1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 63, № 6, 2023

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 6, стр. 896-919

Апостериорные тождества для мер отклонений от точных решений нелинейных краевых задач

С. И. Репин 1, 2, *

1 СПб отд. Математического института им. В.А. Стеклова РАН
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанка, 27, Россия

2 СПб Политехнический университет Петра Великого
195251 Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29, Россия

* E-mail: repin@pdmi.ras.ru

Поступила в редакцию 12.12.2022
После доработки 01.02.2023
Принята к публикации 02.03.2023

Аннотация

Получены функциональные тождества, которые выполняются для отклонений от точных решений краевых и начально-краевых задач с монотонными операторами. Тождества выполняются для любых функций из соответствующего функционального класса, который содержит точное решение задачи. Левая часть тождества представляет собой сумму мер отклонений приближенного решения от точного. Показано, что именно такие меры являются естественными характеристиками точности приближенных решений. В некоторых случаях правая часть тождества содержит только известные данные задачи и функции, характеризующие приближенное решение. Такое тождество можно прямо использовать для контроля точности. В других случаях правая часть включает неизвестные функции. Однако их можно исключить и получить полностью вычисляемые двусторонние оценки. При этом необходимо использовать специальные функциональные неравенства, связывающие меры отклонения со свойствами рассматриваемого монотонного оператора. В качестве примера такие оценки и точные значения соответствующих констант получены для класса задач с оператором $\alpha $‑Лапласиана. Показано, что тождества и вытекающие из них оценки позволяют оценивать погрешность любых аппроксимаций независимо от способа их получения. Кроме того, они позволяют сравнивать точные решения задач с различными данными, что дает возможность оценивать ошибки математических моделей, например тех, что возникают при упрощении коэффициентов дифференциального уравнения. В первой части статьи теория и приложения касаются стационарных моделей, а затем основные результаты переносятся на эволюционные модели с монотонными пространственными операторами. Библ. 30. Фиг. 2.

Ключевые слова: уравнения эллиптического и параболического типа, монотонные операторы, оценки отклонения от точного решения, апостериорные тождества и оценки.

Список литературы

  1. Rump S.M. Algorithms for verified inclusions–theory and practice. In: Reliability in Computation (ed. R.E. Moore), Academic Press, New York, 1988. P. 109–126.

  2. Trefethen L.N. Approximation Theory and Approximation Practice, Extended Edition. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2019.

  3. Brandts J., Krizek M., Zhang Z. Paradoxes in numerical calculations // Neural Network World. 2016. V. 26. № 3. P. 317–330.

  4. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. Springer Ser. in Comput. Math., 15. New York, 1991.

  5. Ciarlet P. The finite element method for elliptic problems. North-Holland, Amsterdam, 1987.

  6. Babuška I., Rheinboldt W.C. Error estimates for adaptive finite element computations // SIAM J. Numer. Anal. 1978. V. 15. P. 736–754.

  7. Verfürth R. A Review of A Posteriori Error Estimation and Adaptive Mesh-Refinement Techniques. Wiley-Teubner, Stuttgart, 1996.

  8. Zienkiewicz O.C., Zhu J.Z. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis // Int. J. Num. Meth. Engng. 1987. V. 24. P. 337–357.

  9. Repin S. A posteriori estimates for partial differential equations. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2008.

  10. Repin S. Two-sided estimates of deviation from exact solutions of uniformly elliptic equations. In: Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society V. IX, P. 143–171, translation in Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 209, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003.

  11. Repin S. A posteriori error estimation for variational problems with uniformly convex functionals // Math. Comp. 2000. V. 69 № 230. P. 481–500.

  12. Repin S., Sauter S. Accuracy of Mathematical Models, Tracts in Mathematics 33 Europ Math Soc, Berlin, 2020.

  13. Репин С.И. Тождество для отклонений от точного решения задачи $\Lambda {\kern 1pt} *\mathcal{A}\Lambda u + \ell = 0$ и его следствия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. V. 61. № 12. P. 1986–2009.

  14. Ekeland I., Temam R. Convex analysis and variational problems. North-Holland, Amsterdam, 1976.

  15. Mikhlin S.G. Variational Methods in Mathematical Physics. Pergamon Press, Oxford, 1964.

  16. Репин С.И. Контроль точности приближенных решений одного класса сингулярно возмущенных краевых задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. V. 62. № 11. P. 1822–1839.

  17. Prager W., Synge J.L. Approximations in elasticity based on the concept of functions space // Quart. Appl. Math. 1947. V. 5. P. 241–269.

  18. Braess D. Finite elements. Cambridge Univer. Press, Cambridge, 1997.

  19. Braess D., Schöberl J. Equilibrated residual error estimator for edge elements // Math. Comp. 2008. V. 77. № 262. P. 651–672.

  20. Clarkson J.A. Uniformly convex spaces// Transact. Am. Math. Soc. 1936. V. 40. P. 396–414.

  21. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Ленинград: Изд.-во ЛГУ, 1950.

  22. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981.

  23. Bildhauer M., Repin S. Estimates from the deviation from the minimizer for variational problems with power growth functionals // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2006. V. 336. P. 5–24.

  24. Pastukhova S.E., Khripunova A.S. Gamma-closure of some classes of nonstandard convex integrands // J. Math. Sci. (N.Y.). 2011. V. 177. № 1. P. 83–108.

  25. Lindqvist P. Notes on the p-Laplace equation. University of Jyväskylä Depart. of Math. and Statist., Rep. 161, 2017.

  26. DiBenedetto E. Degenerate Parabolic Equations. Springer-Verlag, New York, 1993.

  27. Repin S. A posteriori error estimates for approximate solutions of variational problems with power growtn functionals // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1997. V. 249. P. 244–255.

  28. Fuchs M., Repin S. A posteriori error estimates of functional type for variational problems related to generalized Newtonian fluids // Math. Meth. Appl. Sci. 2006. V. 29. № 18. P. 2225–2244.

  29. Пастухова C.Е. Апостериорные оценки отклонения от точного решения в вариационных задачах с нестандартными условиями коэрцитивности и роста // Алгебра и анализ. 2020. V. 32. № 1. P. 51–77.

  30. Repin S. Error identities for parabolic initial boundary value problems // Zap. Nauchn. Sem. POMI. 2021. V. 508. P. 147–172.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал