Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 4, стр. 584-595

ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена исследованию единственности классических решений первой и второй начально-краевых задач для одномерных по пространственной переменной $x$ параболических систем второго порядка в полуограниченной области с негладкой боковой границей.

В случае одного уравнения единственность классического решения первой начально-краевой задачи следует из принципа максимума (см., например, [1, с. 27]), а единственность классического решения второй начально-краевой задачи установлена в [2], [3] с помощью теоремы о знаке косой производной. Заметим, что для систем, в отличие от уравнений, принцип максимума, вообще говоря, не имеет места (см. [4]).

Из [1, с. 706], [5] следует единственность классических решений параболических начально-краевых задач в пространстве Гёльдера ${{H}^{{2 + \alpha ,1 + \alpha /2}}}(\bar {\Omega }),\;\alpha \in (0,1),$ если боковая граница рассматриваемой области – достаточно гладкая кривая, а именно – из класса ${{H}^{{1 + \alpha /2}}}$, т.е. функция, задающая указанную границу, обладает первой производной из пространства ${{H}^{{\alpha /2}}}[0,T]$.

Особый интерес указанные задачи представляют в случае областей с негладкими боковыми границами. Единственность решений первой и второй начально-краевых задач в ограниченных областях с боковыми границами из класса Жевре ${{H}^{{(1 + \alpha )/2}}}$ для одномерных по пространственной переменной $x$ параболических систем второго порядка c гёльдеровыми коэффициентами в пространстве ${{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ функций, непрерывных и ограниченных, вместе со своей пространственной производной первого порядка, в замыкании указанных областей, доказана в [6], [7]. В случае области с боковыми границами из класса ${{H}^{{(1 + \alpha )/2}}}$ для параболических систем с гёльдеровыми коэффициентами, не зависящими от временной переменной $t$, в [8] доказана теорема существования и единственности классического решения первой начально-краевой задачи из пространства ${{C}^{0}}(\bar {\Omega }).$

В [9]– [11] доказаны теоремы о существовании классических решений из пространства ${{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ первой и второй начально-краевых задач для параболических систем с Дини-непрерывными коэффициентами в полуограниченных областях на плоскости с боковой границей из класса Дини-Гёльдера ${{H}^{{1/2 + \omega }}}.$ Здесь и до конца введения $\omega $ – некоторый модуль непрерывности, удовлетворяющий условию Дини (см. ниже (1)). В [12] установлена единственность классического решения первой начально-краевой задачи для параболической системы второго порядка с дифференцируемыми коэффициентами в полуограниченной области на плоскости с боковой границей из класса ${{H}^{{1/2 + \omega }}}$ в пространстве ${{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ при дополнительном условии на старшую производную $\partial _{x}^{2}u$ этого решения и на характер его гладкости по временной переменной. В [13] доказана теорема о единственности классического решения из пространства ${{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ второй начально-краевой задачи для параболических систем с постоянными коэффициентами в полуограниченной области с боковой границей из класса Жевре ${{H}^{{(1 + \alpha )/2}}}$.

В настоящей работе рассматриваются первая и вторая начально-краевые задачи для параболических систем с дини-непрерывными коэффициентами в плоской полуограниченной области с негладкой боковой границей из класса Дини-Гёльдера ${{H}^{{1/2 + \omega }}}$ и доказывается единственность их классических решений из пространства ${{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$. Заметим, что, как следует из работ [14], [15], рассматриваемое условие на характер непрерывности боковой границы является точным для классической разрешимости первой начально-краевой задачи в пространстве ${{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$.

Параболические системы уравнений находят свое приложение, в частности, при описании эволюционных процессов в многокомпонентных средах (см., например, [16]– [21]).

Работа состоит из четырех разделов. В разд. 1 приводятся необходимые определения и формулируются основные теоремы. В разд. 2 доказывается вспомогательная лемма о единственности классического решения второй начально-краевой задачи для системы с дифференцируемыми коэффициентами. В разд. 3 и 4 доказываются основные теоремы.

Основные результаты статьи анонсированы в [22].

1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ И ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНОГО РЕЗУЛЬТАТА

Пусть фиксировано число $T > 0$. Через $C[\tau ,\eta ],$ $0 \leqslant \tau < \eta \leqslant T,$ обозначим пространство непрерывных вектор-функций $\psi :[\tau ,\eta ] \to {{\mathbb{R}}^{m}},$ $m \in \mathbb{N},$ с нормой ${{\left\| {\psi ;[\tau ,\eta ]} \right\|}^{0}} = \mathop {\max }\limits_{t \in [\tau ,\eta ]} {\text{|}}\psi (t){\text{|}}$. Положим $\mathop C\limits_0 [\tau ,\eta ] = \{ \psi \in C[\tau ,\eta ]:\psi (\tau ) = 0\} $.

Здесь и далее для числового вектора $a$ (числовой матрицы $A$) под ${\text{|}}a{\text{|}}$ (соответственно ${\text{|}}A{\text{|}}$) понимаем максимум из модулей его компонент (ее элементов).

Следуя [23, c. 147], модулем непрерывности называем непрерывную, неубывающую, полуаддитивную функцию $\omega :[0, + \infty ) \to \mathbb{R}$, для которой $\omega (0) = 0$. Говорят, что модуль непрерывности $\omega $ удовлетворяет условию Дини, если для него выполняется соотношение

Через $\mathcal{D}$ обозначим линейное пространство, состоящее из модулей непрерывности, которые удовлетворяют условию Дини (1).

В полосе $D = \{ (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{2}}\,:x \in \mathbb{R},\;t \in (0,T)\} $ выделяется область $\Omega = \{ (x,t) \in D\,:x > g(t)\} $ с боковой границей $\Sigma = \{ (x,t) \in \bar {\Omega }\,:x = g(t)\} $, где функция $g$ удовлетворяет следующему условию:

Обозначим через ${{C}^{{2,1}}}(\Omega )$ пространство вектор-функций $u:\Omega \to {{\mathbb{R}}^{m}}$, непрерывных, вместе со своими производными ${{\partial }_{t}}u,\;\partial _{x}^{l}u,$ $l = 1,2,$ в $\Omega $. Через ${{C}^{0}}(\bar {\Omega })$ обозначим пространство непрерывных и ограниченных вектор-функций $u:\bar {\Omega } \to {{\mathbb{R}}^{m}}$ с нормой ${{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{0}} = \mathop {\sup }\limits_{(x,t) \in \Omega } {\text{|}}u(x,t){\kern 1pt} {\text{|}}$. Положим

Под значениями функций и их производных на границе произвольной области $\Omega $ понимаем их предельные значения “изнутри” $\Omega $.

Пусть $\omega $ – некоторый модуль непрерывности. Введем пространства:

где ${{\Delta }_{t}}\psi (t) = \psi (t + \Delta t) - \psi (t)$, ${{\Delta }_{{x,t}}}u(x,t) = u(x + \Delta x,t + \Delta t) - u(x,t)$.

Пусть

есть оператор дробного дифференцирования порядка 1/2. Следуя [24], [25], введем пространство

Замечание 1. Если $\psi \in {{\mathop H\limits_0 }^{{1/2 + \omega }}}[0,T],\;\omega \in \mathcal{D}$, то $\psi \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$ (см. [26]). Обратное, вообще говоря, неверно (см. [25]).

В полосе $D$ рассматривается равномерно параболический по Петровскому (см. [27]) оператор

где ${{A}_{l}} = \left\| {{{a}_{{ijl}}}} \right\|_{{i,j = 1}}^{m},$ $l = 0,1,2,$ суть $m \times m$-матрицы, элементами которых являются вещественные функции, определенные в $\bar {D}$ и удовлетворяющие следующим условиям:

(a) собственные числа ${{\mu }_{r}},\;r = \overline {1,m} ,$ матрицы ${{A}_{2}}$ подчиняются неравенствам $\operatorname{Re} {{\mu }_{r}}(x,t) \geqslant \delta $ для некоторого $\delta > 0$ и всех $(x,t) \in \bar {D}$.

(б) ${{a}_{{ijl}}} \in {{H}^{{{{\omega }_{0}}}}}(\bar {D}),$ где ${{\omega }_{0}}$ – модуль непрерывности такой, что

Положим $D{\kern 1pt} * = \{ (x,t;\xi ,\tau ) \in \bar {D} \times \bar {D}\,:t > \tau \} .$ Известно (см. [28], если $m = 1$, и [29], если $m \geqslant 2$), что при выполнении условий (a) и (б) у системы $Lu = 0$ существует фундаментальная матрица решений (ФМР) $\Gamma (x,t;\xi ,\tau ),(x,t;\xi ,\tau ) \in D{\kern 1pt} *,$ и справедливы оценки

Здесь и далее через $C,\;c$ обозначаем положительные постоянные, зависящие от чисел $T,\;m$, коэффициентов оператора $L$ и модуля непрерывности ${{\omega }_{1}}$.

Основное содержание настоящей работы составляют следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (a), (б) и (2). Предположим, что вектор-функция $u \in {{C}^{{2,1}}}(\Omega ) \cap {{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ – решение задачи

Тогда $u \equiv 0$ в $\bar {\Omega }$.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (a), (б) и (2). Предположим, что вектор-функция $u \in {{C}^{{2,1}}}(\Omega ) \cap {{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ – решение задачи

Тогда $u \equiv 0$ в $\bar {\Omega }$.

Замечание 2. Из результатов [15] следует, что если $g \in {{H}^{{1/2 + {{\omega }_{1}}}}}[0,T],$ причем модуль непрерывности ${{\omega }_{1}}$ не удовлетворяет условию (1), то классическое решение первой начально-краевой задачи из пространства ${{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ может не существовать.

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ

Лемма 1. Пусть выполнены условия (2), (a) и, кроме того, (б) $\partial _{x}^{k}{{a}_{{ijl}}} \in {{H}^{{{{\omega }_{0}}}}}(\bar {D}),$ $i,j = \overline {1,m} ,$ $l = 0,1,2,$ $0 \leqslant k \leqslant l$.

Предположим, что $\omega \in \mathcal{D}$ и вектор-функция $u \in {{C}^{{2,1}}}(\Omega ) \cap {{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ – решение задачи (3), (4), удовлетворяющее условиям

где $d(x,t) = {\text{|}}x - g(t){\kern 1pt} {\text{|}},\;\omega {\kern 1pt} *$ – некоторый модуль непрерывности. Тогда $u \equiv 0$ в $\bar {\Omega }$.

Доказательство. Пусть вектор-функция $u$ удовлетворяет условиям леммы. Тогда $u$ является решением первой начально-краевой задачи

где $\psi (t) = u(g(t),t)$, $t \in [0,T]$. При этом функция $\psi $ принадлежит пространству ${{\mathop H\limits_0 }^{{1/2 + \omega + {{\omega }_{1}}}}}[0,T]$. Из [10–12], [30] следует, что функция $u$ может быть представлена в виде векторного потенциала простого слоя где $\varphi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$ — единственное в $C[0,T]$ решение граничного интегрального уравнения Вольтерра I рода Подставляя функцию (8) в граничное условие (4) и пользуясь формулой “скачка” для пространственной производной параболического потенциала простого слоя (см. [29]), получаем, что вектор-функция $\varphi $ одновременно является решением граничного интегрального уравнения Вольтерра II рода В силу единственности в $C[0,T]$ решения уравнения (9) (см. [9]) получаем, что $\varphi \equiv 0.$ Подставляя найденное решение $\varphi $ в представление (8), приходим к выводу, что $u \equiv 0$ в $\bar {\Omega }$. Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть выполнены условия (a), (б) и $f \in {{C}^{0}}(\bar {\Omega }).$ Тогда для векторного объемного потенциала

справедливы оценки Лемма 2 доказывается методом из [31], где рассматривается случай ${{\omega }_{0}}(z) = {{\omega }_{1}}(z) = C{{z}^{\alpha }}$, $\alpha \in (0,1)$.

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1

Зададим функцию $\rho \in {{C}^{\infty }}({{\mathbb{R}}^{2}})$ равенствами

где постоянная ${{C}_{1}}$ выбирается из условия Продолжим коэффициенты оператора $L$ на ${{\mathbb{R}}^{2}}$, полагая Для любого числа $r > 0$ положим и определим матричный оператор ${{L}^{{(r)}}}$ со “сглаженными” коэффициентами: где $A_{l}^{{(r)}} = \left\| {a_{{ijl}}^{{(r)}}} \right\|_{{i,j = 1}}^{m}$. Заметим, что коэффициенты операторов ${{L}^{{(r)}}}$ ограничены и бесконечно дифференцируемы в $\bar {D}$. Кроме того, существует число ${{r}_{0}} > 0$ такое, что коэффициенты операторов ${{L}^{{(r)}}}$ удовлетворяют равномерно по $r \in (0,{{r}_{0}})$ условию (a) с постоянной параболичности $\delta {\text{/}}2$ и условию (б) (см. [32]). Поэтому существуют ФМР ${{\Gamma }^{{(r)}}}$ систем ${{L}^{{(r)}}}u = 0,$ причем справедливы оценки с постоянными $C,\;c,$ не зависящими от $r \in (0,{{r}_{0}})$. Не ограничивая общности, далее считаем, что $r \in (0,{{r}_{0}})$, ${{r}_{0}} \leqslant 1$.

Для любых чисел $h > 0,$ ограниченной вектор-функции $v:\bar {D} \to \mathbb{R}$ и множества $\mathcal{B} \subset \bar {D}$ положим

Для любого числа $R > 0$ обозначим

Пусть вектор-функция $u$ удовлетворяет условиям теоремы 1. Зафиксируем произвольную точку $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in \Omega $ и докажем, что $u({{x}_{0}},{{t}_{0}}) = 0.$

Рассмотрим область ${{\Omega }_{d}} = \{ (x,t) \in \Omega \,:x > g(t) + d,\;d < t < T - d\} ,$ где число $0 < d < \min \left\{ {1,\frac{T}{2}} \right\}$ мало так, что $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in {{\Omega }_{d}}$ (число $d$ будет выбрано ниже). Пусть $\hat {u}$ – продолжение вектор-функции $u$ с $\bar {\Omega }$ на $\bar {D}$ с сохранением класса ${{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}$ (см. [1, с. 344]), удовлетворяющее оценке

Тогда вектор-функция $\bar {u}$, определяемая равенствами является продолжением $u$ с $\bar {\Omega }$ на ${{\mathbb{R}}^{2}}$ с сохранением класса ${{C}^{{1,0}}}$, причем

Для каждого $s > 0$ определим “сглаженную” вектор-функцию

Зафиксируем произвольное число $\varepsilon > 0$. Обозначим ${{\left\| u \right\|}^{{1,0}}} = {{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{1,0}}}$. Поскольку существует число $0 < {{s}_{0}} < 1$ такое, что для любого числа $0 < s < {{s}_{0}}$ имеет место неравенство то для доказательства теоремы достаточно показать, что существует число $0 < {{s}_{1}} < {{s}_{0}}$ такое, что для любого числа $0 < s < {{s}_{1}}$ имеет место неравенство

Пусть ${{\zeta }_{R}} \in {{C}^{\infty }}(\mathbb{R})$ – функция со следующими свойствами:

где число Положим

Для произвольных $0 < s < d,$ $0 < r < {{r}_{0}}$ и $R \geqslant {{R}_{0}}$ вектор-функция ${{u}_{{s,R}}}$ является решением задачи

где $f_{{s,R}}^{{(r)}}(x,t) = {{L}^{{(r)}}}{{u}_{{s,R}}}(x,t),$ ${{h}_{{s,R,d}}}(x) = {{u}_{{s,R}}}(x,d),$ ${{\theta }_{{s,R,d}}}(t) = {{\partial }_{x}}{{u}_{{s,R}}}(g(t) + d,t)$, причем выполнено условие согласования

Так как функции $f_{{s,R}}^{{(r)}},\;{{h}_{{s,R,d}}}$ и ${{\theta }_{{s,R,d}}}$ – достаточно гладкие, то в силу единственности решения задачи (20), (21) (см. лемму 1), результатов [9] и гладкости соответствующих параболических потенциалов (см. лемму 2 и [30]) вектор-функция ${{u}_{{s,R}}}$ для произвольных $0 < s < d$ и $R \geqslant {{R}_{0}}$ может быть представлена в виде

Здесь вектор-плотность $\varphi _{{s,R,d}}^{{(r)}} \in \mathop C\limits_0 [d,T - d]$ – единственное в $C[d,T - d]$ решение граничного интегрального уравнения Вольтерра II рода где

Оценим потенциалы из представления (23). Рассмотрим сначала потенциал Пуассона $P_{{s,R,d}}^{{(r)}}.$ Пусть $(x,t) \in {{\bar {\Omega }}_{d}}.$ Для любых $0 < s < d,$ $0 < r < {{r}_{0}}$ и $R \geqslant {{R}_{0}}$ в силу (18) справедливо равенство

Используя (10), (11), (15) и (16), получаем (см. обозначения (13), (14)): Отсюда и из оценок (12) вытекает неравенство где ${{\omega }_{0}}(d,R) = \omega (2d;\bar {u};{{\mathcal{B}}_{{2R + 1}}} \times [0,T]).$

Оценим ${{\partial }_{x}}P_{{s,R,d}}^{{(r)}}(x,t).$ Обозначим через $\Gamma _{1}^{{(r)}}(x,t;\xi ,\tau )$ ФМР системы

Заметим, что где $E$ – единичная матрица. В силу единственности решения задачи Коши (см. [33, с. 269]) ФМР системы ${{L}^{{(r)}}}u = 0$ может быть представлена в виде где причем имеют место оценки Из (25) и (27) следует, что Оценим $J_{{s,R,d}}^{{1,(r)}}.$ Имеем где точки ${{\bar {\xi }}_{i}},\;i = 1,2,$ расположены между $\xi $ и $x$. В силу (10), (11), (15), (16) при $0 < s < d$ справедливы неравенства: Отсюда и из (12), (18), (19) находим где ${{\omega }_{1}}(d,R) \equiv \omega (2d;{{\partial }_{x}}\bar {u};{{\mathcal{B}}_{{2R + 1}}} \times [0,T]).$

Оценим $J_{{s,R,d}}^{{2,(r)}}.$ В силу (26) и (28) получаем

Таким образом, справедлива оценка

Рассмотрим объемный потенциал $V_{{s,R,d}}^{{(r)}}$. Оценим $f_{{s,R}}^{{(r)}}$. Имеем

В силу соотношений (18), (19), (30) и условия (б) получаем Справедливо представление Используя условие (б) и гладкость $\bar {u}$, при $0 < s \leqslant d{\text{/}}2$, $0 < r < {{r}_{0}}$, $R \geqslant {{R}_{0}}$ находим Здесь и далее обозначаем $C(d,R) = C({{\left\| u \right\|}^{{1,0}}} + \mathop {\sup }\limits_{{{\Omega }_{{d/2}}} \cap ({{\mathcal{B}}_{R}} \times [0,T])} {\text{|}}\partial _{x}^{2}u{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} ).$

Таким образом, при $0 < s \leqslant d{\text{/}}2$, $0 < r < {{r}_{0}}$, $R \geqslant {{R}_{0}}$ выполнена оценка

Следовательно, в силу свойств объемного потенциала (см. лемму 2) для любых $0 < s \leqslant d{\text{/}}2$, $0 < r < {{r}_{0}}$, $R \geqslant {{R}_{0}}$ вектор-функция $V_{{s,R,d}}^{{(r)}}$ обладает следующими свойствами:

Рассмотрим потенциал простого слоя $U_{{s,R,d}}^{{(r)}}.$ Оценим $\hat {\theta }_{{s,R,d}}^{{(r)}}.$ В силу (29) и (32) достаточно оценить вектор-функцию ${{\theta }_{{s,R,d}}}.$ Положим

При $0 < s \leqslant {{d}^{2}}{\text{/}}[4(1 + \mathcal{M}{{)}^{2}}]$, $\mathcal{M} = {{\omega }_{1}}(1)$, $0 < r < {{r}_{0}}$ и $R \geqslant {{R}_{0}}$ имеем Следовательно,

Из (22), (29), (31)–(33) следует, что $\hat {\theta }_{{s,R,d}}^{{(r)}} \in \mathop C\limits_0 [d,T - d]$ и выполнены неравенства

Отсюда заключаем, что для решения $\varphi _{{s,R,d}}^{{(r)}} \in \mathop C\limits_0 [d,T - d]$ уравнения (24) имеет место оценка и, следовательно, Отсюда и из неравенств (29), (32) при $(x,t) \in {{\Omega }_{d}}$ находим где постоянная $C$ не зависит от $R,\;d,\;s$ и $r$, а $C(d,R)$ – от $s$ и $r$. Выбирая последовательно достаточно большое $R \geqslant {{R}_{0}}$, а затем – достаточно малые $d = d(R)$, $0 < r = r(d,R) < {{r}_{0}}$ и ${{s}_{1}} = {{s}_{1}}(d,R) \leqslant {{d}^{2}}{\text{/}}[4(1 + \mathcal{M}{{)}^{2}}]$, получаем неравенство (17). Теорема 1 доказана.

4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2

Пусть вектор-функция $u$ удовлетворяет условиям теоремы 2. Тогда $u$ является решением второй начально-краевой задачи

где $\theta (t) = {{\partial }_{x}}u(g(t),t)$, $t \in [0,T]$, $\theta \in \mathop C\limits_0 [0,T]$. Из теоремы 1 и результатов [9] следует, что вектор-функция $u$ может быть представлена в виде потенциала простого слоя (8), где $\varphi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$ — единственное в $C[0,T]$ решение интегрального уравнения Вольтерра II рода Подставляя вектор-функцию (8) в граничное условие задачи (5), получаем, что вектор-плотность $\varphi $ одновременно является решением интегрального уравнения Вольтерра I рода В силу единственности в $C[0,T]$ решения уравнения (34) (см. [11]) получаем, что $\varphi \equiv 0$. Подставляя найденное решение $\varphi $ в представление (8), приходим к выводу, что $u \equiv 0$ в $\bar {\Omega }$. Теорема 2 доказана.