Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 6, стр. 965-976

1. ВВЕДЕНИЕ

Исследование нелинейных процессов переноса излучения приводит к необходимости изучения краевых и начально-краевых задач для нелинейных интегродифференциальных уравнений с частными производными. Вопросы физического, математического и численного моделирования процессов переноса излучения рассматриваются, в частности, в [1]–[7].

В работе [8] изучается нелинейная стационарная система, включающая кинетическое уравнение переноса излучения и уравнения статистического равновесия, возникающие при исследовании модели двухуровневого атома в предположении полного перераспределения излучения по частоте [1]–[3]. Получены строгие результаты о существовании и единственности решения краевой задачи, предложен и обоснован линеаризирующий итерационный алгоритм ее решения.

Соответствующая нестационарная нелинейная система интегродифференциальных уравнений переноса излучения изучалась в работах [9]–[13]. Обсуждались вопросы корректности постановки смешанной задачи для рассматриваемой системы, была установлена стабилизация при $t \to \infty $ решения задачи при произвольных начальных условиях.

В соответствии с физическим смыслом, решения уравнений теории переноса излучения должны быть неотрицательными функциями. В этом случае естественно возникают упорядоченные функциональные пространства, определяемые конусом неотрицательных функций, и при изучении задач возможно применение теории порядковых структур. Как показано в работе [13], вопросы порядковой и метрической стабилизации решений нестационарных задач могут исследоваться на основе общих подходов, связанных со свойствами полугрупп изотонных операторов, действующих в полных и условно полных решетках [14]–[17].

В настоящей работе развиваются результаты работ [9]–[13]. Рассматривается система интегродифференциальных уравнений, содержащая нестационарное уравнение переноса излучения и систему стационарности для модели двухуровнего атома. Изучается корректность постановки начально-краевой задачи для этой системы, исследуется поведение решения задачи при $t \to \infty $ с использованием методов теории упорядоченных пространств.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассмотрим следующую систему нелинейных интегродифференциальных уравнений теории переноса излучения, соответствующую модели двухуровнего атома [3], [4]:

Здесь $x = \{ {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\} \in G \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$, $\omega \in \Omega = \{ \omega = \{ {{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}}\} \in {{\mathbb{R}}^{3}}:\omega _{1}^{2} + \omega _{2}^{2} + \omega _{3}^{2} = 1\} $; $\nu \in I = [0,{{\nu }_{0}}]$; $t \in [0,T]$, $T > 0$.

Функция $\psi $ – удельная интенсивность излучения, ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ – пространственные плотности атомов среды, находящихся в основном и в возбужденном состоянии соответственно. Подробная информация о физическом смысле функций и коэффициентов приводится в работах [3], [4].

Пусть $G$ – выпуклое ограниченное множество с гладкой границей $\partial G$, имеющей всюду внешнюю нормаль $n(x)$ ($x \in \partial G$), и диаметром $d > 0$. Система (2.1)–(2.3) дополняется граничным условием

соответствующим отсутствию внешнего потока частиц, падающего на границу области, и начальным условием

Предполагается, что $h$, ${{\nu }_{{12}}}$, ${{B}_{{12}}}$, ${{B}_{{21}}}$, ${{C}_{{12}}}$, ${{C}_{{21}}}$, ${{A}_{{21}}}$, ${{\nu }_{0}}$, $c$ – заданные положительные числа, удовлетворяющие условию

${{n}_{e}}(x)$, $f(x)$, $x \in G$, $\kappa (\nu )$, $\nu \in I$ – заданные функции, измеримые и неотрицательные почти всюду в своих областях определения, удовлетворяющие условиям

Определим характеристику $\{ {{l}_{\omega }}\} $ дифференциального оператора $\partial {\text{/}}c\partial t + (\omega ,\nabla )$ системой уравнений

и обозначим через $1{\text{/}}c{{\left( {d{\text{/}}d\tau } \right)}_{\omega }}$ оператор дифференцирования вдоль характеристики $\{ {{l}_{\omega }}\} $:

Пусть $\mathcal{D} = G \times I \times \Omega $. Для произвольного измеримого подмножества $\Pi $ евклидова пространства через ${{K}_{\infty }}(\Pi )$ обозначим конус неотрицательных функций в ${{L}_{\infty }}(\Pi )$; ${{D}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T])$ – класс функций $\psi \in {{L}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T])$, абсолютно непрерывных вдоль почти каждой характеристики $\{ {{l}_{\omega }}\} $ в ${{D}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T])$ и таких, что

Аналогичные классы впервые были введены в работе В.С. Владимирова [6] для стационарных задач теории переноса и использовались при изучении нестационарных задач в [9], [13].

Предполагается, что начальная функция ${{\psi }_{0}}(x,\nu ,\omega )$ принадлежит классу ${{K}_{\infty }}(\mathcal{D})$.

Решением задачи (2.1)–(2.5) называется функция $\Phi = \{ \psi ,{{C}_{1}},{{C}_{2}}\} \in {{\mathfrak{M}}_{T}}$, удовлетворяющая системе (2.1)–(2.3) и начальным и краевым условиям (2.4), (2.5) почти всюду, дифференциальный оператор $d{\text{/}}cdt + (\omega ,\nabla )$ в (2.1) понимается как оператор $1{\text{/}}c{{\left( {d{\text{/}}d\tau } \right)}_{\omega }}$ дифференцирования вдоль характеристики $\{ {{l}_{\omega }}\} $.

Теорема 1. Пусть коэффициенты системы удовлетворяют условиям (2.6), (2.7). Тогда при любой начальной функции ${{\psi }_{0}} \in {{K}_{\infty }}(\mathcal{D})$ и любом $T > 0$ решение $\Phi \in {{\mathfrak{M}}_{T}}$ задачи (2.1)–(2.5) существует, единственно и непрерывно зависит от начальной функции ${{\psi }_{0}}$. Кроме того, имеет место включение $\Phi \in {{\mathfrak{M}}_{T}} \cap {{\mathcal{K}}_{T}}$.

Введем следующие обозначения:

В работах [9], [13] подобные обозначения использовались для исследования других классов нестационарных задач теории переноса излучения. Систему (2.1)–(2.3) можно переписать в виде

Функция $\Phi = \{ \psi ,{{C}_{1}},{{C}_{2}}\} \in {{\mathfrak{M}}_{T}}$ является решением задачи (2.1)–(2.5) тогда и только тогда, когда $\psi \in {{D}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T])$ – решение задачи (2.12), (2.4), (2.5), где ${{C}_{1}}$, ${{C}_{2}}$ в (2.12) определяются по формулам (2.13).

Дифференциальные свойства функционального класса ${{D}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T])$ позволяют определить для любого $T > 0$ однопараметрические семейства операторов

имеющие смысл “следа” функции $\psi \in {{D}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T])$ на множестве $\mathcal{D} \times \{ t\} $.

Если $\psi $ – решение задачи (2.12), (2.4), (2.5) из класса ${{D}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T]) \cap {{K}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T])$, то значение следа ${{\gamma }_{t}}\psi $ не зависит от $T \geqslant t$ и лежит в ${{K}_{\infty }}(\mathcal{D})$ при всех $t \in [0,T]$.

Определим семейство $\{ {{U}_{t}}\} $, $0 \leqslant t \leqslant \infty $, операторов ${{U}_{t}}:{{K}_{\infty }}(\mathcal{D}) \to {{K}_{\infty }}(\mathcal{D})$ соотношением ${{U}_{t}}{{\psi }_{0}} = {{\gamma }_{t}}\psi $ для всех ${{\psi }_{0}} \in {{K}_{\infty }}(\mathcal{D})$, где $\Phi = \{ \psi ,{{C}_{1}},{{C}_{2}}\} \in {{\mathfrak{M}}_{T}} \cap {{\mathcal{K}}_{T}}$ – решение задачи (2.1), (2.2)–(2.5) с начальным условием ${{\psi }_{0}} \in {{K}_{\infty }}(\mathcal{D})$. Введенное семейство операторов в силу независимости коэффициентов системы (2.1), (2.2), (2.3) от времени обладает полугрупповыми свойствами и называется разрешающей полугруппой задачи (2.1)–(2.5).

Множество ${{K}_{\infty }}(\mathcal{D})$ является условно полной решеткой [14] с отношением частичного порядка $ \succ $, где ${{\psi }_{1}} \succ {{\psi }_{2}}$ тогда и только тогда, когда ${{\psi }_{1}}(x,\nu ,\omega ) \geqslant {{\psi }_{2}}(x,\nu ,\omega )$ почти всюду в $\mathcal{D}$. Формула

определяет функционал $E:{{K}_{\infty }}(\mathcal{D}) \to {{\mathbb{R}}^{1}}$, удовлетворяющий условиям $E[{{\psi }_{1}}] > E[{{\psi }_{2}}]$ при ${{\Phi }_{1}} \succ {{\Phi }_{2}}$, ${{\Phi }_{1}} \ne {{\Phi }_{2}}$, и является, поэтому, положительной оценкой на ${{K}_{\infty }}(\mathcal{D})$ (см. [14]), превращающей ${{K}_{\infty }}(D)$ в метрическое пространство с функцией расстояния

Справедлива

Теорема 2. Пусть коэффициенты системы (2.1), (2.2), (2.3) удовлетворяют условиям (2.6), (2.7). Тогда существует единственная стационарная траектория ${{\psi }_{\infty }}(t) = {{\psi }_{\infty }} \in {{K}_{\infty }}(\mathcal{D})$, $0 \leqslant t < \infty $, относительно разрешающей полугруппы операторов $\{ {{U}_{t}}\} $ задачи (2.1), (2.2)–(2.5). Для любых $\psi \in {{K}_{\infty }}(\mathcal{D})$ справедлива оценка

при $t \geqslant {{T}_{0}}$, где положительные постоянные $\gamma $, $\mu $, ${{T}_{0}}$ не зависят от выбора $\psi \in {{K}_{\infty }}(\mathcal{D})$.

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1

Положим ${{\varphi }_{0}}(x,\nu ,\omega ,t) = {{e}^{{ - \alpha t}}}\psi (x,\nu ,\omega ,t)$, где $\alpha > 0$, $\varphi = \{ {{\varphi }_{0}},{{C}_{1}},{{C}_{2}}\} $.

Система (2.12), (2.13) примет вид

Система (3.1), (3.2) рассматривается при начальных и граничных условиях

Пусть $\{ {{l}_{\omega }}\} = \{ (x + c\omega (\tau - t),\nu ,\omega ,\tau ),\;\tau \in \mathbb{R}\} $ – характеристика, проходящая в момент времени $\tau = t$ через точку $(x,\nu ,\omega )$. Обозначим через $t_{\omega }^{ - }(x,t)$ момент пересечения характеристикой границы области $\mathcal{D} \times [0,T]$ такой, что либо $t_{\omega }^{ - }(x,t) = 0$, либо $t_{\omega }^{ - }(x,t)$ соответствует пересечению той части $\partial G \times I \times \Omega \times [0,T]$, где $(\omega ,n(x)) < 0$. Тогда

Разрешая уравнение (3.1) как линейное относительно ${{\varphi }_{0}}(x,\nu ,\omega ,t)$, получаем

Система уравнений (3.2), (3.4) эквивалентна при заданных условиях на коэффициенты и на рассматриваемом классе функций $\varphi \in {{\mathfrak{M}}_{T}}$ системе с начальными и граничными условиями (3.1)–(3.3).

Пусть ${{\mathcal{L}}_{T}} = {{L}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T]) \times {{L}_{\infty }}(G \times [0,T]) \times {{L}_{\infty }}(G \times [0,T])$. Введем операторы

операторы ${{A}_{0}}\varphi $, ${{A}_{i}}\varphi $ ($i = 1,\;2$) совпадают с правыми частями уравнений (3.4), (3.2) соответственно.

Положим

где $b = h{{\nu }_{{12}}}\kappa {\text{*}}{{A}_{{21}}}{{(4\pi )}^{{ - 1}}}$, $a = h{{\nu }_{{12}}}\kappa {\text{*}}({{B}_{{12}}} + {{B}_{{21}}})(4\pi {{)}^{{ - 1}}}$.

Лемма 1. Пусть ${{A}_{B}}$ – сужение оператора $A$ на замкнутое множество $B(\mathcal{D} \times [0,T])$,

$R({{A}_{B}})$ – множество значений оператора ${{A}_{B}}$. Тогда $R({{A}_{B}}) \subset B(\mathcal{D} \times [0,T])$.

Доказательство. Пусть $\varphi = \{ {{\varphi }_{0}},{{C}_{1}},{{C}_{2}}\} \in B(\mathcal{D} \times [0,T])$.

Так как

из (3.2), (3.4) вытекает неотрицательность вектора $A\varphi $. Из (3.2) следует, что ${{A}_{1}}\varphi + {{A}_{2}}\varphi = f$. Далее, ввиду (3.4) и явного вида $\mathcal{F}(C)$, $\mathcal{P}(C)$ имеем т.е. ${{A}_{0}}{{\varphi }_{0}}(x,\nu ,\omega ,t) \leqslant M$ почти всюду.

Лемма 2. Существует единственное решение задачи

Доказательство. Покажем, что при достаточно больших $k$ отображение $A_{B}^{k} = \underbrace {{{A}_{B}} \cdot \ldots \cdot {{A}_{B}}}_B$ будет сжимающим на $B(\mathcal{D} \times [0,T])$. Пусть

и пусть ${{J}_{i}} = J\left( {{{e}^{{\alpha t}}}\varphi _{0}^{{(i)}}} \right)$, ${{\mathcal{R}}_{i}} = \mathcal{R}(\varphi _{0}^{{(i)}})$, $i = 1,\;2$. Используя (3.4) и явный вид ${{\mathcal{R}}_{{12}}}$, ${{\mathcal{R}}_{{21}}}$, получаем где $p = ({{A}_{{21}}}{{B}_{{12}}} + ({{B}_{{12}}}{{C}_{{21}}} - {{B}_{{21}}}{{C}_{{12}}})n_{e}^{ * })A_{{21}}^{{ - 2}}$,

Пусть, далее, ${{\mathcal{F}}_{i}} = \mathcal{F}({{C}^{{(i)}}})$, ${{\mathcal{P}}_{i}} = \mathcal{P}({{C}^{{(i)}}})$. Из (3.4) вытекает справедливость равенства [15]

Следовательно, Таким образом,

Согласно принципу сжимающих отображений, уравнение (3.6) имеет единственное решение $\varphi \in B(\mathcal{D} \times [0,T])$.

Поскольку $A:{{\mathcal{L}}_{T}} \to {{\mathfrak{M}}_{T}}$, решение задачи (3.6) лежит в ${{\mathfrak{M}}_{T}}$ и является решением задачи (3.1)–(3.3). Следовательно, решение задачи (2.1)–(2.5) существует.

Лемма 3. Решение задачи (2.1)–(2.5) единственное и непрерывно зависит от начальных условий.

Доказательство. Пусть ${{\Phi }^{{(i)}}} = \left\{ {{{\psi }^{{(i)}}},C_{1}^{{(i)}},C_{2}^{{(i)}}} \right\} \in {{\mathfrak{M}}_{T}}$, $i = 1,\;2$ – решения задачи (2.1)–(2.5) c начальными условиями

причем ${{\Phi }^{{(1)}}} \in {{\mathcal{K}}_{T}}$. Положим $\psi = {{\psi }^{{(1)}}} - {{\psi }^{{(2)}}}$, $C = C_{2}^{{(1)}} - C_{2}^{{(2)}} = C_{1}^{{(2)}} - C_{1}^{{(1)}}$, ${{\psi }_{0}} = \psi _{0}^{{(1)}} - \psi _{0}^{{(2)}}$.

Тогда справедливы равенства

где

Проинтегрировав равенство (3.7), получим

Пусть $\Delta (t) = {{\left\| {\psi (x,\nu ,\omega ,t)} \right\|}_{{{{L}_{\infty }}(\mathcal{D})}}}$. Тогда

где

По лемме Гронуолла заключаем, что

Из (3.9), (3.10) вытекает, в частности, единственность решения задачи (2.1)–(2.5). Кроме того, из (3.7) получаем

Таким образом, решение задачи (2.1)–(2.5) непрерывно зависит от начальных данных.

4. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОЛУГРУПП ИЗОТОННЫХ ОПЕРАТОРОВ

Доказательство теоремы о стабилизации решений рассматриваемой смешанной задачи основано на свойствах полугрупп изотонных операторов, действующих в условно полных решетках. Приведем без доказательств необходимые в дальнейшем результаты. Подробное изложение рассматриваемых вопросов содержится в [12], [13].

Пусть $\mathfrak{M}$ – непустое частично упорядоченное множество с отношением порядка $ \prec $, являющееся полной решеткой [14]; $U = \{ {{U}_{t}}\} $, $t \geqslant 0$ – однопараметрическое семейство изотонных операторов, обладающее полугрупповыми свойствами:

здесь  $U$-траекторией  называется функция $u:[0,\infty ) \to \mathfrak{M}$ такая, что $u(t + s) = {{U}_{t}}u(s)$, $t,s \geqslant 0$; $U$-траектория называется стационарной, если

Элемент $u(0) \in \mathfrak{M}$, удовлетворяющий (4.1) при всех $t \geqslant 0$, называется стационарной точкой полугруппы U.

Теорема 3. Пусть $U = \{ {{U}_{t}}\} $, $t \geqslant 0$, – полугруппа изотонных операторов ${{U}_{t}}:\mathfrak{M} \to \mathfrak{M}$. Тогда множество стационарных траекторий $u:[0,\infty ) \to \mathfrak{M}$ и множество $P = \{ \xi \in \mathfrak{M}:{{U}_{t}}\xi = \xi ,\;t \geqslant 0\} $ соответствующих стационарных точек полугруппы $U$ непусто и $\inf P \in P$, $\sup P \in P$.

Теорема является прямым следствием следующего утверждения [17].

Теорема 4. Пусть $\mathfrak{M}$ – полная решетка, $\mathfrak{U}$ – семейство изотонных коммутирующих операторов $A:\mathfrak{M} \to \mathfrak{M}$. Тогда множество $P$ общих неподвижных точек семейства операторов $\mathfrak{U}$ непусто и является полной подрешеткой решетки $\mathfrak{M}$.

Изотонный оператор $A:\mathfrak{M} \to \mathfrak{M}$ будем называть оператором класса $C(\mathfrak{M}, \prec )$, если для любых последовательностей

элементов из $\mathfrak{M}$ выполняются равенства Полугруппа $U = \{ {{U}_{t}}\} $, $t \geqslant 0$, изотонных операторов ${{U}_{t}}:\mathfrak{M} \to \mathfrak{M}$ называется полугруппой класса $\zeta (\mathfrak{M}, \prec )$, если ${{U}_{t}} \in C(\mathfrak{M}, \prec )$ при всех $t \geqslant 0$.

Теорема 5. Пусть $U = \{ {{U}_{t}}\} $, $t \geqslant 0$, – полугруппа класса $\zeta (\mathfrak{M}, \prec )$; $P \in \mathfrak{M}$ – множество стационарных точек. Тогда порядковый интервал

является притягивающим множеством для всех траекторий, т.е. при всех $\xi \in \mathfrak{M}$, в частности, если множество $P$ стационарных точек полугруппы $U$ coстоит из одного элемента ${{u}_{\infty }} = \inf P = \sup P$, то при $t \to \infty $ имеет место порядковая стабилизация всех траекторий:

Положительной оценкой на полной решетке $\mathfrak{M}$ называется функционал $l:\mathfrak{M} \to {{\mathbb{R}}^{1}}$, удовлетворяющий при всех $\xi ,\eta \in \mathfrak{M}$ условиям

Положительный функционал $l:\mathfrak{M} \to {{\mathbb{R}}^{1}}$ превращает решетку $\mathfrak{M}$ в метрическую решетку с функцией расстояния $d(\xi ,\eta ) = l(\sup \{ \xi ,\eta \} ) - l(\inf \{ \xi ,\eta \} )$ [17].

Если положительная оценка $l:\mathfrak{M} \to {{\mathbb{R}}^{1}}$ удовлетворяет следующему условию непрерывности: для любых последовательностей $\{ {{\xi }_{n}}\} _{{n = 1}}^{\infty }$, $\{ {{\eta }_{n}}\} _{{n = 1}}^{\infty }$ элементов из $\mathfrak{M}$, удовлетворяющих (4.2), выполняются равенства

то метрическая решетка $\mathfrak{M}$ является метрически полной.

Оператор $A:\mathfrak{M} \to \mathfrak{M}$ является оператором класса $C(\mathfrak{M}, \prec )$ тогда и только тогда, когда $A$ метрически непрерывен.

Теорема 6. Пусть $U = \{ {{U}_{t}}\} $, $t \geqslant 0$, – полугруппа изотонных операторов, $P \subset \mathfrak{M}$ – множество стационарных точек полугруппы, $l:\mathfrak{M} \to {{\mathbb{R}}^{1}}$ – положительная оценка, удовлетворяющая условию непрерывности (4.3), и для каждого $t \geqslant 0$ оператор ${{U}_{t}}$ : $\mathfrak{M} \to \mathfrak{M}$ метрически непрерывен. Тогда порядковый интервал, т.е. $\left\langle {\inf P,\sup P} \right\rangle $ является метрически притягивающим множеством для всех траекторий, т.е.

при всех $\xi \in \mathfrak{M}$, в частности, если множество стационарных точек полугруппы $U$ состоит из одного элемента ${{u}_{\infty }} = \inf P = \sup P$, то при $t \to \infty $ имеет место метрическая стабилизация всех траекторий: $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } d({{U}_{t}}\xi ,{{u}_{\infty }}) = 0$ при всех $\xi \in \mathfrak{M}$.

Теорема 7. Пусть $\mathfrak{M}$ – условно полная решетка, ${{\mathfrak{M}}_{0}} \subset \mathfrak{M}$ – полная подрешетка в $\mathfrak{M}$; $l:\mathfrak{M} \to \mathfrak{M}$ – положительная оценка на $\mathfrak{M}$, $U = \{ {{U}_{t}}\} $, $t \geqslant 0$, – полугруппа операторов, удовлетворяющая следующим условиям:

1) существует ${{T}_{1}} > 0$ такое, что ${{U}_{t}}\xi \in {{\mathfrak{M}}_{0}}$ при всех $\xi \in \mathfrak{M}$, $t \geqslant {{T}_{1}}$;

2) при любых $\xi ,\eta \in {{\mathfrak{M}}_{0}}$ таких, что $\xi \prec \eta $ при всех $t \geqslant 0$, выполнено ${{U}_{t}}\xi \prec {{U}_{t}}\eta $;

3) существуют постоянные ${{T}_{2}} > 0$, $\gamma \in (0,1)$ такие, что при любых $\xi ,\eta \in {{\mathfrak{M}}_{0}}$, $\xi \prec \eta $

Тогда существует единственная стационарная траектория ${{u}_{\infty }}(t) = {{u}_{\infty }} \in {{\mathfrak{M}}_{0}}$, $t \geqslant 0$, а также существуют постоянные $\mu > 0$, ${{T}_{0}} > 0$, $M > 0$ такие, что

5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2

Пусть $\{ {{U}_{t}}\} $, ${{U}_{t}}:{{K}_{\infty }}(\mathcal{D}) \to {{K}_{\infty }}(\mathcal{D})$, ${{U}_{t}}{{\psi }_{0}} = {{\gamma }_{t}}\psi $ – разрешающая полугруппа операторов задачи (2.1)–(2.5). Докажем, что для нее выполнены условия теоремы 7.

Будет использоваться следующее утверждение [13].

Лемма 4. Пусть $E$ – банахова решетка с нормой $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$, монотонной относительно упорядоченности $ \prec $, и конусом ${{E}^{ + }}$ положительных элементов, $\left\| {\left| {\, \cdot \,} \right|} \right\| = \left\| {\, \cdot \,} \right\|$. Пусть $A:E \to E$ – оператор и $\{ {{B}_{\lambda }}\} \in {{\mathfrak{L}}^{ + }}(E)$, $\lambda \in (0,\infty )$, – однопараметрическое семейство операторов со спектральными радиусами $\rho ({{B}_{\lambda }})$, удовлетворяющими условию $\sup \rho ({{B}_{\lambda }}) = \beta < 1$. Тогда если $\left| {A({{y}_{1}}) - A({{y}_{2}})} \right| \prec {{B}_{\lambda }}\left( {\left| {{{y}_{1}} - {{y}_{2}}} \right|} \right)$ для всех ${{y}_{i}} \in E$ таких, что $\left\| {{{y}_{i}}} \right\| \leqslant \lambda $, $i = 1,\;2$, то уравнение

имеет не более одного решения $y \in E$. Если, кроме того, $A:E \to E$ оставляет инвариантным некоторое замкнутое множество $Y \in E$, то решение уравнения (5.1) существует и лежит в $Y$.

Пусть ${{M}_{1}} = h{{\nu }_{{12}}}\kappa {\text{*}}f{\text{*}}{{A}_{{21}}}(4{{\pi }^{{ - 1}}})$, ${{\tau }_{0}} = d{{c}^{{ - 1}}}$. Определим полную подрешетку

Лемма 5. При любых ${{\psi }_{0}} \in {{K}_{\infty }}(\mathcal{D})$ имеет место включение

Доказательство. Пусть $\Phi = \{ \psi ,{{C}_{1}},{{C}_{2}}\} \in {{\mathfrak{M}}_{T}} \cap {{\mathcal{K}}_{T}}$ – решение задачи (2.1)–(2.5). Тогда верно

при этом имеем

Так как $\left| {t - t_{\omega }^{ - }(x,t)} \right| \leqslant d{{c}^{{ - 1}}} = {{\tau }_{0}}$, то $t_{\omega }^{ - }(x,t) > 0$ при $t > {{\tau }_{0}}$. Следовательно, справедливо неравенство

что и следовало доказать.

