Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 7, стр. 1100-1114

О глобальной разрешимости краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа в условиях радиационного обмена

Е. В. Амосова^1, 2, *

¹ ИПМ ДВО РАН
690041 Владивосток, ул. Радио, 7, Россия

² ДВФУ
690091 Владивосток, ул. Суханова, 8, Россия

^* E-mail: el_amosova@mail.ru

Поступила в редакцию 12.01.2022
После доработки 07.02.2022
Принята к публикации 11.03.2022

EDN: BSTPVS
DOI: 10.31857/S004446692207002X

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрена модель вязкого совершенного газа в условиях радиационно-конвективной теплопроводности. Доказана однозначная разрешимость краевой задачи в классах обобщенных и классических решений для уравнений сложного теплообмена в сжимаемой среде на отрезке. Библ. 30.

Ключевые слова: система уравнений Навье–Стока, радиoактивный газ, глобальная разрешимость.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Уравнения, описывающие процессы конвективно-кондуктивного переноса теплового излучения несжимаемой среды рассмотрены в работах [1]–[4] и хорошо изучены.

В данной работе изучается модельная система уравнений одномерного движения вязкого сжимаемого газа с учетом радиационного и конвективного теплообмена. Для случая одной пространственной переменной модель вязкого теплопроводного газа в условиях радиационного обмена в ограниченной области ${{\Omega }_{0}} \subset \mathbb{R}$ моделируется в нормализованном виде следующей системой, где используется $P1$ (диффузионное) приближение для уравнения переноса излучения [5]–[7]:

$\rho \left( {\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right) = \mu \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} - R\frac{\partial }{{\partial x}}(\rho {\kern 1pt} \theta ),$

(1)

$\begin{gathered} \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + u\frac{{\partial \rho }}{{\partial x}} + \rho \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 0, \\ \rho {\kern 1pt} {{c}_{\nu }}\left( {\frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} + u\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right) = \lambda \frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}} + \left( {\mu \frac{{\partial u}}{{\partial x}} - R\rho {\kern 1pt} \theta } \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}} - b{\kern 1pt} {{k}_{\alpha }}(\left| \theta \right|{{\theta }^{3}} - \varphi ), \\ \end{gathered} $

$ - \alpha \frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}} + {{k}_{\alpha }}(\varphi - \left| \theta \right|{{\theta }^{3}}) = 0.$

Здесь $u$, $\rho $, $\theta $, соответственно, скорость, плотность и нормализованная температура совершенного газа, давление определяется из уравнения Клайперона $p = R\rho \theta $, функция $\varphi $ интерпретируется как нормализованная интенсивность излучения. Через $\mu $, $\lambda $, ${{c}_{\nu }}$, $R$ обозначены положительные физические константы, опиcывающие среду, $\mu $ – вязкость, $\lambda $ – коэффициент теплопроводности газа, ${{c}_{\nu }}$ – теплоемкость при постояном объеме, $R$ – газовая постоянная. Постоянные $b$, $\alpha $ описывают радиационно-термические свойства среды, ${{k}_{\alpha }}$ – коэффициент поглощения.

Рассмотрим движение газа через интервал ${{\Omega }_{0}} = \{ x\,:0 < x < {{L}_{0}}\} $ с проницаемыми неподвижными границами. В начальный момент времени известны характеристики среды:

${{\left. u \right|}_{{t = 0}}} = {{u}_{0}}(x),\quad {{\left. \rho \right|}_{{t = 0}}} = {{\rho }_{0}}(x) > 0,\quad {{\left. \theta \right|}_{{t = 0}}} = {{\theta }_{0}}(x),\quad x \in {{\bar {\Omega }}_{0}}.$

При $t > 0$ область течения ограничена двумя границами. Через левую газ втекает ${{\left. u \right|}_{{x = 0}}} > 0$. Тогда на левой границе задаются условия на скорость, температуру, интенсивность излучения, а также плотность среды:

${{\left. u \right|}_{{x = 0}}} = {{u}_{1}}(t),\quad {{\left. \rho \right|}_{{x = 0}}} = {{\rho }_{1}}(t),\quad {{\left. \theta \right|}_{{x = 0}}} = {{\theta }_{1}}(t),\quad - {\kern 1pt} {{\left. {\alpha \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right|}_{{x = 0}}} + \gamma ({{\left. \varphi \right|}_{{x = 0}}} - \theta _{1}^{4}) = 0.$

Через правую границу газ вытекает. Следовательно, на правой границе задаются только скорость, температура и интенсивность среды:

(2)

${{\left. u \right|}_{{x = {{L}_{0}}}}} = {{u}_{2}}(t),\quad {{\left. \theta \right|}_{{x = {{L}_{0}}}}} = {{\theta }_{2}}(t),\quad \alpha {{\left. {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right|}_{{x = {{L}_{0}}}}} + \gamma ({{\left. \varphi \right|}_{{x = {{L}_{0}}}}} - \theta _{2}^{4}) = 0.$

Коэффициент $\gamma $ описывает отражающие свойства границы.

Отметим, что разрешимость граничных задач для уравнений вязкого теплопроводного газа в случае одномерного движения с теплоизолированной непроницаемой границей, либо при условии отсутствия напряжения ранее была изучена в работах [8]–[10].

Теоретический анализ краевых задач, связанных с различными моделями радиационного теплообмена с классическими краевыми условиями рассматривался многими авторами [11]–[22].

В то же время вопросы корректности начально-краевых задач для модели (1), (2), учитывающей радиационный теплообмен внутри области, а также анализ устойчивости стационарных решений, являются открытыми.

При исследовании сформулированной задачи удобно воспользоваться лагранжевыми координатами. Согласно формулам перехода [23] область течения в эйлеровых координатах в новых координатах при $t > 0$ перейдет в

${{Q}_{t}} = \{ (x;t)\,:0 < t < T;\;x \in {{\Omega }_{t}}\} ,\quad {{\Omega }_{t}} = \{ x\,:a(t) < x < b(t)\} ,$

а при $t = 0$ – соответственно в интервал ${{\Omega }_{0}} = \{ x\,:0 < x < L\} $, где

$L = \int\limits_{{{\Omega }_{0}}} \,{{\rho }_{0}}(x){\kern 1pt} dx,\quad L \ne 0.$

При $t = T$ вместо ${{Q}_{T}}$, ${{\Omega }_{T}}$ будем писать $Q$, $\Omega $ соответственно.

Образами границ $x = 0$, $x = {{L}_{0}}$ в новых переменных будут

(3)

$a(t) = - \int\limits_0^t \,{{u}_{1}}(\tau ){{\rho }_{1}}(\tau ){\kern 1pt} d\tau ,\quad b(t) = L - \int\limits_0^t \,{{u}_{2}}(\tau ){{\rho }_{2}}(\tau ){\kern 1pt} d\tau ,$

где ${{\rho }_{2}}(t) = {{\left. {\rho (x,t)} \right|}_{{x = {{L}_{0}}}}}$ определяется из уравнения состояния. Как следствие уравнения состояния для сжимаемой среды для одномерного пространства, запишем равенство

(4)

${{\rho }_{1}}{{u}_{1}} = {{\rho }_{2}}{{u}_{2}} = m(t) > 0,\quad t \geqslant 0.$

Перейдем в уравнениях (1) и условиях (2) к массовым лагранжевым переменным. В массовых лагранжевых переменных задача о протекании вязкого радиационного теплопроводного политропного газа через заданный интервал имеет следующий вид:

(5)

$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \mu \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\rho \frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right) - R\frac{\partial }{{\partial x}}(\rho {\kern 1pt} \theta ),$

(6)

$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + {{\rho }^{2}}\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 0,$

(7)

${{c}_{\nu }}\frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} = \lambda \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\rho \frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right) + \left( {\mu \rho \frac{{\partial u}}{{\partial x}} - R\rho {\kern 1pt} \theta } \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}} - b{\kern 1pt} {{k}_{\alpha }}(\left| \theta \right|{{\theta }^{3}} - \varphi ){{\rho }^{{ - 1}}},$

(8)

$ - \alpha \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\rho \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right) + {{k}_{\alpha }}(\varphi - \left| \theta \right|{{\theta }^{3}}){{\rho }^{{ - 1}}} = 0,$

${{\left. u \right|}_{{t = 0}}} = {{u}_{0}}(x),\quad {{\left. \theta \right|}_{{t = 0}}} = {{\theta }_{0}}(x),\quad {{\left. \rho \right|}_{{t = 0}}} = {{\rho }_{0}}(x),\quad x \in {{\Omega }_{0}},$

(9)

${{\left. u \right|}_{{x = a(t)}}} = {{u}_{1}}(t),\quad {{\left. \theta \right|}_{{x = a(t)}}} = {{\theta }_{1}}(t),\quad - \alpha \rho {{\left. {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right|}_{{x = a(t)}}} + \gamma ({{\left. \varphi \right|}_{{x = a(t)}}} - \theta _{1}^{4}) = 0,\quad {{\left. \rho \right|}_{{x = a(t)}}} = {{\rho }_{1}}(t),$

${{\left. u \right|}_{{x = b(t)}}} = {{u}_{2}}(t),\quad {{\left. \theta \right|}_{{x = b(t)}}} = {{\theta }_{2}}(t),\quad \alpha \rho {{\left. {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right|}_{{x = b(t)}}} + \gamma ({{\left. \varphi \right|}_{{x = b(t)}}} - \theta _{2}^{4}) = 0,\quad t \in (0,T).$

Будем считать, что выполнены ограничения на начальную и граничную плотность газа

(10)

$0 < {{m}_{0}} \leqslant {{\rho }_{0}} \leqslant {{M}_{0}} < \infty ,\quad {{\rho }_{1}} > 0.$

2. СИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Далее будем использовать обычные обозначения ${{L}^{p}}(W_{p}^{l})$ для пространств функций, интегрируемых со степенью $p \geqslant 1$ (вместе с обобщенными производными до порядка $l \geqslant 0$). Через ${{L}^{2}}(0,T;X)$ обозначим пространство измеримых функций (пространство непрерывных функций, имеющих непрерывные в $[0,T]$ производные до порядка $l$), отображающих интервал $(0,T)$ ($[0,T]$) в пространство $X$ таких, что

$\left\| f \right\|_{{{{L}^{2}}(0,T;X)}}^{2} = \int\limits_0^T \left\| f \right\|_{X}^{2}dt < \infty ,\quad {{\left\| f \right\|}_{{{{C}^{l}}([0,T];X)}}} = \mathop {\max }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} {{\left\| f \right\|}_{X}} < \infty .$

Через ${{H}^{s}}$ будем обозначать пространство $W_{2}^{s}$, $s > 0$,

${{H}^{{2,1}}} = \{ q \in {{L}^{2}}(0,T;{{H}^{2}}(\Omega ))\,:q \in {{H}^{1}}(0,T;{{L}^{2}}(\Omega )\} ,$

${{H}^{{1,1}}} = \{ q \in {{L}^{\infty }}(0,T;{{L}^{2}}(\Omega )) \cap {{L}^{2}}(0,T;{{H}^{1}}(\Omega ))\,:q \in {{H}^{1}}(0,T;{{L}^{2}}(\Omega )\} .$

Рассмотрим пространство

$Y = \{ ({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}},{{q}_{4}})\,:{{q}_{1}} \in {{H}^{{2,1}}},\quad {{q}_{2}} \in {{H}^{{1,1}}},\quad {{q}_{3}} \in {{H}^{{2,1}}},\quad {{q}_{4}} \in {{L}^{2}}(0,T;{{H}^{2}}(\Omega ))\} .$

Имеют место следующие свойства вложений [21]:

(11)

$\begin{gathered} {{H}^{{2,1}}} \subset {{L}^{2}}(0,T;{{H}^{1}}(\Omega ))\quad {\text{непрерывно}}\;{\text{и}}\;{\text{компактно}}, \\ {{H}^{{2,1}}} \subset C(\bar {Q})\quad {\text{непрерывно}}. \\ \end{gathered} $

Определение 1. Сильным решением задачи (5)–(9) называется совокупность функций $\{ u,\rho ,\theta ,\varphi \} \in Y$, удовлетворяющая уравнениям (5)–(8) почти всюду в $(0,T) \times \Omega $ и принимающая граничные и начальные значения (9) в смысле следов функций из указанных классов.

Пусть выполняются следующие условия:

(12)

$\begin{gathered} {{u}_{i}} \in {{H}^{1}}(0,T),\quad {{\theta }_{i}} \in {{H}^{1}}(0,T),\quad {{\rho }_{1}} \in {{H}^{1}}(0,T),\quad i = 1,2, \\ {{\rho }_{0}} \in {{L}^{\infty }}({{\Omega }_{0}}),\quad {{u}_{0}} \in {{L}^{\infty }}({{\Omega }_{0}}),\quad {{\theta }_{0}} \in {{L}^{\infty }}({{\Omega }_{0}}). \\ \end{gathered} $

Теорема 1. Пусть выполняются условия (10), (12). Тогда существует единственное сильное решение задачи (5)–(9), причем функции $\theta ,\rho ,u,\varphi (a(t),t),\varphi (b(t),t)$ ограниченные, $\theta ,\;\varphi (a(t),t),\;\varphi (b(t),t)$ неотрицательные, а $\rho $ положительная.

Теорема 2. Пусть в условиях теоремы 1

${{u}_{i}}(t) \in {{C}^{{1 + \beta }}}[0,T],\quad {{\theta }_{i}}(t) \in {{C}^{{1 + \beta }}}[0,T],\quad i = 1,2;\quad {{\rho }_{1}}(t) \in {{C}^{{1 + \beta }}}[0,T],$

${{u}_{0}}(x) \in {{C}^{{2 + \beta }}}(\bar {\Omega }),\quad {{\theta }_{0}}(x) \in {{C}^{{2 + \beta }}}(\bar {\Omega }),\quad {{\rho }_{0}}(x) \in {{C}^{{1 + \beta }}}(\bar {\Omega })$

и выполнены условия согласования

${{u}_{1}}(0) = {{u}_{0}}(0),\quad {{\theta }_{1}}(0) = {{\theta }_{0}}(0),\quad {{\rho }_{1}}(0) = {{\rho }_{0}}(0)\;\;при\;\;x = 0,$

${{u}_{2}}(0) = {{u}_{0}}(L),\quad {{\theta }_{2}}(0) = {{\theta }_{0}}(L),\;\;при\;\;x = L.$

Тогда решение задачи (5)–(9) является классическим:

$u(x,t) \in {{C}^{{2 + \beta ,{\kern 1pt} 1 + \beta /2}}}(\bar {Q}),\quad \theta (x,t) \in {{C}^{{2 + \beta ,{\kern 1pt} 1 + \beta /2}}}(\bar {Q}),$

$\varphi (x,t) \in {{C}^{{2 + \beta ,{\kern 1pt} 1}}}(\bar {Q}),\quad \rho (x,t) \in {{C}^{{2 + \beta ,{\kern 1pt} 1 + \beta /2}}}(\bar {Q}).$

Доказательство теоремы 1 и теоремы 2 основано на применении априорных оценок, постоянные в которых зависят только от данных задачи и $T$. Полученные оценки позволяют продолжить на весь временной промежуток локальное решение, которое устанавливается с помощью принципа сжатых отображений. Операторное уравнение, эквивалентное задаче, строится путем линеаризации уравнений (5)–(8) и условий (9), точно также, как это сделано в работах [25], [26]. На малом интервале времени полученный оператор сжимающий, следовательно, можно применить теорему Банаха.

3. РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ

На первом этапе проверятся ограниченность модуля скорости, положительность температуры и граничных значений функции интенсивности излучения, затем доказывается строгая положительность плотности. Вывод этих оценок опирается на ряд вспомогательных утверждений. В заключение выводятся оценки для старших производных от искомых функций и исследуются дифференциальные свойства решений.

В дальнейшем будем использовать формулу дифференцирования интеграла с пределами интегрирования, зависящими от параметра, справедливую для области с условиями (3), (4). Для $f \in {{C}^{1}}(\bar {Q})$ имеет место формула

(13)

$\frac{d}{{dt}}\int\limits_{a(t)}^{b(t)} {\kern 1pt} {{f}^{2}}(x,t){\kern 1pt} dx = \int\limits_{a(t)}^{b(t)} {\kern 1pt} f\frac{{\partial f}}{{\partial t}}dx - m(t)[{{f}^{2}}(b(t),t) - {{f}^{2}}(a(t),t)],\quad t \geqslant 0.$

Лемма 1. Пусть $y \in {{H}^{{2,1}}}$, $k > 0$, $\delta > 0$, ${{k}_{1}} = {\text{const}}$, ${{z}_{1}} = \max \{ y - k,{\kern 1pt} 0\} $, ${{z}_{2}} = \min \{ y + k,{\kern 1pt} 0\} $. Обозначим через ${{z}_{{i0}}} = {{\left. {{{z}_{i}}} \right|}_{{t = 0}}}$, ${{z}_{{ia}}} = {{\left. {{{z}_{i}}} \right|}_{{x = a(t)}}}$, ${{z}_{{ib}}} = {{\left. {{{z}_{i}}} \right|}_{{x = b(t)}}}$, $i = 1,2$. Тогда справедливы равенства

(14)

$2\int\limits_0^t {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{\partial y}}{{\partial t}}{{z}_{i}}{\kern 1pt} dxd\tau = {{\left\| {{{z}_{i}}(t)} \right\|}^{2}} - {{\left\| {{{z}_{i}}(0)} \right\|}^{2}} + 2\int\limits_0^t \,m(\tau )[({{z}_{{ib}}}{{)}^{2}} - {{({{z}_{{ia}}})}^{2}}]{\kern 1pt} d\tau ,$

(15)

$\int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{\tau }}} \frac{{\partial y}}{{\partial t}}\frac{{{{z}_{i}}}}{{\sqrt {z_{i}^{2} + \delta } }}{\kern 1pt} dxd\tau = \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{({{z}_{i}} + {{k}_{1}}){{z}_{i}}}}{{\sqrt {z_{i}^{2} + \delta } }}{\kern 1pt} dx - \delta {{I}_{1}}({{z}_{i}},{\kern 1pt} {{k}_{1}}) + {{I}_{2}}({{z}_{i}},{\kern 1pt} {{k}_{1}})\quad i = 1,2,$

где

(16)

$\begin{gathered} {{I}_{1}}({{z}_{i}},{{k}_{1}}) = \int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{\tau }}} \frac{{{{z}_{i}} + {{k}_{1}}}}{{{{{(z_{i}^{2} + \delta )}}^{{3/2}}}}}\frac{{\partial {{z}_{i}}}}{{\partial t}}{\kern 1pt} dxd\tau , \\ {{I}_{2}}({{z}_{i}},{{k}_{1}}) = - \int\limits_{{{\Omega }_{0}}} \frac{{({{z}_{{i0}}} + {{k}_{1}}){{z}_{{i0}}}}}{{\sqrt {z_{{i0}}^{2} + \delta } }}{\kern 1pt} dx + \int\limits_0^t \,m(\tau )\left[ {\frac{{({{z}_{{ib}}} + {{k}_{1}}){{z}_{{ib}}}}}{{\sqrt {z_{{ib}}^{2} + \delta } }} - \frac{{({{z}_{{ia}}} + {{k}_{1}}){{z}_{{ia}}}}}{{\sqrt {z_{{ia}}^{2} + \delta } }}} \right]d\tau . \\ \end{gathered} $

Доказательство. Вследствие (11) имеют место следующие равенства: ${{z}_{i}}(x,0) = {{z}_{{i0}}}$, ${{z}_{i}}(a(t),t) = {{z}_{{ia}}}$ ${{z}_{i}}(b(t),t) = {{z}_{{ib}}}$, где $i = 1,2$. Умножим $(\partial y{\text{/}}\partial t)$ на ${{z}_{i}}$, а затем на ${{z}_{i}}{\text{/}}\sqrt {z_{i}^{2} + \delta } $, $i = 1,2$, и проинтегрируем по области ${{\Omega }_{t}}$. Используя (13), получаем

$\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{\partial y}}{{\partial t}}{{z}_{i}}{\kern 1pt} dx = \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{\partial {{z}_{i}}}}{{\partial t}}{{z}_{i}}{\kern 1pt} dx = \frac{1}{2}\frac{d}{{dt}}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \,z_{i}^{2}{\kern 1pt} dx + m(t)[({{z}_{{ib}}}{{)}^{2}} - {{({{z}_{{ia}}})}^{2}}],$

$\begin{gathered} \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{\partial y}}{{\partial t}}\frac{{{{z}_{i}}}}{{\sqrt {z_{i}^{2} + \delta } }}{\kern 1pt} dx = \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{\partial ({{z}_{i}} + {{k}_{1}})}}{{\partial t}}\frac{{{{z}_{i}}}}{{\sqrt {z_{i}^{2} + \delta } }}{\kern 1pt} dx = \\ = \frac{d}{{dt}}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{({{z}_{i}} + {{k}_{1}}){{z}_{i}}}}{{\sqrt {z_{i}^{2} + \delta } }}{\kern 1pt} dx - \delta \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{({{z}_{i}} + {{k}_{1}})}}{{{{{(z_{i}^{2} + \delta )}}^{{3/2}}}}}\frac{{\partial {{z}_{i}}}}{{\partial t}}{\kern 1pt} dx + m(t)\left[ {\frac{{({{z}_{{ib}}} + {{k}_{1}}){{z}_{{ib}}}}}{{\sqrt {{{{({{z}_{{ib}}})}}^{2}} + \delta } }} - \frac{{({{z}_{{ia}}} + {{k}_{1}}){{z}_{{ia}}}}}{{\sqrt {{{{({{z}_{{ia}}})}}^{2}} + \delta } }}} \right]. \\ \end{gathered} $

Проинтегрируем по времени от $0$ до $t$, получим (14), (15). Лемма доказана.

Согласно предположению о суммируемости $({{\partial }^{2}}u{\text{/}}\partial {{x}^{2}})$ и $(\partial {\kern 1pt} u{\text{/}}\partial t)$, функция $(\partial u{\text{/}}\partial x)$ непрерывна по $x$ при почти всех $t \in (0,T)$. Чтобы найти априорную оценку для функции скорости $u(x,t)$, получим выражения для ${{\left. {(\partial u{\text{/}}\partial x)} \right|}_{{x = a(t)}}}$, ${{\left. {(\partial u{\text{/}}\partial x)} \right|}_{{x = b(t)}}}$, через данные задачи. Для этого перепишем (6) в виде равенства

$\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{1}{\rho }} \right) = \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{u}{{u\rho }}} \right),$

которое рассмотрим при $x = a(t)$ и $x = b(t)$:

(17)

${{\left. {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|}_{{x = a(t)}}} = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{{{u}_{1}}(t)}}{{m(t)}}} \right),\quad {{\left. {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|}_{{x = b(t)}}} = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{{{u}_{2}}(t)}}{{m(t)}}} \right).$

Умножим (5) на $u$ скалярно в ${{L}^{2}}({{\Omega }_{t}})$. Учитывая (13), (17), получаем

(18)

$\begin{gathered} \frac{1}{2}\frac{d}{{dt}}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| u \right|}^{2}}dx + m(t)(u_{2}^{2}(t) - u_{1}^{2}(t)) + \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left( {\mu \rho \frac{{\partial u}}{{\partial x}} - R\rho \theta } \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}dx = \\ \, = \mu m(t)\frac{d}{{dt}}\left[ {\frac{{{{u}_{2}}(t) - {{u}_{1}}(t)}}{{m(t)}}} \right] - Rm(t)({{\theta }_{2}}(t) - {{\theta }_{1}}(t)). \\ \end{gathered} $

Обозначим через

(19)

$\begin{gathered} {{M}_{u}} = \max \left\{ {{{{\left\| {{{u}_{1}}} \right\|}}_{{{{H}^{1}}(0,T)}}},{{{\left\| {{{u}_{2}}} \right\|}}_{{{{H}^{1}}(0,T)}}},{{{\left\| {{{u}_{0}}} \right\|}}_{{{{L}^{\infty }}(0,L)}}}} \right\} > 0, \\ \Sigma (t) = \frac{1}{2}\int\limits_{u \in ( - {{M}_{u}};{\kern 1pt} {{M}_{u}})} \,{\text{|}}u{{{\text{|}}}^{2}}{\kern 1pt} dx - \frac{1}{2}\int\limits_{{{\Omega }_{0}}} \,{\text{|}}{{u}_{0}}{{{\text{|}}}^{2}}{\kern 1pt} dx + \\ + \;\frac{1}{2}\int\limits_0^t \,m(\tau )[({{u}_{2}}{{)}^{2}} - {{({{u}_{1}})}^{2}} + 2R({{\theta }_{2}} - {{\theta }_{1}})]{\kern 1pt} d\tau - \mu \int\limits_0^t \,m(\tau )\left( {\frac{{{{u}_{2}}(\tau ) - {{u}_{1}}(\tau )}}{{m(\tau )}}} \right)'{\kern 1pt} d\tau . \\ \end{gathered} $

Заметим, что $\Sigma (t) \in C[0,T]$ и существуют такие ${{\sigma }_{0}} \geqslant 0$, ${{\sigma }_{1}} > 0$, что

(20)

$ - \infty < - {{\sigma }_{0}} \leqslant \Sigma (t) \leqslant {{\sigma }_{1}} < \infty .$

Положим ${{\zeta }_{1}} = \max \{ u - {{M}_{u}},{\kern 1pt} 0\} \geqslant 0$, ${{\zeta }_{2}} = \min \{ u + {{M}_{u}},{\kern 1pt} 0\} \leqslant 0$.

Умножим (5) последовательно на ${{\zeta }_{1}}$, ${{\zeta }_{2}}$ скалярно в ${{\Omega }_{t}}$ и проинтегрируем по времени. Воспользовавшись (14) и условиями: ${{\left. {{{\zeta }_{i}}} \right|}_{{t = 0}}} = 0$, ${{\left. {{{\zeta }_{i}}} \right|}_{{x = a(t)}}} = 0$, ${{\left. {{{\zeta }_{i}}} \right|}_{{x = b(t)}}} = 0$, $i = 1,2$, найдем

(21)

$\begin{gathered} \frac{1}{2}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {{{\zeta }_{1}}} \right|}^{2}}{\kern 1pt} dx + \int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{u > {{M}_{u}}} \left( {\mu \rho \frac{{\partial u}}{{\partial x}} - R\rho \theta } \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}dxd\tau = 0, \\ \frac{1}{2}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {{{\zeta }_{2}}} \right|}^{2}}{\kern 1pt} dx + \int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{u < - {{M}_{u}}} \left( {\mu \rho \frac{{\partial u}}{{\partial x}} - R\rho \theta } \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}dxd\tau = 0. \\ \end{gathered} $

Проинтегрируем (18) по времени от $0$ до $t$, учитывая (19), (21), находим

(22)

$\int\limits_0^t \,\int\limits_{u \in ( - {{M}_{u}};{\kern 1pt} {{M}_{u}})} \left( {\mu \rho \frac{{\partial u}}{{\partial x}} - R\rho \theta } \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}{\kern 1pt} dxd\tau + \Sigma (t) = 0.$

Объединяя (21) и (22), вследствие (20), получаем неравенство

(23)

$\frac{1}{2}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {{{\zeta }_{1}}} \right|}^{2}}{\kern 1pt} dx + \frac{1}{2}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {{{\zeta }_{2}}} \right|}^{2}}{\kern 1pt} dx + \int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left( {\mu \rho \frac{{\partial u}}{{\partial x}} - R\rho \theta } \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}{\kern 1pt} dxd\tau - {{\sigma }_{0}} \leqslant 0.$

Пусть $\rho \geqslant 0$. Обозначим через

$M = \max \left\{ {{{{\left\| {{{\theta }_{1}}} \right\|}}_{{{{H}^{1}}(0,T)}}},{{{\left\| {{{\theta }_{2}}} \right\|}}_{{{{H}^{1}}(0,T)}}},{{{\left\| {{{\theta }_{0}}} \right\|}}_{{{{L}^{\infty }}(0,L)}}},\left\| {{{\varphi }_{0}}} \right\|_{{{{L}^{\infty }}(0,L)}}^{{1/4}}} \right\} > 0.$

Положим $\eta = \max \{ \theta - M,{\kern 1pt} 0\} \geqslant 0$, ${{\left. \eta \right|}_{{t = 0}}} = 0$, ${{\left. \eta \right|}_{{x = a(t)}}} = 0$, ${{\left. \eta \right|}_{{x = b(t)}}} = 0$. Умножим (7) на $(\eta {\text{/}}\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} )$, ${{\delta }_{1}} > 0$, скалярно в ${{\Omega }_{t}}$. Учитывая (15), находим

(24)

$\begin{gathered} {{c}_{\nu }}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{(\eta + {{\sigma }_{0}}{\text{/}}({{c}_{\nu }}L))\eta }}{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}dx + \lambda {{\delta }_{1}}\int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{\tau }}} {{\left( {\frac{{\partial \eta }}{{\partial x}}} \right)}^{2}}\frac{\rho }{{{{{({{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}})}}^{{3/2}}}}}{\kern 1pt} dxd\tau - \int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left( {\mu \rho \frac{{\partial u}}{{\partial x}} - R\rho \theta } \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\frac{\eta }{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}dxd\tau + \\ \, + \int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \,b{{k}_{\alpha }}({{\theta }^{4}} - \varphi ){{\rho }^{{ - 1}}}\frac{\eta }{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}dxd\tau = {{\delta }_{1}}\int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{\tau }}} \frac{{(\eta + {{\sigma }_{0}}{\text{/}}({{c}_{\nu }}L))}}{{{{{({{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}})}}^{{3/2}}}}}\frac{{\partial \eta }}{{\partial t}}dxd\tau . \\ \end{gathered} $

Заметим, что

(25)

$\int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{\theta > M,{\kern 1pt} \varphi > {{M}^{4}}} b{{k}_{\alpha }}({{\theta }^{4}} - \varphi ){{\rho }^{{ - 1}}}\frac{\eta }{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}dxd\tau \leqslant \int\limits_0^t \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \,b{{k}_{\alpha }}({{\theta }^{4}} - \varphi ){{\rho }^{{ - 1}}}\frac{\eta }{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}dxd\tau .$

Равенство (24) вместе с (23), (25) приводит к оценке

(26)

$\begin{gathered} \frac{1}{2}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {{{\zeta }_{1}}} \right|}^{2}}dx + \frac{1}{2}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {{{\zeta }_{2}}} \right|}^{2}}dx + {{c}_{\nu }}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{(\eta + {{\sigma }_{0}}{\text{/}}(L{{c}_{\nu }}))\eta }}{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}dx - \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{{{\sigma }_{0}}}}{L}dx + \\ \, + \int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left( {\mu \rho \frac{{\partial u}}{{\partial x}} - R\rho \theta } \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {1 - \frac{\eta }{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}} \right)dxd\tau + \\ + \;\int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{\theta > M,{\kern 1pt} \varphi > {{M}^{4}}} b{{k}_{\alpha }}({{\theta }^{4}} - \varphi ){{\rho }^{{ - 1}}}\frac{\eta }{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}dxd\tau \leqslant {{\delta }_{1}}\int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{\tau }}} \frac{{(\eta + {{\sigma }_{0}}{\text{/}}(L{{c}_{\nu }}))}}{{{{{({{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}})}}^{{3/2}}}}}\frac{{\partial \eta }}{{\partial t}}dxd\tau . \\ \end{gathered} $

Далее, пусть

$\psi = \left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\varphi }^{{1/4}}} - M,\quad \varphi > {{M}^{4}},} \\ {0,\quad \varphi \leqslant M.} \end{array}} \right.$

Умножим (8) скалярно на $(\psi {\text{/}}\sqrt {{{\psi }^{2}} + {{\delta }_{1}}} )$. Учитывая (9), получаем

$\begin{gathered} \frac{{\alpha {{\delta }_{1}}}}{4}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right)}^{2}}\frac{{\rho {{\varphi }^{{ - 3/4}}}}}{{\sqrt {{{\psi }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}{\kern 1pt} dx{{k}_{\alpha }}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} (\varphi - {{\theta }^{4}})\frac{{{{\rho }^{{ - 1}}}\psi }}{{\sqrt {{{\psi }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}{\kern 1pt} dx + \\ + \;\gamma ({{\left. \varphi \right|}_{{x = b(t)}}} - \theta _{2}^{4}){{\left. {\frac{\psi }{{\sqrt {{{\psi }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}} \right|}_{{x = b(t)}}} + \gamma ({{\left. \varphi \right|}_{{x = a(t)}}} - \theta _{1}^{4}){{\left. {\frac{\psi }{{\sqrt {{{\psi }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}} \right|}_{{x = a(t)}}} = 0. \\ \end{gathered} $

Последние два слагаемых неотрицательны, так как $\varphi > {{M}^{4}} \geqslant \max \{ \theta _{1}^{4},{\kern 1pt} \theta _{2}^{4}\} $. Таким образом,

(27)

$\int\limits_{\varphi > {{M}^{4}},{\kern 1pt} \theta > M} {\kern 1pt} {{k}_{\alpha }}{{\rho }^{{ - 1}}}(\varphi - {{\theta }^{4}})\frac{\psi }{{\sqrt {{{\psi }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}{\kern 1pt} dx \leqslant \int\limits_{\varphi > {{M}^{4}}} {\kern 1pt} {{k}_{\alpha }}{{\rho }^{{ - 1}}}(\varphi - {{\theta }^{4}})\frac{\psi }{{\sqrt {{{\psi }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}{\kern 1pt} dx \leqslant 0.$

Умножая (27) на $b$, интегрируя по времени и складывая получившeеся выражение с (26), находим

(28)

$\begin{gathered} \frac{1}{2}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {{{\zeta }_{1}}} \right|}^{2}}{\kern 1pt} dx + \frac{1}{2}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {{{\zeta }_{2}}} \right|}^{2}}{\kern 1pt} dx + {{c}_{\nu }}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{{{\eta }^{2}}}}{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}dx + \frac{{{{\sigma }_{0}}}}{L}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left( {\frac{\eta }{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }} - 1} \right)dx + \\ \, + \int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left( {\mu \rho \frac{{\partial u}}{{\partial x}} - R\rho \theta } \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {1 - \frac{\eta }{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}} \right){\kern 1pt} dxd\tau + \\ + \;\int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{\theta > M,{\kern 1pt} \varphi > {{M}^{4}}} b{{k}_{\alpha }}({{\theta }^{4}} - \varphi ){{\rho }^{{ - 1}}}\left( {\frac{\eta }{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }} - \frac{\psi }{{\sqrt {{{\psi }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}} \right)dxd\tau \leqslant {{\delta }_{1}}\int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{\tau }}} \frac{{(\eta + {{\sigma }_{0}}{\text{/}}(L{{c}_{\nu }}))}}{{{{{({{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}})}}^{{3/2}}}}}\frac{{\partial \eta }}{{\partial t}}dxd\tau . \\ \end{gathered} $

Доказательство обоснования предельного перехода по ${{\delta }_{1}}$ в (28) требует только слагаемое, стоящее в правой части этого выражения. Для этого заметим, что

(29)

$\begin{gathered} {{\delta }_{1}}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{(\eta + {{\sigma }_{0}}{\text{/}}(L{{c}_{\nu }}))}}{{{{{({{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}})}}^{{3/2}}}}}\frac{{\partial \eta }}{{\partial t}}dx = \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{{({{\sigma }_{0}}{\text{/}}(L{{c}_{\nu }}))\eta - {{\delta }_{1}}}}{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}} \right)dx = \\ = \frac{d}{{dt}}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{({{\sigma }_{0}}{\text{/}}(L{{c}_{\nu }}))\eta - {{\delta }_{1}}}}{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{1}}} }}dx \to \frac{d}{{dt}}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{{{\sigma }_{0}}}}{{L{{c}_{\nu }}}}dx = 0\quad {\text{при}}\quad {{\delta }_{1}} \to 0. \\ \end{gathered} $

При стремлении ${{\delta }_{1}}$ к нулю, неравенство (28) преобразуется к виду

$\frac{1}{2}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {{{\zeta }_{1}}} \right|}^{2}}dx + \frac{1}{2}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {{{\zeta }_{2}}} \right|}^{2}}dx + {{c}_{\nu }}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left| {\eta {\kern 1pt} } \right|dx \leqslant 0,\quad t > 0.$

Отсюда следует, что ${{\zeta }_{1}} = 0$, ${{\zeta }_{2}} = 0$, $\eta = 0$, т.е. $ - {{M}_{u}} \leqslant u \leqslant {{M}_{u}}$, $\theta \leqslant M$.

Выберем $\psi = \max \{ \varphi - {{M}^{4}},{\kern 1pt} 0\} \geqslant 0$, ${{\left. \psi \right|}_{{t = 0}}} = 0$. Умножим (8) на $\psi $, учитывая (9), получаем

$\alpha \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left( {\frac{{\partial \psi }}{{\partial x}}} \right)}^{2}}{\kern 1pt} dx + {{k}_{\alpha }}\int\limits_{\varphi > {{M}^{4}}} {{\rho }^{{ - 1}}}(\varphi - {{\theta }^{4}})(\varphi - {{M}^{4}}){\kern 1pt} dx + \gamma ({{\left. \varphi \right|}_{{x = b(t)}}} - \theta _{2}^{4})\psi (b(t),t) + \gamma ({{\left. \varphi \right|}_{{x = a(t)}}} - \theta _{1}^{4})\psi (a(t),t) = 0.$

Так как первые два слагаемых неотрицательны, то

$\begin{gathered} 0 \geqslant \gamma ({{\left. \varphi \right|}_{{x = b(t)}}} - \theta _{2}^{4}){{\left. \psi \right|}_{{x = b(t)}}} + \gamma ({{\left. \varphi \right|}_{{x = a(t)}}} - \theta _{1}^{4}){{\left. \psi \right|}_{{x = a(t)}}} = \gamma ({{\left. \varphi \right|}_{{x = b(t)}}} - {{M}^{4}}){{\left. \psi \right|}_{{x = b(t)}}} + \gamma ({{M}^{4}} - \theta _{2}^{4}){{\left. \psi \right|}_{{x = b(t)}}} + \\ \, + \gamma ({{\left. \varphi \right|}_{{x = a(t)}}} - {{M}^{4}}){{\left. \psi \right|}_{{x = a(t)}}} + \gamma ({{M}^{4}} - \theta _{1}^{4}){{\left. \psi \right|}_{{x = a(t)}}} \geqslant \gamma {{({{\left. \psi \right|}_{{x = b(t)}}})}^{2}} + \gamma {{({{\left. \psi \right|}_{{x = a(t)}}})}^{2}}. \\ \end{gathered} $

Отсюда ${{\left. \psi \right|}_{{x = a(t)}}} = 0$, ${{\left. \psi \right|}_{{x = b(t)}}} = 0$, т.е. ${{\left. \varphi \right|}_{{a(t)}}} \leqslant {{M}^{4}}$, ${{\left. \varphi \right|}_{{b(t)}}} \leqslant {{M}^{4}}$.

Для оценок снизу умножим (21), (22) на $( - 1)$ и сложим полученные выражения, учитывая (20), ${{\zeta }_{1}} = 0$, ${{\zeta }_{2}} = 0$, получаем

(30)

$ - \int\limits_0^t {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left( {\mu \rho \frac{{\partial u}}{{\partial x}} - R\rho \theta } \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}{\kern 1pt} dxd\tau - {{\sigma }_{1}} \leqslant 0.$

Пусть $\varepsilon > 0$, положим $\eta = \min \{ \theta + \varepsilon ,{\kern 1pt} 0\} \leqslant 0$, ${{\left. \eta \right|}_{{t = 0}}} = 0$, ${{\left. \eta \right|}_{{x = a(t)}}} = 0$, ${{\left. \eta \right|}_{{x = b(t)}}} = 0$, $\psi = - {\text{|}}\varphi {{{\text{|}}}^{{1/4}}} + \varepsilon $ при $\varphi < - {{\varepsilon }^{4}}$, и $\psi = 0$ при $\varphi \geqslant - {{\varepsilon }^{4}}$.

Умножим (7) на $(\eta {\text{/}}\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{2}}} )$, ${{\delta }_{2}} > 0$, а (8) – на $\psi $ скалярно в ${{\Omega }_{t}}$, проинтегрируем по времени. Учитывая (9), (15), (30), находим

(31)

$\begin{gathered} {{c}_{\nu }}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \frac{{{{\eta }^{2}}}}{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{2}}} }}dx + \frac{{{{\sigma }_{1}}}}{L}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left( {\frac{{( - \eta )}}{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{2}}} }} - 1} \right)dx + \int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left( {\mu \rho \frac{{\partial u}}{{\partial x}} - R\rho \theta } \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( { - 1 + \frac{{( - \eta )}}{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{2}}} }}} \right)dxd\tau + \\ + {\kern 1pt} \;\int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{\theta > M,{\kern 1pt} \varphi > {{M}^{4}}} b{{k}_{\alpha }}({\text{|}}{{\theta }^{3}}{\text{|}}\theta - \varphi ){{\rho }^{{ - 1}}}\left( {\frac{\eta }{{\sqrt {{{\eta }^{2}} + {{\delta }_{2}}} }} - \frac{\psi }{{\sqrt {{{\psi }^{2}} + {{\delta }_{2}}} }}} \right)dxd\tau \leqslant {{\delta }_{2}}\int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{\tau }}} \frac{{(\eta - {{\sigma }_{1}}{\text{/}}(L{{c}_{\nu }}))}}{{{{{({{\eta }^{2}} + {{\delta }_{2}})}}^{{3/2}}}}}\frac{{\partial \eta }}{{\partial t}}dxd\tau . \\ \end{gathered} $

Устремляя ${{\delta }_{2}}$ к нулю, рассуждая аналогично (28), приходим к оценке

$\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \,{\text{|}}\eta {\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} dx \leqslant 0,\quad t > 0.$

Отсюда следует, что $\eta = 0$, т.е. $\theta \geqslant - \varepsilon $. Устремляя $\varepsilon $ к нулю, получаем $\theta \geqslant 0$. Аналогично находим $\varphi (a(t),t) \geqslant 0$, $\varphi (b(t),t) \geqslant 0$.

Таким образом, справедливы следующие равномерные оценки сильного решения:

(32)

${\text{|}}u{\text{|}} < {{M}_{u}},\quad 0 < \theta < M,\quad 0 < \varphi (a(t),t) < {{M}^{4}},\quad 0 < \varphi (b(t),t) < {{M}^{4}}.$

Оценки (32) справедливы до тех пор, пока $\rho \geqslant 0$. Поэтому на следующем этапе выводится соответствующая оценка для плотности.

4. ОЦЕНКА СНИЗУ И СВЕРХУ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ

Исключим выражение $(\rho \partial u{\text{/}}\partial x)$ из (5), используя (6), и проинтегрируем получившееся равенство по $x$ от $a(t)$ до произвольного $x(t) > a(t)$:

$\mu \frac{{\partial \ln \rho }}{{\partial t}} - R\rho \theta = \mu \frac{{\partial \ln {{\rho }_{1}}}}{{\partial t}} - R{{\rho }_{1}}{{\theta }_{1}} + \frac{\partial }{{\partial t}}\int\limits_{a(t)}^{x(t)} \,u{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} {\text{'}} - {{({{u}_{1}})}^{2}}{{\rho }_{1}} + {{u}^{2}}\rho .$

После вторичного интегрирования по времени получим равенство

(33)

$\mu \ln \rho - \int\limits_0^t \,\rho ({{u}^{2}} + R\theta ){\kern 1pt} d\tau = \mu \ln {{\rho }_{0}}(x) + \mu \ln \frac{{{{\rho }_{1}}(t)}}{{{{\rho }_{1}}(0)}} - \int\limits_0^t \,{{\rho }_{1}}(({{u}_{1}}{{)}^{2}} + R{{\theta }_{1}}){\kern 1pt} d\tau + \int\limits_{a(t)}^{x(t)} \,udx{\kern 1pt} {\text{'}} - \int\limits_0^{x(t)} {\kern 1pt} {{u}_{0}}dx{\kern 1pt} '.$

Обозначим через

(34)

$\Pi (x,t) = \ln \frac{{{{\rho }_{0}}(x){{\rho }_{1}}(t)}}{{{{\rho }_{1}}(0)}} - \frac{1}{\mu }\int\limits_0^t \,{{\rho }_{1}}(({{u}_{1}}{{)}^{2}} + R{{\theta }_{1}}){\kern 1pt} d\tau + \frac{1}{\mu }\int\limits_{a(t)}^{x(t)} \,u{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} {\text{'}} - \frac{1}{\mu }\int\limits_0^{x(0)} \,{{u}_{0}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} '.$

Заметим, что $\Pi (x,t) \in C(\bar {Q})$ и существуют постоянные ${{p}_{0}} < {{p}_{1}}$ такие, что

(35)

$ - \infty < {{p}_{0}} \leqslant \Pi (x,t) \leqslant {{p}_{1}} < \infty .$

Из (33), учитывая (34), получаем равенство

(36)

$\rho {\kern 1pt} \exp \left\{ { - \frac{1}{\mu }\int\limits_0^t \,\rho ({{u}^{2}} + R\theta ){\kern 1pt} d\tau } \right\} = \exp \{ \Pi (x,t)\} .$

Умножим (36) на ${{\mu }^{{ - 1}}}{\kern 1pt} ({{u}^{2}} + R\theta )$ и проинтегрируем по времени от $0$ до $t$, найдем

$\exp \left\{ { - \frac{1}{\mu }\int\limits_0^t \,\rho ({{u}^{2}} + R\theta ){\kern 1pt} d\tau } \right\} = 1 + \frac{1}{\mu }\int\limits_0^t \exp \{ \Pi (x,\tau )\} ({{u}^{2}} + R\theta ){\kern 1pt} d\tau .$

Отсюда и из (36) следует равенство

(37)

$\rho (x,t) = \frac{{\exp \left\{ {\Pi (x,t)} \right\}}}{{1 + \frac{1}{\mu }\int\limits_0^t \exp \{ \Pi (x,\tau )\} ({{u}^{2}} + R\theta ){\kern 1pt} d\tau }}.$

Учитывая (32), (35), из (36) приходим к следующим равномерным оценкам для функции плотности:

(38)

$0 < {{m}_{\rho }} \leqslant \rho (x,t) \leqslant {{M}_{\rho }} < \infty ,$

где

${{m}_{\rho }} = {{m}_{\rho }}({{M}_{0}},{\kern 1pt} {{m}_{0}},{\kern 1pt} M,{\kern 1pt} {{M}_{u}},{\kern 1pt} T),\quad {{M}_{\rho }} = {{M}_{\rho }}({{M}_{0}},{\kern 1pt} {{m}_{0}},{\kern 1pt} M,{\kern 1pt} {{M}_{u}},{\kern 1pt} T).$

5. ОЦЕНКИ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ ИСХОДНЫХ ФУНКЦИЙ

Используя выведенные неравенства, докажем априорные оценки, указанные в теореме 1. Обозначим через

(39)

${{C}_{M}} = C(M,{\kern 1pt} {{M}_{u}},{{M}_{\rho }},{{m}_{\rho }}) < \infty .$

Докажем вспомогательное утверждение.

Лемма 2. Пусть $g \in {{H}^{{2,1}}}$, ${{g}_{i}} \in {{H}^{1}}(0,T)$, $i = 1,2$ такие, что $g(a(t),t) = {{g}_{1}}(t)$, $g(b(t),t) = {{g}_{2}}(t)$. Тогда $g \in {{L}^{2}}(0,T;{{C}^{1}}(\bar {\Omega }))$ и выполняется оценка

(40)

$\mathop {\max }\limits_{x \in [a(t);{\kern 1pt} b(t)]} {{\left| {\frac{{\partial g}}{{\partial x}}} \right|}^{2}} \leqslant C{{\left( {\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{{\left| {\frac{{\partial g}}{{\partial x}}} \right|}}^{2}}dx + {{{\left| {{{g}_{1}}(t)} \right|}}^{2}} + {{{\left| {{{g}_{2}}(t)} \right|}}^{2}}} \right)}^{{1/2}}}{{\left( {\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{{\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}g}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right|}}^{2}}dx} \right)}^{{1/2}}} + C({{\left| {{{g}_{1}}(t)} \right|}^{2}} + {{\left| {{{g}_{2}}(t)} \right|}^{2}})$

для п.в. $t \in (0,T)$.

Доказательство. Пусть $h \in {{H}^{{2,1}}}$ – произвольная функция. Как следствие вложения ${{H}^{2}}(\Omega ) \subset {{C}^{1}}(\bar {\Omega })$ заключаем, что $h \in C(\bar {Q})$ и $(\partial h{\text{/}}\partial x) \in C(\bar {\Omega })$ для почти всех $t > 0$. Будем считать, что ${{\left. h \right|}_{{x = a(t)}}} = 0$, ${{\left. h \right|}_{{x = b(t)}}} = 0$ при $t \in [0,T]$ и существует ${{x}_{1}}(t) \in (a(t),{\kern 1pt} b(t))$ такая, что ${{\left. {(\partial h{\text{/}}\partial x)} \right|}_{{x = {{x}_{1}}(t)}}} = 0$. Таким образом, имеет место формула

${{\left| {\frac{{\partial h}}{{\partial x}}} \right|}^{2}} = 2\int\limits_{{{x}_{1}}(t)}^{x(t)} \left| {\frac{{\partial h}}{{\partial \xi }}} \right|{\text{sign}}\left( {\frac{{\partial h}}{{\partial \xi }}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}h}}{{\partial {{\xi }^{2}}}}d\xi .$

Отсюда с помощью неравенства Гёльдера выводим

(41)

${{\left| {\frac{{\partial h}}{{\partial x}}} \right|}^{2}} \leqslant 2{{\left( {\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{{\left| {\frac{{\partial h}}{{\partial x}}} \right|}}^{2}}dx} \right)}^{{1/2}}}{{\left( {\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{{\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}h}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right|}}^{2}}dx} \right)}^{{1/2}}}{\kern 1pt} .$

Пусть ${{g}_{1}}(x)$, ${{g}_{2}}(x)$ удовлетворяют условиям леммы 2. Представим $g(x,t)$ в виде

(42)

$g(x,t) = h(x,t) + {{g}_{1}}(t) + \frac{{{{g}_{2}}(t) - {{g}_{1}}(t)}}{L}(x(t) - a(t)).$

Для функции $g$, определенной в (42), вследствие (41) справедлива оценка (40). Лемма доказана.

На первом этапе оценим функцию $\varphi $ через норму $\theta $ в пространстве ${{L}^{2}}(\Omega )$. Для этого умножим (8) на $\varphi $ скалярно в ${{L}^{2}}({{\Omega }_{t}})$, получим

(43)

$\left\| \varphi \right\|_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{t}})}}^{2} + \left\| \varphi \right\|_{{{{H}^{1}}({{\Omega }_{t}})}}^{2} \leqslant C\left\| \theta \right\|_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{t}})}}^{2},\quad t \geqslant 0.$

Далее, из (18), учитывая (12), (32), (43), находим оценку

(44)

$\left\| {u(t)} \right\|_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{t}})}}^{2} + \int\limits_0^t \left\| u \right\|_{{{{H}^{1}}({{\Omega }_{\tau }})}}^{2}d\tau \leqslant T{{C}_{M}},\quad t \in [0,T],$

где постоянная ${{C}_{M}}$ определенна в (39) и не зависит от $T$.

Получим априорную оценку производной функции температуры $\theta $, определив сначала значения ${{\left. {(\rho \theta (\partial \theta {\text{/}}\partial x))} \right|}_{{x = b(t)}}}$, ${{\left. {(\rho \theta (\partial \theta {\text{/}}\partial x))} \right|}_{{x = a(t)}}}$ через данные задачи. Следуя доказательству леммы 2, найдется такая точка ${{x}_{1}}(t) \in (a(t),b(t))$, что

(45)

${{\left. {\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right|}_{{x = {{x}_{1}}(t)}}} = \frac{{{{\theta }_{2}}(t) - {{\theta }_{1}}(t)}}{L}.$

Обозначим через

(46)

$\begin{gathered} N(x,t) = \theta (x,t)\rho ({{x}_{1}},t)\frac{{{{\theta }_{2}}(t) - {{\theta }_{1}}(t)}}{L} + \frac{{{{c}_{\nu }}}}{\lambda }\theta {\kern 1pt} (u\rho \theta - {{\left. {(u\rho \theta )} \right|}_{{x = {{x}_{1}}(t)}}}) - \\ \, - \frac{{\theta (x,t)}}{\lambda }\int\limits_{{{x}_{1}}(t)}^{x(t)} \left[ {\mu \rho {{{\left| {\frac{{\partial u}}{{\partial \xi }}} \right|}}^{2}} - R\rho \theta \frac{{\partial u}}{{\partial \xi }} - b{{k}_{\alpha }}({{\theta }^{4}} - \varphi ){{\rho }^{{ - 1}}}} \right]d\xi . \\ \end{gathered} $

Заметим, что в силу (12), (32), (38), (44), справедливо неравенство

(47)

$\mathop {\max }\limits_{x \in [a(t);{\kern 1pt} b(t)]} \int\limits_0^t \left| {N(x,\tau )} \right|d\tau \leqslant {{C}_{M}}T,\quad t > 0.$

Проинтегрируем (7) от ${{x}_{1}}(t)$ до произвольной точки $x(t) \in [a(t),b(t)]$, учитывая (45) и используя правило дифференцирования интеграла от параметра. Затем умножим полученное равенство на ${{\lambda }^{{ - 1}}}\theta (x,t)$, найдем

(48)

$\theta (x,t)\rho (x,t)\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}} = \frac{{{{c}_{\nu }}}}{\lambda }\theta (x,t)\frac{d}{{dt}}\int\limits_{{{x}_{1}}(t)}^{x(t)} \,\theta (\xi ,t)d\xi + N(x,t),$

где $N(x,t)$ определена в (46). Рассмотрим (48) в точке $x = a(t)$,

(49)

$\begin{gathered} {{\left. {\left( {\theta \rho \frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right)} \right|}_{{x = a(t)}}} = \frac{{{{c}_{\nu }}}}{\lambda }{{\theta }_{1}}(t)\frac{d}{{dt}}\int\limits_{{{x}_{1}}(t)}^{a(t)} \theta (\xi ,t)d\xi + N(a(t),t) = \\ = \frac{{{{c}_{\nu }}}}{\lambda }\frac{d}{{dt}}\left( {{{\theta }_{1}}(t)\int\limits_{{{x}_{1}}(t)}^{a(t)} \theta (\xi ,t)d\xi } \right) - \frac{{{{c}_{\nu }}}}{\lambda }\frac{{d{{\theta }_{1}}}}{{dt}}\int\limits_{{{x}_{1}}(t)}^{a(t)} \theta (\xi ,t)d\xi + N(a(t),t). \\ \end{gathered} $

Проинтегрируем (49) по времени от $0$ до $t$, получим

(50)

$\begin{gathered} {{\left. {\int\limits_0^t \left( {\theta \rho \frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right)} \right|}_{{x = a(t)}}}{\kern 1pt} d\tau = \frac{{{{c}_{\nu }}}}{\lambda }{{\theta }_{1}}(t)\int\limits_{{{x}_{1}}(t)}^{a(t)} \theta (x,t)dx - \frac{{{{c}_{\nu }}}}{\lambda }{{\theta }_{1}}(0)\int\limits_{{{x}_{1}}(0)}^{a(0)} {{\theta }_{0}}(x)dx - \\ \, - \frac{{{{c}_{\nu }}}}{\lambda }\int\limits_0^t \int\limits_{{{x}_{1}}(t)}^{a(t)} \,\theta _{1}^{'}(\tau )\theta (\xi ,\tau )d\xi d\tau + \int\limits_0^t \,N(a(\tau ),\tau )d{\kern 1pt} \tau . \\ \end{gathered} $

Вследствие (12), (32), (47) каждое слагаемое в правой части (50) ограниченно для любого $t \in [0,T]$. Рассуждая аналогично для точки $x = b(t)$, найдем

(51)

${{\left. {\int\limits_0^t \left( {\theta \rho \frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right)} \right|}_{{x = b(t)}}}{\kern 1pt} d\tau - {{\left. {\int\limits_0^t \left( {\theta \rho \frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right)} \right|}_{{x = a(t)}}}{\kern 1pt} d\tau \leqslant {{C}_{M}}T,$

где постоянная ${{C}_{M}}$ определена в (39).

Используя (43), (44), (51), из (7) стандартным способом получаем априорную оценку

(52)

$\left\| \theta \right\|_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{t}})}}^{2} + \int\limits_0^t \left\| \theta \right\|_{{{{H}^{1}}({{\Omega }_{\tau }})}}^{2}d\tau \leqslant TC + {{C}_{M}},\quad t \in [0,T].$

Найдем оценку для функции $(\partial \rho {\text{/}}\partial x)$. C этой целью умножим (6) на $(1{\text{/}}\rho )$, продифференцируем по $x$ полученное равенство и учитывая первое слагаемое в правой части (5), найдем

$\frac{\partial }{{\partial t}}\frac{1}{\rho }\frac{{\partial \rho }}{{\partial x}} + R\theta \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}} + R\rho \frac{{\partial \theta }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = 0.$

Проинтегрируем по времени последнее равенство, возведем в квадрат, затем еще раз проинтегрируем по области ${{\Omega }_{t}}$. После простых преобразований найдем следующее выражение:

$\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {\frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}} \right|}^{2}}dx \leqslant {{C}_{M}}\int\limits_{{{\Omega }_{0}}} {{\left| {\frac{{\partial {{\rho }_{0}}}}{{\partial x}}} \right|}^{2}}dx + {{C}_{M}}\int\limits_0^t {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {\frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}} \right|}^{2}}dxd\tau + {{C}_{M}}\int\limits_0^t {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right|}^{2}}dxd\tau + {{C}_{M}}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} ({{\left| u \right|}^{2}} + {{\left| {{{u}_{0}}} \right|}^{2}})dx,$

из которого, с помощью леммы Гронулла, (44), (52), получим оценку

(53)

$\mathop {\max }\limits_{t \in [0,{\kern 1pt} T]} \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {\frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}} \right|}^{2}}dx \leqslant T{{C}_{M}},\quad t \in [0,T].$

Здесь постоянная ${{C}_{M}}$ определена в (39).

Получим оценки старших производных функций $u$, $\theta $. Обозначим через

${{u}_{b}} = {{\left. {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|}_{{x = b(t)}}},\quad {{u}_{a}} = {{\left. {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|}_{{x = a(t)}}},\quad {{\theta }_{b}} = {{\left. {\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right|}_{{x = b(t)}}},\quad {{\theta }_{a}} = {{\left. {\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right|}_{{x = a(t)}}}.$

Умножим (5), (7) на $u$, $\theta $, соответственно, скалярно в ${{L}^{2}}(\Omega )$. После применения формулы интегрирования по частям, учитывая (9), (13), найдем

(54)

$\frac{1}{2}\frac{d}{{dt}}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left( {{{{\left| {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|}}^{2}} + {{c}_{\nu }}{{{\left| {\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right|}}^{2}}} \right)dx + \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \,\rho \left( {\mu {{{\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right|}}^{2}} + \lambda {{{\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right|}}^{2}}} \right)dx = {{I}_{1}}(t) + {{I}_{2}}(t) + {{I}_{3}}(t),$

где

(55)

$\begin{gathered} {{I}_{1}}(t) = - \frac{1}{2}m(t)\left[ {{{{\left| {{{u}_{b}}} \right|}}^{2}} - {{{\left| {{{u}_{a}}} \right|}}^{2}} + {{{\left| {{{\theta }_{b}}} \right|}}^{2}} - {{{\left| {{{\theta }_{a}}} \right|}}^{2}}} \right] + u_{2}^{'}(t){{u}_{b}} - u_{1}^{'}(t){{u}_{a}} + \theta _{2}^{'}(t){{\theta }_{b}} - \theta _{1}^{'}(t){{\theta }_{a}}, \\ {{I}_{2}}(t) = - \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left( {\mu \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \lambda \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}} - \mu \rho {{{\left| {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|}}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right)dx, \\ {{I}_{3}}(t) = - \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left( {R\rho \theta \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}} + R\rho \frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} + R\theta \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} - b{{k}_{\alpha }}({{\theta }^{4}} - \varphi ){{\rho }^{{ - 1}}}\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right)dx. \\ \end{gathered} $

Для оценки ${{I}_{1}}(t)$ применим лемму 2 к функциям $u$, $\theta $. Используя (11), (38), получаем

(56)

$\begin{gathered} {{I}_{1}}(t) = - \frac{1}{2}m(t)\left[ {{{{\left| {{{u}_{b}}} \right|}}^{2}} - {{{\left| {{{u}_{a}}} \right|}}^{2}} + {{{\left| {{{\theta }_{b}}} \right|}}^{2}} - {{{\left| {{{\theta }_{a}}} \right|}}^{2}}} \right] + u_{2}^{'}(t){{u}_{b}} - u_{1}^{'}(t){{u}_{a}} + \theta _{2}^{'}(t){{\theta }_{b}} - \theta _{1}^{'}(t){{\theta }_{a}} \leqslant \\ \leqslant C{{\left( {\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{{\left[ {{{{\left| {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|}}^{2}} + {{{\left| {\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right|}}^{2}}} \right]}}^{2}}dx + {{{\left| {{{u}_{i}}} \right|}}^{2}} + {{{\left| {{{\theta }_{i}}} \right|}}^{2}}} \right)}^{{1/2}}}{{\left( {\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left[ {{{{\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right|}}^{2}} + {{{\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right|}}^{2}}} \right]dx} \right)}^{{1/2}}} + C({\text{|}}u_{i}^{'}(t){{{\text{|}}}^{2}} + \;{\text{|}}\theta _{i}^{'}(t){{{\text{|}}}^{2}}), \\ i = 1,2. \\ \end{gathered} $

Оценим ${{I}_{2}}(t)$, применяя лемму 2 для функций $u$, $\theta $ и оценку (53):

(57)

$\begin{gathered} {{I}_{2}}(t) = - \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left( {\mu \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \lambda \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}} - \mu \rho {{{\left| {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|}}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right)dx \leqslant C\mathop {\max }\limits_{a(t) \leqslant x \leqslant b(t)} \left\{ {\left| {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right| + \left| {\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right|} \right\}\left( {\left\| {\frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}} \right\| + \left\| {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right\|} \right) \times \\ \times \;\left( {\left\| {\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right\| + \left\| {\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right\|} \right) \leqslant \frac{{{{\varepsilon }_{1}}}}{2}\left( {{{{\left\| {\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right\|}}^{2}} + {{{\left\| {\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right\|}}^{2}}} \right) + {{C}_{{{{\varepsilon }_{1}}}}}{{\left( {\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{{\left[ {{{{\left| {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|}}^{2}} + {{{\left| {\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right|}}^{2}}} \right]}}^{2}}\;dx + {{{\left| {{{u}_{i}}} \right|}}^{2}} + {{{\left| {{{\theta }_{i}}} \right|}}^{2}}} \right)}^{{1/2}}} \times \\ \times \;{{\left( {\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left[ {{{{\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right|}}^{2}} + {{{\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right|}}^{2}}} \right]dx} \right)}^{{1/2}}} + {{C}_{{{{\varepsilon }_{1}}}}}({\text{|}}u_{i}^{'}(t){{{\text{|}}}^{2}} + \;{\text{|}}\theta _{i}^{'}(t){{{\text{|}}}^{2}}),\quad i = 1,2. \\ \end{gathered} $

При оценке ${{I}_{3}}(t)$ воспользуемся неравенством Коши и (38)

(58)

$\begin{gathered} {{I}_{3}}(t) = - \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} \left( {R\rho \theta \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}} + R\rho \frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} + R\theta \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} - b{{k}_{\alpha }}({{\theta }^{4}} - \varphi ){{\rho }^{{ - 1}}}\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right)dx \leqslant \\ \leqslant \frac{{{{\varepsilon }_{1}}}}{2}\left( {{{{\left\| {\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right\|}}^{2}} + {{{\left\| {\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right\|}}^{2}}} \right) + {{C}_{{{{\varepsilon }_{1}}}}}\left( {1 + {{{\left\| {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right\|}}^{2}} + {{{\left\| {\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right\|}}^{2}} + {{{\left\| {\frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}} \right\|}}^{2}}} \right). \\ \end{gathered} $

Подставляя (56)–(58) в (54) и выбирая ${{\varepsilon }_{1}} = {{m}_{0}}\min \{ \mu ,\lambda \} {\text{/}}2$, получаем неравенство

(59)

$\begin{gathered} \frac{d}{{dt}}\left( {{{{\left\| {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right\|}}^{2}} + {{{\left\| {\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right\|}}^{2}}} \right) + {{\left\| {\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right\|}^{2}} + {{\left\| {\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right\|}^{2}} \leqslant C{{\left( {{{{\left\| {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right\|}}^{2}} + {{{\left\| {\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right\|}}^{2}} + {{{\left| {{{u}_{i}}} \right|}}^{2}} + {{{\left| {{{\theta }_{i}}} \right|}}^{2}}} \right)}^{{1/2}}}{{\left( {{{{\left\| {\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right\|}}^{2}} + {{{\left\| {\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right\|}}^{2}}} \right)}^{{1/2}}} + \\ \, + C\left( {{{{\left\| {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right\|}}^{2}} + {{{\left\| {\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right\|}}^{2}} + {{{\left\| {\frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}} \right\|}}^{2}}} \right) + C({\text{|}}u_{1}^{'}(t){{{\text{|}}}^{2}} + \;{\text{|}}\theta _{1}^{'}(t){{{\text{|}}}^{2}} + \;{\text{|}}u_{2}^{'}(t){{{\text{|}}}^{2}} + \;{\text{|}}\theta _{2}^{'}(t){{{\text{|}}}^{2}}). \\ \end{gathered} $

Применяя неравенство Коши к первому слагаемому правой части (59), интегрируя по времени и учитывая (44), (52), (53), найдем оценку

(60)

$\left\| u \right\|_{{{{H}^{1}}({{\Omega }_{t}})}}^{2} + \left\| \theta \right\|_{{{{H}^{1}}({{\Omega }_{t}})}}^{2} + \int\limits_0^t \,(\left\| u \right\|_{{{{H}^{2}}({{\Omega }_{t}})}}^{2} + \left\| \theta \right\|_{{{{H}^{2}}({{\Omega }_{t}})}}^{2})d\tau \leqslant {{C}_{M}}T,\quad t > 0,$

где постоянная ${{C}_{M}}$ определена в (39).

Заметим, что вследствие леммы 2 справедливо неравенство

(61)

$\mathop {\max }\limits_{x(t) \in [a(t),b(t)]} \int\limits_0^t \left( {{{{\left| {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|}}^{2}} + {{{\left| {\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right|}}^{2}}} \right)d\tau \leqslant {{C}_{M}}T,\quad t > 0.$

Выражая из (6) $\partial \rho {\text{/}}\partial t = - {{\rho }^{2}}(\partial u{\text{/}}\partial x)$, учитывая (61), получаем

(62)

$\mathop {\max }\limits_{x(t) \in [a(t),b(t)]} \int\limits_0^t {{\left| {\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}}} \right|}^{2}}d\tau \leqslant {{C}_{M}}T,\quad t > 0.$

Из (5)–(7) учитывая (43), (44), (52), (53), находим

(63)

$\int\limits_0^T \left( {{{{\left\| {\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right\|}}^{2}} + {{{\left\| {\frac{{\partial \theta }}{{\partial t}}} \right\|}}^{2}}} \right)dt + \mathop {\max }\limits_{t \in [0,T]} {{\left\| {\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}}} \right\|}^{2}} \leqslant {{C}_{M}}.$

Получим оценку старшей производной для функции $\varphi $. Умножим (8) на $\varphi $ скалярно в ${{L}^{2}}({{\Omega }_{t}})$, $t \geqslant 0$, найдем

$\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right|}^{2}}dx + \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| \varphi \right|}^{2}}dx + {{\left| {\varphi (a(t),t)} \right|}^{2}} + {{\left| {\varphi (b(t),t)} \right|}^{2}} \leqslant C\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| \theta \right|}^{2}}dx + C({{\left| {{{\theta }_{1}}(t)} \right|}^{2}} + {{\left| {{{\theta }_{2}}(t)} \right|}^{2}}) \leqslant {{C}_{M}},\quad t > 0.$

Рассуждая аналогично лемме 2, можем записать неравенство

$\mathop {\max }\limits_{a(t) \leqslant x \leqslant b(t)} {{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right|}^{2}} \leqslant C\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right|}^{2}}dx + C{{\left| {\varphi (a(t),t)} \right|}^{2}} + C{{\left| {\varphi (b(t),t)} \right|}^{2}} + \varepsilon \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right|}^{2}}dx.$

Из равенства

$\alpha \rho \frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}} = {{k}_{\alpha }}(\varphi - {{\theta }^{4}}){{\rho }^{{ - 1}}} - \alpha \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}\frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}$

вытекает формула

$\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right|}^{2}}dx \leqslant C\mathop {\max }\limits_{a(t) \leqslant x \leqslant b(t)} {{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right|}^{2}}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {\frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}} \right|}^{2}}dx + {{C}_{M}}.$

Выбирая $\varepsilon = 1{\text{/}}(2{{C}_{M}})$, находим оценку

(64)

$\mathop {\max }\limits_{t \in [0,T]} \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right|}^{2}}dx \leqslant T{{C}_{M}}.$

Замечание 1. Единственность решения проверяется стандартным способом составления однородной задачи для разности двух возможных различных решений. Найденные априорные оценки сильного решения гарантируют ограниченность нелинейных слагаемых в соотвeтствующих пространствах.

Замечание 2. Полученные оценки гарантируют существование решения “в целом” по времени вместе с локальной теоремой. Локальная теорема доказывается с помощью принципа сжатых отображений. Полученные априорные оценки сильного решения зависят только от данных задачи и от величины $T$, но не от величины интервала существования локального решения. Поэтому локальное решение можно продолжить на весь отрезок $[0,T]$.

Изложим доказательство оценок для классических решений из теоремы 2. Сначала заметим, что согласно уравнению (6)

$\frac{{{{\partial }^{2}}\rho }}{{\partial x\partial t}} = - {{\rho }^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} - 2\rho \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}\frac{{\partial u}}{{\partial x}}.$

Вследствие (53), (60), (61), найдем оценку

(65)

$\int\limits_0^T {{\left\| {\frac{{{{\partial }^{2}}\rho }}{{\partial x\partial t}}} \right\|}^{2}}dt \leqslant C{{\left\| {\frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}} \right\|}^{2}}\int\limits_0^T \left( {{{{\left\| {\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right\|}}^{2}} + \mathop {\max }\limits_{a(t) \leqslant x \leqslant b(t)} {{{\left| {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right|}}^{2}}} \right)dt \leqslant T{{C}_{M}}.$

Продифференцируем (8), (9) по $t$, получим следующую краевую задачу, относительно функции $\partial \varphi {\text{/}}\partial t$:

(66)

$\begin{gathered} - \alpha \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial t\partial x}}\left( {\rho \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right) + {{k}_{\alpha }}{{\rho }^{{ - 1}}}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} = 4{{k}_{\alpha }}{{\rho }^{{ - 1}}}{{\theta }^{3}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} + {{k}_{\alpha }}{{\rho }^{{ - 2}}}(\varphi - {{\theta }^{4}})\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}}, \\ {{\left. { - \alpha \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right)} \right|}_{{x = a(t)}}} + \gamma \frac{\partial }{{\partial t}}({{\left. \varphi \right|}_{{x = a(t)}}} - \theta _{1}^{4}) = 0, \\ {{\left. {\alpha \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right)} \right|}_{{x = b(t)}}} + \gamma \frac{\partial }{{\partial t}}({{\left. \varphi \right|}_{{x = b(t)}}} - \theta _{2}^{4}) = 0. \\ \end{gathered} $

Умножим уравнение в (66) на $(\partial \varphi {\text{/}}\partial t)$ скалярно в ${{L}^{2}}({{\Omega }_{t}})$, учитывая (62), (63), получаем

(67)

$\int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial t\partial x}}} \right|}^{2}}dx + \int\limits_{{{\Omega }_{t}}} {{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}^{2}}dx + {{\left| {\frac{{\partial \varphi (a(t),t)}}{{\partial t}}} \right|}^{2}} + {{\left| {\frac{{\partial \varphi (b(t),t)}}{{\partial t}}} \right|}^{2}} \leqslant {{C}_{M}},\quad t \in [0,T].$

Далее, дифференцируя (5) по $t$, а затем умножая скалярно в ${{L}^{2}}({{\Omega }_{t}})$ полученное равенство на $(\partial u{\text{/}}\partial t)$, после простых выкладок получаем оценку

(68)

$\int\limits_0^T {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_\Omega {{\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial t\partial x}}} \right|}^{2}}dxdt + \mathop {\max }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} \int\limits_\Omega {{\left| {\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right|}^{2}}dx \leqslant T{{C}_{M}}.$

Аналогично, дифференцируя по $t$ уравнение (7) и учитывая (66), выводим

(69)

$\int\limits_0^T {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_\Omega {{\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial t\partial x}}} \right|}^{2}}dxdt + \mathop {\max }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} \int\limits_\Omega {{\left| {\frac{{\partial \theta }}{{\partial t}}} \right|}^{2}}dx \leqslant T{{C}_{M}}.$

Оценки (53), (60), (63)–(65), (67)–(69) по теореме вложения [27] гарантируют непрерывность в $\bar {Q}$ по Гёльдеру с показателем $1{\text{/}}2$ для функций $\rho $, $u$, $\theta $, $\varphi $. Поэтому можно утверждать, что при выполнении условий теоремы 1, имеют место следующие оценки:

(70)

${{\left\| \rho \right\|}_{\beta }} + {{\left\| u \right\|}_{\beta }} + {{\left\| \theta \right\|}_{\beta }} + {{\left\| \varphi \right\|}_{\beta }} \leqslant {{C}_{0}},\quad 0 < \beta \leqslant 1{\text{/}}2.$

Здесь ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{r}}$ – норма в ${{C}^{r}}(\bar {Q})$, $r \geqslant 0$.

Отметим, что необходимые оценки для обоснования гёльдеровской непрерывности с показателем $1{\text{/}}2$ для функции $(\partial \rho {\text{/}}\partial x)$, получаются из (37) способом, аналогичным в работе [25].

Таким образом, уравнения (5), (7), (8) можно рассматривать как смешанную систему, состоящую из двух параболических и эллиптического уравнений относительно $u(x,t)$, $\theta (x,t)$, $\varphi (x,t)$ с коэффициентами и правыми частями из ${{C}^{{1/2}}}(\bar {Q})$:

(71)

$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \mu \rho \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \mu \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}\frac{{\partial u}}{{\partial x}} - R\theta \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}} - R\rho \frac{{\partial \theta }}{{\partial x}},$

(72)

${{c}_{\nu }}\frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} = \lambda \rho \frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{x}^{2}}}} + \lambda \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}} - R\rho {\kern 1pt} \theta \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \mu \rho {{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right)}^{2}} - b{\kern 1pt} {{k}_{\alpha }}({{\theta }^{4}} - \varphi ){{\rho }^{{ - 1}}},$

(73)

$ - \alpha \rho \frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}} - \alpha \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} = {{k}_{\alpha }}{{\rho }^{{ - 1}}}(\varphi - {{\theta }^{4}})$

вместе с краевыми условиями (9). Функция $\rho $ определена формулой (37).

Пусть $\nu = (1{\text{/}}2)\min \{ \beta ,1{\text{/}}2\} $. Из теории краевых задач [28], [29], считая выражение $(\mu \rho {{(\partial u{\text{/}}\partial x)}^{2}} - b{{k}_{\alpha }}({{\theta }^{4}} - \varphi ){{\rho }^{{ - 1}}})$ правой частью параболического уравнения (72) относительно $\theta $, получим оценку

(74)

${{\left\| \theta \right\|}_{{2 + 2\nu ,1 + \nu }}} \leqslant {{C}_{0}}(1 + {{\left\| {\partial u{\text{/}}\partial x} \right\|}_{0}}{{\left\| {\partial u{\text{/}}\partial x} \right\|}_{{2\nu ,{\kern 1pt} \nu }}} + {{\left\| {\partial u{\text{/}}\partial x} \right\|}_{{2\nu ,{\kern 1pt} \nu }}}).$

Здесь ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{2k + 2\nu ,{\kern 1pt} k + \nu }}}$ – норма в ${{C}^{{2k + 2\nu ,{\kern 1pt} k + \nu }}}(\bar {Q})$.

Точно так же, рассматривая (71) как параболическое уравнение относительно $u$ с правой частью $(R\theta (\partial \rho {\text{/}}\partial x) + R\rho (\partial \theta {\text{/}}\partial x))$, и учитывая (70), (74), запишем

(75)

${{\left\| u \right\|}_{{2 + 2\nu ,{\kern 1pt} 1 + \nu }}} \leqslant {{C}_{0}}(1 + {{\left\| {\partial u{\text{/}}\partial x} \right\|}_{0}}{{\left\| {\partial u{\text{/}}\partial x} \right\|}_{{2\nu ,{\kern 1pt} \nu }}}).$

Рассуждая аналогично [25], используя интерполяционные неравенства [30]

${{\left\| {\partial u{\text{/}}\partial x} \right\|}_{0}} \leqslant {{C}_{0}}\left\| {\partial u{\text{/}}\partial x} \right\|_{{1/2}}^{{1 - s}}\left\| {\partial u{\text{/}}\partial x} \right\|_{{2 + 2\nu ,{\kern 1pt} 1 + \nu }}^{s},$

${{\left\| {\partial u{\text{/}}\partial x} \right\|}_{{2 + 2\nu ,{\kern 1pt} 1 + \nu }}} \leqslant {{C}_{0}}\left\| {\partial u{\text{/}}\partial x} \right\|_{{1/2}}^{{1 - r}}\left\| {\partial u{\text{/}}\partial x} \right\|_{{2 + 2\nu ,{\kern 1pt} 1 + \nu }}^{r},$

где $s = 1{\text{/}}(3 + 4\nu )$, $r = (1 + 4\nu ){\text{/}}(3 + 4\nu )$, из (75) найдем

${{\left\| u \right\|}_{{2 + 2\nu ,{\kern 1pt} 1 + \nu }}} \leqslant {{C}_{0}}(1 + \left\| {\partial u{\text{/}}\partial x} \right\|_{{2 + 2\nu ,{\kern 1pt} 1 + \nu }}^{{r + s}}).$

Причем, $r + s < 1$. Применяя неравенство Юнга, из этой формулы, учитывая (70), находим оценку для $u(x,t)$, а затем из (74) оцениваем $\theta $:

${{\left\| u \right\|}_{{2 + 2\nu ,{\kern 1pt} 1 + \nu }}} + {{\left\| \theta \right\|}_{{2 + 2\nu ,{\kern 1pt} 1 + \nu }}} \leqslant {{C}_{0}}.$

После этого гладкость $\rho $ повышается на основе формулы (37). Таким образом,

${{\left\| \rho \right\|}_{{1 + \nu ,{\kern 1pt} 1 + \nu /2}}} \leqslant {{C}_{0}}.$

Далее, из теории разрешимости краевых эллиптических задач [27] находим оценку для функции $\varphi $:

${{\left\| \varphi \right\|}_{{2 + 2\nu ,{\kern 1pt} 1}}} \leqslant {{C}_{0}}.$

Теорема 2 доказана.

Список литературы

Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача свободной конвекции с радиационным теплообменом // Дифференц. ур-ния. 2014. Т. 50. № 12. С. 1590–1597.
Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Нестационарная задача свободной конвекции с радиационным теплообменом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 28. № 2. С. 275–282.
Chebotarev A.Y., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Diffusion approximation of the radiative-conductive heat transfer model with Fresnel matching conditions // Comm. Nonlinear Sci. Num. Simulat. 2018. T. 57. P. 290–298.
Kelley C.T. Existence and uniqueness of solutions of nonlinear systems of conductive-radiative heat transfer equations // Transport Theory Statist. Phys. 1996. T. 25. № 2. P. 249–260.
Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1986.
Modest M.F. Radiative heat transfer. New York: Academic Press, 2003.
Boas D.A. Diffuse photon probes of structural and dynamical properties of turbid media: theory and biomedical applications. A Ph.D. Dissertation in Physics, University of Pennsylvania, 1996.
Кажихов А.В., Шелухин В.В. Однозначная разрешимость “в целом” по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа // Прикл. матем. и механ. 1977. Т. 41. С. 282–291.
Канель Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа. // Дифференц. ур-ния. 1968. Т. 4. № 4. С. 721–734.
Itaya N. On the temporally global problem of the generalised Burgers’ equation // J. Math.Kyoto Univ. 1974. T. 14. № 4. P. 129–177.
Амосов А.А. Стационарная задача сложного теплообмена в системе полупрозрачных тел с краевыми условиями диффузного отражения и преломления излучения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. Т. 57. № 3. С. 510–535.
Амосов А.А. Нестационарная задача сложного теплообмена в системе полупрозрачных тел c краевыми условиями диффузного отражения и преломления излучения // Современная математика. Фундаментальные направления. 2016. Т. 59. С. 5–34.
Amosov A.A. Some properties of boundary value problem for radiative transfer equation with diffuse reflection and refraction conditions // J. Math. Sci. (United States). 2015. V. 207. № 2. P. 118–141.
Амосов А.А. Существование глобальных обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого реального газа с разрывными данными // Дифференц. ур-ния. 2000. Т. 36. № 4. С. 486–499.
Pinnau R. Analysis of optimal boundary control for radiative heat transfer modelled by the SP 1 system // Comm. Math. Sci. 2007. T. 5. № 4. P. 951–969.
Druet P.E. Existence of weak solutions to the time dependent MHD equations coupled to heat transfer with nonlocal radiation boundary conditions // Nonlinear Anal. Real World Appl. 2009. T. 5. P. 2914–2936.
Ducomet B., Necasova S. Global weak solutions to the 1D compressible Navier?Stokes equations with radiation // Commun. Math. Anal. 2010. T. 8. № 3. P. 23–65.
Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Y., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Solvability of P1 approximation of a conductive-radiative heat transfer problem // Appl. Math. Comput. 2014. T. 249. P. 247–252.
Chebotarev A.Y., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E. Inhomogeneous steady-state problem of complex heat transfer // ESAIM: Math. Model. Num. Anal. 2017. T. 51. P. 2511–2519.
Chebotarev A.Y., Kovtanyuk A.E., Grenkin G.V., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Nondegeneracy of optimality conditions in control problems for a radiative-conductive heat transfer model // Appl. Math. Comput. 2016. T. 289. P. 371–380.
Chebotarev A.Y., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Inverse problem with finite overdetermination for steady-state equations of radiative heat exchange // J. Math. Anal. Appl. 2018. T. 460. № 2. P. 737–744.
Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 4. С. 711–719.
Кажихов А.В. О краевых задачах для уравнения Бюргерса сжимаемой жидкости в областях с подвижными границами // Динамика сплошной среды. Cб. науч. тр. Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1976. Т. 26.
Темам Р. Уравнения Навье–Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.
Кажихов А.В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа. Динамика сплошной среды: Cб. науч. тр. Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1976. Т. 24.
Гренкин Г.В., Чеботарев A.Ю. Нестационарная задача сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 11. С. 1806–1816.
Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.
Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Наука, 1968.
Nirenberg L. On elliptic partial differential equations // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. 1959. T. 13. № 2.
Ладыженская О.Л., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал