Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 2, стр. 263-272

1. ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена приближенному решению линейного интегродифференциального уравнения (ИДУ)

в котором $t \in I \equiv [ - 1,1],$ числа ${{t}_{j}} \in \left( { - 1,1} \right){\kern 1pt} ,$ ${{m}_{j}} \in N,$ $j = \overline {1,q} $, и $p \in {{Z}^{ + }}$ являются фиксированными; $K$ и $y$ – известные непрерывные функции, обладающие определенными свойствами “гладкости” точечного характера, а $x$ – искомая функция. Очевидно, что задача об отыскании решения ИДУ (1.1) в классе обычных гладких функций является некорректно поставленной. Следовательно, возникает важный вопрос о построении основных пространств, обеспечивающих корректность этой задачи. При рассмотрении этого вопроса вполне естественно учитывать то, что при $p = 0$ ИДУ (1.1) представляет собой линейное интегральное уравнение третьего рода (УТР) (т.е. в этом смысле эти уравнения являются “родственными”). Последнее встречается в ряде задач теорий переноса нейтронов, упругости, рассеяния частиц (см., например, [1] и библиографию в ней; [2, с. 121–129]), теории уравнений с частными производными смешанного типа [3], а также теории сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом [4]. При этом, как правило, естественными классами решений УТР являются специальные пространства обобщенных функций типа $D$ или $V$. Под $D$ (соответственно, $V$) понимается пространство обобщенных функций, построенных при помощи функционала “дельта-функция Дирака”, (соответственно, “конечная часть интеграла по Адамару”). Подробный обзор полученных результатов и обширную библиографию по УТР можно найти в монографии [5, с. 3–11, 168–173] и в диссертации [6, с. 3–6, 106–114].

ИДУ (1.1) при $q = 1,$ ${{t}_{1}} = 0$ исследовано в работе [7, с. 25–43], в которой с использованием известных результатов по УТР построена теория Нетера для такого уравнения в классах гладких и обобщенных функций типа $D$. В статье [8] разработана полная теория разрешимости общего ИДУ (1.1) в некотором пространстве типа $D$ обобщенных функций (фредгольмовость уравнения, условия разрешимости, алгоритм отыскания точного решения, достаточные условия непрерывной обратимости оператора $A$). Следует отметить, что исследуемые ИДУ точно решаются лишь в очень редких частных случаях. Поэтому особенно актуальна разработка эффективных методов их приближенного решения в пространствах обобщенных функций с соответствующим теоретическим обоснованием. Первые результаты в этом направлении получены в работе [8], где предложен и обоснован прямой проекционный метод, основанный на применении стандартных полиномов.

В настоящей работе разработаны специальные обобщенные варианты методов моментов и подобластей, хорошо приспособленные к приближенному решению ИДУ (1.1) в некотором пространстве $X$ типа $D$ обобщенных функций. Дано их теоретическое обоснование в смысле [9, гл. 1, § 1–5] и установлено, что построенные методы оптимальны по порядку точности на некотором классе $F$, порожденном классом $H_{\omega }^{r}$, среди всех “полиномиальных” проекционных методов решения исследуемых уравнений в пространстве $X$.

2. ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть $C \equiv C(I)$ – банахово пространство всех непрерывных на $I$ функций с обычной max-нормой и $m \in N$. Следуя [10], скажем, что функция $f \in C$ принадлежит классу $C\left\{ {m;0} \right\} \equiv C_{0}^{{\left\{ m \right\}}}(I)$, если в точке $t = 0$ существует тейлоровская производная ${{f}^{{\left\{ m \right\}}}}(0)$ порядка $m$ (естественно считаем, что $C\left\{ {0;0} \right\} \equiv C$). Построим основное в наших исследованиях пространство:

где $p \in {{Z}^{ + }}$ таково, что $p < m$. Снабдим его нормой в которой $T{\kern 1pt} :\;Y \to C$ – “характеристический” оператор класса $Y$, определяемый следующим образом:

Лемма 2.1 (см. [8]). i) Включение $y \in Y$ равносильно выражению

причем $Ty = H \in C$ с точностью до устранимого разрыва в точке $t = 0$, а ${{y}^{{\left\{ i \right\}}}}(0) = {{\alpha }_{i}}i!$ $(i = \overline {p,m - 1} )$.

ii) Пространство $Y$ по норме (2.1) полно и нормально вложено в пространство $C$.

Обозначим через ${{C}^{{\left( p \right)}}} \equiv {{C}^{{\left( p \right)}}}(I)$ векторное пространство $p$ раз непрерывно дифференцируемых на $I$ функций и наделим его специальной нормой

где $Dz \equiv {{z}^{{(p)}}}(t) \in C$.

Лемма 2.2 (см. [8]). Пространство ${{C}^{{\left( p \right)}}}$ с нормой (2.4) полно и нормально вложено в пространство C.

Следствие 1. Обычная норма ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{{{С}^{{\left( p \right)}}}}}}$ в ${{C}^{{\left( p \right)}}}$ и норма (2.4) эквивалентны, т.е. существует постоянная $d \geqslant 1$ такая, что ${{\left\| z \right\|}_{{\left( p \right)}}} \leqslant {{\left\| z \right\|}_{{{{C}^{{(p)}}}}}} \leqslant d{{\left\| z \right\|}_{{(p)}}}$ для любой функции $z \in {{C}^{{\left( p \right)}}}$, где

Пусть $C_{{ - 1}}^{{(p)}} \equiv C_{{ - 1}}^{{(p)}}(I) \equiv \left\{ {z \in C_{{}}^{{(p)}}\,|\,{{z}^{{(i)}}}( - 1) = 0\;(i = \overline {0,p - 1} )} \right\}$ – банахово пространство гладких функций с нормой ${{\left\| z \right\|}_{{\left( p \right)}}} \equiv {{\left\| {Dz} \right\|}_{C}}$.

Теперь над пространством $Y$ основных функций построим семейство $X \equiv D_{{ - 1}}^{{(p)}}\left\{ {m;0} \right\}$ обобщенных функций $x(t)$ вида

где $t \in I,$ $z \in C_{{ - 1}}^{{(p)}},$ ${{\gamma }_{i}} \in R$ – произвольные постоянные, а $\delta $ и ${{\delta }^{{\left\{ i \right\}}}}$ – соответственно дельта-функция Дирака и ее “тейлоровские” производные, действующие на пространстве $Y$ основных функций по следующему правилу: Ясно, что векторное пространство $X$ банахово относительно нормы

3. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ПОДОБЛАСТЕЙ (ОМП)

Пусть задано ИДУ (1.1). Ради сокращения громоздких выкладок и упрощения формулировок, не ограничивая при этом общности идей, методов и результатов, всюду в дальнейшем будем считать $q = 1,$ ${{t}_{1}} = 0$, т.е. рассмотрим ИДУ вида

где ядро $K$ обладает следующими свойствами: а $x \in X$ – искомый элемент.

Приближенное решение ИДУ (3.1) будем искать в виде

где

Неизвестные коэффициенты ${{c}_{j}} = c_{j}^{{(n)}},$ $j = \overline {0,n + m - p - 1} ,$ найдем, согласно ОМП, из квадратной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) $(n + m - p)$-го порядка:

где ${{\rho }_{n}}(t) \equiv \rho _{n}^{A}(t) \equiv (A{{x}_{n}} - y)(t)$ – невязка приближенного решения, а $\left\{ {{{\tau }_{k}}} \right\}_{0}^{n} \subset I$ – система узлов Чебышёва II рода с присоединенными концами промежутка $I$.

Прежде чем перейти к обоснованию предложенного метода (3.3)–(3.5), следуя [11], примем следующие полезные при оформлении результатов соглашения. Во-первых, стандартное утверждение “при всех $n \in N$ $(n \geqslant {{n}_{0}})$ СЛАУ (3.5) имеет единственное решение $\{ c_{j}^{{^{*}}}\} $ и последовательность приближенных решений $x_{n}^{*} \equiv {{x}_{n}}(t;\{ c_{j}^{{^{*}}}\} )$ сходится к точному решению $x{\kern 1pt} * = {{A}^{{ - 1}}}y$ уравнения (3.1) по норме пространства $X$” заменим простой фразой “метод (3.3)–(3.5) обоснованно применим к уравнению (3.1)”. Во-вторых, для погрешности приближенного решения введем специальное обозначение $\Delta x_{n}^{*} \equiv {\text{|}}{\kern 1pt} {\text{|}}x_{n}^{*} - x{\kern 1pt} *{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}_{X}}$; оценка такой величины определяет скорость сходимости приближенных решений $x_{n}^{*}$ к точному решению $x{\kern 1pt} *$ уравнения (3.1).

Для вычислительного алгоритма (3.1)–(3.5) справедлива

Теорема 1. Если однородное ИДУ $Ax = 0$ имеет в $X$ лишь нулевое решение (например, в условиях теоремы 2 в [8]), а функции $h \equiv {{T}_{t}}K$ (по $t$), ${{f}_{i}} \equiv T{{\psi }_{i}},$ $i = \overline {0,m - p - 1} $, и $Ty$ принадлежат классу Дини-Липшица, то метод (3.3)–(3.5) обоснованно применим к уравнению (3.1) и при этом

где ${{E}_{l}}(f)$ – наилучшее равномерное приближение функции $f \in C$ алгебраическими полиномами степени не выше $l$, а через $E_{l}^{t}( \cdot )$обозначен функционал ${{E}_{l}}( \cdot )$, примененный по переменной $t$.

Доказательство. Очевидно, что ИДУ (3.1) представляется в виде линейного операторного уравнения

в котором оператор $A:X \to Y$ непрерывно обратим.

Систему (3.3)–(3.5) требуется записать также в операторной форме. С этой целью построим соответствующие конечномерные подпространства. Именно, через ${{X}_{n}} \subset X$ обозначим $(n + m - p)$ – мерное подпространство элементов вида (3.3), а за ${{Y}_{n}} \subset Y$ примем класс $\operatorname{span} \{ {{t}^{i}}\} _{p}^{{n + m - 1}}$. Далее введем линейный оператор ${{\Gamma }_{n}} \equiv {{\Gamma }_{{n + m - p}}}:Y \to {{Y}_{n}}$ согласно правилу

где представляет собой оператор метода подобластей (см., например, $\left[ {12} \right]$) по системе узлов $\left\{ {{{\tau }_{k}}} \right\}_{0}^{n}$.

Покажем теперь, что система (3.3)–(3.5) равносильна линейному уравнению

Пусть $x_{n}^{*} \equiv {{x}_{n}}(t;\{ c_{j}^{*}\} )$ – решение уравнения (3.9), т.е. $Vx_{n}^{*} + {{\Gamma }_{n}}\tau _{n}^{*} = 0$ $(\tau _{n}^{*} \equiv Kx_{n}^{*} - y)$. В силу равенств (3.3), (3.4) и (3.8) последнее означает, что На основании (2.3) с учетом того, что $P_{n}^{2} = {{P}_{n}}$, очевидна эквивалентность тождества (3.10) системе

Далее, согласно структуре уравнения (3.7) и равенствам (3.3), (3.4) имеем

и Поэтому в силу определения полиномиального оператора ${{P}_{n}}$ (см. [12]) тождество в системе (3.11) означает, что Следовательно, система (3.11) принимает вид

Итак, СЛАУ (3.5) имеет решение $\{ c_{j}^{*}\} _{0}^{{n + m - p - 1}}$, т.е. решение уравнения (3.9) является решением системы (3.3)–(3.5).

Для получения обратного утверждения достаточно провести только что изложенные рассуждения в обратном порядке.

Таким образом, для доказательства теоремы 1 достаточно установить существование, единственность и сходимость решений уравнений (3.9). В этих целях нам понадобится аппроксимативное свойство оператора ${{\Gamma }_{n}}$, которое устанавливает

Лемма 3.1. Для любой функции $y \in Y$ справедлива оценка

(здесь и далее ${{d}_{i}},\;i = \overline {1,10} ,$ – некоторые константы, значения которых не зависят от натурального числа $n$).

Справедливость леммы 3.1 легко следует из представления (2.3), определений (3.8), (2.1) и оценки (см., например, [12]) ${{\left\| {f - {{P}_{n}}f} \right\|}_{C}} \leqslant {{d}_{1}}{{E}_{{n - 1}}}\left( f \right)\ln n,$ $f \in C$.

Покажем теперь близость операторов $A$ и ${{A}_{n}}$ на подпространстве ${{X}_{n}}$. Используя уравнения (3.1) и (3.9) и оценку (3.12), для произвольного элемента ${{x}_{n}} \in {{X}_{n}}$ находим, что

На основании (3.1), (2.5) и (2.6) имеем

Следовательно, А тогда

Теперь с целью полиномиального приближения функции $TK{{x}_{n}} \in С$ построим следующий элемент:

где $h_{{n - 1}}^{t}$ и $f_{{n - 1}}^{i}$ – полиномы степени $n - 1$ наилучшего равномерного приближения для $h(t,s)$ (по $t$) и ${{f}_{i}}(t)$ соответственно. По структуре (3.15) ясно, что ${{Q}_{{n - 1}}}{{x}_{n}} \in {{\prod }_{{n - 1}}}$.

На основании выражений (3.14) и (3.15), леммы 2.2 и определения (2.7) последовательно выводим промежуточную оценку

Из неравенств (3.13) и (3.16) следует искомая оценка близости операторов $A$ и ${{A}_{n}}$:

На основании оценок (3.17) и (3.12) из теоремы 7 (см. [9, гл. 1, § 4]) вытекает утверждение теоремы 1 с оценкой погрешности (3.6). Требуемое доказано.

Замечание 1. Если функции $h$ (по $t$), ${{f}_{i}}$ и $Ty$ принадлежат пространству $H_{\alpha }^{r}(S),$ то в условиях теоремы 1 верна оценка

где а $\omega \left( {f;\Delta } \right)$ – модуль непрерывности функции $f \in C$ с шагом $\Delta $, $0 < \Delta \leqslant 2$.

Для приложений может оказаться полезной

Теорема 2. Пусть ИДУ (3.1) имеет решение $x{\kern 1pt} *$ вида (2.5) при данной правой части $y \in Y$ и аппроксимирующий оператор ${{A}_{n}} \equiv {{\Gamma }_{n}}A$ непрерывно обратим. Тогда погрешность приближенного решения $x_{n}^{*} = A_{n}^{{ - 1}}{{\Gamma }_{n}}y$ представляется в виде $\Delta x_{n}^{*} = O\left\{ {{{E}_{{n - 1}}}\left( {TUx{\kern 1pt} *} \right)\ln n} \right\}.$

Доказательство. Поскольку ${{A}_{n}} \equiv {{\Gamma }_{n}}A$, то в силу теоремы 6 (см. [9, гл. 1, § 3]) и структуры приближенного уравнения (3.9) имеем

где есть пока произвольный элемент. Выберем его исходя из минимальности правой части неравенства (3.18). Именно, пусть ${{x}_{n}} \in {{X}_{n}}$ таков, что В силу следствия из теоремы 1.5.14 (см. [5, гл. 1, § 5]) ясно, что наилучшее приближение (3.19) обобщенной функции $x{\kern 1pt} * \in X \equiv D_{{ - 1}}^{{(p)}}\left\{ {m;0} \right\}$ элементами из ${{X}_{n}}$ просто выражается через наилучшее равномерное приближение: Тогда из соотношений (3.18), (3.19) и (3.20), с учетом ${{\left\| {{{\Gamma }_{n}}} \right\|}_{{Y \to Y}}} = {{\left\| {{{P}_{n}}} \right\|}_{{C \to C}}} \leqslant {{d}_{3}}\ln n,$ следует требуемая оценка погрешности $\Delta x_{n}^{*}$.

4. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД МОМЕНТОВ (ОММ)

Приближенное решение задачи (3.1), (3.2) построим в виде агрегата (3.3), (3.4). Набор $\left\{ {{{c}_{j}}} \right\}_{0}^{{n + m - p - 1}}$ неизвестных параметров найдем, согласно ОММ, из СЛАУ

где $\left\{ {{{T}_{j}}} \right\}$ – полная ортонормированная на $I$ по весу $\eta (t) \equiv {{(1 - {{t}^{2}})}^{{ - 1/2}}}$ система полиномов Чебышёва I рода.

Обоснование вычислительного алгоритма (3.1)–(3.4), (4.1) дается в следующем утверждении.

Теорема 3. Если $KerA = \left\{ 0 \right\}$ в $X$, а функции $h \equiv {{T}_{t}}K$ (по $t$), ${{f}_{i}} \equiv T{{\psi }_{i}},$ $i = \overline {0,m - p - 1} $, и $Ty$ удовлетворяют на $I$ условию Дини-Липшица, то метод (3.3), (3.4), (4.1) обоснованно применим к уравнению (3.1), причем

Доказательство данной теоремы проводится повторением рассуждений, изложенных при доказательстве теоремы 1, с учетом того, что в случае ОММ система (3.3), (3.4), (4.1) эквивалентна следующему линейному операторному уравнению:

где подпространства ${{X}_{n}} \subset X$ и ${{Y}_{n}} \subset Y$ введены в разд. 3, а ${{F}_{n}}:Y \to {{Y}_{n}}$– обобщенный оператор Фурье, построенный согласно правилу (3.8), в котором роль оператора ${{P}_{n}}$ играет оператор Фурье ${{\Phi }_{n}}:C \to {{\Pi }_{{n - 1}}}$ по системе $\left\{ {{{T}_{j}}} \right\}$ (см., например, [13, гл. 4, § 3]). В силу (2.3), (3.8), (2.1) и теоремы 2 (см. [13, гл. 4, § 7]) правые части уравнений (3.7) и (4.2) близки в том смысле, что ${{\left\| {y - {{F}_{n}}y} \right\|}_{Y}} \leqslant {{d}_{5}}{{E}_{{n - 1}}}(Ty)\ln n.$

Замечание 2. В случае предложенного ОММ для решения ИДУ (3.1) справедлива теорема, содержание которой идентично содержанию теоремы 2.

5. К ОПТИМИЗАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ИДУ

Предварительно приведем необходимые определения и постановку задачи. Пусть $X$ и $Y$ – банаховы пространства, а ${{X}_{n}}$ и ${{Y}_{n}}$ – их соответствующие произвольные подпространства одинаковой размерности $N = N(n) < + \infty ,$ $n \in N$, причем $N \to \infty \;\left( {n \to \infty } \right)$. Обозначим через ${{\Lambda }_{n}} \equiv \left\{ {{{\lambda }_{n}}} \right\}$ некоторое множество линейных операторов ${{\lambda }_{n}}$, отображающих $Y$ на ${{Y}_{n}}$. Далее рассмотрим два класса однозначно разрешимых линейных операторных уравнений

и соответственно. Пусть $x{\kern 1pt} * \in X$ и $x_{n}^{*} \in {{X}_{n}}$ – решения уравнений (5.1) и (5.2) соответственно, а $F \equiv \left\{ f \right\}$ – класс коэффициентов (т.е. исходных данных) уравнения (5.1), порождающий класс $X{\kern 1pt} * \equiv \left\{ {x{\kern 1pt} *} \right\}$ искомых элементов.

Следуя работе [9, гл. 2, § 1], величину

где назовем оптимальной оценкой погрешности всевозможных прямых проекционных методов $(\lambda _{n}^{{}} \in {{\Lambda }_{n}})$ решения уравнения (5.1) на классе $F$.

Определение 1 (см. [9, гл. 2, § 1]). Пусть существуют подпространства $X_{n}^{0} \subset X,$ $Y_{n}^{0} \subset Y$ размерности $N = N(n) < + \infty $ и операторы $\lambda _{n}^{0}{\kern 1pt} :\;Y \to Y_{n}^{0},$ $\lambda _{n}^{0} \in {{\Lambda }_{n}}$, при которых выполняется условие

где символ $ \succ \prec $ означает, как обычно, слабую эквивалентность. Тогда метод (5.1), (5.2) при ${{X}_{n}} = X_{n}^{0},$ ${{Y}_{n}} = Y_{n}^{0}$ и ${{\lambda }_{n}} = \lambda _{n}^{0}$ называется оптимальным по порядку точности на классе $F$ среди всех прямых проекционных методов ${{\lambda }_{n}}\;\left( {{{\lambda }_{n}} \in {{\Lambda }_{n}}} \right)$ решения уравнений (5.1).

Рассмотрим теперь оптимизацию на классе однозначно разрешимых (равномерно относительно $K \in F$) ИДУ вида (3.1) при $K$ (по $t$), ${{\psi }_{i}}(t) \equiv K_{s}^{{\left\{ i \right\}}}(t,0),$ $i = \overline {0,m - p - 1} ,$ $y \in YH_{\omega }^{r} \equiv \left\{ {g \in Y \equiv C\{ m,p;0\} \,|\,Tg \in H_{\omega }^{r}} \right\}$, где $H_{\omega }^{r} \equiv \left\{ {f \in {{C}^{{\left( r \right)}}}\,|\,\omega ({{f}^{{(r)}}};\Delta ) \leqslant \omega (\Delta )} \right\},$ $\omega (\Delta )$ – некоторый заданный модуль непрерывности; в частности, $H_{\omega }^{r} = H_{\alpha }^{r}(S)$ при $\omega (\Delta ) = S{{\Delta }^{\alpha }},$ $S \equiv {\text{const}} > 0,$ $0 < \alpha \leqslant 1,$ $r + 1 \in N$. Тогда в силу теоремы 2 (см. [8]) имеем

где

Пусть

а $\Lambda _{n}^{{\left( 2 \right)}} \equiv \left\{ {{{\lambda }_{n}}} \right\}$ – семейство всех линейных проекционных $(\lambda _{n}^{2} = {{\lambda }_{n}})$ операторов $\lambda _{n}^{{}}:Y \to Y_{n}^{0},$ удовлетворяющих условию $\left\| {{{\lambda }_{n}}} \right\|{{n}^{{ - r}}}\omega ({{n}^{{ - 1}}}) = o(1),$ $n \to \infty $.

Иными словами, рассмотрим оптимизацию полиномиальных проекционных методов решения ИДУ (3.1) в пространстве $D_{{ - 1}}^{{(p)}}\left\{ {m;0} \right\}$ обобщенных функций.

Теорема 4. Пусть $F = YH_{\omega }^{r}$ и $\;{{\Lambda }_{n}} = \Lambda _{n}^{{(2)}}.$ Тогда

и предложенные ОМП и ОММ оптимальны по порядку точности на классе $F$среди всех прямых проекционных методов $\lambda _{n}^{{}} \in \Lambda _{n}^{{(2)}}$ решения ИДУ (3.1) в пространстве $D_{{ - 1}}^{{(p)}}\left\{ {m;0} \right\}$.

Доказательство. Предварительно получим нижнюю оценку для ${{V}_{N}}(F)$. В этой связи отметим, что при $K(t,s) \equiv 0$ ИДУ (3.1) не принадлежит исследуемому нами классу однозначно разрешимых в $D_{{ - 1}}^{{(p)}}\left\{ {m;0} \right\}$ уравнений. Поэтому способ, предложенный в [9, гл. 4, §§ 2, 3] при оптимизации прямых проекционных методов решения интегральных уравнений II рода, здесь неприменим. Мы предлагаем несколько иной путь, позволяющий найти требуемую нижнюю оценку. Именно, рассмотрим уравнения (3.1) и (5.2) при $K = K{\kern 1pt} *$ из примера 1 (см. [8]). Нетрудно проверить, что в этом случае ${{A}_{n}} \equiv {{\lambda }_{n}}A$ $({{\lambda }_{n}} \in \Lambda _{n}^{{(2)}})$ является сужением оператора $A$ на подпространство $X_{n}^{0}:{{A}_{n}}{{x}_{n}} \equiv {{\lambda }_{n}}A{{x}_{n}} = A{{x}_{n}},$ ${{x}_{n}} \in X_{n}^{0}$. Следовательно, в силу формулы (23) из (см. [8]) приближенное уравнение (5.2) при $K = K{\kern 1pt} *$ имеет единственное решение вида

ИДУ (3.1) при $K = K{\kern 1pt} *$ принадлежит классу однозначно разрешимых в $D_{{ - 1}}^{{(p)}}\left\{ {m;0} \right\}$ уравнений. Поэтому с учетом (5.3), формулы (23) из [8], (5.6), (2.7), (3.8) и соответствующих результатов работы [5, гл. 1, § 5, с. 27–31] имеем где На основании рассуждений, приведенных при доказательстве лемм 1.5.1 и 1.5.2 (см. [5, гл. 1, § 5]), ясно, что $\lambda _{n}^{{}} \in \Lambda _{n}^{{(2)}}$ эквивалентно $q_{n}^{{}} \in Q_{n}^{{(2)}}$. Далее, известно (см. [9, гл. 4, § 3]), что откуда и из (5.7) находим нижнюю оценку С другой стороны, согласно результатам разд. 3 и 4, каждый из предложенных методов (ОМП, ОММ) порождает свой проекционный оператор $\lambda _{n}^{0}:Y \to Y_{n}^{0},$ причем ${{(\lambda _{n}^{0})}^{2}} = \lambda _{n}^{0}$ и $\left\| {\lambda _{n}^{0}} \right\| \succ \prec \ln n$, т.е. $\lambda _{n}^{0} \in \Lambda _{n}^{{(2)}}.$ Здеcь $\lambda _{n}^{0} = {{\Gamma }_{n}}$ в случае ОМП, а для ОММ $\lambda _{n}^{0} = {{F}_{n}}$. Следовательно, благодаря теореме 2 и теореме Джексона (см., например, [13, гл. 3, § 2]) последовательно находим, что Тогда из (5.4), (5.8) и (5.9) следует утверждение теоремы 4 с оценкой (5.5). Требуемое доказано.

Следствие 2. Если $F = YH_{\alpha }^{r}(S),$ $0 < \alpha \leqslant 1,$ $r = 0,1,...,$ то справедливо соотношение

и ОМП, ОММ оптимальны по порядку на классе $F$ среди всех полиномиальных проекционных методов решения ИДУ (3.1) в пространстве $D_{{ - 1}}^{{(p)}}\left\{ {m;0} \right\}$.

6. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Замечание 3. На основании определения нормы в пространстве $X \equiv D_{{ - 1}}^{{\left\{ p \right\}}}\left\{ {m;0} \right\}$ нетрудно заметить, что из сходимости последовательности $(x_{n}^{*})$ приближенных решений к точному решению $x{\kern 1pt} * = {{A}^{{ - 1}}}y$ в метрике $X$ следует обычная сходимость в пространстве обобщенных функций, т.е. слабая сходимость.

Замечание 4. При приближении решений операторных уравнений $Ax = y$ возникает естественный вопрос о скорости сходимости невязки $\rho _{n}^{*}(t) \equiv (Ax_{n}^{*} - y)(t)$ исследуемого метода. Один из результатов в этом направлении легко получить из теорем 1 и 3, а именно, из них вытекает простое следствие: если исходные данные $h,\;{{f}_{i}}$ и $Ty$ уравнения (3.1) принадлежат классу $H_{\alpha }^{r},$ $0 < \alpha \leqslant 1,$ $r = 0,1,2,...,$ то в условиях теорем 1 и 3 соответственно справедлива оценка ${\text{|}}{\kern 1pt} {\text{|}}\rho _{n}^{*}{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}_{Y}} = O({{n}^{{ - r - \alpha }}}\ln n).$

Замечание 5. Поскольку $С\left\{ {m,0;0} \right\} \equiv C\left\{ {m;0} \right\}$ и $D_{{ - 1}}^{{(0)}}\left\{ {m;0} \right\} \equiv D\left\{ {m;0} \right\}$, при $p = 0$ исследуемое ИДУ (3.1) преобразуется в интегральное уравнение III рода с оператором $A:D\left\{ {m;0} \right\} \to C\left\{ {m;0} \right\}$, а предложенный метод (3.3)–(3.5) – в специальный для уравнения III рода вариант ОМП. Следовательно, теорема 1 содержит в себе соответствующие результаты (см. [5, гл. 4, § 1]) по обоснованию специального варианта ОМП для решения уравнений III рода в классе $D\left\{ {m;0} \right\}$ обобщенных функций.

Замечание 6. Суть предыдущего замечания 5 остается в силе и в случае прямого проекционного метода (3.3), (3.4), (4.1).

Замечание 7. Так как в условиях теорем 1 и 3 соответствующие аппроксимирующие операторы ${{A}_{n}}$ обладают свойством вида

то ясно (см. [9, гл. 1, § 5]), что предложенные в данной работе прямые методы для ИДУ (3.1) устойчивы относительно малых возмущений исходных данных. Это позволяет найти численное решение исследуемых уравнений на ЭВМ с любой наперед заданной степенью точности. Более того, если ИДУ (3.1) хорошо обусловлено, то хорошо обусловленными являются также СЛАУ (3.5) и (4.1).