Пусть $\psi _{0}^{1}$, $\psi _{0}^{2} \in {{K}_{0}}$, $\psi _{0}^{1} \succ \psi _{0}^{2}$, ${{\Phi }^{{(i)}}} = \left\{ {{{\psi }^{{(i)}}},C_{1}^{{(i)}},C_{2}^{{(i)}}} \right\} \in {{\mathfrak{M}}_{T}} \cap {{\mathcal{K}}_{T}}$, $i = 1,\;2$ – решения задачи (2.1)–(2.5) c начальными условиями

Положим $\psi = {{\psi }^{{(1)}}} - {{\psi }^{{(2)}}}$, $C = C_{1}^{{(1)}} - C_{1}^{{(2)}}$, ${{\psi }_{0}} = \psi _{0}^{1} - \psi _{0}^{2}$. Тогда справедливы равенства

где

Лемма 6. При любых $\psi _{0}^{1}$, $\psi _{0}^{2} \in {{K}_{0}}$ таких, что $\psi _{0}^{1} \succ \psi _{0}^{2}$, выполнено соотношение

Доказательство. Пусть $\xi = {{e}^{{ - \alpha t}}}\psi $, $\eta = {{e}^{{ - \alpha t}}}C$, где $\alpha = cqpf{\text{*}}$. Тогда

Уравнение (5.6) эквивалентно уравнению Пусть $\Phi = \{ \xi ,\eta \} $. Систему (5.7), (5.8) можно представить в виде где оператор $A:{{L}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T]) \times {{L}_{\infty }}(G \times [0,T]) \to {{L}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T]) \times {{L}_{\infty }}(G \times [0,T])$ ставит в соответствие вектору $\Phi $ вектор из правых частей уравнений (5.8) и (5.7).

Пространство ${{L}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T]) \times {{L}_{\infty }}(G \times [0,T])$ является банаховой решеткой относительно порядка, порожденного конусом ${{K}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T]) \times {{K}_{\infty }}(G \times [0,T])$.

Положим

Оператор $B:{{L}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T]) \times {{L}_{\infty }}(G \times [0,T]) \to {{L}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T]) \times {{L}_{\infty }}(G \times [0,T])$ оставляет инвариантным конус ${{K}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T]) \times {{K}_{\infty }}(G \times [0,T])$ и справедливы оценки Поэтому спектральный радиус $\rho (B) = \mathop {\lim }\nolimits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left\| {{{B}^{n}}} \right\|}}$ равен нулю.

Для любых ${{\Phi }_{1}}$, ${{\Phi }_{2}} \in {{L}_{\infty }}(\mathcal{D} \times [0,T]) \times {{L}_{\infty }}(G \times [0,T])$ выполняется неравенство

Кроме того, оператор $A$ оставляет инвариантным замкнутое множество

Таким образом, для операторов $A$ и ${{B}_{\lambda }} = \beta B$, $\lambda \geqslant 0$ выполнены условия леммы 4 и $\psi \geqslant 0$, $C \geqslant 0$, т.е. ${{\psi }^{{(1)}}} \succ {{\psi }^{{(2)}}}$.

Лемма 7. Пусть $\psi _{0}^{i} \in {{K}_{0}}$, $i = 1,\;2$, $\psi _{0}^{1} \succ \psi _{0}^{2}$, $\psi _{0}^{1} \ne \psi _{0}^{2}$. Тогда

где $\gamma \in (0,\;1)$ – некоторая постоянная, не зависящая от $\psi _{0}^{1}$, $\psi _{0}^{2}$.

Доказательство. Из уравнения (5.3) вытекает справедливость неравенства [13]

где $\varepsilon = \exp ( - \kappa {\text{*}}f{\text{*}}{{B}_{{12}}}h{{\nu }_{{12}}}d{{(4\pi )}^{{ - 1}}})$. С другой стороны, Следовательно, Используя явный вид $\mathcal{F}({{C}^{{(1)}}})$, $K$ и $C$, получаем Таким образом, Последнее неравенство означает, что справедливо неравенство (5.10), где $\gamma = 1 - \varepsilon $.

Из доказанных лемм 5–7 при ${{T}_{0}} = 2{{\tau }_{0}}$ на основании теоремы 7 следует теорема 2.