Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 7, стр. 1115-1137
Задача Шварца для J-аналитических функций в эллипсе
В. Г. Николаев *
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого
173003 Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, 41, Россия
* E-mail: vg14@inbox.ru
Поступила в редакцию 14.11.2021
После доработки 14.11.2021
Принята к публикации 14.01.2022
- EDN: TAUBFR
- DOI: 10.31857/S0044466922050106
Аннотация
Рассмотрена задача Шварца для функций, аналитических по Дуглису в эллипсе. Получены необходимые и достаточные условия на $\ell \times \ell $-матрицу $J$ и эллипс $\Gamma $, при которых решение задачи Шварца существует и единственно в классах Гёльдера. Для $\ell = 2$ и матриц с разными собственными значениями проведена редукция задачи Шварца к скалярному функциональному уравнению. Получены достаточные условия на жорданов базис матрицы J, при которых задача Шварца разрешима в произвольном эллипсе. Рассмотрены матрицы $J$ с собственными значениями, лежащими как выше, так и ниже вещественной оси. Библ. 15.
1. ВВЕДЕНИЕ
Исследование краевых задач для различных классов аналитических функций имеет давнюю историю (см. [1]–[3]), и в последние годы развивались в нескольких направлениях как теоретического характера (см. [4], [5]), так и с точки зрения их приложений к задачам общей теории краевых задач для (псевдо)дифференциальных уравнений (см. [6]–[8]).
Задача Римана–Гильберта (см. [1], [3]) о нахождении аналитической в области функции по заданному на границе значению ее вещественной части относится к одной из ключевых краевых задач. Одним из возможных обобщений этой краевой задачи является задача Шварца для аналитических по Дуглису функций, специальный случай которой рассмотрен в этой работе.
2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Определение 1 (см. [4], [9], [10]). Пусть матрица $J \in {{\mathbb{C}}^{{\ell \times \ell }}}$ не имеет вещественных собственных значений. Аналитической по Дуглису, или $J$-аналитической с матрицей $J$ называется комплексная $\ell $-вектор-функция $\phi = \phi (z) \in {{C}^{1}}(D)$, для которой в области $D \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ выполнено уравнение
(1)
$\frac{{\partial \phi }}{{\partial y}} - J \cdot \frac{{\partial \phi }}{{\partial x}} = 0,\quad z \in D.$В [4] показано, что система дифференциальных уравнений в частных производных (1) является эллиптической. Примером $J$-аналитической функции может служить вектор-полином вида
Определение 2. В скалярном случае, при $\ell = 1$, $J = \lambda $, $\operatorname{Im} \lambda \ne 0$ $J$-аналитическую в области $D$ функцию будем называть $\lambda $-голоморфной в области D. Для этих функций введем обозначение ${{f}_{\lambda }}(z)$. Соответственно, через ${{g}_{\mu }}(z)$ обозначим $\mu $-голоморфную функцию.
Примерами $\lambda $-голоморфных функций являются полиномы вида ${{f}_{\lambda }}(z)$ = ${{c}_{n}}{{(x + \lambda y)}^{n}}$, ${{c}_{n}} \in \mathbb{C}$, $n = 1,2, \ldots $ .
Определение 3. Будем говорить, что функция $\phi (z)$ соответствует матрице J, если она удовлетворяет уравнению (1).
Замечание 1. Из равенства (1) вытекает, что если функция $\phi (z)$ соответствует матрице J, то и функция $\phi {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z) = \alpha \cdot \phi (z) + c$, $\alpha \in \mathbb{C}$, $c \in {{\mathbb{C}}^{\ell }}$, соответствует той же матрице J.
Замечание 2. Пусть $\lambda = {{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}}i$, где ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}} \in \mathbb{R}$, ${{\lambda }_{2}} \ne 0$. Посредством простых преобразований несложно показать, что в результате подстановки $x = x{\kern 1pt} '\; + {{\lambda }_{1}}y{\kern 1pt} '$, $y = {{\lambda }_{2}}y{\kern 1pt} '$ функция $f(x,y)$, голоморфная в области D, станет $\lambda $-голоморфной функцией ${{f}_{\lambda }}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ')$, определенной в некоторой области ${{D}_{\lambda }}$. Соответственно, после обратной подстановки
Таким образом, с учетом замечания 2 и известных свойств голоморфных функций [11], справедлива
Лемма 1. Пусть конечная область $D \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ ограничена контуром Γ. Тогда если $\lambda $-голоморфная функция ${{\left. {{{f}_{\lambda }}(z)} \right|}_{\Gamma }} = 0$, то ${{f}_{\lambda }}(z) \equiv 0$. Кроме того, если ${{\left. {\operatorname{Re} {{f}_{\lambda }}(z)} \right|}_{\Gamma }} = {{c}_{1}}$, то ${{f}_{\lambda }}(z) \equiv {{c}_{1}} + i{{c}_{2}}$, где ${{c}_{1}},{{c}_{2}} \in \mathbb{R}$.
Рассмотрим для эллиптической системы (1) следующую краевую задачу Шварца (см. [9], [10]).
Пусть конечная область $D \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ ограничена гладким контуром Γ. Требуется найти $J$-аналитическую с матрицей $J$ в области $D$ функцию $\phi (z) \in C(\overline D )$, которая удовлетворяет краевому условию
(2)
${{\left. {\operatorname{Re} \phi (z)} \right|}_{\Gamma }} = \psi (\omega ),\quad \omega \in \Gamma ,$Если $\psi (\omega ) \equiv 0$, то будем говорить об однородной задаче Шварца:
Очевидными решениями задачи (3) служат постоянные функции $\phi (z) \equiv ic$, $c \in {{\mathbb{R}}^{\ell }}$, которые назовем тривиальными решениями.
Для $\ell \geqslant 2$ возможны непостоянные решения однородной задачи (3). Приведем два примера для $\ell = 2,3$.
Пример 1. Пусть $\ell = 2$,
Функция $\phi (z)$ соответствует матрице J, которая имеет кратное собственное значение $\lambda = i$. Имеем ${{\left. {\operatorname{Re} \phi (z)} \right|}_{\Gamma }} = 0$ на эллипсе Γ: $3{{x}^{2}} + {{y}^{2}} = 1$.
Пример 2. Пусть $\ell = 3$. Матрица
Нетрудно видеть, что ${{\left. {\operatorname{Re} \phi (z)} \right|}_{\Gamma }} = 0$ на эллипсе Γ: ${{x}^{2}} + xy + {{y}^{2}} = 1$.
3. ГРАНИЧНЫЕ ПОЛИНОМЫ И ТИЛЬДА-ПОЛИНОМЫ
В настоящей статье задача Шварца рассматривается только в эллипсе. В связи с этим несколько слов о терминологии. Будем называть эллипсом не только кривую $\Gamma $ на плоскости, но также и область K, ограниченную кривой Γ, — в зависимости от контекста. Такая договоренность упростит изложение.
Данный раздел полностью посвящен изложению основных результатов из работы [12]. Затем эти результаты будут применены к изучению задачи Шварца в эллипсе.
Пусть вещественные параметры ${{r}_{1}},{{r}_{2}}$ — полуоси эллипса, где ${{r}_{1}},{{r}_{2}} > 0$, и пусть $\alpha \in [0,2\pi )$ — угол в положительном направлении между полуосью эллипса длины ${{r}_{1}}$ и положительным направлением оси $Ox$. Тогда эллипс $\Gamma $ с центром в начале координат может быть задан параметрическим уравнением
(4)
$\Gamma {\kern 1pt} :\;\omega (t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x(t) = {{r}_{1}}\cos \alpha \cdot \cos t - {{r}_{2}}\sin \alpha \cdot \sin t,} \\ {y(t) = {{r}_{1}}\sin \alpha \cdot \cos t + {{r}_{2}}\cos \alpha \cdot \sin t,\quad t \in [ - \pi ,\pi ).} \end{array}} \right.$Пусть функция $\psi = \psi (\omega )$, $\omega \in \Gamma $, определена на эллипсе Γ. Формула (4) задает взаимно однозначное отображение $\omega = \omega (t)$ интервала $[ - \pi ,\pi )$ на эллипс $\Gamma $ как на множество. Поэтому корректно определена функция
Определение 4. Пусть $\omega = \omega (t)$ — параметризация $(4)$ эллипса Γ. С учетом $(5)$ будем отождествлять функции $\psi (\omega )$, $\omega \in \Gamma $ и $\psi {\kern 1pt} '(t)$, $t \in [ - \pi ,\pi )$.
Определение 5. Под функцией $\psi (\omega ) \in {{H}^{\sigma }}(\Gamma )$ будем понимать функцию $\psi {\kern 1pt} '(t)$, непрерывную по Гёльдеру с показателем $\sigma \in (0,1)$ на интервале $t \in [ - \pi ,\pi )$. Обозначим через ${{H}^{\sigma }}(\overline K )$, $\sigma \in (0,1),$ класс функций, непрерывных по Гёльдеру в замыкании $\overline K $ эллипса K.
Пусть $a,b \in \mathbb{C}$, причем $a \ne 0$. Для $n = 1,2,3 \ldots $ рассмотрим выражение
(6)
${{f}_{n}}(t) = {{e}^{{\operatorname{int} }}} + \frac{{{{b}^{n}}}}{{{{a}^{n}}}}{{e}^{{ - \operatorname{int} }}},\quad \left| a \right| > \left| b \right|,\quad a \ne 0,\quad t \in [ - \pi ,\pi ).$Следуя [12], будем называть функции ${{f}_{n}}(t)$ вида (6) граничными полиномами. Как нетрудно видеть, функции ${{f}_{n}}(t)$ попарно ортогональны на интервале $t \in [ - \pi ,\pi )$.
Далее, пусть $\lambda ,a,b \in \mathbb{C}$, $a \ne 0$, $\operatorname{Im} \lambda \ne 0$. Согласно [4] введем обозначения
(7)
$[z] = x + \lambda y,\quad (x,y) \in {{\mathbb{R}}^{2}};\quad {{[z]}_{t}} = a{{e}^{{{\text{it}}}}} + b{{e}^{{ - {\text{it}}}}},\quad t \in [ - \pi ,\pi ).$Замечание 3. Ниже будем отождествлять обозначения $f(z)$ и $f([z])$. Так же будем обозначать $z = x + \lambda y$. Это сделает изложение более удобным.
Пусть ${{\zeta }_{{nk}}} \in \mathbb{C}$. Рассмотрим комплексные функции ${{\tilde {f}}_{n}}(z) = {{\tilde {f}}_{n}}([z])$, которые являются полиномами $n$-й степени переменной $[z]$:
(8)
$\begin{gathered} {{{\tilde {f}}}_{n}}(z) = {{{\tilde {f}}}_{n}}([z]) = {{\zeta }_{{n1}}}{{[z]}^{n}} + {{\zeta }_{{n2}}}{{[z]}^{{n - 2}}} + \ldots + {{\zeta }_{{ns - 1}}}{{[z]}^{3}} + {{\zeta }_{{ns}}}[z],\quad n = 1,3,5, \ldots ; \\ {{{\tilde {f}}}_{n}}(z) = {{{\tilde {f}}}_{n}}([z]) = {{\zeta }_{{n1}}}{{[z]}^{n}} + {{\zeta }_{{n2}}}{{[z]}^{{n - 2}}} + \ldots + {{\zeta }_{{ns - 1}}}{{[z]}^{2}} + {{\zeta }_{{ns}}},\quad n = 2,4,6, \ldots \;. \\ \end{gathered} $Нетрудно убедиться в том, что полиномы ${{\tilde {f}}_{n}}(z)$, а так же функция $[z] = x + \lambda y$, $\lambda $-голоморфны во всей плоскости $\mathbb{C}$. Справедлива
Лемма 2. Для каждого $n \in \mathbb{N}$ существует единственный набор чисел ${{\zeta }_{{nk}}} \in \mathbb{C}$, $k = 1, \ldots ,s$, такой, что
(9)
${{\tilde {f}}_{n}}({{[z]}_{t}}) = {{e}^{{\operatorname{int} }}} + \frac{{{{b}^{n}}}}{{{{a}^{n}}}}{{e}^{{ - \operatorname{int} }}} = {{f}_{n}}(t),\quad t \in [ - \pi ,\pi ),$При этом ${{\zeta }_{{n1}}} = \frac{1}{{{{a}^{n}}}}$.
Определение 6 (см. [12]). Полиномы ${{\tilde {f}}_{n}}(z)$ вида $(8)$ с коэффициентами ${{\zeta }_{{nk}}}$ такими, что верна формула $(9),$ называются тильда-полиномами степени n.
Подставим параметризацию (4) некоторого эллипса $\Gamma $ в выражение $[z] = x + \lambda y$. Затем выразим $\cos t$, $\sin t$ как функции переменных ${{e}^{{{\text{it}}}}}$ и ${{e}^{{ - {\text{it}}}}}$ с помощью формулы Эйлера ${{e}^{{{\text{it}}}}} = \cos t + i\sin t$. В результате получим выражение ${{[z]}_{t}}$ в (7), но при этом числа $a,b \in \mathbb{C}$ определены однозначно параметрами ${{r}_{1}},{{r}_{2}},\alpha $ эллипса Γ, а также числом λ, $\operatorname{Im} \lambda \ne 0$ и имеют вид
(10)
$b = b(\alpha ,\lambda ,{{r}_{1}},{{r}_{2}}) = \frac{{{{r}_{1}}\cos \alpha - i{{r}_{2}}\sin \alpha + \lambda ({{r}_{1}}\sin \alpha + i{{r}_{2}}\cos \alpha )}}{2},$Относительно чисел $a,b$ (10) справедливо следующее утверждение.
Предложение 1. Если $\operatorname{Im} \lambda > 0$, то $a \ne 0$, $\left| a \right| > \left| b \right|$. Если $\operatorname{Im} \lambda < 0$, то $b \ne 0$, $\left| b \right| > \left| a \right|$.
В результате сделанных преобразований и с учетом обозначений (7) имеем равенство
(11)
${{\left. {[z]} \right|}_{\Gamma }} = {{\left. {(x + \lambda y)} \right|}_{\Gamma }} = a{{e}^{{{\text{it}}}}} + b{{e}^{{ - {\text{it}}}}} = [z{{]}_{t}},\quad t \in [ - \pi ,\pi ),$С учетом (11), леммы 2 и определения 4 справедлива
Лемма 3. Для каждого граничного полинома ${{f}_{n}}(t)$, $n = 1,2,3, \ldots $, вида (6) существует единственный тильда-полином ${{\tilde {f}}_{n}}(z)$ (8) такой, что
(12)
${{\left. {{{{\tilde {f}}}_{n}}(z)} \right|}_{\Gamma }} = {{f}_{n}}(t),\quad t \in [ - \pi ,\pi ).$Следует отметить, что на формуле (12) основаны практически все приведенные ниже построения.
4. ГРАНИЧНАЯ СТРУКТУРА $J$-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЛИПСЕ
Пусть матрица ${{J}_{1}}$ — жорданова форма матрицы $J \in {{\mathbb{C}}^{{\ell \times \ell }}}$, и пусть столбцы матрицы $Q$ — это жорданов базис J. Тогда, как известно, справедливо равенство $J = Q{{J}_{1}}{{Q}^{{ - 1}}}$. Подставим это выражение в (1):
(13)
$\frac{\partial }{{\partial y}}({{Q}^{{ - 1}}}\phi ) - {{J}_{1}} \cdot \frac{\partial }{{\partial x}}({{Q}^{{ - 1}}}\phi ) = 0.$Пусть в (13)
(14)
${{Q}^{{ - 1}}} \cdot \phi (z) = {{({{g}_{1}}(z), \ldots ,{{g}_{\ell }}(z))}^{{\text{T}}}} = g{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z),$Предложение 2. Общее решение уравнения (1) представимо в виде
(15)
$\phi (z) = Q \cdot {{({{g}_{1}}(z), \ldots ,{{g}_{\ell }}(z))}^{{\text{T}}}} = Q \cdot g{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z),$Нашей дальнейшей задачей будет определение структуры функций ${{g}_{k}}(z)$ в (14), (15).
Обозначим через $J_{{{{\lambda }_{l}}}}^{{({{m}_{l}})}}$ нижне треугольные жордановы клетки размера ${{m}_{l}} \times {{m}_{l}}$ с собственным значением ${{\lambda }_{l}}$ матрицы $J$ по главной диагонали. При этом $1 \leqslant {{m}_{l}} \leqslant \ell $. Тогда, как известно, жорданова $\ell \times \ell $-матрица ${{J}_{1}}$ имеет вид
(16)
${{J}_{1}} = \operatorname{diag} \left( {J_{{{{\lambda }_{1}}}}^{{({{m}_{1}})}},J_{{{{\lambda }_{2}}}}^{{({{m}_{2}})}}, \ldots ,J_{{{{\lambda }_{s}}}}^{{({{m}_{s}})}}} \right),\quad {{m}_{1}} + {{m}_{2}} + \ldots + {{m}_{s}} = \ell .$С учетом блочно-диагональной структуры жордановой матрицы ${{J}_{1}}$ (16) достаточно определить структуру функций ${{g}_{k}}(z)$ для того случая, когда матрица ${{J}_{1}}$ есть жорданова клетка размера $m \times m$ с собственным значением $\lambda $ по главной диагонали. Затем полученный результат распространим на общий случай.
Для определенности будем считать жорданову клетку ${{J}_{1}} = J_{\lambda }^{{(m)}}$ нижне треугольной. Таким образом, с учетом обозначений (13) и (14) нужно найти общее решение уравнения
(17)
$\frac{\partial }{{\partial y}}g{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z) - J_{\lambda }^{{(m)}} \cdot \frac{\partial }{{\partial x}}g{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z) = 0,$(18)
$J_{\lambda }^{{(m)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda &0& \cdots &0&0 \\ 1&\lambda & \ldots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0&0& \ldots &\lambda &0 \\ 0&0& \ldots &1&\lambda \end{array}} \right),\quad \operatorname{Im} \lambda \ne 0,$(19)
$\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{g}_{1}}(z)} \\ \vdots \\ {{{g}_{k}}(z)} \\ \vdots \\ {{{g}_{m}}(z)} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda &0& \cdots &0&0 \\ 1&\lambda & \ldots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0&0& \ldots &\lambda &0 \\ 0&0& \ldots &1&\lambda \end{array}} \right) \cdot \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{g}_{1}}(z)} \\ \vdots \\ {{{g}_{k}}(z)} \\ \vdots \\ {{{g}_{m}}(z)} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}} \right).$Как нетрудно видеть, (19) распадается на следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно функций ${{g}_{k}}(z)$, $k = 1, \ldots ,m$:
(20)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {{g}_{1}}}}{{\partial y}} - \lambda \cdot \frac{{\partial {{g}_{1}}}}{{\partial x}} = 0,} \\ {\frac{{\partial {{g}_{2}}}}{{\partial y}} - \lambda \cdot \frac{{\partial {{g}_{2}}}}{{\partial x}} = \frac{{\partial {{g}_{1}}}}{{\partial x}},} \\ { \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \\ {\frac{{\partial {{g}_{k}}}}{{\partial y}} - \lambda \cdot \frac{{\partial {{g}_{k}}}}{{\partial x}} = \frac{{\partial {{g}_{{k - 1}}}}}{{\partial x}},} \\ { \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \\ {\frac{{\partial {{g}_{m}}}}{{\partial y}} - \lambda \cdot \frac{{\partial {{g}_{m}}}}{{\partial x}} = \frac{{\partial {{g}_{{m - 1}}}}}{{\partial x}}.} \end{array}$Справедлива
Лемма 4. Функция ${{g}_{1}}(z)$ в $(20)$ является $\lambda $-голоморфной. При $k \geqslant 2$ функции ${{g}_{k}}(z)$ как решения уравнений (20) представимы в виде
(21)
$\begin{gathered} {{g}_{k}}(z) = \sum\limits_{r = 1}^{k - 1} \frac{{{{y}^{{k - r}}}}}{{(k - r)!}} \cdot \frac{{{{\partial }^{{k - r}}}{{f}_{r}}(z)}}{{\partial {{x}^{{k - r}}}}} + {{f}_{k}}(z) = \\ = \sum\limits_{r = 1}^{k - 1} \frac{{{{y}^{{k - r}}}}}{{(k - r)!}} \cdot \frac{{{{d}^{{k - r}}}{{f}_{r}}(z)}}{{d{{z}^{{k - r}}}}} + {{f}_{k}}(z),\quad k = 2, \ldots ,m, \\ \end{gathered} $Доказательство. Функция ${{g}_{1}}(z) = {{f}_{1}}(z)$ будет $\lambda $-голоморфной в силу определения 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что решение второго уравнения $(k = 2)$ в (21) представимо в виде
(22)
${{g}_{2}}(z) = y \cdot \frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial x}} + {{f}_{2}}(z) = y \cdot \frac{{d{{f}_{1}}}}{{dz}} + {{f}_{2}}(z),\quad k = 2,$(23)
${{g}_{{k - 1}}}(z) = \sum\limits_{r = 1}^{k - 2} \frac{{{{y}^{{k - 1 - r}}}}}{{(k - 1 - r)!}} \cdot \frac{{{{d}^{{k - 1 - r}}}{{f}_{r}}(z)}}{{d{{z}^{{k - 1 - r}}}}} + {{f}_{{k - 1}}}(z).$При этом в (23) функции ${{f}_{1}}(z), \ldots ,{{f}_{{k - 1}}}(z)$ являются по предположению индукции $\lambda $-голоморфными. Будем искать функцию ${{g}_{k}}(z)$ в виде
(24)
${{g}_{k}}(z) = \sum\limits_{r = 1}^{k - 1} \frac{{{{y}^{{k - r}}}}}{{(k - r)!}} \cdot \frac{{{{\partial }^{{k - r}}}{{f}_{r}}(z)}}{{\partial {{x}^{{k - r}}}}} + g{\kern 1pt} '(x,y),$Заметим, что формулы (24) и (21) отличаются только последним слагаемым $g{\kern 1pt} '(x,y)$, которое нужно определить. Имеем
(25)
$\begin{gathered} - \;\sum\limits_{r = 1}^{k - 1} \,\lambda \frac{{{{y}^{{k - r}}}}}{{(k - r)!}} \cdot \frac{\partial }{{\partial x}}\frac{{{{\partial }^{{k - r}}}{{f}_{r}}(z)}}{{\partial {{x}^{{k - r}}}}} - \lambda \frac{\partial }{{\partial x}}g{\kern 1pt} '(x,y) = \\ = \sum\limits_{r = 1}^{k - 1} \frac{{{{y}^{{k - r - 1}}}}}{{(k - r - 1)!}} \cdot \frac{{{{\partial }^{{k - r}}}{{f}_{r}}(z)}}{{\partial {{x}^{{k - r}}}}} + \frac{\partial }{{\partial y}}g{\kern 1pt} '(x,y) - \lambda \frac{\partial }{{\partial x}}g{\kern 1pt} '(x,y) = \\ \end{gathered} $Заметим, что
(26)
$y = \frac{{x + ({{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}}i)y - [x + ({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}}i)y]}}{{2{{\lambda }_{2}}i}} = \frac{{[z] - \overline {[z]} }}{{2{{\lambda }_{2}}i}} = \frac{{z - \bar {z}}}{{2{{\lambda }_{2}}i}}.$Подставим (26) в (21). Тогда с учетом леммы 4 доказана
Лемма 5. Общее решение $g{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z) = ({{g}_{1}}, \ldots ,{{g}_{m}})$ уравнения (19) представимо в виде
(27)
$\begin{gathered} {{g}_{1}}(z) = {{f}_{1}}(z), \\ {{g}_{k}}(z) = \sum\limits_{r = 1}^{k - 1} \frac{1}{{(k - r)!}} \cdot {{\left( {\frac{{z - \bar {z}}}{{2{{\lambda }_{2}}i}}} \right)}^{{k - r}}} \cdot \frac{{{{d}^{{k - r}}}{{f}_{r}}(z)}}{{d{{z}^{{k - r}}}}} + {{f}_{k}}(z),\quad k = 2, \ldots ,m, \\ \end{gathered} $Ниже функции ${{g}_{k}}(z)$ будем использовать именно в виде (27). В силу (11) и замечания 3 при $q \in \mathbb{N}$ имеем
(28)
$\begin{gathered} {{\left. {{{{\left( {\frac{{z - \bar {z}}}{{2{{\lambda }_{2}}i}}} \right)}}^{q}}} \right|}_{\Gamma }} = {{\left( {\frac{{(a - \bar {b}){{e}^{{{\text{it}}}}} + (b - \bar {a}){{e}^{{ - {\text{it}}}}}}}{{2{{\lambda }_{2}}i}}} \right)}^{q}} = \\ = {{\left( {\frac{{a - \bar {b}}}{{2{{\lambda }_{2}}i}}} \right)}^{q}} \cdot {{e}^{{{\text{iqt}}}}} + {{\left( {\frac{{b - \overline a }}{{2{{\lambda }_{2}}i}}} \right)}^{q}} \cdot {{e}^{{ - {\text{iqt}}}}} + {{P}_{{q - 1}}}(t), \\ \end{gathered} $Пусть теперь ${{\tilde {f}}_{n}}(z) = {{\zeta }_{{n1}}}{{[z]}^{n}} + \ldots $ — тильда-полином (8) степени n. Тогда
(29)
$\frac{{{{d}^{q}}{{{\tilde {f}}}_{n}}(z)}}{{d{{z}^{q}}}} = {{\zeta }_{{n1}}}n \cdot (n - 1) \cdots (n - q + 1){{z}^{{n - q}}} + {{P}_{{n - q - 1}}}(z),$(30)
$ = {{\zeta }_{{n1}}} \cdot n \cdot (n - 1) \cdots (n - q + 1){{a}^{{n - q}}}{{e}^{{{\text{(n}} - {\text{q}}){\text{it}}}}} + $Подставим теперь в (27) в качестве функций ${{f}_{r}}(z)$ выражения ${{\alpha }_{{nr}}}{{\tilde {f}}_{n}}(z)$, т.е. $\lambda $-голоморфные тильда-полиномы ${{\tilde {f}}_{n}}(z)$ степени $n$ с некоторыми коэффициентами ${{\alpha }_{{nr}}} \in \mathbb{C}.$ Нас интересует граничное значение полученной таким образом функции ${{g}_{k}}(z)$ на эллипсе $\Gamma = \partial K$. В силу (27), (28), (30) и произвольности выбора $q \in \mathbb{N}$ имеем, полагая в (30) $q = k - r$:
(31)
$ + \;\sum\limits_{r = 1}^{k - 1} \,{{\alpha }_{{nr}}}\left[ {\frac{{{{\zeta }_{{n1}}}}}{{(k - r)!}} \cdot {{{\left( {\frac{{b - \bar {a}}}{{2{{\lambda }_{2}}i}}} \right)}}^{{k - r}}} \cdot [n(n - 1) \cdots (n - k + r + 1){{b}^{{n - k + r}}}]} \right] \cdot {{e}^{{ - {\text{int}}}}} + {{P}_{{kn - 1}}}(t),$В целях упрощения дальнейших преобразований введем обозначения для выражений в квадратных скобках в равенстве (31):
(32)
$\chi _{{nkr}}^{ - } = \frac{{{{\zeta }_{{n1}}}}}{{(k - r)!}} \cdot {{\left( {\frac{{b - \bar {a}}}{{2{{\lambda }_{2}}i}}} \right)}^{{k - r}}} \cdot [n(n - 1) \cdots (n - k + r + 1)]{{b}^{{n - k + r}}},$С учетом леммы 5 в качестве функции ${{g}_{1}}(z)$ возьмем $\lambda $-голоморфный тильда-полином ${{\tilde {f}}_{1}}(z)$ степени $n$ с коэффициентом ${{\alpha }_{{n1}}} \in \mathbb{C}$. Тогда в силу (6), (12), (31) и (32) имеем
Обобщим полученные результаты. Функции ${{g}_{k}}(z)$ (27) по построению есть общее решение (19) для того случая, когда матрица ${{J}_{1}} = J_{\lambda }^{{(m)}}$ представляет собой одну жорданову клетку (18) размера $m \times m$.
Пусть теперь жорданова матрица ${{J}_{1}}$ имеет общий вид (16). Запишем (13) c учетом обозначений (14) и (16):
(34)
$\frac{\partial }{{\partial y}}g{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z) - \left( {J_{{{{\lambda }_{1}}}}^{{({{m}_{1}})}},J_{{{{\lambda }_{2}}}}^{{({{m}_{2}})}}, \ldots ,J_{{{{\lambda }_{s}}}}^{{({{m}_{s}})}}} \right) \cdot \frac{\partial }{{\partial x}}g{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z) = 0.$В силу (34) задача об определении структуры функции $g{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z)$ распадается на $s$ независимых подзадач вида (17) для каждой отдельной жордановой клетки $J_{{{{\lambda }_{l}}}}^{{({{m}_{l}})}}$ с числом ${{\lambda }_{l}}$ по главной диагонали.
Примем следующие обозначения. Будем обозначать ${{\lambda }_{l}}$-голоморфные функции через $f_{r}^{{(l)}} = f_{r}^{{(l)}}(z)$. Обозначим через $g_{k}^{{(l)}} = g_{k}^{{(l)}}(z)$, $k = 1, \ldots ,{{m}_{l}}$, решениe системы (20), соответствующее жордановой клетке $J_{{{{\lambda }_{l}}}}^{{({{m}_{l}})}}$ размера ${{m}_{l}} \times {{m}_{l}}$. Обозначим через ${{a}_{l}},{{b}_{l}}$ числа (10), найденные по параметрам $\alpha ,{{r}_{1}},{{r}_{2}}$ некоторого эллипса $\Gamma $ и собственному числу ${{\lambda }_{l}} = {{\lambda }_{{1l}}} + {{\lambda }_{{2l}}}i$ матрицы J.
С учетом сделанных обозначений, блочно-диагональной структуры матрицы ${{J}_{1}}$ и леммы 5 доказана
Лемма 6. Общее решение $g{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z)$ уравнения $(34)$ имеет вид
(35)
$g{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z)(g_{1}^{{(1)}}, \ldots ,g_{{{{m}_{1}}}}^{{(1)}},g_{1}^{{(2)}}, \ldots ,g_{{{{m}_{2}}}}^{{(2)}}, \ldots , \ldots ,g_{1}^{{(s)}}, \ldots ,g_{{{{m}_{s}}}}^{{(s)}}),$(36)
$g_{k}^{{(l)}}(z) = \sum\limits_{r = 1}^{k - 1} \frac{1}{{(k - r)!}}{{\left( {\frac{{z - \bar {z}}}{{2{{\lambda }_{{2l}}}i}}} \right)}^{{k - r}}} \cdot \frac{{{{d}^{{k - r}}}f_{r}^{{(l)}}(z)}}{{d{{z}^{{k - r}}}}} + f_{k}^{{(l)}}(z),$При этом через $f_{r}^{{(l)}} = f_{r}^{{(l)}}(z)$ обозначены произвольные ${{\lambda }_{l}}$-голоморфные функции.
Из леммы 6 и предложения 2 вытекает
Лемма 7. Пусть жорданова форма ${{J}_{1}}$ матрицы $J$ имеет вид (16), и пусть столбцы матрицы $Q$ есть жорданов базис матрицы J. Тогда общее решение уравнения (1) представимо в виде
(37)
$\phi (z) = Q \cdot g{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z) = Q \cdot {{(g_{1}^{{(1)}}, \ldots ,g_{{{{m}_{1}}}}^{{(1)}}, \ldots , \ldots ,g_{1}^{{(s)}}, \ldots ,g_{{{{m}_{s}}}}^{{(s)}})}^{{\text{T}}}},$Пусть ${{\tilde {f}}_{{nl}}}(z) = {{\zeta }_{{n1l}}}{{[z]}^{n}} + \ldots $ есть ${{\lambda }_{l}}$-голоморфный тильда-полином (8) степени n. Для жордановой клетки размера ${{m}_{l}} \times {{m}_{l}}$ с собственным значением ${{\lambda }_{l}}$ запишем числа $\chi _{{nkr}}^{ \pm } = \chi _{{nkr}}^{{(l) \pm }}$ (32) с учетом введенных выше обозначений:
(38)
$\chi _{{nkr}}^{{(l) - }} = \frac{{{{\zeta }_{{n1l}}}}}{{(k - r)!}} \cdot {{\left( {\frac{{{{b}_{l}} - {{{\bar {a}}}_{l}}}}{{2{{\lambda }_{{2l}}}i}}} \right)}^{{k - r}}} \cdot [n(n - 1) \cdots (n - k + r + 1)]b_{l}^{{n - k + r}},$Подставим в (36) в качестве функций $f_{r}^{{(l)}}(z)$ выражения $\alpha _{{nr}}^{{(l)}}\tilde {f}_{n}^{{(l)}}(z)$, т.е. ${{\lambda }_{l}}$-голоморфные тильда-полиномы $\tilde {f}_{n}^{{(l)}}(z)$ степени $n$ с некоторыми коэффициентами $\alpha _{{nr}}^{{(l)}} \in \mathbb{C}$. Тогда с учетом обозначений (38) формулы (33) примут вид
(39)
${{\left. {g_{k}^{{(l)}}(z)} \right|}_{\Gamma }} = g_{k}^{{(l)}}(t) = \left( {\sum\limits_{r = 1}^{k - 1} \,\alpha _{{nr}}^{{(l)}}\chi _{{nkr}}^{{(l) + }}} \right) \cdot {{e}^{{\operatorname{int} }}} + \left( {\sum\limits_{r = 1}^{k - 1} \,\alpha _{{nr}}^{{(l)}}\chi _{{nkr}}^{{(l) - }}} \right) \cdot {{e}^{{ - \operatorname{int} }}} + P_{{kn - 1}}^{{(l)}}(t),$Полученный результат оформим в виде леммы.
Лемма 8. Пусть в $(36)$ функции $f_{r}^{{(l)}}(z)$ имеют вид $\alpha _{{nr}}^{{(l)}}{{\tilde {f}}_{{nl}}}(z)$, $\alpha _{{nr}}^{{(l)}} \in \mathbb{C}$, где через ${{\tilde {f}}_{{nl}}}(z) = {{\zeta }_{{n1l}}}{{z}^{n}} + \ldots $ обозначен ${{\lambda }_{l}}$-голоморфный тильда-полином (8) степени n. Тогда справедливы формулы (39), (38).
Замечание 4. В (38) имеем ${{a}_{l}} - {{\bar {b}}_{l}} \ne 0$, ${{b}_{l}} - {{\bar {a}}_{l}} \ne 0$, так как в противном случае $\left| {{{a}_{l}}} \right| = \left| {{{b}_{l}}} \right|$, что согласно предложению 1 противоречит условию $\operatorname{Im} {{\lambda }_{l}} = {{\lambda }_{{2l}}} \ne 0$. Кроме того, ${{\zeta }_{{n1l}}} \ne 0$, так как это старший коэффициент тильда-полинома ${{\tilde {f}}_{{nl}}}(z)$. Поэтому и числа $\chi _{{nkr}}^{{(l) \pm }} \ne 0$.
Докажем следующее утверждение, которое будет использовано ниже.
Лемма 9. Пусть ${{\left. {\phi (z)} \right|}_{\Gamma }} \equiv 0$. Тогда $\phi (z) \equiv 0$.
Доказательство. Пусть ${{f}_{\lambda }}(z)$ есть $\lambda $-голоморфная функция. Тогда согласно лемме 1, если ${{\left. {{{f}_{\lambda }}(z)} \right|}_{\Gamma }} = 0$, то ${{f}_{\lambda }}(z) \equiv 0$. Поэтому искомое утверждение вытекает из леммы 6 и предложения 2. Лемма 9 доказана.
В заключение этого раздела остановимся кратко на том случае, когда жордановы клетки в (16), (18) — верхне треугольные. Этот случай соответствует ${{J}^{{\text{T}}}}$-аналитическим функциям $\tilde {\phi } = \tilde {\phi }(z)$, удовлетворяющим уравнению
(40)
$\frac{{\partial{ \tilde {\phi }}}}{{\partial y}} - {{J}^{{\text{T}}}}\frac{{\partial{ \tilde {\phi }}}}{{\partial x}} = 0,\quad z \in D,$(41)
${{J}^{{\text{T}}}} = (Q{{J}_{1}}{{Q}^{{ - 1}}}{{)}^{{\text{T}}}} = {{({{Q}^{{ - 1}}})}^{{\text{T}}}}J_{1}^{{\text{T}}}{{Q}^{{\text{T}}}} = {{({{Q}^{{\text{T}}}})}^{{ - 1}}}J_{1}^{{\text{T}}}{{Q}^{{\text{T}}}},$(42)
$J_{1}^{{\text{T}}} = \operatorname{diag} \left( {{{{(J_{{{{\lambda }_{1}}}}^{{({{m}_{1}})}})}}^{{\text{T}}}},(J_{{{{\lambda }_{2}}}}^{{({{m}_{2}})}}{{)}^{{\text{T}}}}, \ldots ,(J_{{{{\lambda }_{s}}}}^{{({{m}_{s}})}}{{)}^{{\text{T}}}}} \right),$(43)
$\tilde {\phi }(z) = ({{Q}^{{\text{T}}}}{{)}^{{ - 1}}} \cdot {{(g_{{{{m}_{1}}}}^{{(1)}}, \ldots ,g_{1}^{{(1)}}, \ldots , \ldots ,g_{{{{m}_{s}}}}^{{(s)}}, \ldots ,g_{1}^{{(s)}})}^{{\text{T}}}},$5. ЗАДАЧА ШВАРЦА В ЭЛЛИПСЕ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТИ
Примéним результаты разд. 4 к решению задачи Шварца для специальной правой части. Пусть $\omega = \omega (t)$, $t \in [ - \pi ,\pi )$ — параметризация (4) некоторого эллипса $\Gamma = \partial K$.
Пусть некоторая функция $\psi (\omega )$, $\omega \in \Gamma $, задана на эллипсе Γ. В соответствии с определением 4 под функцией ${{\psi }_{n}}(t)$ будем понимать функцию ${{\psi }_{n}}(t) = \psi (\omega (t))$, $t \in [ - \pi ,\pi )$.
Всюду ниже через ${{\phi }_{n}} = {{\phi }_{n}}(z)$ будем обозначать $J$-аналитический $\ell $-вектор-полином степени n. Рассмотрим задачу Шварца (2) со следующей правой частью:
(44)
$\begin{gathered} {{\left. {\operatorname{Re} {{\phi }_{n}}(z)} \right|}_{\Gamma }} = {{\psi }_{n}}(t),\quad t \in [ - \pi ,\pi ), \\ {{\psi }_{n}}(t) = \psi (\omega (t)) = {{({{c}_{{n1}}}\cos nt + {{d}_{{n1}}}\sin nt, \ldots ,{{c}_{{n\ell }}}\cos nt + {{d}_{{n\ell }}}\sin nt)}^{{\text{T}}}}, \\ \end{gathered} $Согласно лемме 7 и (37) $J$-аналитический вектор-полином $\phi _{{v}}^{*}(z)$ степени ${v} \geqslant 1$ можно представить в форме
(45)
$\phi _{{v}}^{*}(z) = Q \cdot {{\left( {g_{1}^{{(1)}}(z), \ldots ,g_{{{{m}_{1}}}}^{{(1)}}(z), \ldots ,g_{1}^{{(s)}}(z), \ldots ,g_{{{{m}_{s}}}}^{{(s)}}(z)} \right)}^{{\text{T}}}},$(46)
${{\phi }_{n}}(z) = \phi _{0}^{*} + \sum\limits_{{v} = 1}^n \,\phi _{{v}}^{*}(z),\quad \phi _{0}^{*} = ({{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{\ell }}{{)}^{{\text{T}}}} \in {{\mathbb{C}}^{\ell }}.$Для каждого ${v} = n,n - 1, \ldots ,1$, вектор-полином $\phi _{{v}}^{*}(z)$ зависит от $\ell $ коэффициентов $\alpha _{{{v}r}}^{{(l)}} \in \mathbb{C}$. Их будем с учетом (46) последовательно искать из равенства
(47)
${{\left. {\operatorname{Re} {{\phi }_{n}}(z)} \right|}_{\Gamma }} = \operatorname{Re} \phi _{0}^{*} + \sum\limits_{v = 1}^n \operatorname{Re} \phi _{{v}}^{*}(t) = {{\psi }_{n}}(t),\quad \phi _{{v}}^{*}(t) = \phi _{{v}}^{*}{\kern 1pt} {{\left. {(z)} \right|}_{\Gamma }}.$Таким образом, в силу (39), (38), (45), (47) и (44) для нахождения коэффициентов $\alpha _{{{v}r}}^{{(l)}}$, ${v} = n,n - 1, \ldots ,1$, нужно последовательно решить следующие алгебраические $\ell \times \ell $-системы относительно переменных $\alpha _{{{v}r}}^{{(l)}} \in \mathbb{C}$, ${v} = n,n - 1, \ldots ,1$:
(48)
$ \ldots ,\alpha _{{{v}1}}^{{(s)}}{{\tilde {f}}_{{{v}s}}}(t), \alpha _{{{v}1}}^{{(s)}}\chi _{{{v}21}}^{{(s) + }} \cdot {{e}^{{{\text{ivt}}}}} + \alpha _{{{v}1}}^{{(s)}}\chi _{{{v}2s}}^{{(s) - }} \cdot {{e}^{{ - {\text{ivt}}}}}, \ldots $Заметим, что правая часть (48) при ${v} = n$ совпадает с функцией ${{\psi }_{n}}(t)$ (44).
После этого остается найти постоянную функцию $\phi _{0}^{*}$ в (46) как решение $\ell \times \ell $-системы
(49)
$\operatorname{Re} \phi _{0}^{*} = \operatorname{Re} {{({{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{\ell }})}^{{\text{T}}}} = ({{c}_{1}}, \ldots ,{{c}_{\ell }}{{)}^{{\text{T}}}},\quad {{\alpha }_{k}} \in \mathbb{C},\quad {{c}_{k}} \in \mathbb{R},\quad k = 1, \ldots ,\ell .$Как нетрудно видеть, система (49) всегда разрешима, а функция $\phi _{0}^{*}$ определена с точностью до комплексной вектор-константы.
Пусть
(50)
$\begin{gathered} r = 1, \ldots ,{{m}_{l}},\quad l = 1, \ldots ,s,\quad {{m}_{1}} + {{m}_{2}} + \ldots + {{m}_{s}} = \ell , \\ {{{\hat {\alpha }}}_{{v}}} = (\alpha _{{{v}1}}^{{(1)'}},\alpha _{{{v}1}}^{{(1)''}}, \ldots ,\alpha _{{{v}{{m}_{1}}}}^{{(1)'}},\alpha _{{{v}{{m}_{1}}}}^{{(1)''}}, \ldots ,\alpha _{{{v}1}}^{{(s)'}},\alpha _{{{v}1}}^{{(s)''}}, \ldots ,\alpha _{{{v}{{m}_{s}}}}^{{(s)'}},\alpha _{{{v}{{m}_{s}}}}^{{(s)''}}{{)}^{{\text{T}}}}, \\ \end{gathered} $С учетом (50) комплексную $\ell \times \ell $-систему (48) можно рассматривать уже как вещественную $2\ell \times 2\ell $-систему относительно переменных $\alpha _{{nr}}^{{(l)'}}$, $\alpha _{{nr}}^{{(l)''}}$. Это и будет сделано ниже.
Определение 7. Обозначим матрицу вещественной $2\ell \times 2\ell $-системы $(48)$ через ${{\hat {Q}}_{{v}}}$ ∈ ${{\mathbb{R}}^{{2\ell \times 2\ell }}}$.
С учетом определения 7 и обозначений (50) системы (48) запишутся в компактном виде:
(51)
${{\hat {Q}}_{{v}}} \cdot {{\hat {\alpha }}_{{v}}} = {{\hat {c}}_{{v}}},\quad {v} = n,n - 1, \ldots ,1.$Замечание 5. Матрица ${{\hat {Q}}_{{v}}}$ однозначно определяется собственными числами матрицы J, коэффициентами матрицы $Q$ (жорданов базис $J$), а также параметрами $\alpha $, ${{r}_{1}}$, ${{r}_{2}}$ эллипса Γ.
В итоге доказано следующее утверждение.
Лемма 10. Пусть $\det {{\hat {Q}}_{{v}}} \ne 0$, ${v} = n,n - 1, \ldots ,1$. Тогда все системы (51), (48) однозначно разрешимы относительно вещественных переменных ${{\hat {\alpha }}_{{v}}}$ (50).
Замечание 6. Допустим, что в условиях леммы 10 последовательно найдены вектор-коэффициенты ${{\hat {\alpha }}_{n}},{{\hat {\alpha }}_{{n - 1}}}, \ldots ,{{\hat {\alpha }}_{{{v} + 1}}}$ как решения алгебраических систем (51). Тогда процесс нахождения оставшихся коэффициентов ${{\hat {\alpha }}_{{v}}}, \ldots ,{{\hat {\alpha }}_{1}}$, а затем постоянной функции $\phi _{0}^{*}$ = $({{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{\ell }})$, есть не что иное, как решение задачи вида
(52)
${{\left. {\operatorname{Re} {{\phi }_{{v}}}(z)} \right|}_{\Gamma }} = {{\psi }_{{v}}}(t) + \sum\limits_{l < {v}} \,{{\psi }_{l}}(t),$Из леммы 10 с учетом (47) и (46) вытекает
Теорема 1. Пусть ${{\hat {Q}}_{{v}}}$ — матрицы $2\ell \times 2\ell $-систем $(48),$ и пусть
Тогда задача (44) разрешима в эллипсе $K$ в виде $\ell $-вектор-полинома ${{\phi }_{n}}(z)$ $(46)$ степени $n$ для любой правой части ${{\psi }_{n}}(t)$. В частности, задача ${{\left. {\operatorname{Re} {{\phi }_{0}}(z)} \right|}_{\Gamma }} = c$ имеет решение ${{\phi }_{0}} = c + i{{c}_{1}}$, где $c,{{c}_{1}} \in {{\mathbb{R}}^{\ell }}$.
С учетом замечания 6 справедлива так же следующая
Теорема 2. Пусть ${{\hat {Q}}_{{v}}}$ — матрица $2\ell \times 2\ell $-системы (48), и пусть $\det {{\hat {Q}}_{n}} = 0$, но при этом $\det {{\hat {Q}}_{k}} \ne 0$, $k < n$. Либо пусть $\det {{\hat {Q}}_{1}} = 0$. Тогда однородная задача (44), т.е. задача ${{\left. {\operatorname{Re} {{\phi }_{n}}(z)} \right|}_{\Gamma }} = 0$, имеет в эллипсе $K$ решение в виде $\ell $-вектор-полинома ${{\phi }_{n}}(z)$ степени n.
Замечание 7. Довольно очевидно следующее. Пусть $n$ — нечетное. Тогда при выполнении (53) ненулевыми будут только нечетные вектор-коэффициенты ${{\hat {\alpha }}_{{v}}}$ (50) как решения систем (48), поскольку для четных ${{\hat {\alpha }}_{{v}}}$ соответствующая система будет однородной. Аналогично, если $n$ — четное, то ненулевыми будут только четные ${{\hat {\alpha }}_{{v}}}$.
6. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Весь данный раздел посвящен изложению основных определений и теорем из работы [9]. Эти результаты будут применены в следующем разделе.
Пусть функция $g(z) \in C(\overline D )$, и пусть $\Gamma = \partial D$. Следуя [9], введем обозначения
Пусть область $D$ ограничена гладким контуром Γ, составленным из связных компонент ${{\Gamma }_{1}}, \ldots ,{{\Gamma }_{m}}$. Область $D$ может быть как конечной, так и бесконечной. Эти случаи различаем с помощью характеристики ${{{{\unicode{230} }}}_{D}}$. Именно, положим
(55)
$\begin{gathered} {{{{\unicode{230} }}}_{D}} = 1,\quad {\text{если область }}D{\text{ конечна,}} \\ {{{{\unicode{230} }}}_{D}} = 0,\quad {\text{если область }}D{\text{ бесконечна}}. \\ \end{gathered} $Задачу Шварца (2) назовем задачей S. Пусть контур $\Gamma $ ориентирован положительно по отношению к области $D$ (т.е. область $D$ остается слева относительно этой ориентации). Пусть
есть единичный касательный вектор к контуру $\Gamma $ в точке ω, направленный согласно данной ориентации. В (56) через ${{e}_{1}}(\omega )$, ${{e}_{2}}(\omega )$ обозначены вещественные скалярные функции.Определение 8. Пусть $\Gamma \in {{H}^{{1,\sigma + 0}}},$ если $e(\omega ) \in {{H}^{{\sigma + \varepsilon }}}(\Gamma )$ с некоторым $\varepsilon > 0$. Пусть $\phi (z)$ ∈ ${{H}^{{1,\sigma + 0}}}(\overline D )$, если $\phi (z) \in {{H}^{{\sigma + \varepsilon }}}(\overline D )$ с некоторым $\varepsilon > 0$.
Пусть $E$ — единичная $\ell \times \ell $-матрица, ${{J}^{{\text{T}}}}$ — транспонированная матрица J. В той же области $D$ вместе с $J$-аналитическими функциями (1) рассмотрим ${{J}^{{\text{T}}}}$-аналитические $\ell $-вектор-функции $\tilde {\phi }(z)$ (40). С помощью функции (56) образуем $\ell \times \ell $-матрицу
(57)
${{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}(\omega ) = {{e}_{1}}(\omega ) \cdot E + {{e}_{2}}(\omega ) \cdot {{J}^{{\text{T}}}},\quad \omega \in \Gamma ,$С задачей $S$ свяжем союзную задачу $\tilde {S}$. Она состоит в нахождении такой ${{J}^{{\text{T}}}}$-аналитической функции $\tilde {\phi }(z) \in {{H}^{\sigma }}(\bar {D})$ (40), для которой выполнено граничное условие
Соответственно, при $\psi (\omega ) \equiv 0$ будем говорить об однородной союзной задаче $\tilde {S}$:
(58)
$\operatorname{Re} {{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}{{\tilde {\phi }}^{ + }}(\omega ) = 0,\quad \tilde {\phi }(z) \in {{H}^{\sigma }}(\bar {D}).$Для непрерывных $\ell $-вектор-функций $f(\omega ) = ({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{\ell }})$, $g(\omega ) = ({{g}_{1}}, \ldots ,{{g}_{\ell }})$, заданных на Γ, определим билинейную форму $\left\langle {f,g} \right\rangle $ по правилу
(59)
$\left\langle {f,g} \right\rangle = \int\limits_\Gamma f(\omega ) \cdot g(\omega ) \cdot \left| {d\omega } \right| = \int\limits_\Gamma ({{f}_{1}} \cdot {{g}_{1}} + \ldots + {{f}_{\ell }} \cdot {{g}_{\ell }}) \cdot \left| {d\omega } \right|,$С учетом обозначений (55) и (59) справедливы следующие две теоремы.
Теорема 3. Пусть $\phi (z)$ и $\tilde {\phi }(z)$ — решения задач $S$ и $\tilde {S}$ соответственно с одной и той же граничной вектор-функцией $\psi (\omega )$. Тогда справедливо равенство
Теорема 4. Пусть все собственные значения матрицы $J \in {{\mathbb{C}}^{{\ell \times \ell }}}$ лежат в верхней полуплоскости. Имеют место следующие два утверждения.
1. В предположении $\Gamma \in {{H}^{{1,\sigma + 0}}}$ задача $S$ фредгольмова (т.е. имеет конечномерные ядро и коядро) в каждом из классов ${{H}^{\sigma }}(\bar {D})$, а ее индекс равен
(60)
$\operatorname{Ind} S = \dim \operatorname{Ker} S - \dim \operatorname{Ker} \tilde {S} = \ell (2{{{{\unicode{230} }}}_{D}} - m).$2. Неоднородная задача $S$ (2) для функции $\psi (\omega ) \in {{H}^{\sigma }}(\Gamma )$ разрешима в классах Гёльдера $\phi (z) \in {{H}^{\sigma }}(\bar {D})$ тогда и только тогда, когда выполнены условия ортогональности
(61)
$\left\langle {\psi (\omega ),\operatorname{Im} {{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}{{{\tilde {\phi }}}^{ + }}(\omega )} \right\rangle = 0,$Замечание 8. В ядро задачи Шварца входят и те функции, действительная часть которых тождественно равна нулю.
7. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ШВАРЦА В ЭЛЛИПСЕ
Пусть $\omega (t) = (x(t),y(t))$, $t \in [ - \pi ,\pi )$ — параметризация (4) эллипса Γ. Запишем линейный элемент $\left| {d\xi } \right|$ дуги кривой Γ:
(62)
$\left| {d\omega (t)} \right| = \sqrt {{{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}}^{2}}} dt = p(t)dt,$(63)
$p(t) = \sqrt {{{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}}^{2}}} = \sqrt {r_{2}^{2}{{{\cos }}^{2}}t + r_{1}^{2}{{{\sin }}^{2}}t} \ne 0,\quad t \in [ - \pi ,\pi ).$Обозначим через $(f(t),g(t))$ скалярное произведение двух вектор-функций $f(t)$ = $({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{\ell }})$ и $g(t)$ = $({{g}_{1}}, \ldots ,{{g}_{\ell }})$, заданных на интервале $t \in [ - \pi ,\pi )$. Тогда с учетом обозначений (62), (63) билинейную форму (59) можно записать в виде
(64)
$\left\langle {f,g} \right\rangle = \int\limits_{ - \pi }^\pi [{{f}_{1}}(t) \cdot {{g}_{1}}(t) + \ldots + {{f}_{\ell }}(t) \cdot {{g}_{\ell }}(t)] \cdot p(t)dt = (f(t),p(t) \cdot g(t)) = (f,p \cdot g).$Справедливы следующие два утверждения.
Предложение 3. Матрица ${{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}} = {{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}(\omega )$ (57) обратима для всех $\omega \in \Gamma $.
Доказательство. С учетом (41) имеем
(65)
${{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}} = {{e}_{1}} \cdot E + {{e}_{2}} \cdot {{J}^{{\text{T}}}} = {{e}_{1}} \cdot E + {{e}_{2}} \cdot {{({{Q}^{{\text{T}}}})}^{{ - 1}}}J_{1}^{{\text{T}}}{{Q}^{{\text{T}}}} = {{({{Q}^{{\text{T}}}})}^{{ - 1}}} \cdot \left[ {{{e}_{1}} \cdot E + {{e}_{2}} \cdot J_{1}^{{\text{T}}}} \right] \cdot {{Q}^{{\text{T}}}}.$Пусть жорданова форма ${{J}_{1}}$ матрицы $J = Q{{J}_{1}}{{Q}^{{ - 1}}}$ — нижне треугольная. Пусть ${{\lambda }_{l}} = {{\lambda }_{{1l}}} + {{\lambda }_{{2l}}}i$ — собственные значения матрицы J. Тогда с учетом обозначений (42) элементы главной диагонали верхне треугольной матрицы $\left[ {{{e}_{1}} \cdot E + {{e}_{2}} \cdot J_{1}^{{\text{T}}}} \right]$ имеют вид ${{e}_{1}} + {{\lambda }_{l}}{{e}_{2}}$, $1 \leqslant l \leqslant s$. Для них справедливо соотношение
(66)
${{e}_{1}}(\omega ) + {{\lambda }_{l}}{{e}_{2}}(\omega ) = {{e}_{1}}(\omega ) + ({{\lambda }_{{1l}}} + {{\lambda }_{{2l}}}i){{e}_{2}}(\omega ) \ne 0,\quad \omega \in \Gamma .$Действительно, в противном случае ${{e}_{2}}({{\omega }_{0}}) = 0$ для некоторой точки ${{\omega }_{0}} \in \Gamma $, так как ${{\lambda }_{{2l}}} \ne 0$. Поэтому и ${{e}_{1}}({{\omega }_{0}}) = 0$, что противоречит определению функции $e(\omega )$ (56) как единичного касательного вектора к Γ. Из (65) и (66) вытекает искомое утверждение. Предложение 3 доказано.
Предложение 4. Пусть $\tilde {\phi }(z)$ есть ${{J}^{{\text{T}}}}$-аналитическая функция (40), и пусть ${{\left. {{{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}\tilde {\phi }(z)} \right|}_{\Gamma }} = 0$. Тогда $\tilde {\phi }(z) \equiv 0$.
Доказательство. В силу предложения 3 имеем ${{\left. {\tilde {\phi }(z)} \right|}_{\Gamma }} = 0$. Поэтому искомое утверждение вытекает из (43), (36) и леммы 1. Предложение 4 доказано.
Далее докажем следующую основную теорему настоящей статьи. Пусть эллипс $\Gamma = \partial K$ задан параметризацией (4).
Теорема 5. Пусть все собственные значения матрицы $J \in {{\mathbb{C}}^{{\ell \times \ell }}}$ лежат в верхней полуплоскости. Пусть ${{\hat {Q}}_{n}}$ — матрица алгебраической системы (48) при ${v} = n$. Тогда выполнение соотношений
является необходимым и достаточным условием разрешимости задачи Шварца (2) в эллипсе $K$ с границей $\Gamma $ для любой правой части $\psi (\omega ) \in {{H}^{\sigma }}(\Gamma )$ в классах функций $\phi (z) \in {{H}^{\sigma }}(\bar {K})$. Данное решение при выполнении (67) единственно с точностью до вектор-постоянной.Доказательство. Так как эллипс $\Gamma $ — аналитическая кривая, то $\Gamma \in {{H}^{{1,\sigma + 0}}}$ с любым показателем $\sigma \in (0,1)$. Поэтому можно применять теорему 4.
Докажем достаточность. Пусть выполнены соотношения (67) и пусть с учетом обозначения (44)
(68)
$\psi (\omega (t)) = \psi (t) = {{c}_{0}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } \,{{\psi }_{n}}(t) = {{c}_{0}} + {{\psi }_{1}}(t) + {{\psi }_{2}}(t) + \ldots ,\quad {{c}_{0}} = {{\psi }_{0}} \in {{\mathbb{R}}^{\ell }},$(69)
$\begin{gathered} \left\langle {{{\psi }_{n}}(\omega ),\quad \operatorname{Im} {{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}{{{\tilde {\phi }}}^{ + }}(\omega )} \right\rangle = ({{\psi }_{n}}(t),p(t) \cdot \operatorname{Im} {{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}{{{\tilde {\phi }}}^{ + }}(t)) = 0, \\ n = 0,1,2,3 \ldots ,\quad \tilde {\phi }(z) \in \operatorname{Ker} \tilde {S}. \\ \end{gathered} $Так как граничная функция $\psi (t)$ непрерывна по Гёльдеру, то ее ряд Фурье сходится равномерно (см. [13]). Поэтому его можно почленно интегрировать. Отсюда с учетом (69), (68) и (64) имеем
(70)
$\begin{gathered} \left\langle {\psi (\omega ),\operatorname{Im} {{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}{{{\tilde {\phi }}}^{ + }}(\omega )} \right\rangle = \left( {[{{c}_{0}} + {{\psi }_{1}}(t) + {{\psi }_{2}}(t) + \ldots ],p(t) \cdot \operatorname{Im} {{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}{{{\tilde {\phi }}}^{ + }}(t)} \right) = \\ = ({{c}_{0}},p(t) \cdot \operatorname{Im} {{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}{{{\tilde {\phi }}}^{ + }}(t)) + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } \left( {{{\psi }_{n}}(t),{\kern 1pt} p(t) \cdot \operatorname{Im} {{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}{{{\tilde {\phi }}}^{ + }}(t)} \right) = 0,\quad \tilde {\phi }(z) \in \operatorname{Ker} \tilde {S}. \\ \end{gathered} $Равенство (70) в силу п. 2 теоремы 4 доказывает существование решения $\phi (z) \in {{H}^{\sigma }}(\bar {K})$ задачи Шварца.
Необходимость. Пусть $\det {{\hat {Q}}_{n}} = 0$ для некоторых значений n. Пусть $r$ — минимальное из них, т.е. либо $\det {{\hat {Q}}_{r}} = 0$, $\det {{\hat {Q}}_{k}} \ne 0$ при $k < r$, либо $\det {{\hat {Q}}_{1}} = 0$. Тогда в силу теоремы 2 в ядро задачи Шварца $S$ входит по крайней мере один вектор-полином ${{\phi }_{r}}(z)$. Кроме того, в ядро задачи $S$ входят постоянные решения однородной задачи S, размерность которых равна $\ell $. Таким образом,
Обратимся к разд. 6. Поскольку граница эллипса состоит из одной компоненты связности, то $m = 1$. Согласно (55) ${{{{\unicode{230} }}}_{D}} = 1$. Поэтому формула (60) для эллипса приобретает вид
(72)
$\operatorname{Ind} S = \dim \operatorname{Ker} S - \dim \operatorname{Ker} \tilde {S} = \ell .$Из (71) и (72) вытекает, что $\dim \operatorname{Ker} \tilde {S} = \dim \operatorname{Ker} S - \ell > 0$. Поэтому существует такой ненулевой элемент $\phi {\kern 1pt} '(z) \in \operatorname{Ker} \tilde {S}$, что $\operatorname{Im} {{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}{{\left. {\tilde {\phi }{\kern 1pt} '{\kern 1pt} (z)} \right|}_{\Gamma }} \ne 0$. В противном случае получаем противоречие предложению 4. Покажем, что в этом случае можно подобрать такую функцию $\psi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} (\omega (t))$, для которой равенство (61) не выполняется.
Действительно, пусть в обозначениях (44) $\operatorname{Im} {{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}\phi {\kern 1pt} {{'}^{ + }}(\omega (t)) = {{\psi }_{s}}(t) + \ldots $, где ${{\psi }_{s}}(t) \ne 0$. Рассмотрим функцию $\psi _{s}^{*}(t)$ такую, что скалярное произведение $(\psi _{s}^{*}(t),{{\psi }_{s}}(t)) \ne 0$. Тогда можно положить
(73)
$\psi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} (\omega (t)) = \frac{{\psi _{s}^{*}(t)}}{{p(t)}} \in {{H}^{\sigma }}(\Gamma ).$Согласно (64) и п. 2 теоремы 4 задача $S$ для правой части $\psi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} (\omega )$ (73) неразрешима. Тем самым установлена необходимость условий (67).
Единственность. Пусть справедливы соотношения (67). Пусть $\tilde {\phi }(z) \in \operatorname{Ker} \tilde {S}$, т.е. по определению $\operatorname{Re} {{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}{{\tilde {\phi }}^{ + }}(t) = 0$. Из (69) в силу произвольности выбора функции $\psi (\omega )$ вытекает, что $p(t) \cdot \operatorname{Im} {{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}{{\tilde {\phi }}^{ + }}(t) = 0$. Согласно (63) $p(t) \ne 0$, поэтому $\operatorname{Im} {{e}_{{{{J}^{{\text{T}}}}}}}{{\tilde {\phi }}^{ + }}(t) = 0$. Отсюда согласно предложению 4 имеем $\tilde {\phi }(z) \equiv 0$. Таким образом, $\dim \operatorname{Ker} \tilde {S} = 0$. Поэтому в силу (72) ядро задачи $S$ имеет размерность $\ell $, т.е. состоит только из постоянных функций $\phi = ic$, $c \in {{\mathbb{R}}^{\ell }}$, что и требовалось. Теорема 5 доказана.
8. ЗАДАЧА ШВАРЦА В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Построения разд. 7 носят чисто теоретический характер, так как алгебраическая система (48) очень сложна для изучения даже при $\ell = 2$. В связи с этим в данном разделе применен альтернативный подход. Именно, для матриц $J \in {{\mathbb{C}}^{{2 \times 2}}}$ с разными собственными значениями проведена редукция задачи Шварца к скалярному функциональному уравнению (93), которое зависит от модуля $\left| l \right|$ комплексного параметра $l$ (75). Этот параметр однозначно определяется жордановым базисом матрицы J, и, в отличие от определителя $\det {{\hat {Q}}_{n}}$, его несложно вычислить. Показано (теорема 10), что условие $\left| l \right| \in [0,1]$ является достаточным для разрешимости задачи Шварца в произвольном эллипсе $K$ для любой функции $\psi (\omega ) \in {{H}^{\sigma }}(\Gamma )$.
8.1. Редукция задачи Шварца к функциональному уравнению
Пусть матрица $J \in {{\mathbb{C}}^{{2 \times 2}}}$ имеет разные собственные значения $\mu \ne \lambda $, где $\operatorname{Im} \mu \ne 0$, $\operatorname{Im} \lambda \ne 0$. Обозначим через $x$ собственный вектор, соответствующий μ, а через $y$ — собственный вектор, соответствующий λ. Обозначим также через ${{J}_{1}}$ и $Q$ жорданову форму и жорданов базис матрицы $J$ соответственно:
(74)
${{J}_{1}} = \operatorname{diag} (\mu ,\lambda ) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \mu &0 \\ 0&\lambda \end{array}} \right),\quad Q = (x,y),\quad J = Q{{J}_{1}}{{Q}^{{ - 1}}}.$Будем предполагать, что один из собственных векторов, для определенности вектор y, не кратен вещественному. Разложим комплексное сопряжение ${\mathbf{\bar {y}}}$ вектора ${\mathbf{y}}$ по жорданову базису ${\mathbf{x}},{\mathbf{y}}$ матрицы J:
(75)
$\begin{gathered} {\mathbf{\bar {y}}} = {{l}_{1}}{\mathbf{x}} + l{\mathbf{y}},\quad {{l}_{1}},l \in \mathbb{C}, \\ {{l}_{1}} = {{l}_{1}}(J) = \frac{{\det ({\mathbf{\bar {y}}},{\mathbf{y}})}}{{\det ({\mathbf{x}},{\mathbf{y}})}},\quad l = l(J) = \frac{{\det ({\mathbf{x}},{\mathbf{\bar {y}}})}}{{\det ({\mathbf{x}},{\mathbf{y}})}}. \\ \end{gathered} $В (75) для нахождения чисел ${{l}_{1}},l$ были применены формулы Крамера. Ниже будет использовано только число $l.$ Справедливо следующее утверждение.
Лемма 11. Модуль $\left| l \right|$ числа $l$ (75) не зависит от выбора жорданова базиса $Q$ матрицы J. Кроме того, число $l$ инвариантно относительно вещественных преобразований, т.е. оно совпадает для матриц $J$ и $BJ{{B}^{{ - 1}}}$, где $B \in {{\mathbb{R}}^{{2 \times 2}}}$.
Доказательство. Собственные векторы матрицы $J$ определены с точностью до комплексного множителя. Поэтому пусть $Q* = (ax,by)$, $a,b \ne 0$ — другой жорданов базис J. Обозначим через l* число (75), вычисляемое по жорданову базису Q*. Имеем
Докажем инвариантность самого числа $l$ (а не только его модуля) относительно вещественных преобразований. Так как векторы ${\mathbf{x}},{\mathbf{y}}$ — собственные для матрицы J, то $J{\mathbf{x}} = \mu {\mathbf{x}}$, $J{\mathbf{y}} = \lambda {\mathbf{y}}$. Эти два равенства запишем в следующем виде:
Таким образом, $Q* = ({\mathbf{x}}{\kern 1pt} ',{\mathbf{y}}{\kern 1pt} ') = (B{\mathbf{x}},B{\mathbf{y}})$ — жорданов базис матрицы $J* = BJ{{B}^{{ - 1}}}$, которая имеет те же собственные значения $\mu ,\lambda $. Обозначим, как и выше, через $l{\kern 1pt} *$ число (75), которое найдем по жорданову базису $Q{\kern 1pt} *$. Имеем
Преобразуем задачу Шварца ${{\left. {\operatorname{Re} \phi (z)} \right|}_{\Gamma }} = ({{\psi }_{1}},{{\psi }_{2}}{{)}^{{\text{T}}}}$ (2) для $\ell = 2$. С учетом (75) и равенств $J{\mathbf{x}} = \mu {\mathbf{x}}$, $J{\mathbf{y}} = \lambda {\mathbf{y}}$ справедливы равенства
(76)
$\begin{gathered} J{\mathbf{\bar {y}}} = J({{l}_{1}}{\mathbf{x}} + l{\mathbf{y}}) = \mu {{l}_{1}}{\mathbf{x}} + \lambda l{\mathbf{y}} = \mu {{l}_{1}}{\mathbf{x}} + \lambda l{\mathbf{y}} \pm \mu l{\mathbf{y}} = \\ = \mu {{l}_{1}}{\mathbf{x}} + \mu l{\mathbf{y}} + \lambda l{\mathbf{y}} - \mu l{\mathbf{y}} = \mu ({{l}_{1}}{\mathbf{x}} + l{\mathbf{y}}) + (\lambda - \mu )l{\mathbf{y}} = \mu {\mathbf{\bar {y}}} + (\lambda - \mu )l{\mathbf{y}}. \\ \end{gathered} $Таким образом, матрица ${{J}_{1}} = (Q'{{)}^{{ - 1}}}JQ'$ оператора $J$ в базисе $Q' = ({\mathbf{\bar {y}}},{\mathbf{y}})$ имеет вид
(77)
${{J}_{1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mu }&0 \\ {(\mu - \lambda )l }&\lambda \end{array}} \right),\quad \mu \ne \lambda .$После подстановки $J = Q{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {{J}_{1}}{{(Q')}^{{ - 1}}}$ в (1) и умножения обеих частей на ${{(Q')}^{{ - 1}}}$, получим с учетом (77) следующие соотношения:
(78)
$\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} g \\ F \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mu }&0 \\ {(\mu - \lambda )l }&\lambda \end{array}} \right) \cdot \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} g \\ F \end{array}} \right) = 0,\quad {{(g,F)}^{{\text{T}}}} = {{(Q')}^{{ - 1}}}\phi = ({\mathbf{\bar {y}}},{\mathbf{y}}{{)}^{{ - 1}}}\phi .$Функция $g = {{g}_{\mu }}(z)$ согласно (78) является $\mu $-голоморфной. При этом в силу (78) справедливо равенство
(79)
$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} - \lambda {\kern 1pt} \frac{{\partial F}}{{\partial x}} = l(\mu - \lambda ){\kern 1pt} \frac{{\partial g}}{{\partial x}},\quad \mu \ne \lambda .$Подстановка $F = l{{g}_{\mu }} + f$ в (79) после несложных преобразований приводит к тождеству
т.е. $f = {{f}_{\lambda }}(z)$ — произвольная $\lambda $-голоморфная функция. Таким образом, общим решением (78) будут функцииДалее пусть
(81)
${{\left. {g(z)} \right|}_{\Gamma }} = u(x,y) + i{v}(x,y),\quad {{\left. {F(x,y)} \right|}_{\Gamma }} = p(x,y) + iq(x,y),$(83)
$\phi (z) = Q{\kern 1pt} '\; \cdot {{(g,F)}^{{\text{T}}}} = ({\mathbf{\bar {y}}},{\mathbf{y}}) \cdot {{(g,F)}^{{\text{T}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\bar {a}}}_{1}}}&{{{a}_{1}}} \\ {{{{\bar {a}}}_{2}}}&{{{a}_{2}}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {u + i{v}} \\ {p + iq} \end{array}} \right).$Граничное условие ${{\left. {\operatorname{Re} \phi (z)} \right|}_{\Gamma }} = {{({{\psi }_{1}},{{\psi }_{2}})}^{{\text{T}}}}$ в силу (83) запишется в следующем виде:
(84)
$\begin{gathered} {{\left. {\operatorname{Re} \left[ {{{{\bar {a}}}_{1}}(u + i{v}) + {{a}_{1}}(p + iq){\kern 1pt} } \right]{\kern 1pt} } \right|}_{\Gamma }} = {{\psi }_{1}}, \\ {{\left. {\operatorname{Re} \left[ {{{{\bar {a}}}_{2}}(u + i{v}) + {{a}_{2}}(p + iq){\kern 1pt} } \right]{\kern 1pt} } \right|}_{\Gamma }} = {{\psi }_{2}}. \\ \end{gathered} $Предложение 5. Решение (84) как неоднородной алгебраической системы относительно вещественных функций-переменных $u,{v}$ единственно, и его можно найти в следующем виде:
где $r( \cdot )$, $h( \cdot )$ — линейные функции своих переменных.Доказательство. Так как вектор y по условию не кратен вещественному, то с учетом обозначения (82) определитель $\Delta $ системы (84) относительно переменных $u,{v}$ отличен от нуля:
Поэтому решение системы (84) относительно $u,{v}$ будет единственным. Заметим, что для произвольного $\xi \in \mathbb{C}$ справедливо тождество
(87)
${{\left. {\operatorname{Re} [\bar {\xi }(u + i{v}) + \xi (p + iq)]{\kern 1pt} } \right|}_{{u = - p,{v} = q}}} = \operatorname{Re} [\bar {\xi }( - p + iq) - \overline {\bar {\xi }( - p + iq)} ] = 0.$После подстановки (85) в (84) переменные $p,q$ в силу (87) тождественно сократятся. В результате получим следующую пару равенств:
(88)
$\begin{gathered} {{\left. {\operatorname{Re} \text{[}{{{\bar {a}}}_{1}}(r + ih)] = \operatorname{Re} [(a - bi)(r + ih)]{\kern 1pt} } \right|}_{\Gamma }} = ar + bh = {{\psi }_{1}}, \\ \operatorname{Re} [{{{\bar {a}}}_{2}}(r + ih)] = {{\left. {\operatorname{Re} [(c - di)(r + ih)]{\kern 1pt} } \right|}_{\Gamma }} = cr + dh = {{\psi }_{2}}. \\ \end{gathered} $Остается заметить, что система (88) имеет единственное решение относительно переменных $r,h$, поскольку ее определитель $\Delta $ совпадает с (86). Следовательно, (85) и есть искомое единственное решение системы (84). Предложение 5 доказано.
Далее заметим, что пара равенств вещественных функций (85) равносильна одному комплексному функциональному уравнению
Пусть $r - ih = \varphi $. Тогда с учетом обозначений (80) и (81) равенство (89) можно переписать в виде
(90)
${{f}_{\lambda }} + {{\bar {g}}_{\mu }} + l \cdot {{\left. {{{g}_{\mu }}} \right|}_{\Gamma }} = r({{\psi }_{1}},{{\psi }_{2}}) - ih({{\psi }_{1}},{{\psi }_{2}}) = \varphi (\omega ),\quad l \in \mathbb{C}.$Запишем число $l \in \mathbb{C}$ (75) в показательной форме: $l = \left| l \right|{{e}^{{{\text{i}}\xi }}}$. Сделаем в (90) следующие подстановки:
(91)
${{f}_{\lambda }} = f_{\lambda }^{*} \cdot {{e}^{{\frac{{{\text{i}}\xi }}{2}}}},\quad {{g}_{\mu }} = g_{\mu }^{*} \cdot {{e}^{{ - \frac{{{\text{i}}\xi }}{2}}}},\quad \varphi = \varphi {\kern 1pt} * \cdot \;{{e}^{{\frac{{{\text{i}}\xi }}{2}}}}.$Тогда задача (90) после сокращения на ${{e}^{{\frac{{{\text{i}}\xi }}{2}}}}$ примет следующий вид:
(92)
$f_{\lambda }^{*}(z) + \overline {g_{\mu }^{*}} (z) + \left| l \right| \cdot g_{\mu }^{*}{\kern 1pt} {{\left. {(z)} \right|}_{\Gamma }} = \varphi {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (\omega ).$Таким образом, задачи (90) и (92) равносильны. В итоге с учетом обратимости проведенных преобразований, (75) и (91) доказана
Теорема 6. Пусть матрица $J \in {{\mathbb{C}}^{{2 \times 2}}}$ имеет разные собственные значения $\mu ,\lambda $, и пусть $Q = (x,y)$ – ее жорданов базис, где собственный вектор y не кратен вещественному. Тогда задача Шварца (2) в классе функций $\phi = \phi (z) \in C(\bar {D})$ равносильна граничной задаче для следующего скалярного функционального уравнения:
(93)
${{f}_{\lambda }}(z) + {{\bar {g}}_{\mu }}(z) + l \cdot {{\left. {{{g}_{\mu }}(z)} \right|}_{\Gamma }} = \varphi (\omega ),\quad \omega \in \Gamma ,\quad l = \left| {\frac{{\det ({\mathbf{x}},{\mathbf{\bar {y}}})}}{{\det ({\mathbf{x}},{\mathbf{y}})}}} \right|,$Замечание 9. Пусть решение уравнения (90) найдено для параметра $l \in \mathbb{C}$ (75). При этом скалярная граничная функция $\varphi $ построена по вектор-функции $({{\psi }_{1}},{{\psi }_{2}})$ по формулам (88) и (90). Тогда с учетом (78) и (80) $J$-аналитическая функция $\phi (z)$ как решение задачи Шварца может быть восстановлена из равенства
8.2. Изучение уравнения (93) в эллипсе. Существование и единственность решений задачи Шварца
В работе [10] доказана
Теорема 7 (А.П. Солдатов). Пусть $\Gamma = \partial D$ — контур Ляпунова. Пусть $(\operatorname{Im} \lambda )$ $ \cdot $ $(\operatorname{Im} \mu )$ > 0, $\varphi (\omega ) \in {{H}^{\sigma }}(\Gamma )$. Тогда уравнение (93) при l = 0 имеет единственное с точностью до постоянной решение ${{g}_{\mu }}(z)$, ${{f}_{\lambda }}(z) \in {{H}^{\sigma }}(\bar {D})$.
Однако для произвольных l ∈ $\mathbb{R}$ однородная задача (93) не всегда имеет только постоянные решения, что доказывает следующий
Пример 3. Пусть l = 5, λ = 2i, μ = i. Непосредственные вычисления показывают, что пара квадратичных функций
будет решением однородной задачи (93) в эллипсе K с границей Γ: x2 + 8y2 = 4.Таким образом, актуальной является задача о нахождении таких значений параметра l ∈ $\mathbb{R}$, для которых решение уравнения (93) в эллипсе существует и единственно. Это и сделано ниже. Пусть $\operatorname{Im} \mu \ne 0$, пусть параметры ${{r}_{1}},{{r}_{2}},\alpha $ определяют эллипс Γ. По аналогии с (10) введем следующие обозначения:
(95)
$\begin{gathered} {{a}_{1}} = {{a}_{1}}(\alpha ,\mu ,{{r}_{1}},{{r}_{2}}) = \frac{{{{r}_{1}}\cos \alpha + i{{r}_{2}}\sin \alpha + \mu ({{r}_{1}}\sin \alpha - i{{r}_{2}}\cos \alpha )}}{2}, \\ {{b}_{1}} = {{b}_{1}}(\alpha ,\mu ,{{r}_{1}},{{r}_{2}}) = \frac{{{{r}_{1}}\cos \alpha - i{{r}_{2}}\sin \alpha + \mu ({{r}_{1}}\sin \alpha + i{{r}_{2}}\cos \alpha )}}{2}. \\ \end{gathered} $Выражения для a1, b1 в (95) отличаются от выражений для a, b в (10) формальной заменой λ на μ. При этом значения параметров r1, r2, α для (10) и (95) одинаковы. В [3] доказано следующее утверждение.
Теорема 8. Пусть Imλ > 0, Imμ > 0, числа a, b, a1, b1для эллипса Γ (4) найдены по формулам (10) и (95). Пусть выполнены следующие соотношения:
(96)
${{\Delta }_{n}} = {{\Delta }_{n}}(l) = {{l}^{2}} \cdot {{\left| {\frac{{{{b}^{n}}}}{{{{a}^{n}}}} - \frac{{b_{1}^{n}}}{{a_{1}^{n}}}} \right|}^{2}} - {{\left| {1 - \frac{{{{b}^{n}}}}{{{{a}^{n}}}} \cdot \frac{{\overline {b_{1}^{n}} }}{{\overline {a_{1}^{n}} }}} \right|}^{2}} \ne 0,\quad l \in \mathbb{R},\quad l \geqslant 0,\quad n \in \mathbb{N}.$Тогда для любой граничной функции $\varphi (\omega ) \in {{H}^{\sigma }}(\Gamma )$ решение задачи (93) в эллипсе K с границей Γ = $\partial K$ в классе функций fλ, ${{g}_{\mu }} \in {{H}^{\sigma }}(\bar {K})$ существует и единственно с точностью до постоянной.
Непосредственная проверка выполнения всех соотношений (96) для фиксированных значений l, a, b, a1, b1 есть весьма сложная задача. Получим достаточные условия на параметр l, при которых соотношения (96) выполнены в произвольном эллипсе Γ.
Пусть Imλ > 0, Imμ > 0, тогда согласно предложению 1 имеем |b| < |a|, |b1| < |a1|. Выразим с учетом этих двух неравенств и (96) параметр l из уравнения ${{\Delta }_{n}}(l)$ = 0:
(97)
$l = \frac{{\left| {1 - \frac{{{{b}^{n}}}}{{{{a}^{n}}}} \cdot \frac{{\overline {b_{1}^{n}} }}{{\overline {a_{1}^{n}} }}} \right|}}{{\left| {\frac{{{{b}^{n}}}}{{{{a}^{n}}}} - \frac{{b_{1}^{n}}}{{a_{1}^{n}}}} \right|}},\quad \left| {\frac{b}{a}} \right| < 1,\quad \left| {\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{a}_{1}}}}} \right| < 1,\quad n = 1,2,3, \ldots \;.$Докажем следующее утверждение.
Лемма 12. Пусть некоторые числа a, b, a1, b1удовлетворяют неравенствам (97), причем
Тогда для всех $n \in \mathbb{N}'$ в (97) число l > 1.
Доказательство. Пусть
Тогда с учетом (97) имеем
(98)
$\begin{gathered} l = \frac{{\left| {1 - \frac{{{{b}^{n}}}}{{{{a}^{n}}}} \cdot \frac{{\overline {b_{1}^{n}} }}{{\overline {a_{1}^{n}} }}} \right|}}{{\left| {\frac{{{{b}^{n}}}}{{{{a}^{n}}}} - \frac{{b_{1}^{n}}}{{a_{1}^{n}}}} \right|}} = \frac{{\left| {1 - {{\xi }_{1}}{{\xi }_{2}}{{e}^{{{\text{i}}({{{\text{t}}}_{1}} - {{{\text{t}}}_{2}})}}}} \right|}}{{\left| {{{\xi }_{1}}{{e}^{{{\text{i}}{{{\text{t}}}_{1}}}}} - {{\xi }_{2}}{{e}^{{{\text{i}}{{{\text{t}}}_{2}}}}}} \right|}} = \\ = \frac{{\left| {1 - {{\xi }_{1}}{{\xi }_{2}}{{e}^{{{\text{i}}({{{\text{t}}}_{1}} - {{{\text{t}}}_{2}})}}}} \right|}}{{\left| {{{e}^{{{\text{i}}{{{\text{t}}}_{1}}}}}} \right| \cdot \left| {{{\xi }_{1}} - {{\xi }_{2}}{{e}^{{{\text{i}}({{{\text{t}}}_{2}} - {{{\text{t}}}_{1}})}}}} \right|}} = \frac{{\left| {1 - {{\xi }_{1}}{{\xi }_{2}}{{e}^{{{\text{i}}({{{\text{t}}}_{1}} - {{{\text{t}}}_{2}})}}}} \right|}}{{\left| {{{\xi }_{1}} - {{\xi }_{2}}{{e}^{{{\text{i}}({{{\text{t}}}_{2}} - {{{\text{t}}}_{1}})}}}} \right|}}. \\ \end{gathered} $Пусть t = t1 – t2 и запишем неравенство l2 > 1 с учетом последнего выражения в (98):
(99)
${{\left| {1 - {{\xi }_{1}}{{\xi }_{2}}{{e}^{{{\text{it}}}}}} \right|}^{2}} > {{\left| {{{\xi }_{1}} - {{\xi }_{2}}{{e}^{{ - {\text{it}}}}}} \right|}^{2}}.$Перепишем (99) с учетом формулы Эйлера eit = cost + isint:
(100)
${{(1 - {{\xi }_{1}}{{\xi }_{2}}\cos t)}^{2}} + \xi _{1}^{2}\xi _{2}^{2}{{\sin }^{2}}t > {{({{\xi }_{1}} - {{\xi }_{2}}\cos t)}^{2}} + \xi _{2}^{2}{{\sin }^{2}}t.$Раскроем скобки в (100). Проведя несложные преобразования и используя тождество cos2 t + + sin2 t = 1, имеем последовательно следующие неравенства:
(101)
$\begin{gathered} 1 - \xi _{1}^{2} + \xi _{2}^{2}{{\cos }^{2}}t \cdot (\xi _{1}^{2} - 1) + \xi _{2}^{2}{{\sin }^{2}}t \cdot (\xi _{1}^{2} - 1) > 0, \\ 1 - \xi _{1}^{2} + \xi _{2}^{2}(\xi _{1}^{2} - 1) > 0,\quad - {\kern 1pt} (\xi _{1}^{2} - 1) + \xi _{2}^{2}(\xi _{1}^{2} - 1) > 0, \\ \end{gathered} $Последнее неравенство в (101) не зависит от t, выполняется для всех ${{\xi }_{1}} < 1$, ${{\xi }_{2}} < 1$. Поэтому в силу (98), (99) и (100) имеем l > 1, что и требовалось. Лемма 12 доказана.
Из леммы 12 вытекает
Лемма 13. Пусть числа a, b, a1, b1удовлетворяют неравенствам (97). Тогда в (96) для $l \in [0,1]$ справедливы соотношения ${{\Delta }_{n}}(l) \ne 0$, $n \in \mathbb{N}$.
Доказательство. Если $n \in \mathbb{N}{\kern 1pt} {\kern 1pt} '$, то в силу леммы 12 равенство ${{\Delta }_{n}}(l) = 0$ может выполняться только при l > 1. Пусть $n \notin \mathbb{N}{\kern 1pt} {\kern 1pt} '$, т.е.
Тогда в силу (96) и неравенств (97) имеем
Таким образом, теперь можем доказать следующий важный результат относительно функционального уравнения (93).
Теорема 9. Пусть Imλ > 0, Imμ > 0, числа a, b, a1, b1для эллипса Γ (4) найдены по формулам (10) и (95). Пусть параметр $l \in \mathbb{R}$, причем l ∈ [0, 1]. Тогда выполнено утверждение теоремы 8.
Доказательство. Так как Imλ > 0, Imμ > 0, то согласно предложению 1 выполнены неравенства (97). Следовательно, выполнены условия леммы 13, согласно утверждению которой справедливы формулы (96). Таким образом, с учетом условий настоящей теоремы выполнены условия теоремы 8, т.е. и ее утверждение. Теорема 9 доказана.
В итоге с учетом теорем 9, 6 и замечания 9 доказана следующая теорема существования и единственности решений задачи Шварца.
Теорема 10. Пусть матрица $J \in {{\mathbb{C}}^{{2 \times 2}}}$ имеет разные собственные значения λ, μ, где Imλ > 0, Imμ > 0. При этом хотя бы один из ее собственных векторов не кратен вещественному. Пусть так же для числа $l = l(J)$ (75) выполнено условие $\left| l \right| \in [0,1]$.
Тогда для любой граничной функции $\psi (\omega ) \in {{H}^{\sigma }}(\Gamma )$ решение задачи Шварца в произвольном эллипсе K с границей Γ в классе функций $\phi (z) \in {{H}^{\sigma }}(\bar {K})$ существует и единственно с точностью до вектор-постоянной.
Замечание 10. Пусть оба вектора матрицы J — вещественные. В этом случае преобразования настоящего раздела теряют смысл. Однако, как показано в [15], для таких матриц утверждение теоремы 10 тоже справедливо, причем в произвольной области D, ограниченной контуром Ляпунова.
8.3. Выражение модуля числа l(J) (75) через коэффициенты матрицы J
Обозначим, как и выше, через x = xμ, y = yλ собственные векторы матрицы J, соответствующие ее разным собственным числам μ, λ. Пусть матрица
Предложение 6. С учетом сделанных обозначений справедливы формулы xμ = (a11 – λ, a12), yλ = = (a11 – μ, a12).
Доказательство. Согласно теореме Гамильтона-Кэли $(J - \lambda E)(J - \mu E)$ = 0. Поэтому
Таким образом, ${{{\mathbf{y}}}_{\lambda }} = (J - \mu E){{(1,0)}^{{\text{T}}}}$ = $({{a}_{{11}}} - \mu ,{{a}_{{12}}})$. Аналогично для собственного вектора xμ. Предложение 6 доказано.
Пусть ${{a}_{{21}}} \ne 0$. С учетом предложения 6 по формуле (75) имеем
(102)
$ = \frac{{({{a}_{{11}}} - \lambda ){{{\bar {a}}}_{{21}}} - {{a}_{{21}}}(\overline {{{a}_{{11}}} - \mu } )}}{{{{a}_{{11}}}{{a}_{{21}}} - \lambda {{a}_{{21}}} - {{a}_{{21}}}{{a}_{{11}}} + \mu {{a}_{{21}}}}} = \frac{{{{a}_{{11}}}{{{\bar {a}}}_{{21}}} - {{a}_{{21}}}{{{\bar {a}}}_{{11}}} - \lambda {{{\bar {a}}}_{{21}}} + \bar {\mu }{{a}_{{21}}}}}{{ - \lambda {{a}_{{21}}} + \mu {{a}_{{21}}}}} = $Символ l очень общий. Поэтому с учетом (102) обозначим через
(103)
${{t}_{{J,\lambda \mu }}} = \left| l \right| = \frac{{\left| {2i \cdot \operatorname{Im} ({{a}_{{11}}} \cdot {{{\bar {a}}}_{{21}}}) + \bar {\mu }{{a}_{{21}}} - \lambda {{{\bar {a}}}_{{21}}}} \right|}}{{\left| {(\mu - \lambda ) \cdot {{a}_{{21}}}} \right|}},\quad {{a}_{{21}}} \ne 0,\quad \mu \ne \lambda .$Отметим, что формулу для |l| можно вывести, используя второй столбец матрицы J, если ${{a}_{{12}}} \ne 0$. В этом случае собственные векторы матрицы J имеют вид ${{{\mathbf{x}}}_{\mu }}$ = $({{a}_{{12}}},{{a}_{{22}}} - \lambda )$, yλ = = $({{a}_{{12}}},{{a}_{{22}}} - \mu )$. Проведя преобразования, аналогичные (102), получим
(104)
${{t}_{{J,\lambda \mu }}} = \left| l \right| = \frac{{\left| {2i \cdot \operatorname{Im} ({{a}_{{22}}} \cdot {{{\bar {a}}}_{{12}}}) + \bar {\mu }{{a}_{{12}}} - \lambda {{{\bar {a}}}_{{12}}}} \right|}}{{\left| {(\mu - \lambda ) \cdot {{a}_{{12}}}} \right|}},\quad {{a}_{{12}}} \ne 0,\quad \mu \ne \lambda .$Формулы (103) и (104) совпадают с точностью до замены коэффициентов a11, a21 на a22, a12. Однако они не учитывают треугольные матрицы J, и в случае a21 = 0, либо a12 = 0 становятся некорректными. Но если матрица J треугольная, то она имеет хотя бы один вещественный собственный вектор x. В этом случае
В заключение этого раздела приведем пример решения однородной задачи Шварца (3) в виде вектор-полинома третьей степени для матриц $J \in {{\mathbb{C}}^{{2 \times 2}}}$ с разными собственными значениями.
Пример 4. Пусть
(105)
$J = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10i}&{ - \frac{{49}}{3}} \\ { - \frac{{27}}{7}}&{ - 6i} \end{array}} \right),\quad \phi (z) = \left( \begin{gathered} - 6x({{x}^{2}} + {{y}^{2}} - 1) + ( - 20{{y}^{3}} - 12{{x}^{2}}y + 18y)i \\ \frac{{54}}{7}y({{x}^{2}} + {{y}^{2}} - 1) + \left( { - \frac{{24}}{7}{{x}^{3}} + \frac{{18}}{7}x} \right)i \\ \end{gathered} \right).$Матрица J (105) имеет собственные значения λ = 3i, μ = i. Вектор-полином ϕ(z) есть функция, J-аналитической с данной матрицей J. Имеем ${{\left. {\operatorname{Re} \phi (z)} \right|}_{\Gamma }} = 0$ на единичной окружности Γ: ${{x}^{2}} + {{y}^{2}}$ = 1.
9. МАТРИЦЫ С СОБСТВЕННЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ, ЛЕЖАЩИМИ В ВЕРХНЕЙ И В НИЖНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТЯХ
В классической постановке задачи Шварца (см. [4], [9], [10], [14], [15]) предполагается, что все собственные значения матрицы J лежат в верхней полуплоскости. В этом разделе задача Шварца рассмотрена в более общей постановке: собственные значения матрицы J лежат как выше, так и ниже вещественной оси. Показано, что данный случай сводится к рассмотренному выше с помощью несложных преобразований. При этом область $D \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ предполагается произвольной.
Пусть ϕ(z) есть J-аналитическая функция с матрицей J = $Q{{J}_{1}}{{Q}^{{ - 1}}}$, где с учетом обозначений (16) получим
(106)
${{m}_{1}} + \ldots + {{m}_{p}} = r,\quad {{n}_{1}} + \ldots + {{n}_{q}} = s,\quad r + s = \ell ,$Пусть так же ϕ*(z) есть J*-аналитическая функция с матрицей J* = $Q{\kern 1pt} *{\kern 1pt} J_{1}^{*}{{(Q*)}^{{ - 1}}}$, где
(107)
$\begin{gathered} \operatorname{Im} {{\lambda }_{k}} > 0,\quad \operatorname{Im} {{\mu }_{k}} > 0, \\ {{m}_{1}} + \ldots + {{m}_{p}} = r,\quad {{n}_{1}} + \ldots + {{n}_{q}} = s,\quad r + s = \ell , \\ \end{gathered} $Матрица $J_{1}^{*}$ (107) отличается от J1 (106) комплексным сопряжением жордановых клеток, соответствующих собственным значениям μk. С учетом сделанных обозначений справедлива
Лемма 14. Пусть в (107), (106) $\det Q* \ne 0$ и $\det Q \ne 0$. Тогда задача Шварца ${{\left. {\operatorname{Re} \phi {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z)} \right|}_{\Gamma }}$ = ψ(ω) (задача S*) разрешима в некоторых классах функций $\phi {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z)$, $\psi (\omega )$ тогда и только тогда, когда разрешима задача Шварца ${{\left. {\operatorname{Re} \phi (z)} \right|}_{\Gamma }}$ = ψ(ω) (задача S) в тех же классах функций ϕ(z). При этом ядра обеих задач имеют одинаковую размерность и структуру.
Доказательство. Используем предложение 2 и запишем (15) с учетом обозначений (106):
(108)
$\phi (z) = ({{{\mathbf{x}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{x}}}_{r}},{{{\mathbf{\bar {y}}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{\bar {y}}}}_{s}}) \cdot {{({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{r}},{{h}_{1}}, \ldots ,{{h}_{s}})}^{{\text{T}}}},\quad r + s = \ell .$В (108) функции ${{f}_{k}},{{h}_{k}}$ согласно лемме 6 имеют структуру (36) и согласно (34) являются решением уравнения
(109)
$\frac{\partial }{{\partial y}}{{({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{r}},{{h}_{1}}, \ldots ,{{h}_{s}})}^{{\text{T}}}} - {{J}_{1}} \cdot \frac{\partial }{{\partial x}}{{({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{r}},{{h}_{1}}, \ldots ,{{h}_{s}})}^{{\text{T}}}} = 0.$Из (109), (107) и (36) вытекает равенство
(110)
$\frac{\partial }{{\partial y}}{{({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{r}},{{\bar {h}}_{1}}, \ldots ,{{\bar {h}}_{s}})}^{{\text{T}}}} - J_{1}^{*} \cdot \frac{\partial }{{\partial x}}{{({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{r}},{{\bar {h}}_{1}}, \ldots ,{{\bar {h}}_{s}})}^{{\text{T}}}} = 0.$Поэтому согласно (15) и (107) справедливо равенство
(111)
$\phi {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z) = ({{{\mathbf{x}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{x}}}_{r}},{{{\mathbf{y}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{y}}}_{s}}) \cdot {{({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{r}},{{\bar {h}}_{1}}, \ldots ,{{\bar {h}}_{s}})}^{{\text{T}}}},\quad r + s = \ell .$В силу (111), (108) и равенств $\operatorname{Re} \xi = \operatorname{Re} \bar {\xi }$, $\operatorname{Re} ({{\xi }_{1}} + {{\xi }_{2}})$ = $\operatorname{Re} {{\xi }_{1}} + \operatorname{Re} {{\xi }_{2}}$ имеем
(112)
${{\left. { = \operatorname{Re} [{{{({{{\mathbf{x}}}_{1}} \cdot {{f}_{1}} + \ldots + {{{\mathbf{x}}}_{r}} \cdot {{f}_{r}} + {{{\mathbf{y}}}_{1}} \cdot {{{\bar {h}}}_{1}} + \ldots + {{{\mathbf{y}}}_{s}} \cdot {{{\bar {h}}}_{s}})}}^{{\text{T}}}}]} \right|}_{\Gamma }} = $Из (112) следует одновременная разрешимость задач S и S* для одной и той же правой части ψ(ω) в одинаковых классах функций.
Пусть теперь ψ(ω) ≡ 0, и пусть функция ϕ(z) (108) есть решение однородной задачи Шварца Reϕ(z)|Γ = 0. Тогда в силу (112) функция ϕ*(z) (111) будет решением однородной задачи Шварца Reϕ*(z)|Γ = 0. Это утверждение справедливо и в обратную сторону, что доказывает одинаковую размерность ядер задач S и S*. Из (112) следует так же, что ядра задач S, S* имеют также одинаковую структуру в следующем смысле. Пусть, например, известно, что KerS состоит только из вектор-полиномов. Тогда то же самое можно сказать и относительно KerS*. Лемма 14 доказана.
Следствием леммы 14 и теоремы 5 является следующее утверждение.
Лемма 15. Пусть все собственные значения матрицы J* (107) лежат ниже вещественной оси. Пусть при этом для матрицы J = $\overline {J{\kern 1pt} *} $ (106) и эллипса Γ = $\partial K$ выполнены соотношения (67). Тогда для любой граничной функции $\psi (\omega ) \in {{H}^{\sigma }}(\Gamma )$ задача Шварца ${{\left. {\operatorname{Re} \phi {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z)} \right|}_{\Gamma }}$ = $\psi (\omega )$ имеет единственное с точностью до вектор-постоянной решение $\phi {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (z) \in {{H}^{\sigma }}(\bar {K})$.
Рассмотрим тот случай, когда условия леммы 14 не выполнены. Пусть
(113)
$\lambda = i,\quad \mu = 2i,\quad J_{1}^{*} = \operatorname{diag} (\lambda ,\bar {\mu }) = \operatorname{diag} (i, - 2i),\quad Q* = ({\mathbf{x}},{\mathbf{\bar {x}}}),\quad J* = Q{\kern 1pt} *{\kern 1pt} J_{1}^{*}{{(Q*)}^{{ - 1}}}.$В (113) det Q* ≠ 0, но det Q = det(x, x) = 0, т.е. задача S теряет смысл. Покажем, что при таких предположениях ядро задачи S* бесконечномерно.
Согласно (93) здесь l = 0. Поэтому в силу теоремы 6 однородная задача Шварца равносильна граничной задаче
(114)
${{\left. {{{f}_{\lambda }}(z)} \right|}_{\Gamma }} = {{\left. {{{g}_{\mu }}(z)} \right|}_{\Gamma }}.$Положим
(115)
${{f}_{\lambda }}(z) = {{(x + iy)}^{2}},\quad {{g}_{\mu }}(z) = \frac{1}{2}{{(x + 2iy)}^{2}} + 1,\quad \Gamma :\frac{1}{2}{{x}^{2}} + {{y}^{2}} = 1.$Непосредственно убеждаемся в том, что равенство (114) выполняется для функций (115) на эллипсе Γ. Но из (114) следует, что
Таким образом, в качестве решений задачи (114) можно взять любую пару функций
Следовательно, задача (114) имеет бесконечно много линейно независимых решений. Поэтому если матрица J* имеет вид (113), то в силу теоремы 6 ядро задачи Шварца в эллипсе (115) для J*-аналитических функций бесконечномерно.
Список литературы
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.
Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.
Солдатов А.П. Функции, аналитические по Дуглису. Новгород: Изд-во НовГУ, 1995.
Солдатов А.П. Гипераналитические функции и их приложения // Совр. матем. и ее приложения. 2004. Т. 15. С. 142–199.
Vasilyev V.B. General boundary value problems for pseudo differential equations and related difference equations // Adv. in Difference Equat. 2013. V. 289. P. 1–7.
Vasilyev V.B. Pseudo differential equations on manifolds with non-smooth boundaries // Differential and Difference Equations and Applications. 2013. V. 47. P. 625–637.
Vasilyev V.B. On some transmission problems in a plane corner // Tatra Mt. Math. Publ. 2015. V. 63. P. 291–301.
Солдатов А.П. Задача Шварца для функций, аналитических по Дуглису // Совр. математика и ее приложения. 2010. Т. 67. С. 99–102.
Николаев В.Г., Солдатов А.П. О решении задачи Шварца для J-аналитических функций в областях, ограниченных контуром Ляпунова // Дифференц. ур-ния. 2015. Т. 51. № 7. С. 965–969.
Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Высш. школа, 1999.
Nikolaev V. G. A Class of Orthogonal Polynomials on the Boundary of an Ellipse // J. of Math. Sci. 2019. V. 239. № 3. P. 363–380.
Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. М.: Мир, 1985.
Soldatov A.P. On representation of solutions of second order elliptic systems on the plane // More progresses in analysis: Proc. of the 5th Intern. ISAAC Congress, Catania, Italy, 25–30 July (2005). 2009. V. 2. P. 1171–1184.
Васильев В.Б., Николаев В.Г. О задаче Шварца для эллиптических систем первого порядка на плоскости // Дифференц. ур-ния. 2017. Т. 53. № 10. С. 1351–1361.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики
Пн.-пт.: 10.00-19.00