Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 6, стр. 977-986

Приближенный метод решения краевых задач с подвижными границами путем сведения к интегродифференциальным уравнениям

В. Л. Литвинов^1, *, К. В. Литвинова^2, **

¹ МГУ им. М.В. Ломоносова
119991 Москва, Воробьевы горы, 1, Россия

² СамГТУ
443100 Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Россия

^* E-mail: vladlitvinov@rambler.ru
^** E-mail: kristinalitvinova900@rambler.ru

Поступила в редакцию 24.12.2021
После доработки 30.01.2022
Принята к публикации 11.02.2022

EDN: NHEDUP
DOI: 10.31857/S0044466922060126

Полный текст (PDF)

Аннотация

Задача о колебаниях тел с подвижными границами, сформулированная в виде дифференциального уравнения с граничными и начальными условиями, является неклассическим обобщением гиперболической задачи. Для облегчения построения решения этой задачи и обоснования выбора вида решения строятся эквивалентные интегродифференциальные уравнения с симметричными и нестационарными ядрами и нестационарными пределами интегрирования. Преимущества метода интегродифференциальных уравнений раскрываются при переходе к более сложным динамическим системам, несущим сосредоточенные массы, колеблющиеся под действием подвижных нагрузок. Метод распространен на более широкий класс модельных краевых задач, учитывающих изгибную жесткость, сопротивление внешней среды и жесткость основания колеблющегося объекта. Решение приводится в безразмерных переменных с точностью до значений второго порядка малости относительно малых параметров, характеризующих скорость движения границы. Находится приближенное решение задачи о поперечных колебаниях каната грузоподъемной установки, обладающего изгибной жесткостью, один конец которого наматывается на барабан, а на втором закреплен груз. Библ. 22.

Ключевые слова: резонансные свойства, колебания систем с подвижными границами, законы движения границ, интегродифференциальные уравнения, амплитуда колебаний.

1. ВВЕДЕНИЕ

Среди всего множества задач динамики упругих систем с точки зрения технических приложений весьма актуальными являются задачи о колебаниях в системах с изменяющимися во времени геометрическими размерами. В технике широко распространены системы, границы которых подвижны (канаты грузоподъемных установок [1]–[8], гибкие передаточные звенья [4], [6], [9], бурильные колонны [10], твердотопливные стержни [10], [11] и др.). Исследования многих авторов по динамике подъемных канатов привели к необходимости постановки новых задач механики о динамике одномерных объектов переменной длины. В математической постановке это сводится к новым задачам математической физики – к исследованию соответствующих уравнений гиперболического типа в переменных диапазонах изменения обоих аргументов. Наличие подвижных границ вызывает значительные трудности при описании таких систем, поэтому здесь в основном используются приближенные методы решения [1]–[10], [12]–[18].

Из аналитических методов наиболее эффективным является метод, предложенный в [19], [20], заключающийся в подборе новых переменных, оставляющих волновое уравнение инвариантным. В [21] решение ищется в виде суперпозиции двух волн, бегущих навстречу друг другу. Эффективен также метод, использованный в [22], заключающийся в замене геометрической переменной чисто мнимой, что позволяет свести волновое уравнение к уравнению Лапласа и применить методологию теории функций комплексного переменного для решения. Однако точные методы решения ограничены волновым уравнением и относительно простыми граничными условиями.

Из приближенных методов наиболее эффективным является метод Канторовича – Галеркина [10], [14], а также метод построения решений интегродифференциальных уравнений, описанный в данной статье. Задача о колебаниях тел с подвижными границами, сформулированная в виде дифференциального уравнения с граничными и начальными условиями, является неклассическим обобщением гиперболической задачи. Для облегчения построения решения этой задачи и обоснования выбора вида решения строятся эквивалентные интегродифференциальные уравнения с симметричными и нестационарными ядрами и нестационарными пределами интегрирования. Построение интегродифференциальных уравнений движения объектов переменной длины основано на прямом интегрировании дифференциальных уравнений в сочетании со стандартной заменой искомой функции новой переменной.

В тривиальных случаях методы интегральных уравнений не имеют преимущества перед методом дифференциальных уравнений применительно к исследованию колебаний системы с бесконечным числом степеней свободы [4], [6]. Преимущества метода интегродифференциальных уравнений раскрываются при переходе к более сложным динамическим системам, несущим сосредоточенные массы, колеблющимся под действием движущихся нагрузок и т.д. Эти методы могут быть весьма плодотворными применительно к динамике канатов переменной длины и другим механическим объектам с движущимися границами.

В данной работе метод построения решений интегродифференциальных уравнений распространен на более широкий класс модельных краевых задач, учитывающих изгибную жесткость колеблющегося объекта [5], [7], [11], сопротивление внешней среды [11] и жесткость основания (подложки) объекта [4], [6]. Особое внимание уделено рассмотрению наиболее распространенного на практике случая, когда на границах действуют внешние возмущения. При фиксированной длине объекта построенные интегродифференциальные уравнения переходят в классические уравнения Фредгольма II рода.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Дифференциальное уравнение движения механических объектов переменной длины имеет вид [9]

(1)

${{U}_{{\tau \tau }}}(\xi ,\tau ) + L[U(\xi ,\tau )] = \varphi (\xi ,\tau ).$

Граничные условия

(2)

$\begin{gathered} {{Y}_{{ji}}}\left[ {U\left( {{{\ell }_{j}}(\varepsilon \tau ),\tau } \right)} \right] = {{F}_{{ji}}}(\tau ); \\ i = \overline {1,m} ;\quad j = \overline {1,2} . \\ \end{gathered} $

Начальные условия

(3)

$U(\xi ,0) = {{\Phi }_{0}}(\xi );\quad {{U}_{\tau }}(\xi ,0) = {{\Phi }_{1}}(\xi ).$

Здесь $U(\xi ,\tau )$ – функция продольного или поперечного смещения объекта от положения равновесия, $\tau $ – безразмерное время, $\xi $ – безразмерная пространственная координата; L – линейный однородный дифференциальный оператор по $\xi $ второго либо четвертого порядка; ${{Y}_{{ji}}}$ – линейные однородные дифференциальные операторы по $\xi $ до второго порядка включительно; $\varphi (\xi ,\tau )$ – заданные функции класса С; ${{\Phi }_{0}}(\xi ),$ ${{\Phi }_{1}}(\xi ),$ ${{F}_{{ji}}}(\tau )$ – заданные функции класса ${{C}^{2}}$; ${{\ell }_{j}}(\varepsilon \tau ) = 1 + \varepsilon \tau $ – равномерный закон движения границы; $\varepsilon $ – малый параметр ($\varepsilon = V{\text{/}}a,$ $V$ и $a$ – заданные скорости движения границы и распространения колебаний соответственно).

Движение границ по закону ${{\ell }_{j}}(\varepsilon \tau )$ соответствует режиму медленного движения.

Дифференциальное уравнение (1) и граничные условия (2) описывают широкий ряд математических моделей для анализа одномерных краевых задач с движущимися границами с учетом действия сил сопротивления внешней среды, жесткости подложки и изгибной жесткости объекта, когда внешние возмущения действуют на границах.

Для исключения неоднородностей в граничных условиях, в уравнение (1) вводится новая функция

(4)

$U(\xi ,\tau ) = V(\xi ,\tau ) + H(\xi ,\tau ),$

где

(5)

$H(\xi ,\tau ) = \sum\limits_{k = 1}^2 {\sum\limits_{r = 1}^m {{{D}_{{kr}}}(\xi ,\varepsilon \tau ){{F}_{{kr}}}(\tau ),} } $

при этом функция ${{D}_{{kr}}}(\xi ,\varepsilon \tau )$ удовлетворяет уравнению

(6)

$L[{{D}_{{kr}}}(\xi ,\varepsilon \tau )] = 0$

и условиям

${{Y}_{{ji}}}[{{D}_{{kr}}}({{\ell }_{j}}(\varepsilon \tau ),\tau )] = \left\{ \begin{gathered} 1,\quad k = j \wedge r = i; \hfill \\ 0,\quad k \ne j \vee r \ne i. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

При подстановке (4) в уравнение (1) с учетом (5), (6), функция $V(\xi ,\tau )$ находится как решение следующей задачи:

(7)

${{V}_{{\tau \tau }}}(\xi ,\tau ) + L[V(\xi ,\tau )] = \varphi (\xi ,\tau ) - {{H}_{{\tau \tau }}}(\xi ,\tau ),$

(8)

${{Y}_{{ji}}}[V({{\ell }_{j}}(\varepsilon \tau ),\tau )] = 0.$

В работе [6] получено интегродифференциальное уравнение, соответствующее задаче (7), (8), в виде

(9)

$V(\xi ,\tau ) = - \int\limits_{{{\ell }_{1}}(\varepsilon \tau )}^{{{\ell }_{2}}(\varepsilon \tau )} {K(\xi ,\zeta ,\varepsilon \tau )\left[ {{{V}_{{\tau \tau }}}(\zeta ,\tau ) - \varphi (\zeta ,\tau ) + {{H}_{{\tau \tau }}}(\zeta ,\tau )} \right]d\zeta } ,$

где $K(\xi ,\zeta ,\varepsilon \tau )$ – симметричное по $\xi $ и $\zeta $ ядро, зависящее от времени через параметр $\varepsilon \tau $.

Теорема 1. В интервале времени $\Delta \tau $, соизмеримом с единицей, уравнение колебаний объекта с фиксированным параметром $l = l({{\tau }_{0}}) = {\text{const}}$ отличается от соответствующего уравнения колебаний объекта с переменным параметром $l = l(\tau )$ членами, пропорциональными множителю $\varepsilon $, при условии ограниченности производной ядра $K(x,s,l)$ по параметру $l(\tau ).$

Доказательство. Разложим правую часть уравнения

(10)

$V(\xi ,\tau ) = - \int\limits_0^{l(\tau )} {K(\xi ,\zeta ,l(\tau ))\left[ {{{V}_{{\tau \tau }}}(\zeta ,\tau ) - \varphi (\zeta ,\tau )} \right]d\zeta } $

по параметру $l(\tau )$ в окрестности некоторого фиксированного значения безразмерной длины $l({{\tau }_{0}})$ в ряд Тейлора.

Полагая

$l({{\tau }_{0}} + \Delta \tau ) = l({{\tau }_{0}}) + \Delta l(\tau ) + ...,$

получаем

(11)

$\begin{gathered} V(\xi ,\tau ) = - \int\limits_0^{l({{\tau }_{0}})} {K(\xi ,\zeta ,l({{\tau }_{0}}))\left[ {{{V}_{{\tau \tau }}}(\zeta ,\tau ) - \varphi (\zeta ,\tau )} \right]d\zeta } - \\ - \;\Delta l(\tau )\left\{ {K(\xi ,l({{\tau }_{0}}),l({{\tau }_{0}}))\left[ {{{V}_{{\tau \tau }}}(l({{\tau }_{0}}),\tau ) - \varphi (l({{\tau }_{0}}),\tau )} \right] + \int\limits_0^{l({{\tau }_{0}})} {\frac{{\partial K(\xi ,\zeta ,l({{\tau }_{0}}))}}{{\partial l(\tau )}}\left[ {{{V}_{{\tau \tau }}}(\zeta ,\tau ) - \varphi (\zeta ,\tau )} \right]d\zeta } } \right\} - \\ \, - \frac{{{{{\left( {\Delta l(\tau )} \right)}}^{2}}}}{{2!}}\left[ {\frac{{\partial K(\xi ,l({{\tau }_{0}}),l({{\tau }_{0}}))}}{{\partial l(\tau )}}...} \right]. \\ \end{gathered} $

Будем считать, что функция $l(\tau )$ является функцией медленного времени $l = l({{\tau }_{1}}),$ ${{\tau }_{1}} = \varepsilon \tau ,$ т.е. является функцией времени, производная которой по времени пропорциональна некоторому малому параметру $\varepsilon $. Дифференциал длины объекта $\Delta l({{\tau }_{1}})$ в соответствии с правилом дифференцирования функции медленного времени [4], [6] вычисляется по формуле $\Delta l({{\tau }_{1}}) = \varepsilon \frac{{d\,l({{\tau }_{1}})}}{{d{{\tau }_{1}}}}\Delta \tau .$

Выберем интервал времени $\Delta \tau $ в виде

(12)

$\Delta \tau = \theta (\tau ),$

где $\theta (\tau )$ – некоторая функция порядка единицы.

Подставляя (12) в (11), найдем, что в интервале времени $\Delta \tau $, имеющем порядок единицы, разложение (11) имеет вид

(13)

$\begin{gathered} V(\xi ,\tau ) = - \int\limits_0^{l({{\tau }_{0}})} {K(\xi ,\zeta ,l({{\tau }_{0}}))\left[ {{{V}_{{\tau \tau }}}(\zeta ,\tau ) - \varphi (\zeta ,\tau )} \right]d\zeta } - \\ \, - \varepsilon l{\kern 1pt} '(\tau )\theta (\tau )\left\{ {K(\xi ,l({{\tau }_{0}}),l({{\tau }_{0}}))\left[ {{{V}_{{\tau \tau }}}(l({{\tau }_{0}}),\tau ) - \varphi (l({{\tau }_{0}}),\tau )} \right] + \int\limits_0^{l({{\tau }_{0}})} {\frac{{\partial K(\xi ,\zeta ,l({{\tau }_{0}}))}}{{\partial l(\tau )}}\left[ {{{V}_{{\tau \tau }}}(\zeta ,\tau ) - \varphi (\zeta ,\tau )} \right]d\zeta } } \right\} - \\ \, - {{\varepsilon }^{2}}l{\kern 1pt} {{'}^{2}}(\tau )\frac{{\theta (\tau )}}{{2!}}\left[ {\frac{{\partial K(\xi ,l({{\tau }_{0}}),l({{\tau }_{0}}))}}{{\partial l(\tau )}}...} \right]. \\ \end{gathered} $

Принимая во внимание условие теоремы об ограниченности производной ядра $K(x,s,l)$ по параметру $l(\tau )$ и сравнивая (13) и (10), находим, что уравнение с фиксированным параметром $l = l({{\tau }_{0}}) = {\text{const}}$ отличается от уравнения с переменным параметром в интервале $\Delta \tau \sim 1$ членами, пропорциональными множителю $\varepsilon $. Это завершает доказательство теоремы.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Решение задачи (9) будем искать в виде ряда:

(14)

$V(\xi ,\tau ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{f}_{n}}(\tau )} {{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau ),$

где ${{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau )\,$ – собственные функции, в качестве которых выбраны формально построенные решения интегрального уравнения

(15)

${{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau ) = \omega _{{0n}}^{2}(\varepsilon \tau )\int\limits_{{{\ell }_{1}}(\varepsilon \tau )}^{{{\ell }_{2}}(\varepsilon \tau )} {K(\xi ,\zeta ,\varepsilon \tau ){{X}_{n}}(\zeta ,\varepsilon \tau )d\zeta } ,$

где $\varepsilon \tau $ рассматривается как параметр; ${{\omega }_{{0n}}}(\varepsilon \tau )$ – собственные частоты задачи.

Решение (14) является точным в случае, если границы неподвижны.

Собственные функции ${{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau )$ удовлетворяют граничным условиям (8) и играют в данном случае роль динамических мод.

Используя результаты [6], разложим симметричное по $\xi $ и $\zeta $ ядро в ряд по собственным функциям ${{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau )$:

(16)

$K(\xi ,\zeta ,\varepsilon \tau ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau ){{X}_{n}}(\zeta ,\varepsilon \tau )}}{{\omega _{{0n}}^{2}(\varepsilon \tau )}}} ,$

где ${{\omega }_{{0n}}}(\varepsilon \tau )$ – определяется по формуле

(17)

$\frac{1}{{\omega _{{0n}}^{2}(\varepsilon \tau )}} = \int\limits_{{{\ell }_{1}}(\varepsilon \tau )}^{{{\ell }_{2}}(\varepsilon \tau )} {\int\limits_{{{\ell }_{1}}(\varepsilon \tau )}^{{{\ell }_{2}}(\varepsilon \tau )} {K(\xi ,\zeta ,\varepsilon \tau ){{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau ){{X}_{n}}(\zeta ,\varepsilon \tau )d\xi d\zeta } .} $

Продифференцируем ряд (14) по времени:

${{V}_{\tau }}(\xi ,\tau ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {f_{n}^{'}(\tau ){{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau ) + \varepsilon {{X}_{{{{n}_{\tau }}}}}(\xi ,\varepsilon \tau ){{f}_{n}}(\tau )} \right]} .$

После повторного дифференцирования получим

(18)

${{V}_{{\tau \tau }}}(\xi ,\tau ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left\{ {f_{n}^{{''}}(\tau ){{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau ) + 2\varepsilon {{X}_{{{{n}_{\tau }}}}}(\xi ,\varepsilon \tau )f_{n}^{'}(\tau ) + } \right.} \left. {{{\varepsilon }^{2}}{{X}_{{{{n}_{{\tau \tau }}}}}}(\xi ,\varepsilon \tau ){{f}_{n}}(\tau )} \right\}.$

Подставим ряды (14), (16), (18) в уравнение (9) с учетом ортогональности функций ${{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau )\,$ на интервале $\left[ {{{\ell }_{1}}(\varepsilon \tau );\;{{\ell }_{2}}(\varepsilon \tau )} \right]$ с весом $g(\xi )$ и замены

(19)

${{f}_{n}}(\tau ) = {{\mu }_{n}}(\tau ) + \sum\limits_{k = 1}^2 {\sum\limits_{r = 1}^m {{{Q}_{{{{n}_{{kr}}}}}}(\varepsilon \tau )} } {{F}_{{kr}}}(\tau ),$

где

${{Q}_{{{{n}_{{kr}}}}}}(\varepsilon \tau ) = - \int\limits_{{{\ell }_{1}}(\varepsilon \tau )}^{{{\ell }_{2}}(\varepsilon \tau )} {{{D}_{{kr}}}} (\xi ,\varepsilon \tau ){{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau )g(\xi )d\xi {\text{/}}\int\limits_{{{\ell }_{1}}(\varepsilon \tau )}^{{{\ell }_{2}}(\varepsilon \tau )} {X_{n}^{2}} (\xi ,\varepsilon \tau )g(\xi )d\xi .$

Заметим, что если разложить функцию $H(\xi ,\tau )\,$в ряд Фурье:

$H(\xi ,\tau ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\varphi }_{n}}} (\tau ){{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau ),\,$

где

${{\varphi }_{n}}(\tau ) = \int\limits_{{{\ell }_{1}}(\varepsilon \tau )}^{{{\ell }_{2}}(\varepsilon \tau )} {H(\xi ,\tau ){{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau )g(\xi )d\xi {\text{/}}\int\limits_{{{\ell }_{1}}(\varepsilon \tau )}^{{{\ell }_{2}}(\varepsilon \tau )} {X_{n}^{2}(\xi ,\varepsilon \tau )g(\xi )d\xi } ,} $

здесь $g(\xi )$ – весовая функция, то замену можно произвести в более простом виде:

${{f}_{n}}(\tau ) = {{\mu }_{n}}(\tau ) - {{\varphi }_{n}}(\tau ).$

При резонансных явлениях амплитуды всех динамических мод, за исключением резонансной, малы. Поэтому нерезонансными членами рядов (14), (18) в связи с их малостью, пренебрегают. В этом случае получим расщепленную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [10]

(20)

${{A}_{{1n}}}(\varepsilon \tau )\mu _{n}^{{''}}(\tau ) + 2\varepsilon {{A}_{{2n}}}(\varepsilon \tau )\mu _{n}^{'}(\tau ) + {{\varepsilon }^{2}}{{A}_{{3n}}}(\varepsilon \tau ){{\mu }_{n}}(\tau ) + {{A}_{{1n}}}(\varepsilon \tau )\omega _{{0n}}^{2}(\varepsilon \tau ){{\mu }_{n}}(\tau ) = {{\theta }_{n}}(\tau ),$

где

$\begin{gathered} {{\theta }_{n}}(\tau ) = {{E}_{n}}(\tau ) - 2\varepsilon \sum\limits_{k = 1}^2 {\sum\limits_{r = 1}^m {{{B}_{{{{n}_{{kr}}}}}}} (\varepsilon \tau )} F_{{kr}}^{'}(\tau ) - {{\varepsilon }^{2}}\sum\limits_{k = 1}^2 {\sum\limits_{r = 1}^m {{{C}_{{{{n}_{{kr}}}}}}} (\varepsilon \tau )} {{F}_{{kr}}}(\varepsilon \tau ) - \\ \, - \omega _{{0n}}^{2}(\varepsilon \tau ){{A}_{{1n}}}(\varepsilon \tau )\sum\limits_{k = 1}^2 {\sum\limits_{r = 1}^m {{{Q}_{{{{n}_{{kr}}}}}}} } (\varepsilon \tau ){{F}_{{kr}}}(\varepsilon \tau ). \\ \end{gathered} $

Здесь ${{A}_{{1n}}}(\varepsilon \tau ),$ ${{A}_{{2n}}}(\varepsilon \tau ),$ ${{A}_{{3n}}}(\varepsilon \tau ),$ ${{B}_{{{{n}_{{kr}}}}}}(\varepsilon \tau ),$ ${{C}_{{{{n}_{{kr}}}}}}(\varepsilon \tau ),$ ${{E}_{n}}(\tau )$ определены в работе [10].

Коэффициенты взаимовлияния между отдельными уравнениями входят в систему (20) с малым параметром. В дальнейшем под точностью порядка ${{\varepsilon }^{2}}$ будем понимать точность, имеющую место после пренебрежения членами с ${{\varepsilon }^{2}}$ и членами вида $\varepsilon F_{{ji}}^{'}(\varepsilon \tau )$, которые несмотря на малость порядка ε на резонансные свойства влияют как члены порядка ${{\varepsilon }^{2}}$. Система (20) с точностью до величин порядка малости ${{\varepsilon }^{2}}$ будет иметь вид

(21)

${{A}_{{1n}}}(\varepsilon \tau )\mu _{n}^{{''}}(\tau ) + 2\varepsilon {{A}_{{2n}}}(\varepsilon \tau )\mu _{n}^{'}(\tau ) + {{A}_{{1n}}}(\varepsilon \tau )\omega _{{0n}}^{2}(\varepsilon \tau ){{\mu }_{n}}(\tau ) = {{\theta }_{n}}(\tau ),$

где

${{\theta }_{n}}(\tau ) = \omega _{{0n}}^{2}(\varepsilon \tau ){{A}_{{1n}}}(\varepsilon \tau ){{\varphi }_{n}}(\tau ) + {{E}_{n}}(\tau ).$

С учетом (5), (14), (19) решение (4) будет иметь вид:

(22)

$U(\xi ,\tau ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\mu }_{n}}(\tau )} X(\xi ,\varepsilon \tau ) + \sum\limits_{k = 1}^2 {\sum\limits_{r = 1}^m {{{F}_{{kr}}}(\tau )} } \left[ {{{D}_{{kr}}}(\xi ,\varepsilon \tau ) + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{Q}_{{{{n}_{{kr}}}}}}(\varepsilon \tau )} {{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau )} \right].$

Теорема 2. Решение задачи (1)–(3) можно представить в форме

(23)

$U(\xi ,\tau ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\mu }_{n}}(\tau )} {{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau ).$

Доказательство. Величины ${{Q}_{{{{n}_{{kr}}}}}}(\varepsilon \tau ),$ определяемые выражением

являются для функции $ - {{D}_{{kr}}}(\xi ,\varepsilon \tau )$ коэффициентами разложения в ряд Фурье по системе ортогональных с весом $g(\xi )$ собственных функций ${{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau )$ на интервале $[{{\ell }_{1}}(\varepsilon \tau ),\;{{\ell }_{2}}(\varepsilon \tau )],$ т.е.

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{Q}_{{{{n}_{{kr}}}}}}(\varepsilon \tau )} {{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau ) = - {{D}_{{kr}}}(\xi ,\varepsilon \tau ).$

Следовательно, выражение в квадратных скобках равенства (22) равно нулю. Теорема доказана.

Для упрощения введем в уравнение (23) новую функцию

${{\mu }_{n}}(\tau ) = {{A}_{{0n}}}(\varepsilon \tau ){{y}_{n}}(\tau ),$

где

${{A}_{{0n}}}(\varepsilon \tau ) = \exp \left[ { - \int\limits_0^\tau {\frac{{\varepsilon {{A}_{{2n}}}(\varepsilon \tau )}}{{{{A}_{{1n}}}(\varepsilon \tau )}}d\tau } } \right].$

Тогда уравнение (21) не будет содержать члена с $y{\kern 1pt} '(\tau )$:

$y_{n}^{{''}}(\tau ) + \omega _{{0n}}^{2}(\varepsilon \tau ){{y}_{n}}(\tau ) = {{\theta }_{n}}(\tau ){\text{/}}[{{A}_{{0n}}}(\varepsilon \tau ){{A}_{{1n}}}(\varepsilon \tau )].$

Начальные условия для функций ${{y}_{n}}(\tau )$ находятся из условий (3) как решения уравнений

(24)

$\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{y}_{n}}(0)} {{X}_{n}}(\xi ,{{\ell }_{j}}(0)) = {{\Phi }_{0}}(\xi ); \\ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\{ y_{n}^{'}(0){{X}_{n}}(\xi ,{{\ell }_{j}}(0)) + \varepsilon {{X}_{{{{n}_{\tau }}}}}(\xi ,{{\ell }_{j}}(0))\ell _{j}^{'}(0){{y}_{n}}(0)\} } = {{\Phi }_{1}}(\xi ). \\ \end{gathered} $

Если в начальный момент движения скорость изменения длины объекта ${{\ell '}_{j}}(0)$ равна нулю, то из (24) получим

(25)

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{y}_{n}}(0)} {{X}_{n}}(\xi ,{{\ell }_{j}}(0)) = {{\Phi }_{0}}(\xi );\quad \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{y'}}_{n}}(0){{X}_{n}}(\xi ,{{\ell }_{j}}(0))} = {{\Phi }_{1}}(\xi ).$

Принимая во внимание, что ${{X}_{n}}(\xi ,\varepsilon \tau )\,$ образуют ортогональную с весом $g(\xi )$ систему функций, из (25) получаем для функций ${{y}_{n}}(0),$ $y_{n}^{'}(0)$ следующие выражения:

(26)

${{y}_{n}}(0) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\int\limits_{{{\ell }_{1}}(0)}^{{{\ell }_{2}}(0)} {{{X}_{n}}(\xi ,{{\ell }_{j}}(0)){{\Phi }_{0}}(\xi )g(\xi )d\xi } } ;\quad y_{n}^{'}(0) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\int\limits_{{{\ell }_{1}}(0)}^{{{\ell }_{2}}(0)} {{{X}_{n}}(\xi ,{{\ell }_{j}}(0)){{\Phi }_{1}}(\xi )g(\xi )d\xi } } .$

Из (26) следует, что ${{y}_{n}}(0)$ и $y_{n}^{'}(0)$ являются коэффициентами разложения в ряд Фурье по функциям ${{X}_{n}}(\xi ,{{\ell }_{j}}(0))\,$ начальных условий (3).

Вопрос о сходимости рядов (18), (23), по крайней мере, в моменты времени, близкие к начальному, может быть разрешен на основании быстроты сходимости разложений (25), т.е. быстроты убывания коэффициентов ${{y}_{n}}(0)$ и $y_{n}^{'}(0).$ Из теории рядов Фурье известно, что порядок убывания коэффициентов разложения зависит от гладкости функций, разлагаемых в ряды. Поэтому при достаточной гладкости функций ${{\Phi }_{0}}(\xi ),$ ${{\Phi }_{1}}(\xi )$, определяющих начальные условия, вопрос о сходимости рядов (18), (23) решается положительно.

Заметим, что начальные условия не влияют на резонансные свойства линейных систем, поэтому принимаются в виде

${{y}_{n}}(0) = 0;\quad y_{n}^{'}(0) = 0.$

Пусть

(27)

$\varphi (\xi ,\tau ) = {{B}_{0}}(\xi )\cos {{W}_{0}}(\tau );$

(28)

${{F}_{{ji}}}(\tau ) = {{B}_{{ji}}}\cos {{W}_{{ji}}}(\tau );\quad j = \overline {1,2;} \quad i = \overline {1,m} ,$

где ${{B}_{{ji}}}$ – постоянные величины; ${{W}_{0}}(\tau )$, ${{W}_{{ji}}}(\tau )$ – монотонно возрастающие функции; ${{B}_{0}}(\xi )$ – функция, характеризующая интенсивность распределенной нагрузки.

Равенства (27), (28) можно принять в следующих случаях:

1) все внешние возмущения $\varphi (\xi ,\tau );$ ${{F}_{{ji}}}(\tau )$ равны нулю, кроме какого-то одного;

2) производные функций ${{W}_{0}}(\tau ),$ ${{W}_{{ji}}}(\tau )$ равны между собой, т.е. сами функции отличаются на постоянную величину;

3) резонансные области нагрузок $\varphi ,\;{{F}_{{ji}}}$ не пересекаются, тогда при рассмотрении резонанса от одной нагрузки действием других можно пренебречь.

Используя математические выкладки, изложенные в работе [10], получаем следующее выражение для полной амплитуды колебаний, соответствующей n-й динамической моде:

(29)

$A_{n}^{2}(\tau ) = \frac{1}{4}A_{{0n}}^{2}(\varepsilon \tau )a_{n}^{2}(\varepsilon \tau )\left\{ {{{{\left[ {\int\limits_0^\tau {{{F}_{n}}(\varepsilon \zeta )\cos {{\Phi }_{n}}(\zeta )d\zeta } } \right]}}^{2}} + {{{\left[ {\int\limits_0^\tau {{{F}_{n}}(\varepsilon \zeta )\sin {{\Phi }_{n}}(\zeta )d\zeta } } \right]}}^{2}}} \right\},$

где

${{a}_{n}}(\varepsilon \tau ) = \frac{1}{{\sqrt {{{\omega }_{{0n}}}(\varepsilon \tau )} }};\quad {{F}_{n}}(\varepsilon \zeta ) = \frac{{{{M}_{n}}(\varepsilon \zeta )}}{{{{a}_{n}}(\varepsilon \zeta )w_{n}^{'}(\zeta )}};\quad {{w}_{n}}(\tau ) = \int\limits_0^\tau {{{\omega }_{{0n}}}(\varepsilon \tau )d\tau ;} $

${{M}_{{nji}}}(\varepsilon \tau ) = \frac{{ - {{B}_{{ji}}}\omega _{{0n}}^{2}(\varepsilon \tau ){{Q}_{{nji}}}(\varepsilon \tau )}}{{{{A}_{{0n}}}(\varepsilon \tau )}};\quad {{\Phi }_{n}}(\zeta ) = {{w}_{n}}(\zeta ) - {{W}_{n}}(\zeta ).$

4. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КАНАТА ГРУЗОПОДЪЕМНОЙ УСТАНОВКИ

В качестве примера рассмотрим поперечные колебания каната грузоподъемной установки, один конец которого наматывается на барабан, а на втором шарнирно закреплен груз. С помощью приведенной модели можно рассчитывать резонансные свойства несущих звеньев широкого круга грузоподъемных машин.

Уравнение, учитывающее изгибную жесткость и натяжение колеблющегося звена, имеет вид (см. [10])

(30)

${{U}_{{tt}}}(x,t) + \frac{{EI}}{\rho }{{U}_{{xxxx}}}(x,t) - {{a}^{2}}{{U}_{{xx}}}(x,t) = 0.$

Граничные условия

(31)

$U(0,t) = 0;\quad {{U}_{{xx}}}(0,t) = 0;$

(32)

$U({{l}_{0}}(t),t) = B\cos {{W}_{0}}({{\omega }_{0}}t);\quad {{U}_{x}}({{l}_{0}}(t),t) = 0.$

В задаче (30)–(32) используются следующие обозначения: $U(x,t)$ – поперечное смещение точки звена с координатой х в момент времени t; I – осевой момент инерции сечения каната; $\rho $ – линейная плотность массы; $a = \sqrt {T{\text{/}}\rho } $ – минимальная скорость распространения волн; Т – сила натяжения; ${{l}_{0}}(t) = {{L}_{0}} - {{v}_{0}}t$ – закон движения границы каната, ${{L}_{0}}$ – первоначальная длина каната, ${{v}_{0}}$ – скорость движения границы; ${{W}_{0}}(z)$ – функция класса ${{C}^{2}}$; $B,\;{{\omega }_{0}}$ – постоянные величины; Е – модуль упругости материала каната.

Введем в задачу (30)–(32) безразмерные переменные:

$\xi = {{{{\omega }_{0}}x} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{0}}x} a}} \right. \kern-0em} a};\quad \tau = {{\omega }_{0}}t + \frac{{{{\omega }_{0}}{{L}_{0}} - a}}{{ - {{v}_{0}}}};\quad U(x,t) = BV(\xi ,\tau ).$

Тогда задача примет вид

(33)

${{V}_{{\tau \tau }}}(\xi ,\tau ) + {{\beta }^{2}}{{V}_{{\xi \xi \xi \xi }}}(\xi ,\tau ) - {{V}_{{\xi \xi }}}(\xi ,\tau ) = 0;$

(34)

$V(0,\tau ) = 0;\quad {{V}_{{\xi \xi }}}(0,\tau ) = 0;$

(35)

$V\left( {l(\varepsilon \tau ),\tau } \right) = \cos W(\tau );\quad {{V}_{\xi }}\left( {l(\varepsilon \tau ),\tau } \right) = 0,$

где

${{\beta }^{2}} = \frac{{EI}}{\rho }\frac{{\omega _{0}^{2}}}{{{{a}^{4}}}};\quad l(\varepsilon \tau ) = 1 + \varepsilon \tau ;\quad W(\tau ) = {{W}_{0}}\left( {\tau - {{\gamma }_{0}}} \right);\quad {{\gamma }_{0}} = \frac{{{{\omega }_{0}}{{L}_{0}} - a}}{{ - {{v}_{0}}}};\quad \varepsilon = - {{{{v}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{v}_{0}}} a}} \right. \kern-0em} a}.$

Заметим, что значение величины $\beta $ в технических задачах обычно не превосходит 0.25.

Интегрируя уравнение (33) по $\xi $ и освобождаясь от неоднородностей в граничных условиях, по аналогии с (4)–(6) получено интегродифференциальное уравнение поперечных колебаний каната переменной длины в виде:

(36)

$V(\xi ,\tau ) = - \int\limits_0^{l(\varepsilon \tau )} {K(\xi ,\zeta ,\varepsilon \tau )\left[ {{{V}_{{\tau \tau }}}(\zeta ,\tau ) + {{H}_{{\tau \tau }}}(\zeta ,\tau )} \right]d\zeta } .$

Ядро уравнения (36) в рассматриваемом случае будет определяться функцией

(37)

$K(\xi ,\zeta ,\varepsilon \tau ) = \left\{ \begin{gathered} {{\left( {\frac{{l(\varepsilon \tau ) - \xi }}{\beta }} \right)}^{2}}\left( {\frac{{l(\varepsilon \tau ) - \xi }}{3} + \frac{{\xi - \zeta }}{2}} \right),\quad \zeta \leqslant \xi , \hfill \\ {{\left( {\frac{{l(\varepsilon \tau ) - \zeta }}{\beta }} \right)}^{2}}\left( {\frac{{l(\varepsilon \tau ) - \zeta }}{3} + \frac{{\zeta - \xi }}{2}} \right),\quad \zeta \geqslant \xi . \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Функция (37) также симметрична относительно аргументов $\xi $ и $\zeta $ и зависит от времени через содержащийся в ней параметр $\varepsilon \tau .$ При фиксированном $l(\varepsilon \tau ) = {\text{const}}$ функция (37) совпадает с функцией влияния прогибов каната постоянной длины.

Таким образом, задача (33)–(35) сводится к интегродифференциальному уравнению (36) с симметричным, изменяющимся во времени ядром (37) и переменными во времени пределами интегрирования.

Решение задачи (36) будем вести в безразмерных переменных в соответствии с методикой, изложенной выше.

В результате для амплитуды колебаний, соответствующих n-й динамической моде, получим следующее выражение:

$A_{n}^{2}(\tau ) = E_{n}^{2}(\varepsilon \tau )\left\{ {{{{\left[ {\int\limits_0^\tau {{{F}_{n}}(\varepsilon \zeta )\cos {{\Phi }_{n}}(\zeta )d\zeta } } \right]}}^{2}} + {{{\left[ {\int\limits_0^\tau {{{F}_{n}}(\varepsilon \zeta )\sin {{\Phi }_{n}}(\zeta )d\zeta } } \right]}}^{2}}} \right\},$

где

$E_{n}^{2}(\varepsilon \tau ) = \frac{1}{{4{{A}_{{1n}}}(\varepsilon \tau ){{\omega }_{{0n}}}(\varepsilon \tau )}};\quad {{\Phi }_{n}}(\zeta ) = {{w}_{n}}(\zeta ) - {{W}_{n}}(\zeta );\quad {{F}_{n}}(\varepsilon \zeta ) = {{Q}_{{{{n}_{{21}}}}}}(\varepsilon \zeta )\sqrt {\omega _{{0n}}^{3}(\varepsilon \zeta ){{A}_{{1n}}}(\varepsilon \zeta ).} $

Явление установившегося резонанса в рассматриваемой системе наблюдается, если

${{W}_{n}}(\tau ) = {{w}_{n}}(\tau ) + \gamma ,$

где $\gamma $ – постоянная величина.

При действии на систему гармонического возмущения с частотой ${{\omega }_{0}},$ когда $W(\tau ) = \tau ,$ на любой из динамических мод может возникнуть явление прохождения через резонанс. Точка резонансной области ${{\tau }_{0}},$ в которой ${{\Phi '}_{n}}({{\tau }_{0}}) = 0$, приближенно определяется по следующей формуле:

${{\tau }_{0}} = \frac{1}{\varepsilon }\left[ {\sqrt {\frac{{2{{\beta }^{2}}}}{{ - 1 + \sqrt {1 + 4{{\beta }^{2}}} }}} \cdot \pi n - 1} \right].$

Для исследования явления прохождения через резонанс необходимо найти значения ${{\tau }_{1}}$ и ${{\tau }_{2}}$, при которых квадрат амплитуды

(38)

$A_{n}^{2}({{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}) = E_{n}^{2}(\varepsilon {{\tau }_{2}})\left\{ {{{{\left[ {\int\limits_{{{\tau }_{1}}}^{{{\tau }_{2}}} {{{F}_{n}}} (\varepsilon \zeta )\cos {{Ф}_{n}}(\zeta )d\zeta } \right]}}^{2}}} \right. + \left. {{{{\left[ {\int\limits_{{{\tau }_{1}}}^{{{\tau }_{2}}} {{{F}_{n}}} (\varepsilon \zeta )\sin {{Ф}_{n}}(\zeta )d\zeta } \right]}}^{2}}} \right\}$

имеет максимум.

С помощью разработанного программного комплекса численно исследована зависимость максимальной амплитуды поперечных колебаний каната при прохождении через резонанс на первой и второй динамических модах от относительной скорости движения границы при различных значениях безразмерного коэффициента, характеризующего жесткость объекта (см. табл. 1).

Таблица 1.

Зависимость амплитуды колебаний ${{A}_{n}}$ от $\varepsilon $ и $\beta $ при прохождении через резонанс на первой и второй динамических модах

Мода	$\beta {{\backslash }}\varepsilon $	0.02	0.04	0.06	0.08
1	0.01	17.3	10.7	8.8	6.7
1	0.2	14.1	9.2	7.3	5.4
2	0.01	12.5	7.7	5.1	4.2
2	0.2	9.3	5.4	4.3	3.7

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:

– при уменьшении $\varepsilon $ амплитуда колебаний увеличивается;

– при $\varepsilon \to 0$ амплитуда колебаний стремится к бесконечности;

– с увеличением номера моды и изгибной жесткости объекта максимальная амплитуда колебаний уменьшается.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приближенный метод построения решений интегродифференциальных уравнений распространен на более широкий класс модельных краевых задач о колебаниях объектов с подвижными границами в линейной постановке, описываемой уравнениями гиперболического типа. Данный метод позволяет учесть влияние на систему сил сопротивления внешней среды, изгибной жесткости и жесткости подложки объекта. Решение задачи сводится к получению квадратурных формул амплитуды колебаний, соответствующих n-й динамической моде. Вышеуказанные результаты позволяют на этапе проектирования предотвратить возможность высокоамплитудных колебаний в механических объектах с подвижными границами.

Список литературы

Колосов Л.B., Жигула Т.И. Продольно-поперечные колебания струны каната подъемной установки // Изв. вузов. Горный журнал. 1981. № 3. С. 83–86.
Zhu W.D., Chen Y. Theoretical and experimental investigation of elevator cable dynamics and control // J. Vibr. Acoust. 2006. № 1. P. 66–78.
Shi Y., Wu L., Wang Y. Нелинейный анализ собственных частот тросовой системы // J. Vibr. Engng. 2006. № 2. P. 173–178.
Горошко О.А., Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. Киев: Наук. думка, 1971. 290 с.
Литвинов В.Л., Анисимов В.Н. Поперечные колебания каната, движущегося в продольном направлении // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2017. Т. 19. № 4. С. 161–165.
Савин Г.Н., Горошко О.А. Динамика нити переменной длины. Киев: Наук. думка, 1962. 332 с.
Liu Z., Chen G. Анализ плоских нелинейных свободных колебаний несущего каната с учетом влияния изгибной жесткости // J. Vibr. Engng. 2007. № 1. P. 57–60.
Palm J. et al. Simulation of mooring cable dynamics using a discontinuous Galerkin method // V Intern. Conference on Comput. Methods in Marine Engng. 2013.
Литвинов В.Л. Исследование свободных колебаний механических объектов с движущимися границами при помощи асимптотического метода // Ж. Средневолжского матем. общества. 2014. Т. 16. № 1. С. 83–88.
Литвинов В.Л., Анисимов В.Н. Математическое моделирование и исследование колебаний одномерных механических систем с движущимися границами: монография / В.Л. Литвинов, В.Н. Анисимов. Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2017. 149 с.
Лежнева А.А. Свободные изгибные колебания балки переменной длины // Ученые записки. Пермь: Пермск. Ун-т, 1966. № 156. С. 143–150.
Wang L., Zhao Y. Multiple internal resonances and non–planar dynamics of shallow suspended cables to the harmonic excitations // J. Sound Vib. 2009. № 1–2. P. 1–14.
Zhao Y., Wang L. On the symmetric modal interaction of the suspended cable: three–to one internal resonance // J. Sound Vib. 2006. № 4–5. P. 1073–1093.
Литвинов В.Л., Анисимов В.Н. Применение метода Канторовича–Галеркина для решения краевых задач с условиями на движущихся границах // Известия Российской академии наук. Механ. твердого тела. 2018. № 2. С. 70–77.
Berlioz A., Lamarque C.-H. A non-linear model for the dynamics of an inclined cable // J. of Sound and Vibration. 2005. V. 279. P. 619–639.
Sandilo S.H., van Horssen W.T. On variable length induced vibrations of a vertical string // J. of Sound and Vibration. 2014. V. 333. P. 2432–2449.
Zhang W., Tang Y. Global dynamics of the cable under combined parametrical and external excitations // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2002. V. 37. P. 505–526.
Faravelli L., Fuggini C., Ubertini F. Toward a hybrid control solution for cable dynamics: Theoretical prediction and experimental validation // Struct. Control Health Monit. 2010. V. 17. P. 386–403.
Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. М.: Физматлит, 2001. 320 с.
Анисимов В.Н., Литвинов В.Л., Корпен И.В. Об одном методе получения аналитического решения волнового уравнения, описывающего колебания систем с движущимися границами // Вестн. Самарского гос. техн. университета. Сер. “Физ.-матем. науки”. 2012. V. 3(28). P. 145–151.
Весницкий А.И. Обратная задача для одномерного резонатора, изменяющего во времени свои размеры // Изв. вузов. Радиофиз. 1971. V. 10. P. 1538–1542.
Барсуков К.А., Григорян Г.А. К теории волновода с подвижными границами // Изв. вузов. Радиофиз. 1976. V. 2. P. 280–285.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал