1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 63, № 10, 2023

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 10, стр. 1637-1647

Определение спектра собственных чисел и собственных функций для уравнения колебаний Бернулли–Эйлера с переменными коэффициентами методом Пеано

Д. Д. Захаров 1, *, И. С. Никитин 1

1 Институт автоматизации проектирования РАН
123056 Москва, 2-я Брестская ул., 19/18, Россия

* E-mail: dmitrii.zakharov@gmail.com

Поступила в редакцию 27.05.2023
После доработки 27.05.2023
Принята к публикации 26.06.2023

Аннотация

Рассматривается задача определения собственных частот и форм поперечных колебаний для уравнения Бернулли–Эйлера с переменными коэффициентами. Такого рода задачи возникают как для усложненной геометрии колеблющегося тела, так и в случае функционально градиентных материалов или накопления повреждаемости в классическом упругом материале. С использованием метода разложения в ряды Пеано построены решения краевых задач. При широких предположениях показана равномерная сходимость рядов Пеано и получены оценки остаточных членов. Приведены примеры численной реализации предложенной процедуры для изгибных колебаний стержня с определенными параметрами переменного поперечного сечения (геометрической неоднородности) и распределения модуля упругости (физической неоднородности). Численные примеры ориентированы на оценку геометрических и упругих свойств образцов при экспериментальном исследовании усталостной прочности сплавов при высокочастотных циклических испытаниях, основанных на общем принципе точечного резонансного нагружения. Предложенный метод решения задач о резонансных колебаниях для уравнения Бернулли–Эйлера может быть использован при проектировании новых перспективных схем циклических испытаний и математическом моделировании процессов усталостного разрушения при высокочастотных резонансных вибрациях. Библ. 30. Фиг. 8.

Ключевые слова: поперечные колебания, уравнение Бернулли–Эйлера, переменное сечение, функционально-градиентный материал, ряды Пеано, спектр частот, собственные формы, высокочастотные циклические испытания.

Список литературы

  1. Gudmundson P. Eigenfrequency changes of structures due to cracks, notches or other geometrical changes // J. Mech. Phys. Solids. 1982. V. 30. № 5. P. 339–353.

  2. Dimarogonas A.D. Vibration of cracked structures: a state of the art review // Engineer. Fracture Mech. 1996. V. 55. № 5. P. 831–857.

  3. Shifrin E., Ruotolo R. Natural frequencies of a beam with an arbitrary number of cracks // J. Sound Vibrat. 1999. V. 222. № 3. P. 409–423.

  4. Yuen M. A numerical study of the eigenparameters of a damaged cantilever // J. Sound Vibrat. 1985. V. 103. № 3. P. 301–310.

  5. Ostachowicz W., Krawczuk M. Analysis of the effects of cracks on the natural frequencies of a cantilever beam // J. Sound Vibrat. 1991. V. 150. № 2. P. 191–201.

  6. Павлов В.П., Нусратуллина Л.Р. Точные решения уравнения, описывающего поперечные колебания стержня с переменным поперечным сечением и их применение // Вестн. Башкирского ун-та. Матем. и механ. 2019. Т. 24. № 4. С. 774–779.

  7. Гусев Б.В., Саурин В.В. О свободных изгибных колебаниях бетонных балок переменного поперечного сечения // Промышленное и гражданское строительство. 2019. № 8. С. 93–98.

  8. Лебедев И.М., Шифрин Е.И. Идентификация поперечных трещин в стержне по собственным частотам поперечных колебаний // Механ. твердого тела. 2020. № 4. С. 50–70.

  9. Ватульян А.О., Осипов А.В. Об одном подходе при определении параметров дефекта в балке // Дефектоскопия. 2014. № 11. С. 37–47.

  10. Ильгамов М.А., Хакимов А.Г. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом // Дефектоскопия. 2009. № 6. С. 83–89.

  11. Никитин И.С., Бураго Н.Г., Никитин А.Д. Собственные частоты и формы продольных и крутильных колебаний стержней переменного поперечного сечения // Прикладн. матем. и механ. 2023. № 2. С. 327–336.

  12. Акуленко Л.Д., Байдулов В.Г., Георгиевский Д.В., Нестеров С.В. Эволюция собственных частот продольных колебаний стержня при увеличении дефекта поперечного сечения // Механ. твердого тела. 2017. № 6. С. 136–144.

  13. Ruotolo R., Surace C. Natural frequencies of a bar with multiple cracks // J. Sound Vibrat. 2004. V. 272. № 1. P. 301–316.

  14. Акуленко Л.Д., Гавриков А.А., Нестеров С.В. Идентификация дефектов поперечного сечения стержня по собственным частотам и особенностям формы продольных колебаний // Механ. твердого тела. 2019. № 6. С. 98–107.

  15. Ватульян А.О., Бочарова О.В. О реконструкции плотности и модуля Юнга для неоднородного стержня // Акустич. журнал. 2009. Т. 55. № 3. С. 275–282.

  16. Павлов В.П., Нусратуллина Л.Р. Крутильные колебания стержня непостоянного сечения // Вестн. УГАТУ. Машиностр. и машиноведение. 2022. Т. 26. № 1. С. 22–30.

  17. Хакимов А.Г. О собственных колебаниях вала с моделью искусственного дефекта // Дефектоскопия. 2010. № 6. С. 93–98.

  18. Bathias C., Paris P.C. Gigacycle Fatigue in Mechanical Practice. NY. Marcel Dekker, 2005. 328 p.

  19. Никитин И.С., Бураго Н.Г., Журавлев А.Б., Никитин А.Д. Мультирежимная модель развития усталостных повреждений // Прикладн. матем. и мех. 2020. Т. 84. № 5. С. 687–698.

  20. Найфе А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.

  21. Peano G. Integration par series des equations differentielles lineaires // Math. Ann. 1888. V. 32. P. 450–456.

  22. Улитин В.В. Ряд Пеано и матрицанты при решении прикладных задач. СПб.: Изд-во “Парк Ком”, 2012. 164 с.

  23. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 575 с.

  24. Baake M., Schlagel U. The Peano-Baker Series // Proceed. Steklov Inst. Math. 2011. V. 275. P. 155–159.

  25. Захаров Д.Д. Точные уравнения и нахождение частот среза при свободных колебаниях пластин из функционально-градиентных материалов // Механика композиционных материалов. 2022. Т. 54. № 5. С. 927–942.

  26. Graff K.F. Wave motion in elastic solids. NY.: Dover Publ., 1975. 682 p.

  27. Thomson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium // J. Appl. Phys. 1950. V. 21. P. 89–93.

  28. Haskel N.A. The dispersion of surface waves on multilayered media// Bull. Seismol. Soc. Am. 1953. V. 43. P. 17–34.

  29. Knopoff A.L. A matrix method for elastic wave problem // Bull. Seismol. Soc. Am. 1964. V. 54. № 1. P. 431–438.

  30. Schwab F., Knopoff A.L. Surface waves in multilayered inelastic media // Bull. Seismol. Soc. Am. 1971. V. 61. № 4. P. 893–912.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал