Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 1, стр. 102-111

1. ВВЕДЕНИЕ

Существует ряд способов построения иерархий Пенлеве (см. [1], [2]) – аналогов уравнений Пенлеве более высоких порядков. В данной работе рассматривается второй член четвертой иерархии Пенлеве из [2] – обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка, продолжающее цепочку, соответствующую четвертому уравнению Пенлеве. Решения уравне-ний – членов иерархий уравнений Пенлеве могут, как это имеет место для исходных уравнений Пенлеве, определять новые специальные функции; впрочем, доказательство справедливости этого факта или опровергающие такое утверждение результаты на данный момент авторам неизвестны.

В [3] методами степенной геометрии [4] найдены степенные формальные асимптотические разложения решений второго члена четвертой иерархии Пенлеве. Здесь, применяя теорию из [5], [6], доказывается сходимость полученных в окрестности нуля разложений и отсутствие экспоненциальных добавок (см. [7]). Для поиска экспоненциальных добавок к решениям используется код, написанный в пакете символьных вычислений (код для реализации первых шагов методами степенной геометрии приведен в [3]). Дана ссылка на программу для символьных вычислений порядка Жевре формального разложения решения дифференциального уравнения второго порядка.

2. МЕТОДЫ

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение порядка $n$ вида

Известно, что каждому формальному решению вида (2) уравнения (1) соответствует аналитическое решение $y$ уравнения (1), асимптотически приближаемое по Жевре рядом (2) в некотором секторе с вершиной в бесконечности, т.е. на множестве $V = \{ x:{\text{|}}x{\text{|}} > R,\operatorname{Arg} x \in ({{\varphi }_{1}},{{\varphi }_{2}})\} $ при некотором $R > 0$.

Для доказательства сходимости ряда (2) можно использовать асимптотическую теорию Жевре. В случае, когда сходимость таким методом не может быть доказана, осмысленным для определения точности приближения настоящего решения уравнения (1) вновь является применение асимптотической теории Жевре, а также вычисление уточняющих экспоненциальных добавок (экспоненты, в показателях которых записан формальный степенной ряд) к решению.

Кратко опишем алгоритм поиска порядков Жевре и точности приближения по Жевре разложения (см. [5], [6]):

I.1. Вычислить производную Фреше $L$ левой части уравнения (1) на решении $\hat {y}$;

I.2. Проверить, содержит ли $L$ оператор $\frac{{{{d}^{n}}}}{{d{{x}^{n}}}}$ ($n$ – порядок уравнения (1));

I.3. Выразить в $L$ операторы $\frac{{{{d}^{k}}}}{{d{{x}^{k}}}}$ через операторы ${{D}^{s}},$ $s = 1, \ldots ,k,$ где $D = x\frac{d}{{dx}}$, т.е. переписать $L$ в виде

I.4. Построить многоугольник Ньютона оператора $L$ (3) как выпуклую оболочку точек $\{ ({{q}_{1}},{{q}_{2}}):0\;\leqslant \;{{q}_{1}}\;\leqslant \;k,\;{{q}_{2}}\; \geqslant \;{{j}_{{k,{\kern 1pt} 0}}}\} $;

I.5. Определить тангенсы ${{k}_{i}}$ угла наклона границы многоугольника Ньютона к оси абсцисс;

I.6. Множество $\{ 0,1{\text{/}}{{k}_{1}}, \ldots ,1{\text{/}}{{k}_{r}}\} $ содержит все возможные порядки Жевре ряда (2).

Порядок Жевре $0$ соответствует сходимости ряда (2). Сразу гарантирует сходимость многоугольник Ньютона с тремя сторонами, одна из которых – горизонтальный отрезок, две оставшиеся стороны – вертикальные полупрямые.

Теперь опишем алгоритм поиска экспоненциальных добавок к решению методами степенной геометрии (см. [7]):

II.1. Вычислить производную Фреше $L$ левой части уравнения (1) на решении $\hat {y}$;

II.2. Применить $L$ к $u$;

II.3. Сделать в (линейном) уравнении $Lu = 0$ замену

II.4. Построить многоугольник Ньютона полученного уравнения по правилам степенной геометрии [4]. Поскольку подставляли ряд, многоугольник – в общем случае – не является ограниченным множеством;

II.5. Рассмотреть ребра многоугольника, внешняя нормаль $N = ({{p}_{1}},{{p}_{2}})$ к которым имеет ${{p}_{1}} > 0,$ ${{p}_{2}} > 0$. Найти степенные разложения решений уравнения $G(z,w) = 0$, соответствующие укороченным уравнениям этих ребер;

II.6. Сделать обратную замену $u = {{e}^{w}}$.

Замечание 1. Мы рассмотрели формальный асимптотический ряд в окрестности бесконечности. В работе речь идет о формальных степенных разложениях решений ОДУ вблизи нуля. Для применения алгоритма I делаем замену $x = 1{\text{/}}t$, переводя нуль в бесконечность. При применении алгоритма II замену делать не надо, следует на шаге II.5 рассмотреть ребра многоугольника, внешняя нормаль $N = ({{p}_{1}},{{p}_{2}})$ к которым имеет ${{p}_{1}} < 0,$ ${{p}_{2}} > 0$.

3. СРАВНЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

В предыдущем разделе появились два многоугольника Ньютона; опишем, как они связаны. Их преобразование друг в друга корректирует сделанное в [8] замечание об их связи, поясним это.

Утверждение 1. Точки, используемые для построения многоугольника Ньютона, употребляемого для определения порядков Жевре по линейному дифференциальному оператору, получаются как подмножество точек носителя многоугольника Ньютона, применяемого при вычислении экспоненциальных добавок к степенным разложениям решений в бесконечности, повернутого на $\pi {\text{/}}2$ по часовой стрелке.

Доказательство. Алгоритмы методов степенной геометрии и методов французской школы отличаются на этапе линеаризации левой части дифференциального уравнения. Итак, пусть есть линеаризация дифференциального уравнения $n$-го порядка, которая имеет вид

1. Покажем, как преобразуются и в какие точки переходят ${{u}^{{(k)}}}$ при замене (4). Видим, что $u{\kern 1pt} ' = uw{\kern 1pt} '$, после сокращения на $u$ ей соответствует точка $( - 1,1)$, вторая производная $u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = u\left( {{{{(w{\kern 1pt} ')}}^{2}} + w{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '} \right)$ дает точки $( - 2,2)$ и $( - 2,1)$ и т.д. Докажем, что функции ${{u}^{{(n)}}}$ сопоставляются точки $( - n,n)$, $( - n,n - 1), \ldots ,( - n,1)$.

По индукции: база проверена; пусть

2. Теперь найдем точки, которые соответствуют ${{u}^{{(k)}}}$ при построении многоугольника, по которому вычисляется порядок Жевре. Перепишем функции ${{u}^{{(k)}}}$ через оператор $D$ из предыдущего раздела. Так, $u = Iu = {{D}^{0}}u$, и ей сопоставляется $(0,0)$, функции $u{\kern 1pt} ' = \frac{{Du}}{x}$ соответствует точка $(1,1)$ многоугольника, функции $u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = \frac{{{{D}^{2}}u - Du}}{{{{x}^{2}}}}$ отвечают точки $(2,2)$, $(1,2)$. Легко проверить по индукции, что ${{u}^{{(k)}}}$ добавит в многоугольник точки $(k,k),(k - 1,k), \ldots ,(1,k)$, поскольку

Получили, что моному ${{x}^{a}}{{u}^{{(k)}}}$ соответствуют точки $(a - k,k)$, $(a - k,n - k), \ldots ,(a - k,1)$ в многоугольнике Ньютона алгоритма II и точки $(k,k - a),(k - 1,k - a), \ldots ,(1,k - a)$ алгоритма I (в алгоритме I затем используется только часть точек). Имеем биективное для каждого из дифференциальных мономов отображение точек первого многоугольника на точки второго, осуществляемое с помощью поворота на $\pi {\text{/}}2$ против часовой стрелки, переводящего точки второго многоугольника в точки первого по формуле

Пример 1. При алгоритме I может пропасть часть точек из алгоритма II.

Рассматривается уравнение

Вычисления по алгоритму I дадут точки $(0, - {{k}_{0}}),(2,1)$, вычисления по методу II – точки $({{k}_{0}},0),( - 1,1),( - 1,2)$. Таким образом, точке $( - 1,1)$ метода II не соответствует точка по методу I.

На фиг. 1 и 2 изображены многоугольники для алгоритмов I и II для уравнения (6) в случаях (а) ${{k}_{0}} < - 1$, (б) ${{k}_{0}} = - 1$ и (в) ${{k}_{0}} > - 1$

Фиг. 1.

Многоугольники Ньютона уравнения (6) для алгоритма I в случаях (а), (б), (в).

Фиг. 2.

Многоугольники Ньютона уравнения (6) для алгоритма II в случаях (а), (б), (в).

4. СХОДИМОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЙ В НУЛЕ

Запишем второй член четвертой иерархии Пенлеве (см. [2]). Заметим, что это уравнение уже представлено в виде дифференциальной суммы (конечной суммы многочленов от $y,$ ${{y}_{x}}, \ldots ,{{y}_{{xxxx}}}$, умноженных на ${{x}^{\alpha }}$):

4.1. Разложения ${{W}_{1}}$–${{W}_{9}}$

Рассмотрим разложения решений уравнения (7), полученные в [3] и [9] при $x \to 0$.

Начнем с рассмотрения разложений семейства ${{W}_{1}}$, которые имеют вид

$y = - \frac{{\beta {{x}^{2}}}}{{10}} + {{c}_{4}}{{x}^{4}} + \frac{\beta }{{80}}{{x}^{5}} + {{c}_{6}}{{x}^{6}} + \sum\limits_{k = 7}^\infty \,{{a}_{{k,1}}}{{x}^{k}}.$

Здесь и далее ${{c}_{j}}$ – произвольные постоянные, коэффициенты ${{a}_{{j,s}}}$ однозначно через них выражаются.

Во-первых, заметим, что линеаризация укороченного уравнения

$\begin{gathered} {{y}_{{xx}}}{{y}^{2}}{{y}_{{xxxx}}} - \beta {{y}^{2}}{{y}_{{xxxx}}} - \frac{{{{y}^{2}}y_{{xxx}}^{2}}}{2} - y{{y}_{x}}{{y}_{{xx}}}{{y}_{{xxx}}} + \beta y{{y}_{x}}{{y}_{{xxx}}} - \frac{4}{3}yy_{{xx}}^{3} + 3\beta yy_{{xx}}^{2} + \frac{3}{2}y_{x}^{2}y_{{xx}}^{2} - \\ \, - 2{{\beta }^{2}}y{{y}_{{xx}}} - 3\beta y_{x}^{2}{{y}_{{xx}}} + \frac{3}{2}{{\beta }^{2}}y_{x}^{2} + \frac{1}{3}{{\beta }^{3}}y = 0, \\ \end{gathered} $

из которого получен первый член асимптотического разложения ${{W}_{1}}$, на решении $w = - \beta {{x}^{2}}{\text{/}}10$ содержит оператор четвертой производной, т.е. порядок максимальной входящей в линеаризацию производной совпадает с порядком исходного уравнения (7). Для доказательства сходимости разложения можно использовать теоремы о сходимости из [10]. Разложение сходится.

Во-вторых, проверим это утверждение путем нахождения порядков Жевре и экспоненциальных добавок. Вычислим первую вариацию левой части уравнения (7) на решении ${{W}_{1}}$, применим к $u$, сделаем замену (4), построим многоугольник Ньютона полученного уравнения

(8)

$\frac{{3{{\beta }^{3}}}}{{125}}\left( { - 36x{{w}_{x}} + 3{{x}^{3}}{{w}_{x}}{{w}_{{xx}}} - 2{{x}^{4}}{{w}_{x}}{{w}_{{xxx}}} + 8{{x}^{2}}w_{x}^{2} - 3{{x}^{4}}w_{x}^{2}{{w}_{{xx}}} + {{x}^{3}}w_{x}^{3} - \frac{1}{2}{{x}^{4}}w_{x}^{4} + \ldots } \right) = 0$

на фиг. 3а (в уравнении (8) выписаны только мономы с минимальными по $x$ степенями).

Фиг. 3.

Многоугольники Ньютона алгоритмов II и I для разложения ${{W}_{1}}$.

Многоугольник не имеет сторон с внешними нормалями $N = ({{p}_{1}},{{p}_{2}})$, удовлетворяющими условию ${{p}_{1}} < 0,$ ${{p}_{2}} > 0$, поэтому разложение ${{W}_{1}}$ не имеет экспоненциальных добавок.

На фиг. 3б указан многоугольник для нахождения порядков Жевре разложений. Видим, что он не имеет ненулевых тангенсов углов наклона сторон, поэтому ряд ${{W}_{1}}$ сходится согласно теории из [6].

Рассуждения для семейств разложений ${{W}_{2}}$–${{W}_{7}}$ из [3] идентичны проведенным выше, все эти разложения являются сходящимися, доказательство сходимости разложений семейств ${{W}_{8}},{{W}_{9}}$ (при $\beta \ne - 2$ и $\beta \ne 2$ соответственно) также аналогично.

4.2. Разложения, продолжающие асимптотику $y = cx$

Докажем, пользуясь алгоритмом I, сходимость разложений семейств ${{W}_{{19}}}$–${{W}_{{21}}}$. Разложения этих семейств имеют вид $y = cx + \beta {\text{/}}2{{x}^{2}} + {{b}_{3}}{{x}^{3}} + {{b}_{4}}{{x}^{4}} + \ldots {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} .$

Сделаем в уравнении (7) замену $x = 1{\text{/}}t$, переведя точку $x = 0$ в $t = \infty $, и воспользуемся алгоритмом I построения многоугольника.

Для этого запишем линеаризацию левой части уравнения (7) (после замены переменной), выраженную через оператор ${{D}_{t}} = t\frac{d}{{dt}}$, получим (выписываем только старшие – ведущие степени по t)

1) ${{b}_{3}} \ne 0$, ведущие слагаемые вида $6{{c}^{2}}{{b}_{3}}(D_{t}^{4} + 8D_{t}^{3} + 19D_{t}^{2} + 12{{D}_{t}})t$, многоугольник Ньютона которого представлен на фиг. 4. Многоугольник не имеет наклонных ребер, что говорит о сходимости разложений семейства ${{W}_{{19}}}$;

Фиг. 4.

Многоугольник Ньютона алгоритма I.

2) ${{b}_{3}} = 0$, ${{b}_{4}} \ne c{\text{/}}6$, ведущие слагаемые вида $ - 2{{c}^{2}}(c - 6{{b}_{4}})(D_{t}^{4} + 9D_{t}^{3} + 23D_{t}^{2} + 15{{D}_{t}})$, многоугольник Ньютона получается сдвигом из многоугольника на фиг. 4. Для разложений семейств ${{W}_{{20,21}}}$ коэффициент ${{b}_{4}} = c{\text{/}}6$ только в случае $\delta = 0$, такой случай не рассматриваем в данной работе, сходимость доказана.

4.4. Разложения, продолжающие асимптотику $y = c$ при $\beta = - 2{{c}^{3}}$

Утверждение 2. При $\beta = - 2{{c}^{3}} \ne 0$, $\delta \ne 0$ имеются следующие дополнительные семейства асимптотических разложений:

${{F}_{7}} = \left\{ {y = c + {{c}_{2}}{{x}^{2}} + \sum\limits_{k = 3}^\infty \,{{a}_{{k,7}}}{{x}^{k}}} \right\},\quad {{c}_{2}} \in \mathbb{C}{{\backslash }}\{ 0\} ;$

${{F}_{{8,9}}} = \left\{ {y = c + \frac{{c(2 \pm 3\sqrt {2\delta } )}}{6}{{x}^{3}} + {{c}_{4}}{{x}^{4}} + \sum\limits_{k = 5}^\infty \,{{a}_{{k,8,9}}}{{x}^{k}}} \right\},\quad {{c}_{4}} \in \mathbb{C}{{\backslash }}\{ 0\} ,\;существуют\;при\;\delta \ne 2{\text{/}}9;$

${{F}_{{10}}} = \left\{ {y = c + \frac{{2c}}{3}{{x}^{3}} + {{c}_{4}}{{x}^{4}} + \sum\limits_{k = 5}^\infty \,{{a}_{{k,10}}}{{x}^{k}}} \right\},\quad {{c}_{4}} \in \mathbb{C}{{\backslash }}\{ 0\} ,\quad при\;\delta = 2{\text{/}}9;$

${{F}_{{16}}} = \left\{ {y = c + {{c}_{4}}{{x}^{4}} + \sum\limits_{k = 5}^\infty \,{{a}_{{k,16}}}{{x}^{k}}} \right\},\quad {{c}_{4}} \in \mathbb{C}{{\backslash }}\{ 0\} ,\quad при\;\delta = 2{\text{/}}9;$

${{F}_{{11}}} = \left\{ {y = c - \frac{{{{c}^{3}}}}{{20}}{{x}^{5}} + \sum\limits_{k = 6}^\infty \,{{a}_{{k,11}}}{{x}^{k}}} \right\},\;существует\;при\;\delta = 2{\text{/}}9;$

${{F}_{{12}}} = \left\{ {y = c + {{c}_{1}}x + {{c}_{2}}{{x}^{2}} + \sum\limits_{k = 3}^\infty \,{{a}_{{k,12}}}{{x}^{k}}} \right\};$

${{F}_{{13,14}}} = \left\{ {y = c + {{c}_{1}}x + \frac{{c(2 + 6c{{c}_{1}} \pm 3\sqrt {2\delta } )}}{6}{{x}^{3}} + {{c}_{4}}{{x}^{4}} + \sum\limits_{k = 5}^\infty \,{{a}_{{k,13,14}}}{{x}^{k}}} \right\},\quad 6c{{c}_{1}} + 2 = \pm 3\sqrt {2\delta } ,\quad {{c}_{1}} \ne 0;$

${{F}_{{15}}} = \left\{ {y = c + {{c}_{1}}x + \frac{{ - 3{{c}^{4}}{{c}_{1}} - {{c}^{3}} + 2c_{1}^{3}}}{{20}}{{x}^{5}} + \sum\limits_{k = 6}^\infty \,{{a}_{{k,12}}}{{x}^{k}}} \right\},\quad 6c{{c}_{1}} + 2 = \pm 3\sqrt {2\delta } ,\quad {{c}_{1}} \ne 0.$

Доказательство состоит в последовательном переборе вершин и ребер многоугольников Ньютона методами степенной геометрии и следует ниже.

Обратимся к случаю $\beta = - 2{{c}^{3}}$. Такое соотношение параметров уравнения и решения пропущено в [9]: при подстановке $y = c + w$ в уравнение (7) у многоугольника $\tilde {\Gamma }$ может пропасть точка $( - 4,1)$, которой соответствует укороченное уравнение

$ - {{c}^{2}}(\beta + 2{{c}^{3}}){{w}_{{xxxx}}} = 0.$

Преобразованному уравнению (7) в этом случае соответствует многоугольник $\hat {\Gamma }$, изображенный на фиг. 5а. В рассмотрении в многоугольнике $\hat {\Gamma }$ нуждаются лишь вершина $( - 6,2)$ и ребро ${{\hat {\Gamma }}_{1}}$, соединяющее вершины $( - 6,2)$ и $(0,0)$. Эта конфигурация многоугольника возможна при наличии точки $(0,0)$, т.е. в случае $\delta \ne 2{\text{/}}9$.

Фиг. 5.

Многоугольники Ньютона $\hat {\Gamma }$ и $\hat {\Gamma }{\kern 1pt} '$.

Вершине $( - 6,2)$ многоугольника $\hat {\Gamma }$ соответствует укороченное уравнение

${{c}^{2}}\left( {{{w}_{{xxxx}}}{{w}_{{xx}}} - \frac{{w_{{xxx}}^{2}}}{2}} \right) = 0,$

в которое подставляем $w = c{{x}^{r}}$, имеем $r = 0,$ $r = 1$ (кратности два), $r = 2,$ $r = 4$ (кратности один). В конусе задачи лежат $r = 1$ и $r = 2$. При $r = 2$ асимптотика продолжается как семейство разложений ${{F}_{7}}$. Случай $r = 1$ – кратный корень – исследуем позже, сделав в уравнении (7) замену $w = c + {{c}_{1}}x + u$.

Ребру ${{\hat {\Gamma }}_{1}}$ отвечает уравнение

(10)

${{c}^{2}}{{w}_{{xxxx}}}{{w}_{{xx}}} - \frac{1}{2}{{c}^{2}}w_{{xxx}}^{2} + 2{{c}^{3}}{{w}_{{xxx}}} - 2{{c}^{3}}x{{w}_{{xxxx}}} - {{c}^{4}}(2 - 9\delta ) = 0.$

Его решение ищем в виде $w = A{{x}^{3}},$ получаем, что ${{A}_{{1,2}}} = (2c \pm 3c\sqrt {2\delta } ){\text{/}}6$. Имеем либо одно критическое число $k = 4$ при $\delta \ne 0$, что дает разложения ${{F}_{{8,9}}}$, либо – при $\delta = 0$ (кратном корне $A$) – нулевую линеаризацию укороченного уравнения на решении. В данной работе рассматриваем случай общего положения, поэтому дальнейшее исследование нулевой линеаризации здесь не проводим.

Теперь рассмотрим многоугольник $\hat {\Gamma }{\kern 1pt} '$, полученный для уравнения (7) после замены $y = c + w$ в случае $\beta = - 2{{c}^{3}}$, $\delta = 2{\text{/}}9$ (изображен на фиг. 5б). Рассматриваем его ребра: ребро $\hat {\Gamma }_{1}^{'}$, соединяющее вершины $( - 6,2)$ и $( - 3,1)$, и ребро $\hat {\Gamma }_{2}^{'}$, соединяющее вершины $(2,0)$ и $( - 3,1)$, а также вершины $(2,0)$ (алгебраическая), $( - 6,2)$ (встречалась ранее) и новую вершину $( - 3,1)$, которой отвечает укороченное уравнение

$2{{c}^{3}}({{w}_{{xxx}}} - x{{w}_{{xxxx}}}) = 0.$

Оно не дает подходящих степенных решений: подставляя $w = c{{x}^{r}}$ в уравнение, имеем $r \in \{ 0,1,2,4\} $, такие значения не подходят для продолжения разложения (не соответствуют нормальному конусу вершины).

Ребру $\hat {\Gamma }_{1}^{'}$ отвечает укороченное уравнение (10) при $\delta = 2{\text{/}}9$ и семейства ${{F}_{{10}}}$, ${{F}_{{16}}}$, полученные из имеющихся выше семейств ${{F}_{{8,9}}}$ подстановкой.

Ребру $\hat {\Gamma }_{2}^{'}$ отвечает укороченное уравнение

(11)

$2{{c}^{3}}({{w}_{{xxx}}} - x{{w}_{{xxxx}}}) - 6{{c}^{6}}{{x}^{2}} = 0,$

его решение ищем, подставляя $w = B{{x}^{5}}$. Имеем семейство разложений ${{F}_{{11}}}$.

Рассмотрим многоугольник уравнения, полученного из уравнения (7) заменой $y = c + {{c}_{1}}x + u$. В [9] не учтены разложения, отвечающие $\beta + 2{{c}^{3}} = 0$. Опять разделяем случаи наличия (многоугольник $\bar {\Gamma }$, фиг. 6а) и отсутствия ($\bar {\Gamma }{\kern 1pt} '$, фиг. 6б) точки $(0,0)$ в носителе многоугольника, т.е. случаи неравенства и равенства нулю выражения $c{{c}_{1}}(12 + 18c{{c}_{1}}) - 9\delta + 2$ (заметим, что предыдущий разобранный случай вкладывается здесь как подслучай при ${{c}_{1}} = 0$).

Фиг. 6.

Многоугольники Ньютона $\bar {\Gamma }$ и $\bar {\Gamma }{\kern 1pt} '$.

Уравнение вершины $( - 6,2)$ многоугольника $\bar {\Gamma }$ рассмотрено ранее, вершина дает семейство решений ${{F}_{{12}}}$. Вершина $(0,0)$ алгебраическая, не дает решений. Ребру, соединяющему вершины $(0,0)$ и $( - 6,2)$, отвечает уравнение

${{c}^{2}}{{w}_{{xxxx}}}{{w}_{{xx}}} - \frac{1}{2}{{c}^{2}}w_{{xxx}}^{2} + (2{{c}^{3}} + 6{{c}^{4}}{{c}_{1}}){{w}_{{xxx}}} - (2{{c}^{3}} + 6{{c}^{4}}{{c}_{1}})x{{w}_{{xxxx}}} - {{c}^{4}}(12c{{c}_{1}} + 2 + 18{{c}^{2}}c_{1}^{2} - 9\delta ) = 0.$

Его решение ищем в виде $w = A{{x}^{3}},$ получаем, что ${{A}_{{13,14}}} = (2c + 6{{c}^{2}}{{c}_{1}} \pm 3c\sqrt {2\delta } ){\text{/}}6$, критическое число $k = 4$ при $\delta \ne 0$ и нулевую линеаризацию укороченного уравнения на решении при $\delta = 0$. Это дает при $\delta \ne 0$ начальные члены разложения ${{F}_{{13,14}}}$.

Остается многоугольник $\bar {\Gamma }{\kern 1pt} '$, в котором появляется не рассмотренное ранее ребро, соединяющее точки $( - 3,1)$ и $(2,0)$. Ему отвечает укороченное уравнение

(12)

$2{{c}^{3}}(1 + 3c{{c}_{1}})({{u}_{{xxx}}} - x{{u}_{{xxxx}}}) - 6{{c}^{3}}({{c}^{3}} + 6{{c}^{4}}{{c}_{1}} + 9{{c}^{5}}c_{1}^{2} - 2c_{1}^{3} - 6cc_{1}^{4}){{x}^{2}} = 0$

с подходящими решениями $u = B{{x}^{5}}$. Заметим, что уравнение (11) получается как частный случай уравнения (12) при ${{c}_{1}} = 0$. Имеем семейство ${{F}_{{15}}}$.

5. КОД ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ПОРЯДКОВ ЖЕВРЕ

Имеется написанный в пакете символьных вычислений Wolfram Mathematica (см. [11]) код для вычисления порядка Жевре. На входе есть дифференциальное уравнение и формально удовлетворяющий ему ряд. Код приводится для дифференциального уравнения 2-го порядка и выложен в открытом доступе: https://github.com/Victoranoshin/Asymptotic-expansions-of-solutions-for-equations-in-the-Wolfram-Mathematica-system.

В команду Expand вместо многоточия подставляется левая часть дифференциального уравнения, вместо ’solution’ – формальное решение этого уравнения.

Код для вычисления порядков Жевре в случае рассматриваемого уравнения 4-го порядка для конкретных формальных разложений выкладывается туда же.

6. О СХОДИМОСТИ ФОРМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Пусть уравнение (1) при $x \to 0$ имеет формальное решение $\sum\nolimits_{k = 0}^\infty {{{b}_{k}}{{x}^{k}}} $. Сделаем в уравнении (1) подстановку

Теорема (см. [4, п. 3.4]). Если порядки дифференцирования в ${{g}_{\ell }}$ и полном уравнении (1) совпадают, то формальное решение сходится при малых $|{\kern 1pt} x{\kern 1pt} |$.

Это условие совпадает с условием в работе [12]. Для рядов более широкого класса, чем упомянуто здесь, оно доказано в [10].

Для всех полученных вблизи нуля разложений можно проверить выполнение этого условия для доказательства сходимости.