Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 3, стр. 474-490

1.1. $KB$-пространство $V$ и его подпространства ${{V}^{n}},{{V}^{{(n)}}}$ и $pV$

Переходя к описанию изучаемых классов игр, введем необходимые понятия и обозначения. Положим $\mathcal{V} = \{ v:\Sigma \to \mathbb{R}\,{\text{|}}\,v(\emptyset ) = 0\} .$ Пусть $e$ – произвольный элемент алгебры $\Sigma $. Обозначим $H(e)$ совокупность всех конечных $\Sigma $-измеримых разбиений множества $e.$ Согласно определению, каждый элемент $\eta \in H(e)$ имеет вид $\eta = \{ {{e}_{a}}{{\} }_{A}},$ где $A$ – какое-либо непустое конечное множество, все ${{e}_{a}}$ принадлежат алгебре $\Sigma ,$ ${{e}_{a}} \cap {{e}_{{a'}}} = \emptyset $ при $a \ne a{\kern 1pt} '$ и, наконец, выполняется равенство

$\bigcup\nolimits_{a \in A}^{} {{{e}_{a}}} = e.$

Положим $H = \bigcup\nolimits_{e \in \Sigma } \,H(e)$ и для каждого разбиения $\eta = \{ {{e}_{a}}{{\} }_{A}} \in H$ и функции $v \in \mathcal{V}$ определим ее полиномиальную разность $v(\eta ) = v(\{ {{e}_{a}}{{\} }_{A}})$ формулой

(здесь и далее ${\text{|}}A{{\backslash }}\omega {\kern 1pt} {\text{|}}$ – число элементов конечного множества $A{{\backslash }}\omega $). Величину ${\text{|}}A{\kern 1pt} {\text{|}}$ будем называть порядком разности $v(\{ {{e}_{a}}{{\} }_{A}})$.

Отметим сразу же два полезных тождества (см. [2]): при $m \geqslant 3$ и $A = \{ 1, \ldots ,m - 1,m,m + 1\} $ для любой полиномиальной разности $v(\{ {{e}_{a}}{{\} }_{A}})$ выполняется соотношение

Кроме того, для любых $e \in \Sigma $ и $\eta = \{ {{e}_{a}}{{\} }_{A}} \in H(e)$ справедливы равенства где ${{\eta }^{\omega }} = \{ {{e}_{a}}{{\} }_{\omega }}$ – разбиения множеств $\bigcup\nolimits_{a \in \omega }^{} {{{e}_{a}}} $, а величины $v({{\eta }^{\omega }})$ определяются, согласно форму-ле (1.1), равенствами

Далее $\Omega (\eta )$ обозначает множество индексов разбиения $\eta = \{ {{e}_{a}}{{\} }_{A}} \in H:$

Определение 1 (см. [14]). Величину

будем называть полиномиальной вариацией функции $v$. Будем говорить, что функция $v \in V$ имеет ограниченную полиномиальную вариацию, если ${{\left\| v \right\|}_{0}} < \infty $. Положим

Опишем конус вполне положительных функций, наделяющий векторное пространство $V$ с нормой ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}}$ структурой $KB$-пространства.

Определение 2 (см. [14]). Будем говорить, что функция $v \in \mathcal{V}$ вполне положительна, если ее полиномиальные разности неотрицательны: $v(\eta ) \geqslant 0$ для всех $\eta \in H.$ Выпуклый конус вполне положительных функций $v \in \mathcal{V}$ обозначим ${{V}_{ + }}$.

Ясно, что конус ${{V}_{ + }}$ содержится в $V$ и определяемый им (частичный) порядок

вместе с нормой ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}}$ и операциями поточечного сложения и умножения функций наделяет пространство $V$ структурой нормированного полуупорядоченного кольца. Более того, пространство $V$ представляет собой $KB$-кольцо (см. [14]). В частности, оно является условно-полным относительно полуупорядоченности ${{ \geqslant }_{0}}$. При этом норма ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}}$ совместима с частичным порядком: монотонная $(o)$-сходимость ${{v}_{n}} \downarrow 0$ $({{v}_{n}} \uparrow \infty )$ влечет монотонную сходимость ${{\left\| {{{v}_{n}}} \right\|}_{0}} \downarrow 0$ (${{\left\| {{{v}_{n}}} \right\|}_{0}} \uparrow \infty $) в нормированном пространстве ($V,{{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}}$).

Далее основную роль играют так называемые полиномиальные функции множества из $V$, представляющие собой аналоги полиномиальных функционалов на векторных пространствах (см. [15]).

Определение 3 (см. [12]). Функцию $v \in V$ будем называть полиномиальной порядка $n$, если все ее полиномиальные разности порядка $n + 1$ обращаются в нуль:

Совокупность всех таких функций обозначим ${{V}^{n}}$.

Отметим сразу же, что ${{V}^{1}}$ – обычное пространство конечно-аддитивных мер ограниченной вариации. При этом норма полиномиальной вариации ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}}$ совпадает на ${{V}^{1}}$ с классической нормой полной вариации $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$:

а бинарное отношение ${{ \geqslant }_{0}}$ в ${{V}^{1}}$ – с обычным порядком $ \geqslant :$Кроме того, на основании (1.2) имеем: из полиномиальности функции $v$ порядка $n$ вытекает ее полиномиальность любого порядка $m > n$ (т.е. справедливы вложения ${{V}^{n}} \subseteq {{V}^{m}}$ для всех $m > n$).

Определение 4 (см. [13]). Положим $pV = \bigcup\nolimits_{n = 1}^\infty {{{V}^{n}}} $. Элементы семейства $pV$ будем называть полиномиальными функциями множества.

Следуя стандартным обозначениям теории векторных решеток, для каждой функции ${v} \in V$ определим ее положительную, отрицательную и полную вариации

соответственно (здесь, как обычно, $u \vee w$ ($u \wedge w$) обозначают точную верхнюю (нижнюю) грань множества $\{ u,w\} $ в пространстве $(V,{{ \geqslant }_{0}})$).

Замечание 1. Из того, что $V$ является $KB$-пространством, на основании общей теории векторных решеток получаем, что справедливо разложение

При этом непосредственно из определения положительной (${{v}^{ + }}$) и отрицательной (${{v}^{ - }}$) вариаций имеем $u{{ \geqslant }_{0}}{{v}^{ + }},$ $w{{ \geqslant }_{0}}{{{v}}^{ - }}$ для любых $u,w \in {{V}_{ + }}$ таких, что $v = u - w.$ Отсюда, учитывая равенства ${\text{|}}v{\kern 1pt} {\text{|}} = {{v}^{ + }} + {{v}^{ - }}$ и ${{v}^{ + }} \wedge {{v}^{ - }} = 0$ (вытекающие из того, что $V$ – векторная решетка), нетрудно получить следующие выражения для полиномиальной вариации $v$:

Определение 5 (см. [13], [14]). Будем говорить, что функция $v \in {{V}^{n}}$ является однородной порядка n, если она дизъюнктна с пространством ${{V}^{{n - 1}}}$ (т.е. ${\text{|}}{v}{\kern 1pt} {\text{|}}\; \wedge \;{\text{|}}u{\kern 1pt} {\text{|}} = 0$ для всех $u \in {{V}^{{n - 1}}}$). Совокупность всех однородных порядка $n$ полиномиальных функций множества обозначим ${{V}^{{(n)}}}$. (Здесь и далее ${{V}^{0}} = {{V}^{{(0)}}}: = \{ 0\} $.)

Замечание 2. Подчеркнем, что однородность функции множества в смысле определения 5 кардинально отличается от однородности степени 1, рассматривающейся в [3]. Типичным примером функций множества однородных степени 1 являются, например, суперпозиции вида $v = f \circ \mu ,$ где $\mu $ есть неатомическая мера на борелевской $\sigma $-алгебре отрезка $[0,1]$, а $f$ – вещественная функция, дифференцируемая на области $R$ значений меры $\mu $ и однородная степени 1 (т.е. такая, что $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ для всех $\alpha \in [0,1]$ и $x \in R$). В то же время степени ${{\mu }^{k}}$ указанной меры $\mu ,$ будучи однородными для всех $k > 1$ в смысле определения 5, заведомо не являются однородными степени 1 (см. [3, § 26]).

Напомним (см. [7]), что два элемента $x,\;y$ векторной решетки $X$ называются дизъюнктными (обозначение $xdy$), если ${\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}\; \wedge \;{\text{|}}y{\kern 1pt} {\text{|}} = 0.$ Далее, элемент $x$ называется дизъюнктным с множеством $E \subseteq X$ (обозначение $xdE$), если $xdy$ для каждого $y \in E.$ Напомним еще, что всякая архимедова векторная решетка $X$ является дистрибутивной структурой (см., например, [7, теорема III.5.1] или [9, теорема 6.8]). Следовательно, в условно-полной векторной решетке $(V,{{ \geqslant }_{0}})$ выполняется соотношение

Используя дистрибутивный закон (1.5), приведем простую, но полезную в дальнейшем детализацию определения однородности функций из $pV.$

Предложение 1. Функция ${v} \in {{V}^{n}}$ является однородной порядка $n$ тогда и только тогда, когда выполняются соотношения

(Всюду далее для любого подмножества $W \subseteq V$ полагаем ${{W}_{ + }} = W \cap {{V}_{ + }}$.)

Доказательство. Как уже отмечалось (замечание 1), для любой функции $v \in V$ ее положительная и отрицательная вариации дизъюнктны: ${{v}^{ + }}d{{v}^{ - }}.$ Поэтому (см. [7]) справедливы соотношения ${\text{|}}{v}{\kern 1pt} {\text{|}} = {{v}^{ + }} + {{v}^{ - }} = {{v}^{ + }} \vee {{v}^{ - }}$ для всех $v \in V$. Следовательно, для любых функций $v \in V$ и $u \in {{V}_{ + }}$ выполняются неравенства

Отсюда при $v \in {{V}^{{(n)}}}$ и $u \in V_{ + }^{{n - 1}}$ получаем требуемое: ${{v}^{ + }}du$ и ${{v}^{ - }}du$ для всех $u \in V_{ + }^{{n - 1}}.$

С другой стороны, если для функции $v \in {{V}^{n}}$ выполняются соотношения (1.6), в силу закона дистрибутивности (1.5) имеем

для всех $u \in V_{ + }^{{n - 1}}.$ Значит, $v$ однородна порядка $n.$ Предложение 1 доказано.

В дальнейшем используются следующие свойства пространств ${{V}^{n}}$, ${{V}^{{(n)}}}$ и $pV$.

Предложение 2 (см. [14]). Кольцо $pV$ является нормальной подрешеткой (идеалом) пространства V (т.е. $v \in pV$ и ${\text{|}}{v}{\kern 1pt} {\text{|}}{{ \geqslant }_{0}}{\text{|}}u{\kern 1pt} {\text{|}}$ влечет $u \in pV$).

Предложение 3 (см. [13], [14]). Для всех $n \geqslant 1$ пространства ${{V}^{n}}$ и ${{V}^{{(n)}}}$ являются замкнутыми компонентами (полосами) $V$ (т.е. идеалами, замкнутыми относительно (о)-сходимости). В частности, для каждой функции $v \in V$ и для каждого $m \geqslant 1$ существует проекция ${{v}_{{(m)}}}$ на ${{V}^{{(m)}}}$:

при этом (по определению) справедлива импликация

Отметим также, что на основании предложения 3 пространства ${{V}^{n}}$ и ${{V}^{{(n)}}}$ являются подрешетками $V$. Поэтому для всех $n \geqslant 1$ справедливы соотношения

Еще одно из важных свойств полиномиальных функций множества устанавливается следующей теоремой о декомпозиции.

Теорема 1 (см. [2], [13]). Для каждого $n \geqslant 1$ пространство ${{V}^{n}}$ является прямой суммой попарно-дизъюнктных подпространств ${{V}^{{(m)}}}$: для всякой функции $v \in {{V}^{n}}$ существует единственное представление $v = \sum\nolimits_{m = 1}^n \,{{v}_{m}}$, где ${{v}_{m}} \in {{V}^{{(m)}}}$; при этом ${{v}_{m}} = {{v}_{{(m)}}}$ и ${\text{|}}{{v}_{{(l)}}}{\kern 1pt} {\text{|}}\; \wedge \;{\text{|}}{{v}_{{(m)}}}{\kern 1pt} {\text{|}} = 0$ для всех $l \ne m$.

1.2. Аналитический критерий однородности

Помимо определения 5 в работе используется и аналитический критерий однородности, дающий описание функций $v \in {{V}^{{(n)}}}$ в терминах асимптотического поведения их полиномиальных разностей. В формулировке этого критерия, как и всюду далее, предполагается, что семейства $H(e)$ упорядочены стандартным образом: $\eta \leqslant \xi $ тогда и только тогда, когда разбиение $\xi \in H(e)$ является измельчением разбиения $\eta \in H(e)$ (т.е. каждый элемент разбиения $\xi $ содержится в некотором элементе разбиения $\eta $). При этом под пределом ${{\lim }_{{\eta \in H(e)}}}{{a}_{\eta }}$ понимается предел обобщенной последовательности чисел ${{\{ {{a}_{\eta }}\} }_{{\eta \in H(e)}}}$ по направленности $H(e)$. Предлагаемый ниже общий аналитический критерий однородности представляет упрощение критерия $(H)$ из [2], основанное на предложении 1 из п. 1.1.

Предложение 4. Функция $v \in {{V}^{n}}$ является однородной порядка $n$ тогда и только тогда, когда выполняются соотношения

где

(Как и ранее, через |ω| обозначается число элементов конечного множества ω.)

Доказательство. На основании формулы (1.4) и предложения 1 для доказательства рассматриваемого утверждения достаточно ограничиться исследованием случая $v \in V_{ + }^{n}$ (т.е. при ${{v}^{ + }} = v,{\kern 1pt} $ ${{v}^{ - }} = 0$). Итак, пусть $v \in V_{ + }^{n}$ удовлетворяет условию $({{H}_{ + }}):$ ${{\lim }_{{\eta \in H(Q)}}}\sum\nolimits_{\omega \in \Omega _{\eta }^{{(m)}}} \,v({{\eta }^{\omega }}) = 0$ для всех $m = 1,2, \ldots ,n - 1.$ Допустим, что для некоторой функции $u \in V_{ + }^{{n - 1}}$ выполняется соотношение $w = u \wedge v\not { = }0$. Тогда, в силу предложения 3 имеем: $w \in V_{ + }^{{n - 1}}.$ При этом из $w\not { = }0$ вытекает, что $w(Q) = \varepsilon $ для некоторого положительного числа $\varepsilon .$ Однако в силу условия $({{H}_{ + }})$ существует разбиение $\eta \in H(Q)$ такое, что

Кроме того, из определения $w$ вытекает неравенство $w{{ }_{0}} \leqslant v$. Поэтому для вышеуказанного разбиения $\eta $ ввиду включения $w \in V_{ + }^{{n - 1}}$ (и на основании формулы (1.3)) получаем соотношение Но оно противоречит равенству $w(Q) = \varepsilon .$ Полученное противоречие доказывает требуемое: $v$ однородна порядка $n.$

Рассмотрим теперь произвольный элемент $v \in V_{ + }^{{(n)}}$ и покажем, что он удовлетворяет условию $({{H}_{ + }}).$ Напомним (см. [13]), что для вполне положительной функции $v$ пределы

существуют при любых $e \in \Sigma $, а определяемые соотношением (1.7) функции ${{v}_{m}}$ удовлетворяют условиям

Учитывая определение функций ${{v}_{m}}$ (соотношения (1.7)), формулу (1.3) и равенство нулю всех полиномиальных разностей функции $v$ порядка $m > n$, получаем представление $v = {{v}_{1}} + \cdots + {{v}_{n}}$, где, согласно (1.8), ${{v}_{m}} \in V_{ + }^{m}$ для всех $m = 1,2, \ldots ,n.$ Поэтому функция $w = \sum\nolimits_{m = 1}^{n - 1} \,{{v}_{m}}$ принадлежит $V_{ + }^{{n - 1}}$ и, следовательно, дизъюнктна с $v$. Отсюда, учитывая, что $v = w + {{v}_{n}}{{ \geqslant }_{0}}w$, получаем $v \wedge w = w = 0$. Но, в силу вполне положительности функций ${{v}_{m}}$, последнее соотношение влечет справедливость равенств ${{v}_{1}} = \cdots = {{v}_{{n - 1}}} = 0.$ Эти равенства и означают выполнение условия $({{H}_{ + }})$ для рассматриваемой функции $v$.

Замечание 3. На основании предложения 4 и формул (1.1), (1.3) для всех $v$ из $V_{ + }^{{(n)}}$ выполняются равенства

Используя формулу (1.3) и монотонность полиномиальных разностей функций $v \in V_{ + }^{n}$, можно показать, что для однородности вполне положительных функций из  ${{V}^{n}}$ необходимо и достаточно выполнения условия $(H_{ + }^{*})$.

Замечание 4. Как вытекает из результатов работы [13], функции ${{v}_{m}}$, определенные в соответствии с формулой (1.7), удовлетворяют условию

Таким образом, для любой функции $v \in V_{ + }^{n}$ выполняется равенство $v = \sum\nolimits_{m = 1}^n \,{{v}_{m}}$. При этом формула (1.7) дает явное определение проекции $v \in p{{V}_{ + }}$ на полосу ${{V}^{{(m)}}}$: ${{v}_{m}} = {\text{sup}}\{ w \in V_{ + }^{{(m)}}\,{\text{|}}\,w{{ }_{0}} \leqslant v\} $.

2.1. Аксиоматическое описание вектора Шепли

Приступая к аксиоматическому описанию вектора Шепли, напомним (см. [2], [3]), что подпространство $W \subseteq \mathcal{V}$ называется симметричным, если $\theta \circ v \in W$ для всех $\theta \in \mathcal{T}$ и $v \in W$, где $\mathcal{T}$ – группа автоморфизмов измеримого пространства $(Q,\Sigma )$, а функции $\theta \circ v$ определяются по формуле

Отметим, что подпространства ${{V}^{n}},\;{{V}^{{(n)}}},\;pV$ и $fV$ являются симметричными. Здесь, как и в [3], [5], через $fV$ обозначается семейство всех финитных функций множества из $\mathcal{V}$: Здесь $\operatorname{Supp} {v}$ – совокупность всех носителей функции $v$ (см. [2], [3]):

Определение 6 (см. [2], [16]). Вектором Шепли на симметричном подпространстве $W \subseteq V$ будем называть линейный оператор $\Phi :W \to {{V}^{1}}$, удовлетворяющий условиям

A1. $ \Phi (v) \in V_{ + }^{1}$ для всех $v \in W \cap {{V}_{ + }}$;

A2. $ \Phi (\theta \circ v) = \theta \circ \Phi (v)$ для всех $\theta \in \mathcal{T}$, $v \in W$;

A3. $ \Phi (v)(R) = v(Q)$ для всех $R \in \operatorname{Supp} {v},\;{v} \in W$.

Замечание 5. Предлагаемая аксиоматика рассчитана на пространства, содержащие функции с ненулевой атомической (дискретной) составляющей, в том числе и на финитные игры. Поэтому условие А3, касающееся парето-оптимальности распределения $\Phi (v)$, дано в той же форме, что и для конечных игр (для неатомических, как видно из [3], достаточен вариант $\Phi (v)(Q) = v(Q)$). Учитывая теоремы единственности (см. [1], [3]), установленные для $bv{\kern 1pt} 'NA$ и $fV$, нетрудно проверить, что конструируемый далее оператор $\Phi _{*}^{{}}$ совпадает с классическим значением как на $fV$, так и на подпространстве $p{v}NA = b{v}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} NA \cap pV$. Напомним (см. [3]), что $b{v}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} NA$ – замыкание в норме полной вариации линейного пространства, порожденного всеми играми вида $f \circ \mu $, где f – функция ограниченной вариации на отрезке $I = [0,1]$ такая, что $f(0) = 0$ и непрерывная в точках 0 и 1, а μ – неатомическая вероятностная мера на борелевской σ-алгебре B множества I. Отметим также, что в отличие от работы [3], условие A1 накладывает более слабое требование на положительность оператора $\Phi $: вместо конуса монотонных функций множества в A1 используется более узкий конус вполне положительных функций ${{V}_{ + }}$.

2.2. Функционал Шепли: основные свойства

В дальнейших рассмотрениях ограничимся случаем $W = pV$ (хотя используемая аргументация без существенных изменений проходит и для более широкого класса аналитических функций множества ограниченной полиномиальной вариации, см. [16]). Суть предлагаемого подхода к построению вектора Шепли на $pV$ состоит в использовании подходящего билинейного функционала $Sh:pV \times B \to \mathbb{R}$, порождающего искомый линейный оператор ${{\Phi }_{*}}$ в соответствии с формулой

Здесь, как обычно, ${{\chi }_{e}}$ – индикаторная функция множества $e$ (т.е. ${{\chi }_{e}}(t) = 1$ при $t$ из $e$ и ${{\chi }_{e}}(t) = 0$ при $t$ из $Q{{\backslash }}e$), $B = B(Q,\Sigma )$ – векторная решетка ограниченных $\Sigma $-измеримых вещественных функций на $Q$ с нормой $\left\| f \right\| = \sup \{ {\kern 1pt} {\text{|}}f(t){\kern 1pt} {\text{|}}\,{\text{|}}\,t \in Q\} $ и конусом положительных элементов ${{B}_{ + }} = {{B}_{ + }}(Q,\Sigma ) = \{ f \in B\,{\text{|}}\,f(t) \geqslant 0,\;t \in Q\} $. Как будет показано далее, значение функционала $Sh,$ фигурирующего в формуле (2.1), представляет собой $v$-интеграл некоторого специального усреднения функции $f$. Однако ввиду того, что в ряде случаев более удобна стандартная трактовка, в качестве базисного выберем тот вариант определения $Sh$ (называемого в дальнейшем функционалом Шепли), который наиболее близок к теоретико-вероятностной интерпретации оператора $\Phi $ (см. [1], [3], [4]).

Приведем необходимые обозначения. Зафиксируем $v \in \mathcal{V},$ $f \in B,$ $\eta = \{ {{e}_{i}}\} _{1}^{m}$ из $H(Q)$ и множество ${{\tau }_{\eta }} = \{ {{t}_{i}}\} _{1}^{m}$ такое, что ${{t}_{i}} \in {{e}_{i}}$ $\forall i = 1,2, \ldots ,m$. Обозначая через ${{\Pi }_{m}} = \Pi ({{\Omega }_{\eta }})$ совокупность всех перестановок множества $\Omega (\eta ) = \{ 1,2, \ldots ,m\} $, положим

где

Определение 7 (см. [2]). Функционалом Шепли на произведении пространств $pV$ и $B$ будем называть отображение $Sh:pV \times B \to \mathbb{R}$, определяемое формулой

Для проверки корректности определения 7 необходимо убедиться, что при всех $v \in pV$ и $f \in B$ предел обобщенной последовательности ${{\{ {{S}_{v}}(f,\eta ,{{\tau }_{\eta }})\} }_{{H(Q)}}}$ существует, конечен и не зависит от выбора множеств ${{\tau }_{\eta }}.$ Введем некоторые понятия и обозначения, необходимые для такой проверки. Обозначим ${{e}^{{[{\mathbf{N}}]}}}$ совокупность всех конечных подмножеств множества $e$ и рассмотрим произвольные функции $\alpha :\;{{Q}^{{[{\mathbf{N}}]}}} \to \mathbb{R}$ и $v \in V$. Для каждого разбиения $\eta = \{ {{e}_{i}}\} _{1}^{m} \in H(Q)$ зафиксируем некоторую систему $\tau = {{\tau }_{\eta }} = \{ {{t}_{i}}\} _{1}^{m}$, удовлетворяющую условию ${{t}_{i}} \in {{e}_{i}},$ $i \in \Omega (\eta )$, и положим где ${{\tau }^{\omega }} = \{ {{t}_{i}} \in \tau \,{\text{|}}\,i \in \omega \} $ для всех $\omega \subseteq \Omega (\eta )$.

Определение 8 (см. [2]). Скажем, что функция $\alpha :\;{{Q}^{{[{\mathbf{N}}]}}} \to \mathbb{R}$ является $v$-интегрируемой, если предел обобщенной последовательности ${{\{ S_{v}^{\alpha }(\eta ,\tau )\} }_{{H(Q)}}}$ существует, конечен и не зависит от выбора систем ${{\tau }_{\eta }},{\kern 1pt} \eta \in H(Q).$ Этот предел обозначим $\int \,\alpha {\kern 1pt} dv$ и назовем $v$-интегралом функции $\alpha $.

Замечание 6. В ряде случаев (например, для регулярных игр, см. [14]) $v$-интегрирование редуцируется к вычислению интеграла функции $\alpha $ по “обычной мере”: $\int \,\alpha {\kern 1pt} dv = \int \,\alpha {\kern 1pt} d{{\mu }_{v}}$, где ${{\mu }_{v}}$ – счетно-аддитивная функция множества, восстанавливаемая по регулярной игре $v$ на основании соотношений ${{\mu }_{v}}({{e}^{{[N]}}}) = v(e),{\kern 1pt} $ $e \in \Sigma $ (подробности см. в [5], [10]).

К числу $v$-интегрируемых функций относятся различные композиции измеримых и непрерывных функций, подчиненные некоторым требованиям согласованности. Приведем один из вариантов такой композиции. Пусть функция $f:Q \to \mathbb{R}$ такова, что $\left\| f \right\| = \sup \{ {\kern 1pt} {\text{|}}f(t){\kern 1pt} {\text{|}}\,{\text{|}}\,t \in Q\} < \infty $, а $\phi $ – симметричная вещественнозначная функция, определенная на $n$-мерном кубе ${{\left[ { - \left\| f \right\|,\left\| f \right\|} \right]}^{n}}$. Композицией $f$ и $\phi $ будем называть функцию $f * \phi :{{Q}^{{[{\mathbf{N}}]}}} \to \mathbb{R}$, задаваемую формулой

где ${{Q}^{{(n)}}} = \{ \tau \subseteq Q\,{\text{|}}\,{\text{|}}\tau {\kern 1pt} {\text{|}} = n\} $. Формулируемые ниже леммы дают простые условия $v$-интегрируемости композиций $f * \phi $, которые используются при проверке корректности определения функционала Шепли.

Лемма 1 (см. [2]). Пусть $f$ – произвольная $\Sigma $-измеримая функция из $B$, а $\phi $ – непрерывная симметричная функция, заданная на $n$-мерном кубе ${{\left[ { - \left\| f \right\|,\left\| f \right\|} \right]}^{n}}$. Тогда их композиция $f * \phi $ является $v$-интегрируемой для любой функции $v \in pV$.

Прежде чем зафиксировать тот факт, что функционал $Sh$ корректно определен, приведем другую формулу для частных сумм ${{S}_{v}}(f,\eta ,{{\tau }_{\eta }})$, задаваемых соотношениями (2.2). Такая формула, отражающая связь между значениями $Sh(v,f)$ и $v$-интегралами усредняющих продолжений $f$ на ${{Q}^{{[{\mathbf{N}}]}}}$ дается следующей леммой (ниже $\tau _{\eta }^{\omega }: = \{ {{t}_{i}} \in {{\tau }_{\eta }}\,{\text{|}}\,i \in \omega \} $).

Лемма 2 (см. [2]). Для всех $v \in V$ и $f \in B$ справедлива формула

гдеЛеммы 1, 2 доказывают корректность определения функционала $Sh.$

Теорема 2 (см. [2]). Функционал Шепли корректно определен для всех $v \in pV$ и $f \in B$. При этом справедлива формула

Как вытекает из формулы (2.4) для частных сумм ${{S}_{{v}}}(f,\eta ,{{\tau }_{\eta }}),$ функционал Шепли линеен по каждому аргументу. Укажем некоторые дополнительные свойства этого функционала, обеспечивающие возможность построения на его основе искомого оператора $\Phi _{*}^{{}}:pV \to {{V}^{1}}$, удовлетворяющего условиям А1–А3.

Теорема 3 (см. [2]). Билинейный функционал $Sh:pV \times B \to \mathbb{R}$, задаваемый формулой $(2.3)$, непрерывен на произведении пространств $(pV,{{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}})$ и $(B,\left\| {\, \cdot \,} \right\|)$. Он удовлетворяет следующим условиям:

Sh1. $ Sh(v,f) \geqslant 0,$ $v \in p{{V}_{ + }} = pV \cap {{V}_{ + }},{\kern 1pt} $ $f \in {{B}_{ + }}$;

Sh2. $ Sh(v,{{\chi }_{R}}) = v(Q)$, $v \in pV,$ $R \in \operatorname{Supp} {v}$;

Sh3. $ Sh(\theta \circ v,f) = Sh(v,{{\theta }^{{ - 1}}} \circ f),$ $v \in pV,{\kern 1pt} $ $\theta \in T,$ $f \in B$;

Sh4. $ {\text{|}}Sh(v,f){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \left\| f \right\| \cdot {{\left\| v \right\|}_{0}},$ $v \in pV,{\kern 1pt} $ $f \in B$

(здесь и далее $\theta \circ f(t): = f(\theta (t)),$ $t \in Q$).

2.3. Функционал Шепли и оператор $\Phi _{*}^{{}}$

Рассмотрим теперь отображение $\Phi _{*}^{{}}:pV \to \mathcal{V}$, определяемое формулой

где $S({v})$ – функция множества, представляющая собой сужение линейного функционала $Sh({v}, \cdot )$ на семейство всех индикаторных функций множеств из $\Sigma $. Так как функционал $Sh$ непрерывен и билинеен, то $\Phi _{*}^{{}}$ – линейный оператор на $pV$; при этом для каждого ${v} \in pV$ функция множества $S({v})$ – аддитивная мера ограниченной вариации на измеримом пространстве $(Q,\Sigma )$. Опираясь на теорему 3, можно установить, что линейный оператор ${{\Phi }_{*}}$ удовлетворяет всем требованиям определения 6. Действительно, свойства А1, А2 и соотношения Sh1, Sh2 теоремы 3 идентичны. Что касается А3 (перестановочность $\Phi _{*}^{{}}$ с автоморфизмами $\theta \in T$), то это свойство вытекает из цепочки равенств

Подводя итоги и учитывая теоремы единственности для подпространств $fV$ и $p{v}NA = b{v}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} NA \cap pV$, вытекающие из соответствующих результатов [1] и [3], сформулируем вышесказанное в виде следующей теоремы.

Теорема 4 (см. [2], [12]). Оператор $\Phi _{*}^{{}}$, определенный на пространстве $pV$ формулой $(2.6)$, удовлетворяет всем условиям А1–А3. Более того, если $Q = [0,1]$, а $\Sigma = \mathcal{B}$, то каждый линейный оператор $\Phi :pV \to {{V}^{1}}$, для которого выполняются условия А1–А3, совпадает с $\Phi _{*}^{{}}$ на подпространствах $fV$ и $p{v}NA.$

3.1. Полярная форма однородной кооперативой игры

Приведем некоторые понятия, необходимые для построения интересующего нас представления оператора $\Phi _{*}^{{}}$. Прежде всего напомним, что функция $\psi :{{\Sigma }^{n}} \to \mathbb{R}$ называется симметричной полиаддитивной функцией множества, если она аддитивна по каждому аргументу и, кроме того, для любых ${{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{n}} \in \Sigma $ и $\pi \in {{\Pi }_{n}}$ выполняется равенство

где, как и ранее, ${{\Pi }_{n}}$ – совокупность всех перестановок множества $\{ 1,2, \ldots ,n\} $. Выпуклый конус всех неотрицательных симметричных полиаддитивных функций $\psi :{{\Sigma }^{n}} \to {{\mathbb{R}}_{ + }}$ обозначим через $\Psi _{ + }^{n}$, а векторное пространство, состоящее из функций, представимых в виде разности двух элементов из $\Psi _{ + }^{n}$ – через ${{\Psi }^{n}}$. Выделим класс полиаддитивных функций $\psi \in {{\Psi }^{n}}$, аналогичных однородным функциям множества из ${{V}^{{(n)}}}$. С этой целью каждому разбиению сопоставим совокупность $\Pi _{n}^{\eta }$ всех упорядоченных $n$-элементных подмножеств множества $\Omega (\eta )$. Зафиксируем $\psi \in \Psi _{ + }^{n}$ и определим обобщенную последовательность ${{\{ {{\psi }_{\eta }}\} }_{{\eta \in {{H}_{n}}(Q)}}}$, где Учитывая неотрицательность и полиаддитивность $\psi $, нетрудно убедиться, что последовательность ${{\{ {{\psi }_{\eta }}\} }_{{\eta \in {{H}_{n}}(Q)}}}$ является монотонно возрастающей: Следовательно, для каждой функции $\psi \in \Psi _{ + }^{n}$ существует предел Обозначим $\Psi _{ + }^{{(n)}}$ совокупность функций из $\Psi _{ + }^{n}$, для которых выполняется условие и положим ${{\Psi }^{{(n)}}} = \Psi _{ + }^{{(n)}} - \Psi _{ + }^{{(n)}}$.

Определение 9 (см. [2]). Элементы векторного пространства ${{\Psi }^{{(n)}}}$ будем называть однородными полиаддитивными функциями множества.

В приведенных обозначениях одно из главных понятий работы – понятие полярной формы однородной игры ${v}$ – принимает следующий вид.

Определение 10 (см. [2]). Функция ${{\psi }_{{v}}} \in {{\Psi }^{{(n)}}}$ называется полярной формой игры ${v} \in {{V}^{{(n)}}}$, если выполняется соотношение

Другими словами, полиаддитивная функция ${{\psi }_{{v}}} \in {{\Psi }^{{(n)}}}$ – полярная форма игры ${v} \in {{V}^{{(n)}}}$, если ее диагонализация (сужение ${{\psi }_{{v}}}$ на диагональ рассматриваемое как функция одного аргумента) совпадает с ${v}$.

Формулируемый ниже результат работы [2] показывает, что для любой однородной игры ${v} \in {{V}^{{(n)}}}$ полярная форма ${{\psi }_{{v}}}$ существует и единственна; кроме того, для каждого $n \geqslant 1$ отображение ${v} \mapsto {{\psi }_{{v}}}$ является линейным изоморфизмом векторных решеток ${{V}^{{(n)}}}$ и ${{\Psi }^{{(n)}}}$, наделенных конусами $V_{ + }^{{(n)}}$ и $\Psi _{ + }^{{(n)}}$ соответственно.

Теорема 5 (см. [2]). Для каждого $n \geqslant 1$ существует единственный линейный изоморфизм ${{L}_{{(n)}}}:{{V}^{{(n)}}} \to {{\Psi }^{{(n)}}}$ такой, что

L1. ${{L}_{{(n)}}}({v})(e, \ldots ,e) = {v}(e)$, $e \in \Sigma $;

L2. ${{L}_{{(n)}}}(\theta \circ {v}) = \theta \circ {{L}_{{(n)}}}({v})$, $\theta \in \mathcal{T}$;

L3. ${{L}_{{(n)}}}(V_{ + }^{{(n)}}) = \Psi _{ + }^{{(n)}}$,

где $\theta \circ \psi ({{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{n}}) = \psi (\theta ({{e}_{1}}), \ldots ,\theta ({{e}_{n}}))$ для всех ${{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{n}} \in \Sigma $ и $\theta \in \mathcal{T}$.

Ясно, что условие L1 есть в точности требование (3.1), предъявляемое к полярной форме ${{\psi }_{{v}}}$ игры ${v} \in {{V}^{{(n)}}}$. В качестве следствия теоремы 5 получаем следующую характеризацию однородных функций из $V$, уточняющую соответствующий результат из [13].

Следствие 1 (см. [2]). Функция ${v}$ принадлежит ${{V}^{{(n)}}}$ тогда и только тогда, когда она является диагонализацией некоторой функции $\psi $ из ${{\Psi }^{{(n)}}}$.

Приведем один из основных результатов работы, устанавливающий связь между полярными формами однородных игр и линейным оператором $\Phi _{*}^{{}}$.

Теорема 6 (см. [2]). Для каждого $n \geqslant 1$ и ${v} \in {{V}^{{(n)}}}$ выполняется соотношение

где ${{\psi }_{v}}$ – полярная форма игры ${v}$.

3.2. Вектор Шепли однородных неатомических игр

Рассматриваемые далее игры представляют собой линейные комбинации функций вида ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,\mu _{i}^{{{{\alpha }_{i}}}}$, где ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}}$ – произвольные конечные неотрицательные неатомические меры, определенные на борелевской $\sigma $-алгебре $\mathcal{B}$ единичного отрезка $[0,1],$ а ${{\alpha }_{i}}$ – произвольные натуральные числа. Используя приводимую ниже формулу для полиномиальных разностей произведения ${{{v}}_{1}} \cdot {{{v}}_{2}}$ функций ${{{v}}_{1}},{{{v}}_{2}} \in V$:

получаемую индукцией на основании равенств (1.1)–(1.3), легко проверить справедливость неравенства Более того, если ${{{v}}_{i}} \in {{V}^{{{{n}_{i}}}}}$ $(i = 1,2)$, то, в силу (3.3), имеем $w({{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{{n + 1}}}) = 0$ для любого разбиения $\{ {{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{{n + 1}}}\} \in H,$ где $w = {{{v}}_{1}} \cdot {{{v}}_{2}},{\kern 1pt} $ $n = {{n}_{1}} + {{n}_{2}}$. Следовательно (с учетом (3.3) и (3.4)), справедлива импликация Поэтому индукцией по $n$ нетрудно убедиться, что интересующие нас функции ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,\mu _{i}^{{{{\alpha }_{i}}}}$ принадлежат ${{V}^{{{{\alpha }_{1}} + \ldots + {{\alpha }_{n}}}}}$. Отметим, что аналог соотношения (3.5) для однородных функций множества справедлив (в общем случае) лишь при некоторых дополнительных условиях, касающихся функций ${{{v}}_{i}} \in {{V}^{{({{n}_{i}})}}}$. Например, при наличии непересекающихся носителей функций ${{{v}}_{i}}$ использование формулы (3.3) и предложения 4 дает следующее уточнение соотношения (3.5): Подчеркнем, что для однородных вполне положительных функций ${{{v}}_{1}},\;{{{v}}_{2}}$ с конечными носителями ${{R}_{1}},\;{{R}_{2}}$ требование дизъюнктности последних, аналогичное тому, что фигурирует в соотношении (3.6), является и необходимым условием однородности произведения ${{{v}}_{1}} \cdot {{{v}}_{2}}$.

Оказывается, что для функций вида ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,\mu _{i}^{{{{\alpha }_{i}}}}$ с неатомическими счетно-аддитивными сомножителями ${{\mu }_{i}}$ однородность имеет место без каких-либо дополнительных предположений. Приведем некоторые приложения теоремы 6 о полярном представлении вектора Шепли для однородных полиномиальных игр к вычислению этого вектора для полиномиальных игр, порожденных неатомическими мерами. Обозначим через $cV_{ + }^{1} = cV_{ + }^{1}(\mathcal{B})$ семейство неотрицательных конечных счетно аддитивных функций множества, заданных на борелевской $\sigma $-алгебре $\mathcal{B}$ единичного интервала $[0,1]$. Применяя известную теорему Ляпунова о выпуклости множества значений векторзначной неатомической меры (см. [17]), можно убедиться в справедливости следующей леммы, описывающей широкий класс бесконечных однородных полиномиальных игр.

Лемма 3 (см. [2]). Если вероятностные меры ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}} \in cV_{ + }^{1}(\mathcal{B})$ неатомические, то функция ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}$ является вполне положительной и однородной порядка $n.$

Доказательство. Полиномиальность порядка $n$ и вполне положительность функции ${v}$ вытекают из неотрицательности и аддитивности функций ${{\mu }_{i}}$ и тождества (3.3). Остается убедиться лишь в том, что для ${v}$ выполняется критерий однородности $({{H}_{ + }})$. С этой целью рассмотрим векторзначную меру $\mu = ({{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}})$. На основании теоремы А.А. Ляпунова из [17] о выпуклости области значений неатомической векторзначной меры имеем: множество $\mu (\Sigma ) = \{ ({{\mu }_{1}}(e), \ldots ,{{\mu }_{n}}(e))\,{\text{|}}\,e \in \Sigma \} $ выпуклое. Поэтому для любого $k \geqslant 1$ найдутся ${{Q}_{1}}, \ldots ,{{Q}_{k}} \in \mathcal{B}$ такие, что ${{Q}_{1}} \subseteq {{Q}_{2}} \subseteq \ldots \subseteq {{Q}_{k}} = Q$, и при этом ${{\mu }_{i}}({{Q}_{j}}) = j{\text{/}}k$ для всех $i = 1,2, \ldots ,n$ и $j = 1,2, \ldots ,k.$ Рассмотрим разбиение ${{\xi }_{k}} = \{ {{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{k}}\} \in H(Q),$ определенное соотношениями

Ясно, что ${{\mu }_{i}}({{f}_{j}}) = 1{\text{/}}k$ для всех $i = 1,2, \ldots ,n$ и $j = 1,2, \ldots ,k$. Используя эти равенства и формулы (ниже $\Pi _{n}^{m}$ – совокупность всех отображений $\pi :\{ 1,2, \ldots ,n\} \to \{ 1,2, \ldots ,m\} $ таких, что π({1, 2, ..., n}) = $ = \{ 1,2, \ldots ,m\} $) (полученные применением соотношений (1.3) и индукции по $m$), оценим величину ${v}[{{\xi }_{k}}] = \sum\nolimits_{m = 1}^{n - 1} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sum\nolimits_{\omega \in \Omega _{\xi }^{{(m)}}} \,{v}(\xi _{k}^{\omega })$ при $k \geqslant n$ (здесь, как и ранее, $\Omega _{\xi }^{{(m)}} = \{ \omega \subseteq \Omega (\xi )\,{\text{|}}\,{\text{|}}\omega {\kern 1pt} {\text{|}} = m\} $). Эта оценка имеет вид Учитывая, что $k! \leqslant (k - m)!{{k}^{m}},$ имеем $C_{k}^{m}{\text{/}}{{k}^{n}} \leqslant 1{\text{/}}{{k}^{{n - m}}}$ для всех $m = 1,2, \ldots ,n - 1.$ Отсюда, принимая во внимание, что величины ${\text{|}}\Pi _{n}^{m}{\kern 1pt} {\text{|}}$ не зависят от $k,$ получаем следующую модификацию оценки (3.8): где положительные константы ${{a}_{m}}$ не зависят от $k$. Учитывая соотношения (1.2), нетрудно убедиться, что последовательность ${{\left\{ {\sum\nolimits_{m = 1}^{n - 1} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sum\nolimits_{\omega \in \Omega _{\eta }^{{(m)}}} u({{\eta }^{\omega }})} \right\}}_{{H(Q)}}}$ является монотонно убывающей для любой вполне положительной функции $u.$ Следовательно, ввиду равенства ${{\lim }_{{k \to \infty }}}{v}[{{\xi }_{k}}] = 0$, вытекающего из полученной модификации оценки (3.8), имеем требуемое: функция ${v}$ удовлетворяет условию $({{H}_{ + }})$. Лемма 3 доказана.

Использование леммы 3 и теоремы 6 позволяет предложить более конструктивный, по сравнению с [3], способ вычисления вектора Шепли для игр вида $u = f \circ \mu $, где $f$ – полиномиальная функция $n$ вещественных переменных, а $\mu = ({{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}})$ – неатомическая векторзначная мера. Эффективность предлагаемого способа базируется на достаточно простом строении полярных форм указанных игр.

Лемма 4 (см. [2]). Если меры ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}}$ удовлетворяют условиям леммы $3$, то полярная форма ${{\psi }_{{v}}}$ функции ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}$ имеет вид

где ${{\Pi }_{n}} = \Pi _{n}^{n}$ – совокупность перестановок множества $\{ 1,2, \ldots ,n\} .$

Доказательство. Соотношение ${v}(e) = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}(e) = {{\psi }_{v}}(e, \ldots ,e)$, $e \in \Sigma $, как и полиаддитивность и симметричность функции ${{\psi }_{{v}}}$, определенной формулой (3.9), следуют непосредственно из ее построения. Для проверки включения ${{\psi }_{{v}}} \in {{\Psi }^{{(n)}}}$ зафиксируем какое-нибудь разбиение $\eta = \{ {{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{r}}\} \in H(Q)$ ($r \geqslant n$) и, используя формулу (3.7) и симметричность рассматриваемой функции ${{\psi }_{{v}}}$, выразим значения этой функции на цилиндрических множествах ${{e}_{{{{i}_{1}}}}} \times \cdots \times {{e}_{{{{i}_{n}}}}}$ через полиномиальные разности функции ${v}$$.$ Соответствующие выражения имеют вид

для каждого $n$-элементного подмножества $\omega = \{ {{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}\} \subseteq \Omega (\eta )$. Отсюда, обозначая, как и ранее, через $\Pi _{n}^{\eta }$ совокупность упорядоченных $n$-элементных подмножеств множества $\Omega (\eta )$, получаем: величина ${{({{\psi }_{{v}}})}_{\eta }}: = \sum\nolimits_{({{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}) \in \Pi _{n}^{\eta }} {{\psi }_{{v}}}({{e}_{{{{i}_{1}}}}}, \ldots ,{{e}_{{{{i}_{n}}}}})$ равна сумме $\sum\nolimits_{\omega \in \Omega _{\eta }^{{(n)}}} \,{v}({{\eta }^{\omega }})$. Следовательно, на основании леммы 3 и критерия однородности $(H_{ + }^{*})$ (см. замечание 3) имеем ${{\lim }_{{\eta \in {{H}_{n}}(Q)}}}{{({{\psi }_{{v}}})}_{\eta }} = {v}(Q)$. Но тогда, в силу равенства ${v}(Q) = {{\psi }_{{v}}}(Q, \ldots ,Q)$, получаем ${{\lim }_{{\eta \in {{H}_{n}}(Q)}}}{{({{\psi }_{{v}}})}_{\eta }} = {{\psi }_{{v}}}(Q, \ldots ,Q),$ что и доказывает требуемое включение ${{\psi }_{{v}}} \in {{\Psi }^{{(n)}}}$. Лемма 4 доказана.

Приведем, наконец, несколько простых, но важных для общей теории вектора Шепли (см. [3]) результатов, являющихся прямым следствием лемм 3, 4 и теоремы 6 о представлении оператора $\Phi _{*}^{{}}$.

Предложение 5. Для любого набора неатомических мер ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}} \in cV_{ + }^{1}(\mathcal{B})$ справедлива формула

Доказательство. На основании леммы 3 функция ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}$ является однородной порядка $n$. Используя формулу (3.2) из теоремы 6 и формулу (3.9) для полярной формы игры ${v}$, установленную в лемме 4, получаем искомое:

Следствие 2. Пусть ${v} = f \circ \mu $, где $f$ – полиномиальная функция $n$ вещественных переменных такая, что $f(0) = 0$, а $\mu = ({{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}})$ – векторзначная неатомическая мера, заданная на σ-алгеб-ре $\mathcal{B}$. Тогда вектор Шепли игры ${v}$ является линейной комбинацией мер ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}}$. В частности, если ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}}$ – вероятностные неатомические меры, а $f({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}) = \sum\nolimits_{1 \leqslant |\alpha | \leqslant m} {\kern 1pt} {{c}_{\alpha }}{{x}^{\alpha }}$ (здесь α = $ = ({{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{n}})$ – мультииндексы, определяющие степени соответствующих мономов x^α = $ = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,x_{i}^{{{{\alpha }_{i}}}},$ а ${\text{|}}\alpha {\kern 1pt} {\text{|}}: = \sum\nolimits_{i = 1}^n \,{{\alpha }_{i}}$), то справедлива формула

Прямым следствием формулы (3.11) является довольно неожиданный результат.

Следствие 3. Пусть ${v} = \sum\nolimits_{i = 1}^n \,{{c}_{i}}{{\mu }^{i}}$, где $\mu $ – неатомическая вероятностная мера на борелевской $\sigma $-алгебре $\mathcal{B}$. Если $\sum\nolimits_{i = 1}^n \,{{c}_{i}} = 1$, то $\Phi _{*}^{{}}({v}) = \mu $.

3.3. О векторе Шепли конечных однородных игр

Подчеркнем, что условие неатомичности мер ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}}$ в лемме 3 имеет принципиальное значение. Справедливость импликаций вида

имеет место, вообще говоря, лишь при достаточно сильных дополнительных предположениях относительно аддитивных функций ${{\mu }_{i}},$ включающих некоторые условия дизъюнктности их дискретных составляющих. Вместе с тем в целом ряде случаев сами формулы вектора Шепли однородных игр вида $\prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}$ с аддитивными сомножителями ${{\mu }_{i}}$ вполне аналогичны соотношению (3.10). Не вдаваясь в технические детали, проиллюстрируем сказанное на примере игр из $V(Q)$ с конечным множеством игроков $Q = \{ 1,2, \ldots ,q\} $ и $\Sigma {{ = 2}^{Q}}: = \{ e\,{\text{|}}\,e \subseteq Q\} $. Для начала в терминах так называемых дивидендов Харшаньи дадим для таких игр более детальное описание некоторых величин и объектов, введенных в п. 1. Напомним (см. [4], [18]), что дивидендами Харшаньи ${{{v}}_{e}}$ коалиций $e \subseteq Q$ игры ${v} \in V(Q)$ называются соответствующие коэффициенты разложения функции ${v}$ по базису ${{\{ {{u}^{e}}\} }_{{e \in {{\sigma }_{0}}}}}$ пространства $V(Q),$ состоящему из игр единогласия ${{u}^{e}}.$ Последние для каждого $e \in {{\sigma }_{0}}$ определяются формулой (здесь, как обычно, ${{\sigma }_{0}} = \{ e \subseteq Q\,{\text{|}}\,e \ne \emptyset \} $). О полноте и независимости функций ${{u}^{e}}$ см. [1].

Нетрудно убедиться, что для пространства конечных игр $V(Q)$ выполняются следующие соотношения:

(как и ранее, символ ${\text{|}}e{\kern 1pt} {\text{|}}$ обозначает мощность множества $e$).

Замечание 7. Соотношение $pV(Q) = V(Q),$ показывающее, что все конечные игры являются полиномиальными, вытекает из того, что при ${\text{|}}Q{\kern 1pt} {\text{|}} = q$ все полиномиальные разности функции ${v} \in V(Q)$ порядка $m \geqslant q + 1$ равны нулю. Действительно, в рассматриваемой ситуации каждое разбиение $\eta \{ {{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{m}}\} $ порядка $m \geqslant q + 1$ содержит, по крайней мере, одно пустое множество ${{e}_{k}}.$ Но в этом случае, как нетрудно убедиться, из формулы $(1.1)$ вытекает равенство ${v}(\eta ) = 0$.

Что касается формулы вектора Шепли $\Phi ({v})$ конечной игры ${v} \in V(Q)$, то при использовании дивидендов Харшаньи ${{{v}}_{e}}$ она принимает достаточно простой вид

где ${{\sigma }_{i}} = \{ e \subseteq Q\,{\text{|}}\,i \in e\} ,$ $i \in Q$ (см., например, [1]). Уточнение указанной формулы в случае однородных игр на основании вышеприведенного описания пространств ${{V}^{{(m)}}}$ принимает форму Наконец, из (3.12) очевидным образом вытекает следующая простая формула вектора Шепли для конечных однородных игр (уже не требующая вычисления их дивидендов Харшаньи): (т.е. в случае однородности порядка $m$ игры ${v} \in V(Q)$ компоненты ее вектора Шепли, согласно (3.13), равны $m$-м долям соответствующих маргинальных вкладов ${v}(Q) - {v}(Q{{\backslash }}i)$ ее игроков в “большую” коалицию $Q$).

Легко проверить, что и описание порядка ${{ \geqslant }_{0}}$ на пространствах конечных однородных игр допускает существенное упрощение:

Замечание 8. Сравнивая выписанные выше соотношения с определениями и результатами, приведенными в разд. 1, 2, легко убедиться, что наиболее важные объекты и утверждения в общем случае имеют значительно более сложное описание, нежели для конечных игр (так обстоит дело, например, с общим определением однородности полиномиальной игры – определение 5). Главной причиной представляется отсутствие подходящего аналога дивидендов Харшаньи для общего случая игр с бесконечным числом участников. В конечном же случае следует отметить полезную роль указанных дивидендов и при анализе несимметричных аналогов вектора Шепли (см., например, [4], [18], [19]).

Используя приведенные описания конуса ${{V}_{ + }}(Q)$ и пространств ${{V}^{m}}(Q)$, ${{V}^{{(m)}}}(Q)$, покажем, что для конечных игр ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}$, где ${{\mu }_{i}} = ({{\mu }_{{ik}}}{{)}_{{k \in Q}}}$ – ненулевые аддитивные меры из $V_{ + }^{1}(Q)$, справедливо следующее утверждение.

Предложение 6. Конечная игра ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}$ является однородной порядка $n$ тогда и только тогда, когда носители мер ${{\mu }_{i}}$ попарно дизъюнктны:

где ${{Q}_{i}} = \{ k \in Q\,{\text{|}}\,{{\mu }_{{ik}}} \ne 0\} $ – (наименьший) носитель меры ${{\mu }_{i}},\;i = 1,2, \ldots ,n$.

Доказательство. Из формулы (3.3) сразу же вытекает, что игра ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}$ принадлежит пространству ${{V}^{n}}(Q).$ Значит, согласно вышеприведенному описанию пространств ${{V}^{n}}(Q)$, выполняются равенства ${{{v}}_{e}} = 0$ для всех коалиций $e$ c числом игроков, превышающим величину $n$. Для завершения проверки включения $\prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}} \in V_{ + }^{{(n)}}(Q)$ в случае попарной дизъюнктности носителей ${{Q}_{i}}$ остается убедиться, что в указанной ситуации ${{{v}}_{e}} = 0$ для любой коалиции $e$ такой, что ${\text{|}}e{\kern 1pt} {\text{|}} < n.$ Но при ${\text{|}}e{\kern 1pt} {\text{|}} < n$ коалиция $e,$ очевидным образом, не пересекается с одним из $n$ непустых попарно дизъюнктных носителей ${{Q}_{i}}.$ То же самое справедливо и для любой части этой коалиции. Отсюда, в силу определения дивиденда ${{{v}}_{e}}$, получаем искомое: ${{{v}}_{e}} = 0.$ Что касается обратной импликации

то здесь можно воспользоваться индукцией по $n$ и достаточно просто проверяемым фактом, что из условия $\prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}} \in V_{ + }^{{(n)}}(Q)$ вытекает справедливость включений $\prod\nolimits_{i \ne j}^n \,{{\mu }_{i}} \in V_{ + }^{{(n - 1)}}(Q),$ $j = 1,2, \ldots ,n$ (устанавливаемых рассуждениями от противного). Указанные включения на основании индукционного предположения и дают требуемое: ${{Q}_{i}} \cap {{Q}_{j}} = \emptyset $ для всех $i \ne j$. Предложение 6 доказано.

В заключение отметим, что формула для вектора Шепли конечной однородной игры $\prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}} \in V_{ + }^{{(n)}}(Q)$ вполне аналогична той, которая найдена для неатомических игр в случае бесконечного числа игроков (см. предложение 5 из п. 3.2). Именно, справедливо соотношение

Доказательство соотношения (3.14) при условии попарной дизъюнктности носителей ${{Q}_{i}},\;i = 1,2, \ldots ,n$, опирается на легко проверяемую в этом случае формулу для дивидендов Харшаньи функции ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}$: а также на вышеуказанную формулу (3.12) вектора Шепли однородной кооперативной игры из пространства $V(Q),$ использующую ее дивиденды Харшаньи.