1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 63, № 4, 2023

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 4, стр. 614-628

Прямая и обратные задачи для уравнения колебаний прямоугольной пластинки по отысканию источника

К. Б. Сабитов 1, 2, *

1 Институт математики с вычислительным центром УФИЦ РАН
450008 Уфа, ул. Чернышевского, 112, Россия

2 Стерлитамакский филиал Уфимского университета науки и технологий
453103 Стерлитамак, пр-т Ленина, 49, Россия

* E-mail: sabitov_fmf@mail.ru

Поступила в редакцию 05.02.2021
После доработки 17.11.2022
Принята к публикации 15.12.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе для уравнения колебаний прямоугольной пластинки изучены начально-граничная и обратные задачи по отысканию правой части (источника колебаний). Решения задач построены в явном виде как суммы рядов и доказаны соответствующие теоремы единственности и существования. При обосновании существования решения обратной задачи по определению сомножителя правой части, зависящей от пространственных координат, возникает проблема малых знаменателей от двух натуральных переменных, в связи с чем установлены оценки об отделенности от нуля с соответствующей асимптотикой. Эти оценки позволили доказать существование решения этой задачи в классе регулярных решений, накладывая определенные условия гладкости на данные граничные функции. Библ. 21.

Ключевые слова: уравнение колебаний прямоугольной пластины, начально-граничная и обратные задачи, интегральное уравнение Вольтерра, единственность, ряд, малые знаменатели, существование.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

Поперечные колебания тонкой однородной прямоугольной пластины толщины $h$, при этом толщина ее полагается малой по сравнению с другими размерами, со сторонами $p$ и $q$, описывается дифференциальным уравнением в частных производных четвертого порядка [1, с. 394]

(1)
$Lu \equiv {{u}_{{tt}}} + {{\alpha }^{2}}{{\Delta }^{2}}u = F(x,y,t),$
где ${{\alpha }^{2}} = EJ{\text{/}}(\rho h)$, $EJ$ – жесткость пластинки, $\rho $ – плотность пластинки, $E$ – модуль упругости материала, $J$ – момент инерции, $\Delta u = {{u}_{{xx}}} + {{u}_{{yy}}}$, $F(x,y,t)$ – непрерывная внешняя сила, рассчитанная на единицу площади пластинки, $u(x,y,t)$ – смещение точки $(x,y)$ пластинки в момент времени $t$.

Отметим, что многие задачи о колебаниях мембран, пластинок и оболочек имеют важное прикладное значение в строительной механике, машиностроении, авиастроении, судостроении, ядерных энергетических установках и т.д. Во многих случаях использование пластин связано с условиями закрепления на отдельных участках их контура. Такие задачи изучены в известных работах [2, с. 444–449], [3, с. 132–133], [4, с. 35–69] и многих других.

Рассмотрим уравнение (1) в области

$Q = D \times (0,T),\quad {\text{где}}\quad D = \{ (x,y)\,{\text{|}}\,0 < x < p,\;0 < y < q\} ,$
здесь $p$ и $q$ отмечены выше, размеры пластинки, $T$ – заданная положительная постоянная, и поставим следующие задачи.

Задача 1. Найти определенную в области $Q$ функцию $u(x,y,t)$, удовлетворяющую условиям:

(2)
$u(x,y,t) \in C_{{xy,t}}^{{4,2}}(\bar {Q});$
(3)
$Lu(x,y,t) \equiv F(x,y,t),\quad (x,y,t) \in Q;$
(4)
$\begin{gathered} u(0,y,t) = {{u}_{{xx}}}(0,y,t) = u(p,y,t) = {{u}_{{xx}}}(p,y,t) = 0,\quad 0 \leqslant y \leqslant q,\quad 0 \leqslant t \leqslant T, \\ u(x,0,t) = {{u}_{{yy}}}(x,0,t) = u(x,q,t) = {{u}_{{yy}}}(x,q,t) = 0,\quad 0 \leqslant x \leqslant p,\quad 0 \leqslant t \leqslant T; \\ \end{gathered} $
(5)
$u(x,y,0) = \varphi (x,y),\quad {{u}_{t}}(x,y,0) = \psi (x,y),\quad (x,y) \in \bar {D},$
где $F(x,y,t)$, $\varphi (x,y)$ и $\psi (x,y)$ – заданные достаточно гладкие функции.

Здесь граничные условия (4) означают, что все стороны пластинки подперты, т.е. свободно могут двигаться вокруг точек закрепления.

Задача 2. Пусть $F(x,y,t) = f(x,y)g(t)$. Найти функции $u(x,y,t)$ и $g(t)$, удовлетворяющие условиям (2)–(5), и, кроме того,

(6)
$g(t) \in C[0,T];$
(7)
$u({{x}_{0}},{{y}_{0}},t) = h(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T,$
где $f(x,y)$ и $h(t)$ – заданные достаточно гладкие функции, $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ – заданная точка из области $D$.

Задача 3. Пусть $F(x,y,t) = f(x,y)g(t)$. Найти пару функций $u(x,y,t)$ и $f(x,y)$, удовлетворяющих условиям (2)–(5) и, кроме того,

(8)
$f(x,y) \in C(\bar {D});$
(9)
$u(x,y,{{t}_{0}}) = {{\varphi }_{0}}(x,y),\quad (x,y) \in \bar {D},$
где $g(t)$ и ${{\varphi }_{0}}(x,y)$ – заданные достаточно гладкие функции, ${{t}_{0}}$ – заданная точка из полуинтервала $(0,T]$.

Из постановок этих задач видно, что задача 1 представляет собой прямую начально-граничную задачу для неоднородного уравнения колебаний прямоугольной пластинки. Задачи 2 и 3 являются обратными, поэтому здесь условия (7) и (9) являются дополнительными для определения сомножителей $g(t)$ и $f(x,y)$ правой части $F(x,y,t)$ уравнения (1).

Данная работа является продолжением исследований автора [5–9], посвященных обоснованию корректности постановки начально-граничных и обратных задач для одномерного уравнения балки. Постановка обратных задач 2 и 3 исходит из работ [10–15], где аналогичные задачи изучены для уравнений теплопроводности, струны и операторных уравнений. Решения поставленных задач построены в явном виде как суммы рядов и доказаны соответствующие теоремы единственности и существования решений. Отметим, что при обосновании сходимости рядов, представляющих решение задачи 3, возникает проблема малых знаменателей [16], [17], которая создает дополнительные трудности. В связи с чем установлены оценки об отделенности от нуля с соответствующей асимптотикой. На основе этой оценки обоснована сходимость рядов в классе регулярных решений уравнения (1).

2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ 1

2.1. Энергетическое неравенство. Единственность решения

Теорема 1. Если существует решение начально-граничной задачи (2)–(5), то при любом $t \in [0,T]$ для решения справедливо неравенство

(10)
$\begin{gathered} \iint\limits_D \,[u_{t}^{2} + {{\alpha }^{2}}(u_{{xx}}^{2} + 2u_{{xy}}^{2} + u_{{yy}}^{2})]{\kern 1pt} dxdy \leqslant \\ \leqslant {{e}^{T}}\left[ {\iint\limits_D \,[{{\psi }^{2}} + {{\alpha }^{2}}(\varphi _{{xx}}^{2} + 2\varphi _{{xy}}^{2} + \varphi _{{yy}}^{2})]{\kern 1pt} dxdy + \iiint\limits_Q \,{{F}^{2}}(x,y,t){\kern 1pt} dxdydt} \right]. \\ \end{gathered} $

Отметим, что интеграл

${{E}_{0}}(t) = \frac{1}{2}\iint\limits_D \,[\rho hu_{t}^{2} + EJ(u_{{xx}}^{2} + 2u_{{xy}}^{2} + u_{{yy}}^{2})]{\kern 1pt} dxdy = \rho h\frac{1}{2}\iint\limits_D \,[u_{t}^{2} + {{\alpha }^{2}}(u_{{xx}}^{2} + 2u_{{xy}}^{2} + u_{{yy}}^{2})]{\kern 1pt} dxdy = \rho hE(t)$
представляет собой закон сохранения энергии свободных колебаний однородной пластинки при нулевых граничных условиях (4).

Действительно, кинетическая энергия движущейся пластинки состоит из поступательного движения элемента $dxdy$ параллельно смещению $u(x,y,t)$ и определяется интегралом

$K(t) = \frac{1}{2}\iint\limits_D \,\rho hu_{t}^{2}{\kern 1pt} dxdy,$
где $\rho h$ есть масса единицы площади пластинки.

Потенциальная энергия колебаний пластинки зависит от жесткости $EJ$ при изгибе и находится интегралом [2, с. 446]

$\Pi (t) = \frac{1}{2}\iint\limits_D \,EJ(u_{{xx}}^{2} + 2u_{{xy}}^{2} + u_{{yy}}^{2}){\kern 1pt} dxdy.$
Следовательно, интеграл ${{E}_{0}}(t) = K(t) + \Pi (t)$ представляет собой полную энергию свободных поперечных колебаний пластинки.

Доказательство теоремы. Рассмотрим тождество

$\begin{gathered} {{u}_{t}}Lu = \frac{1}{2}[u_{t}^{2} + {{\alpha }^{2}}(u_{{xx}}^{2} + 2u_{{xy}}^{2} + u_{{yy}}^{2})]_{t}^{'} + {{\alpha }^{2}}({{u}_{t}}{{u}_{{xxx}}} - {{u}_{{tx}}}{{u}_{{xx}}} + {{u}_{t}}{{u}_{{xyy}}} - {{u}_{{ty}}}{{u}_{{xy}}})_{x}^{'} + \\ \, + {{\alpha }^{2}}({{u}_{t}}{{u}_{{yyy}}} - {{u}_{{ty}}}{{u}_{{yy}}} + {{u}_{t}}{{u}_{{xxy}}} - {{u}_{{tx}}}{{u}_{{xy}}})_{y}^{'} \\ \end{gathered} $
и интегрируя его по области
${{Q}_{\tau }} = Q \cap \{ t < \tau \} ,\quad 0 < \tau \leqslant T,$
будем иметь
(11)
$E(\tau ) - E(0) + {{J}_{1}} + {{J}_{2}} + {{J}_{3}} + {{J}_{4}} = \iiint\limits_{{{Q}_{\tau }}} \,F{{u}_{t}}{\kern 1pt} dxdydt,$
где
${{J}_{1}} = {{\alpha }^{2}}\iint\limits_{{{S}_{1}}} \,({{u}_{t}}{{u}_{{xxx}}} - {{u}_{{tx}}}{{u}_{{xx}}} + {{u}_{t}}{{u}_{{xyy}}} - {{u}_{{ty}}}{{u}_{{xy}}}){\kern 1pt} dydt,$
${{J}_{2}} = {{\alpha }^{2}}\iint\limits_{{{S}_{2}}} \,({{u}_{t}}{{u}_{{yyy}}} - {{u}_{{ty}}}{{u}_{{yy}}} + {{u}_{t}}{{u}_{{xxy}}} - {{u}_{{tx}}}{{u}_{{xy}}}){\kern 1pt} dxdt,$
${{J}_{3}} = {{\alpha }^{2}}\iint\limits_{{{S}_{3}}} \,({{u}_{t}}{{u}_{{xxx}}} - {{u}_{{tx}}}{{u}_{{xx}}} + {{u}_{t}}{{u}_{{xyy}}} - {{u}_{{ty}}}{{u}_{{xy}}}){\kern 1pt} dydt,$
${{J}_{4}} = {{\alpha }^{2}}\iint\limits_{{{S}_{4}}} \,({{u}_{t}}{{u}_{{yyy}}} - {{u}_{{ty}}}{{u}_{{yy}}} + {{u}_{t}}{{u}_{{xyy}}} - {{u}_{{tx}}}{{u}_{{xy}}}){\kern 1pt} dxdt,$
${{S}_{i}},i = \overline {1,4} $ – грани параллелепипеда ${{Q}_{\tau }}$, лежащие соответственно на плоскостях $x = p,$ $y = q,$ $x = 0,$ $y = 0$.

Пусть выполнены граничные условия (4), т.е. $u = {{u}_{{xx}}} = 0$ при $x = 0$ и $x = p$, и $u = {{u}_{{yy}}} = 0$ при $y = 0$ и $y = q$. Тогда ${{u}_{t}} = {{u}_{y}} = {{u}_{{ty}}} = 0$ при $x = 0$ и $x = p$, поэтому интегралы ${{J}_{1}} = {{J}_{3}} = 0$. Аналогично ${{u}_{t}} = {{u}_{x}} = {{u}_{{tx}}} = 0$ при $y = 0$ и $y = q$, в силу чего, интегралы ${{J}_{2}} = {{J}_{4}} = 0$.

Тогда из равенства (11) следует, что

(12)
$E(\tau ) \leqslant E(0) + \frac{1}{2}\iiint\limits_{{{Q}_{\tau }}} \,{{F}^{2}}(x,y,t)dxdydt + \frac{1}{2}\iiint\limits_{{{Q}_{\tau }}} \,u_{t}^{2}{\kern 1pt} dxdydt = A + \frac{1}{2}\int\limits_0^\tau \,dt\iint\limits_D \,u_{t}^{2}dxdy \leqslant A + \int\limits_0^\tau \,E(t)dt,$
где

$A = E(0) + \frac{1}{2}\iiint\limits_{{{Q}_{\tau }}} \,{{F}^{2}}(x,y,t){\kern 1pt} dxdydt.$

Отсюда, следуя [18, с. 77], получим

(13)
$A + \int\limits_0^T \,E(t)dt \leqslant A{{e}^{T}}.$
Тогда из неравенств (12), (13) следует оценка (10).

Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 правая часть $F(x,y,t)$ уравнения (1) равна нулю, то при любом $t \in [0,T]$ справедливо равенство

(14)
$E(t) = E(0) = \frac{1}{2}\iint\limits_D \,[{{\psi }^{2}}(x,y) + {{\alpha }^{2}}(\varphi _{{xx}}^{2} + 2\varphi _{{xy}}^{2} + \varphi _{{yy}}^{2})]{\kern 1pt} dxdy,$
т.е. равенство (14) означает, что полная энергия собственных колебаний однородной пластины остается в течение всего процесса колебаний постоянной и равной ее начальной энергии.

Справедливость равенства (14) следует из соотношения (11).

Следствие 2 (теорема единственности). Если существует решение задачи (2)–(5), то оно единственно.

Доказательство. Пусть существуют две функции ${{u}_{1}}(x,y,t)$ и ${{u}_{2}}(x,y,t)$, удовлетворяющие условиям следствия 2. Тогда их разность ${{u}_{1}}(x,y,t) - {{u}_{2}}(x,y,t) = u(x,y,t)$ принадлежит классу (2), удовлетворяет однородному уравнению $Lu \equiv 0$ в $Q$, нулевым начальным условиям $u(x,y,0) = {{u}_{t}}(x,y,0) \equiv 0$ и граничным условиям (4). Для такого решения из равенства (14) имеем

$E(t) = \frac{1}{2}\iint\limits_Q \,[u_{t}^{2} + {{\alpha }^{2}}(u_{{xx}}^{2} + 2u_{{xy}}^{2} + u_{{yy}}^{2})]{\kern 1pt} dxdy = 0$
при любом $t \in [0,T]$. Данное равенство возможно только тогда, когда ${{u}_{t}} \equiv 0,$ ${{u}_{{xx}}} \equiv 0,$ ${{u}_{{xy}}} \equiv 0$ и ${{u}_{{yy}}} \equiv 0$ в области $Q$. Из этих условий следует, что $u(x,y,t) = ax + by + c$, где $a,\;b$ и $c$ – произвольные постоянные. По условию эта функция должна удовлетворять одному из граничных условий (4) и нулевым начальным условиям. Из граничных условий (4) следует, что $a = b = c = 0$. Следовательно, $u(x,y,t) \equiv 0$ в $\bar {Q}$.

2.2. Колебания пластины, шарнирно опирающейся на все края

Разделяя переменные $u(x,y,t) = {v}(x,y)f(t)$ в уравнении (1) при $F(x,y,t) \equiv 0$, относительно функции ${v}(x,y)$ получим следующую спектральную задачу:

(15)
$\Delta (\Delta {v}) + {{\lambda }^{2}}{v} = 0,\quad (x,y) \in D,$
(16)
$\begin{gathered} {v}(0,y) = {{u}_{{xx}}}(0,y) = {v}(p,y) = {{{v}}_{{xx}}}(p,y) = 0,\quad 0 \leqslant y \leqslant q, \\ {v}(x,0) = {{{v}}_{{yy}}}(x,0) = {v}(x,q) = {{{v}}_{{yy}}}(x,q) = 0,\quad 0 \leqslant x \leqslant p. \\ \end{gathered} $
В качестве решения спектральной задачи (15), (16) возьмем функции
(17)
${{{v}}_{{mn}}}(x,y) = \frac{2}{{\sqrt {pq} }}\sin \frac{{m\pi x}}{p}\sin \frac{{n\pi y}}{q},$
которые соответствуют собственным значениям

(18)
${{\lambda }_{{mn}}} = {{\left( {\frac{{m\pi }}{p}} \right)}^{2}} + {{\left( {\frac{{n\pi }}{q}} \right)}^{2}},\quad m,n \in \mathbb{N}.$

Отметим, что система собственных функций (17) задачи (15), (16) является полной и ортонормированной в пространстве ${{L}_{2}}(D)$ и образует там базис.

Следуя работам [5], [6], введем функции

(19)
${{u}_{{mn}}}(t) = \iint\limits_D \,u(x,y,t){{{v}}_{{mn}}}(x,y){\kern 1pt} dxdy,$
где $u(x,y,t)$ – решение начально-граничной задачи (2)–(5).

Дифференцируя равенство (19) дважды по $t \in (0,T)$ и учитывая уравнение (1), получим

(20)
$u_{{mn}}^{{''}}(t) = \iint\limits_D \,F(x,y,t){{{v}}_{{mn}}}(x,y){\kern 1pt} dxdy - {{\alpha }^{2}}\iint\limits_D \,({{u}_{{xxxx}}} + 2{{u}_{{xxyy}}} + {{u}_{{yyyy}}}){{{v}}_{{mn}}}(x,y){\kern 1pt} dxdy.$
Интегрируя по частям с учетом граничных условий (4) и (16), будем иметь
$\iint\limits_D \,{{u}_{{xxxx}}}{{{v}}_{{mn}}}(x,y)dxdy = {{\left( {\frac{{m\pi }}{p}} \right)}^{4}}{{u}_{{mn}}}(t),$
$\iint\limits_D \,{{u}_{{yyyy}}}{{{v}}_{{mn}}}(x,y)dxdy = {{\left( {\frac{{n\pi }}{q}} \right)}^{4}}{{u}_{{mn}}}(t),$
$\iint\limits_D \,{{u}_{{xxyy}}}{{{v}}_{{mn}}}(x,y)dxdy = {{\left( {\frac{{m\pi }}{p}} \right)}^{2}}{{\left( {\frac{{n\pi }}{q}} \right)}^{2}}{{u}_{{mn}}}(t).$
Подставляя значения этих интегралов в равенство (20), получим
(21)
$u_{{mn}}^{{''}}(t) - {{\alpha }^{2}}\lambda _{{mn}}^{2}{{u}_{{mn}}}(t) = {{F}_{{mn}}}(t),$
здесь

(22)
${{F}_{{mn}}}(t) = \iint\limits_D \,F(x,y,t){{{v}}_{{mn}}}(x,y){\kern 1pt} dxdy.$

Общее решение дифференциального уравнения (21) находится по формуле

(23)
${{u}_{{mn}}} = {{a}_{{mn}}}\cos \alpha {{\lambda }_{{mn}}}t + {{b}_{{mn}}}\sin \alpha {{\lambda }_{{mn}}}t + \frac{1}{{\alpha {{\lambda }_{{mn}}}}}\int\limits_0^t \,{{F}_{{mn}}}(s)\sin [\alpha {{\lambda }_{{mn}}}(t - s)]ds,$
где ${{a}_{{mn}}}$ и ${{b}_{{mn}}}$ – произвольные постоянные. Для определения неизвестных ${{a}_{{mn}}}$ и ${{b}_{{mn}}}$ воспользуемся начальными условиями (5) и формулой (19):
(24)
${{u}_{{mn}}}(0) = \iint\limits_D \,u(x,y,0){{{v}}_{{mn}}}(x,y)dxdy = \iint\limits_D \,\varphi (x,y){{{v}}_{{mn}}}(x,y)dxdy = {{\varphi }_{{mn}}},$
(25)
$u_{{mn}}^{'}(0) = \iint\limits_D \,{{u}_{t}}(x,y,0){{{v}}_{{mn}}}(x,y)dxdy = \iint\limits_D \,\psi (x,y){{{v}}_{{mn}}}(x,y)dxdy = {{\psi }_{{mn}}}.$
Удовлетворив функции (23) начальным условиям (24) и (25), найдем
${{a}_{{mn}}} = {{\varphi }_{{mn}}},\quad {{b}_{{mn}}} = \frac{{{{\psi }_{{mn}}}}}{{\alpha {{\lambda }_{{mn}}}}}.$
Подставляя найденные значения ${{a}_{{mn}}}$ и ${{b}_{{mn}}}$ в формулу (23), получим явный вид функций
(26)
${{u}_{{mn}}}(t) = {{\varphi }_{{mn}}}\cos {{\omega }_{{mn}}}t + \frac{{{{\psi }_{{mn}}}}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\sin {{\omega }_{{mn}}}t + {{\widetilde F}_{{mn}}}(t),$
где

(27)
${{\widetilde F}_{{mn}}}(t) = \frac{1}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\int\limits_0^t \,{{F}_{{mn}}}(s)\sin [{{\omega }_{{mn}}}(t - s)]ds,\quad {{\omega }_{{mn}}} = \alpha {{\lambda }_{{mn}}}.$

На основании частных решений (26) и (17) решение задачи (2)–(5) можно определить в виде суммы ряда Фурье:

(28)
$u(x,y,t) = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{u}_{{mn}}}(t){{{v}}_{{mn}}}(x,y).$

В дальнейшем правую часть $F(x,y,t)$ уравнения (1) представим в виде: $F(x,y,t) = f(x,y)g(t)$, так как в задачах 2 и 3 используется такое представление. Тогда функции (22) и (26) прини-мают вид:

(29)
${{F}_{{mn}}}(t) = {{f}_{{mn}}}g(t),$
(30)
${{u}_{{mn}}}(t) = {{\varphi }_{{mn}}}\cos {{\omega }_{{mn}}}t + \frac{{{{\psi }_{{mn}}}}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\sin {{\omega }_{{mn}}}t + {{f}_{{mn}}}{{g}_{{mn}}}(t),$
где

(31)
${{f}_{{mn}}} = \iint\limits_D \,f(x,y){{{v}}_{{mn}}}(x,y)dxdy,$
(32)
${{g}_{{mn}}}(t) = \frac{1}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\int\limits_0^t \,g(s)\sin [{{\omega }_{{mn}}}(t - s)]ds.$

Лемма 1. При любом $t \in [0,t]$ справедливы оценки

(33)
${\text{|}}{{u}_{{mn}}}(t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{C}_{1}}\left( {{\text{|}}{{\varphi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}} + \frac{1}{{{{\lambda }_{{mn}}}}}{\text{|}}{{\psi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}} + \frac{1}{{{{\lambda }_{{mn}}}}}{\text{|}}{{f}_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}{{{\left\| g \right\|}}_{{{{L}_{2}}(0,T)}}}} \right),$
(34)
${\text{|}}u_{{mn}}^{{''}}(t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{C}_{2}}(\lambda _{{mn}}^{2}{\kern 1pt} {\text{|}}{{\varphi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}} + {{\lambda }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}{{\psi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}} + {{\lambda }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}{{f}_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}{{\left\| g \right\|}_{{{{L}_{2}}(0,T)}}}),$
где ${{C}_{i}}$ – здесь и далее положительные постоянные, зависящие, вообще говоря, от $\alpha ,\;p,\;q$ и $T$.

Справедливость оценок (33) и (34) следует из формул (26), (27) и (29).

Формально из ряда (28) почленным дифференцированием составим ряды

(35)
${{u}_{{tt}}} = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,u_{{mn}}^{{''}}(t){{{v}}_{{mn}}}(x,y),$
(36)
${{u}_{{xxxx}}} = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{u}_{{mn}}}(t){{\left( {\frac{{m\pi }}{p}} \right)}^{4}}{{{v}}_{{mn}}}(x,y),$
(37)
${{u}_{{yyyy}}} = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{u}_{{mn}}}(t){{\left( {\frac{{n\pi }}{q}} \right)}^{4}}{{{v}}_{{mn}}}(x,y),$
(38)
${{u}_{{xxyy}}} = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{u}_{{mn}}}(t){{\left( {\frac{{m\pi }}{p}} \right)}^{2}}{{\left( {\frac{{n\pi }}{q}} \right)}^{2}}{{{v}}_{{mn}}}(x,y).$
Ряды (28), (35)–(38) при любых $(x,y,t) \in \bar {Q}$ на основании леммы 1 мажорируются рядом

(39)
${{C}_{3}}\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,(\lambda _{{mn}}^{2}{\kern 1pt} {\text{|}}{{\varphi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}} + {{\lambda }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}{{\psi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}} + {{\lambda }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}{{f}_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}{{\left\| g \right\|}_{{{{L}_{2}}(0,T)}}}).$

Лемма 2. Если $\varphi (x,y) \in {{C}^{6}}(\bar {D})$, $\varphi (0,y)\;\, = \;\,{{\varphi }_{{xx}}}(0,y)$ = ${{\varphi }_{{xxxx}}}(0,y) = \varphi (p,y) = {{\varphi }_{{xx}}}(p,y) = $ $ = {{\varphi }_{{xxxx}}}(p,y) = 0$, $0 \leqslant y \leqslant q$, $\varphi (x,0) = {{\varphi }_{{yy}}}(x,0) = $ ${{\varphi }_{{yyyy}}}(x,0) = \varphi (x,q) = $ ${{\varphi }_{{yy}}}(x,q) = {{\varphi }_{{yyyy}}}(x,q) = 0$, $0 \leqslant x \leqslant p$; $\psi (x,y) \in {{C}^{4}}(\overline D )$, $\psi (0,y) = {{\psi }_{{xx}}}(0,y) = $ $\psi (p,y) = {{\psi }_{{xx}}}(p,y) = 0$, $0 \leqslant y \leqslant q$, $\psi (x,0) = $ $ = {{\psi }_{{yy}}}(x,0) = \psi (x,q) = {{\psi }_{{yy}}}(x,q) = 0$, $0 \leqslant x \leqslant p$, $f(x,y) \in {{C}^{4}}(\bar {D})$, $f(0,y) = {{f}_{{xx}}}(0,y) = f(p,y) = $ $ = {{f}_{{xx}}}(p,y) = 0$, $0 \leqslant y \leqslant q$, $f(x,0) = {{f}_{{yy}}}(x,0) = $ $f(x,q) = {{f}_{{yy}}}(x,q) = 0$, $0 \leqslant x \leqslant p$, $g(t)] \in C(0,T) \cap $ $ \cap \;{{L}_{2}}(0,T),$ то справедливы представления:

(40)
$\begin{gathered} {{\varphi }_{{mn}}} = {{\left[ {\pi \left( {\frac{m}{p} + \frac{n}{q}} \right)} \right]}^{{ - 6}}}({\kern 1pt} {\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(6,0)}}{\kern 1pt} {\text{|}} + 6{\kern 1pt} {\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(5,1)}}{\kern 1pt} {\text{|}} + 15{\kern 1pt} {\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(4,2)}}{\kern 1pt} {\text{|}} + 20{\kern 1pt} {\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(3,3)}}{\kern 1pt} {\text{|}} + \\ \, + 15{\kern 1pt} {\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(2,4)}}{\kern 1pt} {\text{|}} + 6{\kern 1pt} {\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(1,5)}}{\kern 1pt} {\text{|}}\; + \;{\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(0,6)}}{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} ) = {{\left[ {\pi \left( {\frac{m}{p} + \frac{n}{q}} \right)} \right]}^{{ - 6}}}\mathop {\sum\limits_{0 \leqslant i,j \leqslant 6} }\limits_{i + j = 6} {\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(i,j)}}{\kern 1pt} {\text{|}}; \\ \end{gathered} $
(41)
${{\psi }_{{mn}}} = {{\left[ {\pi \left( {\frac{m}{p} + \frac{n}{q}} \right)} \right]}^{{ - 4}}}\mathop {\sum\limits_{0 \leqslant i,j \leqslant 4} }\limits_{i + j = 4} {\text{|}}\psi _{{mn}}^{{(i,j)}}{\kern 1pt} {\text{|}},$
(42)
${{f}_{{mn}}} = {{\left[ {\pi \left( {\frac{m}{p} + \frac{n}{q}} \right)} \right]}^{{ - 4}}}\mathop {\sum\limits_{0 \leqslant i,j \leqslant 4} }\limits_{i + j = 4} {\text{|}}f_{{mn}}^{{(i,j)}}{\kern 1pt} {\text{|}},$
где $\varphi _{{mn}}^{{(i,j)}},$ $\psi _{{mn}}^{{(i,j)}}$, $f_{{mn}}^{{(i,j)}}$– коэффициенты Фурье соответствующих производных
$\frac{{{{\partial }^{{i + j}}}\varphi (x,y)}}{{\partial {{x}^{i}}\partial {{y}^{j}}}},\quad \frac{{{{\partial }^{{i + j}}}\psi (x,y)}}{{\partial {{x}^{i}}\partial {{y}^{j}}}},\quad \frac{{{{\partial }^{{i + j}}}f(x,y)}}{{\partial {{x}^{i}}\partial {{y}^{j}}}},$
по системам функций $\frac{{{{\partial }^{{i + j}}}{{{v}}_{{mn}}}(x,y)}}{{\partial {{x}^{i}}\partial {{y}^{j}}}}$, при этом следующие ряды сходятся:

(43)
$\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(i,j)}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} \leqslant \iint\limits_D {{\left( {\frac{{{{\partial }^{6}}\varphi (x,y)}}{{\partial {{x}^{i}}\partial {{y}^{j}}}}} \right)}^{2}}dxdy,\quad i + j = 6,$
(44)
$\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{\text{|}}\psi _{{mn}}^{{(i,j)}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} \leqslant \iint\limits_D {{\left( {\frac{{{{\partial }^{4}}\psi (x,y)}}{{\partial {{x}^{i}}\partial {{y}^{j}}}}} \right)}^{2}}dxdy,\quad i + j = 4,$
(45)
$\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{\text{|}}f_{{mn}}^{{(i,j)}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} \leqslant \iint\limits_D {{\left( {\frac{{{{\partial }^{4}}f(x,y)}}{{\partial {{x}^{i}}\partial {{y}^{j}}}}} \right)}^{2}}dxdy,\quad i + j = 4.$

Доказательство. Следуя аналогично работе [19, с. 335], интегрируя по частям в интегралах формул (24), (25), (22), получим искомые представления (40)–(42), а оценки (43)–(45) являются аналогами неравенств Бесселя для двойных рядов Фурье.

На основании леммы 2 обоснуем сходимость ряда (39). Из равенства (18) следует, что

(46)
${{\left( {\frac{\pi }{{{{l}_{M}}}}} \right)}^{2}}({{m}^{2}} + {{n}^{2}}) \leqslant {{\lambda }_{{mn}}} \leqslant {{\left( {\frac{\pi }{{{{l}_{m}}}}} \right)}^{2}}({{m}^{2}} + {{n}^{2}}),\quad {{l}_{m}} = \min \{ p,q\} ;\quad \frac{1}{{{{{\left( {\frac{m}{p} + \frac{n}{q}} \right)}}^{2}}}} \leqslant \frac{{l_{M}^{2}}}{{{{{(m + n)}}^{2}}}},\quad {{l}_{M}} = \max \{ p,q\} .$
Тогда ряд (39) мажорируется рядом
${{C}_{4}}\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \frac{1}{{{{{(m + n)}}^{2}}}}\left[ {\mathop {\sum\limits_{i + j = 6} }\limits_{0 \leqslant i,j \leqslant 6} {\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(i,j)}}{\kern 1pt} {\text{|}} + \mathop {\sum\limits_{i + j = 4} }\limits_{0 \leqslant i,j \leqslant 4} {\text{|}}\psi _{{mn}}^{{(i,j)}}{\kern 1pt} {\text{|}} + \mathop {\sum\limits_{0 \leqslant i,j \leqslant 4} }\limits_{i + j = 4} {\text{|}}f_{{mn}}^{{(i,j)}}{\kern 1pt} {\text{|}}} \right],$
который в силу сходимости рядов (43)–(45) и неравенства
$\frac{1}{{{{{(m + n)}}^{2}}}} \leqslant \frac{1}{{4mn}} < \frac{1}{{mn}}$
сходится при любом $t \in [0,T]$. Отсюда следует, что ряды (28), (35)–(38) сходятся равномерно на $\bar {Q}$. Тогда сумма ряда (28) удовлетворяет всем условиям задачи (2)–(5).

Следовательно, нами доказана следующая

Терема 2. Если функции $\varphi (x,y),$ $\psi (x,y)$, $f(x,y)$ и $g(t)$ удовлетворяют условиям леммы 2, то существует единственное решение задачи (2)–(5), которое определяется суммой ряда (28).

Теперь установим устойчивость решения поставленной задачи от начальных функций $\varphi (x,y),$ $\psi (x,y)$ и правой части $F(x,y,t)$.

Терема 3. Для решения (28) задачи (2)–(5) имеют место оценки:

(47)
${{\left\| {u(x,y,t)} \right\|}_{{{{L}_{2}}(D)}}} \leqslant {{C}_{5}}({\kern 1pt} {{\left\| {\varphi (x,y)} \right\|}_{{{{L}_{2}}(D)}}} + {{\left\| {\psi (x,y)} \right\|}_{{{{L}_{2}}(D)}}} + {{\left\| {F(x,y,t)} \right\|}_{{{{L}_{2}}(Q)}}}),$
(48)
${{\left\| {u(x,y,t)} \right\|}_{{C(\bar {Q})}}} \leqslant {{C}_{6}}({{\left\| {\varphi (x,y)} \right\|}_{{{{C}^{2}}(\bar {D})}}} + {{\left\| {\psi (x,y)} \right\|}_{{C(\bar {D})}}} + {{\left\| {F(x,y,t)} \right\|}_{{C(\bar {Q})}}}).$

Доказательство. Поскольку система (17) ортонормирована в ${{L}_{2}}(D)$, то из формулы (28) на основании оценки (33) получим

$\begin{gathered} \left\| {u(x,y,t)} \right\|_{{{{L}_{2}}(D)}}^{2} = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,u_{{mn}}^{2}(t) \leqslant 3C_{1}^{2}\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \left( {{\text{|}}{{\varphi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} + \frac{1}{{\lambda _{{mn}}^{2}}}{\text{|}}{{\psi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} + \frac{1}{{\lambda _{{mn}}^{2}}}{\text{|}}{{f}_{{mn}}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}}\left\| g \right\|_{{{{L}_{2}}(0,T)}}^{2}} \right) = \\ = 3C_{1}^{2}\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,({\kern 1pt} {\text{|}}{{\varphi }_{{mn{\kern 1pt} }}}{{{\text{|}}}^{2}}\; + \;{\text{|}}{{\psi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}}\; + \;{\text{|}}{{f}_{{mn}}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}}\left\| g \right\|_{{{{L}_{2}}(0,T)}}^{2}) \leqslant 3C_{1}^{2}({\kern 1pt} \left\| {\varphi (x,y)} \right\|_{{{{L}_{2}}(D)}}^{2} + \left\| {\psi (x,y)} \right\|_{{{{L}_{2}}(D)}}^{2} + \left\| {F(x,y,t)} \right\|_{{{{L}_{2}}(Q)}}^{2}). \\ \end{gathered} $
Отсюда и получим оценку (47).

Пусть $(x,y,t)$ – произвольная точка из $\bar {Q}$. Тогда из (28) с учетом оценки (33) имеем

(49)
${\text{|}}u(x,y,t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \frac{{2{{C}_{1}}}}{{\sqrt {pq} }}\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \left( {{\text{|}}{{\varphi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}} + \frac{1}{{{{\lambda }_{{mn}}}}}{\text{|}}{{\psi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}} + \frac{1}{{{{\lambda }_{{mn}}}}}{\text{|}}{{f}_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}{{{\left\| g \right\|}}_{{{{L}_{2}}(0,T)}}}} \right).$
По условию коэффициент ${{\varphi }_{{mn}}}$ можно представить
(50)
${\text{|}}{{\varphi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}} = {{\left[ {\pi \left( {\frac{m}{p} + \frac{n}{q}} \right)} \right]}^{{ - 2}}}({\kern 1pt} {\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(2,0)}}{\kern 1pt} {\text{|}} + 2{\kern 1pt} {\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(1,1)}}{\kern 1pt} {\text{|}}\; + \;{\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(0,2)}}{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} ) = {{\left[ {\pi \left( {\frac{m}{p} + \frac{n}{q}} \right)} \right]}^{{ - 2}}}\mathop {\sum\limits_{0 \leqslant i,j \leqslant 2} }\limits_{i + j = 2} {\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(i,j)}}{\kern 1pt} {\text{|}}.$
Тогда из неравенства (49) с учетом (50) и (46) и используя неравенство Коши–Буняковского, получим
${\text{|}}u(x,y,t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{\widetilde C}_{1}}\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \left[ {\frac{1}{{{{{(m + n)}}^{2}}}}\mathop {\sum\limits_{0 \leqslant i,j \leqslant 2} }\limits_{i + j = 2} {\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(i,j)}}{\kern 1pt} {\text{|}} + \frac{1}{{{{m}^{2}} + {{n}^{2}}}}{\text{|}}{{\psi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}} + \frac{1}{{{{m}^{2}} + {{n}^{2}}}}{\text{|}}{{f}_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}{{{\left\| g \right\|}}_{{{{L}_{2}}(0,T)}}}} \right] \leqslant $
$ \leqslant {{\widetilde C}_{1}}\left[ {{{{\left( {\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \frac{1}{{{{{(m + n)}}^{4}}}}} \right)}}^{{1/2}}}{{{\left( {\sum\limits_{m,n = 1}^\infty {{{\left( {\mathop {\sum\limits_{0 \leqslant i,j \leqslant 2} }\limits_{i + j = 2} {\text{|}}\varphi _{{mn}}^{{(i,j)}}{\kern 1pt} {\text{|}}} \right)}}^{2}}} \right)}}^{{1/2}}}} \right. + \mathop {{{{\left( {\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \frac{1}{{{{{({{m}^{2}} + {{n}^{2}})}}^{2}}}}} \right)}}^{{1/2}}}}\limits_{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}} {{\left( {\sum\limits_{m,n = 1}^\infty {\text{|}}{{\psi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}}} \right)}^{{1/2}}} + $
$ + \;{{\left. {{{{\left\| g \right\|}}_{{{{L}_{2}}(0,T)}}}{\kern 1pt} {{{\left( {\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \frac{1}{{{{{({{m}^{2}} + {{n}^{2}})}}^{2}}}}} \right)}}^{{1/2}}}{\kern 1pt} \left( {\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{\text{|}}{{f}_{{mn}}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}}} \right)} \right]}^{{1/2}}}\, \leqslant {{\widetilde C}_{2}}{\kern 1pt} \left( {\mathop {\sum\limits_{0 \leqslant i,j \leqslant 2} }\limits_{i + j = 2} {{{\left\| {\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi (x,y)}}{{\partial {{x}^{i}}\partial {{y}^{j}}}}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(D)}}} + {{{\left\| {\psi (x,y)} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(D)}}} + {{{\left\| {F(x,y,t)} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(Q)}}}} \right) \leqslant $
$ \leqslant {{C}_{6}}({\kern 1pt} {{\left\| {\varphi (x,y)} \right\|}_{{{{C}^{2}}(\bar {D})}}} + {{\left\| {\psi (x,y)} \right\|}_{{C(\bar {D})}}} + {{\left\| {F(x,y,t)} \right\|}_{{C(\bar {Q})}}}),$

  • что и доказывает справедливость оценки (48).

Таким образом, нами полностью доказана корректность постановки задачи (2)–(5). При этом отметим, что при доказательстве теоремы 2 существования решения задачи на начальные условия (5) наложены достаточно сильные условия гладкости. Если ввести понятие обобщенного решения этой задачи, то эти условия можно значительно ослабить.

3. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ 2

На основе прямой задачи исследуем задачу 2 по отысканию пары функций $u(x,y,t)$ и $g(t)$.

Для этого удовлетворим функцию (28) граничному условию (7):

(51)
$u({{x}_{0}},{{y}_{0}},t) = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{u}_{{mn}}}(t){{{v}}_{{mn}}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) = h(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T.$
Заменив в (51) функцию ${{u}_{{mn}}}(t)$ ее выражением (30), получим интегральное уравнение Вольтерра I рода
(52)
$\int\limits_0^t \,g(s)K(t,s)ds = \widetilde h(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T,$
здесь

(53)
$K(t,s) = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \frac{{{{f}_{{mn}}}}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\sin [{{\omega }_{{mn}}}(t - s)]{{{v}}_{{mn}}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}),\quad 0 \leqslant s \leqslant t \leqslant T,$
(54)
$\widetilde h(t) = h(t) - \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \left( {{{\varphi }_{{mn}}}\cos {{\omega }_{{mn}}}t + \frac{{{{\psi }_{{mn}}}}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\sin {{\omega }_{{mn}}}t} \right){{{v}}_{{mn}}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}).$

В силу условий теоремы 1 функция $f(x,y)$ должна удовлетворять условиям:

(55)
$\begin{gathered} f(x,y) \in {{C}^{4}}(\bar {D}),\quad f(0,y) = {{f}_{{xx}}}(0,y) = f(x,y) = {{f}_{{xx}}}(p,y) = 0,\quad 0 \leqslant y \leqslant q; \\ f(x,0) = {{f}_{{yy}}}(x,0) = f(x,q) = {{f}_{{yy}}}(x,q) = 0,\quad 0 \leqslant x \leqslant p. \\ \end{gathered} $

В силу условий (55) ряд (53) и ряды, полученные из него почленным дифференцированием по  $t$ первого и второго порядков, сходятся равномерно на $0 \leqslant s \leqslant t \leqslant T$, поэтому функции $K(t,s),\;{{K}_{t}}(t,s)$ и ${{K}_{{tt}}}(t,s)$ непрерывны на указанном множестве.

Если функции $\varphi (x,y)$ и $\psi (x,y)$ удовлетворяют условиям теоремы 1, то ряд в правой части равенства (54) равномерно сходится на $[0,T]$ и допускает там почленное дифференцирование по $t$ дважды. Следовательно, при условии $h(t) \in {{C}^{2}}[0,T]$ функция $\widetilde h(t)$ также принадлежит ${{C}^{2}}[0,T]$.

Теперь, продифференцировав интегральное уравнение (52) по $t$, получим

(56)
$K(t,t)g(t) + \int\limits_0^t \,g(s)\frac{{\partial K(t,s)}}{{\partial t}}ds = \widetilde h{\kern 1pt} '(t).$
Из равенства (53) следует, что $K(t,t) \equiv 0$. Тогда, дифференцируя уравнение (56) еще раз по $t$, будем иметь
(57)
${{\left. {\frac{{\partial K(t,s)}}{{\partial t}}} \right|}_{{s = t}}}g(t) + \int\limits_0^t \,g(s)\frac{{\partial {{K}^{2}}(t,s)}}{{\partial {{t}^{2}}}}ds = \widetilde h{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} (t).$
На основании соотношения (53) вычислим
(58)
${{\left. {\frac{{\partial K(t,s)}}{{\partial t}}} \right|}_{{s = t}}} = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{f}_{{mn}}}{{{v}}_{{mn}}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) = f({{x}_{0}},{{y}_{0}}).$
Отсюда видно, что если $f({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \ne 0$, то уравнение (57) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра II рода с непрерывным ядром и непрерывной правой частью. Следовательно, интегральное уравнение (57), стало быть, и интегральное уравнение (52), имеют единственное решение $g(t)$ в классе $C[0,T]$. Таким образом, приходим к следующему утверждению.

Теорема 4. Пусть функции $\varphi (x,y),\;\psi (x,y)$ удовлетворяют условиям теоремы 1, функция $f(x,y)$ удовлетворяет условиям (55), $h(t) \in {{C}^{2}}[0,T]$, $h(0) = \varphi ({{x}_{0}},{{y}_{0}})$, $h(0) = \psi ({{x}_{0}},{{y}_{0}})$. Тогда, если $f({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \ne 0$, то задача (2)–(7) имеет единственное решение. Это решение определяется по формуле (28), в которой функция $g(t)$ находится из интегрального уравнения (57).

Теперь выясним, насколько существенно условие $f({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \ne 0$ в теореме 4. Пусть при некоторых $m = {{m}_{0}}$, ${{\tilde {x}}_{0}} = {{x}_{0}}{\text{/}}p \in (0,1)$ или $n = {{n}_{0}}$, ${{\tilde {y}}_{0}} = {{y}_{0}}{\text{/}}q \in (0,1)$ выполняется равенство

$\sin \frac{{{{m}_{0}}\pi {{x}_{0}}}}{p} = \sin {{m}_{0}}\pi {{\tilde {x}}_{0}} = 0\quad {\text{или}}\quad \sin \frac{{{{n}_{0}}\pi {{y}_{0}}}}{q} = \sin {{n}_{0}}\pi {{\tilde {y}}_{0}} = 0.$
Ясно, что такие ${{\tilde {x}}_{0}}$ и ${{\tilde {y}}_{0}}$ существуют. Пусть выполнено первое из этих равенств. Тогда для функции $f(x,y) = \sin \frac{{{{m}_{0}}\pi x}}{p}\sin \frac{{n\pi y}}{q}$ при любой функции $g(t) \in C[0,T]$ существует ненулевое решение задачи 2 (где $\varphi (x,y) = \psi (x,y) \equiv 0$)

${{u}_{{{{m}_{0}}n}}}(x,y,t) = \sin \frac{{{{m}_{0}}\pi x}}{p}\sin \frac{{n\pi y}}{q}\frac{1}{{{{\omega }_{{{{m}_{0}}n}}}}}\int\limits_0^t \,g(s)\sin [{{\omega }_{{{{m}_{0}}n}}}(t - s)]{\kern 1pt} ds.$

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ 3

Решение (28) прямой задачи 1 удовлетворим граничному условию (9). Тогда получаем уравнение

(59)
$\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{u}_{{mn}}}({{t}_{0}}){{{v}}_{{mn}}}(x,y) = {{\varphi }_{0}}(x,y) = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{\varphi }_{{0mn}}}{{{v}}_{{mn}}}(x,y),$
здесь
(60)
${{\varphi }_{{0mn}}} = \iint\limits_D \,{{\varphi }_{0}}(x,y){{{v}}_{{mn}}}(x,y)dxdy,$
а ${{u}_{{mn}}}({{t}_{0}})$ определяется равенством (30), где коэффициенты ${{f}_{{mn}}}$ пока неизвестны и подлежат нахождению. Из уравнения (59) найдем
(61)
${{f}_{{mn}}} = \frac{1}{{{{g}_{{mn}}}({{t}_{0}})}}\left( {{{\varphi }_{{0mn}}} - {{\varphi }_{{mn}}}\cos {{\omega }_{{mn}}}t - \frac{{{{\psi }_{{mn}}}}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\sin {{\omega }_{{mn}}}t} \right),$
при условии, что при всех $m,n \in \mathbb{N}$
(62)
${{g}_{{mn}}}({{t}_{0}}) \ne 0,$
где ${{g}_{{mn}}}(t)$ определяется по формуле (32).

Подставляя (61) в равенство (30), построим в явном виде функции

(63)
${{u}_{{mn}}}(t) = {{\varphi }_{{mn}}}\cos {{\omega }_{{mn}}}t + \frac{{{{\psi }_{{mn}}}}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\sin {{\omega }_{{mn}}}t + \frac{{{{g}_{{mn}}}(t)}}{{{{g}_{{mn}}}({{t}_{0}})}}\left( {{{\varphi }_{{0mn}}} - {{\varphi }_{{mn}}}\cos {{\omega }_{{mn}}}{{t}_{0}} - \frac{{{{\psi }_{{mn}}}}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\sin {{\omega }_{{mn}}}{{t}_{0}}} \right).$

Тогда решение задачи 3 определится как сумма рядов

(64)
$u(x,y,t) = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{u}_{{mn}}}(t){{{v}}_{{mn}}}(x,y),$
(65)
$f(x,y) = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{f}_{{mn}}}{{{v}}_{{mn}}}(x,y),$
где коэффициенты ${{u}_{{mn}}}(t)$ и ${{f}_{{mn}}}$ находятся соответственно формулами (63) и (61).

Теперь докажем единственность решения задачи. Пусть $\varphi (x,y) = \psi (x,y) = {{\varphi }_{0}}(x,y) \equiv 0$ и выполнены условия (62) при всех $m,n \in \mathbb{N}$. Тогда из равенств (24), (25), (60), (61) и (63) следует, что ${{u}_{{mn}}}(t) \equiv 0$ и ${{f}_{{mn}}} \equiv 0$. Отсюда в силу равенств (19) и (31) получаем, что при всех $t \in [0,T]$ и $m,n \in \mathbb{N}$

$\iint\limits_D \,u(x,y,t){{{v}}_{{mn}}}(x,y){\kern 1pt} dxdy = 0,\quad \iint\limits_D \,f(x,y){{{v}}_{{mn}}}(x,y){\kern 1pt} dxdy = 0.$
Эти равенства в силу полноты системы функций (17) в пространстве ${{L}_{2}}(D)$ означают, что $u(x,y,t) = 0$ почти всюду на $\bar {D}$ при любом $t \in [0,T]$ и $f(x,y) = 0$ почти всюду на $\bar {D}$. Отсюда в силу условий (2) и (8) следует, что $u(x,y,t) \equiv 0$ в $\bar {Q}$ и $f(x,y) \equiv 0$ в $\bar {D}$ при любой непрерывной на $[0,T]$ функции $g(t)$.

Если при некоторых ${{t}_{0}}$, $m = {{m}_{0}}$ или $n = {{n}_{0}}$ выражение ${{g}_{{{{m}_{0}}n}}}({{t}_{0}}) = 0$ или ${{g}_{{m{{n}_{0}}}}}({{t}_{0}}) = 0$, то однородная задача 3 (где $\varphi (x,y) = \psi (x,y) = {{\varphi }_{0}}(x,y) \equiv 0$) при любой непрерывной функции $g(t)$ имеет ненулевое решение

$u(x,y,t) = {{f}_{{{{m}_{0}}n}}}{{g}_{{{{m}_{0}}n}}}(t){{{v}}_{{{{m}_{0}}n}}}(x,y),\quad f(x,y) = {{f}_{{{{m}_{0}}n}}}{{{v}}_{{{{m}_{0}}n}}}(x,y),$
где ${{f}_{{{{m}_{0}}n}}} \ne 0$ – произвольная постоянная.

Теперь возникает вопрос о существовании нулей функций ${{g}_{{mn}}}({{t}_{0}})$. Пусть функция $g(s)$ монотонная на $[0,{{t}_{0}}]$. Тогда на основании второй теоремы о среднем имеем

(66)
$\begin{gathered} {{\omega }_{{mn}}}{{g}_{{mn}}}({{t}_{0}}) = g(0)\int\limits_0^\xi \sin \left[ {{{\omega }_{{mn}}}({{t}_{0}} - s)} \right]{\kern 1pt} ds + g({{t}_{0}}){\kern 1pt} \int\limits_\xi ^{{{t}_{0}}} \sin \left[ {{{\omega }_{{mn}}}({{t}_{0}} - s)} \right]{\kern 1pt} ds = \\ = \frac{{g(0)}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\left[ {\cos {{\omega }_{{mn}}}({{t}_{0}} - \xi ) - \cos {{\omega }_{{mn}}}{{t}_{0}}} \right] + \frac{{g({{t}_{0}})}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\left[ {1 - \cos {{\omega }_{{mn}}}({{t}_{0}} - \xi )} \right] = \\ = \frac{{\cos {{\omega }_{{mn}}}({{t}_{0}} - \xi )}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\left[ {g(0) - g({{t}_{0}})} \right] + \frac{{g({{t}_{0}})}}{{{{\omega }_{{mn}}}}} - \frac{{g(0)}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\cos {{\omega }_{{mn}}}{{t}_{0}},\quad 0 < \xi < {{t}_{0}}. \\ \end{gathered} $
Теперь уточним монотонность функции $g(s)$ на $[0,{{t}_{0}}]$. Пусть она возрастающая и неотрицательная. Тогда $g({{t}_{0}}) = g(0) + \alpha $, $\alpha \geqslant 0$. Тогда из равенства (66) получим
(67)
$\begin{gathered} {{\omega }_{{mn}}}{{g}_{{mn}}}({{t}_{0}}) = \frac{{g(0)}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\left( {1 - \cos {{\omega }_{{mn}}}{{t}_{0}}} \right) + \frac{\alpha }{{{{\omega }_{{mn}}}}}\left( {1 - \cos {{\omega }_{{mn}}}({{t}_{0}} - \xi )} \right) \geqslant \\ \, \geqslant \frac{{g(0)}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\left( {1 - \cos {{\omega }_{{mn}}}{{t}_{0}}} \right) = \frac{{2g(0)}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\mathop {\sin }\nolimits^2 \frac{{{{\omega }_{{mn}}}{{t}_{0}}}}{2}. \\ \end{gathered} $
Отсюда видно, что при $g(s) = {\text{const}} \ne 0$
${{g}_{{mn}}}({{t}_{0}}) = 0{\kern 1pt} \; \Leftrightarrow {\kern 1pt} \;\sin \frac{{{{\omega }_{{mn}}}{{t}_{0}}}}{2} = 0{\kern 1pt} \; \Leftrightarrow {\kern 1pt} \;{{t}_{0}} = \frac{{\pi k}}{{\alpha {{\lambda }_{{mn}}}}}\quad k,m,n \in \mathbb{N},$
т.е. при этих значениях ${{t}_{0}}$ нарушается единственность решения задачи 3.

Следовательно, нами установлен критерий единственности решения задачи 3.

Теорема 5. Если существует решение задачи $3$, то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех m, $n \in \mathbb{N}$ выполнены условия (62).

Поскольку выражение ${{g}_{{mn}}}({{t}_{0}})$ может иметь счетное множество нулей, то возникает проблема малых знаменателей [16], [17], [18, с. 112–118] и поэтому необходимо установить оценки об отделенности от нуля с соответствующей асимптотикой.

Выражение $\sin ({{\omega }_{{mn}}}{{t}_{0}}{\text{/}}2)$ представим в следующем виде:

(68)
$\sin \frac{{{{\omega }_{{mn}}}{{t}_{0}}}}{2} = \sin \pi {{N}^{2}}{{\nu }_{{mn}}},\quad N = \max \{ m,n\} ,$
где

${{\nu }_{{mn}}} = d\left[ {{{{\left( {\frac{{qm}}{N}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\frac{{pn}}{N}} \right)}}^{2}}} \right],\quad d = \frac{{\alpha {{t}_{0}}\pi }}{{2(pq{{)}^{2}}}}.$

Поскольку ${{\nu }_{{mn}}}$ зависит от $n$ и $m$, то в зависимости от данных задачи $\alpha $, $p$, $q$ и ${{t}_{0}}$ выражение ${{\nu }_{{mn}}}$ может принимать только рациональные или иррациональные значения. Если ${{\nu }_{{mn}}}$ принимает только рациональные значения, то выражение (68) будет иметь счетное множество нулей. Поэтому остается рассмотреть случай, когда ${{\nu }_{{mn}}}$ принимает иррациональные значения. Также заметим, что множество значений ${{\nu }_{{mn}}}$ ограничено

$d{\kern 1pt} l_{m}^{2} < {{\nu }_{{mn}}} \leqslant d{\kern 1pt} ({{p}^{2}} + {{q}^{2}}),\quad {{l}_{m}} = \min \{ p,q\} .$

Предварительно из теории чисел приведем утверждение, которое является аналогом теоремы Рота [20, с. 268].

Утверждение. Для любого иррационального алгебраического числа $\beta $ степени $s \geqslant 2$ и произвольного положительного числа $\varepsilon > 0$ найдется положительное число ${{C}_{1}} > 0$ такое, что при любых целых $p$ и $q$ ($q > 0$) справедливо неравенство

(69)
$\left| {\beta - \frac{p}{{{{q}^{2}}}}} \right| > \frac{{{{C}_{1}}}}{{{{q}^{{4 + \varepsilon }}}}}.$

Лемма 3. Если ${{\nu }_{{mn}}}$ является иррациональным алгебраическим числом степени $s \geqslant 2$, то при любом $\varepsilon > 0$ существует постоянная ${{C}_{2}} > 0$ такая, что при всех $N \in \mathbb{N}$ имеет место оценка

(70)
$\left| {\sin \pi {{N}^{2}}{{\nu }_{{mn}}}} \right| > \frac{{{{C}_{2}}}}{{{{N}^{{2 + \varepsilon }}}}},$
где ${{C}_{2}}$ зависит от $m$ и $n$.

Доказательство. Для всякого $N \in \mathbb{N}$ можно подобрать $k \in \mathbb{N}$ так, чтобы имело место неравенство

(71)
$\left| {{{\nu }_{{mn}}} - \frac{k}{{{{N}^{2}}}}} \right| < \frac{1}{{2{{N}^{2}}}}.$
Действительно, следуя [21], число $m$ можно взять таким:
где $[{{\nu }_{{mn}}}{{N}^{2}}]$ и $\{ {{\nu }_{{mn}}}{{N}^{2}}\} $ – целая и дробная части иррационального числа ${{\nu }_{{mn}}}{{N}^{2}}$.

Пусть $k \in \mathbb{N}$, такое, что выполняется неравенство (71). Тогда в силу известного неравенства

(72)
$\sin x > \frac{{2x}}{\pi },\quad 0 < x < \frac{\pi }{2},$
и оценки (69) из соотношения (68) будем иметь
$\left| {\sin \pi {{N}^{2}}{{\nu }_{{mn}}}} \right| = \left| {\sin \pi {{N}^{2}}\left( {{{\nu }_{{mn}}} - \frac{k}{{{{N}^{2}}}}} \right)} \right| > 2{{N}^{2}}\left| {{{\nu }_{{mn}}} - \frac{k}{{{{N}^{2}}}}} \right| > \frac{{{{C}_{2}}}}{{{{N}^{{2 + \varepsilon }}}}} \geqslant \frac{{{{C}_{0}}}}{{{{N}^{{2 + \varepsilon }}}}},$
так как множество значений ${{C}_{2}}$ от $m$ и $n$ ограничено снизу постоянной ${{C}_{0}} > 0$ в силу ограниченности множества значений ${{\nu }_{{mn}}}$.

Отметим, что если ${{\nu }_{{mn}}}$ является иррациональным числом с неограниченным множеством элементов при разложении в цепные дроби [18, с. 115], [19, с. 267], то для любого числа $\varepsilon > 0$ найдется бесконечное множество чисел $k,N \in \mathbb{N}$ таких, что

$\left| {{{\nu }_{{mn}}} - \frac{k}{{{{N}^{2}}}}} \right| < \frac{\varepsilon }{{{{N}^{4}}}}.$
Тогда на основании этого неравенства имеем
$\left| {\sin \pi {{N}^{2}}{{\nu }_{{mn}}}} \right| = \left| {\sin \pi {{N}^{2}}\left( {{{\nu }_{{mn}}} - \frac{k}{{{{N}^{2}}}}} \right)} \right| \leqslant \pi {{N}^{2}}\left| {{{\nu }_{{mn}}} - \frac{k}{{{{N}^{2}}}}} \right| < \frac{{\pi \varepsilon }}{{{{N}^{2}}}}.$
Отсюда следует, что для таких чисел ${{\nu }_{{mn}}}$ выражение $\sin \pi {{N}^{2}}{{\nu }_{{mn}}}$, которое является знаменателем, может быть сделано сколь угодно малым. Поэтому для таких иррациональных чисел ${{\nu }_{{mn}}}$ решение обратной задачи в виде рядов (64) и (65) не существует.

Если же множество элементов числа ${{\nu }_{{mn}}}$ ограничено, то существует число ${{\varepsilon }_{0}} > 0$, такое, что для всех $k,N \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство

$\left| {{{\nu }_{{mn}}} - \frac{k}{{{{N}^{2}}}}} \right| \geqslant \frac{{{{\varepsilon }_{0}}}}{{{{N}^{4}}}}.$
Как известно из теории чисел, что алгебраические числа степени 2, т.е. квадратические иррациональности, имеют ограниченное множество элементов. В этом случае имеет место оценка (70), где только $\varepsilon = 0$.

Для обоснования сходимости рядов (64) и (65) в соответствующих классах (2) и (8) установим оценки для коэффициентов этих рядов.

Лемма 4. Пусть функции $g(t)$ возрастающая и положительная на сегменте $[0,T]$ и ${{\nu }_{{mn}}}$ является алгебраическим иррациональным числом степени $s \geqslant 2$. Тогда при любом $N \in \mathbb{N}$ справедливы оценки

(73)
${\text{|}}{{g}_{{mn}}}(t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \frac{{2{{{\left\| g \right\|}}_{C}}}}{{\omega _{{mn}}^{2}}} = \frac{{{{C}_{3}}}}{{\lambda _{{mn}}^{2}}} \leqslant \frac{{{{C}_{4}}}}{{{{N}^{2}}}},$
(74)
${\text{|}}{{g}_{{mn}}}({{t}_{0}}){\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant \frac{{{{C}_{5}}}}{{{{N}^{{8 + 2\varepsilon }}}}},\quad 0 < \varepsilon < \frac{1}{4},$
где ${{\left\| g \right\|}_{C}} = \mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} {\text{|}}g(t){\kern 1pt} {\text{|}}$, ${{C}_{i}}$ – здесь и далее положительные постоянные, зависящие, вообще говоря, от $\alpha $, $p$, $q$, ${{t}_{0}}$ и ${{\left\| g \right\|}_{C}}$.

Доказательство. Из равенства (18) следует, что

${{\left( {\frac{\pi }{{{{l}_{M}}}}} \right)}^{2}}{{N}^{2}} \leqslant {{\lambda }_{{mn}}} \leqslant 2{{\left( {\frac{\pi }{{{{l}_{m}}}}} \right)}^{2}}{{N}^{2}},$
где ${{l}_{m}} = \min \{ p,q\} $, ${{l}_{M}} = \max \{ p,q\} $. Тогда из левой части неравенства (67) следует оценка (73). На основании леммы 1 с учетом правой части соотношения (67), получим оценку (74):

${\text{|}}{{g}_{{mn}}}({{t}_{0}}){\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant \frac{{2g(0)}}{{\omega _{{mn}}^{2}}}{\text{|}}\sin \pi {{\nu }_{{mn}}}{{N}^{2}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} \geqslant \frac{{2g(0)C_{0}^{2}}}{{\omega _{{mn}}^{2}}}\frac{1}{{{{N}^{{4 + 2\varepsilon }}}}} = \frac{{{{C}_{5}}}}{{{{N}^{{8 + 2\varepsilon }}}}}.$

Лемма 5. Пусть ${{\nu }_{{mn}}}$ является алгебраическим числом степени $s \geqslant 2$. Тогда при любом $t \in [0,T]$ и $N \in \mathbb{N}$ справедливы оценки:

(75)
${\text{|}}{{u}_{{mn}}}(t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{C}_{6}}{{N}^{{4 + 2\varepsilon }}}\left( {{\text{|}}{{\varphi }_{{0mn}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{|}}\, + |{\kern 1pt} {{\varphi }_{{mn}}}{\kern 1pt} | + \frac{1}{{{{N}^{2}}}}{\text{|}}{{\psi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}} \right),$
(76)
${\text{|}}u_{{mn}}^{{''}}(t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{C}_{7}}{{N}^{{8 + 2\varepsilon }}}\left( {{\text{|}}{{\varphi }_{{0mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}\, + |{\kern 1pt} {{\varphi }_{{mn}}}{\kern 1pt} | + \frac{1}{{{{N}^{2}}}}{\text{|}}{{\psi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}} \right),$
(77)
${\text{|}}{{f}_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{C}_{8}}{{N}^{{8 + 2\varepsilon }}}\left( {{\text{|}}{{\varphi }_{{0mn}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{|}}\, + |{\kern 1pt} {{\varphi }_{{mn}}}{\kern 1pt} | + \frac{1}{{{{N}^{2}}}}{\text{|}}{{\psi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}} \right).$

Доказательство оценок (75)–(77) непосредственно следует из формул (63) и (61) на основе леммы 4.

Формально из ряда (64) почленным дифференцированием составим ряды

(78)
${{u}_{{tt}}} = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,u_{{mn}}^{{''}}(t){{{v}}_{{mn}}}(x,y),$
(79)
${{u}_{{xxxx}}} = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{u}_{{mn}}}(t){{\left( {\frac{{m\pi }}{p}} \right)}^{4}}{{{v}}_{{mn}}}(x,y),$
(80)
${{u}_{{yyyy}}} = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{u}_{{mn}}}(t){{\left( {\frac{{n\pi }}{q}} \right)}^{4}}{{{v}}_{{mn}}}(x,y),$
(81)
${{u}_{{xxyy}}} = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{u}_{{mn}}}(t){{\left( {\frac{{m\pi }}{p}} \right)}^{2}}{{\left( {\frac{{n\pi }}{q}} \right)}^{2}}{{{v}}_{{mn}}}(x,y).$
Ряды (64), (65), (78)–(81) при любых $(x,y,t) \in \bar {Q}$ на основании леммы 5 мажорируются рядом
(82)
${{C}_{9}}\sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{N}^{{8 + 2\varepsilon }}}\left( {{\text{|}}{{\varphi }_{{0mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}\, + |{\kern 1pt} {{\varphi }_{{mn}}}{\kern 1pt} | + \frac{1}{{{{N}^{2}}}}{\text{|}}{{\psi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}} \right) = \sum\limits_{N = 1}^\infty \,{{N}^{{8 + 2\varepsilon }}}\left( {{\text{|}}{{\varphi }_{{0mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}\, + |{\kern 1pt} {{\varphi }_{{mn}}}{\kern 1pt} | + \frac{1}{{{{N}^{2}}}}{\text{|}}{{\psi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}}} \right).$
Для сходимости ряда (82) достаточно потребовать выполнение следующих условий $(A)$: $\varphi (x,y),{\kern 1pt} {{\varphi }_{0}}(x,y) \in {{C}^{{10 + \delta }}}(\bar {D})$, $2\varepsilon < \delta < 1$, $\varphi _{x}^{{(i)}}(0,y) = \varphi _{x}^{{(i)}}(p,y) = $ $\varphi _{{0x}}^{{(i)}}(0,y) = \varphi _{{0x}}^{{(i)}}(p,y) = 0$, $0 \leqslant y \leqslant q$, $\varphi _{y}^{{(i)}}(x,0) = \varphi _{y}^{{(i)}}(x,q) = $ $\varphi _{{0y}}^{{(i)}}(x,0) = \varphi _{{0y}}^{{(i)}}(x,q) = 0$, $0 \leqslant x \leqslant p$, $i = 0,\;2,\;4,\;6,\;8$; $\psi (x,y) \in {{C}^{{8 + \delta }}}(\bar {D})$, $\psi _{x}^{{(j)}}(0,y) = \psi _{x}^{{(j)}}(p,y) = 0$, $0 \leqslant y \leqslant q$, $\psi _{y}^{{(j)}}(x,0) = \varphi _{y}^{{(j)}}(x,q) = 0$, $0 \leqslant x \leqslant p$, $j = 0,2,4,6$.

При выполнении этих условий на основании работы [19, с. 335] нетрудно показать справедливость следующих оценок:

(83)
${\text{|}}{{\varphi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \frac{{{{C}_{{10}}}}}{{{{N}^{{10 + \delta }}}}},\quad {\text{|}}{{\varphi }_{{0mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \frac{{{{C}_{{10}}}}}{{{{N}^{{10 + \delta }}}}},\quad {\text{|}}{{\psi }_{{mn}}}{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \frac{{{{C}_{{11}}}}}{{{{N}^{{8 + \delta }}}}}.$

В ряде (82) число членов с заданным $N$ имеет порядок $N$. Тогда на основании оценок (83) ряд (82) мажорируется сходящимся рядом

${{C}_{{12}}}\sum\limits_{N = 1}^\infty \frac{1}{{{{N}^{{1 + \delta - 2\varepsilon }}}}}.$

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 6. Пусть функции $\varphi (x,y)$, ${{\varphi }_{0}}(x,y)$, $\psi (x,y)$ удовлетворяют условиям $(A)$ и непрерывная функция $g(t)$ и числа ${{\nu }_{{mn}}}$ удовлетворяют условиям леммы $2$. Тогда существует единственное решение задачи $3$ и оно определяется рядами (64) и (65).

Отметим, что с решением задачи 3 можно было поступить иначе. Уравнение (59) равносильно интегральному уравнению Фредгольма I рода

(84)
$\iint\limits_D \,f(\xi ,\eta )K(\xi ,\eta ;x,y){\kern 1pt} d\xi d\eta = H(x,y),\quad (x,y) \in D,$
где

(85)
$K(\xi ,\eta ;x,y) = \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \,{{g}_{{mn}}}({{t}_{0}}){{{v}}_{{mn}}}(x,y){{{v}}_{{mn}}}(\xi ,\eta ),$
(86)
$H(x,y) = {{\varphi }_{0}}(x,y) - \sum\limits_{m,n = 1}^\infty \left( {{{\varphi }_{{mn}}}\cos {{\omega }_{{mn}}}{{t}_{0}} + \frac{{{{\psi }_{{mn}}}}}{{{{\omega }_{{mn}}}}}\sin {{\omega }_{{mn}}}{{t}_{0}}} \right){{{v}}_{{mn}}}(x,y).$

Ядро $K(\xi ,\eta ;x,y)$, определяемое рядом (85), по крайней мере, непрерывно дифференцируемо на замкнутом множестве $\bar {D} \times \bar {D}$, правая часть уравнения (84), т.е. функция $H(x,y)$, определяемая рядом (86), принадлежит классу ${{C}^{9}}(\bar {D})$.

Как известно, интегральные уравнения Фредгольма I рода трудно разрешимы и они относятся к классу некорректных задач. В данном случае при выполнении условий теоремы 3 интегральное уравнение (84) имеет единственное решение, которое определяется по формулам (65) и (61).

Список литературы

  1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с. (изд. 3).

  2. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматлит, 1967. 444 с.

  3. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях: Введение в метод промежуточных задач Вайнштейна. М.: Мир, 1970. 328 с.

  4. Андрианов И.В., Данишевский В.В., Иванков А.О. Асимптотические методы в теории колебаний балок и пластин. Днепропетровск: Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры, 2010. 216 с.

  5. Сабитов К.Б. Колебания балки с заделанными концами // Вестн. Сам. гос. техн.ун-та. Сер. Физ.-м-атем. науки. 2015. Т. 19. № 2. С. 311–324.

  6. Сабитов К.Б. К теории начально-граничных задач для уравнения стержней и балок // Дифференц. ур‑ния. 2017. Т. 53. № 1. С. 89–100.

  7. Сабитов К.Б. Начальная задача для уравнения колебаний балок // Дифференц. ур-ния, 2017. Т. 53. № 5. С. 665–671.

  8. Сабитов К.Б., Акимов А.А. Начально-граничная задача для нелинейного уравнения колебаний балки // Дифференц. ур-ния. 2020. Т. 56. № 5. С. 632–645.

  9. Сабитов К.Б. Обратные задачи для уравнения колебаний балки по определению правой части и начальных условий // Дифференц. ур-ния. 2020. Т. 56. № 6. С. 773–785.

  10. Орловский Д.Г. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Дифференц. ур-ния. 1989. Т. 25. № 6. С. 1000–1009.

  11. Орловский Д.Г. К задаче определения параметра эволюционного уравнения // Дифференц. ур-ния. 1990. Т. 26. № 9. С. 1614–1621.

  12. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 208 с.

  13. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New York; Basel: Marcel Dekker Inc, 1999. 709 p.

  14. Соловьев В.В. Обратные задачи определения источника и коэффициента в эллиптическом уравнении в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 8. С. 1365–1377.

  15. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. 457 с. (изд. 2).

  16. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи матем. наук. 1963. Т. XVIII. Вып. 6 (114). С. 91–192.

  17. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений с частными производными высоких порядков // Матем. заметки. 2015. Т. 97. Вып. 2. С. 262–276.

  18. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2013. 352 с. (изд. 2).

  19. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Т. 2. М.: Изд. МГУ, 1987. 358 с.

  20. Бухштаб А.А. Теория чисел. СПб.: Лань, 2008. 384 с.

  21. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Матем. заметки. 2010. Т. 87. № 6. С. 907–918.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал