1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 63, № 10, 2023

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 10, стр. 1617-1636

Динамика цепочек из большого числа осцилляторов с односторонней и двусторонней запаздывающими связями

С. А. Кащенко 1, *

1 Региональный научно-образовательный математический центр при Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова
150003 Ярославль, ул. Советская, 14, Россия

* E-mail: kasch@uniyar.ac.ru

Поступила в редакцию 22.04.2023
После доработки 18.05.2023
Принята к публикации 29.05.2023

Аннотация

Рассматриваются цепочки уравнений Ван дер Поля с большим запаздыванием в связях. Предполагается, что количество элементов цепочек тоже является достаточно большим. Естественным образом удается перейти к уравнению Ван дер Поля с интегральным по пространственной переменной слагаемым и периодическими краевыми условиями. Основное внимание уделено изучению локальной динамике цепочек с односторонними и с двусторонними типами связей. Условие достаточно больших значений параметра запаздывания позволило в явном виде определить параметры для реализации критических в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия случаев. Показано, что в рассматриваемых задачах имеет место бесконечномерный критический случай. Хорошо известные методы инвариантных интегральных многообразий и методы нормальных форм в этих задачах оказываются неприменимыми. На основе предложенного автором метода бесконечной нормализации – метода квазинормальных форм – показано, что главные члены асимптотики исходной системы определяются с помощью решений (нелокальных) квазинормальных форм – специальных нелинейных краевых задач параболического типа. В качестве основных результатов для рассматриваемых цепочек построены соответствующие квазинормальные формы. Библ. 44.

Ключевые слова: цепочки с односторонними и двусторонними связями, бифуркации, устойчивость, квазинормальные формы, запаздывание, динамика.

Список литературы

  1. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Turukina L.V. About Landau–Hopf scenario in a system of coupled self-oscillators // Physics Letters A. 2013. V. 377. № 45–48. P. 3291–3295.

  2. Osipov G.V., Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase synchronization effects in a lattice of nonidentical R$\ddot {o}$ssler oscillators // Physical Review E. 1997. V. 55. № 3. P. 2353–22361.

  3. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge University Press, 2001. P. 411. (Cambridge Nonlinear Science Series; 12).

  4. Dodla R., Sen A., Johnston G.L. Phase-locked patterns and amplitude death in a ring of delay-coupled limit cycle oscillators // Physical Review E. 2004/07/13. American Physical Society, 2004. V. 69. № 5. P. 12.

  5. Williams C.R.S., Sorrentino F., Murphy T.E., Roy R. Synchronization states and multistability in a ring of periodic oscillators: Experimentally variable coupling delays // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2013. V. 23. № 4. P. 43117.

  6. Rao R., Lin Z., Ai X., Wu J. Synchronization of Epidemic Systems with Neumann Boundary Value under Delayed Impulse // Mathematics, 2022. V. 10. P. 2064.https://doi.org/10.3390/math10122064

  7. Van Der Sande G. et al. Dynamics, correlation scaling, and synchronization behavior in rings of delay-coupled oscillators // Physical Review E. 2008/07/23. APS, 2008. V. 77. № 5. P. 55202.

  8. Клиньшов В.В., Некоркин В.И. Синхронизация автоколебательных сетей с запаздывающими связями // Успехи физических наук. 2013. Т. 183. № 12. С. 1323–1336.

  9. Heinrich G., Ludwig M., Qian J., Kubala B., Marquardt F. Collective dynamics in optomechanical arrays // Phys. Rev. Lett., 2011. V. 107. № 4, 043603, 4 pp.

  10. Zhang M., Wiederhecker G.S., Manipatruni S., Barnard A., McEuen P., Lipson M. Synchronization of micromechanical oscillators using light // Phys. Rev. Lett., 2012. V. 109. № 23, 233906, 5 pp.

  11. Lee T.E., Sadeghpour H.R. Quantum synchronization of quantum van der Pol oscillators with trapped ions // Phys. Rev. Lett., 2013. V. 111. № 23, 234101, 5 pp.

  12. Yanchuk S., Wolfrum M. Instabilities of stationary states in lasers with longdelay optical feedback // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2012. V. 9. № 2. P. 519–535.

  13. Grigorieva E.V., Haken H., Kashchenko S.A. Complexity near equilibrium in model of lasers with delayed optoelectronic feedback // Proceedings : 1998 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA’98, Crans-Montana, Switzerland, Sept. 14–17, 1998). NOLTA Society. 1998. P. 495–498.

  14. Kashchenko S.A. Quasinormal Forms for Chains of Coupled Logistic Equations with Delay // Mathematics. 2022. V. 10. № 15. P. 2648.

  15. Кащенко С.А. Динамика цепочки логистических уравнений c запаздыванием и с антидиффузионной связью // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. 2022. Т. 502. № 1. С. 23–27.

  16. Thompson J.M.T., Stewart H.B. Nonlinear Dynamics and Chaos. 2nd ed. Wiley, 2002. P. 464.

  17. Kashchenko S.A. Dynamics of advectively coupled Van der Pol equations chain // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2021. V. 31. № 3. P. 033147.

  18. Kanter I., Zigzag M., Englert A., Geissler F., Kinzel W. Synchronization of unidirectional time delay chaotic networks and the greatest common divisor // Europhysics Letters. 2011. V. 93. № 6. P. 60003.

  19. Rosin D.P., Rontani D., Gauthier D.J., Sch$\ddot {o}$ll E. Control of synchronization patterns in neural-like Boolean networks // Physical Review Letters. American Physical Society, 2013. V. 110. № 10. P. 104102.

  20. Yanchuk S., Perlikowski P., Popovych O.V., Tass P.A. Variability of spatiotemporal patterns in non-homogeneous rings of spiking neurons // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2011. V. 21. № P. 47511.

  21. Klinshov V., Nekorkin V. Synchronization in networks of pulse oscillators with time-delay coupling // Cybernetics and Physics. 2012. V. 1. № 2. P. 106–112.

  22. Stankovski T., Pereira T., McClintock P.V.E., Stefanovska A. Coupling functions: Universal insights into dynamical interaction mechanisms // Rev. Mod. Phys. 2017. V. 89. № P. 045001.

  23. Klinshov V., Shchapin D., Yanchuk S. et al. Embedding the dynamics of a single delay system into a feed-forward ring // Physical Review E. 2017. V. 96. № P. 042217.

  24. Караваев А.С., Ишбулатов Ю.М., Киселев А.Р., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Миронов С.А., Шварц В.А., Гриднев В.И., Безручко Б.П. Модель сердечно-сосудистой системы человека с автономным контуром регуляции среднего артериального давления // Физиология человека. 2017. Т. 43. № 1. С. 70–80.

  25. Kashchenko A.A. Dependence of the dynamics of a model of coupled oscillators on the number of oscillators // Doklady Mathematics. Moscow : Pleiades Publishing, 2021. V. 104. № 3. P. 355–359.

  26. Kashchenko A.A. Relaxation modes of a system of diffusion coupled oscillators with delay // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2021. V. 93. P. 105488.

  27. Kashchenko S.A. Corporate Dynamics in Chains of Coupled Logistic Equations with Delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2021. V. 61. № 7. P. 1063–1074.

  28. Kashchenko I.S., Kashchenko S.A. Dynamics of the Kuramoto equation with spatially distributed control // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2016. May. V. 34. P. 123–129.

  29. Kuramoto Y., Battogtokh D. Coexistence of Coherence and Incoherence in Nonlocally Coupled Phase Oscillators // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2002. V. 5. № P. 380–385.

  30. Kashchenko S.A. Application of the normalization method to the study of the dynamics of a differential-difference equation with a small factor multiplying the derivative // Differentsialnye Uravneniya. 1989. V. 25. № 8. P. 1448–1451.

  31. Kashchenko S.A. Van der Pol Equation with a Large Feedback Delay // Mathematics. 2023. V. 11. № 6. P. 1301.

  32. Hale J.K. Theory of Functional Differential Equations, 2nd ed.; New York: Springer, 1977.

  33. Hartman P. Ordinary Differential Equations; Wiley: New York, NY, USA, 1965.

  34. Marsden J.E., McCracken M.F. The Hopf Bifurcation and Its Applications. New York : Springer, 1976. 421 p. (Applied Mathematical Sciences; 19).

  35. Kashchenko S.A. On quasinormal forms for parabolic equations with small diffusion // Soviet Mathematics. Doklady. 1988. V. 37. № 2. P. 510–513.

  36. Kaschenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 1996. V. 6. № 6. P. 1093–1109.

  37. Kashchenko S.A. The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order difference-differential equation with a large delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1998. V. 38. № 3. P. 443–451.

  38. Григорьева Е.В., Кащенко С.А. Локальная динамика модели цепочки лазеров с оптоэлектронной запаздывающей однонаправленной связью // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2022. Т. 30. № 2. С. 189–207.

  39. Kashchenko S.A. Infinite Turing Bifurcations in Chains of Van der Pol Systems // Mathematics. 2022. V. 10. № 20. P. 3769.

  40. Kashchenko S.A. Bifurcations in spatially distributed chains of twodimensional systems of equations // Russian Mathematical Surveys. 2020. V. 76. № 6. P. 1153–1155.

  41. Kashchenko S.A. Comparative dynamics of chains of coupled van der Pol equations and coupled systems of van der Pol equations // Theoretical and Mathematical Physics. 2021. V. 207. № 2. P. 640–654.

  42. Клиньшов В.В. Коллективная динамика сетей активных элементов с импульсными связями: Обзор // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2020. Т. 28. № 5. С. 465–490.

  43. Akhromeeva T.S., Kurdyumov S.P., Malinetskii G.G., Samarskii A.A. Nonstationary structures and diffusion ch-aos. Moscow : Nauka, 1992. 544 p.

  44. Kashchenko I.S., Kashchenko S.A. Infinite Process of Forward and Backward Bifurcations in the Logistic Equation with Two Delays // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2019. V. 22. № P. 407–412.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал