1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 63, № 5, 2023

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 5, стр. 739-759

Оптимизация множества достижимости линейной системы по отношению к другому множеству

М. В. Балашов 1, *, Р. А. Камалов 1

1 Институт проблем управления РАН им. В.А. Трапезникова
117997 Москва, Профсоюзная ул., 65, Россия

* E-mail: balashov73@mail.ru

Поступила в редакцию 02.11.2022
После доработки 21.11.2022
Принята к публикации 02.02.2023

Аннотация

Рассматриваются задача максимально быстрого по времени выполнения включения во множество достижимости линейной управляемой автономной системы некоторого выпуклого компакта, а также задача поиска максимального времени, при котором выполнено включение множества достижимости в некоторый выпуклый компакт. При этом ищутся начальная точка и время, для которых экстремальное время в соответственной задаче реализуется. Рассмотрена дискретизация задачи на сетке единичных векторов и с помощью сведения к задаче линейного программирования получены приближенное решение задачи, а также оценки погрешности решения. Задачи объединяет общая идеология, восходящая к задаче поиска чебышёвского центра. Библ. 24. Фиг. 4. Табл. 4.

Ключевые слова: множество достижимости, равномерная выпуклость, условие непустой внутренности, многозначный интеграл, линейное программирование, аппроксимация в метрике Хаусдорфа.

Список литературы

  1. Liapounoff A.A. Sur les fonctions-vecteurs completement additives // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 1940. V. 4. № 6. P. 465–478.

  2. Lee E.B., Markus L. Foundations of Optimal Control Theory, John Wiley; 1st Printing, ed. 1967, 588 p.

  3. Aumann R. Integrals of set-valued functions // J. Math. Anal. Appl. 1965. V. 12. № 1. P. 1–12.

  4. Polyak B.T., Smirnov G. Large deviations for non-zero initial conditions in linear systems // Automatica. 2016. V. 74. P. 297–307.

  5. Aubin J.-P., Cellina A. Differential inclusions, Springer-Verlag, 1984.

  6. Aubin J.-P. A Survey of viability theory // SIAM J. Control and Optimizat. 1990. V. 28. № 4. P. 749–788.

  7. Kelley H.J. Gradient theory of optimal flight paths // ARSJ. 1960. V. 30. P. 947–953.https://doi.org/10.2514/8.5282

  8. Bryson A.E., Denham W.F. A steepest-ascent method for solving optimum programming problems // J. Appl. Mech. 1962. V. 29. P. 247–257; https://www.gwern.net/docs/ai/1962-bryson.pdf

  9. Eichmeir Ph., Lau$\mathfrak{B}$ Th., Oberpeilsteiner S., Nachbagauer K., Steiner W. The adjoint method for time-optimal control problems // J. Comput. Nonlinear Dynam. 2021. V. 16. № 2. P. 021003 (12 pages).https://doi.org/10.1115/1.404880810.1115/1.4048808

  10. Cannarsa P., Sinestrari C. Convexity properties of the minimum time function // Calcul. Variat. Part. Different. Equat. 1995. V. 3. № 3. P. 273–298; https://doi.org/10.1007/bf01189393

  11. Boltyanskii V.G. Mathematical methods of optimal control, Holt, Rinehart and Winston (1st ed.), 1971.

  12. Половинкин Е.С. Сильно выпуклый анализ // Матем. сб. 1996. Т. 187. № 2. С. 103–130.

  13. Le Guernic C., Girard A. Reachability analysis of linear systems using support functions // Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. 2010. V. 4. P. 250–262.

  14. Althoff M., Frehse G., Girard A. Set propagation techniques for reachability analysis // Ann. Rev. Control, Robotics, and Autonomous Systems, Ann. Rev. 2021. V. 4. № 1. hal-03048155.https://doi.org/10.1146/annurev-control-071420-081941

  15. Serry M., Reissig G. Over-approximating reachable tubes of linear time-varying systems, arXiv:2102.04971v1.

  16. Kurzhanski A.B., Varaiya P. Dynamics and control of trajectory tubes, ser. Systems and Control: Foundations and Applications. Birkhauser/Springer, 2014, theory and computation.

  17. Балашов М.В. Покрытие множества выпуклым компактом: оценки погрешности и вычисление // Матем. заметки. 2022. Т. 112. № 3. С.337–349.

  18. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств, Киев, Вища школа, 1980.

  19. Frankowska H., Olech C. R-convexity of the integral of the set-valued functions, Contributions to analysis and geometry, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, MD, 1981. P. 117–129.

  20. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа, М., Физматлит, 2007. 2-е изд.

  21. Балашов М.В., Половинкин Е.С. $M$-сильно выпуклые подмножества и их порождающие множества // Матем. сб. 2000. Т. 191. № 1. С. 27–64.

  22. Balashov M.V. On polyhedral approximations in an $n$-dimensional space // Comput. Math. Math. Phys. 2016. V. 56. № 10. P. 1679–1685.

  23. Balashov M.V., Repovs D. Polyhedral approximations of strictly convex compacta // J. Math. Anal. Appl. 2011. V. 374. P. 529–537.

  24. Балашов М.В. Сильная выпуклость множеств достижимости линейных систем // Матем. сб. 2022. Т. 213. № 5. С. 30–49.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал