1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 63, № 12, 2023

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 12, стр. 2131-2154

Конформное отображение Z-образной области

С. Л. Скороходов 1, *

1 ФИЦ ИУ РАН
119333 Москва, ул. Вавилова, 44, Россия

* E-mail: sskorokhodov@gmail.com

Поступила в редакцию 13.04.2023
После доработки 18.06.2023
Принята к публикации 10.07.2023

Аннотация

Для задачи конформного отображения полуплоскости на $\mathbb{Z}$-образную область с произвольной геометрией разработан метод эффективного нахождения параметров интеграла Кристоффеля–Шварца, т.е. прообразов вершин и предынтегрального множителя. Особое внимание уделено случаю кроудинга прообразов, когда традиционные методы интегрирования сталкиваются со значительными трудностями. Для этого вводится понятие кластера, определяются его центр и все подынтегральные биномы с прообразами из этого кластера разлагаются в быстросходящийся ряд по однородной схеме. Возникающие интегралы далее сводятся к одинарному или двойному ряду по гипергеометрическим функциям Гаусса $F(a,b;c;q)$. Использование формул аналитического продолжения для $F(a,b;c;q)$ в окрестность точки $q = 1$ и численно устойчивых рекуррентных соотношений позволило обеспечить быструю сходимость полученных разложений. Построенные разложения оказываются также весьма эффективными при выборе начальных приближений прообразов в итерационном методе Ньютона. Использование старших членов этих разложений позволяет выразить приближения для прообразов в явном виде через элементарные функции, а последующие итерации обеспечивают быструю сходимость алгоритма. После нахождения параметров в интеграле искомое отображение строится в виде комбинации степенных разложений в прообразах, регулярных разложений в прообразе центра симметрии, в виде ряда Лорана в полукольце и в виде специальных рядов в окрестности прообразов торцевых отрезков. Численные результаты показали высокую эффективность разработанного метода, особенно в случае сильного кроудинга прообразов. Библ. 30. Фиг. 7.

Ключевые слова: конформное отображение, интеграл Кристоффеля–Шварца, кроудинг прообразов, гипергеометрические функции Гаусса, формулы аналитического продолжения, асимптотики параметров, $\mathbb{Z}$-образная область.

Список литературы

  1. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962.

  2. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

  3. Gaier D. Konstructive Methoden der konformen Abbildung. Springer Tracts in Natural Philosophy. V. 3. Berlin: Springer–Verlag, 1964.

  4. Trefethen L.N. Numerical computation of the Schwarz–Christoffel transformation // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1980. V. 1. P. 82–102.

  5. Trefethen L.N., Ed. Numerical Conformal Mapping, Amsterdam: North-Holland, 1986.

  6. Driscoll T.A. A MATLAB toolbox for Schwarz–Christoffel mapping // ACM Trans. Math. Soft. 1996. V. 22. P. 168–186.

  7. Henrici P. Applied and computational complex analysis. V. 3: N.-Y.–London, Sidney, Toronto: Jonh Willey & Sons, 1991.

  8. Driscoll T.A., Trefethen L.N. Schwarz–Christoffel mapping, Vol. 8 of Cambridge Monographs on Applied and Comput. Math. Cambridge: Cambridge Univer. Press, 2002.

  9. Trefethen L.N., Driscoll T.A. Schwarz–Christoffel transformation. Cambridge: Cambridge University Press, 2005.

  10. Zemach C. A conformal map formula for difficult cases // J. Comput. Appl. Math. 1986. V. 14. P. 207–215.

  11. Krikeles B.C., Rubin R.L. On the crowding of parameters associated with Schwarz–Christoffel transformation // Appl. Math. Comput. 1988. V. 28. № 4. P. 297–308.

  12. Wegmann R. An estimate for crowding in conformal mapping to elongated regions // Complex Variables. 1992. V. 18. P. 193–199.

  13. Безродных С.И., Власов В.И. Задача Римана–Гильберта в сложной области для модели магнитного пересоединения в плазме // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. № 3. С. 277–312.

  14. Gautschi W. A Survey of Gauss–Christoffel quadrature formulae. Christoffel E.B. The Influence of His Work on Mathematics and the Physical Sciences, Ed. P.L. Butzer, F. Feher, Birkhauser Basel, Basel, 1981, 72–147.

  15. Боголюбский А.И., Скороходов С.Л. Разработка обобщенных квадратур Гаусса–Якоби с помощью методов компьютерной алгебры // Программирование. 2005. Т. 31. № 2. С. 72–80.

  16. Hale N., Townsend A. Fast and accurate computation of Gauss–Legendre and Gauss–Jacobi quadrature nodes and weights // SIAM J. Sci. Comput. 2013. V. 35. № 2. P. A652–A674.

  17. Gil A., Segura J., Temme N.M. Fast and reliable high-accuracy computation of Gauss–Jacobi quadrature // N-umer. Algor. 2021. V. 87. P. 1391–1419. https://doi.org/10.1007/s11075-020-01012-6

  18. Wegmann R. Methods for numerical conformal mapping. – In: Handbook of Complex Analysis: Geometric Function Theory, V. 2. Ed. by R. Kühnau. Amsterdam: Elsevier, 2005, p. 351–477.

  19. Papamichael N., Stylianopoulos N.S. Numerical conformal mapping: domain decomposition and the mapping of quadrilaterals. New Jersey–London–Singapore: World Scientific, 2010.

  20. Безродных С.И. Функция Лауричеллы и конформное отображение многоугольников // Матем. заметки. 2022. Т. 112. Вып. 4. С. 500–520.

  21. Безродных С.И. Гипергеометрическая функция Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$ и некоторые приложения // Успехи матем. наук. 2018. Т. 73. Bып. 6 (444). С. 3–94.

  22. Безродных С.И. Формулы для вычисления функции Лауричеллы в ситуации кроудинга переменных // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 12. С. 2054–2076.

  23. Безродных С.И. Формулы для вычисления интегралов типа Эйлера и их приложение к задаче построения конформного отображения многоугольников // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2023. Т. 63. № 11. С. 1763–1798.

  24. Власов В.И., Скороходов С.Л. Конформное отображение $L$-образной области в аналитическом виде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 12. С. 1943–1980.

  25. Бабакова О.И. О кручении стержня с $Z$-образным сечением // Докл. АН УССР. 1954. № 5. С. 319–323 (на укр.).

  26. Власов В.И. Краевые задачи в областях с криволинейной границей. М.: ВЦ АН СССР, 1987.

  27. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973.

  28. Gautschi W. Computational aspects of three-term recurrence relations // SIAM Rev. 1967. V. 9. № 1. P. 24–82.

  29. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

  30. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал