1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 63, № 7, 2023

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 7, стр. 1156-1176

Об одном методе решения смешанной краевой задачи для уравнения параболического типа с помощью модифицированных операторов синк-приближений

А. Ю. Трынин 1, *, **

1 Саратовский гос. ун-т им. Н.Г. Чернышевского
410012 Саратов, ул. Астраханская, 83, Россия

* E-mail: atrynin@gmail.com
** E-mail: tayu@rambler.ru

Поступила в редакцию 08.12.2022
После доработки 08.12.2022
Принята к публикации 02.02.2023

Аннотация

Предложен новый метод получения обобщенного решения смешанной краевой задачи для уравнения параболического типа с граничными условиями третьего рода и непрерывным начальным условием. Обобщенные функции понимаются в смысле секвенциального подхода. В качестве промежуточного приближения используется модифицированный оператор синк-аппроксимаций. Решение получено в виде ряда, равномерно сходящегося внутри области определения решения. Библ. 49. Фиг. 1.

Ключевые слова: смешанная краевая задача, обобщенное решение, синк-аппроксимации, равномерная сходимость.

Список литературы

  1. Krivoshein A., Skopina M. Multivariate sampling-type approximation // Anal. Appl. 2017. T. 15. № 4. C. 521–542.

  2. Richardson M., Trefethen L. A sinc function analogue of Chebfun // SIAM J. Sci. Comput. 2011. V. 33. № 5. P. 2519–2535.

  3. Шмуклер А.И., Шульман Т.А. О некоторых свойствах рядов Котельникова // Изв. вузов. Матем. 1974. Вып. 3. С. 93–103.

  4. Butzer P.L., Ferreira P.J.S.G., Higgins J.R., Saitoh S., Schmeisser G., Stens R.L. Interpolation and Sampling: E.T. Whittaker, K. Ogura and Their Followers // J. Fourier Anal. Appl. 2010. P. 1–35. https://doi.org/10.1007/s00041-010-9131-8

  5. Zayed A. A generalized sampling theorem with the inverse of an arbitrary square summable sequence as sampling points // J. Fourier Anal. Appl. 1996. V. 2. № 3. P. 303–314.

  6. Schmeisser G., Stenger F. Sinc Approximation with a Gaussian Multiplier // Sampl. Theor. Signal Proces. 2007. V. 6. P. 199–221.

  7. Трынин А.Ю. Критерий равномерной сходимости sinc-приближений на отрезке // Изв. вузов. Матем. 2008. № 6. P. 66–78.

  8. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи матем. наук. 1998. V. 53. № 6. P. 53–128.

  9. Дьяченко М.И. Асимптотика сумм косинус-рядов с коэффициентами дробной монотонности // Матем. заметки. 2021. Т. 110. № 6. С. 865–874 [M.I. Dyachenko, Math. Notes. 2021. V. 110. № 6. P. 894–902]. http://mi.mathnet.ru/mz13180; https://doi.org/10.1134/S0001434621110250

  10. Голубов Б.И. Абсолютная сходимость двойных рядов из коэффициентов Фурье–Хаара функций ограниченной p-вариации // Изв. вузов. Матем. 2012. Т. 56. № 6. С. 3–13 [B.I. Golubov, Russian Math. 2012. V. 56. № 6. P. 1–10.https://doi.org/10.3103/S1066369X12060011

  11. Новиков И.Я., Скопина М.А. Почему в разных структурах базисы Хаара одинаковые? // Матем. заметки. 2012. Т. 91. № 6. С. 950–953 [I.Ya. Novikov, M.A. Skopina, Math. Notes. 2012. V. 91. № 6. P. 895–898].https://doi.org/10.4213/mzm9392

  12. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1954.

  13. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.

  14. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1961.

  15. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Физматлит, Наука, 1965.

  16. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

  17. Макаова Р.Х. Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри области // Вестн. Самарского. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. Науки. 2017. Т. 21. № 4. 651–664.https://doi.org/10.14498/vsgtu1574

  18. Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 9. С. 1166–1179 [A.I. Kozhanov, L.S. Pulkina, Differ. Equ. 2006. V. 42. № 9. P. 1233–1246].https://doi.org/10.1134/S0012266106090023

  19. Абдуллаев О.Х. Краевая задача для нагруженного уравнения эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области // Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2014. Т. 1. № 8. С. 33–48.https://doi.org/10.18454/2079-6641-2014-8-1-33-48

  20. Пулькина Л.С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода // Изв. вузов. Матем. 2012. Т. 56. № 4. С. 74–83 [O.Kh. Abdullaev, Russian Math. 2012. V. 56. № 4. P. 62–69]. https://doi.org/10.3103/S1066369X12040081

  21. Тарасенко А.В. Краевая задача для нагруженного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. Т. 5. № 21. С. 263–267.https://doi.org/10.14498/vsgtu825

  22. Балкизов Ж.А. Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Владикавк. матем. журн. 2016. Т. 18. № 2. С. 19–30.

  23. Водахова В.А., Балкизова А.Х. Краевая задача для модельного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 28. № 3. С. 6–15.https://doi.org/10.26117/2079-6641-2019-28-3-6-15

  24. Макаова Р.Х. Краевая задача со смещением для гиперболического уравнения третьего порядка с производной в граничных условиях // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 37. № 4. С. 38–44.https://doi.org/10.26117/2079-6641-2021-37-4-38-44

  25. Андреев А.А., Огородников Е.Н. О корректности начальных краевых задач для одного гиперболического уравнения с вырождением порядка и инволютивным отклонением // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2000. Т. 9. С. 32–36.https://doi.org/10.14498/vsgtu28

  26. Жура Н.А., Солдатов А.П. Краевая задача для гиперболической системы первого порядка в двумерной области // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. Т. 81. № 3. С. 83–108 [N.A. Zhura, A.P. Soldatov, Izv. Math. 2017. V. 81. № 3. P. 542–567].https://doi.org/10.4213/im8442

  27. Ашуров Р.Р., Мухиддинова А.Т. Начально-краевые задачи для гиперболических уравнений с эллиптическим оператором произвольного порядка // Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 30. № 1. С. 8–19.https://doi.org/10.26117/2079-6641-2020-30-1-8-19

  28. Сабитов К.Б. Начально-граничная задача для параболо-гиперболического уравнения с нагруженными слагаемыми // Изв. вузов. Матем. 2015. Т. 59. № 6. С. 31–42 [K.B. Sabitov, Russian Math. 2015. V. 59. № 6. P. 23–33].https://doi.org/10.3103/S1066369X15060055

  29. Кожанов А.И., Дюжева А.В. Вторая начально-краевая задача с интегральным смещением для гиперболических и параболических уравнений второго порядка // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 25. № 3. С. 423–434.https://doi.org/10.14498/vsgtu1859

  30. Глотов В.Ю., Головизнин В.М., Четверушкин Б.Н. Балансно-характеристические разностные схемы для уравнений параболического типа // Матем. моделирование. 2020. Т. 32. № 4. С. 94–105.https://doi.org/10.20948/mm-2020-04-07

  31. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

  32. Сушков А.С. О сходимости разностной схемы, аппроксимирующей одну краевую задачу гиперболического типа // Челяб. физ.-матем. журн. 2019. Т. 4. № 3. С. 333–344.https://doi.org/10.24411/2500-0101-2019-14306

  33. Холодов А.С., Холодов Я.А. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. № 9. С. 1638–1667 [A.S. Kholodov, Ya.A. Kho-lodov, Comput. Math. Math. Phys. 2006. V. 46. № 9. P. 1560–1588].https://doi.org/10.1134/S0965542506090089

  34. Комурджишвили О.П. Разностные схемы для решения многомерных уравнений и систем уравнений гиперболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 6. С. 980–987 [O.P. Komurdzhishvili, Comput. Math. Math. Phys. 2007. V. 47. № 6. P. 936–942].https://doi.org/10.1134/S096554250706005X

  35. Холодов А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. Т. 18. № 6. С. 1476–1492 [A.S. Kholodov, Comput. Math. Math. Phys. 1978. V. 18. № 6. 116–132].https://doi.org/10.1016/0041-5553(55)90141-6

  36. Холодов Я.А., Холодов А.С., Цыбулин И.В. Построение монотонных разностных схем для систем уравнений гиперболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 8. С. 30–49 [Ya.A. Kholodov, A.S. Kholodov, I.V. Tsybulin, Comput. Math. Math. Phys. 2018. V. 58. № 8. P. 1226–1246].https://doi.org/10.1134/S0965542518080110

  37. Трынин А.Ю. Критерии поточечной и равномерной сходимости синк-приближений непрерывных функций на отрезке // Матем. сб. 2007. Т. 198. № 10. С. 141–158.

  38. Трынин А.Ю. О расходимости синк-приближений всюду на (0, π) // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22. № 4. С. 232–256.

  39. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: ЛГУ, 1950.

  40. Antosik P., Mikusinski J., Sikorski R. Theory of Distributions. The sequential approach. Amsterdam: Elsevier Sci., 1973.

  41. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма–Лиувилля и Дирака. М.: Наука, Физматлит, 1988.

  42. Трынин А.Ю. Об асимптотике решений и узловых точек дифференциальных выражений Штурма–Лиувилля // Сиб. матем. журн. 2010. Т. 51. № 3. С. 662–675.

  43. Трынин А.Ю. Обобщение теоремы отсчетов Уиттекера–Котельникова–Шеннона для непрерывных функций на отрезке // Матем. сб. 2009. Т. 200. № 11. С. 61–108.

  44. Трынин А.Ю. Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма–Лиувилля // Уфимск. матем. журн. 2011. Т. 3. № 4. С. 133–143.

  45. Трынин А.Ю. Об одной обратной узловой задаче для оператора Штурма–Лиувилля // Уфимск. матем. журн. 2013. Т. 5. № 4. С. 116–129 [A.Yu. Trynin, Ufa Math. J. 2013. V. 5. № 4. P. 112–124].https://doi.org/10.13108/2013-5-4-112

  46. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

  47. Олевский А.М. Расходящиеся ряды Фурье непрерывных функций // Докл. АН СССР. 1961. Т. 141. № 1. С. 28–31.

  48. Буздалин В.В. Тригонометрические ряды Фурье непрерывных функций, расходящиеся на заданном множестве // Матем. сб. 1974. Т. 95. № 1. С. 84–107 [V.V. Buzdalin, Sb. Math. 1974. V. 24. № 1. P. 79–102].https://doi.org/10.1070/SM1974v024n01ABEH001906

  49. Казарян К.С. Расходящиеся ортогональные ряды Фурье // Матем. сб. 1991. Т. 182. № 7. С. 985–1008 [K.S. Kazarian, Sb. Math. 1992. V. 73. № 2. 355–377].https://doi.org/10.1070/SM1992v073n02ABEH002550

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал