Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 1, стр. 112-122

1. ВВЕДЕНИЕ

Метод расчета электромагнитного поля волноводных мод, распространяющихся в нерегулярных волноводах с медленно меняющимися параметрами, сформировался в работах [1]–[8] и др. В русскоязычной научно-исследовательской литературе наибольшее распространение получил “метод поперечных сечений”, разработанный в трудах Б.З. Каценеленбаума [3], [4] для закрытых волноводов, и его “обобщение” для открытых волноводов, разработанное В.В. Шевченко [5], [9].

Основной сложностью постановки задачи отыскания направляемых волноводных мод в нерегулярных волноводах – волноводах с криволинейной границей – является учет условий непрерывности тангенциального поля на криволинейной границе. Понятие направляемой волноводной моды определено для планарных волноводов – волноводов с плоскими границами. Применяя классическую процедуру разделения переменных к волноводной задаче для планарных волноводов, можно сформулировать самосопряженную спектральную задачу, собственными значениями которой являются вещественные коэффициенты фазового замедления направляемых мод, собственные функции определяют соответствующие стоячие волны в поперечном сечении волновода. В случае наличия криволинейной границы переменные уже не разделяются, и понятие направляемой волноводной моды в нерегулярном волноводе строго не определено, хотя можно строить различные приближенные направляемые моды нерегулярного волновода. Как правило, методы приближенного построения направляемых мод плавно-нерегулярного волновода основаны на приближении по малому параметру, характеризующему медленное изменение геометрии структуры или поля по одной из координат.

В подходах Б.З. Каценеленбаума и В.В. Шевченко при построении приближенных мод нерегулярного волновода учтен только вклад нулевого порядка в условия сопряжения на криволинейной границе – т.е. учтена переменная толщина волноводного слоя, но отброшены вклады более высоких порядков, описывающие малый наклон криволинейной границы раздела. Подход Б.З. Каценеленбаума и В.В. Шевченко позволяет получить медленно меняющиеся вдоль волновода направляемые моды, причем полученные в каждом поперечном сечении нерегулярного волновода направляемые моды совпадают с направляемыми модами регулярного волновода аналогичной толщины. В каждом поперечном сечении спектральная задача самосопряженная, поэтому коэффициенты фазового замедления представляют собой вещественные медленно меняющиеся функции. Однако вклады первого и высших порядков малости по углу наклона границы в радианах в методе поперечных сечений не учитываются.

Авторам известен альтернативный подход к построению волноводных мод в адиабатическом приближении, который учитывает вклады более высоких порядков малости, описывающие наклон криволинейной границы раздела. В основе модели адиабатических волноводных мод (АВМ) [10]–[12] лежит адаптированное для волноводного распространения приближение коротких волн, описанное в книге В.М. Бабича и В.С. Булдырева [13]. Решение уравнений Максвелла в модели АВМ представляется в виде асимптотического ряда. В нулевом приближении асимптотического разложения модели АВМ уравнения Максвелла редуцируются к системе четырех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и двум соотношениям. Условия сопряжения на криволинейной границе в нулевом приближении асимптотического разложения формулируется с учетом наклона, который является малой величиной в волноводах с медленно меняющимися параметрами.

В работе рассматривается модель АВМ в нулевом приближении асимптотического разложения, в рамках которого рассматривается несколько первых приближений по малости наклона криволинейной границы. Приводятся результаты нулевого приближения по малости наклона криволинейной границы, а также первого и второго порядков малости, качественно отличающиеся от нулевого приближения.

2. МОТИВАЦИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ

Асимптотические методы удобны тем, что нулевое приближение, описывающее основной вклад решения, отыскивается, как правило, в символьном виде. Учитывая асимптотический характер решения, в модели АВМ удается получить ряд промежуточных результатов в символьном виде, что и предопределяет использование компьютерной алгебры в качестве одного из инструментов исследования. В серии работ по модели АВМ [10]–[14] в символьном виде получены как дифференциальные уравнения модели, так и их символьные решения. Благодаря символьному решению дифференциальных уравнений модели, удается в символьном виде сформулировать задачу отыскания направляемых мод нерегулярных волноводов. Эта задача формулируется в виде однородной системы линейных уравнений с символьной матрицей коэффициентов, которую в некоторых случаях можно решить символьно [15]. Условие разрешимости системы – равенство нулю детерминанта матрицы коэффициентов – определяет нелинейное уравнение, которому удовлетворяет коэффициент фазового замедления.

В настоящей работе для приближенного учета условий сопряжения на криволинейной границе раздела применяется разложение по малому параметру, характеризующему малость угла наклона границы. В нулевом приближении условие разрешимости системы представляет собой нелинейное уравнение с вещественными корнями, а в первом и старших приближениях корни могут быть комплексными. В работе и уравнение, и его корни представляются в виде разложений по степеням малого параметра, что позволяет получить простые формулы для первого и второго приближений. Важно отметить, что рассматриваемое уравнение представляет собой равенство нулю детерминанта, который необходимо представить в виде разложения по степеням малого параметра, что требует символьных манипуляций. Представление корней уравнения в виде разложения по степеням малого параметра, подстановка в уравнение и получение расчетных формул первых двух приближений также требуют символьных манипуляций. Поэтому основным инструментом решения задачи отыскания комплексных корней выступает система компьютерной алгебры.

После отыскания корней детерминанта в виде разложений по степеням малого параметра решается задача отыскания направляемых мод нерегулярных волноводов, которая формулируется в виде однородной системы линейных уравнений с символьной матрицей коэффициентов. В работе эта задача решается символьно с помощью алгоритма из [15].

3. МЕТОДЫ

3.2. Модель адиабатических волноводных мод для регулярных по $y$ волноводов

3.2.1. Уравнения модели. В работе рассматривается случай, когда от одной из горизонтальных координат не зависят ни геометрия интегрально-оптического волновода, ни решения уравнений Максвелла для АВМ, а именно случай $\partial {\text{/}}\partial y \equiv 0$. В этом случае уравнения (2)–(5) принимают более простой вид:

(10)

$\begin{gathered} \varepsilon \frac{{\partial E_{0}^{y}}}{{\partial x}} = - i{{k}_{0}}\varepsilon \mu H_{0}^{z},\quad \varepsilon \frac{{\partial E_{0}^{z}}}{{\partial x}} = i{{k}_{0}}\left( {\varepsilon \mu - {{{\left( {\varphi {\kern 1pt} '\left( z \right)} \right)}}^{2}}} \right)H_{0}^{y}, \\ \mu \frac{{\partial H_{0}^{y}}}{{\partial x}} = i{{k}_{0}}\varepsilon \mu E_{0}^{z},\quad \mu \frac{{\partial H_{0}^{z}}}{{\partial x}} = - i{{k}_{0}}\left( {\varepsilon \mu - {{{\left( {\varphi {\kern 1pt} '\left( z \right)} \right)}}^{2}}} \right)E_{0}^{y}, \\ \end{gathered} $

дополнительные соотношения (6) и (7) также принимают упрощенный вид:

(11)

$E_{0}^{x} = \frac{1}{\varepsilon }\varphi {\kern 1pt} '\left( z \right)H_{0}^{y},{\kern 1pt} \quad H_{0}^{x} = - \frac{1}{\mu }\varphi {\kern 1pt} '\left( z \right)E_{0}^{y}.$

Замечание. Систему (10) и соотношения (11) можно также сформулировать в виде уравнений второго порядка относительно компонент $E_{0}^{y}$, $H_{0}^{y}$ и дополнительных соотношений, которые разбиваются на две независимые подсистемы.

3.2.2. Условия сопряжения. Рассмотрим более подробно условия (8) на наклонной части границы раздела волноводных слоев. В точке ${{\left( {h\left( z \right),z} \right)}^{{\text{т}}}}$ границы раздела $x = h\left( z \right)$ условия сопряжения представляют собой непрерывность следующих величин:

(12)

$\left[ {{\mathbf{n}} \times {\mathbf{E}}} \right] = {{\left( {h{\kern 1pt} '\left( z \right){{E}_{y}}; - {{E}_{z}} - h{\kern 1pt} '\left( z \right){{E}_{x}};{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{E}_{y}}} \right)}^{{\text{т}}}},$

(13)

$\left[ {{\mathbf{n}} \times {\mathbf{H}}} \right] = {{\left( {h{\kern 1pt} '\left( z \right) \cdot {{H}_{y}}; - {{H}_{z}} - h{\kern 1pt} '\left( z \right){{H}_{x}};{{H}_{y}}} \right)}^{{\text{т}}}},$

причем экспоненциальный множитель $\exp \left\{ {i\omega t - i{{k}_{0}}\varphi \left( z \right)} \right\}$ принимает одинаковые ненулевые значения по обе стороны границы раздела слоев.

В работе используются приближенные условия сопряжения: нулевое приближение условий сопряжения, получаемое из (12) и (13) в пренебрежении малостью величины $h{\kern 1pt} '\left( z \right)$, а также первое и второе приближения по малой величине $h{\kern 1pt} '\left( z \right)$.

3.2.3. Геометрия рассматриваемой структуры. Рассматривается трехслойный плавно-нерегулярный волновод, геометрия которого представлена на фиг. 1. Параметры волновода следующие: ${{\mu }_{c}} = {{\mu }_{f}} = {{\mu }_{s}} = 1$, ${{\varepsilon }_{c}} = 1,$ ${{\varepsilon }_{f}}{{ = 1.565}^{2}},$ ${{\varepsilon }_{s}}{{ = 1.47}^{2}}$, толщины определены как ${{h}_{1}} = 2\lambda ,$ ${{h}_{2}} = 3\lambda $, а $L = 100\lambda $, где $\lambda $ – длина волны, $\lambda = 0.55\;[\mu m]$. Переменная толщина $h\left( z \right)$ определена следующим образом:

(14)

$h\left( z \right) = 2\left( {{{h}_{1}} - {{h}_{2}}} \right){{\left( {\frac{z}{L}} \right)}^{3}} - 3\left( {{{h}_{1}} - {{h}_{2}}} \right){{\left( {\frac{z}{L}} \right)}^{2}} + {{h}_{1}},$

причем для $h{\kern 1pt} '\left( z \right)$ выполняется $\left| {h{\kern 1pt} '\left( z \right)} \right| \ll 1$, т.е. $h{\kern 1pt} '\left( z \right)$ является малым параметром при каждом фиксированном $z$. Для описанной выше структуры вычисляем адиабатические волноводные моды.

Фиг. 1.

Геометрия двумерного плавно-нерегулярного волноводного перехода между двумя регулярными волноводами.

3.2.4. Символьный метод решения задачи. Для вычисления адиабатических волноводных мод рассматривается система (10). Система (10) сформулирована в символьном виде, коэффициенты системы $\varepsilon ,\mu $ для рассматриваемого волновода есть кусочно-постоянные функции, поэтому в каждой области их постоянства систему (10) решаем символьно в системе компьютерной алгебры Maple, используя встроенную функцию dsolve [17]. В результате применения функции dsolve в каждом слое получаем разложение решения по фундаментальной системе решений (ФСР) с неопределенными коэффициентами. Решения в полубесконечных слоях не должны нарастать на бесконечности согласно условиям (9), благодаря чему константы, стоящие перед нарастающими на бесконечности функциями ФСР, будут определены и равны нулю.

Записывая условия непрерывности (12) и (13) на границах слоев в системе компьютерной алгебры Maple [17], получаем однородную систему алгебраических уравнений вида

(15)

$M\left( {\gamma \left( z \right)} \right){\mathbf{C}}\left( z \right) \equiv \left[ {{{M}_{0}}\left( {\gamma \left( z \right)} \right) + h{\kern 1pt} '\left( z \right){{M}_{1}}\left( {\gamma \left( z \right)} \right)} \right]{\mathbf{C}}\left( z \right) = {\mathbf{0}},$

где $\gamma \left( z \right) = \varphi {\kern 1pt} '\left( z \right)$, вектор ${\mathbf{C}}\left( z \right)$ определяет константы разложения решения по ФСР в каждом слое при фиксированном $z$. Условие разрешимости системы (15) есть равенство нулю определителя системы, представляющее собой нелинейное уравнение

(16)

$\det M\left( {\gamma \left( z \right)} \right) \equiv {{D}_{0}}\left( {\gamma \left( z \right)} \right) + h{\kern 1pt} '\left( z \right){{D}_{1}}\left( {\gamma \left( z \right)} \right) + h{\kern 1pt} {{'}^{2}}\left( z \right){{D}_{2}}\left( {\gamma \left( z \right)} \right) = 0.$

Разложение (16) осуществляется в системе компьютерной алгебры Maple, символьное выражение детерминанта осуществляется с помощью функции Determinant пакета LinearAlgebra, разложение по степеням $h{\kern 1pt} '\left( z \right)$ осуществляется с помощью функции coeff [17]. Нулевое приближение представляет собой уравнение ${{D}_{0}}\left( {\gamma \left( z \right)} \right) = 0$, которое характеризуется вещественными корнями и при каждом фиксированном $z$ корни отыскиваются с помощью встроенной в Maple функции RootOf [17].

Учитывая разложение уравнения (16), искомые корни также представляются в виде аналогичного разложения

(17)

$\gamma \left( z \right) = {{\gamma }^{0}}\left( z \right) + h{\kern 1pt} '\left( z \right){{\gamma }^{1}}\left( z \right) + h{\kern 1pt} {{'}^{2}}\left( z \right){{\gamma }^{2}}\left( z \right) + \ldots ,$

которое представляет собой разложение по малому параметру при каждом фиксированном $z$ и определяются с помощью представленного в следующем разделе метода, реализованного в системе компьютерной алгебры Maple [17]. В работе с помощью описанного ниже метода отыскиваются первое и второе приближения корней уравнения (16).

Каждому корню уравнения (16) соответствует система линейных алгебраических уравнений (15), которая решается символьно с помощью метода из [15].

Описанная процедура вычисления корней нелинейного уравнения (16) в виде разложения (17), а также символьное решение системы (15) реализованы в системе компьютерной алгебры Maple [17].

3.2.5. Символьно-численный метод поиска корней нелинейного уравнения с малым параметром. Рассмотрим нелинейное уравнение, представленное в виде разложения по степеням малого параметра $\delta $:

(18)

$f\left( x \right) + \delta g\left( x \right) + {{\delta }^{2}}u\left( x \right) = 0.$

Искомый корень представляется в виде разложения

(19)

$x = {{x}_{0}} + \delta {{x}_{1}} + {{\delta }^{2}}{{x}_{2}} + \ldots ,$

которое далее подставляется в уравнение и с помощью разложения в ряд Тейлора формируются уравнения в нулевом, первом и старших приближениях по малому параметру $\delta $. Описанная процедура реализована в системе компьютерной алгебры Maple [17]. В результате имеем следующие уравнения:

(20)

$\begin{gathered} {{\delta }^{0}}\,:\;\;f\left( {{{x}_{0}}} \right) = 0, \\ {{\delta }^{1}}\,:\;\;g\left( {{{x}_{0}}} \right) + {{x}_{1}}f{\kern 1pt} '\left( {{{x}_{0}}} \right) = 0, \\ {{\delta }^{2}}\,:\;\;u\left( {{{x}_{0}}} \right) + {{x}_{1}}g{\kern 1pt} '\left( {{{x}_{0}}} \right) + {{x}_{2}}f{\kern 1pt} '\left( {{{x}_{0}}} \right) + \frac{1}{2}x_{1}^{2}f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\left( {{{x}_{0}}} \right) = 0. \\ \end{gathered} $

В нулевом приближении необходимо решать нелинейное уравнение для отыскания значений ${{x}_{0}}$, а для отыскания поправок первого и второго порядков требуется знать производные функций $f$ и $g$, которые определяются символьно с помощью функции diff:

(21)

${{x}_{1}} = - \frac{{g\left( {{{x}_{0}}} \right)}}{{f{\kern 1pt} '\left( {{{x}_{0}}} \right)}},$

(22)

${{x}_{2}} = - \frac{{x_{1}^{2}f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\left( {{{x}_{0}}} \right) + 2{{x}_{1}}g{\kern 1pt} '\left( {{{x}_{0}}} \right) + 2u\left( {{{x}_{0}}} \right)}}{{2f{\kern 1pt} '\left( {{{x}_{0}}} \right)}}.$

Описанный подход имеет смысл, если уравнение нулевого приближения $f\left( x \right) = 0$ решается проще исходного уравнения $f\left( x \right) + \delta g\left( x \right) + {{\delta }^{2}}u\left( x \right) = 0$. Такое возможно, например, если корни уравнения $f\left( x \right) = 0$ вещественные, даже если корни исходного уравнения комплексные.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ

4.1. Приближенное вычисление корней нелинейного уравнения

Решаем для рассматриваемой структуры задачу (16). Символьное представление определителя из (16) получаем с помощью функции Determinant пакета LinearAlgebra [17]. Символьное представление детерминанта громоздкое, поэтому не приводим его в работе. Вычисляем ${{\gamma }^{0}}\left( z \right)$ для рассматриваемой структуры с помощью встроенной в Maple функции RootOf [17]. Параметры рассматриваемой структуры приведены в п. 3.2.3. Затем, с помощью приведенного выше метода вычисляем ${{\gamma }^{1}}\left( z \right)$ и ${{\gamma }^{2}}\left( z \right)$. Графики вычисленных $\gamma _{j}^{{0,1,2}}\left( z \right)$, $j = \overline {1,4} $, приведены на фиг. 2–4.

Фиг. 2.

Графики величин $\gamma _{j}^{0}\left( z \right)$, $j = \overline {1,4} $, в волноводном переходе при $z \in \left[ {0,L} \right]$.

Фиг. 3.

Графики величин ${\text{Im(}}\gamma _{j}^{1}(z){\text{)}}$, $j = \overline {1,4} $, в волноводном переходе при $z \in \left[ {0,L} \right]$.

Фиг. 4.

Графики величин ${\text{Re(}}\gamma _{j}^{2}(z){\text{)}}$, $j = \overline {1,4} $, в волноводном переходе при $z \in \left[ {0,L} \right]$.

Величина ${{\gamma }^{0}}\left( z \right)$ является вещественной (фиг. 2), в отличие от вкладов первого порядка малости, представленных на фиг. 3, которые являются мнимыми. Вклады второго порядка малости приведены на фиг. 4 и являются вещественными. Важно отметить, что для пары величин ${{\gamma }_{{1,3}}}\left( z \right)$ вклады первого и второго порядков являются нулевыми.

Учитывая приближенный характер вычисленных $\gamma _{j}^{{0,1,2}}\left( z \right)$, приведем график невязки детерминанта $\left| {\det M({{{\tilde {\gamma }}}^{{0,1,2}}}(z))} \right|$ для нулевого, первого и второго приближений, т.е. для ${{\tilde {\gamma }}^{0}}\left( z \right) = {{\gamma }^{0}}\left( z \right)$, ${{\tilde {\gamma }}^{1}}\left( z \right) = {{\gamma }^{0}}\left( z \right) + h{\kern 1pt} '\left( z \right){{\gamma }^{1}}\left( z \right)$ и ${{\tilde {\gamma }}^{2}}\left( z \right) = {{\gamma }^{0}}\left( z \right) + h{\kern 1pt} '\left( z \right){{\gamma }^{1}}\left( z \right) + h{\kern 1pt} {{'}^{2}}\left( z \right){{\gamma }^{2}}\left( z \right)$.

На фиг. 5 изображен график невязки детерминанта для нулевого, первого и второго приближений величины $\gamma _{2}^{{0,1,2}}\left( z \right)$. С увеличением порядка приближения невязка уменьшается. Аналогично выглядит график невязки детерминанта и для $\gamma _{2}^{{0,1,2}}\left( z \right)$, поэтому он не приводится в настоящем разделе. Невязки для ${{\gamma }_{{1,3}}}\left( z \right)$, для которых вклады первого и второго порядков отсутствуют, имеют порядок ${{10}^{{ - 30}}}$ и также не приводятся в настоящем разделе.

Фиг. 5.

График невязки детерминанта $\left| {\det M(\tilde {\gamma }_{2}^{{0,1,2}}(z))} \right|$ при $z \in \left[ {0,L} \right]$.

4.2. Приближенное решение системы граничных уравнений

Вычисление амплитудных компонент полей базируется на использовании алгоритма символьного решения систем линейных уравнений из [15] для решения системы граничных уравнений (15). Уравнения системы громоздкие, поэтому в настоящем разделе не приводятся.

Систему (15) для рассматриваемой структуры (параметры структуры см. в п. 3.2.3) решаем символьно в системе компьютерной алгебры Maple. В результате получаем символьные решения, включающие множество символьных констант, характеризующих рассматриваемую структуру. Важно заметить, что решения, отвечающие ${{\gamma }_{{1,3}}}\left( z \right)$ и решения, отвечающие ${{\gamma }_{{2,4}}}\left( z \right)$, различаются между собой. В полученные решения подставляем численные значения параметров рассматриваемой структуры, а также численные значения найденных приближенно ${{\gamma }_{j}}\left( z \right)$ и получаем приближенные решения системы граничных уравнений (15), используя которые можно построить искомые в задаче (10) амплитудные компоненты электромагнитных полей. На фиг. 6–7 приведены амплитудные компоненты полей, построенные для $\gamma _{j}^{0}\left( z \right)$.

Фиг. 6.

Графики абсолютных значений компоненты $E_{0}^{y}$ для $\gamma _{1}^{0}\left( z \right)$ и для $\gamma _{3}^{0}\left( z \right)$ при $z \in \left[ {0,L} \right]$.

Фиг. 7.

Графики абсолютных значений компоненты $H_{0}^{y}$ для $\gamma _{2}^{0}\left( z \right)$ и для $\gamma _{4}^{0}\left( z \right)$ при $z \in \left[ {0,L} \right]$.

Амплитудные компоненты полей, отвечающие ${{\gamma }_{{1,3}}}\left( z \right)$, не имеют вкладов первого и второго порядков малости, так как для ${{\gamma }_{{1,3}}}\left( z \right)$ таковые вклады отсутствуют. Амплитудные компоненты полей, отвечающие ${{\gamma }_{{2,4}}}\left( z \right)$ характеризуются наличием вкладов первого и второго порядков малости. Графические различия амплитудных компонент полей $H_{0}^{y}$, $E_{0}^{z}$, построенных в нулевом и страших приближениях, малы и визуально не заметны, поэтому приведем далее вычисленные значения максимумов модулей разности $H_{0}^{y}$, посчитанной в нулевом приближении и $H_{0}^{y}$ в первом приближении, а также в первом и втором приближениях. Аналогичные численные оценки приведем и для компоненты $E_{0}^{z}$. Ниже приведены расчеты для ${{\gamma }_{2}}\left( z \right)$:

(23)

$\begin{gathered} \max \left| {H_{0}^{y}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{2}^{1}} \right) - H_{0}^{y}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{2}^{0}} \right)} \right| \leqslant 1.5 \times {{10}^{{ - 2}}},\quad \max \left| {E_{0}^{z}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{2}^{1}} \right) - E_{0}^{z}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{2}^{0}} \right)} \right| \leqslant 1.1 \times {{10}^{{ - 3}}}, \\ \max \left| {H_{0}^{y}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{2}^{2}} \right) - H_{0}^{y}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{2}^{1}} \right)} \right| \leqslant 1.3 \times {{10}^{{ - 5}}},\quad \max \left| {E_{0}^{z}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{2}^{2}} \right) - E_{0}^{z}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{2}^{1}} \right)} \right| \leqslant 7.8 \times {{10}^{{ - 7}}}. \\ \end{gathered} $

Далее приведены аналогичные расчеты для ${{\gamma }_{4}}\left( z \right)$:

(24)

$\begin{gathered} \max \left| {H_{0}^{y}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{4}^{1}} \right) - H_{0}^{y}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{4}^{0}} \right)} \right| \leqslant 1.4 \times {{10}^{{ - 2}}},\quad \max \left| {E_{0}^{z}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{4}^{1}} \right) - E_{0}^{z}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{4}^{0}} \right)} \right| \leqslant 2.1 \times {{10}^{{ - 3}}}, \\ \max \left| {H_{0}^{y}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{4}^{2}} \right) - H_{0}^{y}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{4}^{1}} \right)} \right| \leqslant 2.1 \times {{10}^{{ - 5}}},\quad \max \left| {E_{0}^{z}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{4}^{2}} \right) - E_{0}^{z}\left( {x,z;\tilde {\gamma }_{4}^{1}} \right)} \right| \leqslant 4.1 \times {{10}^{{ - 6}}}. \\ \end{gathered} $

5. ОБСУЖДЕНИЕ

В рамках приближенного вычисления корней нелинейного уравнения вычислена функция ${{\gamma }_{j}}\left( z \right)$, описывающая переменный коэффициент фазового замедления в нулевом и старших приближениях для $j$-й волноводной моды. Нулевое приближение учитывает только переменную толщину волноводного слоя и не учитывает вклады более высоких порядков, описывающие малый наклон криволинейной границы раздела. Результаты, полученные в нулевом приближении, качественно соответствуют результатам метода поперечных сечений [18], [19], а именно искомая функция $\gamma _{j}^{0}\left( z \right)$ получилась вещественнозначной (см. фиг. 2).

Более интересны результаты первого приближения: поправка первого порядка малости $\gamma _{j}^{1}\left( z \right)$ в разложении

Фактически из непрерывности магнитной проницаемости $\mu $ на криволинейной границе средставми компьютерной алгебры (прямой подстановкой) было получено, что в решении для $TE$-моды обнуляются все слагаемые, содержащие $h'\left( z \right)$. Поэтому и другие приближения – третьего порядка и выше – также отсутствуют.

Другими словами, даже малый наклон криволинейной границы раздела вносит нетривиальный вклад в коэффициент фазового замедления $TM$-моды, и не вносит вклада в коэффициент фазового замедления $TE$-моды – $TE$-мода вполне описывается в рамках нулевого приближения по малому наклону границы раздела.

Учет наклона границы раздела делает коэффициент фазового замедления для $TM$-моды комплексной величиной даже для идеального случая, когда показатели преломления вещественные. Напомним, что $\gamma \left( z \right) = \varphi '\left( z \right)$ и в искомое поле вида (1) входит экспоненциальный множитель $\exp \left\{ {i\omega t - i{{k}_{0}}\varphi \left( z \right)} \right\}$. Следовательно, искомое электромагнитное поле в волноводе будет включать множитель

Расчет амплитудных составляющих полей, изображенных на фиг. 6,7 в нулевом приближении, а также вкладов первого и второго порядков (23), (24) показывает, что наличие вкладов первого и второго порядков не сильно сказывается в численном отношении.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе построены направляемые моды плавно-нерегулярного волноводного перехода между двумя регулярными волноводами, используя модель адиабатических волноводных мод. Описан и реализован в системе компьютерной алгебры символьно-численный алгоритм решения дисперсионных уравнений c комплексными корнями. С помощью реализованного алгоритма построены дисперсионные кривые в нулевом, первом и втором приближениях по малому параметру, характеризующему малость угла наклона границы в радианах.

Модель адиабатических волноводных мод позволяет сформулировать задачу расчета направляемых мод в символьном виде и решить ее также с использованием символьных манипуляций и алгоритмов, благодаря чему метод решения реализован в системе компьютерной алгебры Maple.

Использование компьютерной алгебры позволило изучить качественно и численно адиабатические волноводные моды в нулевом приближении с учетом малого наклона границы раздела волноводного слоя для волноводного перехода. В статье представлены решения, описывающие адиабатические волноводные моды в нулевом приближении с учетом малого наклона границы раздела волноводного слоя, качественно отличающиеся от решений, не учитывающих наклон границы раздела.