $: где число ${{A}_{0}} > 0$ не зависит от $\varepsilon $.

Для ${{F}_{y}}(x,\varepsilon )$ аналогично получаем

откуда следует, что для достаточно малых $\varepsilon $где число ${{A}_{1}} > 0$ также не зависит от $\varepsilon $.

Наряду с оценками (85) и (87) нам понадобятся представления производных ${{F}_{z}}(x,\varepsilon )$, ${{F}_{y}}(x,\varepsilon )$, ${{f}_{z}}(x,\varepsilon ): = {{f}_{z}}(x,{{Z}_{n}},{{Y}_{n}},\varepsilon )$ и ${{f}_{y}}(x,\varepsilon ): = {{f}_{y}}(x,{{Z}_{n}},{{Y}_{n}},\varepsilon )$ на отрезке $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$ для достаточно большого ${{\xi }_{0}}$. На отрезке $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$ функции ${{P}_{i}}z(\zeta )$ и ${{P}_{i}}y(\zeta )$ имеют порядок $o({{\varepsilon }^{N}})$ для любого $N$, ${{k}_{0}}(x,\varepsilon ) = O(\sqrt \varepsilon )$ (это следует из (78) и (81)),

Учитывая эти равенства и обозначая (для краткости записи) величины $O(\exp ( - \kappa \xi ) + \sqrt \varepsilon )$ через $\omega (x,\varepsilon )$, из (84) и (86) получаем

Отметим, что величины $\omega (x,\varepsilon )$ сколь угодно малы на отрезке $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$ при достаточно большом ${{\xi }_{0}}$ и достаточно малых $\varepsilon $, а для их производных справедливо равенство

Для ${{f}_{z}}(x,\varepsilon )$ и ${{f}_{y}}(x,\varepsilon )$ имеют место очевидные асимптотические равенства

Перейдем к рассмотрению системы уравнений (1) последовательно на отрезках $0 \leqslant x \leqslant \varepsilon {{\xi }_{0}}$ и $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$.

3.3. Система уравнений (1) на отрезке $0 \leqslant x \leqslant \varepsilon {{\xi }_{0}}$

На этом отрезке, где ${{\xi }_{0}} > 0$ – фиксированное число, выбор которого уточним ниже, сделаем в системе (1) замену переменных $x = \varepsilon \xi $. Получим уравнения

Нижнее и верхнее решения задачи (91), (2) возьмем в виде где $n \geqslant 2$, $M$ и $\lambda $ – не зависящие от $\varepsilon $ положительные числа, выбор которых сделаем ниже.

Очевидно, что $\underline Z $, $\underline Y $ и $\overline Z $, $\overline Y $ при любых $M$ и $\lambda $ удовлетворяют условиям ${{2}^{0}}$ из определения 1, поскольку ${{Z}_{n}}(0,\varepsilon ) = {{z}^{0}}$, ${{Y}_{n}}(0,\varepsilon ) = {{y}^{0}}$ (см. (76)). Покажем, что числа $M$ и $\lambda $ можно выбрать так, что для достаточно малых $\varepsilon $ будет выполнено условие ${{1}^{0}}$ из определения 1 на отрезке $0 \leqslant \xi \leqslant {{\xi }_{0}}$ (для любого фиксированного ${{\xi }_{0}} > 0$). Начнем с условия ${{1}^{0}}$ для $\underline Z (\xi ,\varepsilon )$, учитывая, что если $\underline Y (\xi ,\varepsilon ) \leqslant y \leqslant \overline Y (\xi ,\varepsilon )$, то $y$ можно представить в виде

Отсюда с учетом оценок (75), (85), (87), (83) получаем Так как ${{\varepsilon }^{n}} = o\left( {{{\varepsilon }^{{\frac{{n + 1}}{2}}}}} \right)$, поскольку $n \geqslant 2$, то для достаточно большого $M$ и достаточно малых $\varepsilon $ второе (отрицательное) слагаемое в правой части (93) обеспечит выполнение неравенства т.е. на отрезке $0 \leqslant \xi \leqslant {{\xi }_{0}}$ будет выполнено условие ${{1}^{0}}$ для ${{L}_{\varepsilon }}(\underline Z ,y)$ из определения 1.

Аналогично проверяется выполнение условия ${{1}^{0}}$ для ${{L}_{\varepsilon }}(\overline Z ,y)$ при достаточно большом $M$ и достаточно малых $\varepsilon $.

Перейдем к условию ${{1}^{0}}$ для $\underline Y (\xi ,\varepsilon )$. Записывая $z$, изменяющееся в промежутке $\underline Z (\xi ,\varepsilon ) \leqslant z \leqslant \overline Z (\xi ,\varepsilon )$, в виде $z = {{Z}_{n}}(\varepsilon \xi ,\varepsilon ) + \Theta M\exp (\lambda \xi ){{\varepsilon }^{{\frac{n}{2}}}}$, где $ - 1 \leqslant \Theta \leqslant 1$, получаем

При достаточно большом $\lambda $ и достаточно малых $\varepsilon $ выражение в последних квадратных скобках положительно, и, следовательно, для достаточно большого $\lambda $ и достаточно малых $\varepsilon $ справедливо неравенство

Аналогично устанавливается справедливость неравенства

Таким образом, для любого фиксированного ${{\xi }_{0}} > 0$ функции $\underline Z $, $\underline Y $ и $\overline Z $, $\overline Y $, определенные равенствами (92), являются при достаточно больших $M$ и $\lambda $ и достаточно малых $\varepsilon $ нижним и верхним решениями задачи (91), (2). Следовательно, существует решение этой задачи (обозначим его $\tilde {z}(\xi ,\varepsilon ),\tilde {y}(\xi ,\varepsilon )$), удовлетворяющее неравенствам Отсюда, учитывая вид функций (92), получаем асимптотические равенства для решения $z(x,\varepsilon )$, $y(x,\varepsilon )$ задачи (1), (2) на отрезке $0 \leqslant x \leqslant \varepsilon {{\xi }_{0}}$: Запишем эти равенства, заменив $n$ на $n + 1$: Так как ${{Z}_{{n + 1}}} = {{Z}_{n}} + O\left( {{{\varepsilon }^{{\frac{{n + 1}}{2}}}}} \right)$, ${{Y}_{{n + 1}}} = {{Y}_{n}} + O\left( {{{\varepsilon }^{{\frac{{n + 1}}{2}}}}} \right)$, то из (94) получаем т.е. справедливы равенства (73) на отрезке $0 \leqslant x \leqslant \varepsilon {{\xi }_{0}}$ для $n \geqslant 2$.

При $n = 2$ равенства (95) принимают вид

а поскольку то т.е. равенства (73) справедливы на отрезке $0 \leqslant x \leqslant \varepsilon {{\xi }_{0}}$ также для $n = 1$ и для $n = 0$.

3.4. Система уравнений (1) на отрезке $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$

Рассмотрим теперь систему уравнений (1) на отрезке $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$ с начальными условиями, обеспечивающими гладкое продолжение решения за точку $\varepsilon {{\xi }_{0}}$:

Для доказательства существования решения этой задачи снова применим метод дифференциальных неравенств. В связи с этим отметим одно очевидное утверждение: если $F(x,y,z,\varepsilon )$ является неубывающей функцией аргумента $y$, а $f(x,y,z,\varepsilon )$ – неубывающей функцией аргумента $z$ в области (в таком случае говорят, что функции $F$ и $f$ удовлетворяют условию квазимонотонности в области $G$), то для выполнения на отрезке $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$ условия ${{1}^{0}}$ из определения 1 достаточно, чтобы были выполнены неравенства Ниже мы воспользуемся этим утверждением.

Предварительно рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений относительно $\alpha (x,\varepsilon )$ и $\beta (x,\varepsilon )$:

где $A$ и $B$ – произвольные положительные числа, обозначения ${{F}_{y}}(x,\varepsilon )$, ${{F}_{z}}(x,\varepsilon )$, ${{f}_{y}}(x,\varepsilon )$, ${{f}_{z}}(x,\varepsilon )$ имеют тот же смысл, что и ранее, т.е. ${{F}_{y}}(x,\varepsilon ) = {{F}_{y}}(x,{{Y}_{n}}(x,\varepsilon ),{{Z}_{n}}(x,\varepsilon ),\varepsilon )$ и т.д., $n \geqslant 2$.

Используя представления (88)–(90) для производных ${{F}_{y}}$, ${{F}_{z}}$, ${{f}_{y}}$, ${{f}_{z}}$ при $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$ и деля обе части первого уравнения в (99) на $2\overline h (x){{k}_{0}}(x,\varepsilon )$, приходим к системе уравнений

Отбросив слагаемые $\omega (x,\varepsilon )$, которые являются сколь угодно малыми при достаточно большом ${{\xi }_{0}}$ и достаточно малых $\varepsilon $, получим систему уравнений Ее решение имеет вид Так как ${{\bar {g}}_{y}}(x) < 0$ (см. (10)), ${{\bar {\varphi }}_{y}}(x) > 0$ и ${{\bar {f}}_{z}}(x) > 0$ (в силу условия А9) и ${{\bar {f}}_{y}}(x) < 0$ (это следует из равенства ${{\bar {f}}_{y}}(x) = {{\bar {g}}_{y}}(x) - {{\bar {f}}_{z}}(x){{\bar {\varphi }}_{y}}(x)$), то

Решение $\alpha (x,\varepsilon )$, $\beta (x,\varepsilon )$ системы (99) отличается от ${{\alpha }_{0}}(x)$, ${{\beta }_{0}}(x)$ на величины порядка $O(A + B)\omega (x,\varepsilon )$, и, следовательно, при любых фиксированных $A$ и $B$ для достаточно большого ${{\xi }_{0}}$ и достаточно малых $\varepsilon $ справедливы неравенства

причем $\alpha $ и $\beta $ можно сделать сколь угодно большими, если взять достаточно большие $A$ и $B$. Отметим также, что так как то

Нижнее и верхнее решения задачи (1), (96), рассматриваемой на отрезке $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$, возьмем в виде ($n \geqslant 2$):

где $\alpha (x,\varepsilon ),\;\beta (x,\varepsilon )$ – решение системы уравнений (99) с числами $A$ и $B$, выбор которых уточним ниже. Из представлений (89) и (90) для ${{F}_{y}}(x,\varepsilon )$ и ${{f}_{z}}(x,\varepsilon )$ и вида (102) функций $\underline Z $, $\underline Y $ и $\overline Z $, $\overline Y $ следует, что для достаточно большого ${{\xi }_{0}}$ и достаточно малых $\varepsilon $ в области $G$ (см. (97)) выполняются неравенства и, следовательно, функции $F$ и $f$ удовлетворяют в области $G$ условию квазимонотонности. Поэтому условие ${{1}^{0}}$ из определения нижнего и верхнего решений будет выполнено на отрезке $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$, если выполняются неравенства (98).

Для ${{L}_{\varepsilon }}(\underline Z ,\underline Y )$, используя (75), (101) и (99), получаем

где первое слагаемое в правой части (103) не зависит от $A$ и $B$.

Так как ${{k}_{0}}(x,\varepsilon ) \geqslant {{c}_{0}}\sqrt \varepsilon $ (см. (83)), то для достаточно большого $A$ и достаточно малых $\varepsilon $ третье (отрицательное) слагаемое в правой части (103) является доминирующим и обеспечивает выполнение неравенства

Аналогично доказывается, что для достаточно большого $A$ и достаточно малых $\varepsilon $ выполняется неравенство Рассмотрим выражение для ${{M}_{\varepsilon }}(\underline Y ,\underline Z )$. Используя (75), (101) и (99), получаем где первое слагаемое в правой части (104) не зависит от $A$ и $B$.

Очевидно, что для достаточно большого ${{\xi }_{0}}$, достаточно большого $B$ и достаточно малых $\varepsilon $ доминирующим слагаемым в правой части (104) является третье (отрицательное) слагаемое, которое обеспечивает выполнение неравенства

Аналогично доказывается, что для достаточно большого $B$ и достаточно малых $\varepsilon $ выполняется неравенство

Итак, для достаточно большого ${{\xi }_{0}}$, достаточно больших $A$ и $B$ и достаточно малых $\varepsilon $ функции $\underline Z $, $\underline Y $ и $\overline Z $, $\overline Y $, удовлетворяют на отрезке $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$ условию ${{1}^{0}}$ из определения 1.

Убедимся в том, что для достаточно малых $\varepsilon $ эти функции удовлетворяют также условию ${{2}^{0}}$ из определения 1.

В силу (95) $z(\varepsilon {{\xi }_{0}},\varepsilon ) = {{Z}_{n}}(\varepsilon {{\xi }_{0}},\varepsilon ) + O\left( {{{\varepsilon }^{{\frac{{n + 1}}{2}}}}} \right)$, а в силу (102) $\underline Z (\varepsilon {{\xi }_{0}},\varepsilon )$ = ${{Z}_{n}}(\varepsilon {{\xi }_{0}},\varepsilon ) - \beta (\varepsilon {{\xi }_{0}},\varepsilon ){{\varepsilon }^{{\frac{n}{2}}}}$. Сравнивая эти два выражения и учитывая, что $\beta (\varepsilon {{\xi }_{0}},\varepsilon ) \geqslant c > 0$, приходим к неравенству $\underline Z (\varepsilon {{\xi }_{0}},\varepsilon ) < z(\varepsilon {{\xi }_{0}},\varepsilon )$ для достаточно малых $\varepsilon $.

Аналогично проверяется выполнение остальных неравенств из условия ${{2}^{0}}$.

Таким образом, функции $\underline Z $, $\underline Y $ и $\overline Z $, $\overline Y $, определенные равенствами (102), где $\alpha (x,\varepsilon ),\beta (x,\varepsilon )$ – решение системы уравнений (99), являются для достаточно большого ${{\xi }_{0}}$, достаточно больших $A$ и $B$ и достаточно малых $\varepsilon $ нижним и верхним решениями системы (1), рассматриваемой на отрезке $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$ с начальными условиями (96).

Следовательно, существует решение $z(x,\varepsilon )$, $y(x,\varepsilon )$ этой системы, удовлетворяющее на отрезке $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$ неравенствам (74), откуда, учитывая вид (102) функций $\underline Z $, $\underline Y $ и $\overline Z $, $\overline Y $, получаем асимптотические равенства для $n \geqslant 2$:

Таким же образом, как это было сделано в п. 3.3, величины $O\left( {{{\varepsilon }^{{\frac{n}{2}}}}} \right)$ в этих равенствах можно заменить на $O\left( {{{\varepsilon }^{{\frac{{n + 1}}{2}}}}} \right)$, а затем доказать справедливость полученных равенств также для $n = 1$ и $n = 0$.

Учитывая, что решение $z(x,\varepsilon )$, $y(x,\varepsilon )$ системы (1) на отрезке $\varepsilon {{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant X$ с начальными условиями (96) является гладким продолжением решения этой системы на отрезке $0 \leqslant x \leqslant \varepsilon {{\xi }_{0}}$ с начальными условиями (2), приходим к заключению: для достаточно малых $\varepsilon $ задача (1), (2) имеет решение $z(x,\varepsilon )$, $y(x,\varepsilon )$, для которого справедливы асимптотические равенства (73).

Тем самым теорема, сформулированная в п. 3.1, полностью доказана.