Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 6, стр. 951-964

1. ВВЕДЕНИЕ И ФОРМУЛИРОВКИ РЕЗУЛЬТАТОВ

Для любых натуральных чисел $n$ и $k$ обозначим через ${{M}_{{nk}}}$ множество всех комплексных $n \times k$-матриц или, эквивалентно, множество всех линейных операторов ${{\mathbb{C}}^{k}} \to {{\mathbb{C}}^{n}}$. Нас интересуют свойства вещественно-аналитических ($ = {{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$) решений $u:\Omega \to {{M}_{{nk}}}$ матричного нелинейного уравнения Шрёдингера

где $x,t$ – вещественные переменные, нижние индексы $x$ и $t$ означают частные производные по этим переменным, через $A = A{\kern 1pt} * \in {{M}_{{kk}}}$ и $B = B{\kern 1pt} * \in {{M}_{{nn}}}$ обозначены заданные (произвольные) невырожденные эрмитовы матрицы, $\Omega \subset \mathbb{R}_{{xt}}^{2}$ – открытое множество, а $u{\kern 1pt} *:\Omega \to {{M}_{{kn}}}$ означает отображение, эрмитово сопряженное к $u$.

Заметим, что базисы в пространствах ${{\mathbb{C}}^{k}}$ и ${{\mathbb{C}}^{n}}$ можно выбрать состоящими из собственных векторов матриц $A$ и $B$, что делает сами эти матрицы диагональными: $A = {\text{diag}}({{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{k}})$, $B = {\text{diag}}({{\beta }_{1}}, \ldots ,{{\beta }_{n}})$, где ${{\alpha }_{i}},{{\beta }_{j}} \in \mathbb{R}{{\backslash }}\{ 0\} $. В частности, при $n = k = 1$, полагая $\lambda : = {{\alpha }_{1}}{{\beta }_{1}} \in \mathbb{R}{{\backslash }}\{ 0\} $, можно записать (1.1) в виде одного скалярного уравнения на функцию $u:\Omega \to \mathbb{C}$,

Это уравнение было впервые изучено методом обратной задачи теории рассеяния в [1]. Различают его фокусирующий случай $\lambda > 0$ (отвечающий притягивающей нелинейности) и дефокусирующий случай $\lambda < 0$ (отталкивающая нелинейность). При $n = 2$ и $k = 1$, полагая ${{\lambda }_{j}}: = {{\alpha }_{1}}{{\beta }_{j}}$, $j = 1,2$, получаем (1.1) в виде системы двух уравнений на компоненты ${{u}_{j}}:\Omega \to \mathbb{C}$ вектора $u = ({{u}_{1}},{{u}_{2}}{{)}^{{\rm T}}}:\Omega \to {{\mathbb{C}}^{2}}$, известной как система Манакова [2] или векторное нелинейное уравнение Шрёдингера. Случай ${{\lambda }_{1}} > 0,$ ${{\lambda }_{2}} > 0$ называется вполне фокусирующим, а случай ${{\lambda }_{1}} < 0,$ ${{\lambda }_{2}} < 0$ – вполне дефокусирующим.

Изучению матричного нелинейного уравнения Шрёдингера (1.1), а особенно его частных случаев (1.2) и (1.3), и свойств его решений различных классов посвящена обильная литература. О физических приложениях и об анализе специальных решений см. [3]–[5] и ссылки там. Метод обратной задачи теории рассеяния применительно к (1.2) занимает половину классической книги [6], а его распространение на общее уравнение (1.1) с быстроубывающими граничными условиями описано в [7], [8]. Наконец, различные классы решений уравнения (1.2) и его обобщения на случай многих пространственных переменных изучаются с точки зрения уравнений с частными производными в [9], [10], хотя для общего уравнения (1.1) результатов этого направления известно мало.

Нетрудно заметить, что большинство физически интересных решений являются вещественно-аналитическими по $x$ и $t$ (таковы, в частности, многосолитонные решения, аномальные волны, бризеры, конечнозонные решения) и у них нет особенностей, кроме полюсов, даже при комплексных значениях $x$ и $t$. Но следующая теорема влечет, что класс вещественно-аналитических решений еще намного богаче.

Теорема 1. Для любых чисел ${{x}_{0}},{{t}_{1}},{{t}_{2}} \in \mathbb{R}$ и произвольных ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-функций ${{\varphi }_{0}},{{\varphi }_{1}}:({{t}_{1}},{{t}_{2}}) \to {{M}_{{nk}}}$, на некотором открытом множестве $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$, содержащем $\{ {{x}_{0}}\} \times ({{t}_{1}},{{t}_{2}})$, существует единственное ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-решение $u:\Omega \to {{M}_{{nk}}}$ уравнения (1.1) такое, что $u({{x}_{0}},t) = {{\varphi }_{0}}(t)$ и ${{u}_{x}}({{x}_{0}},t) = {{\varphi }_{1}}(t)$ для всех $t \in ({{t}_{1}},{{t}_{2}})$.

Доказательство теоремы 1 дано в разд. 2 ниже и состоит по существу в применении теоремы Коши–Ковалевской с $x$ в качестве временнóй переменной. Взять $t$ в качестве временнóй переменной нельзя, так как ни условия, ни заключение теоремы Коши–Ковалевской в этом случае не будут выполнены, что было известно еще С.В. Ковалевской на примере уравнения теплопроводности. Приведем ее классический результат (см. [11, с. 22–24], [12]), служащий парадигмой для наших теорем 2 и 3. Задача Коши ${{u}_{t}} = {{u}_{{xx}}}$, $u(x,0) = {{u}_{0}}(x)$ с заданной ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-функцией ${{u}_{0}}:( - \epsilon ,\epsilon ) \to \mathbb{C}$ в качестве начального условия имеет ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-решение $u(x,t)$ в окрестности начала координат $(0,0) \in \mathbb{R}_{{xt}}^{2}$ тогда и только тогда, когда существует целая функция ${{U}_{0}} \in \mathcal{O}(\mathbb{C})$, удовлетворяющая оценке ${\text{|}}{{U}_{0}}(z){\kern 1pt} {\text{|}}\;\leqslant \;A{{e}^{{B|z{{|}^{2}}}}}$ при некоторых $A,B > 0$ и всех $z \in \mathbb{C}$ и такая, что ${{U}_{0}}(x) = {{u}_{0}}(x)$ при $x \in ( - \varepsilon ,\varepsilon )$.

Поскольку столь сильное ограничение на начальное условие может показаться неожиданным, дадим набросок доказательства необходимости. Так как $\partial _{t}^{m}u = \partial _{x}^{{2m}}u$ для всех $m \in \mathbb{N}$, то $u(0,t) = \sum\nolimits_{m = 0}^\infty \,((2m)!{\text{/}}m!){{c}_{{2m}}}{{t}^{m}}$, если $u(x,0) = \sum\nolimits_{k = 0}^\infty \,{{c}_{k}}{{x}^{k}}$. По неравенствам Коши для $u(0,t)$, ${\text{|}}{{c}_{{2m}}}{\text{|}}\;\leqslant \;M(\delta )(m!{\text{/}}(2m)!){{\delta }^{{ - m}}}$ при некотором $\delta > 0$ и всех $m \in \mathbb{N}$. Но тогда радиус сходимости ряда $\sum\nolimits_{m = 0}^\infty \,{{c}_{{2m}}}{{x}^{{2m}}}$ по формуле Коши–Адамара равен $\infty $ (а требуемая оценка для модуля суммы этого ряда вытекает из формул для порядка и типа целой функции; см., например, [13, ${{\S}}$ 15, п. 47]). Заменяя $u$ на ${{u}_{x}}$, получаем то же заключение и для нечетной части $\sum\nolimits_{m = 0}^\infty \,{{c}_{{2m + 1}}}{{x}^{{2m + 1}}}$ начального условия. В частности, мы видим, что всякое локальное ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-решение уравнения ${{u}_{t}} = {{u}_{{xx}}}$ (а также $i{{u}_{t}} = {{u}_{{xx}}}$, с тем же доказательством) аналитически продолжается до ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-решения в некоторую горизонтальную полосу на $\mathbb{R}_{{xt}}^{2}$, параллельную оси $x$.

На примере уравнения теплопроводности хорошо иллюстрируется также эффект аналитического сглаживания, которым обладает уравнение (1.2). А именно, решение задачи Коши ${{u}_{t}} = {{u}_{{xx}}}$, $u(x,0) = {{u}_{0}}(x)$ с периодическими граничными условиями обычным методом разделения переменных имеет вид

Даже при небольшой регулярности начального условия, скажем, при ${{u}_{0}} \in {{L}^{1}}(0,2\pi )$, последовательность его коэффициентов Фурье равномерно ограничена, ${\text{|}}{{c}_{n}}{\kern 1pt} {\text{|}} < M$, и тогда ряд для $u(x,t)$ сходится равномерно на компактах в полупространстве $\{ (x,t) \in {{\mathbb{C}}^{2}}\,|\,\operatorname{Re} t > 0\} $. Значит, его сумма голоморфна в этом полупространстве и, в частности, решение $u(x,t)$ вещественно-аналитично на открытой полуплоскости $\Pi : = \{ (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{2}}\,|\,t > 0\} $. То же самое верно и для решения на $\mathbb{R}_{x}^{1}$, заданного формулой Пуассона если только начальное условие ${{u}_{0}}(x)$ принадлежит ${{L}^{1}}({{e}^{{\alpha {{x}^{2}}}}}{\kern 1pt} dx)$ при некотором $\alpha > 0$. Этот факт был отмечен Вейерштрассом в 1874 г. (в связи с упомянутым выше результатом Ковалевской) и использован им в 1881 г. для доказательства знаменитой теоремы о равномерном приближении полиномами на отрезке.

Указанный факт полностью справедлив для линейного уравнения Шрёдингера $i{{u}_{t}} = {{u}_{{xx}}}$ (см., например, [9, лемма 2.2.4 и ${{\S}}$ 2.5]) и частично для нелинейного уравнения Шрёдингера (1.2) (см. [14, теорема 1.1]; см. также [9, замечание 5.7.6]): если ${{u}_{0}} \in {{H}^{2}}(\mathbb{R}_{x}^{1}) \cap {{L}^{2}}({{e}^{{{{x}^{2}}}}}{\kern 1pt} dx)$, то при каждом $R > 0$ найдется такое $T > 0$, что классическое решение $u(x,t)$ задачи Коши $u(x,0) = {{u}_{0}}(x)$ для уравнения (1.2) вещественно-аналитично по $x$ и $t$ на прямоугольнике $( - R,R) \times (0,T) \subset \mathbb{R}_{{xt}}^{2}$. Здесь ${{H}^{2}}$ означает соболевское пространство. Таким образом, если начальное условие достаточно гладкое (примерно ${{C}^{1}}$) и убывает достаточно быстро при $x \to \pm \infty $, то решение задачи Коши для (1.2) мгновенно становится вещественно-аналитическим. (Это еще одна причина для изучения класса вещественно-аналитических решений: в него попадает решение любой задачи Коши, как только время сдвинулось с начального момента.) Для уравнения (1.1) с любыми $n,k$ этот факт пока не установлен, хотя в [15] проведена подготовка для некоторого класса систем, содержащего (1.3).

Наши результаты о свойствах вещественно-аналитических решений уравнения (1.1) с любыми натуральными $n$ и $k$ содержатся в следующих двух теоремах. Они не вытекают из результатов об аналитическом сглаживающем эффекте, но и не влекут их.

Теорема 2. Для любого ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-решения $u(x,t)$ уравнения (1.1) в окрестности точки $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ можно указать такое число $\delta > 0$ и такое мероморфное ${{M}_{{nk}}}$-значное отображение $U(x,t)$ на области $\{ (x,t) \in {{\mathbb{C}}^{2}}\,|\,{\text{|}}t - {{t}_{0}}{\kern 1pt} {\text{|}} < \delta \} $, что $U(x,t) = u(x,t)$ в окрестности точки $({{x}_{0}},{{t}_{0}})$ в ${{\mathbb{R}}^{2}}$.

Теорема 3. Пусть все собственные значения матриц $A$ и $B$ одного знака. Тогда для любого ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-решения $u(x,t)$ уравнения (1.1) в окрестности точки $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ существует единственная максимальная полоса $\Pi (u) = \{ (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{2}}\,|\,a(u) < t < b(u)\} $, где $ - \infty \;\leqslant \;a(u) < {{t}_{0}} < b(u)\;\leqslant \; + \infty $, и ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-решение $U(x,t)$ уравнения (1.1) на полосе $\Pi (u)$ такое, что $U(x,t) = u(x,t)$ в окрестности точки $({{x}_{0}},{{t}_{0}})$ в ${{\mathbb{R}}^{2}}$.

Таким образом, по теореме 2 все ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-решения уравнения (1.1) аналитически продолжаются в область комплексных значений $x$ и $t$, причем глобально мероморфно по $x$. О характере продолжения по $t$ в общем случае ничего сказать нельзя, т.к. за счет выбора функций ${{\varphi }_{0}},{{\varphi }_{1}}$ в теореме 1 можно построить ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-решение, продолжение которого на комплексные значения $x$ и $t$ имеет любую наперед заданную особенность по $t$ при данном $x$. Во вполне фокусирующем случае теорема 3 гарантирует продолжение любого ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-решения до ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-решения в некоторой полосе, параллельной оси $x$, совсем как для уравнения теплопроводности в упомянутом выше результате С.В. Ковалевской. Для остальных случаев уравнения (1.1) (вполне дефокусирующего и смешанных) это утверждение также будет верно, но только если допустить полюсы у продолженного в полосу решения (это вытекает из теоремы 2).

Отметим еще, что утверждение теоремы 3 неулучшаемо в следующем смысле. Для любых $a,b$, $ - \infty \;\leqslant \;a < b\;\leqslant \; + \infty $, существует ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-решение $u(x,t)$ вполне фокусирующего уравнения (1.1) на полосе $\Pi = \{ (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{2}}\,|\,a < t < b\} $, не допускающее ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-продолжения ни через одну граничную точку этой полосы. Такое решение можно построить с помощью теоремы 1 (для этого, согласно теореме 2, достаточно, чтобы хотя бы одна из функций ${{\varphi }_{0}}(t),\;{{\varphi }_{1}}(t)$ на интервале $a < t < b$ не допускала даже мероморфного продолжения в окрестности точек $t = a$ и $t = b$ на комплексной плоскости $\mathbb{C}_{t}^{1}$).

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1

Полагая $u(x,t) = p(x,t) + iq(x,t)$, перепишем (1.1) в виде следующей системы на вещественные $n \times k$-матричнозначные функции $p$ и $q$:

где $R$ и $S$ – полиномы с вещественными матричными коэффициентами. К этой системе применима теорема Коши–Ковалевской (см. [16, гл. I, ${{\S}}$ 7]), согласно которой для любой точки ${{t}_{0}} \in ({{t}_{1}},{{t}_{2}})$ и любых вещественно-аналитических ${{M}_{{nk}}}$-значных функций ${{p}_{0}}(t),\;{{p}_{1}}(t),\;{{q}_{0}}(t),\;{{q}_{1}}(t)$, заданных в окрестности точки ${{t}_{0}}$, единственное решение указанной системы с начальными условиями $q({{x}_{0}},t) = {{q}_{0}}(t),\quad {{\partial }_{x}}q({{x}_{0}},t) = {{q}_{1}}(t),$

задаваемое формальными степенными рядами с ${{M}_{{nk}}}$-значными коэффициентами от $x - {{x}_{0}}$ и $t - {{t}_{0}}$, является сходящимся в некоторой окрестности точки $({{x}_{0}},{{t}_{0}})$. Если при этом начальные условия – вещественные матрицы, то все коэффициенты указанных степенных рядов также вещественные матрицы, а значит, $p(x,t)$ и $q(x,t)$ – вещественные ${{M}_{{nk}}}$-значные функции при всех вещественных значениях $x$ и $t$ вблизи точки $({{x}_{0}},{{t}_{0}})$. Применив эти соображения к начальным функциям ${{p}_{j}}(t) = \operatorname{Re} {{\varphi }_{j}}(t)$ и ${{q}_{j}}(t) = \operatorname{Im} {{\varphi }_{j}}(t)$, $j = 1,2$, во всех точках ${{t}_{0}}$ интервала $({{t}_{1}},{{t}_{2}})$ и взяв объединение полученных окрестностей точек $({{x}_{0}},{{t}_{0}})$ в качестве $\Omega $, приходим к требуемому заключению.

3. ПОДГОТОВКА К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМЫ 2

4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2

Применяя лемму 1 с ${{\varkappa }_{j}} \equiv 0$ и ${{C}_{j}} = 0$ при всех $j \in \mathbb{N}$, мы видим, что для любого ростка $q \in \mathcal{N}({{x}_{0}})$ существует единственное формальное решение

$\mu (x,z) = I + \sum\nolimits_{k = 0}^\infty \,{{m}_{k}}(x){{z}^{{ - (k + 1)}}}$, ${{m}_{k}} \in \mathcal{O}({{x}_{0}})$,

дифференциального уравнения ${{\mu }_{x}} = (az + q(x))\mu - \mu az$ такое, что все коэффициенты ${{m}_{k}}({{x}_{0}})$ формального степенного ряда

блочно-внедиагональны (т.е. принадлежат $W$). Ряд $Lq(z)$ называется локальными данными рассеяния голоморфного блочно-внедиагонального ростка $q(x)$ в точке ${{x}_{0}}$. Наше доказательство теоремы 2 устроено как серия лемм о свойствах отображения $q \mapsto Lq$ и обратного к нему.

Лемма 4. $Lq \in {\text{Gev}}_{1}^{{od}}$ для всех $q \in \mathcal{N}({{x}_{0}})$.

Доказательство. Полагая в равенствах ($E_{{od}}^{0}$), ($E_{d}^{j}$) и ($E_{{od}}^{j}$), эквивалентных уравнению (3.11), ${{D}_{j}} \equiv 0$ для всех целых $j \geqslant 1$, можно последовательно найти ${{N}_{1}} = - {{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}q$ из ($E_{{od}}^{0}$), ${{\varkappa }_{1}} = (q{{N}_{1}}{{)}_{d}}$ из ($E_{d}^{1}$), ${{N}_{2}} = {{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}(N_{1}^{'} - {{(q{{N}_{1}})}_{{od}}})$ из ($E_{{od}}^{1}$), ${{\varkappa }_{2}} = (q{{N}_{2}}{{)}_{d}}$ из ($E_{d}^{2}$), ${{N}_{3}}$ из ($E_{{od}}^{2}$) и т.д. Это означает, что для любого $q \in \mathcal{N}({{x}_{0}})$ существует единственное калибровочное преобразование $M(x,z)$ некоторой блочно-диагональной связности (в наших обозначениях равной $az + \varkappa (x,z)$, где $\varkappa (x,z): = \sum\nolimits_{j = 1}^\infty \,{{\varkappa }_{j}}(x){{z}^{{ - j}}}$) в связность $az + q(x)$ такое, что формальный степенной ряд $M(x,z) - I$ блочно-внедиагонален для всех $x$ из той окрестности точки ${{x}_{0}}$, в которой определен росток $q$. Покажем, что

Действительно, существует блочно-диагональное калибровочное преобразование $\delta (x,z)$ связности ${{U}_{0}}(x,z) \equiv az$ в связность $az + \varkappa (x,z)$ (оно строится отдельно на каждом блоке). Тогда $\Delta (x,z): = {{\delta }^{{ - 1}}}(x,z){{M}^{{ - 1}}}(x,z)\mu (x,z)$ есть калибровочное преобразование связности ${{U}_{0}}(x,z) \equiv az$ в себя, а все такие преобразования блочно-диагональны и не зависят от $x$ по лемме 2. Из равенства $\mu = M\delta \Delta = \delta \Delta + (M - I)\delta \Delta $ в силу блочной диагональности $\delta \Delta $ и блочной внедиагональности $M - I$ вытекает, что ${{\mu }_{d}} = \delta \Delta $ и ${{\mu }_{{od}}} = (M - I)\delta \Delta $. Отсюда получаем равенство ${{\mu }_{{od}}} = (M - I){{\mu }_{d}}$, которое при $x = {{x}_{0}}$ превращается в (4.2).

Покажем теперь, что $M({{x}_{0}}, \cdot ) - I \in {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{1}}$. Рассмотрим блочно-внедиагональный степенной ряд $N(x,z): = M(x,z) - I$. Уравнение (3.11) для $M(x,z)$, имеющее вид ${{M}_{x}} = (az + q)M - M(az + \varkappa )$, переписывается в терминах $N(x,z)$ так: ${{N}_{x}} = z\mathcal{A}N + q(I + N) - (I + N)\varkappa $. Взяв блочно-диагональные части, получим $0 = (qN{{)}_{d}} - \varkappa $. Подставляя теперь $\varkappa = (qN{{)}_{d}}$ в блочно-внедиагональные части, получаем уравнение вида (3.12), которому удовлетворяет $N$:

где $\mathcal{A}N = [a,N]$, как в п. 3.3. Применив лемму 3 с $m = 1$ (для чего надо записать все компоненты матрицы $N$ в один вектор $y \in {{\mathbb{C}}^{\nu }}$ и воспользоваться свойством (3.10) оператора $\mathcal{A}$), получим, что $N({{x}_{0}}, \cdot ) \in {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{1}}$.

Лемма 5. Отображение $L:\mathcal{N}({{x}_{0}}) \to {\text{Gev}}_{1}^{{od}}$ инъективно.

Доказательство. Зададим матрицы ${{q}_{j}},{{m}_{{jk}}} \in \operatorname{gl} (N,\mathbb{C})$ формулами $q(x) = \sum\nolimits_{j = 0}^\infty \,{{q}_{j}}{{(x - {{x}_{0}})}^{j}}$ и $\mu (x,z) = I + \sum\nolimits_{j,k = 0}^\infty \,{{m}_{{jk}}}{{(x - {{x}_{0}})}^{j}}{{z}^{{ - (k + 1)}}}$. Сравнение коэффициентов при ${{(x - {{x}_{0}})}^{j}}{{z}^{0}}$ в равенстве ${{\mu }_{x}} = [az,\mu ] + q\mu $ дает набор уравнений

а сравнение коэффициентов при ${{(x - {{x}_{0}})}^{j}}{{z}^{{ - (k + 1)}}}$ в том же равенстве дает Пусть нам известны коэффициенты ${{m}_{{0k}}} \in \operatorname{gl} (N,\mathbb{C})$ формального ряда $Lq(z) = \sum\nolimits_{k = 0}^\infty \,{{m}_{{0k}}}{{z}^{{ - (k + 1)}}}$. Задача состоит в том, чтобы выразить через них матрицы ${{m}_{{j0}}} \in \operatorname{gl} (N,\mathbb{C})$, в терминах которых можно найти ${{q}_{j}} = [{{m}_{{j0}}},a]$ согласно (4.3). На шаге 1 мы находим ${{q}_{0}} = [{{m}_{{00}}},a]$ из (4.3) и замечаем, что равенства (4.4) с $j = 0$ выражают набор всех ${{m}_{{1k}}}$ через набор всех ${{m}_{{0k}}}$ и ${{q}_{0}}$. Это позволяет нам на шаге 2 найти ${{q}_{1}} = [{{m}_{{10}}},a]$ из (4.3) и выразить все ${{m}_{{2k}}}$ через уже известные матрицы ${{m}_{{1k}}}$, ${{m}_{{0k}}}$, ${{q}_{0}}$, ${{q}_{1}}$ посредством равенств (4.4) с $j = 1$. Продолжая таким образом, получаем явные формулы для всех коэффициентов ${{q}_{j}}$ ростка $q(x)$ через коэффициенты ${{m}_{{0k}}}$ формального ряда $Lq(z)$, чем и доказана инъективность отображения $L$.

Для формулировки следующей леммы определим отображение $B:{\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{1}} \to \mathcal{N}({{x}_{0}})$ по формуле

означает вычет формального ряда Лорана, а через ${{\gamma }_{ - }}(x, \cdot ) \in I + {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{1}}$ обозначено единственное решение задачи Римана (см. [18, ${{\S}}$ 5] или [19, ${{\S}}$ 4, особенно п. 4.3 и равенство (4.8)]). Указанное решение существует для всех $x$ в некоторой окрестности точки ${{x}_{0}}$, имеет вид ${{\gamma }_{ - }}(x,z) = \sum\nolimits_{j = 0}^\infty \,{{g}_{j}}(x){{z}^{{ - (j + 1)}}}$ для некоторых ростков ${{g}_{j}} \in \mathcal{O}({{x}_{0}})$ и является (согласно лемме 4.9 работы [19]) калибровочным преобразованием связности ${{U}_{0}}(x,z) = az$ в связность $U(x,z) = az + B\varphi (x)$, причем ${{\gamma }_{ - }}({{x}_{0}},z) = I + \varphi (z)$.

Лемма 6. Имеем $LB\varphi = \varphi $ для всех $\varphi \in \operatorname{Gev} _{1}^{{od}}$. В частности, отображение $L:\mathcal{N}({{x}_{0}}) \to {\text{Gev}}_{1}^{{od}}$ биективно и обратным к нему является сужение отображения $B:{\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{1}} \to \mathcal{N}({{x}_{0}})$ на ${\text{Gev}}_{1}^{{od}}$.

Доказательство. Положим $q(x): = B\varphi (x)$. Тогда ${{\gamma }_{ - }}(x,z)$ является калибровочным преобразованием связности ${{U}_{0}}(x,z): = az$ в связность $U(x,z): = az + q(x)$. Обозначая через $\mu (x,z)$ калибровочное преобразование из определения (4.1) формального степенного ряда $Lq(z)$, мы видим из группового свойства, что $\Delta (x,z): = \gamma _{ - }^{{ - 1}}(x,z)\mu (x,z)$ является калибровочным преобразованием связности ${{U}_{0}}(x,z)$ в себя. Но все такие преобразования по лемме 2 блочно-диагональны и не зависят от $x$. В частности, при $x = {{x}_{0}}$ равенство $\gamma _{ - }^{{ - 1}}(x,z)\mu (x,z) = \Delta (x,z)$ принимает вид

для блочно-диагонального степенного ряда $\Delta (z): = \Delta ({{x}_{0}},z)$. Отделяя здесь блочно-диагональные и внедиагональные части и пользуясь (впервые в этом рассуждении) блочной внедиагональностью $\varphi (z)$, мы получаем равенства $I = \Delta (z)$ и $Lq(z) = \varphi (z)\Delta (z)$, влекущие требуемое равенство $Lq(z) = \varphi (z)$.

Тем самым доказана сюръективность $L$ как отображения $\mathcal{N}({{x}_{0}}) \to {\text{Gev}}_{1}^{{od}}$. Вместе с леммой 5 это влечет, что указанное отображение биективно, причем $L$ и $B$ суть обратные друг к другу биекции между множествами $\mathcal{N}({{x}_{0}})$ и ${\text{Gev}}_{1}^{{od}}$.

Лемма 7. Пусть $q \in \mathcal{N}({{x}_{0}})$ и $Lq \in {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{\alpha }}$ при некотором $\alpha < 1$. Тогда существует такая глобально-мероморфная функция $Q:\mathbb{C}_{x}^{1} \to W$, что $Q(x) = q(x)$ для всех $x$ в некоторой окрестности точки ${{x}_{0}}$.

Доказательство. Если росток $q \in \mathcal{N}({{x}_{0}})$ таков, что формальный ряд $\varphi : = Lq$ принадлежит $Ge{{v}_{\alpha }}$ при каком-то $\alpha < 1$, то задача Римана (4.6) из определения ростка $B\varphi $ подпадает под условия теоремы 3(B) из [18] (или теоремы 4(B) из [19]) с $m = 1$ и $\Omega = \mathbb{C}_{x}^{1}$. По указанной теореме, ${{\gamma }_{ - }}(x,z)$ является глобально-мероморфной функцией от $x \in \mathbb{C}$ со значениями в банаховом пространстве ${{G}_{1}}(A)$ для любого $A > 0$. Отсюда вытекает глобальная мероморфность всех коэффициентов ${{g}_{j}}(x)$ разложения ${{\gamma }_{ - }}(x,z) = \sum\nolimits_{j = 0}^\infty \,{{g}_{j}}(x){{z}^{{ - (j + 1)}}}$, а значит, и глобальная мероморфность $\operatorname{gl} (N,\mathbb{C})$-значной функции $B\varphi (x) = [{{g}_{0}}(x),a]$, определенной равенством (4.5). Но так как по лемме 6 имеем $BLq = q$ для всех $q \in \mathcal{N}({{x}_{0}})$, то росток построенной функции $Q(x): = B\varphi (x) = BLq(x) \in \mathcal{M}(\mathbb{C}_{x}^{1})$ в точке ${{x}_{0}}$ совпадает с исходным ростком $q(x)$.

Лемма 8. Пусть ${{q}_{0}} \in \mathcal{N}({{x}_{0}})$ и задача Коши $q(x,{{t}_{0}}) = {{q}_{0}}(x)$ для уравнения (3.2) с полиномами $U,V$ вида (3.4)–(3.6) или, что то же самое, для системы (3.7) на компоненты $u,\;{v}$ матрицы $q$ имеет локальное голоморфное решение $q(x,t)$ в окрестности точки $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in {{\mathbb{C}}^{2}}$. Тогда $L{{q}_{0}} \in {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{{1/2}}}$.

Доказательство. Будем обозначать через $\mathcal{O}({{x}_{0}},{{t}_{0}})$ множество всех голоморфных $\operatorname{gl} (N,\mathbb{C})$-значных ростков в точке $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in {{\mathbb{C}}^{2}}$, а  через $\mathcal{N}({{x}_{0}},{{t}_{0}})$  подмножество  всех блочно-внедиагональных ростков. Сначала рассмотрим произвольный росток $q \in \mathcal{N}({{x}_{0}},{{t}_{0}})$. По  лемме 1, при каждом фиксированном $t$, близком к ${{t}_{0}}$, существует единственный формальный степенной ряд  $\mu (x,t,z) = I + {{\mu }_{1}}(x,t){{z}^{{ - 1}}} + {{\mu }_{2}}(x,t){{z}^{{ - 2}}} + \ldots $ с коэффициентами из $\mathcal{O}({{x}_{0}},{{t}_{0}})$ такой, что ${{\mu }_{x}} = (az + q)\mu - \mu az$ и ряд $\mu ({{x}_{0}},t,z) - I$ блочно-внедиагонален. (Отметим, что голоморфность всех ${{\mu }_{k}}(x,t)$ по $t$ ясна из доказательства леммы 1 и что формальный ряд $\mu ({{x}_{0}},{{t}_{0}},z) - I$ по определению совпадает с данными рассеяния $L{{q}_{0}}(z)$ ростка ${{q}_{0}}(x): = q(x,{{t}_{0}}) \in \mathcal{N}({{x}_{0}})$.) Положим

Это полином степени 2 от $z$ с коэффициентами из $\mathcal{O}({{x}_{0}},{{t}_{0}})$.

Покажем, что если росток $q \in \mathcal{N}({{x}_{0}},{{t}_{0}})$ удовлетворяет уравнению (3.2) как в условии леммы, то формальный ряд Лорана $\widetilde V: = - {{\mu }^{{ - 1}}}{{\mu }_{t}} + {{\mu }^{{ - 1}}}V\mu $ имеет вид

для некоторых блочно-диагональных ростков ${{\varphi }_{k}} \in \mathcal{O}({{t}_{0}})$. Действительно, вводя в рассмотрение полиномы $U(x,t,z): = az + q(x,t)$ и $\widetilde U(x,t,z): = az$ степени 1 от $z$ с коэффициентами из $\mathcal{O}({{x}_{0}},{{t}_{0}})$, мы можем переформулировать определение ряда $\mu (x,t,z)$ так: $\mu (x,t,z)$ есть калибровочное преобразование связности $\widetilde U(x,t,z){\kern 1pt} dx + \widetilde V(x,t,z){\kern 1pt} dt$ в связность $U(x,t,z){\kern 1pt} dx + V(x,t,z){\kern 1pt} dt$ в том же смысле, что и в п. 3.4. С другой стороны, выполнение уравнения (3.2) для ростка $q \in \mathcal{N}({{x}_{0}},{{t}_{0}})$ эквивалентно тому, что связность $U{\kern 1pt} dx + V{\kern 1pt} dt$ плоская: Так как кривизна связности меняется ковариантным образом при калибровочных преобразованиях (в том числе и формальных), то получаем отсюда равенство ${{\widetilde U}_{t}} - {{\widetilde V}_{x}} + [\widetilde U,\widetilde V] = 0$, т.е. ${{\widetilde V}_{x}} = [az,\widetilde V]$. Подставляя разложение $\widetilde V(x,t,z) = \sum\nolimits_{k = - \infty }^2 \,{{\varphi }_{k}}(x,t){{z}^{k}}$ в равенство ${{\widetilde V}_{x}} = [az,\widetilde V]$, приходим к системе откуда убывающей индукцией по $k$, начиная с уже известного коэффициента ${{\varphi }_{2}}(x,t) \equiv b$, убеждаемся, что все матрицы ${{\varphi }_{k}}(x,t)$ блочно-диагональны и не зависят от $x$, чем и доказано утверждение (4.8).

По самому определению ряда $\widetilde V$, блочно-внедиагональный ряд $N(t,z): = \mu ({{x}_{0}},t,z) - I$ удовлетворяет дифференциальному уравнению ${{N}_{t}} = V(I + N) - (I + N)\widetilde V$. Отделяя в этом равенстве блочно-диагональные части, имеем $0 = {{V}_{d}} + {{({{V}_{{od}}}N)}_{d}} - \widetilde V$. Подставляя теперь $\widetilde V = {{V}_{d}} + {{({{V}_{{od}}}N)}_{d}}$ в блочно-внедиагональные части, получаем уравнение вида (3.12), которому удовлетворяет $N(t,z)$:

Чтобы проверить, что это уравнение действительно имеет вид (3.12) (с переменной $t$ вместо $x$ и после записи всех матричных элементов $N$ в один вектор $y \in {{\mathbb{C}}^{\nu }}$), заметим следующее. Во-первых, как разность между $VN - N{{V}_{d}}$ и $[b{{z}^{2}},N]$, так и выражение ${{V}_{{od}}}$ являются полиномами степени не выше $1$ от $z$, коэффициенты которых зависят голоморфно от $t$ и полиномиально от $N$. Во-вторых, линейный оператор $\mathcal{A}N = [b,N]$ на пространстве $W$ обратим согласно (3.10). Поэтому выполнены условия леммы 3 с $m = 2$, которая и дает, что формальный ряд $L{{q}_{0}}(z) = N({{t}_{0}},z)$ принадлежит классу ${{\operatorname{Gev} }_{{1/2}}}$.

Теорема 2 вытекает из лемм 7 и 8. Действительно, пусть $u(x,t)$ – любое ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-решение уравнения (1.1) в окрестности точки $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in {{\mathbb{R}}^{2}}$. Подставляя в степенные ряды для всех компонент отображения $u(x,t)$ комплексные значения переменных $x$ и $t$, можно считать $u(x,t)$ голоморфной ${{M}_{{nk}}}$-значной функцией в окрестности точки $({{x}_{0}},{{t}_{0}})$ в ${{\mathbb{C}}^{2}}$. Тогда, согласно (3.8), блочно-внедиагональная функция

является голоморфным решением системы (3.7) в окрестности $({{x}_{0}}, - {{t}_{0}})$ в $\mathbb{C}$. По лемме 8 имеем $Lq(z, - t) \in {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{{1/2}}}$ для всех $t \in \mathbb{C}$, близких к ${{t}_{0}}$. Тогда по лемме 7 функция $Q(x, - t) = BLq(x, - t)$ глобально мероморфна по $x \in {{\mathbb{C}}^{1}}$ при каждом $t \in \mathbb{C}$ вблизи ${{t}_{0}}$ и совпадает с $q(x, - t)$ в окрестности точки $({{x}_{0}},{{t}_{0}})$. Из определения (4.5) отображения $B$ видно, что функция $Q(x, - t)$ мероморфна на $\{ (x,t) \in {{\mathbb{C}}^{2}}\,|\,{\text{|}}t - {{t}_{0}}{\kern 1pt} {\text{|}} < \delta \} $ как функция двух переменных. Записав теперь получаем искомое мероморфное продолжение $U(x,t)$ исходной функции $u(x,t)$.

5. ПОДГОТОВКА К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМЫ 3

Фиксируем точку ${{x}_{0}} \in \mathbb{R}$. Будем называть голоморфный блочно-внедиагональный росток $q \in \mathcal{N}({{x}_{0}})$ симметричным, если матрица $q(x)$ косоэрмитова для всех $x \in \mathbb{R}$, близких к ${{x}_{0}}$. Это эквивалентно тому, что $q(\bar {x}){\kern 1pt} * = - q(x)$ для всех $x \in \mathbb{C}$, близких к ${{x}_{0}}$.

Лемма 9. Если росток $q \in \mathcal{N}({{x}_{0}})$ симметричен, то формальный степенной ряд $(I + Lq(\bar {z})){\kern 1pt} *{\kern 1pt} (I + Lq(z)) \in I + {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{1}}$ блочно-диагонален.

Доказательство. Применим к дифференциальному уравнению ${{\mu }_{x}} = (az + q(x))\mu - \mu az$, входящему в определение (4.1) ряда $Lq(z) = \mu ({{x}_{0}},z) - I$, операцию эрмитова сопряжения и заменим в полученном равенстве переменные $x,z$ на $\bar {x},\bar {z}$ соответственно. В силу косоэрмитовости матрицы $a$ и симметричности $q(x)$ полученное равенство можно переписать в виде ${{\nu }_{x}} = az\nu - (az + q(x))\nu $, означающем, что ряд $\nu (x,z): = \mu (\bar {x},\bar {z}){\kern 1pt} *$ является калибровочным преобразованием связности $U(x,z): = az + q(x)$ в связность ${{U}_{0}}(x,z): = az$. Тогда калибровочное преобразование $\nu (x,z)\mu (x,z)$ переводит ${{U}_{0}}$ в себя. По лемме 2 оно блочно-диагонально. При $x = {{x}_{0}}$ получаем, что ряд $\nu ({{x}_{0}},z)\mu ({{x}_{0}},z) = (I + Lq(\bar {z})){\kern 1pt} *{\kern 1pt} (I + Lq(z))$ блочно-диагонален. Принадлежность этого ряда множеству $I + {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{1}}$ вытекает из леммы 4 и замкнутости $I + {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{1}}$ относительно умножения (см. [18, лемма 2] или [19, лемма 4.2]).

Лемма 10. Пусть росток $q \in \mathcal{N}({{x}_{0}})$ симметричен и $Lq \in {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{\alpha }}$ для некоторого $\alpha < 1$. Тогда найдется блочно-диагональный ряд $r \in I + {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{1}}$ такой, что ряд $f(z): = (I + Lq(z)){{r}^{{ - 1}}}(z) \in I + {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{1}}$ удовлетворяет равенству $f(\bar {z}){\kern 1pt} *{\kern 1pt} f(z) = I$.

Доказательство. Ясно, что ряд $\delta (z): = (I + Lq(\bar {z})){\kern 1pt} *{\kern 1pt} (I + Lq(z))$ удовлетворяет равенству $\delta (\bar {z}){\kern 1pt} * = \delta (z)$, т.е. оба блока блочно-диагональной (по лемме 9) матрицы $\delta (z)$ суть формальные степенные ряды от ${{z}^{{ - 1}}}$ с эрмитовыми коэффициентами и со свободным членом $I$. По лемме 2 работы [18] (или лемме 4.2 работы [19]) векторное пространство $\mathbb{C}I + {{G}_{1}}(A)$ является при каждом $A > 0$ банаховой алгеброй относительно нормы $\left\| {\lambda I + \varphi } \right\|: = {\text{|}}\lambda {\text{|}} + A{{\left\| \varphi \right\|}_{{1,A}}}$ и обычного умножения формальных степенных рядов. Выберем $A > 0$ столь малым, что ${{\left\| {\delta - I} \right\|}_{{1,A}}} < 1$ (это возможно в силу условия $Lq \in {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{\alpha }}$, $\alpha < 1$, и леммы 4 работы [18]) и, пользуясь голоморфным функциональным исчислением в банаховых алгебрах (см., например, [25, теорема 10.27]), применим отдельно к каждому из двух диагональных блоков матрицы $\delta (z) - I$ голоморфную функцию $F(w) = (1 + w{{)}^{{1/2}}} = 1 + \sum\nolimits_{k = 1}^\infty \,C_{{1/2}}^{k}{{w}^{k}}$, где ${\text{|}}w{\kern 1pt} {\text{|}} < 1$ и $C_{\beta }^{k}: = \beta (\beta - 1) \ldots (\beta - k + 1){\text{/}}k!$ для любого $\beta \in \mathbb{C}$ (при подстановке $\delta (z) - I$ вместо $w$ ряд сойдется по норме пространства $\mathbb{C}I + {{G}_{1}}(A)$). Получим блочно-диагональный ряд $r \in I + {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{1}}$ со свойствами $r(\bar {z}){\kern 1pt} * = r(z)$ и $r{{(z)}^{2}} = \delta (z)$. Перепишем последнее равенство в виде $\delta (z) = r(\bar {z}){\kern 1pt} *{\kern 1pt} r(z)$. Тогда формула $(I + Lq(\bar {z})){\kern 1pt} *{\kern 1pt} (I + Lq(z)) = \delta (z)$ принимает вид $f(\bar {z}){\kern 1pt} *{\kern 1pt} f(z) = I$ для $f: = (I + Lq){{r}^{{ - 1}}} \in I + {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{1}}$, что и требовалось.

Лемма 11. Пусть росток $q \in \mathcal{N}({{x}_{0}})$ симметричен и $Lq \in {\text{Ge}}{{{\text{v}}}_{\alpha }}$ для некоторого $\alpha < 1$. Тогда глобальное мероморфное продолжение $Q:\mathbb{C}_{x}^{1} \to W$ ростка $q$, существующее по лемме 7, не имеет полюсов на вещественной оси $\mathbb{R}_{x}^{1}$.

Доказательство. Согласно формуле $Q = BLq$ из доказательства леммы 7 и определению (4.5) отображения $B$, функция $Q(x)$ голоморфна в каждой точке $x \in \mathbb{C}$, для которой задача Римана (4.6) разрешима. С другой стороны, разрешимость (4.6) при заданном значении $x \in \mathbb{C}$ вытекает из разрешимости при том же $x$ задачи Римана

полученной из (4.6) заменой ряда $I + Lq(z)$ в левой части на ряд $f(z): = (I + Lq(z)){{r}^{{ - 1}}}(z)$ из леммы 10. (Действительно, так как блочно-диагональный ряд ${{r}^{{ - 1}}}(z)$ коммутирует с диагональной матрицей ${{e}^{{a(x - {{x}_{0}})z}}}$, то (5.1) можно записать в виде $r(z){{e}^{{a(x - {{x}_{0}})z}}}{{(I + Lq(z))}^{{ - 1}}} = \tilde {\gamma }_{ - }^{{ - 1}}(x,z){{\tilde {\gamma }}_{ + }}(x,z)$, откуда после умножения слева на ${{r}^{{ - 1}}}(z)$ ясно, что ряды ${{\gamma }_{ - }}: = {{\tilde {\gamma }}_{ - }}r$ и ${{\gamma }_{ + }}: = {{\tilde {\gamma }}_{ + }}$ образуют решение (4.6).) Поэтому достаточно доказать разрегимость задачи Римана (4.6) для всех $x \in {{\mathbb{R}}^{1}}$. Это и делается далее.

Будем обозначать через ${{\{ \, \cdot \,\} }_{ + }}$ и ${{\{ \, \cdot \,\} }_{ - }}$ положительную и отрицательную части ряда Лорана:

и введем обозначение ${{E}_{0}}(x,z): = {{e}^{{a(x - {{x}_{0}})z}}}$. Согласно сказанному в [18, ${{\S}}$ 5], для разрешимости изучаемой нами задачи Римана (5.1) достаточно, чтобы был обратим оператор $X: = I + {{T}^{{ - 1}}}{{M}^{{ - 1}}}K$, стоящий в левой части равенства (11) работы [18], где $T\varphi : = \{ \varphi {{E}_{0}}{{\} }_{ - }}$, $M\varphi : = \varphi {{f}^{{ - 1}}}$, $K\varphi : = \{ \{ \varphi {{E}_{0}}{{\} }_{ + }}{{f}^{{ - 1}}}{{\} }_{ - }}$. Отметим, что в силу леммы 6 работы [18], $X$ есть фредгольмов оператор индекса 0 на банаховом пространстве ${{G}_{1}}(A)$ для надлежащего $A > 0$ (где можно считать $2{{B}_{0}} < A < {{A}_{0}}$, см. выбор $B,\;{{A}_{1}},\;{{A}_{2}}$ сразу после доказательства леммы 7 работы [18]). Согласно альтернативе Фредгольма (см., например, [25, теорема 4.25]), этот оператор обратим тогда и только тогда, когда имеет нулевое ядро. Поэтому достаточно проверить, что если $\varphi \in {{G}_{1}}(A)$ и $X\varphi = 0$, то $\varphi = 0$.

Для этой проверки заметим, что из равенства $(I + {{T}^{{ - 1}}}{{M}^{{ - 1}}}K)\varphi = 0$ вытекает $(MT + K)\varphi = 0$. Но выражение $(MT + K)\varphi = \{ \varphi {{E}_{0}}{{\} }_{ - }}{{f}^{{ - 1}}} + {{\{ \{ \varphi {{E}_{0}}{{\} }_{ + }}{{f}^{{ - 1}}}\} }_{ - }}$ совпадает с ${{\{ \varphi {{E}_{0}}{{f}^{{ - 1}}}\} }_{ - }}$. Поэтому равенство $(MT + K)\varphi = 0$ означает, что формальный ряд Лорана $E(z): = \varphi (z){{E}_{0}}(z){{f}^{{ - 1}}}(z)$ (корректно определеный в силу указанного выше выбора $A$) содержит только неотрицательные степени $z$. Значит, это верно и для сопряженного ряда $E(\bar {z}){\kern 1pt} * = {{f}^{{ - 1}}}(\bar {z}){\kern 1pt} *{\kern 1pt} {{E}_{0}}(\bar {z}){\kern 1pt} *{\kern 1pt} \varphi (\bar {z}){\kern 1pt} *$ и для их произведения

которое в силу свойств $f(\bar {z}){\kern 1pt} *{\kern 1pt} f(z) = I$ и ${{E}_{0}}(\bar {z}){\kern 1pt} *{\kern 1pt} {{E}_{0}}(z) = I$ равно $\varphi (z)\varphi (\bar {z}){\kern 1pt} *$ и, тем самым, содержит только отрицательные степени $z$. Следовательно, $\varphi (z)\varphi (\bar {z}){\kern 1pt} * \equiv 0$. Подставляя $\varphi (z) = \sum\nolimits_{k = 0}^\infty \,{{\varphi }_{k}}{{z}^{{ - k - 1}}}$, ${{\varphi }_{k}} \in \operatorname{gl} (N,\mathbb{C})$, и приравнивая коэффициент при ${{z}^{{ - 2}}}$ нулю, получаем ${{\varphi }_{0}}\varphi _{0}^{*} = 0$, откуда ${{\varphi }_{0}} = 0$. Тем же рассуждением по индукции выводим, что все матрицы ${{\varphi }_{k}}$ равны 0, что и требовалось.

6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3

Сделаем замену неизвестной функции в уравнении (1.1) по формуле $u(x,t) = {{B}_{1}}\tilde {u}(x,t){{A}_{1}}$, где ${{A}_{1}} \in \operatorname{GL} (k,\mathbb{C})$, ${{B}_{1}} \in \operatorname{GL} (n,\mathbb{C})$. Подставляя это выражение для $u(x,t)$ в (1.1) и сокращая на ${{B}_{1}}$ слева и на ${{A}_{1}}$ справа, получим для $\tilde {u}(x,t)$ опять уравнение вида (1.1), но с новыми матрицами $\tilde {A} = {{A}_{1}}AA_{1}^{*}$ и $\tilde {B} = B_{1}^{*}B{{B}_{1}}$. Во вполне фокусирующем случае, когда все собственные значения эрмитовых матриц $A$ и $B$ можно считать положительными, легко подобрать эрмитовы матрицы ${{A}_{1}},{{B}_{1}}$ так, что $\tilde {A} = 2{{I}_{k}}$ и $\tilde {B} = {{I}_{n}}$. Тогда, обозначая новую неизвестную функцию опять через $u(x,t)$, мы получаем, что матрица $q(x,t)$, заданная равенством (4.9), косоэрмитова для всех $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ в окрестности точки $({{x}_{0}}, - {{t}_{0}})$. В частности, росток ${{q}_{0}}(x): = q(x, - {{t}_{1}}) \in \mathcal{N}({{x}_{0}})$ симметричен при любом выборе ${{t}_{1}} \in \mathbb{R}$ вблизи ${{t}_{0}}$. Применяя к этому ростку лемму 11, видим, что (существующее по теореме 2) глобальное мероморфное продолжение $U(x,t)$ исходного решения $u(x,t)$ не имеет полюсов на $\mathbb{R}_{x}^{1}$ при любом выборе $t \in \mathbb{R}$ вблизи ${{t}_{0}}$. Тем самым получено продолжение исходного ростка $u(x,t)$ до ${{{\mathbf{C}}}^{\omega }}$-решения $U(x,t)$ уравнения (1.1) на некоторой полосе $\{ (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{2}}\,|\,{{a}_{0}} < t < {{b}_{0}}\} $. Остается взять в качестве $a(u)$ точную нижнюю грань всех возможных ${{a}_{0}}$, а в качестве $b(u)$ – точную верхнюю грань всех возможных ${{b}_{0}}$.