Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 3, стр. 465-473

Неоднородная задача для квазистационарных уравнений сложного теплообмена c условиями отражения и преломления

А. Ю. Чеботарев^1, 2, *

¹ ИПМ ДВО РАН
690041 Владивосток, ул. Радио,7, Россия

² ДВФУ, Региональный научно-образовательный математический центр ДЦМИ
690922 Владивосток, о. Русский, п. Аякс, 10, Россия

^* E-mail: cheb@iam.dvo.ru

Поступила в редакцию 10.03.2022
После доработки 16.09.2022
Принята к публикации 14.11.2022

EDN: EBJTPO
DOI: 10.31857/S0044466923030055

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается неоднородная начально-краевая задача для нелинейной параболико-эллиптической системы, моделирующей радиационный теплообмен с френелевскими условиями сопряжения на поверхностях разрыва коэффициента преломления. Доказана нелокальная по времени однозначная разрешимость задачи. Библ. 24.

Ключевые слова: квазистационарные уравнения радиационного теплообмена, френелевские условия сопряжения, неоднородная начально-краевая задача, нелокальная разрешимость.

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Теоретический анализ моделей радиационно-кондуктивного (сложного) теплообмена представляет интерес для различных приложений, включая, например, процессы лазерной абляции [1]. При изучении процессов сложного теплообмена в средах, компоненты которых имеют большую разницу в коэффициентах преломления, необходимо учитывать эффекты отражения и преломления на поверхностях разрыва коэффициента преломления, вносящие, как показано в [2], значительный вклад в распределение температурных полей. При этом будем предполагать, что область, в которой изучается процесс, окружена непрозрачным для излучения материалом, имеющим заданную температуру на границе области.

В [2], [3] представлен вывод стационарной модели сложного теплообмена в рамках ${{P}_{1}}$ приближения для многокомпонентной трехмерной области и доказана однозначная разрешимость однородной и неоднородной краевых задач. В работе [4] рассмотрена квазистационарная модель сложного теплообмена с френелевскими условиями сопряжения, не содержащая внутренних источников.

В данной статье рассматривается начально-краевая задача для уравнений радиационного теплообмена в многокомпонентной среде с внутренними источниками (объемными или поверхностными). Отметим, что анализ неоднородных начально-краевых задач важен для изучения обратных задач и задач оптимального управления сложным теплообменом.

Нелинейные уравнения, моделирующие сложный теплообмен в рамках ${{P}_{1}}$ приближения и без учета эффектов отражения и преломления на границах подобластей с различными коэффициентами преломления, изучены достаточно полно. Анализ краевых и обратных задач, задач оптимального управления представлен в [5–14]. Отметим также интересные работы [15–23], посвященные анализу полной модели радиационного теплообмена.

Рассмотрим ограниченную липшицеву область $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ , содержащую конечное число липшицевых подобластей ${{\Omega }_{j}}$, $j = 1, \ldots ,p$, замыкания которых не пересекаются и принадлежат $\Omega $. Через ${{\Omega }_{0}} = \Omega {{\backslash }}\left( {\bigcup\nolimits_{j = 1}^p {{{{\bar {\Omega }}}_{j}}} } \right)$ обозначаем внешнюю подобласть, $\Gamma = \partial \Omega \subset {{\Gamma }_{0}} = \partial {{\Omega }_{0}}$, ${{\Gamma }_{j}} = \partial {{\Omega }_{j}} \subset {{\Gamma }_{0}}$, $j = 1,...,p$.

Нестационарный сложный теплообмен в многокомпонентной среде моделируется в каждой из областей ${{\Omega }_{j}}$, $j = 0, \ldots ,p$, при $t \in (0,T)$ уравнениями

(1)

$r\frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} - a\Delta \theta + b({{\theta }^{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {\text{|}} - \varphi ) = f,\quad - {\kern 1pt} \alpha \Delta \varphi + \beta (\varphi - {{\theta }^{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} ) = g.$

Здесь $\theta $ – нормализованная температура и $\varphi $ – нормализованная интенсивность теплового излучения, усредненная по всем направлениям. Положительные кусочно-постоянные параметры $r$, $a$, $b$, $\alpha $ и $\beta $, описывающие свойства среды, определены в [2–4]. Функции $f,g$ описывают тепловые и радиационные источники.

На внешней границе $\Gamma = \partial \Omega $ заданы краевые условия (через ${{\partial }_{n}}$ обозначаем производную в направлении внешней нормали ${\mathbf{n}}$ к границе)

(2)

${{\left. {a{{\partial }_{n}}\theta + c(\theta - {{\theta }_{b}})} \right|}_{\Gamma }} = 0,\quad {{\left. {\alpha {{\partial }_{n}}\varphi + \gamma (\varphi - \theta _{b}^{4})} \right|}_{\Gamma }} = 0,$

где ${{\theta }_{b}}$ – заданная граничная температура, $c$ – коэффициент теплопередачи, $0 < \gamma \leqslant 1{\text{/}}2$ – параметр, зависящий от коэффициента излучения поверхности.

На внутренних границах ${{\Gamma }_{j}} = \partial {{\Omega }_{j}}$, $j = 1, \ldots ,p$, ставятся следующие условия сопряжения для температуры ${{\theta }_{j}} = \theta {{{\text{|}}}_{{{{\Omega }_{j}}}}}$ и интенсивности излучения ${{\varphi }_{j}} = {{\left. \varphi \right|}_{{{{\Omega }_{j}}}}}$, полученные в [2] (через ${{\partial }_{n}}$ также обозначаем производную по внешней нормали к $\partial {{\Omega }_{j}}$):

(3)

${{\theta }_{0}} = {{\theta }_{j}},\quad {{a}_{0}}{{\partial }_{n}}{{\theta }_{0}} = {{a}_{j}}{{\partial }_{n}}{{\theta }_{j}},$

(4)

$n_{0}^{2}{{\alpha }_{0}}{{\partial }_{n}}{{\varphi }_{0}} = n_{j}^{2}{{\alpha }_{j}}{{\partial }_{n}}{{\varphi }_{j}},\quad {{h}_{j}}({{\varphi }_{j}} - {{\varphi }_{0}}) = {{\alpha }_{0}}{{\partial }_{n}}{{\varphi }_{0}}.$

Здесь ${{a}_{j}},{{\alpha }_{j}},{{n}_{j}} = {{\left. {a,\alpha ,n} \right|}_{{{{\Omega }_{j}}}}}$, ${{h}_{j}} > 0$ – параметры, зависящие от коэффициентов отражения на внутренних границах. Отметим, что вывод условий (4) основан на френелевских условиях сопряжения на ${{\Gamma }_{j}}$ для интенсивности излучения $I$, не усредненной по направлениям, использовании ${{P}_{1}}$ приближения для $I$ и интегрировании указанных условий по направлениям входящих лучей для каждой подобласти.

Кроме этого задаются начальные условия для температуры,

(5)

${{\left. \theta \right|}_{{t = 0}}} = {{\theta }_{0}}.$

Начально-краевая задача (1)–(5), где $f = 0,$ $g = 0$ и граничная температура ${{\theta }_{b}}$ является ограниченной, рассмотрена в [4]. Изучение уравнений сложного теплообмена с источниками, которые моделируются функционалами или интегрируемыми функциями, представляет не только теоретический интерес. Представленные в настоящей статье оценки решений неоднородной начально-краевой задачи предназначены для анализа задач оптимального управления и обратных задач сложного теплообмена. Отметим, что для неоднородной задачи потребовалась техника получения оценок решения, отличная от использованной в [4].

Основной результат работы состоит в получении новых априорных оценок решения начально-краевой задачи (1)–(5) и доказательстве нелокальной по времени разрешимости задачи.

2. ФОРМАЛИЗАЦИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Через ${{L}^{s}}$, $1 \leqslant s \leqslant \infty $, обозначаем пространства Лебега $s$ – интегрируемых функций и, соответственно, через ${{H}^{s}} = W_{2}^{s}$ – пространства Соболева. Пусть $H = {{L}^{2}}(\Omega )$, $V = {{H}^{1}}(\Omega )$ и

$W = \{ w \in H,\;{{w}_{j}} = {{\left. w \right|}_{{{{\Omega }_{j}}}}} \in {{H}^{1}}({{\Omega }_{j}}),\;j = 0,...,p\} .$

Пространство $H$ будем отождествлять с сопряженным пространством $H{\kern 1pt} '$. Тогда $V \subset W \subset H = H{\kern 1pt} ' \subset W{\kern 1pt} ' \subset V{\kern 1pt} '$. Далее будем использовать следующие обозначения: $(f,v)$ – значение функционала $f \in V{\kern 1pt} '$ на элементе $v \in V$ и скалярное произведение в $H$, если $f,v \in H;$

${{\left\| v \right\|}^{2}} = (v,v);\quad {{(v,w)}_{j}} = (v,w{{)}_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{j}})}}},\quad \left\| v \right\|_{j}^{2} = (v,v{{)}_{j}};\quad {{(v,w)}_{W}} = \sum\limits_{j = 0}^p \,{{(v,w)}_{{{{H}^{1}}({{\Omega }_{j}})}}}.$

Через ${{L}^{p}}(0,T;X)$ (соотв. $C([0,T],X)$) обозначаем пространство строго измеримых функций класса ${{L}^{p}}$ (соотв. непрерывных), определенных на $[0,T]$, со значениями в банаховом пространстве $X$.

Пусть исходные данные удовлетворяют следующим условиям.

(i) $c,\gamma \in {{L}^{\infty }}(\Gamma )$, $c \geqslant {{c}_{0}} > 0$, $\gamma \geqslant {{\gamma }_{0}} > 0$, ${{c}_{0}},{{\gamma }_{0}} = {\text{const}}$;

(ii) ${{\{ a,b,r,\alpha ,\beta ,n{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} \} }_{{{{\Omega }_{j}}}}} = \{ {{a}_{j}},{{b}_{j}},{{r}_{j}},{{\alpha }_{j}},{{\beta }_{j}},{{n}_{j}}\} > 0,$ $b = \sigma \beta {{n}^{2}},$ $\sigma = {\text{const}} > 0$;

(iii) $0 \leqslant {{\theta }_{b}} \in {{L}^{\infty }}(\Gamma \times (0,T));$ $f \in {{L}^{2}}(0,T;V{\kern 1pt} '),$ $g \in {{L}^{{5/4}}}(Q)$, $Q = \Omega \times (0,T).$

Определим операторы ${{A}_{1}}:V \to V{\kern 1pt} '$, ${{A}_{2}}:W \to W{\kern 1pt} '$ и функции ${{f}_{b}} \in {{L}^{2}}(0,T;V{\kern 1pt} ')$, ${{g}_{b}} \in {{L}^{2}}(0,T;W{\kern 1pt} ')$, используя следующие равенства, справедливые для $\theta ,\eta \in V$, $\varphi ,w \in W$:

$({{A}_{1}}\theta ,\eta ) = (a\nabla \theta ,\nabla \eta ) + \int\limits_\Gamma \,c\theta \eta d\Gamma ,$

$\frac{1}{\sigma }({{A}_{2}}\varphi ,w) = \sum\limits_{j = 0}^p \,{{\alpha }_{j}}n_{j}^{2}{{(\nabla \varphi ,\nabla w)}_{j}} + n_{0}^{2}\int\limits_\Gamma \,\gamma \varphi wd\Gamma + n_{0}^{2}{\kern 1pt} \sum\limits_{j = 1}^p \,{{h}_{j}}\int\limits_{{{\Gamma }_{j}}} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ({{\varphi }_{0}} - {{\varphi }_{j}})({{w}_{0}} - {{w}_{j}})d\Gamma ,$

$({{f}_{b}},\eta ) = \int\limits_\Gamma \,c{{\theta }_{b}}\eta d\Gamma ,\quad ({{g}_{b}},w) = \sigma n_{0}^{2}{\kern 1pt} \int\limits_\Gamma \,\gamma \theta _{b}^{4}wd\Gamma .$

Здесь $\{ {{\varphi }_{j}},{{w}_{j}}\} = \{ \varphi ,w\} {{{\text{|}}}_{{{{\Omega }_{j}}}}}$.

Скалярное произведение и норму в пространстве $V$ определим, используя оператор ${{A}_{1}}$, ${{(u,v)}_{V}} = ({{A}_{1}}u,v)$, $\left\| v \right\|_{V}^{2} = ({{A}_{1}}v,v)$. Такая норма эквивалентна стандартной норме пространства $V$. Будем также использовать неравенства непрерывности вложений $V \subset {{L}^{6}}(\Omega )$, $W \subset {{L}^{6}}(\Omega )$:

${{\left\| v \right\|}_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}} \leqslant {{K}_{1}}{{\left\| v \right\|}_{V}},\quad v \in V,\quad {{\left\| w \right\|}_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}} \leqslant {{K}_{2}}{{\left\| w \right\|}_{W}},\quad w \in W.$

Для возрастающей степенной функции используем обозначение ${{[s]}^{q}} = {\text{|}}s{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{q}}\operatorname{sign} s$, $q > 0$, $s \in \mathbb{R}$. Отметим, что $d{{[s]}^{q}}{\text{/}}dt = q{\text{|}}s{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{q - 1}}}$.

Пусть

$Y = \left\{ {y \in {{L}^{2}}(0,T;V) \cap {{L}^{5}}(0,T;{{L}^{5}}(\Omega )),\;ry{\kern 1pt} ' \in {{L}^{2}}(0,T;V{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ) + {{L}^{{5/4}}}(0,T;{{L}^{{5/4}}}(\Omega ))} \right\}.$

Здесь $ry{\kern 1pt} ' = d(ry){\text{/}}dt$.

Отметим, что справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть $y \in Y$. Тогда функция $y$ равна почти всюду некоторой непрерывной функции из $[0,T]$ в $H$ и в смысле скалярных распределений на $(0,T)$ имеет место равенство

(6)

$\frac{d}{{dt}}(ry,y) = 2(ry{\kern 1pt} ',y).$

Данная лемма является слегка модифицированной версией классического утверждения [24, лемма 1.2, с. 209] и доказана в конце статьи.

Для вывода слабой формулировки краевой задачи (1)–(4) умножим уравнения (1) на тестовые функции $\eta \in V$ и $\sigma {{n}^{2}}\psi \in W$ соответственно, проинтегрируем по частям по областям ${{\Omega }_{j}}$, сложим полученные равенства и применим краевые условия (2) и условия сопряжения (3), (4). В результате получаем следующую формулировку.

Определение. Пара $\{ \theta ,\varphi \} \in Y \times {{L}^{{5/4}}}(0,T;W)$ называется слабым решением задачи (1)–(5), если

(7)

$r\theta {\kern 1pt} '\; + {{A}_{1}}\theta + b([\theta {{]}^{4}} - \varphi ) = {{f}_{b}} + f,\quad {{A}_{2}}\varphi + b(\varphi - {{[\theta ]}^{4}}) = {{g}_{b}} + \sigma {{n}^{2}}g,\quad t \in (0,T)$

и при этом $\theta (0) = {{\theta }_{0}}.$

Заметим, что билинейная форма $\{ \varphi ,\psi \} \to ({{A}_{2}}\varphi + b\varphi ,\psi )$ является непрерывной, симметричной и положительно-определенной в пространстве $W.$ Поэтому из леммы Лакса-Мильграма следует, что для каждого $\eta \in W{\kern 1pt} '$ существует единственное решение $\varphi \in W$ уравнения ${{A}_{2}}\varphi + b\varphi = \eta $ и оператор ${{({{A}_{2}} + bI)}^{{ - 1}}}:W{\kern 1pt} ' \to W$ непрерывен. Таким образом, пара $\{ \theta ,\varphi \} \in Y \times {{L}^{{5/4}}}(0,T;W)$ является решением задачи (7), если и только если функция $\theta $ является решением следующей задачи Коши для уравнения с операторными коэффициентами

(8)

$r\theta {\kern 1pt} '\; + {{A}_{1}}\theta + b([\theta {{]}^{4}} - \varphi ) = {{f}_{b}} + f,\quad \theta (0) = {{\theta }_{0}},\quad {\text{где}}\quad \varphi = ({{A}_{2}} + bI{{)}^{{ - 1}}}({{g}_{b}} + \sigma {{n}^{2}}g + b{{[\theta ]}^{4}}).$

3. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ

Определим галёркинские приближения ${{\theta }_{m}}$ решения задачи (8) и выведем необходимые для доказательства разрешимости априорные оценки. В пространстве $V$ рассмотрим ортонормированный в $H$ базис ${{w}_{1}},{{w}_{2}}, \ldots .$ Пусть

(9)

$\begin{gathered} {{\theta }_{k}}(t) \in {{V}_{k}} = \operatorname{span} \{ {{w}_{1}},{{w}_{2}},...,{{w}_{k}}\} ,\quad t \in (0,T), \\ \left( {r\theta _{k}^{'} + {{A}_{1}}{{\theta }_{k}} + b([{{\theta }_{k}}{{]}^{4}} - {{\varphi }_{k}}) - {{f}_{b}} - f,v} \right) = 0\quad \forall v \in {{V}_{k}}, \\ {{\theta }_{k}}(0) = {{\theta }_{{0k}}}. \\ \end{gathered} $

Здесь ${{\varphi }_{k}} = ({{A}_{2}} + bI{{)}^{{ - 1}}}({{g}_{b}} + \sigma {{n}^{2}}g + b{{[{{\theta }_{k}}]}^{4}}),$ ${{\theta }_{{0k}}}$ – ортогональная проекция в $H$ функции ${{\theta }_{0}}$ на подпространство ${{V}_{k}}.$

Задача Коши для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (9) разрешима на малом временном интервале $(0,{{T}_{k}})$. Оценки, полученные ниже, позволяют продолжить решение на $(0,T).$

3.1. Априорные оценки галёркинских приближений

Функция ${{\varphi }_{k}}$ удовлетворяет равенству

(10)

${{A}_{2}}{{\varphi }_{k}} + b({{\varphi }_{k}} - {{[{{\theta }_{k}}]}^{4}}) = {{g}_{b}} + \sigma {{n}^{2}}g.$

Пусть ${{\mu }_{\varepsilon }}(s) = s - \varepsilon \operatorname{sign} s$, если ${\text{|}}s{\kern 1pt} {\text{|}} > \varepsilon $ и ${{\mu }_{\varepsilon }}(s) = 0$, если ${\text{|}}s{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \varepsilon $; $\varepsilon > 0$. Тогда ${{\psi }_{\varepsilon }}(t) = {{\mu }_{\varepsilon }}([{{\varphi }_{k}}(t{{)]}^{{1/4}}})$ принадлежит пространству $W.$ Умножая скалярно (10) на ${{\psi }_{\varepsilon }}$, также как в [3], выводим после предельного перехода при $\varepsilon \to + 0$, что $\zeta (t) = [{{\varphi }_{k}}(t{{)]}^{{5/8}}} \in W$ и справедливо равенство

(11)

$E(\zeta ) + (b({{\varphi }_{k}} - {{[{{\theta }_{k}}]}^{4}}),[{{\varphi }_{k}}{{]}^{{1/4}}}) = \sigma n_{0}^{2}{\kern 1pt} \int\limits_\Gamma \,\gamma \theta _{b}^{4}{{[\zeta ]}^{{2/5}}}d\Gamma + (\sigma {{n}^{2}}g,[\zeta {{]}^{{2/5}}}).$

Здесь

$E(\zeta ) = \frac{{16\sigma }}{{25}}\sum\limits_{j = 0}^p \,{{\alpha }_{j}}n_{j}^{2}\left\| {\nabla \zeta } \right\|_{j}^{2} + \sigma n_{0}^{2}{\kern 1pt} \int\limits_\Gamma \,\gamma {{\zeta }^{2}}d\Gamma + \sigma n_{0}^{2}{\kern 1pt} \sum\limits_{j = 1}^p \,{{h}_{j}}{\kern 1pt} \int\limits_{{{\Gamma }_{j}}} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ([{{\zeta }_{0}}{{]}^{{8/5}}} - {{[{{\zeta }_{j}}]}^{{8/5}}})([{{\zeta }_{0}}{{]}^{{2/5}}} - {{[{{\zeta }_{j}}]}^{{2/5}}}){\kern 1pt} d\Gamma .$

Отметим сразу, что для квадратичной формы $E$ справедлива следующая оценка.

Лемма 2 (см. [3]). Существует $K > 0$ такое, что

$K{{\left\| w \right\|}^{2}} \leqslant E(w)\quad \forall w \in W.$

Полагая $v = {{\theta }_{k}}$ в (9) и складывая это равенство с (11), получаем

(12)

$\begin{gathered} \frac{1}{2}\frac{d}{{dt}}(r{{\theta }_{k}},{{\theta }_{k}})\; + \left\| {{{\theta }_{k}}} \right\|_{V}^{2} + E(\zeta ) + (b([{{\theta }_{k}}{{]}^{4}} - {{\varphi }_{k}}),{{\theta }_{k}} - {{[{{\varphi }_{k}}]}^{{1/4}}}) = \\ \, = ({{f}_{b}} + f,{{\theta }_{k}}) + \sigma n_{0}^{2}{\kern 1pt} \int\limits_\Gamma \,\gamma \theta _{b}^{4}{{[\zeta ]}^{{2/5}}}d\Gamma + (\sigma {{n}^{2}}g,[\zeta {{]}^{{2/5}}}). \\ \end{gathered} $

Воспользуемся следующими неравенствами для оценки правой части (12):

$({{f}_{b}} + f,{{\theta }_{k}}) \leqslant \frac{1}{2}\left\| {{{f}_{b}} + f} \right\|_{{V'}}^{2} + \frac{1}{2}\left\| {{{\theta }_{k}}} \right\|_{V}^{2},$

$\theta _{b}^{4}{{[\zeta ]}^{{2/5}}} \leqslant \frac{1}{5}({{\varepsilon }^{5}}{{\zeta }^{2}} + 4{{\varepsilon }^{{ - 5/4}}}{{\left| {{{\theta }_{b}}} \right|}^{5}}),\quad g{{[\zeta ]}^{{2/5}}} \leqslant \frac{1}{5}({{\varepsilon }^{5}}{{\zeta }^{2}} + 4{{\varepsilon }^{{ - 5/4}}}{\kern 1pt} {\text{|}}g{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{5/4}}}).$

Тогда при достаточно малом $\varepsilon > 0$ из (12), с учетом леммы 1, следует оценка

(13)

$\begin{gathered} \frac{d}{{dt}}(r{{\theta }_{k}},{{\theta }_{k}}) + \left\| {{{\theta }_{k}}} \right\|_{V}^{2} + K{{\left\| \zeta \right\|}^{2}} + (b([{{\theta }_{k}}{{]}^{4}} - {{\varphi }_{k}}),{{\theta }_{k}} - {{[{{\varphi }_{k}}]}^{{1/4}}}) + \\ + \;\frac{{16\sigma }}{{25}}\sum\limits_{j = 0}^p \,{{\alpha }_{j}}n_{j}^{2}\left\| {\nabla \zeta } \right\|_{j}^{2} \leqslant \left\| {{{f}_{b}} + f} \right\|_{{V{\kern 1pt} '}}^{2} + C\left( {\int\limits_\Gamma \,{\text{|}}{{\theta }_{b}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{5}}d\Gamma + \int\limits_\Omega \,{\text{|}}g{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{5/4}}}dx} \right). \\ \end{gathered} $

Здесь и далее через $C > 0$ обозначаем постоянные, не зависящие от $k.$

Проинтегрировав по времени неравенство (13), получаем оценки

(14)

$\left\| {{{\theta }_{k}}(t)} \right\| \leqslant C,\quad \int\limits_0^T \left\| {{{\theta }_{k}}(s)} \right\|_{V}^{2}ds \leqslant C,\quad \int\limits_0^T \left\| \zeta \right\|_{W}^{2}ds \leqslant C,\quad \int\limits_0^T \,([{{\theta }_{k}}{{]}^{4}} - {{\varphi }_{k}},{{\theta }_{k}} - {{[{{\varphi }_{k}}]}^{{1/4}}}){\kern 1pt} ds \leqslant C.$

Из последней оценки в (14) следует, что

$\int\limits_0^T \left( {\left\| {{{\theta }_{k}}} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{5} + \left\| {{{\varphi }_{k}}} \right\|_{{{{L}^{{5/4}}}(\Omega )}}^{{5/4}}} \right)ds \leqslant C + \int\limits_0^T \,([{{\theta }_{k}}{{]}^{4}},[{{\varphi }_{k}}{{]}^{{1/4}}}){\kern 1pt} ds + \int\limits_0^T \,({{\varphi }_{k}},{{\theta }_{k}})ds.$

Поскольку

$\left| {{{{[{{\theta }_{k}}]}}^{4}} \cdot {{{[{{\varphi }_{k}}]}}^{{1/4}}}} \right| = {\text{|}}{{\theta }_{k}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{4}}{\kern 1pt} {\text{|}}\zeta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{2/5}}} \leqslant \frac{{4{{\varepsilon }^{{5/4}}}}}{5}{\text{|}}{{\theta }_{k}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{5}} + \frac{1}{{5{{\varepsilon }^{5}}}}{\text{|}}\zeta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}},\quad {\text{|}}{{\varphi }_{k}}{{\theta }_{k}}{\kern 1pt} {\text{|}} = {\text{|}}{{\theta }_{k}}{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{|}}\zeta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{8/5}}} \leqslant \frac{{{{\varepsilon }^{5}}}}{5}{\text{|}}{{\theta }_{k}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{5}} + \frac{4}{{5{{\varepsilon }^{{5/4}}}}}{\text{|}}\zeta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}},$

то, выбрав $\varepsilon > 0$ достаточно малым, получаем

(15)

$\int\limits_0^T \left( {\left\| {{{\theta }_{k}}} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{5} + \left\| {{{\varphi }_{k}}} \right\|_{{{{L}^{{5/4}}}(\Omega )}}^{{5/4}}} \right)ds \leqslant C.$

Далее, используя неравенства вложения $V \subset {{L}^{6}}(\Omega )$, $W \subset {{L}^{6}}(\Omega )$, оценим нелинейность:

${{\left\| {{{{[{{\theta }_{k}}]}}^{4}}} \right\|}_{{V{\kern 1pt} '}}} \leqslant \mathop {\sup }\limits_{{{{\left\| {v} \right\|}}_{V}} = 1} {{\left\| {{{{[{{\theta }_{k}}]}}^{4}}} \right\|}_{{{{L}^{{6/5}}}(\Omega )}}}{{\left\| v \right\|}_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}} \leqslant {{K}_{1}}{{\left( {\int\limits_\Omega \,{\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{24/5}}}dx} \right)}^{{5/6}}}.$

Тогда

(16)

$\int\limits_0^T \left\| {{{{[{{\theta }_{k}}]}}^{4}}} \right\|_{{V'}}^{{5/4}}dt \leqslant K_{1}^{{5/4}}{\kern 1pt} \int\limits_0^T {{\left( {\int\limits_\Omega {\text{|}}{{\theta }_{k}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{24/5}}}dx} \right)}^{{25/24}}}dt \leqslant K_{1}^{{5/4}}{\kern 1pt} {\text{|}}\Omega {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/24}}}\int\limits_Q \,{\text{|}}{{\theta }_{k}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{5}}dxdt \leqslant C$

и, аналогично,

$\int\limits_0^T \left\| {{{{[{{\theta }_{k}}]}}^{4}}} \right\|_{{W'}}^{{5/4}}dt \leqslant K_{2}^{{5/4}}{\text{|}}\Omega {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/24}}}{\kern 1pt} \int\limits_Q \,{\text{|}}{{\theta }_{k}}{{{\text{|}}}^{5}}dxdt \leqslant C.$

Учтем, что ${{\varphi }_{k}} = ({{A}_{2}} + bI{{)}^{{ - 1}}}({{g}_{b}} + \sigma {{n}^{2}}g + b{{[{{\theta }_{k}}]}^{4}})$ и оператор ${{({{A}_{2}} + bI)}^{{ - 1}}}:W{\kern 1pt} ' \to W$ непрерывен. Следовательно, из полученной оценки вытекает, что

(17)

$\int\limits_0^T \left\| {{{\varphi }_{k}}} \right\|_{W}^{{5/4}}dt \leqslant C.$

Получим оценку равностепенной непрерывности последовательности ${{\theta }_{k}}$ в ${{L}^{2}}(0,T;H).$ Рассмотрим (9) в момент времени $s$, положим $v = {{\theta }_{k}}(s) - {{\theta }_{k}}(t)$ и проинтегрируем по $s$ от $t$ до $t + h$, затем по $t$ от $0$ до $T - h$. Тогда

(18)

$\frac{1}{2}\int\limits_0^{T - h} {\kern 1pt} (r({{\theta }_{k}}(t + h) - {{\theta }_{k}}(t),{{\theta }_{k}}(t + h) - {{\theta }_{k}}(t)){\kern 1pt} dt = \int\limits_0^{T - h} \,\int\limits_t^{t + h} {\kern 1pt} {{p}_{k}}(t,s){\kern 1pt} dsdt.$

Здесь

${{p}_{k}}(t,s) = ({{A}_{1}}{{\theta }_{k}}(s) + b([{{\theta }_{k}}(s{{)]}^{4}} - {{\varphi }_{k}}(s)) - {{f}_{b}}(s) - f(s),{{\theta }_{k}}(t) - \theta (s)).$

Воспользуемся неравенствами

$({{A}_{1}}{{\theta }_{k}}(s),{{\theta }_{k}}(t) - {{\theta }_{k}}(s)) \leqslant \frac{1}{2}\left\| {{{\theta }_{k}}(s)} \right\|_{V}^{2} + \frac{1}{2}\left\| {{{\theta }_{k}}(t)} \right\|_{V}^{2},$

$(b([{{\theta }_{k}}(s{{)]}^{4}},{{\theta }_{k}}(t) - {{\theta }_{k}}(s)) \leqslant \max b([{{\theta }_{k}}(s{{)]}^{4}},{{\theta }_{k}}(t) - {{\theta }_{k}}(s)) \leqslant \max b\left( {\frac{4}{5}\int\limits_\Omega \,{\text{|}}{{\theta }_{k}}(s){\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{5}}dx + \frac{1}{5}\int\limits_\Omega \,{\text{|}}{{\theta }_{k}}(t){\text{|}}{{{\kern 1pt} }^{5}}dx} \right),$

${\text{|}}{\kern 1pt} (b({{\varphi }_{k}}(s),{{\theta }_{k}}(t) - {{\theta }_{k}}(s)){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \max b\left( {\frac{8}{5}\int\limits_\Omega \,{\text{|}}{{\varphi }_{k}}(s){\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{5/4}}}dx + \frac{1}{5}\int\limits_\Omega \,{\text{|}}{{\theta }_{k}}(s){\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{5}}dx + \frac{1}{5}\int\limits_\Omega \,{\text{|}}{{\theta }_{k}}(t){\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{5}}dx} \right),$

${\text{|}}{\kern 1pt} ({{f}_{b}}(s) + f(s),{{\theta }_{k}}(t) - {{\theta }_{k}}(s)){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \left\| {{{f}_{b}}(s) + f(s)} \right\|_{{V{\kern 1pt} '}}^{2} + \frac{1}{2}\left\| {{{\theta }_{k}}(s)} \right\|_{V}^{2} + \frac{1}{2}\left\| {{{\theta }_{k}}(t)} \right\|_{V}^{2}.$

Эти неравенства позволяют оценить правую часть (18), причем для оценки интегралов от функций, зависящих от $s$, достаточно поменять порядок интегрирования. В результате получаем оценку

(19)

$\int\limits_0^{T - h} {{\left\| {{{\theta }_{k}}(t + h) - {{\theta }_{k}}(t)} \right\|}^{2}}dt \leqslant {{C}_{1}}h,$

где ${{C}_{1}} > 0$ не зависит от $k,\;h$.

Полученные оценки (14)–(19) позволяют утверждать, переходя при необходимости к подпоследовательностям, что существуют функции $\theta $, $\varphi $ такие, что

(20)

$\begin{gathered} {{\theta }_{k}} \to \theta \quad {\text{слабо}}\;{\text{в}}\;{{L}^{2}}(0,T;V),{{L}^{5}}(Q),\quad {\text{сильно}}\;{\text{в}}\;{{L}^{2}}(0,T;H), \\ {{\varphi }_{k}} \to \varphi \quad {\text{слабо}}\;{\text{в}}\;{{L}^{{5/4}}}(0,T;W),{{L}^{{5/4}}}(Q). \\ \end{gathered} $

Результатов о сходимости (20) достаточно для предельного перехода при $k \to \infty $ в системе (9) и доказательства того, что предельные функции $\{ \theta ,\varphi \} \in Y \times {{L}^{{5/4}}}(0,T;W)$ и выполняются равенства (8). При этом предельный переход в нелинейных членах гарантируется неравенством

$\left\| {{{\theta }_{k}} - \theta } \right\|_{{{{L}^{4}}(Q)}}^{4} \leqslant \left\| {{{\theta }_{k}} - \theta } \right\|_{{{{L}^{2}}(Q)}}^{{2/3}}\left\| {{{\theta }_{k}} - \theta } \right\|_{{{{L}^{5}}(Q)}}^{{10/3}}.$

Таким образом, получаем следующий результат.

Теорема 1. Пусть выполняются условия (i)–(iii). Тогда существует слабое решение задачи (1)–(5).

Замечание 1. Из определений пространств $Y$ и $W$ и вложений $Y \subset C([0,T];H)$, $W \subset {{L}^{{5/4}}}(\Omega )$ следует, что если $\{ \theta ,\varphi \} \in Y \times {{L}^{{5/4}}}(0,T;W)$ – слабое решение задачи (1)–(5), то $\theta \in C([0,T];H) \cap {{L}^{5}}(Q),$ $\varphi \in {{L}^{{5/4}}}(Q)$.

4. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ

Пусть $\{ {{\theta }_{{1,2}}},{{\varphi }_{{1,2}}}\} \in Y \cap {{L}^{5}}(Q) \times {{L}^{{5/4}}}(0,T;W) \cap {{L}^{{5/4}}}(Q)$ – слабые решения задачи (1)–(5), $\theta = {{\theta }_{1}} - {{\theta }_{2}}$, $\varphi = {{\varphi }_{1}} - {{\varphi }_{2}}$. Тогда справедливы равенства

$r\theta {\kern 1pt} '\; + {{A}_{1}}\theta + b([{{\theta }_{1}}{{]}^{4}} - {{[{{\theta }_{2}}]}^{4}}) = b\varphi ,\quad {{A}_{2}}\varphi + b\varphi = b([{{\theta }_{1}}{{]}^{4}} - {{[{{\theta }_{2}}]}^{4}}),\quad t \in (0,T),\quad \theta (0) = 0.$

Умножая скалярно первое уравнение на $\theta (t)$, второе на $\varphi (t)$ и учитывая неравенства

$([{{\theta }_{1}}{{]}^{4}} - {{[{{\theta }_{2}}]}^{4}})({{\theta }_{1}} - {{\theta }_{2}}) \geqslant 0,\quad \left| {{{{[{{\theta }_{1}}]}}^{4}} - {{{[{{\theta }_{2}}]}}^{4}}} \right| \leqslant 2({\kern 1pt} {\text{|}}{{\theta }_{1}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\; + \;{\text{|}}{{\theta }_{2}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}){\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {\text{|}},$

получаем оценки

(21)

$\frac{1}{2}\frac{d}{{dt}}(r\theta ,\theta ) + \left\| \theta \right\|_{V}^{2} \leqslant (b\varphi ,\theta ) \leqslant \max b{{\left\| \varphi \right\|}_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}}{{\left\| \theta \right\|}_{{{{L}^{{6/5}}}(\Omega )}}} \leqslant \max b{\kern 1pt} {\text{|}}\Omega {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/3}}}{{\left\| \varphi \right\|}_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}}\left\| \theta \right\|,$

(22)

$({{A}_{2}}\varphi ,\varphi ) + (b\varphi ,\varphi ) \leqslant 2\max b\int\limits_\Omega \,({\kern 1pt} {\text{|}}{{\theta }_{1}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\; + \;{\text{|}}{{\theta }_{2}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}){\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {\text{||}}\varphi {\kern 1pt} {\text{|}}dx.$

Левую часть (22) оценим снизу, используя непрерывность вложения $W \subset {{L}^{6}}(\Omega )$, а правую сверху, используя неравенство Гёльдера. Тогда

${{K}_{3}}\left\| \varphi \right\|_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}^{2} \leqslant 2\max b{{\left\| \varphi \right\|}_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}}\left( {{{{\left( {{\kern 1pt} \int\limits_\Omega \,{\text{|}}{{\theta }_{1}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{18/5}}}{\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{6/5}}}dx} \right)}}^{{5/6}}} + {{{\left( {{\kern 1pt} \int\limits_\Omega \,{\text{|}}{{\theta }_{2}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{18/5}}}{\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{6/5}}}dx} \right)}}^{{5/6}}}} \right).$

Здесь ${{K}_{3}} = \min \{ \alpha {{n}^{2}},b\} {\text{/}}{{K}_{2}}.$ Заметим, что

${{\left( {\int\limits_\Omega {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{|}}{{\theta }_{{1,2}}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{18/5}}}{\kern 1pt} {\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{6/5}}}dx} \right)}^{{5/6}}} \leqslant \left\| {{{\theta }_{{1,2}}}} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{3}\left\| \theta \right\|_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}^{{4/5}}{{\left\| \theta \right\|}^{{1/5}}}.$

Поэтому

${{K}_{3}}{{\left\| \varphi \right\|}_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}} \leqslant 2\max b\left( {\left\| {{{\theta }_{1}}} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{3} + \left\| {{{\theta }_{2}}} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{3}} \right)\left\| \theta \right\|_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}^{{4/5}}{{\left\| \theta \right\|}^{{1/5}}}.$

Подставляя полученное неравенство для $\varphi $ в правую часть (21), получаем

(23)

$\frac{1}{2}\frac{d}{{dt}}(r\theta ,\theta ) + \left\| \theta \right\|_{V}^{2} \leqslant {{K}_{4}}\left( {\left\| {{{\theta }_{1}}} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{3} + \left\| {{{\theta }_{2}}} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{3}} \right)\left\| \theta \right\|_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}^{{4/5}}{{\left\| \theta \right\|}^{{6/5}}}.$

Здесь ${{K}_{4}} = 2(\max b{{)}^{2}}{\kern 1pt} {\text{|}}\Omega {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/3}}}{\text{/}}{{K}_{3}}$. Правую часть (23) оценим, используя неравенство Юнга с параметром $\varepsilon > 0$,

$\left( {\left\| {{{\theta }_{1}}} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{3} + \left\| {{{\theta }_{2}}} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{3}} \right)\left\| \theta \right\|_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}^{{4/5}}{{\left\| \theta \right\|}^{{6/5}}} \leqslant \frac{{4{{\varepsilon }^{{5/2}}}}}{5}\left\| \theta \right\|_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}^{2} + \frac{{3{{\varepsilon }^{{ - 5/3}}}}}{5}\left( {\left\| {{{\theta }_{1}}} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{5} + \left\| {{{\theta }_{2}}} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{5}} \right){{\left\| \theta \right\|}^{2}}.$

Учитывая непрерывность вложения $V \subset {{L}^{6}}(\Omega )$, выводим из (23) при достаточно малом $\varepsilon $ оценку

$\min r{{\left\| {\theta (t)} \right\|}^{2}} \leqslant {{K}_{5}}\int\limits_0^t \left( {\left\| {{{\theta }_{1}}(s)} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{5} + \left\| {{{\theta }_{2}}(s)} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{5}} \right){{\left\| {\theta (s)} \right\|}^{2}}ds,$

где ${{K}_{5}} > 0$ зависит только от ${{K}_{4}},\varepsilon .$ Функция $s \to \left( {\left\| {{{\theta }_{1}}(s)} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{5} + \left\| {{{\theta }_{2}}(s)} \right\|_{{{{L}^{5}}(\Omega )}}^{5}} \right)$ интегрируема на $(0,T)$ и поэтому из неравенства Гронуолла следует $\theta = 0$, что означает единственность решения.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (i)–(iii). Тогда существует единственное слабое решение задачи (1)–(5).

5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 1

Определим регуляризацию функции $y \in Y$,

${{y}_{m}}(t) = \int\limits_0^T \,y(s)\rho ((t - s)m){\kern 1pt} ds\quad \forall t \in [0,T],$

где $\rho \in D(\mathbb{R})$, $\int \,\rho (s)ds = 1$, $\rho (t) = \rho ( - t)$, $\operatorname{supp} \rho \subset [ - 1,1]$; ${{y}_{m}} \in {{C}^{\infty }}([0,T],V)$, $m = 1,2,3...$

Тогда

${{y}_{m}} \to y\quad {\text{в}}\;\;L_{{{\text{loc}}}}^{2}((0,T);V)\quad {\text{и}}\;{\text{в}}\;\;L_{{{\text{loc}}}}^{5}((0,T);{{L}^{5}}(\Omega )).$

По условию $ry{\kern 1pt} ' = {{f}_{1}} + {{f}_{2}}$, ${{f}_{1}} \in {{L}^{2}}(0,T;V{\kern 1pt} '{\kern 1pt} )$, ${{f}_{2}} \in {{L}^{{5/4}}}(0,T;{{L}^{{5/4}}}(\Omega ))$. Определим регуляризации

${{f}_{{1m}}}(t) = \int\limits_0^T \,{{f}_{1}}(s)\rho ((t - s)m)ds,\quad {{f}_{{2m}}}(t) = \int\limits_0^T \,{{f}_{2}}(s)\rho ((t - s)m)ds,$

${{f}_{{1m}}} \to {{f}_{1}}{\kern 1pt} \quad {\text{в}}\quad L_{{{\text{loc}}}}^{2}((0,T);V{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ),\quad {{f}_{{2m}}} \to {{f}_{2}}{\kern 1pt} \quad {\text{в}}\quad L_{{{\text{loc}}}}^{{5/4}}((0,T);{{L}^{{5/4}}}(\Omega )).$

Заметим, что для $\varphi \in D(0,T)$, ${\text{supp}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varphi \subset (1{\text{/}}m,T - 1{\text{/}}m)$ справедливо равенство

$\begin{gathered} \int\limits_0^T \,ry_{m}^{'}(t)\varphi (t)dt = \int\limits_0^T {\kern 1pt} \int\limits_0^T \,ry(s)\frac{d}{{dt}}\rho ((t - s)m)ds\varphi (t)dt = - \int\limits_0^T {\kern 1pt} \int\limits_0^T \,ry(s)\frac{d}{{ds}}\rho ((t - s)m)ds\varphi (t)dt = \\ = \int\limits_0^T {\kern 1pt} \int\limits_0^T \,({{f}_{1}}(s) + {{f}_{2}}(s))\rho ((t - s)m)ds\varphi (t)dt = \int\limits_0^T \,({{f}_{{1m}}}(t) + {{f}_{{2m}}}(t))\varphi (t)dt. \\ \end{gathered} $

Поэтому $ry_{m}^{'} = {{f}_{{1m}}} + {{f}_{{2m}}}.$ Следовательно,

$(ry_{m}^{'},{{y}_{m}}) = ({{f}_{{1m}}} + {{f}_{{2m}}},{{y}_{m}}) \to ({{f}_{1}},y) + ({{f}_{2}},y) = (ry{\kern 1pt} ',y){\kern 1pt} \quad {\text{в}}\quad L_{{{\text{loc}}}}^{1}(0,T){\kern 1pt} {\kern 1pt} .$

Кроме того, $(r{{y}_{m}},{{y}_{m}}) \to (ry,y)$ в $L_{{{\text{loc}}}}^{1}(0,T)$. Поэтому мы можем перейти к пределу в равенстве

$\frac{d}{{dt}}(r{{y}_{m}},{{y}_{m}}) = 2(ry_{m}^{'},{{y}_{m}})$

в смысле теории распределений; в пределе получим (6).

Так как функция $t \to (ry{\kern 1pt} ',y)$ интегрируема на $(0,T)$, равенство (6) показывает, что $y \in {{L}^{\infty }}(0,T;H)$. Поэтому [24, Лемма 1.4, с. 211]

(24)

$\forall v \in H\quad {\text{функция}}\quad t \to (ry(t),v)\quad {\text{непрерывна}}.{\kern 1pt} $

Далее, для $t,{{t}_{0}} \in [0,T]$ используем равенство

${{\left\| {\sqrt r (y(t) - y({{t}_{0}}))} \right\|}^{2}} = (ry(t),y(t)) + (ry({{t}_{0}}),y({{t}_{0}})) - 2(ry(t),y({{t}_{0}})).$

Если $t \to {{t}_{0}}$, $(ry(t),y(t)) \to (ry({{t}_{0}}),y({{t}_{0}}))$. Действительно,

$(ry(t),y(t)) = (ry({{t}_{0}}),y({{t}_{0}})) + 2\int\limits_0^t \,(ry{\kern 1pt} '{\kern 1pt} (s),y(s)){\kern 1pt} ds,$

а в силу (24), $(ry(t),y({{t}_{0}})) \to (ry({{t}_{0}}),y({{t}_{0}})).$ Поэтому ${{\left\| {\sqrt r (y(t) - y({{t}_{0}}))} \right\|}^{2}} \to 0$. Лемма доказана.

Список литературы

Ковтанюк А.Е., Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Использование диффузионного приближения для моделирования радиационных и тепловых процессов в кожном покрове // Оптика и спектроскопия. 2017. Т. 123. № 2. С. 194–199.
Chebotarev A.Y., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Diffusion approximation of the radiative-conductive heat transfer model with Fresnel matching conditions// Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. № 57. C. 290–298.
Чеботарев А.Ю. Неоднородная краевая задача для уравнений сложного теплообмена с френелевскими условиями сопряжения // Дифференц. ур-ния. 2020. Т. 56. № 12. С. 1660–1665.
Chebotarev A.Y., Kovtanyuk A.E. Quasi-static diffusion model of complex heat transfer with reflection and refraction conditions // J. Math. Anal. Appl. 2022. V. 507. 125745.
Pinnau R. Analysis of optimal boundary control for radiative heat transfer modeled by $S{{P}_{1}}$-system // Commun. Math. Sci. 2007. V. 5. № 4. P. 951–969.
Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 4. С. 711–719.
Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Theoretical analysis of an optimal control problem of conductive-convective-radiative heat transfer // J. Math. Anal. Appl. 2014. V. 412. № 1. P. 520–528.
Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Нестационарная задача сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 11. С. 1806–1816.
Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Unique solvability of a steady-state complex heat transfer model // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2015. V. 20. № 3. P. 776–784.
Chebotarev A.Yu., Kovtanyuk A.E., Grenkin G.V., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Nondegeneracy of optimality conditions in control problems for a radiative-conductive heat transfer model // Appl. Math. Comput. 2016. V. 289. P. 371–380.
Grenkin G.V., Chebotarev A.Yu., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Boundary optimal control problem of complex heat transfer model // J. Math. Anal. Appl. 2016. V. 433. № 2. P. 1243–1260.
Chebotarev A.Yu., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E. Inhomogeneous steady-state problem of complex heat transfer // ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 2017. V. 51. № 6. P. 2511–2519.
Chebotarev A.Yu., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Inverse problem with finite overdetermination for steady-state equations of radiative heat exchange // J. Math. Anal. Appl. 2018. V. 460. № 2. P. 737–744.
Chebotarev A.Yu., Pinnau R. An inverse problem for a quasi-static approximate model of radiative heat transfer // J. Math. Anal. Appl. 2019. V. 472. № 1. P. 314–327.
Amosov A. Unique Solvability of a Nonstationary Problem of Radiative - Conductive Heat Exchange in a System of Semitransparent Bodies // Russian J. of Math. Phys. 2016. V. 23. № 3. P. 309–334.
Amosov A.A. Unique Solvability of Stationary Radiative – Conductive Heat Transfer Problem in a System of Semitransparent Bodies // J. of Math. Sc. 2017. V. 224. № 5. P. 618–646.
Amosov A.A. Nonstationary problem of complex heat transfer in a system of semitransparent bodies with boundary-value conditions of diffuse reflection and refraction of radiation // J. Math. Sci. 2018. V. 233. № 6. P. 777–806.
Amosov A.A., Krymov N.E. On a Nonstandard Boundary Value Problem Arising in Homogenization of Complex Heat Transfer Problems // J. of Math. Sc. 2020. V. 244. P. 357–377.
Amosov A.A. Asymptotic Behavior of a Solution to the Radiative Transfer Equation in a Multilayered Medium with Diffuse Reflection and Refraction Conditions // J Math Sci. 2020. V. 244. P. 541–575.
Amosov A. Unique solvability of a stationary radiative-conductive heat transfer problem in a system consisting of an absolutely black body and several semitransparent bodies // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2021. V. 44. № 13. P. 10703–10733.
Amosov A. Unique solvability of a stationary radiative-conductive heat transfer problem in a semitransparent body with absolutely black inclusions // Z. Angew. Math. Phys. 2021. V. 72. Article number:104.
Amosov A.A. Unique solvability of the stationary complex heat transfer problem in a system of gray bodies with semitransparent inclusions // J. Math. Sci. (United States). 2021. V. 255. Issue 4. P. 353–388.
Amosov A. Nonstationary Radiative-Conductive Heat Transfer Problem in a Semitransparent Body with Absolutely Black Inclusions // Mathematics. 2021. V. 9. № 13. P. 1471.
Темам Р. Уравнения Навье–Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал