Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 4, стр. 596-613

3.1. Cлучай A

A.1. Из уравнений (3.6) определяются частично функции $P = {{f}_{1}}{{{v}}_{2}} + {{f}_{2}}$ и $Q = {{g}_{1}}u_{2}^{2} + {{g}_{2}}{{u}_{2}} + {{g}_{3}},$ ${{g}_{1}} \ne 0$. Это позволяет получить дополнительную информацию из условий интегрируемости. В рассматриваемом подслучае ${{\rho }_{1}}$-условие привело к противоречию: ${{f}_{{{{{v}}_{1}}}}}{{g}_{1}} = 0$.

A.2. С учетом некоторых следствий из ${{\rho }_{1}}$-условия, система (3.4) принимает следующий вид:

где ${{f}_{i}} = {{f}_{i}}(u,{v},{{u}_{1}},{{{v}}_{1}}),$ $i = 1,2$, ${{f}_{{1,{{{v}}_{1}}}}} = 0,$ ${{f}_{{{{{v}}_{1}}}}} = 0,$ ${{g}_{{{{{v}}_{1}}}}} = 0$. При этом функция ${{f}_{1}}$ вошла во многие уравнения, возникшие из условий интегрируемости. Поэтому естественно рассмотреть подслучаи ${{f}_{1}} \ne 0$ и ${{f}_{1}} = 0$. В первом из них оказалось, что $g = f_{1}^{k}{\kern 1pt} q(u,{v})$, $k = $const. Последующие вычисления привели к тому, что ${{f}_{1}} = \alpha (u){{u}_{1}} + \beta (u),$ $\alpha \ne 0$, а функция $f$ выразилась через ${{f}_{1}}$. Далее мы пришли к противоречиям в условиях интегрируемости во всех развилках, где ${{f}_{1}} \ne 0$.

В подслучае ${{f}_{1}} = 0$ удалось найти вид функции $f = p(u,{v})u_{1}^{2} + q(u,{v}){{u}_{1}} + r(u,{v})$. Функция $Q$ частично определилась, и система приняла вид

где ${{g}_{1}} = {{g}_{1}}(u,{v},{{u}_{1}},{{u}_{2}})$ и ${{g}_{i}} = {{g}_{i}}(u,{v},{{{v}}_{1}},{{u}_{1}})$ для $i = 2,3$. Далее для упрощения рассмотрены случаи: 1) $p = q = 0$; 2) $p = 0,$ $q \ne 0$; 3) $p \ne 0$.

В случаях 1) и 2) система (3.9) приводится к треугольному виду с независимым уравнением для $u$. В случае 3) в ${{\rho }_{3}}$-условии получено противоречие.

A.3. По условию имеем $P = {{f}_{1}}{{{v}}_{2}} + {{f}_{2}}$, а функция $Q$ определилась из дополнительных ${{\rho }_{n}}$-условий: $Q = {{g}_{1}}u_{2}^{2} + {{g}_{2}}{{u}_{2}} + {{g}_{3}}$. В итоге система (3.4) записывается в виде

Здесь $f = f(u,{v},{{u}_{1}}),$ $g = g(u,{v},{{{v}}_{1}})$, а функции ${{f}_{i}},\;{{g}_{k}}$ зависят от $({\mathbf{u}},{{{\mathbf{u}}}_{1}})$, и, кроме того, ${{g}_{1}} \ne 0,$ ${{g}_{{{{{v}}_{1}}}}} \ne 0$.

Приведем наиболее простые следствия из ${{\rho }_{n}}$-условий для $n = 0,1,2,3$:

Из уравнений (3.11) и (3.12) ясно, что где ${{\alpha }_{1}}$ – постоянная, ${{\alpha }_{i}} = {{\alpha }_{i}}(u,{v}),$ $i > 1,$ ${{\beta }_{k}} = {{\beta }_{k}}(u,{v})$ – произвольные функции, но они не могут быть все нулями.

Последнее из уравнений (3.11) приводит к решению ${{g}_{1}} = g{\kern 1pt} s(u,{v},{{u}_{1}})$, где $s$ – произвольная функция, а второе из уравнений (3.13) сводится к $s = {{f}^{{ - 1}}}\gamma (u,{v})$, следовательно, ${{g}_{1}} = {{f}^{{ - 1}}}g{\kern 1pt} \gamma (u,{v})$.

Если ${{\alpha }_{1}} \ne 0$, то без ограничения общности ${{\alpha }_{1}} = 1$. Привлекая дополнительные условия, удалось найти $g = {{\varphi }_{1}}({v}){{{v}}_{1}} + {{\varphi }_{2}}(u,{v})$. В итоге (3.10) приняла вид

где функции ${{f}_{i}}$ и ${{g}_{k}}$ зависят от $u,\;{v},\;{{u}_{1}},\;{{{v}}_{1}}$.

Анализ различных форм функции $f$ основывается на первом из уравнений (3.13), которое приводит к системе

Отсюда получаем три подслучая:

A.3.1. В соответствии с предыдущим анализом $f = u_{1}^{2} + \alpha (u){{u}_{1}} + \beta (u)$. Далее из рассмотренных ранее условий интегрируемости получилось ${{f}_{1}} = 0$ и ${{f}_{2}} = {{f}_{2}}(u,{{u}_{1}})$, т.е. система (3.15) – треугольная.

A.3.2. Поскольку $f = {{\alpha }_{2}}(u,{v})({{u}_{1}} + \gamma (u))$, то из ${{\rho }_{n}}$-условий c $n = 1,2,3$ появились уравнения ${{\alpha }_{2}} = {{\alpha }_{2}}(u)$, ${{f}_{1}} = 0,$ ${{f}_{2}} = {{f}_{3}}(u,{{u}_{1}}) + q(u,{v})$. Вслед за этими формулами появилась еще одна ${{q}_{{v}}} = 0$, следовательно, система (3.15) – треугольная.

A.3.3. Благодаря простоте функции $f = f(u,{v})$, из полученных ранее следствий из условий интегрируемости без труда получаем $f = f(u),$ ${{f}_{1}} = 0,$ ${{f}_{2}} = {{f}_{2}}(u,{{u}_{1}})$. Таким образом, первое из уравнений системы (3.10) не содержит функции ${v}$, следовательно, система (3.15) снова треугольная.

Итак, исследование случая A, начатое в п. 3.1, полностью завершено. Это исследование показало, что в случае A условия интегрируемости приводили либо к противоречиям, либо к треугольным системам, которые мы исключили из рассмотрения.

3.2. Случай C

Согласно нашей классификации, система, подлежащая исследованию, приняла вид

где $f,\;g,\;{{f}_{0}},\;{{f}_{1}},\;{{g}_{0}},\;{{g}_{1}}$ – функции не выше первого порядка. Кроме того, $f$ и $g$ могут быть трех типов (3.7). Так как (3.16) симметрична, то в (3.7) случаи 1) и 2) переходят один в другой при инволюции, а 3) разбивается на четыре подслучая: Однако 3b) и 3c) переходят один в другой при инволюции, поэтому достаточно исследовать только 3b). Учитывая изложенное, мы выделяем для рассмотрения следующие варианты:

C.1. Из ${{\rho }_{1}}$-условия вытекают следующие уравнения:

Подстановка $g = - (3{\text{/}}2)\ln \xi $ приводит (3.17) к следующим уравнениям: ${{\xi }_{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,$ ${{\xi }_{{u{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,$ ${{\xi }_{{{v}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,\;{{f}_{{{{{v}}_{1}}}}} = p({{{v}}_{1}}){\kern 1pt} {{\xi }^{{ - 1/2}}}$. Это означает $\xi = {{c}_{1}}{v}_{1}^{2} + {{q}_{1}}{{{v}}_{1}} + {{q}_{2}}$, где ${{q}_{i}} = {{q}_{i}}(u,{v})$, $p$ – произвольная функция, ${{c}_{1}}$ – постоянная. Дальнейшие несложные вычисления приводят к треугольной системе с независимым уравнением для ${v}$.

Проделанные в C.1 вычисления показали, что для упрощения вычислений следует записывать систему в виде

C.2. Из ${{\rho }_{1}}$- и ${{\rho }_{2}}$-условий вытекают следующие уравнения:

Уравнения (3.20) означают, что $f$ и $g$ – многочлены не выше второй степени: где ${{c}_{i}}$ – постоянные, ${{q}_{i}} = {{q}_{i}}(u),$ ${{p}_{j}} = {{p}_{j}}({v})$. Не ограничивая общности, параметры ${{c}_{i}}$ можно считать равными 1 или 0.

Кроме того, из условий интегрируемости получается большое число уравнений с общими множителями ${{c}_{1}}$ и ${{c}_{2}}$. Например, имеются уравнения ${{c}_{1}}{{f}_{1}} = 0,$ ${{c}_{2}}{{g}_{1}} = 0$. Это означает, что возникают развилки

Случай ${{c}_{1}} = 0,$ ${{c}_{2}} \ne 0$ переходит в C.2.2 при инволюции, поэтому мы его опускаем.

C.2.1. Здесь мы имеем ${{f}_{1}} = {{g}_{1}} = 0$, а также ${{p}_{1}}p_{2}^{'} = 2{\kern 1pt} p_{1}^{'}{{p}_{2}},$ ${{q}_{1}}q_{2}^{'} = 2q_{1}^{'}{{q}_{2}}$. Это означает (a) $f = u_{1}^{2} + 2{{q}_{1}}{{u}_{1}} + {{c}_{3}}{\kern 1pt} q_{1}^{2}$, если ${{q}_{1}} \ne 0$, или (b) $f = u_{1}^{2} + {{q}_{2}}$, если ${{q}_{1}} = 0$. Если выполнить преобразование $u \to \varphi (u)$ и выбрать должным образом $\varphi $, то в любом случае мы получаем $f = u_{1}^{2} + 2{{c}_{2}}{{u}_{1}} + {{c}_{3}}$. Если ${{c}_{2}} \ne 0$, то мы можем нормировать ${{c}_{2}}$ на 1, а ${{c}_{3}}$ будет произвольным параметром. Если ${{c}_{2}} = 0$, а ${{c}_{3}} \ne 0$, то мы можем нормировать ${{c}_{3}}$ на 1 или положить ${{c}_{3}} = 0$.

Преобразованием ${v} \to \psi ({v})$ можно точно упростить функцию $g$, и (3.19) принимает вид

где $f = u_{1}^{2} + 2{{c}_{2}}{{u}_{1}} + {{c}_{3}}$ и $g = {v}_{1}^{2} + 2{{k}_{2}}{{{v}}_{1}} + {{k}_{3}}$, а ${{c}_{i}}$ и ${{k}_{i}}$ – параметры. Проверив вновь ${{\rho }_{1}}$-условиe, мы получили, что ${{f}_{0}} = {{f}_{0}}(u,{{u}_{1}})$ и ${{g}_{0}} = {{g}_{0}}({v},{{{v}}_{1}})$, т.е. система распалась на два независимых уравнения.

C.2.2. Здесь мы вновь имеем уравнение ${{q}_{1}}q_{2}^{'} = 2q_{1}^{'}{{q}_{2}}$, поэтому, выполнив преобразования $u \to \varphi (u)$ и ${v} \to \psi ({v})$, получаем $f = u_{1}^{2} + 2{{c}_{2}}{{u}_{1}} + {{c}_{3}}$ и $g = {{{v}}_{1}} + {{p}_{1}}({v})$. Затем, также как и в предыдущем случае, ${{f}_{1}} = 0$, и далее из ${{\rho }_{1}}$-условия, следует, что ${{f}_{0}} = {{f}_{2}}(u,{{u}_{1}})$, значит, система треугольная с независимым уравнением для $u$.

C.2.3. В формулах (3.22) ${{q}_{1}}{{p}_{1}} \ne 0$ по условию. Поэтому преобразованиями $u \to \varphi (u)$ и ${v} \to \psi ({v})$ мы нормируем ${{q}_{1}}$ и ${{p}_{1}}$ на 1. Таким образом, в (3.19) имеем $f = {{u}_{1}} + q(u)$ и $g = {{{v}}_{1}} + p({v})$.

Из ${{\rho }_{2}}$-условия возникают уравнения $q{\kern 1pt} ' = 0,$ $p{\kern 1pt} ' = 0,$ $f{{f}_{{1,{{u}_{1}}}}} = {{f}_{1}},$ $g{{g}_{{1,{{{v}}_{1}}}}} = {{g}_{1}}$. Это дает нам

Следующие уравнения получаем из ${{\rho }_{3}}$-условия: ${{f}_{{2,u}}} = 0,$ ${{g}_{{2,{v}}}} = 0,$ ${{f}_{2}}{{g}_{2}} = 0$, а также Решение уравнений (3.24) имеет вид ${{f}_{2}} = h({v}) + {{k}_{1}}{{g}^{{ - 1/2}}},$ ${{g}_{2}} = p(u) + {{k}_{2}}{{f}^{{ - 1/2}}}$ с учетом того, что ${{f}_{2}}{{g}_{2}} = 0$. Дальнейшие вычисления позволяют найти где ${{f}_{4}}$ и ${{g}_{4}}$ определяются однородными уравнениями в (3.25) и (3.26): Вид функций ${{f}_{3}}$ и ${{g}_{3}}$ определяется уравнениями, содержащими ${{f}_{2}}$ или ${{g}_{2}}$ в правых частях. Очевидно, уравнение ${{f}_{2}}{{g}_{2}} = 0$ имеет три решения: Поскольку рассматриваемая система имеет вид то ясно, что подслучаи C.2.3.a и C.2.3.b переходят друг в друга при инволюции. Поэтому случай C.2.3.b можно не рассматривать.

Подслучай C.2.3.a. Из двух первых условий интегрируемости получилось, что функции ${{g}_{4}}$ и ${{g}_{3}}$ зависят только от ${v}$ и ${{{v}}_{1}}$, а ${{g}_{2}} = 0$ по условию. Таким образом, приходим к треугольной системе с независимым уравнением для $v$.

Подслучай C.2.3.c. Из (3.25) и (3.26) определяются функции ${{f}_{3}} = {{p}_{1}} + {{p}_{2}}g + {{p}_{3}}{{g}^{{1/2}}},$ ${{g}_{3}} = {{p}_{4}} + {{p}_{5}}f + {{p}_{6}}{{f}^{{1/2}}}$, где ${{p}_{i}} = {{p}_{i}}(u,{v})$. Рассмотрев ${{\rho }_{n}}$-условия при $n = 1,2,3$, мы получили, что все ${{p}_{i}}$ и ${{q}_{i}}$ – постоянные, а система приняла вид

Следует пояснить, что выписать все следствия условий интегрируемости сразу невозможно. И только если система не содержит произвольных функций, то мы можем получить сколь угодно большое число таких следствий. Для данной системы были получены все следствия ${{\rho }_{n}}$-условий при $n = 1,2,3,4$. Полученные следствия имеют вид полиномиальных уравнений для параметров ${{k}_{i}},\;{{c}_{j}}$, входящих в дифференциальную систему. Иногда полиномиальные уравнения достаточно сложны, и их приходится решать с помощью пакета Gröbner в Maple или в какой-то аналогичной системе. В данном случае уравнения решались вручную. Получены два решения: 1) ${{k}_{1}} = {{k}_{2}} = 0$ и 2) ${{c}_{1}} = {{c}_{2}} = 0$. В обоих случаях получаются треугольные системы.

C.3. Здесь имеем $f = f(u,{v},{{u}_{1}}),$ $g = g(u,{v}),$ ${{f}_{{{{u}_{1}}}}} \ne 0$. Из ${{\rho }_{n}}$-условий при $n = 1,2,3,4$ вытекают простые уравнения

Из (3.28) следует $f = {{c}_{1}}u_{1}^{2} + 2{\kern 1pt} {{q}_{1}}{{u}_{1}} + {{q}_{2}}$, где ${{c}_{1}}$ – постоянная, ${{q}_{i}} = {{q}_{i}}(u,{v})$. Уравнения (3.29) теперь принимают вид

Если ${{c}_{1}} = 0$, то ${{q}_{1}} \ne 0$ по условию, и мы получаем ${{q}_{1}} = {{q}_{1}}(u),$ ${{q}_{2}} = q_{1}^{2}\mu ({v})$, при этом, положив ${{q}_{1}} \to {{q}_{1}}{\text{/}}2$, можно записать $f = {{q}_{1}}(u){{u}_{1}} + q_{1}^{2}\mu $. С помощью преобразования $u \to \varphi (u)$ нормируем ${{q}_{1}}$ на 1 и получаем окончательно $f = {{u}_{1}} + \mu ({v})$.

Пусть теперь ${{c}_{1}} \ne 0$, тогда можем положить ${{c}_{1}} = 1$ без потери общности. Первое из уравнений (3.31) дает ${{q}_{2}} = q_{1}^{2} + \lambda (u)$. Подставив ${{q}_{2}}$ во второе уравнение, получаем ${{q}_{1}}\lambda {\kern 1pt} '(u) = 2{\kern 1pt} \lambda {\kern 1pt} {{q}_{{1,u}}}$. Отсюда получаем несколько случаев:

Можно заметить, что в случае 2 при $\lambda = 0$ получается то же самое, что и в 1 при $q = 0$. Если же в случае 2 $\lambda \ne 0$, то эту же функцию $f$ можно найти из 3 при $\mu = 0$. В 3 мы можем нормировать $\nu $ на $ \pm 1$. Таким образом, приходим к следующим вариантам:

В каждом из этих вариантов исследование условий интегрируемости приводит к очень большому числу развилок, которые приводили либо к противоречиям, либо к треугольным системам. Изложение в статье всех вычислений лишено смысла, тем не менее, приведем пример:

Здесь $F = F({{u}_{1}} + {v})$ – произвольная функция, $f = {{u}_{1}} + {v},$ ${{c}^{2}} = 5,$ ${{c}_{i}}$ – параметры. Система (3.32) имеет высшие законы сохранения. Однако, если выполнить подстановку $u = u,$ ${v} = {{w}^{2}} - {{u}_{1}}$, то приходим к следующей треугольной системе: Таким образом, первое уравнение является линейным неоднородным уравнением с переменными коэффициентами, зависящими от $w(t,x)$. Второе уравнение – это мКдВ, если ${{c}_{0}} \ne 0$, или КдВ, если ${{c}_{0}} = 0$ и ${{c}_{1}} \ne 0$. Высшие законы сохранения преобразованной системы зависят только от $w$. Начало последовательности канонических плотностей имеет вид где ${{P}_{4}}$ – многочлен степени $4$.

C.4. Поскольку $f = f(u,{v})$ и $g = g(u,{v})$, то исследуемая система принимает вид

функции ${{f}_{1}},\;{{f}_{2}},\;{{g}_{1}},\;{{g}_{2}}$ зависят от переменных $\{ {\mathbf{u}},{{{\mathbf{u}}}_{1}}\} $.

Из ${{\rho }_{1}}$- и ${{\rho }_{3}}$-условий нетрудно получить следующие простые уравнения:

Из ${{\rho }_{n}}$-условий при $n = 1,2,3$ было получено 66 уравнений, среди которых 20 уравнений с числом членов $ \leqslant {\kern 1pt} 20$. В частности, большое число уравнений содержат только четыре функции: ${{f}_{1}},{\kern 1pt} {{g}_{1}}$ и $f,{\kern 1pt} g$. Из уравнений (3.34) имеем

где ${{q}_{i}} = {{q}_{i}}(u,{v})$. Подставив ${{f}_{1}}$ и ${{g}_{1}}$ в уравнения, не содержащие ${{f}_{2}}$ или ${{g}_{2}}$, получаем следующие результаты: Отсюда вытекают случаи Можно заметить, что при инволюции случаи C.4.1 и C.4.2 переходят один в другой, поэтому второй случай не рассматривался.

C.4.1. В силу уравнений (3.35) мы получаем ${{f}_{1}} = p(u,{v}),$ ${{q}_{3}} = {{q}_{3}}(u),$ $f = f(u)$. Точечным преобразованием $u \to \varphi (u)$ нормируем $f$ на 1, что упрощает дальнейшие вычисления. Проверка условий интегрируемости в данном случае достаточно проста, хотя и требует анализа нескольких развилок. Во всех этих развилках получены только треугольные системы.

C.4.3. Функции ${{f}_{1}}$ и ${{g}_{1}}$ теперь имеют вид ${{f}_{1}} = {{q}_{2}}{{u}_{1}} + p,$ ${{g}_{1}} = {{q}_{4}}{{{v}}_{1}} + r$, где ${{q}_{i}} = {{q}_{i}}(u,{v})$, $p = p(u,{v},{{{v}}_{1}}),$ $r = r(u,{v},{{u}_{1}})$. Благодаря этим упрощениям удалось получить дополнительные простые уравнения из ${{\rho }_{n}}$-условий при $n = 1,2,3,4$:

Здесь ${{P}_{i}}$ и ${{Q}_{i}}$ – некоторые билинейные функции от $p,\;r$ и их производных по ${{u}_{1}}$ и ${{{v}}_{1}}$.

Из уравнений (3.35) мы вновь получаем три случая:

Очевидно, что случаи a и b симметричны относительно инволюции, поэтому случай b можно не рассматривать.

Подслучай C.4.3.a. В этом случае мы имеем $r = r(u,{v}),$ ${{q}_{4}} = 0$ и $g = g({v})$. Последняя формула означает, что функцию $g$ можно нормировать на 1 точечным преобразованием ${v} \to \varphi ({v})$. Более того, ввиду полученных упрощений все следствия условий интегрируемости существенно упростились. Например, одно из громоздких уравнений приняло вид ${{f}_{{u{v}}}}f = {{f}_{u}}{{f}_{{v}}}$. Это означает, что $f = \alpha ({v})\beta (u)$, а так как $\ln (f) = \ln (\alpha ) + \ln (\beta )$, мы можем нормировать $\beta $ на 1. Это равносильно тому, чтобы принять $f = f({v})$.

Далее условия интегрируемости привели к большому числу развилок, которые в большинстве привели к противоречиям, и в нескольких случаях были получены треугольные системы. Большое число противоречий объясняется тем, что функция $p$ – это многочлен второй степени по ${{{v}}_{1}}$, что приводит к члену ${v}_{1}^{2}{{{v}}_{2}}$ в первом уравнении системы. Указанный член имеет вес 4, тогда как член ${{u}_{3}}$ имеет вес 3. В символическом методе исследования полиномиальных интегрируемых уравнений показано, что все члены интегрируемого уравнения должны иметь одинаковые веса. Так как мы рассматриваем произвольные уравнения, а не только полиномиальные, то анализу подвергаются все случаи, вытекающие из условий интегрируемости.

Подслучай C.4.3.c. Теперь система имеет следующий вид:

где $f,\;g,\;{{a}_{i}}$ и ${{b}_{i}}$ – функции, зависящие от $u$ и ${v}$. Функции ${{f}_{2}}$ и ${{g}_{2}}$ частично определяются из ${{\rho }_{1}}$-условия Здесь ${{\mu }_{i}} = {{\mu }_{i}}(u,{v}),$ ${{\nu }_{i}} = {{\nu }_{i}}(u,{v})$.

Для упрощения дальнейшей нумерации случаев переобозначим C.4.3.c. как D.

3.3. Случай D

Рассматриваемая система имеет вид

где функции $f,\;g,\;{{a}_{i}},\;{{b}_{j}},\;{{\mu }_{k}},\;{{\nu }_{s}}$ зависят от $u$ и ${v}$.

Условия интегрируемости для (3.38) очень громоздкие, поэтому мы рассмотрели ${{\rho }_{n}}$-условия только для $0 \leqslant n \leqslant 5$. В результате было получено около 140 уравнений для функций, входящих в систему, простейшие из которых имеют вид

Уравнения (3.47) приводят к следующим случаям:

D.1. По условию имеем ${{a}_{2}} = {{b}_{1}} = 0$ и $f = f(u),$ $g = g({v})$. Это означает, что существует точечное преобразование $u \to \varphi (u),$ ${v} \to \psi ({v})$, которое нормирует $f$ и $g$ на единицу. Это влечет $\delta = 0$ в силу уравнения (3.44), например. При этом $\delta = {{a}_{1}}{{b}_{2}} = 0$, следовательно, ${{\mu }_{2}} = {{\nu }_{2}} = 0$ в силу уравнений (3.41) и (3.42). Таким образом, мы получаем систему

где ${{a}_{1}}{{b}_{2}} = 0$ и ${{a}_{1}} = {{a}_{1}}({v}),$ ${{b}_{2}} = {{b}_{2}}(u)$ в силу уравнений (3.39).

Дальнейший анализ условий интегрируемости заключался в рассмотрении большого числа развилок, которые всегда приводили к тому, что ${{f}_{3}}$ и ${{g}_{3}}$ должны быть полиномами не выше третьей степени по переменным ${{{v}}_{1}}$ и ${{u}_{1}}$ соответственно, т.е. мы получали противоречие. Данный факт подтверждается тем, что в символическом методе исследования полиномиальных уравнений показано, что все члены интегрируемого уравнения должны иметь одинаковые веса, и, поскольку член ${{u}_{3}}$ имеет вес 3, то тот факт, что ${{f}_{{3,{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}}{{g}_{{3,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0$, является ожидаемым. Тем не менее при классификации мы рассматривали произвольные уравнения, а не только полиномиальные, поэтому анализировали абсолютно все случаи, вытекающие из условий интегрируемости.

Как и выше, отметим, что случаи D.2. и D.3. симметричны относительно инволюции, поэтому мы исследовали только D.3.

D.3. Учитывая (3.39)–(3.47), система (3.38) приняла вид

где ${{a}_{1}}{{b}_{2}} = 0,$ ${{a}_{1}} = {{a}_{1}}({v}),$ ${{b}_{2}} = {{b}_{2}}(u)$ и ${{\eta }_{i}} = {{\eta }_{i}}(u,{v})$.

Несмотря на то что в первом уравнении системы зависимость от переменных первого порядка полностью определилась, вместо функции ${{f}_{3}}$ во все уравнения, полученные из условий интегрируемости, вошли новые неизвестные ${{\eta }_{i}}$, что привело к значительному росту числа вариантов при дальнейшем анализе. Тем не менее, рассмотрев все возможные случаи, мы приходили либо к треугольной системе с независимым уравнением для $u$, либо к противоречию ${{g}_{{3,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0$.

D.4. Указанный вариант оказался самым трудоемким. Фактически мы удовлетворили лишь уравнениям (3.47), и исследуемая система приняла вид

где все неизвестные функции зависят только от переменных нулевого порядка.

Поскольку из (3.40)–(3.46) никаких дополнительных условий не возникло, а число неизвестных функций сильно выросло, то потребовалось колоссальное количество времени на построение и анализ системы уравнений для них. Попытка даже схематично описать проведенные расчеты потерпела фиаско, поскольку выделение подслучаев сводилось к множественному перебору вариантов – равенство/неравенство нулю различного рода множителей. Результат этих громоздких вычислений сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Не приводящиеся к треугольному виду системы (1.1), удовлетворяющие семи условиям интегрируемости (3.1), приводятся подходящими преобразованиями (2.1)–(2.4) к одной из следующих систем:

где ${\kern 1pt} \xi = {{e}^{{\frac{1}{2}(u - {v})(c + 1)}}}$, $\zeta = {{e}^{{ - \frac{1}{2}(c - 1)u + (c + 2){v}}}}$, $\eta = {{e}^{{ - \frac{1}{2}(c + 3)u - {v}}}}$, $\varphi = {{e}^{{u + \frac{1}{2}(c + 3){v}}}}$.