1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 62, № 6, 2022

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 6, стр. 1042-1055

Гиперболическое сингулярное разложение при исследовании уравнений Янга–Миллса и Янга–Миллса–Прока

Д. С. Широков 1, 2, *

1 Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”
101000 Москва, ул. Мясницкая, 20, Россия

2 Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН
127051 Москва, Большой Каретный пер., 19, Россия

* E-mail: dm.shirokov@gmail.com

Поступила в редакцию 15.11.2021
После доработки 24.12.2021
Принята к публикации 11.02.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе применяется гиперболическое сингулярное разложение при исследовании уравнений Янга–Миллса с SU(2) калибровочной симметрией и уравнений Янга–Миллса–Прока в псевдоевклидовом (или евклидовом) пространстве произвольной конечной размерности и сигнатуры. Предъявлен явный вид всех постоянных решений системы уравнений Янга–Миллса–Прока в случае группы Ли SU(2). Непостоянные решения уравнений Янга–Миллса–Прока рассматриваются в виде рядов из теории возмущений. Библ. 34.

Ключевые слова: уравнения Янга–Миллса, уравнения Янга–Миллса–Прока, гиперболическое сингулярное разложение, сингулярное разложение, SU(2), постоянные решения, псевдоевклидово пространство.

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] была предложена новая формулировка гиперболического сингулярного разложения для произвольной вещественной (или комплексной) матрицы с использованием матриц из псевдоортогональной группы ${\text{O}}(p,q)$ (или псевдоунитарной группы ${\text{U}}(p,q)$ соответственно). Предыдущие версии гиперболического сингулярного разложения работали в общем случае только с использованием гиперобменных матриц (hyperexchange matrices), которые не образуют группу, см. работы [2]–[4] и обсуждение этих работ в [1]. В настоящей работе мы применяем гиперболическое сингулярное разложение в новой формулировке при исследовании уравнений Янга–Миллса с SU(2) калибровочной симметрией и уравнений Янга–Миллса–Прока в псевдоевклидовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$ произвольной размерности и сигнатуры.

Уравнения Янга–Миллса были предложены Ч. Янгом и Р. Миллсом в 1954 г. [5] как математическое обобщение уравнений Максвелла на неабелев случай. Впоследствии (1960–1970 гг.) была построена теория, согласно которой данные уравнения описывают электрослабые взаимодействия в случае группы Ли ${\text{SU}}(2) \times {\text{U}}(1)$ и сильные взаимодействия в случае группы Ли ${\text{SU}}(3)$. Уравнения Максвелла, описывающие электромагнитные взаимодействия, являются частным случаем уравнений Янга–Миллса для абелевой группы Ли ${\text{U}}(1)$. В настоящей статье мы ограничимся рассмотрением случая группы Ли ${\text{SU}}(2)$. Отметим классические работы по некоторым известным классам частных решений уравнений Янга–Миллса [6]–[11] и обзор [12].

В одной из предыдущих работ автора [13] была решена задача о предъявлении явного вида всех постоянных решений уравнений Янга–Миллса с ${\text{SU}}(2)$ калибровочной симметрией с произвольным током в евклидовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{n}}$ произвольной конечной размерности с помощью обычного сингулярного разложения.

В настоящей работе решается задача о предъявлении явного вида всех постоянных решений уравнений Янга–Миллса–Прока в случае группы Ли ${\text{SU}}(2)$ в произвольном псевдоевклидовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$ (или евклидовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{n}}$) с помощью гиперболического сингулярного разложения, являющегося обобщением обычного сингулярного разложения. Непостоянные решения уравнений Янга–Миллса–Прока рассматриваются в виде рядов из теории возмущений, при этом в качестве нулевого приближения берутся постоянные решения.

1. УРАВНЕНИЯ ЯНГА–МИЛЛСА

Пусть $p$, $q$ – целые неотрицательные числа и $n = p + q$ – натуральное число. Рассмотрим псевдоевклидово пространство ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$ (или, как частный случай, евклидово пространство ${{\mathbb{R}}^{n}}$ при $n = p$ и $q = 0$) с декартовыми координатами ${{x}^{\mu }}$, $\mu = 1,\; \ldots ,\;n$. Метрика пространства ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$ задается диагональной матрицей

(1.1)
$\eta = ({{\eta }_{{\mu \nu }}}) = \operatorname{diag} (\underbrace {1,\; \ldots ,\;1}_p,\underbrace { - 1,\; \ldots ,\; - 1}_q),\quad p + q = n.$
Частные производные обозначаем через ${{\partial }_{\mu }} = \partial {\text{/}}\partial {{x}^{\mu }}$. Предполагаем, что все рассматриваемые далее функции от $x \in {{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$ являются достаточно гладкими.

Пусть ${\text{G}}$ есть полупростая группа Ли, а $\mathfrak{g}$ есть вещественная алгебра Ли группы Ли ${\text{G}}$. Алгебра Ли $\mathfrak{g}$ является вещественным векторным пространством размерности $N$ с базисом ${{\tau }^{1}},\; \ldots ,\;{{\tau }^{N}}$. Умножение элементов $\mathfrak{g}$ задается скобкой Ли $[A,B] = - [B,A]$, которая удовлетворяет тождеству Якоби. Умножение базисных элементов задается при помощи вещественных структурных констант $c_{l}^{{rs}} = - c_{l}^{{sr}}$ ($r,s,l = 1,\; \ldots ,\;N$) алгебры Ли $\mathfrak{g}$

(1.2)
$[{{\tau }^{r}},{{\tau }^{s}}] = c_{l}^{{rs}}{{\tau }^{l}}.$
Предполагается, что элементы алгебры Ли $\mathfrak{g}$ и группы Ли ${\text{G}}$ представляются квадратными матрицами соответствующего размера. Скобка Ли задается коммутатором $[A,B] = AB - BA$, где в правой части мы используем матричное умножение.

Через $\mathfrak{g}{\text{T}}_{b}^{a}$ обозначим множество тензорных полей (псевдо)евклидова пространства ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$ типа $(a,b)$ и ранга $a + b$ со значениями в алгебре Ли $\mathfrak{g}$.

Рассмотрим следующие уравнения в псевдоевклидовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$:

(1.3)
${{\partial }_{\mu }}{{A}_{\nu }} - {{\partial }_{\nu }}{{A}_{\mu }} - \rho [{{A}_{\mu }},{{A}_{\nu }}] = {{F}_{{\mu \nu }}},$
(1.4)
${{\partial }_{\mu }}{{F}^{{\mu \nu }}} - \rho [{{A}_{\mu }},{{F}^{{\mu \nu }}}] = {{J}^{\nu }},$
где ${{A}_{\mu }} \in \mathfrak{g}{{{\text{T}}}_{1}}$, ${{J}^{\nu }} \in \mathfrak{g}{{{\text{T}}}^{1}}$, ${{F}_{{\mu \nu }}} = - {{F}_{{\nu \mu }}} \in \mathfrak{g}{{{\text{T}}}_{2}}$, $\rho $ есть вещественная константа (константа связи). Эти уравнения называются уравнениями Янга–Миллса (системой уравнений Янга–Миллса). Обычно предполагается, что ${{A}_{\mu }}$, ${{F}_{{\mu \nu }}}$ – неизвестные, а ${{J}^{\nu }}$ – известный заданный вектор со значениями в алгебре Ли $\mathfrak{g}$. Говорят, что уравнения (1.3), (1.4) определяют поле Янга–Миллса $({{A}_{\mu }},{{F}_{{\mu \nu }}})$, где ${{A}_{\mu }}$ есть потенциал и ${{F}_{{\mu \nu }}}$ есть напряженность поля Янга–Миллса. Вектор ${{J}^{\nu }}$ называется неабелевым током (в случае абелевой группы ${\text{G}}$ вектор ${{J}^{\nu }}$ называется током).

Заметим, что уравнения Янга–Миллса (1.4) могут быть получены стандартным способом из вариационного принципа. Рассмотрим действие $\mathcal{S} = \int \mathcal{L} dx$ для лагранжиана

(1.5)
$\mathcal{L} = - \frac{1}{4}\operatorname{tr} ({{F}^{2}}),\quad {{F}^{2}}: = {{F}^{{\mu \nu }}}{{F}_{{\mu \nu }}},$
где ${{F}_{{\mu \nu }}}$ являются компонентами 2-формы кривизны по отношению к связности ${{A}_{\mu }}$, т.е. связаны по определению уравнениями (1.3). При варьировании действия получаем уравнения (1.4) с нулевым током (${{J}^{\nu }} = 0$). Ток ${{J}^{\nu }}$ в уравнениях (1.4) появляется при добавлении в лагранжиан (1.5) дополнительных слагаемых, связанных с другими (например, скалярными или спинорными) полями.

Компоненты кососимметрического тензорного поля ${{F}_{{\mu \nu }}}$, определенные уравнением (1.3), можно подставить во второе уравнение (1.4) и получить одно уравнение второго порядка для ковекторного потенциала поля Янга–Миллса

(1.6)
${{\partial }_{\mu }}\left( {{{\partial }^{\mu }}{{A}^{\nu }} - {{\partial }^{\nu }}{{A}^{\mu }} - \rho [{{A}^{\mu }},{{A}^{\nu }}]} \right) - \rho \left[ {{{A}_{\mu }},{{\partial }^{\mu }}{{A}^{\nu }} - {{\partial }^{\nu }}{{A}^{\mu }} - \rho [{{A}^{\mu }},{{A}^{\nu }}]} \right] = {{J}^{\nu }}.$
Посмотрим на уравнения (1.3), (1.4) с другой точки зрения. Пусть ${{A}_{\mu }} \in \mathfrak{g}{{{\text{T}}}_{1}}$ есть произвольный ковектор со значениями в $\mathfrak{g}$, который гладко зависит от $x \in {{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$. Через ${{F}_{{\mu \nu }}}$ обозначим выражение
(1.7)
${{F}_{{\mu \nu }}}: = {{\partial }_{\mu }}{{A}_{\nu }} - {{\partial }_{\nu }}{{A}_{\mu }} - \rho [{{A}_{\mu }},{{A}_{\nu }}]$
и через ${{J}^{\nu }}$ обозначим выражение
${{J}^{\nu }}: = {{\partial }_{\mu }}{{F}^{{\mu \nu }}} - \rho [{{A}_{\mu }},{{F}^{{\mu \nu }}}].$
Можем проверить, что
(1.8)
${{\partial }_{\nu }}{{J}^{\nu }} - \rho [{{A}_{\nu }},{{J}^{\nu }}] = 0.$
Это тождество называется неабелевым законом сохранения (в случае абелевой группы Ли ${\text{G}}$ имеем обычный закон сохранения ${{\partial }_{\nu }}{{J}^{\nu }} = 0$, т.е. дивергенция вектора ${{J}^{\nu }}$ равна нулю). Следовательно, неабелев закон сохранения (1.8) является следствием уравнений Янга–Миллса (1.3), (1.4).

Рассмотрим тензорные поля ${{A}_{\mu }}$, ${{F}_{{\mu \nu }}}$, ${{J}^{\nu }}$, которые удовлетворяют уравнениям Янга–Миллса (1.3), (1.4). Возьмем скалярное поле со значениями в группе Ли $S = S(x) \in {\text{G}}$ и рассмотрим преобразованные тензорные поля

$A{{_{\mu }^{'}}_{{}}} = {{S}^{{ - 1}}}{{A}_{\mu }}S - {{S}^{{ - 1}}}{{\partial }_{\mu }}S,$
(1.9)
$F_{{\mu \nu }}^{'} = {{S}^{{ - 1}}}{{F}_{{\mu \nu }}}S,$
${{J}^{{'\nu }}} = {{S}^{{ - 1}}}{{J}^{\nu }}S.$
Эти тензорные поля удовлетворяют тем же самым уравнениям Янга–Миллса
${{\partial }_{\mu }}A_{\nu }^{'} - {{\partial }_{\nu }}A_{\mu }^{'} - \rho [A_{\mu }^{'},A_{\nu }^{'}] = F_{{\mu \nu }}^{'},$
${{\partial }_{\mu }}{{F}^{{'\mu \nu }}} - \rho [A_{\mu }^{'},{{F}^{{'\mu \nu }}}] = {{J}^{'}}^{\nu },$
т.е. уравнения (1.3), (1.4) инвариантны по отношению к преобразованиям (1.9). Преобразование (1.9) называется калибровочным преобразованием (или калибровочной симметрией), а группа Ли ${\text{G}}$ называется калибровочной группой уравнений Янга–Миллса (1.3), (1.4).

2. СЛУЧАЙ ГРУППЫ ЛИ SU(2)

Далее в настоящей работе будем рассматривать частный случай группы Ли SU(2), который важен при описании слабых взаимодействий. В предлагаемой далее теореме 1 о симметрии SU(2)-уравнений Янга–Миллса существенным образом используется двулистное накрытие ортогональной группы SO(3) спинорной группой ${\text{Spin(3)}} \cong {\text{SU(2)}}$. Таким образом, предлагаемые в данной работе методы напрямую не работают для другого, важного с физической точки зрения, случая группы Ли SU(3).

Будем рассматривать специальную унитарную группу

(2.1)
${\text{G}} = {\text{SU}}(2) = \{ A \in {\text{Mat}}(2,\mathbb{C})|{{A}^{\dag }}A = I,\;\det A = 1\} ,\quad \dim G = 3,$
и соответствующую алгебру Ли антиэрмитовых матриц с нулевым следом
(2.2)
$\mathfrak{g} = \mathfrak{s}\mathfrak{u}(2) = \{ A \in {\text{Mat}}(2,\mathbb{C})\,|\,{{A}^{\dag }} = - A,\;\operatorname{tr} A = 0\} .$
Здесь и далее единичную матрицу соответствующего размера обозначаем через $I$. Как известно, матрицы Паули ${{\sigma }^{a}}$, $a = 1,\;2,\;3$:
(2.3)
${{\sigma }^{1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ 1&0 \end{array}} \right),\quad {{\sigma }^{2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - i} \\ i&0 \end{array}} \right),\quad {{\sigma }^{3}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&{ - 1} \end{array}} \right)$
удовлетворяют соотношениям
${{({{\sigma }^{a}})}^{\dag }} = {{\sigma }^{a}},\quad \operatorname{tr} {{\sigma }^{a}} = 0,\quad \{ {{\sigma }^{a}},{{\sigma }^{b}}\} = 2{{\delta }^{{ab}}}I,\quad [{{\sigma }^{a}},{{\sigma }^{b}}] = 2i\epsilon _{с}^{{ab}}{{\sigma }^{c}},$
где $\epsilon _{с}^{{ab}} = {{\epsilon }^{{abc}}}$ есть полностью антисимметричный единичный тензор (символ Леви-Чивиты), ${{\epsilon }^{{123}}} = 1$. В качестве базиса алгебры Ли $\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$ можем взять
(2.4)
${{\tau }^{1}} = \frac{1}{{2i}}{{\sigma }^{1}},\quad {{\tau }^{2}} = \frac{1}{{2i}}{{\sigma }^{2}},\quad {{\tau }^{3}} = \frac{1}{{2i}}{{\sigma }^{3}}.$
Для элементов базиса имеем
(2.5)
${{({{\tau }^{a}})}^{\dag }} = - {{\tau }^{a}},\quad \operatorname{tr} {{\tau }^{a}} = 0,\quad [{{\tau }^{a}},{{\tau }^{b}}] = \epsilon _{c}^{{ab}}{{\tau }^{c}},$
т.е. структурными константами алгебры Ли $\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$ в данном случае выступают символы Леви-Чивиты.

Запишем разложение потенциала и тока Янга–Миллса по базису алгебры Ли $\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$:

(2.6)
${{A}^{\mu }} = A_{a}^{\mu }{{\tau }^{a}},\quad {{J}^{\mu }} = J_{a}^{\mu }{{\tau }^{a}},\quad A_{a}^{\mu },J_{a}^{\mu } \in \mathbb{R}.$
Здесь и далее латинские индексы пробегают значения $a = 1,\;2,\;3$ (так как размерность группы Ли ${\text{SU}}(2)$ равна 3), греческие индексы пробегают значения $\mu = 1,\;2,\; \ldots ,\;n$ (так как размерность псевдоевклидова пространства ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$ равна $p + q = n$).

Левая часть уравнений Янга–Миллса (1.6) при подстановке (2.6) приобретает вид

$\begin{gathered} {{\tau }^{a}}{{\partial }_{\mu }}({{\partial }^{\mu }}A_{a}^{\nu } - {{\partial }^{\nu }}A_{a}^{\mu }) - \rho {{\partial }_{\mu }}(A_{a}^{\mu }A_{b}^{\nu })[{{\tau }^{a}},{{\tau }^{b}}] - \rho {{\eta }_{{\mu \alpha }}}A_{a}^{\alpha }({{\partial }^{\mu }}A_{b}^{\nu } - {{\partial }^{\nu }}A_{b}^{\mu })[{{\tau }^{a}},{{\tau }^{b}}] + \\ + \;{{\rho }^{2}}{{\eta }_{{\mu \alpha }}}A_{c}^{\alpha }A_{a}^{\mu }A_{b}^{\nu }[{{\tau }^{c}},[{{\tau }^{a}},{{\tau }^{b}}]] = \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} = \;{{\tau }^{a}}{{\partial }_{\mu }}({{\partial }^{\mu }}A_{a}^{\nu } - {{\partial }^{\nu }}A_{a}^{\mu }) - \rho \epsilon _{c}^{{ab}}{{\tau }^{c}}({{\partial }_{\mu }}(A_{a}^{\mu }A_{b}^{\nu }) + {{\eta }_{{\mu \alpha }}}A_{a}^{\alpha }({{\partial }^{\mu }}A_{b}^{\nu } - {{\partial }^{\nu }}A_{b}^{\mu })) + \\ + \;{{\rho }^{2}}{{\eta }_{{\mu \alpha }}}A_{c}^{\alpha }A_{a}^{\mu }A_{b}^{\nu }\epsilon _{d}^{{ab}}[{{\tau }^{c}},{{\tau }^{d}}] = \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} = \;{{\tau }^{a}}{{\partial }_{\mu }}({{\partial }^{\mu }}A_{a}^{\nu } - {{\partial }^{\nu }}A_{a}^{\mu }) - \rho \epsilon _{c}^{{ab}}{{\tau }^{c}}({{\partial }_{\mu }}(A_{a}^{\mu }A_{b}^{\nu }) + {{\eta }_{{\mu \alpha }}}A_{a}^{\alpha }({{\partial }^{\mu }}A_{b}^{\nu } - {{\partial }^{\nu }}A_{b}^{\mu })) + \\ + \;{{\rho }^{2}}{{\eta }_{{\mu \alpha }}}A_{c}^{\alpha }A_{a}^{\mu }A_{b}^{\nu }\epsilon _{d}^{{ab}}\epsilon _{k}^{{cd}}{{\tau }^{k}}. \\ \end{gathered} $
В итоге уравнения (1.6) принимают вид
(2.7)
$\begin{gathered} {{\partial }_{\mu }}({{\partial }^{\mu }}A_{k}^{\nu } - {{\partial }^{\nu }}A_{k}^{\mu }) - \rho \epsilon _{k}^{{ab}}({{\partial }_{\mu }}(A_{a}^{\mu }A_{b}^{\nu }) + {{\eta }_{{\mu \alpha }}}A_{a}^{\alpha }({{\partial }^{\mu }}A_{b}^{\nu } - {{\partial }^{\nu }}A_{b}^{\mu })) + \\ + \;{{\rho }^{2}}{{\eta }_{{\mu \alpha }}}A_{c}^{\alpha }A_{a}^{\mu }A_{b}^{\nu }\epsilon _{d}^{{ab}}\epsilon _{k}^{{cd}} = J_{k}^{\nu }. \\ \end{gathered} $
Система (2.7) является системой $3n$ уравнений ($k = 1,\;2,\;3$, $\nu = 1,\;2,\; \ldots ,\;n$) для $3n$ функций $A_{k}^{\nu }$ и $3n$ функций $J_{k}^{\nu }$. Будет удобно воспринимать систему уравнений (2.7) как систему уравнений для элементов двух матриц $A = (A_{k}^{\mu })$ и $J = (J_{k}^{\nu })$ размера $n \times 3$. Далее мы будем часто считать, что матрица тока $J$ задана либо зависит от неизвестной матрицы потенциала $A$ некоторым заданным образом (например, в случае уравнений Янга–Миллса–Прока имеем $J = - {{m}^{2}}A$).

Теорема 1. Система уравнений (2.7) инвариантна относительно преобразований вида

(2.8)
$A \to \hat {A} = QA,\quad J \to \hat {J} = QJ,\quad Q \in {\text{O}}(p,q),$
и преобразований вида
(2.9)
$A \to A{\kern 1pt} {\text{'}} = AP + \Omega ,\quad J \to J{\kern 1pt} {\text{'}} = JP,\quad P = (p_{b}^{a}) \in {\text{SO}}(3),$
где

$\Omega = \Omega (P) = (\omega _{d}^{\mu }),\quad \omega _{d}^{\mu } = \frac{1}{8}{{\delta }_{{ac}}}\epsilon _{d}^{{bk}}(p_{k}^{c}\partial _{{}}^{\mu }p_{b}^{a} - p_{k}^{a}\partial _{{}}^{\mu }p_{b}^{c}).$

Доказательство. Инвариантность первого типа имеет место в силу инвариантности уравнений Янга–Миллса относительно псевдоортогональных замен координат пространства ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$. А именно, рассмотрим преобразование координат ${{x}^{\mu }} \to {{\hat {x}}^{\mu }} = q_{\nu }^{\mu }{{x}^{\nu }}$, где $Q = (q_{\nu }^{\mu }) \in {\text{O}}(p,q).$ Величины ${{A}^{\mu }}$, ${{J}^{\mu }}$, входящие в уравнения (1.6), являются тензорными, т.е. преобразуются по правилу

${{A}^{\mu }} \to {{\hat {A}}^{\nu }} = q_{\mu }^{\nu }{{A}^{\mu }} = q_{\mu }^{\nu }A_{a}^{\mu }{{\tau }^{a}} = \hat {A}_{a}^{\nu }{{\tau }^{a}},\quad A_{a}^{\nu } \to \hat {A}_{a}^{\nu } = q_{\mu }^{\nu }A_{a}^{\mu },$
${{J}^{\mu }} \to {{\hat {J}}^{\nu }} = q_{\mu }^{\nu }{{J}^{\mu }} = q_{\mu }^{\nu }J_{a}^{\mu }{{\tau }^{a}} = \hat {J}_{a}^{\nu }{{\tau }^{a}},\quad J_{a}^{\nu } \to \hat {J}_{a}^{\nu } = q_{\mu }^{\nu }J_{a}^{\mu }.$
Получаем инвариантность уравнений (2.7) при преобразовании (2.8).

Система уравнений Янга–Миллса инвариантна относительно калибровочных преобразований (1.9). Интересующие нас величины преобразуются по правилам

$A_{\mu }^{'} = {{S}^{{ - 1}}}{{A}_{\mu }}S - {{S}^{{ - 1}}}{{\partial }_{\mu }}S,\quad J{\kern 1pt} {{'}^{\nu }} = {{S}^{{ - 1}}}{{J}^{\nu }}S.$
По теореме о двулистном накрытии группы ${\text{SO}}(3)$ спинорной группой ${\text{Spin}}(3) \cong {\text{SU}}(2)$ имеем
(2.10)
${{S}^{{ - 1}}}{{\tau }^{a}}S = p_{b}^{a}{{\tau }^{b}},\quad S \in {\text{SU}}(2),\quad P = (p_{b}^{a}) \in {\text{SO}}(3).$
Для каждой матрицы $P \in {\text{SO}}(3)$ существуют ровно две матрицы $ \pm S \in {\text{SU}}(2)$, связанные формулой (2.10) (см., например, [14]–[16]).

Для преобразованного тока получаем

$J{\kern 1pt} {{'}^{\mu }} = {{S}^{{ - 1}}}J_{a}^{\mu }{{\tau }^{a}}S = J_{a}^{\mu }{{S}^{{ - 1}}}{{\tau }^{a}}S = J_{a}^{\mu }p_{b}^{a}{{\tau }^{b}} = J_{b}^{{'\mu }}{{\tau }^{b}},\quad J_{b}^{{'\mu }} = J_{a}^{\mu }p_{b}^{a}.$
Для потенциала преобразование содержит также слагаемое со спиновой связностью ${{C}_{\mu }} = - {{S}^{{ - 1}}}{{\partial }_{\mu }}S$. Можем воспользоваться выражением для этой величины из работ [17], [18]
${{C}_{\mu }} = - {{S}^{{ - 1}}}{{\partial }_{\mu }}S = \frac{1}{4}({{\partial }_{\mu }}{{h}^{a}}){{h}_{a}},\quad {{h}^{a}}: = {{S}^{{ - 1}}}{{\tau }^{a}}S = p_{b}^{a}{{\tau }^{b}}$
и получить
${{C}_{\mu }} = - {{S}^{{ - 1}}}{{\partial }_{\mu }}S = \frac{1}{4}{{\partial }_{\mu }}(p_{b}^{a}{{\tau }^{b}}){{\delta }_{{ac}}}p_{k}^{c}{{\tau }^{k}} = \frac{1}{8}{{\delta }_{{ac}}}\epsilon _{d}^{{bk}}(p_{k}^{c}{{\partial }_{\mu }}p_{b}^{a} - p_{k}^{a}{{\partial }_{\mu }}p_{b}^{c}){{\tau }^{d}} = {{\omega }_{{\mu d}}}{{\tau }^{d}},$
где мы воспользовались тем, что ${{P}^{{\text{т}}}}P = I$, т.е.
$p_{b}^{a}p_{k}^{c}{{\delta }_{{ac}}} = {{\delta }_{{bk}}},\quad ({{\partial }_{\mu }}p_{b}^{a})p_{k}^{c}{{\delta }_{{ac}}} + p_{b}^{a}({{\partial }_{\mu }}p_{k}^{c}){{\delta }_{{ac}}} = 0.$
Получаем инвариантность уравнений (2.7) по отношению к преобразованию (2.9). Теорема доказана.

Если совместить два преобразования из предыдущей теоремы, то получим инвариантность по отношению к преобразованию

(2.11)
$A \to QAP + \Omega ,\quad J \to QJP,\quad Q \in {\text{O}}(p,q),\quad P \in {\text{SO}}(3),\quad \Omega = \Omega (P).$
Умножение матрицы слева на псевдоортогональную матрицу и справа на ортогональную матрицу позволяет преобразовать ее к каноническому виду с большим количеством нулей. Для этого воспользуемся новой формулировкой гиперболического сингулярного разложения, предложенной в [1].

3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

Приведем формулировку гиперболического сингулярного разложения для произвольной вещественной матрицы, предложенную в [1]. Данная теорема обобщает результаты работ [2]–[4], где вместо псевдоортогональных матриц использовались гиперобменные матрицы, которые не образуют группу. Через ${\text{O}}$ здесь и далее обозначаем нулевые блоки матриц соответствующих размеров.

Теорема 2 (гиперболическое сингулярное разложение, см. [1]). Зафиксируем матрицу (1.1). Для произвольной вещественной матрицы $A \in {\text{Ma}}{{{\text{t}}}_{{n \times N}}}(\mathbb{R})$ существуют матрицы $R \in {\text{O}}(N)$ и $L \in {\text{O}}(p,q)$ такие, что

(3.1)
${{L}^{{\text{т}}}}AR = {{\Sigma }^{A}},\quad {{\Sigma }^{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{X}_{x}}}&{\text{O}}&{\text{O}}&{\text{O}} \\ {\text{O}}&{\text{O}}&{{{I}_{d}}}&{\text{O}} \\ {\text{O}}&{\text{O}}&{\text{O}}&{\text{O}} \\ \hline {\text{O}}&{{{Y}_{y}}}&{\text{O}}&{\text{O}} \\ {\text{O}}&{\text{O}}&{{{I}_{d}}}&{\text{O}} \\ {\text{O}}&{\text{O}}&{\text{O}}&{\text{O}} \end{array}} \right){\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}} {\left. \begin{gathered} {\kern 1pt} \hfill \\ {\kern 1pt} \hfill \\ {\kern 1pt} \hfill \\ \end{gathered} \right\}p} \\ {\left. \begin{gathered} {\kern 1pt} \hfill \\ {\kern 1pt} \hfill \\ {\kern 1pt} \hfill \\ \end{gathered} \right\}q} \end{array} \in {\text{Ma}}{{{\text{t}}}_{{n \times N}}}(\mathbb{R}),$
где первый блок матрицы ${{\Sigma }^{A}}$ имеет $p$ строк, а второй блок имеет $q$ строк, ${{X}_{x}}$ и ${{Y}_{y}}$ есть диагональные матрицы соответствующих размеров $x$ и $y$ со всеми положительными, однозначно определенными диагональными элементами (с точностью до перестановки), ${{I}_{d}}$ есть единичная матрица размера $d$.

Более того, выбирая $R$, можно менять местами столбцы матрицы ${{\Sigma }^{A}}$. Выбирая $L$, можно менять строки в каждом из блоков, но не между блоками. Таким образом, мы можем всегда разместить диагональные элементы матриц ${{X}_{x}}$ и ${{Y}_{y}}$ в порядке убывания.

Имеем

$d = \operatorname{rank} (A) - \operatorname{rank} ({{A}^{{\text{т}}}}\eta A),\quad x + y = \operatorname{rank} ({{A}^{{\text{т}}}}\eta A),$
$x$ есть число положительных собственных значений матрицы ${{A}^{{\text{т}}}}\eta A$, $y$ есть число отрицательных собственных значений матрицы ${{A}^{{\text{т}}}}\eta A$.

Будем называть матрицу ${{\Sigma }^{A}}$ (3.1) каноническим видом матрицы $A$, а элементы диагональных блоков $X$ и $Y$ гиперболическими сингулярными значениями. Далее считаем, что элементы каждого из этих блоков упорядочены в порядке убывания.

В [1] представлен также алгоритм вычисления матриц ${{\Sigma }^{A}}$, $L$ и $R$. Гиперболические сингулярные значения есть квадратные корни из модулей собственных значений матрицы ${{A}^{{\text{т}}}}\eta A$. Столбцы матрицы $R$ есть собственные векторы матрицы ${{A}^{{\text{т}}}}\eta A$. Столбцы матрицы $L$ есть собственные векторы матрицы $\eta A{{A}^{{\text{т}}}}$ (в случае $d = 0$) и собственные и присоединенные векторы матрицы $\eta A{{A}^{{\text{т}}}}$ (в случае $d \ne 0$). Матрицы $L$ и $R$ определяются неоднозначно.

Отметим, что стандартное сингулярное разложение является частным случаем гиперболического сингулярного разложения. В случае $n = p$ и $q = 0$ параметр $d$ всегда равен нулю $d = \operatorname{rank} (A) - \operatorname{rank} ({{A}^{{\text{т}}}}A) = 0$. В данном частном случае получаем классическую теорему о сингулярном разложении. Сингулярное разложение было впервые открыто независимо Э. Бельтрами [19] в 1873 г. и К. Жорданом [20], [21] в 1874 г. Далее приведем современную формулировку этой теоремы, которую можно найти, например, в [22], [23].

Теорема 3 (сингулярное разложение). Для произвольной вещественной матрицы $A \in {\text{Ma}}{{{\text{t}}}_{{n \times N}}}(\mathbb{R})$ существуют такие ортогональные матрицы $Q \in {\text{O}}(n)$ и $P \in {\text{O}}(N)$, что

${{L}^{{\text{т}}}}AR = D,$
где

$D = \operatorname{diag} ({{\mu }_{1}},\; \ldots ,\;{{\mu }_{s}}) \in {\text{Ma}}{{{\text{t}}}_{{n \times N}}}(\mathbb{R}),\quad s = \min (n,N),\quad {{\mu }_{1}} \geqslant {{\mu }_{2}} \geqslant \; \ldots \; \geqslant {{\mu }_{s}} \geqslant 0.$

Числа ${{\mu }_{1}},\; \ldots ,\;{{\mu }_{s}}$ называются сингулярными значениями, они являются квадратными корнями из собственных значений матрицы ${{A}^{{\text{т}}}}A$. Столбцы матрицы $R$ называются правыми сингулярными векторами и являются собственными векторами для матрицы ${{A}^{{\text{т}}}}A$, а столбцы матрицы $L$ называются левыми сингулярными векторами и являются собственными векторами для матрицы $A{{A}^{{\text{т}}}}$.

В общем случае, рассматривая систему уравнений Янга–Миллса (2.7) и выбирая нужным образом матрицы $Q \in {\text{O}}(p,q)$ и $P \in {\text{SO}}(3)$ в преобразовании (2.11), можно локально (в окрестности каждой точки $x \in {{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$) преобразовать матрицу тока $J$ к каноническому виду из теоремы 2 (в случае евклидова пространства – из теоремы 3). В теоремах 2 и 3 берем в качестве матриц $R$ и $L$ матрицы $P \in {\text{SO}}(3)$ и ${{Q}^{{\text{т}}}} \in {\text{O}}(p,q)$ из преобразования (2.11) соответственно. Заметим, что мы всегда можем выбрать матрицу $R$ из специальной ортогональной группы ${\text{SO}}(3)$. Если матрица $R$ из теорем 2 и 3 имеет определитель, равный $ - 1$, то можно поменять знак у всех столбцов матриц $L$ и $R$ одновременно, и определитель станет равным $ + 1$. Матрица $A$ при этом будет не обязательно канонического вида, так как преобразование (2.11) содержит матрицу $\Omega $, зависящую от матрицы $P$.

Обсудим также частный случай системы уравнений Янга–Миллса (1.6) для постоянных (не зависящих от $x \in {{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$) решений. В данном случае система (1.6) приобретает вид

(3.2)
$[{{A}_{\mu }},[{{A}^{\mu }},{{A}^{\nu }}]] = \frac{1}{{{{\rho }^{2}}}}{{J}^{\nu }}.$
Уравнения (2.7) приобретают вид
(3.3)
${{\rho }^{2}}{{\eta }_{{\mu \alpha }}}A_{c}^{\alpha }A_{a}^{\mu }A_{b}^{\nu }\epsilon _{d}^{{ab}}\varepsilon _{k}^{{cd}} = J_{k}^{\nu }.$
Рассмотрим (глобальные) преобразования, аналогичные калибровочным преобразованиям (1.9), но с матрицей $S \in {\text{SU}}(2)$, не зависящей от $x \in {{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$:
(3.4)
$A_{\mu }^{'} = {{S}^{{ - 1}}}{{A}_{\mu }}S,\quad F_{{\mu \nu }}^{'} = {{S}^{{ - 1}}}{{F}_{{\mu \nu }}}S,\quad J{\kern 1pt} {{'}^{\nu }} = {{S}^{{ - 1}}}{{J}^{\nu }}S.$
В преобразованиях (2.9) и (2.11) получаем $\Omega = 0$, они становятся глобальными симметриями. Пользуясь глобальной симметрией
(3.5)
$A \to QAP,\quad J \to QJP,\quad Q \in {\text{O}}(p,q),\quad P \in {\text{SO}}(3),$
можем привести матрицы $A$ и $J$ к каноническому виду одновременно. Это доказывается в работе [13], там же дано общее решение системы уравнений Янга–Миллса для постоянных решений (3.3) в случае евклидова пространства ${{\mathbb{R}}^{n}}$ и произвольного тока $J$ с помощью обычного сингулярного разложения. В случае псевдоевклидова пространства аналогичную задачу можно решить, используя гиперболическое сингулярное разложение, это будет сделано в одной из следующих работ.

Отметим, что случай нулевого тока для постоянных решений уравнений Янга–Миллса рассмотрен в работах [24], [25]. Решения в виде плоских волн уравнений ${\text{SU}}(2)$ Янга–Миллса в произвольном псевдоевклидовом пространстве представлены в работе [26], данные решения сводятся к обсуждаемой задаче о постоянных решениях. Некоторые частные классы решений уравнений Янга–Миллса в формализме алгебр Клиффорда и алгебр Атьи–Келера, связанные с постоянными решениями, представлены в [17], [27], [28].

В данной работе найдем все постоянные решения системы уравнений ${\text{SU}}(2)$ Янга–Миллса–Прока, которую можно интерпретировать как систему уравнений Янга–Миллса с током, зависящим от потенциала.

4. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ${\text{SU}}(2)$ ЯНГА–МИЛЛСА–ПРОКА

Уравнения Прока были предложены в работе [29] в 1936 г. как обобщение уравнений Максвелла. Данные уравнения отличаются от уравнений Максвелла наличием слагаемого с квадратом массы. Предполагается, что уравнения Прока описывают массивные частицы со спином 1. Уравнения Янга–Миллса–Прока являются естественным аналогом уравнений Прока в неабелевом случае, т.е. являются обобщением уравнений Янга–Миллса и уравнений Прока одновременно, и рассматриваются, например, в работах [30], [31].

Система уравнений Янга–Миллса–Прока в псевдоевклидовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$ (или, в частном случае, евклидовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{n}}$) имеет вид

(4.1)
${{\partial }_{\mu }}{{A}_{\nu }} - {{\partial }_{\nu }}{{A}_{\mu }} - \rho [{{A}_{\mu }},{{A}_{\nu }}] = {{F}_{{\mu \nu }}},$
(4.2)
${{\partial }_{\mu }}{{F}^{{\mu \nu }}} - \rho [{{A}_{\mu }},{{F}^{{\mu \nu }}}] + {{m}^{2}}{{A}^{\nu }} = 0.$
Данные уравнения отличаются от уравнений Янга–Миллса (1.3), (1.4) наличием слагаемого ${{m}^{2}}{{A}^{\nu }}$ с массой $m \in \mathbb{R}$. Имеем ${{A}_{\mu }} \in \mathfrak{g}{{{\text{T}}}_{1}}$, ${{J}^{\nu }} \in \mathfrak{g}{{{\text{T}}}^{1}}$, ${{F}_{{\mu \nu }}} = - {{F}_{{\nu \mu }}} \in \mathfrak{g}{{{\text{T}}}_{2}}$, $\rho \in \mathbb{R}$. Если масса равна нулю $m = 0$, то уравнения (4.1), (4.2) совпадают с уравнениями Янга–Миллса (1.3), (1.4) с нулевым током ${{J}^{\nu }} = 0$. Будем далее рассматривать случай $m \ne 0$.

Лагранжиан поля Янга–Миллса–Прока имеет вид

(4.3)
$\mathcal{L} = - \frac{1}{4}F_{a}^{{\mu \nu }}{{F}_{{\mu \nu a}}} + \frac{1}{2}{{m}^{2}}A_{a}^{\nu }{{A}_{{\nu a}}},$
где компоненты ${{F}^{{\mu \nu }}} = F_{a}^{{\mu \nu }}{{\tau }^{a}}$ имеют вид (4.1). При варьировании действия $\mathcal{S} = \int {\mathcal{L}dx} $ получаем уравнения (4.2).

Для потенциала ${{A}^{\mu }}$ из уравнений (4.1), (4.2) получаем условие обобщенной калибровки

(4.4)
${{\partial }_{\mu }}{{A}^{\mu }} = 0.$
Заметим, что данное условие является аналогом неабелева закона сохранения (1.8) для уравнений Янга–Миллса (1.3), (1.4). Уравнения Янга–Миллса–Прока (4.1), (4.2) можно интерпретировать как уравнения Янга–Миллса с током ${{J}^{\nu }} = - {{m}^{2}}{{A}^{\nu }}$, зависящим от потенциала. Подставляя ${{J}^{\nu }} = - {{m}^{2}}{{A}^{\nu }}$ в (1.8), получаем (4.4).

Подставляя (4.1) в (4.2), получаем

(4.5)
${{\partial }_{\mu }}\left( {{{\partial }^{\mu }}{{A}^{\nu }} - {{\partial }^{\nu }}{{A}^{\mu }} - \rho [{{A}^{\mu }},{{A}^{\nu }}]} \right) - \rho \left[ {{{A}_{\mu }},{{\partial }^{\mu }}{{A}^{\nu }} - {{\partial }^{\nu }}{{A}^{\mu }} - \rho [{{A}^{\mu }},{{A}^{\nu }}]} \right] + {{m}^{2}}{{A}^{\nu }} = 0,$
что, с учетом (4.4), можно переписать в виде
(4.6)
${{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}{{A}^{\nu }} - 2\rho [{{A}^{\mu }},{{\partial }_{\mu }}{{A}^{\nu }}] + \rho [{{A}_{\mu }},{{\partial }^{\nu }}{{A}^{\mu }}] + {{\rho }^{2}}[{{A}_{\mu }},[{{A}^{\mu }},{{A}^{\nu }}]] + {{m}^{2}}{{A}^{\nu }} = 0.$
Заметим, что система уравнений (4.1), (4.2) не является калибровочно инвариантной относительно преобразований (1.9) (так же как не являются калибровочно инвариантными уравнения Прока [29], являющиеся обобщением уравнений Максвелла). Однако система уравнений Янга–Миллса–Прока (4.1), (4.2) инвариантна относительно глобального (не зависящего от $x \in {{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$) преобразования

(4.7)
${{A}_{\mu }} \to A_{\mu }^{'} = {{S}^{{ - 1}}}{{A}_{\mu }}S,\quad {{F}_{{\mu \nu }}} \to F_{{\mu \nu }}^{'} = {{S}^{{ - 1}}}{{F}_{{\mu \nu }}}S,\quad S \in {\text{G}}.$

При отыскании постоянных решений уравнений Янга–Миллса–Прока, получаем систему уравнений

(4.8)
$[{{A}_{\mu }},[{{A}^{\mu }},{{A}^{\nu }}]] = - \lambda {{A}^{\nu }},\quad \lambda = \frac{{{{m}^{2}}}}{{{{\rho }^{2}}}} > 0,$
которую можно интерпретировать как систему уравнений Янга–Миллса для постоянных решений с током ${{J}^{\nu }} = - \lambda {{A}^{\nu }}$, зависящим от потенциала ${{A}^{\nu }}$.

Далее будем рассматривать случай группы Ли ${\text{G}} = {\text{SU}}(2)$ и соответствующей (вещественной) алгеброй Ли $\mathfrak{g} = \mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$. Фиксируя базис алгебры Ли $\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$ (2.4), перепишем систему уравнений (4.6) в виде

(4.9)
${{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}A_{k}^{\nu } - 2\rho \epsilon _{k}^{{ab}}A_{a}^{\mu }{{\partial }_{\mu }}A_{b}^{\nu } + \rho \epsilon _{k}^{{ab}}{{\eta }_{{\mu \alpha }}}A_{a}^{\alpha }{{\partial }^{\nu }}A_{b}^{\mu } + {{\rho }^{2}}{{\eta }_{{\mu \alpha }}}A_{c}^{\alpha }A_{a}^{\mu }A_{b}^{\nu }\epsilon _{d}^{{ab}}\epsilon _{k}^{{cd}} + {{m}^{2}}A_{k}^{\nu } = 0.$
Система уравнений для постоянных решений (4.8) примет вид
(4.10)
${{\eta }_{{\mu \alpha }}}A_{c}^{\alpha }A_{a}^{\mu }A_{b}^{\nu }\epsilon _{d}^{{ab}}\epsilon _{k}^{{cd}} = - \lambda A_{k}^{\nu },\quad \lambda = \frac{{{{m}^{2}}}}{{{{\rho }^{2}}}} > 0.$
Система уравнений (4.10) инвариантна относительно преобразования
(4.11)
$A \to QAP,\quad Q \in {\text{O}}(p,q),\quad P \in {\text{SO}}(3),$
где ортогональная матрица $P = (p_{b}^{a}) \in {\text{SO}}(3)$ связана с матрицей $S \in {\text{SU}}(2)$ из глобального преобразования (4.7) как двулистное накрытие
${{S}^{{ - 1}}}{{\tau }^{a}}S = p_{b}^{a}{{\tau }^{b}}.$
Матрица $Q = (q_{\nu }^{\mu }) \in {\text{O}}(p,q)$ соответствует замене координат ${{x}^{\mu }} \to q_{\nu }^{\mu }{{x}^{\nu }}$ пространства ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$ (аналогично тому, как это было для уравнений Янга–Милса в теореме 1).

После нахождения всех решений системы (4.10) можно вычислить компоненты напряженности

(4.12)
${{F}^{{\mu \nu }}} = - \rho [{{A}^{\mu }},{{A}^{\nu }}] = - \rho [A_{a}^{\mu }{{\tau }^{a}},A_{b}^{\nu }{{\tau }^{b}}] = - \rho A_{a}^{\mu }A_{b}^{\nu }\epsilon _{c}^{{ab}}{{\tau }^{c}} = F_{c}^{{\mu \nu }}{{\tau }^{c}}$
и инвариант ${{F}^{2}}$:
(4.13)
${{F}^{2}} = {{F}_{{\mu \nu }}}{{F}^{{\mu \nu }}} = - \frac{{{{\rho }^{2}}}}{2}\sum\limits_{\mu < \nu } {{{\eta }^{{\mu \nu }}}} {{\eta }^{{\nu \nu }}}{{(F_{c}^{{\mu \nu }})}^{2}}{{I}_{2}}.$
Сформулируем и докажем теорему о всех решениях системы (4.10), т.е. всех постоянных решениях системы уравнений Янга–Миллса–Прока в случае группы Ли ${\text{SU}}(2)$.

Теорема 4. Любое решение $A = (A_{{{\kern 1pt} {\kern 1pt} a}}^{\mu })$ системы уравнений Янга–Миллса–Прока (4.10) в пседоевклидовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$ (или евклидовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{n}}$) может быть приведено за счет выбора матриц $Q \in {\text{O}}(p,q)$ и $P \in {\text{SO}}(3)$ в симметрии (4.11) к решению одного из следующих трех видов:

1) в случаях ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$, $p \geqslant 3$, $q \geqslant 0$:

(4.14)
$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&0&0 \\ 0&a&0 \\ 0&0&a \\ 0&0&0 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ 0&0&0 \end{array}} \right),\quad a: = \sqrt {\frac{\lambda }{2}} ,$
т.е.
$A_{a}^{\mu } = \left\{ \begin{gathered} \sqrt {\frac{\lambda }{2}} \quad при\quad \mu = a = 1,\;2,\;3; \hfill \\ 0\quad в\;остальных\;случаях \hfill \\ \end{gathered} \right.$
со следующими ненулевыми компонентами напряженности:
(4.15)
${{F}^{{12}}} = - {{F}^{{12}}} = - \frac{{\rho \lambda }}{2}{{\tau }^{3}},\quad {{F}^{{23}}} = - {{F}^{{32}}} = - \frac{{\rho \lambda }}{2}{{\tau }^{1}},\quad {{F}^{{31}}} = - {{F}^{{13}}} = - \frac{{\rho \lambda }}{2}{{\tau }^{2}},$
и инвариантом

(4.16)
${{F}^{2}} = - \frac{{3{{\rho }^{2}}{{\lambda }^{2}}}}{8}{{I}_{2}} \ne 0;$

2) в случаях ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$, $p \geqslant 2$, $q \geqslant 0$:

(4.17)
$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} b&0&0 \\ 0&b&0 \\ 0&0&0 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ 0&0&0 \end{array}} \right),\quad b: = \sqrt \lambda ,$
т.е.
$A_{a}^{\mu } = \left\{ \begin{gathered} \sqrt \lambda \quad при\quad \mu = a = 1,\;2; \hfill \\ 0\quad в\;остальных\;случаях \hfill \\ \end{gathered} \right.$
со следующими ненулевыми компонентами напряженности:
(4.18)
${{F}^{{12}}} = - {{F}^{{21}}} = - \rho \lambda {{\tau }^{3}},$
и инвариантом

(4.19)
${{F}^{2}} = - \frac{{{{\rho }^{2}}{{\lambda }^{2}}}}{2}{{I}_{2}} \ne 0;$

3) в случаях ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$, $p \geqslant 0$, $q \geqslant 0$:

(4.20)
$A = 0,\quad F = 0,\quad {{F}^{2}} = 0\quad \forall \lambda > 0.$

Доказательство. Пользуемся инвариантностью уравнений (4.10) относительно преобразований (4.11) и гиперболическим сингулярным разложением (теорема 2). Заметим, что мы всегда можем выбрать матрицу $P$ из специальной ортогональной группы ${\text{SO}}(3)$. Если эта матрица имеет определитель, равный $ - 1$, то можем поменять знак у всех столбцов матриц $P$ и $Q$ одновременно, и определитель станет равным $ + 1$.

Пусть элементы матрицы $A$ удовлетворяют системе уравнений (4.10) в пседоевклидовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$ (или евклидовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{n}}$). Тогда существуют матрицы $P \in {\text{SO}}(3)$ и $Q \in {\text{O}}(p,q)$ (или $Q \in {\text{O}}(n)$ соответственно) такие, что матрица $QAP$ имеет канонический вид

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{X}_{x}}}&{\text{O}}&{\text{O}}&{\text{O}} \\ {\text{O}}&{\text{O}}&{{{I}_{d}}}&{\text{O}} \\ {\text{O}}&{\text{O}}&{\text{O}}&{\text{O}} \\ \hline {\text{O}}&{{{Y}_{y}}}&{\text{O}}&{\text{O}} \\ {\text{O}}&{\text{O}}&{{{I}_{d}}}&{\text{O}} \\ {\text{O}}&{\text{O}}&{\text{O}}&{\text{O}} \end{array}} \right){\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}} {\left. \begin{gathered} {\kern 1pt} \hfill \\ {\kern 1pt} \hfill \\ {\kern 1pt} \hfill \\ \end{gathered} \right\}p} \\ {\left. \begin{gathered} {\kern 1pt} \hfill \\ {\kern 1pt} \hfill \\ {\kern 1pt} \hfill \\ \end{gathered} \right\}q} \end{array}.$
Система (4.10) приобретает новый вид с неизвестными – гиперболическими сингулярными значениями матрицы $A$ (элементами диагональных блоков $X$ и $Y$). Далее требуется рассмотреть различные случаи канонического вида матрицы $A$ в зависимости от значений параметров $x$, $y$ и $d$ и решить соответствующие системы уравнений. Элементы каждого из диагональных блоков $X$ и $Y$ считаем положительными и упорядоченными в порядке убывания. Всего имеется 20 различных случаев для значений параметров ($d$, $x$, $y$) матрицы $A$:
$(0,\;3,\;0),\quad (0,\;0,\;3),\quad (0,\;2,\;1),\quad (0,\;1,\;2),\quad (0,\;2,\;0),\quad (0,\;0,\;2),\quad (0,\;1,\;1),$
$(0,\;1,\;0),\quad (0,\;0,\;1),\quad (0,\;0,\;0),\quad (1,\;2,\;0),\quad (1,\;0,\;2),\quad (1,\;1,\;1),\quad (1,\;1,\;0),$
$(1,\;0,\;1),\quad (1,\;0,\;0),\quad (2,\;1,\;0),\quad (2,\;0,\;1),\quad (2,\;0,\;0),\quad (3,\;0,\;0).$
В первом случае ($d = 0$, $x = 3$, $y = 0$) в системе уравнений (4.10) остаются только диагональные ненулевые слагаемые, а значит, $\mu = \alpha = a = c$, $\nu = b = k$ и произведение двух символов Леви-Чивиты дает $ - 1$. Получаем следующую систему уравнений, где положительные элементы диагонального блока $X$, упорядоченные в порядке убывания, обозначены через ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$ и ${{a}_{3}}$ соответственно:
(4.21)
${{a}_{1}}(a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) = \lambda {{a}_{1}},\quad {{a}_{2}}(a_{1}^{2} + a_{3}^{2}) = \lambda {{a}_{2}},\quad {{a}_{3}}(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) = \lambda {{a}_{3}},\quad {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\lambda > 0.$
Данная система имеет только решение
(4.22)
${{a}_{1}} = {{a}_{2}} = {{a}_{3}} = \sqrt {\frac{\lambda }{2}} .$
Во втором, третьем и четвертом случаях получаем следующие системы соответственно, каждая из которых не имеет решений:
$ - {{a}_{1}}(a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) = \lambda {{a}_{1}},\quad - {\kern 1pt} {{a}_{2}}(a_{1}^{2} + a_{3}^{2}) = \lambda {{a}_{2}},\quad - {\kern 1pt} {{a}_{3}}(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) = \lambda {{a}_{3}},\quad {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\lambda > 0;$
${{a}_{1}}(a_{2}^{2} - a_{3}^{2}) = \lambda {{a}_{1}},\quad {{a}_{2}}(a_{1}^{2} - a_{3}^{2}) = \lambda {{a}_{2}},\quad {{a}_{3}}(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) = \lambda {{a}_{3}},\quad {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\lambda > 0;$
$ - {{a}_{1}}(a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) = \lambda {{a}_{1}},\quad {{a}_{2}}(a_{1}^{2} - a_{3}^{2}) = \lambda {{a}_{2}},\quad {{a}_{3}}(a_{1}^{2} - a_{2}^{2}) = \lambda {{a}_{3}},\quad {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\lambda > 0.$
В пятом случае ($d = 0$, $x = 2$, $y = 0$) получаем систему для двух диагональных элементов ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$ блока $X$:
(4.23)
${{a}_{1}}a_{2}^{2} = \lambda {{a}_{1}},\quad {{a}_{2}}a_{1}^{2} = \lambda {{a}_{2}},\quad {{a}_{1}},{{a}_{2}},\lambda > 0,$
с общим решением
(4.24)
${{a}_{1}} = {{a}_{2}} = \sqrt \lambda .$
В шестом и седьмом случае имеем следующие системы соответственно, каждая из которых не имеет решений:
$ - {{a}_{1}}a_{2}^{2} = \lambda {{a}_{1}},\quad - {\kern 1pt} {{a}_{2}}a_{1}^{2} = \lambda {{a}_{2}},\quad {{a}_{1}},{{a}_{2}},\lambda > 0;$
${{a}_{1}}a_{2}^{2} = \lambda {{a}_{1}},\quad - {\kern 1pt} {{a}_{2}}a_{1}^{2} = \lambda {{a}_{2}},\quad {{a}_{1}},{{a}_{2}},\lambda > 0.$
В восьмом и девятом случае имеем следующую систему на единственный ненулевой элемент ${{a}_{1}}$ матрицы $A$, не имеющую решений:
(4.25)
$0 = \lambda {{a}_{1}},\quad {{a}_{1}},\lambda > 0.$
В десятом случае $d = x = y = 0$ имеем тривиальное решение $A = 0$ при любом $\lambda > 0$.

В случаях 11–13 получаем соответственно системы

${{a}_{1}}a_{2}^{2} = \lambda {{a}_{1}},\quad {{a}_{2}}a_{1}^{2} = \lambda {{a}_{2}},\quad a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = \lambda ,\quad {{a}_{1}},{{a}_{2}},\lambda > 0;$
$ - {{a}_{1}}a_{2}^{2} = \lambda {{a}_{1}},\quad - {\kern 1pt} {{a}_{2}}a_{1}^{2} = \lambda {{a}_{2}},\quad - {\kern 1pt} (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) = \lambda ,\quad {{a}_{1}},{{a}_{2}},\lambda > 0;$
$ - {{a}_{1}}a_{2}^{2} = \lambda {{a}_{1}},\quad {{a}_{2}}a_{1}^{2} = \lambda {{a}_{2}},\quad a_{1}^{2} - a_{2}^{2} = \lambda ,\quad {{a}_{1}},{{a}_{2}},\lambda > 0,$
не имеющие решений. В оставшихся случаях 14–20 также получаются противоречивые системы.

Для полученных трех типов решений вычисляем компоненты напряженности, используя (4.12), и инвариант ${{F}^{2}}$, используя (4.13). Теорема доказана.

5. НЕПОСТОЯННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ${\text{SU}}(2)$ ЯНГА–МИЛЛСА–ПРОКА В ВИДЕ РЯДА ИЗ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

В теореме 4 мы предъявили явный вид всех постоянных решений уравнений ${\text{SU}}(2)$ Янга–Миллса–Прока (4.1), (4.2) в произвольном псевдоевклидовом (или евклидовом) пространстве ${{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$. Полученные постоянные решения уравнений позволяют построить непостоянные решения уравнений Янга–Миллса–Прока в виде ряда из теории возмущений. А именно, разложим решение уравнений (4.1), (4.2) по малому параметру $\varepsilon \ll 1$:

(5.1)
${{A}^{\mu }} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{k}}} \mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^k = \mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^0 + \varepsilon \mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^1 + {{\varepsilon }^{2}}\mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^2 + \; \cdots \; = (\mathop {A_{a}^{\mu }}\limits^0 + \varepsilon \mathop {A_{a}^{\mu }}\limits^1 + {{\varepsilon }^{2}}\mathop {A_{a}^{\mu }}\limits^2 + \cdots ){{\tau }^{a}},$
где в качестве нулевого приближения $\mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^0 $ берем постоянные (не зависяшие от $x \in {{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$) решения уравнений Янга–Миллса–Прока (4.1), (4.2). Подставляя (5.1) в уравнения (4.6), получаем уравнение вида
$\sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{k}}} \mathop {{{Q}^{\nu }}}\limits^k = 0,$
где $\mathop {{{Q}^{\nu }}}\limits^k $ – некоторые дифференциальные выражения, зависящие от $\mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^0 ,\; \ldots ,\;\mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^k $ для каждого $k = 0,\;1,\; \ldots $. Так как $\mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^0 $ – постоянные решения уравнений (4.6), то легко проверить, что
$\mathop {{{Q}^{\nu }}}\limits^0 = [\mathop {{{A}_{\mu }}}\limits^0 ,[\mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^0 ,\mathop {{{A}^{\nu }}}\limits^0 ]] + \lambda \mathop {{{A}^{\nu }}}\limits^0 = 0.$
Далее получим систему линейных уравнений в частных производных $\mathop {{{Q}^{\nu }}}\limits^1 = 0$ с постоянными коэффициентами (зависящими от $\mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^0 $) для отыскания $\mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^1 $. Найдя решения этой системы, можно подставить их $\mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^1 $ и решения $\mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^0 $ в систему $\mathop {{{Q}^{\nu }}}\limits^2 = 0$. Получим систему линейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами (зависящими от $x \in {{\mathbb{R}}^{{p,q}}}$) для отыскания $\mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^2 $. Далее подставим решения в $\mathop {{{Q}^{\nu }}}\limits^3 = 0$ и так далее. Продолжая процесс, мы находим $\mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^k $ для всех $k = 0,\;1,\; \ldots $ и таким образом, находим непостоянные решения уравнений Янга–Миллса–Прока в виде ряда (5.1).

Такой алгоритм нахождения непостоянных решений сводит задачу о решении системы нелинейных (кубических) уравнений Янга–Миллса–Прока к решению систем линейных уравнений в частных производных.

Обсудим более подробно систему для первого приближения $\mathop {{{Q}^{\mu }}}\limits^1 = 0$. Чтобы получить явный вид этой системы, положим ${{A}^{\mu }} = \mathop {{{A}^{\mu }}}\limits^0 + \varepsilon \mathop {{{A}^{\mu }}(x)}\limits^1 = (\mathop {A_{a}^{\mu }}\limits^0 + \varepsilon \mathop {A_{a}^{\mu }}\limits^1 (x)){{\tau }^{a}}$, причем ${{\varepsilon }^{2}} = 0$. Можем так подобрать матрицы $P \in {\text{SO}}(3)$ и $Q \in {\text{O}}(p,q)$ в симметрии (4.11), что матрица, составленная из $\mathop {A_{a}^{\mu }}\limits^0 $, является диагональной (см. теорему 4). Получаем систему из $3n$ линейных уравнений в частных производных:

(5.2)
$\begin{gathered} {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}u_{k}^{\nu } - 2\rho \epsilon _{k}^{{ab}}h_{a}^{\mu }{{\partial }_{\mu }}u_{b}^{\nu } + \rho \epsilon _{k}^{{ab}}{{\eta }_{{\mu \alpha }}}h_{a}^{\alpha }{{\partial }^{\nu }}u_{b}^{\mu } + \\ + \;{{\rho }^{2}}{{\eta }_{{\mu \alpha }}}\epsilon _{d}^{{ab}}\epsilon _{k}^{{cd}}(h_{c}^{\alpha }h_{a}^{\mu }u_{b}^{\nu } + h_{c}^{\alpha }u_{a}^{\mu }h_{b}^{\nu } + u_{c}^{\alpha }h_{a}^{\mu }h_{b}^{\nu }) + {{m}^{2}}u_{k}^{\nu } = 0, \\ \end{gathered} $
для неизвестных функций $u_{a}^{\mu }: = \mathop {A_{a}^{\mu }}\limits^1 (x)$ с известными постоянными коэффициентами $h_{a}^{\mu }: = \mathop {A_{a}^{\mu }}\limits^0 $, зависящими от параметра $\lambda = \frac{{{{m}^{2}}}}{{{{\rho }^{2}}}}$. Данные коэффициенты $h_{{{\kern 1pt} {\kern 1pt} a}}^{\mu }$ есть элементы одной из диагональных матриц (4.14), (4.17) или полностью нулевой матрицы (4.20) в зависимости от типа постоянных решений.

В случае нулевой матрицы имеем $h_{{{\kern 1pt} {\kern 1pt} a}}^{\mu } = 0$ и получаем следующую систему для первого приближения

(5.3)
${{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}u_{k}^{\nu } + {{m}^{2}}u_{k}^{\nu } = 0.$
Заметим, что уравнения (5.3) являются уравнениями Клейна–Гордона–Фока для каждой из компонент $u_{k}^{\nu }$.

В случае решения (4.14) можем подставить в систему (5.2) выражения

$h_{a}^{\mu } = \left\{ \begin{gathered} \sqrt {\frac{\lambda }{2}} \quad {\text{при}}\quad \mu = a = 1,\;2,\;3; \hfill \\ 0\quad {\text{в}}\;{\text{остальных}}\;{\text{случаях}}{\text{.}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
В случае решения (4.17) можем подставить в систему (5.2) выражения
$h_{a}^{\mu } = \left\{ \begin{gathered} \sqrt \lambda \quad {\text{при}}\quad \mu = a = 1,\;2; \hfill \\ 0\quad {\text{в}}\;{\text{остальных}}\;{\text{случаях}}{\text{.}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Получающиеся системы уравнений с неизвестными функциями $u_{a}^{\mu }$ можно исследовать с помощью известных численных методов и методов теории линейных уравнений в частных производных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе показано, как методы вычислительной математики (сингулярное разложение и гиперболическое сингулярное разложение) могут быть полезны при исследовании уравнений Янга–Миллса и уравнений Янга–Миллса–Прока в случае группы Ли ${\text{SU}}(2)$, важном при описании электрослабых взаимодействий. Предъявлены классификация и явный вид всех постоянных решений системы уравнений Янга–Миллса–Прока в случае группы Ли ${\text{SU}}(2)$. Непостоянные решения уравнений Янга–Миллса–Прока рассматриваются в виде рядов из теории возмущений. Представляется интересным дальнейшее изучение получившихся линейных систем уравнений для первого приближения. Результаты могут иметь применение при описании физического вакуума [32]–[34].

Заметим, что методы, рассматриваемые в настоящей работе, напрямую не переносятся на случай группы Ли ${\text{SU}}(3)$, важный для описания сильных взаимодействий, так как в работе существенным образом используется двулистное накрытие ортогональной группы ${\text{SO}}(3)$ спинорной группой ${\text{SU}}(2)$. Перенос методов на случай группы Ли ${\text{SU}}(3)$ представляется интересным вопросом для дальнейших исследований.

Автор благодарен организаторам международной конференции “Математическая физика, динамические системы и бесконечномерный анализ 2021”, г. Долгопрудный, и участникам этой конференции за полезные обсуждения.

Автор признателен Н.Г. Марчуку за полезные обсуждения. Автор благодарен анонимным рецензентам за полезные замечания и комментарии по улучшению статьи.

Список литературы

  1. Shirokov D.S. A note on the hyperbolic singular value decomposition without hyperexchange matrices // J. Comp. Appl. Math. 2021. V. 391. № 113450.

  2. Bojanczyk A.W., Onn R., Steinhardt A.O. Existence of the hyperbolic singular value decomposition // Linear Algebra Appl. 1993. V. 185. P. 21–30.

  3. Levy B.C. A note on the hyperbolic singular value decomposition // Linear Algebra Appl. 1998. V. 277. P. 135–142.

  4. Zha H. A note on the existence of the hyperbolic singular value decomposition // Linear Algebra Appl. 1996. V. 240. P. 199–205.

  5. Yang C.N., Mills R.L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance // Phys. Rev. 1954. V. 96. P. 191–195.

  6. Wu T.T., Yang C.N. Some Solutions of the Classical Isotopic Gauge Field Equations // in Properties of Matter Under Unusual Conditions, edited by H. Mark and S. Fernbach, Interscience New York. 1968.

  7. ’t Hooft G. Magnetic Monopoles in Unified Gauge Theories // Nucl. Phys. B. 1974. V. 79. P. 276–284.

  8. Belavin A.A., Polyakov A.M., Schwartz A.S., Tyupkin Yu.S. Pseudoparticle solutions of the Yang–Mills equations // Phys. Lett. B. 1975. V. 59. P. 85.

  9. de Alfaro V., Fubini S., Furlan G. A new classical solution of the Yang–Mills field equations // Phys. Lett. B. 1976. V. 65. P. 163.

  10. Witten E. Some Exact Multipseudoparticle Solutions of Classical Yang–Mills Theory // Phys. Rev. Lett. 1977. V. 38. P. 121.

  11. Atiyah M., Drinfeld V., Hitchin N., Manin Yu. Construction of instantons // Phys. Lett. A. 1978. V. 65. P. 185–187.

  12. Actor A. Classical solutions of SU(2) Yang–Mills theories // Rev. Mod. Phys. 1979. V. 51. P. 461–525.

  13. Shirokov D.S. On constant solutions of ${\text{SU}}(2)$ Yang–Mills equations with arbitrary current in Euclidean space ${{\mathbb{R}}^{n}}$ // J. Nonlinear Math. Phys. 2020. V. 27 № 2. P. 199–218.

  14. Shirokov D.S. On some relations between spinor and orthogonal groups // p-Adic Numbers Ultrametric Anal. Appl. 2011. V. 3. № 3. P. 212–218.

  15. Широков Д.С. Теорема о норме элементов спинорных групп // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. Т. 1. № 22. С. 165–171.

  16. Широков Д.С. Использование обобщенной теоремы Паули для нечетных элементов алгебры Клиффорда для анализа связей между спинорными и ортогональными группами произвольных размерностей // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. Т. 1. № 30. С. 279–287.

  17. Shirokov D.S. Covariantly constant solutions of the Yang–Mills equations // Adv. Appl. Clifford Alg. 2018. V. 28. № 53.

  18. Marchuk N.G., Shirokov D.S. Local Generalization of Pauli‘s Theorem // Azerb. J. Math. 2020. V. 10. № 1. P. 38–56.

  19. Beltrami E. Sulle funzioni bilineari // Giomale di Matematiche ad Uso degli Studenti Delle Universita. 1873. V. 11.

  20. Jordan C. Memoire sur lesformes bilineaires // J. Math. Pures Appl., Deuxieme Serie. 1874. V. 19. P. 35–54.

  21. Jordan C. Sur la reduction desformes bilineaires // Comptes Rendus de l’Academie Sciences, Paris. 1874. V. 78. P. 614–617.

  22. Forsythe G.E., Malcolm M.A., Moler C.B. Computer Methods for Mathematical Computations. Upper Saddle River: Prentice Hall. 1977.

  23. Golub G., Loan C.V. Matrix computations. MD, USA: Johns Hopkins University Press Baltimore. 1996.

  24. Schimming R. On constant solutions of the Yang–Mills equations // Arch. Math. 1988. V. 24. P. 65–73.

  25. Schimming R., Mundt E. Constant potential solutions of the Yang–Mills equation // J. Math. Phys. 1992. V. 33. P. 4250.

  26. Марчук Н.Г., Широков Д.С. О некоторых уравнениях, моделирующих уравнения Янга–Миллса // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2020. Т. 51. № 4. С. 676–685.

  27. Марчук Н.Г. Об одном полевом уравнении, порождающем новый класс частных решений уравнений Янга–Миллса // Избранные вопросы математической физики и анализа, Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Василия Сергеевича Владимирова, Тр. МИАН. МАИК, М., 2014. Т. 285. С. 207–220.

  28. Shirokov D.S. On solutions of the Yang–Mills equations in the algebra of h-forms // Journal of Physics: Conference Series (International Conference “Marchuk Scientific Readings 2021” (MSR-2021) 4-8 October 2021, Novosibirsk, Russian Federation). IOP Publishing, 2021. V. 2099. № 012015.

  29. Proca A. Wave theory of positive and negative electrons // J. Phys. Radium. 1936. V. 7. P. 347–353.

  30. Marchuk N.G., Shirokov D.S. Constant Solutions of Yang–Mills Equations and Generalized Proca Equations // J. Geom. Symmetry Phys. 2016. V. 42. P. 53–72.

  31. Dzhunushaliev V., Folomeev V. Dirac star with SU(2) Yang–Mills and Proca fields // Phys. Rev. D. 2020. V. 101. № 024023.

  32. Jackiw R. Quantum meaning of classical field theory // Rev. Mod. Phys. 1977. V. 49. P. 681–706.

  33. Mayer D., Viswanathan K.S. A note on the vacuum structure of an SU(2) Yang–Mills theory // Commun. Math. Phys. 1979. V. 67. P. 199–203.

  34. Nian J., Qian Y. A topological way of finding solutions to the Yang–Mills equation // Commun. Theor. Phys. 2020. V. 72. № 085202.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал