Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 4, стр. 573-583

Разрушение решений и локальная разрешимость абстрактной задачи Коши второго порядка с некоэрцитивным источником

М. В. Артемьева^1, 2, *, М. О. Корпусов^1, 2

¹ Физический факультет, кафедра математики МГУ им. М.В. Ломоносова
119991 Москва, Ленинские горы, 1, стр. 1, Россия

² РУДН
117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6, Россия

^* E-mail: korpusov@gmail.com

Поступила в редакцию 01.06.2022
После доработки 11.11.2022
Принята к публикации 15.12.2022

EDN: IVTJTE
DOI: 10.31857/S0044466923040026

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается одна абстрактная задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка с нелинейными операторными коэффициентами. Доказана локальная разрешимость в соответствующих пространствах абстрактных непрерывных и дифференцируемых функций. Получены достаточные условия разрушения решений этой абстрактной задачи Коши за конечное время. Библ. 4.

Ключевые слова: нелинейные уравнения соболевского типа, разрушение, blow-up, локальная разрешимость, нелинейная емкость, оценки времени разрушения.

1. ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] мы рассмотрели абстрактную задачу Коши следующего вида:

(1.1)

$\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{t}^{2}}}}\left( {{{A}_{0}}u + \sum\limits_{j = 1}^N \,{{A}_{j}}(u)} \right) + Lu = \frac{d}{{dt}}F(u),\quad u(0) = {{u}_{0}},\quad u{\kern 1pt} '(0) = {{u}_{1}},$

где операторы ${{A}_{0}}$ и $L$ линейные, а операторы ${{A}_{j}}(u)$ и $F(u)$ нелинейные. Отметим, что уравнение (1.1) содержит некоэрцитивный источник

$\frac{d}{{dt}}F(u),$

что сильно усложняет получение достаточных условий разрушения задачи Коши (1.1) за конечное время.

В работе [2] была рассмотрена следующая абстрактная задача Коши для интегродифференциального уравнения с нелинейными операторными коэффициентами:

(1.2)

$\frac{d}{{dt}}\left( {{{A}_{0}}u + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{A}_{j}}(u)} \right) + {{L}_{1}}u + \int\limits_0^t \,ds{\kern 1pt} h(t - s){{L}_{2}}u(s) + DP(u) = F(u),\quad u(0) = {{u}_{0}},$

где операторы ${{A}_{0}}$ и ${{L}_{1}},$ ${{L}_{2}},$ $D$ линейные, а операторы ${{A}_{j}}(u)$ и $F(u),$ $P(u)$ нелинейные. Для доказательства существования сильного решения этой задачи Коши мы применим метод монотонных операторов Браудера–Минти (см. [3]), а для доказательства разрушения за конечное время применим метод энергетических оценк, развитый в [4].

В настоящей работе мы докажем существование непродолжаемого во времени классического решения задачи Коши

(1.3)

$\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{t}^{2}}}}\left( {{{A}_{0}}u + \sum\limits_{j = 1}^N \,{{A}_{j}}(u)} \right) + \frac{d}{{dt}}DP(u) + Lu = \frac{d}{{dt}}F(u),\quad u(0) = {{u}_{0}},\quad u{\kern 1pt} '(0) = {{u}_{1}}$

при некоторых условиях на операторные коэффициенты и получим достаточные условия разрушения решения за конечное время. Уравнение (1.3) отличается от уравнения (1.1) наличием нелинейного слагаемого

$\frac{d}{{dt}}DP(u),$

которое в приложениях имеет, например, следующий вид:

$\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}^{2}}(x,t)}}{{\partial t\partial {{x}_{1}}}}.$

Отметим, что задача Коши (1.3) существенно отличается от задачи Коши (1.2) в силу условий на функцию $h(t),$ при которых рассматривалась задача (1.2).

Подробная библиография и приложения изложены в работе [1].

2. УСЛОВИЯ НА ОПЕРАТОРНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

Рассмотрим банаховы пространства ${{V}_{0}},$ ${{V}_{j}},$ ${{W}_{i}}$ при $j = \overline {1,n} $ и при $i = \overline {1,3} $ относительно соответствующих норм

${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}},\quad {{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{j}},\quad {{\left| {\, \cdot \,} \right|}_{i}}$

и с сопряженными банаховыми пространствами $V_{0}^{*}$, $V_{j}^{*}$, $W_{i}^{*}$ относительно соответствующих скобок двойственностей

${{\langle \cdot , \cdot \rangle }_{0}},\quad {{\langle \cdot , \cdot \rangle }_{j}},\quad {{( \cdot , \cdot )}_{i}}$

и соответствующих норм

$\left\| {\, \cdot \,} \right\|_{0}^{*},\quad \left\| {\, \cdot \,} \right\|_{j}^{*},\quad \left| {\, \cdot \,} \right|_{i}^{*}.$

Предположим, что банаховы пространства ${{V}_{0}},$ ${{V}_{j}},$ ${{W}_{i}}$ при $j = \overline {1,n} $ и при $i = \overline {1,3} $ являются рефлексивными и сепарабельными. Предположим также, что

${{A}_{0}}:{{V}_{0}} \to V_{0}^{*},\quad {{A}_{j}}:{{V}_{j}} \to V_{j}^{*},\quad {{L}_{1}}:{{W}_{1}} \to W_{1}^{*},$

$F:{{W}_{2}} \to W_{2}^{*},\quad P:{{V}_{0}} \to {{W}_{3}},\quad D:{{W}_{3}} \to V_{0}^{*}.$

Условия A₀.

(i) Оператор ${{A}_{0}}:{{V}_{0}} \to V_{0}^{*}$ является линейным, непрерывным и симметричным, причем имеет место неравенство

$\left\| {{{A}_{0}}u} \right\|_{0}^{*} \leqslant {{M}_{0}}{{\left\| u \right\|}_{0}}\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad u \in {{V}_{0}};$

(ii) оператор ${{A}_{0}}$ является коэрцитивным, причем имеет место неравенство

${{\langle {{A}_{0}}u,u\rangle }_{0}} \geqslant {{m}_{0}}\left\| u \right\|_{0}^{2}\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad u \in {{V}_{0}}.$

Замечание 1. Из условий (i) и (ii) вытекает, что величина $\langle {{A}_{0}}u,u\rangle _{0}^{{1/2}}$ является эквивалентной нормой на ${{V}_{0}}$.

Условия A.

(i) Оператор ${{A}_{j}}:{{V}_{j}} \to V_{j}^{*}$ является монотонным и непрерывным;

(ii) оператор ${{A}_{j}}$ дифференцируем по Фреше, причем его производная Фреше

$A_{{jf}}^{'}(u):{{V}_{j}} \to \mathcal{L}({{V}_{j}},V_{j}^{*})$

является непрерывным, симметричным, монотонным и неотрицательно определенным оператором при любом фиксированном $u \in {{V}_{j}}$ и $A_{{jf}}^{'}(0) = 0$;

(iii) оператор ${{A}_{j}}$ является положительно-однородным

${{A}_{j}}(ru) = {{r}^{{{{p}_{j}} - 1}}}{{A}_{j}}(u)\quad {\kern 1pt} {\text{при}}\quad {{p}_{j}} > 2,\quad r \geqslant 0,\quad u \in {{V}_{j}};$

(iv) справедливы следующие неравенства сверху и снизу:

$\left\| {{{A}_{j}}(u)} \right\|_{j}^{*} \leqslant {{M}_{j}}\left\| u \right\|_{j}^{{{{p}_{j}} - 1}},\quad {{\langle {{A}_{j}}(u),u\rangle }_{j}} \geqslant {{m}_{j}}\left\| u \right\|_{j}^{{{{p}_{j}}}},\quad {{M}_{j}},{{m}_{j}} > 0.$

Замечание 2. Из условия (iv) вытекает, что величина $\langle {{A}_{j}}(u),u\rangle _{j}^{{1/{{p}_{j}}}}$ является эквивалентной нормой на банаховом пространстве ${{V}_{j}}.$

Условия F.

(i) Оператор $F:{{W}_{2}} \to W_{2}^{*}$ является ограниченно липшиц-непрерывным, т.е. имееет место неравенство

${{\left| {F({{u}_{1}}) - F({{u}_{2}})} \right|}_{2}} \leqslant \mu (R){{\left| {{{u}_{1}} - {{u}_{2}}} \right|}_{2}}\quad {\kern 1pt} {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad {{u}_{1}},{{u}_{2}} \in {{W}_{2}},$

где $R = \max \{ {\kern 1pt} {\text{|}}{{u}_{1}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}_{2}},{\text{|}}{{u}_{2}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}_{2}}\} ,$ $\mu = \mu (R)$ есть ограниченная но всяком компакте неубывающая функция своего аргумента;

(ii) оператор $F$ является положительно-однородным, т.е.

$F(ru) = {{r}^{{1 + q}}}F(u)\quad {\text{при}}\quad q > 0,\quad r \geqslant 0,\quad u \in {{W}_{2}};$

(iii) оператор $F$ имеет симметричную производную Фреше

$F_{f}^{'}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ):{{W}_{2}} \to \mathcal{L}({{W}_{2}},W_{2}^{*});$

(iv) оператор $F$ удовлетворяет неравенству сверху

$\left| {F(u)} \right|_{2}^{*} \leqslant M\left| u \right|_{2}^{{q + 1}}\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad u \in {{W}_{2}}.$

Условия DP.

(i) Оператор $D:{{W}_{3}} \to V_{0}^{*}$ является линейным и непрерывным, причем

$\left\| {Du} \right\|_{0}^{*} \leqslant {{D}_{3}}{{\left| u \right|}_{3}}\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad u \in {{W}_{3}};$

(ii) оператор $P:{{V}_{0}} \to {{W}_{3}}$ является ограниченно липшиц-непрерывным, т.е.

${{\left| {P({{u}_{1}}) - P({{u}_{2}})} \right|}_{3}} \leqslant {{\mu }_{0}}(R){{\left\| {{{u}_{1}} - {{u}_{2}}} \right\|}_{0}}\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad {{u}_{1}},{{u}_{2}} \in {{V}_{0}},$

где функция ${{\mu }_{0}} = {{\mu }_{0}}(R)$ – ограниченная на всяком компакте неубывающая функция своего аргумента, $R = \max \{ {{\left\| {{{u}_{1}}} \right\|}_{0}},{{\left\| {{{u}_{2}}} \right\|}_{0}}\} $;

(iii) справедливо неравенство сверху

${{\left| {P(u)} \right|}_{3}} \leqslant {{D}_{4}}\left\| u \right\|_{0}^{{1 + {{q}_{0}}}},\quad {{q}_{0}} \geqslant 0,\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad u \in {{V}_{0}};$

(iv) для всех $u \in {{V}_{0}}$ имеет место неравенство

${{\langle DP(u),u\rangle }_{0}} = 0\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad u \in {{V}_{0}};$

(v) оператор $P$ имеет производную Фреше

$P_{f}^{'}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ):{{V}_{0}} \to \mathcal{L}({{V}_{0}},{{W}_{3}}).$

Условия L.

(i) Оператор $L:{{W}_{1}} \to W_{1}^{*}$ является линейным, непрерывным и симметричным, причем

$\left| {Lu} \right|_{1}^{*} \leqslant {{D}_{1}}{\text{|}}u{\kern 1pt} {{{\text{|}}}_{1}}\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad u \in {{W}_{1}};$

(ii) оператор ${{L}_{1}}$ является коэрцитивным, причем

${{({{L}_{1}}u,u)}_{1}} \geqslant {{d}_{1}}{\kern 1pt} {\text{|}}u{\kern 1pt} {\text{|}}_{1}^{2}\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad u \in {{W}_{1}}.$

Замечание 3. Из условий (i) и (ii) вытекает, что величина $({{L}_{1}}u,u)_{1}^{{1/2}}$ является эквивалентной нормой на ${{W}_{1}}$.

Рассмотрим теперь используемые нами банаховы пространства ${{V}_{0}},$ ${{V}_{j}},$ ${{W}_{i}}$ при $j = \overline {1,n} $ и $i = \overline {1,3} $. Пусть $H$ – это некоторое сепарабельное гильбертово пространство, отождествленное со своим сопряженным. Предположим, что выполнены следующие условия:

Условия H.

Имеют место следующие цепочки плотных и непрерывных вложений:

${{V}_{0}}\;\mathop \subset \limits^{ds} \;{{V}_{j}}\;\mathop \subset \limits^{ds} \;H\;\mathop \subset \limits^{ds} \;V_{j}^{*}\;\mathop \subset \limits^{ds} \;V_{0}^{*}\quad {\text{при}}\quad j = \overline {1,n} ,$

${{V}_{0}}\;\mathop \subset \limits^{ds} \;{{W}_{i}}\;\mathop \subset \limits^{ds} \;H\;\mathop \subset \limits^{ds} \;W_{i}^{*}\;\mathop \subset \limits^{ds} \;V_{0}^{*}\quad {\text{при}}\quad i = \overline {1,3} .$

Заметим, что в силу условий $H$ имеют место следующие свойства:

(2.1)

${{\langle f,u\rangle }_{0}} = {{\langle f,u\rangle }_{j}}\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad f \in V_{j}^{*},\quad u \in {{V}_{0}},\quad {\text{при}}\quad j = \overline {1,n} ,$

(2.2)

${{\langle f,u\rangle }_{0}} = (f,u{{)}_{i}}\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad f \in W_{i}^{*},\quad u \in {{V}_{0}},\quad {\text{при}}\quad i = \overline {1,3} .$

3. РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО НЕРАВЕНСТВА

Пусть функционал $\Phi (t) \in {{\mathbb{C}}^{{(2)}}}[0,T]$ и удовлетворяет интегродифференциальному неравенству

(3.1)

$\Phi \Phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; - \alpha {{(\Phi {\kern 1pt} ')}^{2}} + \beta {{\Phi }^{2}} + {{\gamma }_{1}}\Phi (t) + {{\gamma }_{2}}T\int\limits_0^t \,\Phi (s){\kern 1pt} ds{\kern 1pt} \Phi (t) + {{\gamma }_{3}}{{\Phi }^{{1 + \lambda }}}(t) \geqslant 0,\quad t \in [0,T],$

при $\alpha > 1,$ $\lambda > 1$ и $\beta \geqslant 0$, ${{\gamma }_{1}} \geqslant 0,$ ${{\gamma }_{2}} \geqslant 0,$ ${{\gamma }_{3}} \geqslant 0$. Справедлива следующая теорема (см. [1]).

Теорема 1. Пусть $\Phi (t) \in {{\mathbb{C}}^{{(2)}}}[0,{{T}_{0}})$ и удовлетворяет дифференциальному неравенству (3.1) и

(3.2)

$\Phi (0) > 0,\quad \Phi {\kern 1pt} '(0) > 0,\quad \alpha > 1,\quad 1 < \lambda < 2\alpha - 1,$

причем начальные условия $\Phi (0)$ и $\Phi '(0)$ таковы, что существует ${{T}_{1}}$ – наименьший положительный корень уравнения

(3.3)

${{\left( {\Phi '(0)} \right)}^{2}} = \frac{1}{{T_{1}^{2}{{{(\alpha - 1)}}^{2}}}}{{(\Phi (0))}^{2}} + \frac{{\beta + {{\gamma }_{2}}T_{1}^{2}}}{{\alpha - 1}}{{\left( {\Phi (0)} \right)}^{2}} + \frac{{2{{\gamma }_{1}}}}{{2\alpha - 1}}\Phi (0) + \frac{{2{{\gamma }_{3}}}}{{(\alpha - 1)\delta }}{{\left( {\Phi (0)} \right)}^{{1 + \lambda }}},$

то $\Phi (t)$ удовлетворяет следующему неравенству:

(3.4)

$\Phi (t) \geqslant \frac{1}{{{{{\left[ {{{\Phi }^{{1 - \alpha }}}(0) - {{A}^{{1/2}}}({{T}_{1}})t} \right]}}^{{1/(\alpha - 1)}}}}}$

для всех $t \in [0,\min \{ {{T}_{1}},{{T}_{0}}\} ),$ где

(3.5)

$A({{T}_{1}}) = (\alpha - {{1)}^{2}}{{\Phi }^{{ - 2\alpha }}}(0)[(\Phi {\kern 1pt} '{{(0))}^{2}} - \frac{{\beta + {{\gamma }_{2}}T_{1}^{2}}}{{\alpha - 1}}{{(\Phi (0))}^{2}} - \frac{{2{{\gamma }_{1}}}}{{2\alpha - 1}}\Phi (0) - \frac{{2{{\gamma }_{3}}}}{{(\alpha - 1)\delta }}{{\left( {\Phi (0)} \right)}^{{1 + \lambda }}}] > 0.$

Доказательство. Все утверждения теоремы в целом доказаны. Отметим только, что в силу явного вида функции $A = A(T)$ и неравенства (3.3) выполнены неравенства

$A(T) \geqslant A({{T}_{1}}) > 0\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad T \in [0,{{T}_{1}}].$

Поэтому имеют место неравенства

$\Phi (t) \geqslant \frac{1}{{{{{\left[ {{{\Phi }^{{1 - \alpha }}}(0) - {{A}^{{1/2}}}(T)t} \right]}}^{{1/(\alpha - 1)}}}}} \geqslant \frac{1}{{{{{\left[ {{{\Phi }^{{1 - \alpha }}}(0) - {{A}^{{1/2}}}({{T}_{1}})t} \right]}}^{{1/(\alpha - 1)}}}}}$

для всех $t \in [0,T]$. Значит, функция в правой части неравенства (3.4) является неограниченной при $T = {{T}_{1}}$ и $t \in [0,{{T}_{1}})$.

4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕПРОДОЛЖАЕМОГО РЕШЕНИЯ

Пусть выполнены все условия, сформулированные в разд. 2. Рассмотрим следующую задачу Коши для абстрактного дифференциального уравнения второго порядка:

(4.1)

$\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{t}^{2}}}}\left( {{{A}_{0}}u + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{A}_{j}}(u)} \right) + \frac{d}{{dt}}DP(u) + Lu = \frac{d}{{dt}}F(u),$

(4.2)

$u(0) = {{u}_{0}},\quad u{\kern 1pt} '(0) = {{u}_{1}}.$

Дадим определение классического решения этой абстрактной задачи Коши.

Определение 1. Функция $u(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(2)}}}([0,T];{{V}_{0}})$ называется классическим решением задачи Коши (4.1), если

(4.3)

$\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{t}^{2}}}}{{A}_{j}}(u) \in \mathbb{C}([0,T];V_{0}^{*})\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad j = \overline {1,n} ,$

равенство (4.1) справедливо для каждого $t \in [0,T]$ и понимается в смысле банахового пространства $V_{0}^{*}$, причем

(4.4)

${{u}_{0}} \in {{V}_{0}},\quad {{u}_{1}} \in {{V}_{0}}.$

Пусть $u(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(2)}}}([0,T];{{V}_{0}})$ – классическое решение задачи (4.1). Пусть $\phi (t) \in \mathbb{C}[0,T]$ – произвольная функция. Рассмотрим следующую функцию:

(4.5)

$\psi (t): = \int\limits_t^T \,\phi (s){\kern 1pt} ds \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}[0,T],\quad t \in [0,T].$

Заметим, что $\psi (T) = 0$ и $\psi {\kern 1pt} '(t) = - \phi (t)$. Справедливы следующие формулы интегрирования по частям для интегралов Бохнера в $V_{0}^{*}$:

(4.6)

$\begin{gathered} \int\limits_0^T \frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{t}^{2}}}}\left( {{{A}_{0}}u(t) + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{A}_{j}}(u)(t)} \right)\psi (t){\kern 1pt} dt = \left. {\frac{d}{{dt}}\left( {{{A}_{0}}u(t) + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{A}_{j}}(u)(t)} \right)\psi (t)} \right|_{{t = 0}}^{{t = T}} + \\ \, + \int\limits_0^T \frac{d}{{dt}}\left( {{{A}_{0}}u(t) + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{A}_{j}}(u)(t)} \right)\phi (t){\kern 1pt} dt = - \left( {{{A}_{0}}{{u}_{1}} + \sum\limits_{j = 1}^n \,A_{j}^{'}({{u}_{0}}){{u}_{1}}} \right)\int\limits_0^T \,\phi (t){\kern 1pt} dt + \\ \, + \int\limits_0^T \frac{d}{{dt}}\left( {{{A}_{0}}u(t) + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{A}_{j}}(u)(t)} \right)\phi (t){\kern 1pt} dt, \\ \end{gathered} $

(4.7)

$\int\limits_0^T {\kern 1pt} {\kern 1pt} Lu(t)\psi (t){\kern 1pt} dt = \left. {\int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} Lu(s){\kern 1pt} ds{\kern 1pt} \psi (t)} \right|_{{t = 0}}^{{t = T}} + \int\limits_0^T {\kern 1pt} {\kern 1pt} \phi (t)\int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} Lu(s){\kern 1pt} ds{\kern 1pt} dt\int\limits_0^T {\kern 1pt} {\kern 1pt} \phi (t)\int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} Lu(s){\kern 1pt} ds{\kern 1pt} dt,$

(4.8)

$\int\limits_0^T \frac{d}{{dt}}F(u)(t)\psi (t){\kern 1pt} dt = - F({{u}_{0}})\int\limits_0^T {\kern 1pt} {\kern 1pt} \phi (t){\kern 1pt} dt + \int\limits_0^T {\kern 1pt} {\kern 1pt} F(u)(t)\phi (t){\kern 1pt} dt,$

(4.9)

$\int\limits_0^T \frac{d}{{dt}}DP(u)(t)\psi (t){\kern 1pt} dt = - DP({{u}_{0}})\int\limits_0^T {\kern 1pt} {\kern 1pt} \phi (t){\kern 1pt} dt + \int\limits_0^T {\kern 1pt} {\kern 1pt} DP(u)(t)\phi (t){\kern 1pt} dt.$

Теперь, умножив обе части равенства (4.1) на функцию $\psi (t)$, с учетом (4.6)–(4.8) мы получим следующее равенство:

(4.10)

$\int\limits_0^T \left\{ {\frac{d}{{dt}}\left( {{{A}_{0}}u(t) + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{A}_{j}}(u)(t)} \right) + DP(u) + \int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} Lu(s){\kern 1pt} ds - F(u) - f} \right\}\phi (t){\kern 1pt} dt = 0$

для всех $\phi (t) \in \mathbb{C}[0,T],$ где

(4.11)

$f: = - F({{u}_{0}}) + DP({{u}_{0}}) + {{A}_{0}}{{u}_{1}} + \sum\limits_{j = 1}^n \,A_{{jf}}^{'}({{u}_{0}}){{u}_{1}}.$

Полученное равенство (4.10) позволяет сформулировать определение сильного решения задачи Коши (4.1).

Определение 2. Функция $u(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];{{V}_{0}})$ называется сильным решением задачи Коши (4.1), если для любой функции $\phi (t) \in \mathbb{C}[0,T]$ выполнено равенство (4.10), причем $u(0) = {{u}_{0}} \in {{V}_{0}},$ ${{u}_{1}} \in {{V}_{0}}.$

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть банахово пространство ${{V}_{0}}$ сепарабельно, тогда в классе сильных решений задачи Коши (4.1) равенство (4.10), выполненное для любых $\phi (t) \in \mathbb{C}[0,T],$ эквивалентно равенству

(4.12)

$\int\limits_0^T {{\left\langle {\frac{d}{{dt}}\left( {{{A}_{0}}u(t) + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{A}_{j}}(u)(t)} \right) + DP(u)(t) + \int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} Lu(s){\kern 1pt} ds - F(u) - f,v(t)} \right\rangle }_{0}}{\kern 1pt} dt = 0$

для всех $v(t) \in \mathbb{C}([0,T];{{V}_{0}})$.

Замечание 4. С учетом равенства скобок двойственности (2.1) и (2.2) равенство (4.12) можно переписать в следующем эквивалентном виде:

(4.13)

$\begin{gathered} \int\limits_0^T \left[ {{{{\left\langle {\frac{d}{{dt}}{{A}_{0}}u(t),v(t)} \right\rangle }}_{0}} + \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left\langle {\frac{d}{{dt}}{{A}_{j}}(u)(t),v(t)} \right\rangle }}_{j}} + {{{\left\langle {DP(u)(t),v(t)} \right\rangle }}_{0}}} \right. + \\ \, + \left. {\int\limits_0^t {{{\left( {Lu(s),v(t)} \right)}}_{1}}{\kern 1pt} ds - {{{\left( {F(u),v(t)} \right)}}_{2}} - {{{\left\langle {f,v(t)} \right\rangle }}_{0}}} \right]dt = 0 \\ \end{gathered} $

для всех $v(t) \in \mathbb{C}([0,T];{{V}_{0}})$. Теперь в равенстве (4.13) возьмем $v(t) = \phi (t)w$, $\phi (t) \in \mathbb{C}[0,T],$ $w \in {{V}_{0}}$ и получим следующее равенство:

(4.14)

$\begin{gathered} \int\limits_0^T {\kern 1pt} {\kern 1pt} \phi (t)\left[ {{{{\left\langle {\frac{d}{{dt}}{{A}_{0}}u(t),w} \right\rangle }}_{0}} + \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left\langle {\frac{d}{{dt}}{{A}_{j}}(u)(t),w} \right\rangle }}_{j}} + {{{\left\langle {DP(u)(t),w} \right\rangle }}_{0}}} \right. + \\ \, + \left. {\int\limits_0^t {{{\left( {Lu(s),w} \right)}}_{1}}{\kern 1pt} ds - {{{\left( {F(u),w} \right)}}_{2}} - {{{\left\langle {f,w} \right\rangle }}_{0}}} \right]dt = 0 \\ \end{gathered} $

для любых $\phi (t) \in \mathbb{C}[0,T]$ и $w \in {{V}_{0}}.$ В силу условий на операторные коэффициенты имеем

(4.15)

${{\left\langle {\frac{d}{{dt}}{{A}_{0}}u(t),w} \right\rangle }_{0}} \in \mathbb{C}[0,T],\quad {{\left\langle {\frac{d}{{dt}}{{A}_{j}}(u)(t),w} \right\rangle }_{j}} \in \mathbb{C}[0,T],$

(4.16)

$\int\limits_0^t {{\left( {Lu(s),w} \right)}_{1}}{\kern 1pt} ds \in \mathbb{C}[0,T],\quad {{\left( {F(u),w} \right)}_{2}} \in \mathbb{C}[0,T],$

(4.17)

${{\left\langle {DP(u),w} \right\rangle }_{0}} \in \mathbb{C}[0,T].$

Поэтому из равенства (4.14) и свойств (4.15), (4.16) в силу основной леммы вариационного исчисления вытекает следующее равенство:

(4.18)

$\begin{gathered} {{\left\langle {\frac{d}{{dt}}{{A}_{0}}u(t),w} \right\rangle }_{0}} + \sum\limits_{j = 1}^n {{\left\langle {\frac{d}{{dt}}{{A}_{j}}(u)(t),w} \right\rangle }_{j}} + {{\left\langle {DP(u)(t),w} \right\rangle }_{0}} + \\ \, + \int\limits_0^t {{\left( {Lu(s),w} \right)}_{1}}{\kern 1pt} ds - {{\left( {F(u),w} \right)}_{2}} - {{\left\langle {f,w} \right\rangle }_{0}} = 0 \\ \end{gathered} $

для всех $w \in {{V}_{0}}$ и всех $t \in [0,T].$

Теперь рассмотрим абстрактную задачу Коши

(4.19)

$\frac{d}{{dt}}\left( {{{A}_{0}}u(t) + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{A}_{j}}(u)(t)} \right) + DP(u)(t) + \int\limits_0^t {\kern 1pt} {\kern 1pt} Lu(s){\kern 1pt} ds = F(u) + f,$

(4.20)

$u(0) = {{u}_{0}}.$

Дадим определение классического решения задачи Коши (4.19), (4.20).

Определение 3. Классическим решением задачи Коши (4.19), (4.20) называется функция $u(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];{{V}_{0}}),$ удовлетворяющая уравнению (4.19) для каждого $t \in [0,T]$ в смысле $V_{0}^{*}$, причем ${{u}_{0}} \in {{V}_{0}}$ и $f \in V_{0}^{*}$.

Совершенно понятно, что классическое решение задачи Коши (4.19) является сильным решением задачи Коши (4.1).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть выполнены все условия разд. 2 на операторные коэффициенты ${{A}_{0}},$ ${{A}_{j}},$ $L,$ $DP$ и $F$. Тогда при дополнительном условии, что операторы ${{A}_{j}}(u)$ дважды непрерывно дифференцируемы по Фреше для всех $u \in {{V}_{j}},$ для любых ${{u}_{0}}$ и ${{u}_{1}}$ из ${{V}_{0}}$ найдется такое ${{T}_{0}} = {{T}_{0}}({{u}_{0}},{{u}_{1}}) > 0,$ что существует единственное классическое решение задачи Коши (4.1) класса $u(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(2)}}}([0,{{T}_{0}});{{V}_{0}}),$ причем либо ${{T}_{0}} = + \infty $, либо ${{T}_{0}} < + \infty $ и в последнем случае имеет место предельное свойство

(4.21)

$\mathop {\lim }\limits_{t \uparrow {{T}_{0}}} \left\| {{{A}_{0}}u + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{A}_{j}}(u)} \right\|_{0}^{ * }(t) = + \infty .$

Доказательство. Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 6.4 работы [1].

5. РАЗРУШЕНИЕ СИЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (4.1) ПРИ $q + 2 > \bar {p}$

Пусть $u(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,{{T}_{0}});{{V}_{0}})$ – классическое решение задачи (4.19). Прежде всего введем обозначения

(5.1)

$\Phi (t) = \frac{1}{2}{{\langle {{A}_{0}}u,u\rangle }_{0}} + \sum\limits_{j = 1}^n \frac{{{{p}_{j}} - 1}}{{{{p}_{j}}}}{{\langle {{A}_{j}}(u),u\rangle }_{j}},$

(5.2)

$J(t) = {{\langle {{A}_{0}}u{\kern 1pt} ',u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} \rangle }_{0}} + \sum\limits_{j = 1}^n \,({{p}_{j}} - 1){{\langle A_{{jf}}^{'}(u)u{\kern 1pt} ',u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} \rangle }_{j}}.$

Справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Имеет место следующее неравенство:

(5.3)

${{(\Phi {\kern 1pt} '(t))}^{2}} \leqslant \bar {p}J(t)\Phi (t)\quad при\quad \bar {p} = \mathop {\max }\limits_{j = \overline {1,n} } {{p}_{j}},\quad t \in [0,{{T}_{0}}).$

Доказательство. Доказательство приведено в лемме 7.1 работы [1].

Заметим, что определение 2 сильного решения задачи Коши (4.1) эквивалентно равенству (4.18). Положим сначала в равенстве (4.18) $w = u(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,{{T}_{0}});{{V}_{0}})$ из определения (5.1) функционала $\Phi (t) \in \mathbb{C}[0,{{T}_{0}})$ и свойства (iv) условий $DP$, получим следующее первое энергетическое равенство:

(5.4)

$\frac{{d\Phi }}{{dt}} + \int\limits_0^t \,ds{\kern 1pt} {{(Lu(s),u(t))}_{1}} = (F(u),u{{)}_{2}} + {{\langle f,u\rangle }_{0}}.$

Теперь положим в равенстве (4.18) $w = u{\kern 1pt} '(t) \in \mathbb{C}([0,{{T}_{0}});{{V}_{0}})$ и с учетом определения (5.2) функционала $J(t)$ получим второе энергетическое равенство

(5.5)

$J(t) + \int\limits_0^t \,ds{\kern 1pt} {{(Lu(s),u{\kern 1pt} '(t))}_{1}} + {{\left\langle {DP(u),u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} } \right\rangle }_{0}} = \frac{1}{{q + 2}}\frac{d}{{dt}}{{(F(u),u)}_{2}} + \frac{d}{{dt}}{{\langle f,u\rangle }_{0}},$

где мы воспользовались равенством

${{(F(u),u{\kern 1pt} ')}_{2}} = \frac{1}{{q + 2}}\frac{d}{{dt}}{{(F(u),u)}_{2}}.$

Выразим из равенства (5.4) величину ${{(F(u),u)}_{2}}$, подставим его в равенство (5.5) и после элементарных преобразований получим следующее выражение для функционала $J(t)$:

(5.6)

$J(t) = \frac{1}{{q + 2}}\frac{{{{d}^{2}}\Phi (t)}}{{d{{t}^{2}}}} + \frac{1}{{q + 2}}{{(Lu,u)}_{1}} - {{\langle DP(u),u{\kern 1pt} '\rangle }_{0}} - \frac{{q + 1}}{{q + 2}}\int\limits_0^t \,(Lu(s),u{\kern 1pt} '(t)){\kern 1pt} ds + \frac{{q + 1}}{{q + 2}}{{\langle f,u{\kern 1pt} '\rangle }_{0}}.$

Для дальнейшего мы воспользуемся неравенством Коши–Буняковского с произвольным ${{\varepsilon }_{1}} > 0$:

$a{\kern 1pt} b \leqslant {{\varepsilon }_{1}}{{a}^{2}} + \frac{1}{{4{{\varepsilon }_{1}}}}{{b}^{2}},\quad a,b \geqslant 0.$

Справедливы следующие неравенства:

(5.7)

$\frac{1}{{q + 2}}{{(Lu,u)}_{1}} \leqslant \frac{l}{{q + 2}}{{\langle {{A}_{0}}u,u\rangle }_{0}} = \frac{{2l}}{{q + 2}}\Phi (t),$

(5.8)

$\begin{gathered} \frac{{q + 1}}{{q + 2}}\left| {\int\limits_0^t \,{{{(Lu(s),u'(t))}}_{1}}{\kern 1pt} ds} \right| \leqslant \frac{{q + 1}}{{q + 2}}l\int\limits_0^t \,\langle {{A}_{0}}u(s),u(s)\rangle _{0}^{{1/2}}\langle {{A}_{0}}u{\kern 1pt} '(t),u{\kern 1pt} '(t)\rangle _{0}^{{1/2}}{\kern 1pt} ds \leqslant \\ \leqslant \varepsilon {{\langle {{A}_{0}}u{\kern 1pt} '(t),u{\kern 1pt} '(t)\rangle }_{0}} + {{\left( {\frac{{q + 1}}{{q + 2}}} \right)}^{2}}{{l}^{2}}\frac{T}{{4\varepsilon }}\int\limits_0^t \,{{\langle {{A}_{0}}u(s),u(s)\rangle }_{0}}{\kern 1pt} ds \leqslant \varepsilon J(t) + {{\left( {\frac{{q + 1}}{{q + 2}}} \right)}^{2}}{{l}^{2}}\frac{T}{{2\varepsilon }}\int\limits_0^t \,\Phi (s){\kern 1pt} ds, \\ \end{gathered} $

(5.9)

$\frac{{q + 1}}{{q + 2}}\left| {{{{\langle f,u{\kern 1pt} '\rangle }}_{0}}} \right| \leqslant \frac{{q + 1}}{{q + 2}}\left\| f \right\|_{0}^{*}{{\left\| {u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} } \right\|}_{0}} \leqslant \frac{{q + 1}}{{q + 2}}\left\| f \right\|_{0}^{*}\frac{1}{{m_{0}^{{1/2}}}}\langle {{A}_{0}}u{\kern 1pt} ',u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} \rangle _{0}^{{1/2}} \leqslant \varepsilon J(t) + {{\left( {\frac{{q + 1}}{{q + 2}}} \right)}^{2}}\frac{{\left\| f \right\|_{0}^{{*2}}}}{{4{{m}_{0}}\varepsilon }},$

(5.10)

$\left| {{{{\left\langle {DP(u),u{\kern 1pt} '} \right\rangle }}_{0}}} \right| \leqslant \varepsilon {{\left\langle {{{A}_{0}}u{\kern 1pt} ',u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} } \right\rangle }_{0}} + \frac{b}{\varepsilon }\left\langle {{{A}_{0}}u,u} \right\rangle _{0}^{{1 + {{q}_{0}}}} \leqslant \varepsilon J(t) + \frac{d}{\varepsilon }{{\Phi }^{{1 + {{q}_{0}}}}}(t).$

Итак, из равенства (5.6) с учетом неравенств (5.7)–(5.9) получим оценку

(5.11)

$(1 - 3\varepsilon )J(t) \leqslant \frac{1}{{q + 2}}\frac{{{{d}^{2}}\Phi (t)}}{{d{{t}^{2}}}} + \frac{{2l}}{{q + 2}}\Phi (t) + {{\left( {\frac{{q + 1}}{{q + 2}}} \right)}^{2}}{{l}^{2}}\frac{T}{{2\varepsilon }}\int\limits_0^t \,\Phi (s){\kern 1pt} ds + {{\left( {\frac{{q + 1}}{{q + 2}}} \right)}^{2}}\frac{{\left\| f \right\|_{0}^{{*2}}}}{{4{{m}_{0}}\varepsilon }} + \frac{d}{\varepsilon }{{\Phi }^{{1 + {{q}_{0}}}}}(t).$

Пусть $\varepsilon \in (0,1{\text{/}}3)$. Тогда из неравенств (5.3) и (5.11) получим следующее обыкновенное дифференциальное неравенство второго порядка:

(5.12)

$\begin{gathered} \Phi \Phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; - \frac{{q + 2}}{{\bar {p}}}(1 - 3\varepsilon )(\Phi {\kern 1pt} '{{)}^{2}} + 2l{{\Phi }^{2}} + \frac{{{{{(q + 1)}}^{2}}}}{{q + 2}}{{l}^{2}}\frac{T}{{2\varepsilon }}\int\limits_0^t \,\Phi (s){\kern 1pt} ds{\kern 1pt} \Phi (t) + \\ \, + \frac{{{{{(q + 1)}}^{2}}}}{{q + 2}}\frac{{\left\| f \right\|_{0}^{{*2}}}}{{4{{m}_{0}}\varepsilon }}\Phi + \frac{{d(q + 2)}}{\varepsilon }{{\Phi }^{{2 + {{q}_{0}}}}} \geqslant 0, \\ \end{gathered} $

которое перепишем в общем виде, сделав замену $3\varepsilon \mapsto \varepsilon $:

(5.13)

$\Phi \Phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; - \alpha {{(\Phi ')}^{2}} + \beta {{\Phi }^{2}} + {{\gamma }_{1}}\Phi + {{\gamma }_{2}}T\int\limits_0^t \,\Phi (s){\kern 1pt} ds{\kern 1pt} \Phi (t) + {{\gamma }_{3}}{{\Phi }^{{1 + \lambda }}} \geqslant 0,$

где

(5.14)

$\alpha = \frac{{q + 2}}{{\bar {p}}}(1 - \varepsilon ),\quad \beta = 2l,\quad {{\gamma }_{1}} = \frac{{{{{(q + 1)}}^{2}}}}{{q + 2}}\frac{{3\left\| f \right\|_{0}^{{*2}}}}{{4{{m}_{0}}\varepsilon }},$

(5.15)

${{\gamma }_{2}} = {{l}^{2}}\frac{{{{{(q + 1)}}^{2}}}}{{q + 2}}\frac{3}{{2\varepsilon }},\quad {{\gamma }_{3}} = \frac{{3d(q + 2)}}{\varepsilon },\quad \lambda = 1 + {{q}_{0}}.$

Потребуем выполнения условия $\alpha > 1.$ Отсюда получим неравенства

(5.16)

$0 < \varepsilon < \frac{{q + 2 - \bar {p}}}{{q + 2}},\quad q + 2 > \bar {p}.$

Кроме того, имеем

(5.17)

$2\alpha - 1 = \frac{{{{\alpha }_{1}} - {{\alpha }_{2}}\varepsilon }}{{\bar {p}}},\quad {{\alpha }_{1}} = 2(q + 2) - \bar {p},\quad {{\alpha }_{2}} = 2(q + 2).$

Выберем параметр $\varepsilon > 0,$ входящий в коэффициенты (5.14), таким образом, чтобы коэффициент

$\frac{{2{{\gamma }_{1}}}}{{2\alpha - 1}}$

равенства (3.3) принял минимальное значение:

(5.18)

$\varepsilon = {{\varepsilon }_{0}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{q + 2 - \bar {p}}}{{q + 2}} - {{\delta }_{0}},\quad {\text{если}}\quad q + 2 \leqslant \frac{3}{2}\bar {p},} \\ {\frac{{2(q + 2) - \bar {p}}}{{4(q + 2)}},\quad {\text{если}}\quad \frac{3}{2}\bar {p} < q + 2,} \end{array}} \right.$

для любого малого ${{\delta }_{0}} > 0$. Теперь подставим это значение $\varepsilon = {{\varepsilon }_{0}}$ в коэффициенты (5.14). Проверим выполнимость условий теоремы 1.

Пусть ${{u}_{0}} \in {{V}_{0}}$ и $f \in V_{0}^{*}$ – произвольные фиксированные, а ${{u}_{1}} \in {{V}_{0}}$ – единственное решение следующего уравнения в $V_{0}^{*}$:

(5.19)

${{A}_{0}}{{u}_{1}} + \sum\limits_{j = 1}^n \,A_{{jf}}^{'}({{u}_{0}}){{u}_{1}} = - DP({{u}_{0}}) + F({{u}_{0}}) + f \in V_{0}^{*}.$

Решение ${{u}_{1}} \in {{V}_{0}}$ этого уравнения действительно существует в силу теоремы Браудера–Минти. В нашем случае функционал $\Phi (t) \in {{\mathbb{C}}^{{(2)}}}[0,{{T}_{0}})$ имеет вид (5.1). Поэтому при $t = 0$ имеем

(5.20)

$\Phi (0) = \frac{1}{2}{{\langle {{A}_{0}}{{u}_{0}},{{u}_{0}}\rangle }_{0}} + \sum\limits_{j = 1}^n \frac{{{{p}_{j}} - 1}}{{{{p}_{j}}}}{{\langle {{A}_{j}}({{u}_{0}}),{{u}_{0}}\rangle }_{j}},$

а производная Фреше функционала $\Phi (t)$ имеет следующий вид:

(5.21)

$\Phi '(t) = {{\langle {{A}_{0}}u{\kern 1pt} ',u\rangle }_{0}} + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{\langle ({{A}_{j}}(u)){\kern 1pt} ',u\rangle }_{j}}{{\langle {{A}_{0}}u{\kern 1pt} ',u\rangle }_{0}} + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{\langle A_{{jf}}^{'}(u)u{\kern 1pt} ',u\rangle }_{j}}.$

Отсюда получаем, что

(5.22)

$\Phi '(0) = {{\langle {{A}_{0}}{{u}_{1}},{{u}_{0}}\rangle }_{0}} + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{\langle A_{{jf}}^{'}({{u}_{0}}){{u}_{1}},{{u}_{0}}\rangle }_{j}}.$

С учетом равенства (5.19) и свойства (iv) условия $DP$ получим следующее выражение:

(5.23)

$\Phi {\kern 1pt} '(0) = {{\left( {F({{u}_{0}}),{{u}_{0}}} \right)}_{2}} + {{\langle f,{{u}_{0}}\rangle }_{0}}.$

Перепишем уравнение (3.3) в эквивалентном виде

(5.24)

${{K}_{1}}T_{1}^{4} + {{K}_{2}}T_{1}^{2} + {{K}_{3}} = 0,$

где

(5.25)

${{K}_{1}} = \frac{{{{\gamma }_{2}}}}{{\alpha - 1}}{{(\Phi (0))}^{2}},\quad {{K}_{3}} = \frac{1}{{{{{(\alpha - 1)}}^{2}}}}{{(\Phi (0))}^{2}},$

(5.26)

${{K}_{2}} = \frac{\beta }{{\alpha - 1}}{{(\Phi (0))}^{2}} + \frac{{2{{\gamma }_{1}}}}{{2\alpha - 1}}\Phi (0) + \frac{{2{{\gamma }_{3}}}}{{(\alpha - 1)\delta }}{{(\Phi (0))}^{{1 + \lambda }}} - {{(\Phi '(0))}^{2}}.$

Введем следующие функции:

(5.27)

${{I}_{1}}(R) = {{\left( {{{{\left. {\Phi {\kern 1pt} '(0)} \right|}}_{{R{{u}_{0}}}}}} \right)}^{2}} = {{\left( {{{{\left( {F(R{{u}_{0}}),R{{u}_{0}}} \right)}}_{2}} + {{{\langle f,R{{u}_{0}}\rangle }}_{0}}} \right)}^{2}} = {{\left( {{{R}^{{q + 2}}}{{{\left( {F({{u}_{0}}),{{u}_{0}}} \right)}}_{2}} + R{{{\langle f,{{u}_{0}}\rangle }}_{0}}} \right)}^{2}},$

(5.28)

${{I}_{2}}(R) = {{\left. {\Phi (0)} \right|}_{{R{{u}_{0}}}}} = {{R}^{2}}\frac{1}{2}{{\langle A{{u}_{0}},{{u}_{0}}\rangle }_{0}} + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{R}^{{{{p}_{j}}}}}\frac{{{{p}_{j}} - 1}}{{{{p}_{j}}}}{{\langle {{A}_{j}}({{u}_{0}}),{{u}_{0}}\rangle }_{j}}.$

Подставим теперь в правые части равенств (5.25) и (5.26) вместо ${{u}_{0}}$ элемент $R{{u}_{0}}$ при $R \geqslant 0.$ Пусть, кроме того, $x = T_{1}^{2}$. Тогда биквадратное уравнение примет вид

(5.29)

${{K}_{1}}{{x}^{2}} + {{K}_{2}}x + {{K}_{3}} = 0.$

Прежде всего, заметим, что в силу условий

(5.30)

$q + 2 > \bar {p} = \mathop {\max }\limits_{j = \overline {1,n} } {{p}_{j}},\quad 2(q + 2) > \bar {p}(1 + \lambda ) \Rightarrow \lambda < \frac{{2(q + 2)}}{{\bar {p}}} - 1$

и формул (5.27) и (5.28) коэффициент ${{K}_{2}}$ окажется отрицательным при достаточно большом $R > 0$ и при условии ${{(F({{u}_{0}}),{{u}_{0}})}_{2}} \ne 0$. Дискриминант

$\mathcal{D} = K_{2}^{2} - 4{{K}_{1}}{{K}_{3}}$

является положительным при достаточно большом $R > 0.$ Итак, при достаточно большом $R > 0$ существует положительный корень уравнения (5.29)

$T_{1}^{2} = x = \frac{{ - {{K}_{2}} + \sqrt {K_{2}^{2} - 4{{K}_{1}}{{K}_{3}}} }}{{2{{K}_{1}}}} > 0.$

Таким образом, нами доказана следующая теорема.

Теорема 4. Пусть выполнены неравенства

$q + 2 > \bar {p},\quad 0 < {{q}_{0}} < 2\frac{{q + 2 - \bar {p}}}{{\bar {p}}},$

${{u}_{0}} \in {{V}_{0}}$, $f \in V_{0}^{*}$ и ${{u}_{1}} \in {{V}_{0}}$ является решением уравнения (5.19), причем

$(F({{u}_{0}}),{{u}_{0}}) \ne 0.$

Тогда при достаточно большом $R > 0$ для начальной функции $R{{u}_{0}}$ функционал $\Phi (t),$ определенный формулой (5.1), удовлетворяет неравенству (3.4).

Справедливо следующее утверждение (см. лемму 7.4 работы [1]):

Лемма 2. Имеет место двустороннее неравенство

(5.31)

${{M}_{1}}{{\Phi }^{{1/2}}}(t) \leqslant \left\| {A(u)} \right\|_{0}^{*} \leqslant {{M}_{2}}{{\Phi }^{{1/2}}} + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{B}_{j}}{{\Phi }^{{({{p}_{j}} - 1)/{{p}_{j}}}}}(t),$

где постоянные ${{M}_{1}},$ ${{M}_{2}}$ и ${{B}_{j}}$ больше нуля и не зависят от $u(t),$

$A(u): = {{A}_{0}}u + \sum\limits_{j = 1}^n \,{{A}_{j}}(u).$

Из этой леммы вытекает следующая теорема.

Теорема 5. Пусть выполнены неравенства

$q + 2 > \bar {p},\quad 0 < {{q}_{0}} < 2\frac{{q + 2 - \bar {p}}}{{\bar {p}}},$

в качестве начальной функции ${{u}_{0}} \in {{V}_{0}}$ взята функция $R{{u}_{0}},$ а ${{u}_{1}} \in {{V}_{0}}$ – решение уравнения (5.19) при $f \in V_{0}^{*}$, в котором вместо ${{u}_{0}}$ нужно подставить $R{{u}_{0}}.$ Тогда при достаточно большом $R > 0$ время ${{T}_{0}} > 0$ существования классического решения задачи (4.1) конечно и имеет следующее предельное свойство:

(5.32)

$\mathop {\lim }\limits_{t \uparrow {{T}_{0}}} \Phi (t) = + \infty ,$

а также справедлива оценка сверху ${{T}_{0}} \leqslant {{T}_{1}}$ на время разрушения решения, где число ${{T}_{1}}$ является положительным решением биквадратного уравнения (3.3).

6. ПРИМЕРЫ

Приведем примеры начально-краевых задач, для которых справедливы полученные в работе результаты. Пусть $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{N}}$ – ограниченная область с достаточно гладкой границей $\partial \Omega $.

Пример 1. Рассмотрим начально-краевую задачу

(6.1)

$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\Delta u - u - \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left| u \right|}}^{{{{p}_{j}} - 2}}}u} \right) - u + \frac{{{{\partial }^{2}}{{{\left| u \right|}}^{{1 + {{q}_{0}}}}}}}{{\partial t\partial {{x}_{1}}}} - \frac{{\partial {{{\left| u \right|}}^{q}}u}}{{\partial t}} = 0,$

(6.2)

$u(0) = {{u}_{0}} \in H_{0}^{1}(\Omega ),\quad u{\kern 1pt} '(0) = {{u}_{1}} \in H_{0}^{1}(\Omega ),$

(6.3)

$u(x,t) = 0\quad {\text{при}}\quad x \in \partial \Omega ,$

где ${{p}_{j}} > 2,$ ${{q}_{0}} > 0,$ $q > 0.$ При этом рассматриваются следующие банаховы пространства:

(6.4)

${{V}_{0}} = H_{0}^{1}(\Omega ),\quad {{V}_{j}} = {{L}^{{{{p}_{j}}}}}(\Omega ),\quad {{W}_{1}} = H = {{L}^{2}}(\Omega ),\quad {{W}_{2}} = {{L}^{{q + 2}}}(\Omega ).$

Пример 2. Рассмотрим начально-краевую задачу

(6.5)

$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\Delta u - u - \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left| u \right|}}^{{{{p}_{j}} - 2}}}u} \right) + {{a}_{1}}\Delta u - {{a}_{2}}u + \frac{{{{\partial }^{2}}{{{\left| u \right|}}^{{1 + {{q}_{0}}}}}}}{{\partial t\partial {{x}_{1}}}} - \frac{{\partial {{{\left| u \right|}}^{q}}u}}{{\partial t}} = 0,$

(6.6)

$u(0) = {{u}_{0}} \in H_{0}^{1}(\Omega ),\quad u{\kern 1pt} '(0) = {{u}_{1}} \in H_{0}^{1}(\Omega ),$

(6.7)

$u(x,t) = 0\quad {\text{при}}\quad x \in \partial \Omega ,$

где ${{p}_{j}} > 2,$ $q > 0,$ ${{q}_{0}} > 0,$ ${{a}_{1}} > 0$ и ${{a}_{2}} > 0.$ При этом рассматриваются следующие банаховы пространства:

(6.8)

${{V}_{0}} = H_{0}^{1}(\Omega ),\quad {{V}_{j}} = {{L}^{{{{p}_{j}}}}}(\Omega ),\quad {{W}_{1}} = H_{0}^{1}(\Omega ),$

(6.9)

$H = {{L}^{2}}(\Omega ),\quad {{W}_{2}} = {{L}^{{q + 2}}}(\Omega ).$

Пример 3. Рассмотрим начально-краевую задачу

(6.10)

(6.11)

$u(0) = {{u}_{0}} \in H_{0}^{2}(\Omega ),\quad u{\kern 1pt} '(0) = {{u}_{1}} \in H_{0}^{2}(\Omega ),$

(6.12)

$u(x,t) = \frac{{\partial u(x,t)}}{{\partial {{n}_{x}}}} = 0\quad {\text{при}}\quad x \in \partial \Omega ,$

где ${{p}_{j}} > 2,$ ${{q}_{0}} > 0,$ $q > 0.$ При этом рассматриваются следующие банаховы пространства:

(6.13)

${{V}_{0}} = H_{0}^{2}(\Omega ),\quad {{V}_{j}} = W_{0}^{{1,{{p}_{j}}}}(\Omega ),\quad {{W}_{1}} = H_{0}^{1}(\Omega ),$

(6.14)

$H = {{L}^{2}}(\Omega ),\quad {{W}_{2}} = W_{0}^{{1,q + 2}}(\Omega ).$

Список литературы

Корпусов М.О. Разрушение и глобальная разрешимость в классическом смысле задачи Коши для формально гиперболического уравнения с некоэрцитивным источником // Изв. РАН. Сер. матем. 2020. Т. 84. № 5. С. 119–150.
Корпусов М.О. Разрушение решений неклассических нелокальных нелинейных модельных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 4. С. 621–648.
Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.
Al’shin A.B., Korpusov M.O., Sveshnikov A.G. Blow-up in nonlinear Sobolev type equations // De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl. 2011. V. 15. P. 648.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал