Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 2, стр. 273-281

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа является продолжением серии работ [1], [2], в которых изучались построения асимптотических разложений (АР) решений задач Коши для сингулярно возмущенных дифференциально-операторных уравнений переноса в т.н. критическом случае [3]. В работе [1] построено формальное асимптотическое разложение (далее ФАР, АР) по малому параметру $\varepsilon $ решения задачи Коши со специальными начальными условиями для сингулярно возмущенного дифференциально-операторного уравнения переноса с малой нелинейностью, в критическом случае ${{\varepsilon }^{2}}(U{{(x,t,p)}_{t}} + D(p)U{{(x,t,p)}_{x}}) = {{L}_{p}}U(x,t,p) + {{\varepsilon }^{2}}F(p,U)$ (линейный оператор ${{L}_{p}}$, действующий по переменной $p$, имеет однократное нулевое собственное значение [3]), в [2] построено АР решения аналогичного уравнения со многими пространственными переменными и другой степенью малого параметра при нелинейном слагаемом в правой части уравнения

${{\varepsilon }^{2}}\left( {{{U}_{t}} + \mathop \sum \nolimits_{i = 1}^N {{D}_{i}}(p){{U}_{{{{x}_{i}}}}}} \right) = {{L}_{p}}U + \varepsilon F(p,U).$

Особенности подобных задач подробно описаны в работах [1], [2], в частности, в работе [2] указаны прикладные области, в которых такие задачи могут возникать. Это могут быть теория переноса нейтронов [4–6], кинетика [7], теория коагуляции [8] и другие.

В настоящей работе полученные ранее результаты распространяются на случай аналогичных уравнений с диффузионными слагаемыми в правой части.

Основная цель данной работы – построение ФАР для решения задачи Коши для сингулярно возмущенных уравнений переноса в критическом случае с малыми нелинейностью и диффузией, и определение влияния диффузионных процессов на АР решения. Рассмотрено построение ФАР решений задачи Коши для уравнений

где $U(x,t,p)$ – решение, $\left\{ {x,t,p} \right\} \in H = \left\{ {\left| x \right| < \infty ,t > 0,p \in P} \right\}$, $0 < \varepsilon \ll 1$ – малый параметр, показатели ${{k}_{1}},\;{{k}_{2}}$ – натуральные числа. Линейный оператор ${{L}_{p}}$ действует по переменной $p \in P$ на функции $f(x,t,p) \in A$, принадлежащие по $p$ функциональному$p$ пространству $L$, соответствующему оператору ${{L}_{p}}$ , со скалярным произведением $({{f}_{1}},{{f}_{2}})$ и бесконечно дифференцируемых по переменным $x,t:A = L \otimes C_{{\left| x \right| < \infty ,t > 0}}^{\infty }$, причем ${{L}_{p}}f \in A$ $\forall f \in A$. Множество $P$ может иметь разный вид, например, для интегрального оператора ${{L}_{p}}$ оно может иметь вид $P = [{{p}_{1}},{{p}_{2}}]$. Функция $D(p) \in L,D(p) \ne {\text{const}}$, $F(p,U) \in C_{U}^{\infty } \otimes L$. B может быть либо функцией $B(p)$, либо линейным оператором ${{B}_{p}}$, действующим по переменной $p$. Оператор ${{L}_{p}}$ имеет однократное нулевое собственное значение ${{\lambda }_{0}} = 0$, которому соответствует собственная функция ${{h}_{0}}(p)$. Через $h_{0}^{{^{*}}}(p)$ обозначим собственную функцию сопряженного оператора $L_{p}^{{^{*}}}$, соответствующую $\lambda _{0}^{{^{*}}} = 0$. Ниже аргумент $p$ может опускаться для краткости записи. Начальные условия, так же как и в работах [1], [2], имеют специальный вид для того, чтобы исследовать поведение решения в наиболее интересных областях больших градиентов.

АР решения задачи существенно зависит от показателей ${{k}_{1}},\;{{k}_{2}}$. Ниже в работе подробно рассмотрено построение АР решения задачи при значениях ${{k}_{1}} = 2,$ ${{k}_{2}} = 4$. Особенности АР решения при других ${{k}_{1}},\;{{k}_{2}}$ приведены в разд. 7.

Алгоритмы построения АР подробно описаны в работах [1], [2], поэтому здесь оставлен лишь необходимый минимум технических выкладок.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим задачу Коши для сингулярно возмущенного дифференциально-операторного уравнения в случае ${{k}_{1}} = 2,$ ${{k}_{2}} = 4$

где функция $B(p) \in L,\;B(p) > {{B}_{0}} > 0,$ что обеспечивает параболичность уравнения (1) по переменным$(x,t)$ при всех значениях переменной $p$. Задача (1), (2) отличается от задачи, изученной в [1], наличием в правой части слагаемого со второй производной по пространственной переменной $x$. Потребуем выполнения следующих условий на данные задачи (1), (2).

Условие 1. Функция $w\left( {z,p} \right)$, стоящая в правой части начального условия, и все ее производные по переменной $x$ удовлетворяют неравенствам $\left| {{{w}^{{(k)}}}\left( {z,p} \right)} \right| \leqslant C{{e}^{{ - \beta {{z}^{2}}}}}$, $k = 0,1,...,$ $C > 0,$ $\beta > 0$, где постоянные $C > 0,$ $\beta > 0$ могут зависеть от $k$-порядка производных.

Замечание 1. Такой вид начальных условий выбран для того, чтобы исследовать поведение решения в области больших градиентов.

Условие 2. Собственные значения оператора ${{L}_{p}}:{{\lambda }_{0}},{{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},...$ однократны, отвечающие им собственные функции ортогональны, нормированы, образуют полную систему функций.

Условие 3. Все собственные значения $\lambda $ линейного оператора ${{L}_{p}}$, кроме ${{\lambda }_{0}} = 0$, имеют отрицательные вещественные части, удовлетворяющие неравенствам $\operatorname{Re} \lambda \leqslant - k$, $k > 0$.

Условие 4. Скалярное произведение $({{h}_{0}},h_{0}^{{^{*}}})$ отлично от нуля: $({{h}_{0}},h_{0}^{{^{*}}}) \ne 0$.

Замечание 2. При этом можно выбрать эти функции так, чтобы $({{h}_{0}},h_{0}^{{^{*}}}) = 1$, что и полагается ниже.

Условие 5. Функция $w(\xi ,p)$ разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

который можно почленно дифференцировать по ξ необходимое количество раз. Потребуем, чтобы в этом случае коэффициенты ряда ${{w}_{i}}(\xi )$ вместе со своими производными удовлетворяли неравенствам $\left| {{{w}_{i}}(\xi )} \right| \leqslant C\exp ( - \beta {{\left| \xi \right|}^{2}})$, где $C$ и $\beta $ – константы.

2. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ФАР РЕШЕНИЯ

Алгоритм построения ФАР решения начальной задачи (1), (2) подробно описан в работах [1], [2], поэтому здесь оставлен минимум выкладок. В соответствии с алгоритмом А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова построения погранслойных разложений (см. [3]) ФАР решения с точностью $O({{\varepsilon }^{{N + 1}}})$, где $N$ – произвольное натуральное число, в этой задаче ищется в виде суммы функции “всплеска” $S$, сосредоточенной в окрестности некоторой линии $\left\{ {l:~\zeta = 0} \right\}$ (“псевдохарактеристике” уравнения (1) ), пограничной функции $\Pi $, сосредоточенной в $\varepsilon $-окрестности границы $t = 0$ и остаточного члена $R$

где $\zeta = (x - Vt){\text{/}}\varepsilon $ – переменная, с помощью которой описывается функция всплеска $S(\zeta ,t,p)$, $V = (D(p){{h}_{0}}(p),h_{0}^{{^{*}}}(p))$; $\xi = x{\text{/}}\varepsilon $ и $\tau = t{\text{/}}{{\varepsilon }^{2}}$ – растянутые переменные, с помощью которых описывается пограничная функция $\Pi (\xi ,\tau ,p)$.

Следуя [3], представим функцию $F(p,U)$ в виде суммы:

где

3. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ВСПЛЕСКА $S$

Функция всплеска $S(\zeta ,t,p)$ ищется в виде разложения по степеням параметра $\varepsilon $

и должна удовлетворять уравнению

Перейдя в уравнении (9) от переменных $\left( {x,t,p} \right)$ к переменным $\left( {\zeta ,t,p} \right)$, получаем

где

Подставив разложение (8) в (5), получаем

где через $S{{f}_{k}}$ обозначены слагаемые, зависящие от ${{s}_{j}},\;j < k$, штрих означает производную $F(x,y)$ по второму аргументу.

Подставив (8) и (12) в уравнение (10), стандартным способом [3] получаем систему уравнений для членов разложения ${{s}_{i}}$

Решение уравнения (13) имеет вид

где ${{\varphi }_{0}}$ – пока неизвестная функция.

Для разрешимости уравнения (14) (и последующих) должно выполняться условие ортогональности правой части к собственной функции $h_{0}^{{^{*}}}$ сопряженного к ${{L}_{p}}$ оператора $L_{p}^{{^{*}}}$, соответствующей его нулевому собственному значению [3].

Условие разрешимости уравнения (14) $(\Psi {{s}_{{0,\zeta }}},h_{0}^{{^{*}}}) = 0$ выполняется, поэтому функция ${{s}_{1}}$ может быть представлена в виде

где $G$ – псевдообратный к ${{L}_{p}}$ оператор.

Замечание 3. Назовем оператор $G$ псевдообратным к оператору ${{L}_{p}}$, если решение уравнения ${{L}_{p}}U = F$ при условии $(F,h_{0}^{{^{*}}}) = 0$ может быть записано в виде $U = GF + C{{h}_{0}}$, где $C$ не зависит от $p$.

Подставляя (17) и (18) в условие разрешимости уравнения (15)

получаем уравнение для определения функции ${{\varphi }_{0}}$: где

Замечание 4. Легко показать, что $M = (\Psi G\Psi {{h}_{0}},h_{0}^{{^{*}}})$ определяется однозначно, хотя псевдообратный оператор $G$определяется неоднозначно.

При выполнении условий разрешимости соответствующих уравнений функции $~{{s}_{k}},k = 2,3,...$, имеют вид

Действуя аналогично, выбрав номер $~k$, записывая условие разрешимости уравнения для номера $~k + 2$, получаем уравнение для определения функции ${{\varphi }_{k}}$:

где ${{\Phi }_{k}}$ выражаются через уже найденные ${{\varphi }_{j}},j < k.$ Отметим, что уравнение (22), в отличие от уравнения (19), линейное.

Таким образом, получены выражения для нахождения ${{s}_{k}}$ и уравнения для определения входящих в эти выражения функций ${{\varphi }_{k}}$.

Наложим следующее

Условие 6: $M = (\Psi G\Psi {{h}_{0}},h_{0}^{{^{*}}}) - (B(p){{h}_{0}},h_{0}^{{^{*}}}) < 0$.

При выполнении условия 6 уравнения (19), (22) будут параболическими.

4. ПОСТРОЕНИЕ ПОГРАНИЧНОЙ ФУНКЦИИ $\Pi $

Ввиду вполне определенного вида зависимости функций ${{s}_{k}}(\zeta ,t,p)$ от переменной $p$ функ-ция S, вообще говоря, ни в каком приближении не может удовлетворять начальным условиям (2). Для удовлетворения этих условий строится пограничная функция $\Pi (\xi ,\tau ,p)$ (см. [3]), $\xi = x{\text{/}}\varepsilon ,$ $\tau = t{\text{/}}{{\varepsilon }^{2}}$, которая удовлетворяет уравнению

условию а также совместно с функцией $S$ удовлетворяет начальным условиям (2) (последнее равенство записано с учетом условия 5).

Функция $\Pi $ ищется стандартно (см. [3])

Перейдя от переменных $(x,t,p)$ к $(\xi ,\tau ,p)$, представим уравнение (23) в виде

Подставив разложения (8) и (26) в (6), переходя к переменным $(\xi ,\tau ,p)$, разложим $\Pi F$в ряд по степеням малого параметра:

Подставив (26) и (28) в уравнение (27), стандартным способом (см. [3]) получаем систему уравнений для членов разложения ${{p}_{i}}$

где ${{\tilde {P}}_{1}} = - {{D}_{i}}(p){{\pi }_{0}},{{\tilde {P}}_{i}} = - {{D}_{i}}(p){{\pi }_{{i - 1,\xi }}} + \Pi {{F}_{{i - 2}}} + B(p){{\pi }_{{i - 2,\xi \xi }}},i \geqslant 2$.

Учитывая условия 2, 3 и (24) , выпишем ${{\pi }_{0}}$:

где суммирование ведется по номерам, отвечающим ненулевым собственным значениям линейного оператора ${{L}_{p}}$ (т.е. всем, кроме ${{\lambda }_{0}} = 0$).

Из (25), (32), (31) и условий 2–4, получаем

Таким образом, получено начальное условие (32) для уравнения (19), определяющего функцию ${{\varphi }_{0}}$ и определена функция ${{\pi }_{0}}$ формулами (31), (33).

Построение функций ${{\pi }_{k}}(\xi ,\tau ,p),$ $k \geqslant 1$, почти дословно повторяет соответствующие построения в работах [1], [2].

Функция ${{\pi }_{1}}$ удовлетворяет уравнению

где $\Pi {{F}_{1}}$ выражается через ${{\pi }_{0}}(\xi ,\tau ,p)$ и удовлетворяет оценке $\left| {\Pi {{F}_{1}}} \right| < C{{e}^{{ - \kappa \tau }}},$ $\kappa > 0$. Решение уравнения (34) имеет вид

Умножая скалярно (36) на ${{h}_{i}}$, получаем уравнения для определения ${{C}_{{1,i}}}$:

Из условия ${{C}_{{10}}} \to 0$ при $\tau \to \infty $ получаем ${{C}_{{10}}}(\xi ,\tau )$ в явном виде (см. [3])

Из (25) получаем

Подставив (18) (в виде ${{s}_{1}} = {{\varphi }_{1}}{{h}_{0}} + {{N}_{1}}$, где ${{N}_{1}} = G\Psi {{s}_{{0,\zeta }}}$) и (35) в (38), получаем

Умножив скалярно (39) на ${{h}_{0}}$, получаем

умножая (39) на ${{h}_{j}},j \geqslant 1$, получаем

Таким образом, получены начальные условия (32), (40) для функций ${{\varphi }_{i}}$ и определены функции ${{\pi }_{i}}$ (35), (36), (37), (41).

5. ОЦЕНКИ ЧЛЕНОВ РАЗЛОЖЕНИЯ

Справедливы теоремы об оценках членов разложений.

Теорема 1. При выполнении условий 1, 6 для любого натурального $N$ существуют постоянные ${{T}_{1}} > 0$, $\kappa > 0$, $C \geqslant 0$ такие, что на $[0,{{T}_{1}}]$ все ${{\varphi }_{i}}(\zeta ,t)$ для $i \leqslant N$ существуют, единственны и удовлетворяют оценкам

вместе с частными производными до второго порядка.

Замечание 5. Из оценок (42) следуют оценки

Теорема 2. При выполнении условий 2, 3 для любого натурального N, для любого $T > 0$ все ${{\pi }_{i}}(\xi ,\tau ,p),\;i \leqslant N,$ на $\left[ {0,T} \right]$ существуют, единственны и имеют оценку

где $C > 0$, $\kappa > 0$ – постоянные.

Доказательства этих теорем практически дословно повторяют доказательства соответствующих теорем из работ [1], [2], [9] и здесь не приводятся. Отметим лишь, что доказательство теоремы 1 основано на методе последовательных приближений с использованием оценок фундаментального решения параболического уравнения (см. [10]).

Замечание 6. Постоянные ${{T}_{1}} > 0$, $C > 0$, $\kappa > 0$ в оценках (42)–(44) могут зависеть от числа $N$.

6. ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА $R$

Будем считать выполненным

Условие 7. Пусть решение задачи (1), (2) существует и единственно на некотором промежутке $[0,{{T}_{2}}]$, где ${{T}_{2}} > 0$ – положительная величина, не зависящая от $\varepsilon $.

Оценка остаточного члена производится по невязке.

Теорема 3. Пусть выполняются условия 1–7.

Тогда на отрезке $[0,T]$, где $T = \min ({{T}_{1}},{{T}_{2}})$, решение задачи (1), (2) существует и для любого натурального $N$представимо в виде

где ${{S}_{N}},\;{{\Pi }_{N}}$ есть частичные суммы рядов (8) и (26) ( ФАР), остаточный член $R$ удовлетворяет задаче Коши где $r$ – известная функция, удовлетворяющая оценке $\left| r \right| < C{{\varepsilon }^{{N + 1}}}{{e}^{{ - \kappa {{{\left| \zeta \right|}}^{2}}}}}$.

Доказательство теоремы 3. Существование самой величины $R$ следует из условия 7 и теорем 1, 2. Уравнение и начальные условия (46) для функции $R$, а также оценка функции непосредственно вытекают из алгоритма построения ФАР, а также оценок (43), (44).

7. ОБОБЩЕНИЯ, ИТОГИ

При ${{k}_{1}} = 2,\;{{k}_{2}} = 4$ ФАР решения задачи (1), (2) при выполнении условий 1–5 имеет вид (45). Главный член асимптотики равен ${{s}_{0}}(\zeta ,t,p) = {{\varphi }_{0}}(\zeta ,t){{h}_{0}}(p)$, где ${{\varphi }_{0}}\left( {\zeta ,t} \right)$ есть решение параболического уравнения (19) типа “реакция–диффузия”

При иных значениях ${{k}_{1}},{{k}_{2}}$ ФАР решения задачи может иметь иной вид.

При ${{k}_{1}} = 1,$ ${{k}_{2}} = 4$ ФАР решения задачи

при выполнении условий 1–5 и наложении дополнительного условия $(F(p,U),h_{0}^{{^{*}}}) = 0$, имеет вид, аналогичный (45). Алгоритм построения ФАР решения задачи (47) почти дословно повторяет изложенный выше (с небольшими изменениями) и здесь не приводится. Основное отличие от рассмотренного выше случая состоит в том, что ${{\varphi }_{0}}\left( {\zeta ,t} \right)$, определяющая главный член разложения, есть решение задачи Коши для иного параболического уравнения где

Уравнение (48) может быть названо обобщенным уравнением Бюргерса. При квадратичной по $U$ функции $F(p,U)$ функция ${{F}_{{{\text{eff}}}}}({{\varphi }_{0}}) = k{{\varphi }_{0}}^{2},$ $k = {\text{const}}$, и уравнение (48) становится уравнением Бюргерса

При ${{k}_{1}} = 1,$ ${{k}_{2}} = 3$ ФАР решения задачи

где ${{B}_{p}}$ – линейный оператор, действующий по переменной $p$, при выполнении условий 1–5 и наложении дополнительных условий $(F(p,U),h_{0}^{{^{*}}}) = 0$, ${{B}_{p}}{{h}_{0}} = 0$ имеет вид, аналогичный (45). В этом случае функция ${{\varphi }_{0}}\left( {\zeta ,t} \right)$, определяющая главный член разложения, есть решение задачи Коши для уравнения где

Уравнение (50) может быть названо обобщенным уравнением Бюргерса–Кортевега–де-Вриза. При квадратичной по $U$ функции $F(p,U)$ функция ${{F}_{{eff}}}({{\varphi }_{0}}) = k{{\varphi }_{0}}^{2},$ $k = {\text{const}}$, и уравнение (50) становится уравнением Бюргерса–Кортевега–де Вриза

В области $t > {{t}_{0}}$, где ${{t}_{0}} > 0$ – любое положительное число, не зависящее от $\varepsilon $, решение задачи во всех случаях имеет вид ${{s}_{0}}(\zeta ,t,p) = {{\varphi }_{0}}(\zeta ,t){{h}_{0}}(p) + O(\varepsilon )$. Соответственно, в этой области поведение решения определяется первым слагаемым (главным членом АР), в котором ${{\varphi }_{0}}(\zeta ,t)$ определяется уравнениями (19), либо (48), либо (50), что определяется показателями ${{k}_{1}},\;{{k}_{2}}$. Во всех случаях в уравнениях появляется слагаемое со второй производной $M{{\varphi }_{{0,\zeta \zeta }}}$, порожденное малым параметром при операторе переноса в сочетании с оператором ${{L}_{p}}$, имеющим нулевое собственное значение: ${{\varepsilon }^{2}}({{U}_{t}} + D(p){{U}_{x}}) - {{L}_{p}}U$. Этим сочетанием объясняется то, что во всех случаях малая нелинейность в исходных уравнениях дает существенную нелинейность в уравнениях, которыми описывается главный член АР решений. С физической точки зрения такое сочетание соответствует тому, что процессы “перемешивания” по переменной $p$ происходят существенно быстрее, чем процессы переноса по пространству, по прошествии малого времени решение уравнений переноса с достаточной точностью будет описываться или параболическими уравнениями (19), (48), или уравнением типа Бюргерса–Кортевега–де-Вриза (50).

Уравнениям (19), (48), (50) посвящена обширная литература. Хорошо известно (см., например, [11], [12]), что уравнения (19), (48), (50) могут иметь решения вида “бегущая волна”.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построены ФАР решений задачи Коши для сингулярно возмущенных дифференциально-операторных уравнений переноса с диффузионными слагаемыми. Получены задачи для определения всех членов разложения решения по малому параметру.

2. Условие однократности нулевого собственного значения оператора ${{L}_{p}}$ является существенным.

3. Согласование масштабов малости параметра в уравнении (1) и начальных условиях (2) существенно.

4. Алгоритм построения может быть обобщен на уравнения с переменными коэффициентами, а так же на уравнения с многими пространственными переменными.

5. Знание структуры решения в дальней зоне позволяет строить подходящие разностные схемы и выбирать адаптивные сетки, что актуально для задач большой размерности.