1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 63, № 5, 2023

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 5, стр. 765-777

Восстановление двух функций в модели колебаний струны, один конец которой помещен в подвижную среду

О. А. Андреянова 1, *, А. Ю. Щеглов 2, **

1 МГУ им. М.В. Ломоносова
119991 Москва, Ленинские горы, 1, Россия

2 Университет МГУ-ППИ в Шэньчжэне
518172 Провинция Гуандун, Шэньчжэнь, район Лунган, Даюньсирьчэн, ул. Гоцзидасюеюань, 1, Китай

* E-mail: oksashka@gmail.com
** E-mail: shcheg@cs.msu.ru

Поступила в редакцию 05.08.2022
После доработки 23.10.2022
Принята к публикации 02.02.2023

Аннотация

Рассматривается обратная задача определения коэффициентов в модели малых поперечных колебаний однородной конечной струны, один конец которой помещен в подвижную среду, а другой свободен. Колебания моделируются уравнением гиперболического типа на отрезке. Одно краевое условие имеет неклассический вид. Дополнительной информацией для решения обратной задачи являются значения решения прямой задачи при известном фиксированном значении пространственного аргумента. В рамках обратной задачи определения требуют функция в неклассическом краевом условии и функциональный множитель в правой части уравнения. Доказаны теорема единственности и теорема существования решения обратной задачи. Для прямой задачи установлены условия однозначной разрешимости в виде, упрощающем исследование обратной задачи. Для численного решения обратной задачи предложен алгоритм поэтапного раздельного восстановления искомых функций с использованием метода последовательных приближений для решения интегральных уравнений. Библ. 23.

Ключевые слова: итерационный алгоритм, уравнение колебаний, обратная задача.

Список литературы

  1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953.

  2. Moiseev E.I., Kholomeeva A.A. Solvability of the mixed problem for the wave equation with a dynamic boundary condition // Differential Equations. 2012. V. 48. № 10. P. 1392–1397.

  3. Moiseev E.I., Kholomeeva A.A., Frolov A.A. Boundary displacement control for the oscillation process with boundary conditions of damping type for a time less than critical // J. of Math. Sci. 2021. V. 257. № 1. P. 74–84.

  4. Yanovskaya T.V., Asbel I.J. The determination of velocities in the upper mantle from the observations on p-waves // Geophys. J. Royal Astronom. Soc. 1964. V. 8. № 3. P. 313–318.

  5. Baev A.V., Glasko V.B. The solution of the inverse kinematic problem of seismology by means of a regularizing algorithm // J. Comput. Math. and Math. Phys. 1976. V. 16. № 4. P. 96–106.

  6. Belishev M.I. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the BC-method) // Inverse Problems. 1997. V. 13. № 5. P. R1–R45.

  7. Yilmaz O. Seismic data analysis. 1. Tulsa: SEG, 2001.

  8. Vasil’ev F.P., Kurzhanskij M.A., Razgulin A.V. On using Fourier method for solving a problem of string vibration control // Moscow University Comput. Math. and Cybernetics. 1993. № 2. P. 3–8.

  9. Il’in V.A., Moiseev E.I. Optimization of boundary controls of string vibrations // Russian Math. Surveys. 2005. V. 60. № 6. P. 1093–1119.

  10. Kapustin N.Yu., Kholomeeva A.A. Spectral solution of a boundary value problem for equation of mixed type // Lobachevskii Journal of Math. 2019. V. 40. № 7. P. 981–983.

  11. Gopinath B., Sondi M. Determination of the shape of the human vocal tract from acoustical measurements // Bell System Tech. J. 1970. V. 49. P. 1195–1214.

  12. Cannon J.R., Du Chateau P. An inverse problem for an unknown source term in a wave equation // SIAM J. A-ppl. Math. 1983. V. 43. № 3. P. 553–564.

  13. Zhang Guan Quan. On an inverse problem for 1-dimensional wave equation // Sci. China. Ser. A. Math., Phys., Astron. and Tech. Sci. 1989. V. 32. № 3. P. 257–274.

  14. Denisov A.M. Existence of a solution of the inverse coefficient problem for a quasilinear hyperbolic equation // J. Comput. Math. and Math. Phys. 2019. V. 59. № 4. P. 550–558.

  15. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983.

  16. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1994.

  17. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993.

  18. Lovitt W.V. Linear integral equations. New York: McGraw-Hill Book Company, 1924.

  19. Sergeev V.O. Regularization of the Volterra equation of the first kind // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1971. V. 197. № 3. P. 531–534.

  20. Апарцин А.С., Бакушинский А.Б. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратурных сумм // В сб.: “Дифференц. и интегральные уравнения”. Вып. 1. Иркутск, Гос. ун-тет. 1972. С. 120–128.

  21. Magnitskii N.A. A method of regularizing Volterra equations of the first kind // Comput. Math. and Math. Phys. 1975. V. 15. № 5. P. 221–228.

  22. Магницкий Н.А. О приближенном решении некоторых интегральных уравнений Вольтерра 1 рода // Вестн. Московского университета. Серия 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 1978. № 1. С. 91–98.

  23. Denisov A.M. On approximate solution of Volterra equation of the first kind // Comput. Math. and Math. Phys. 1975. V. 15. № 4. P. 237–239.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал