1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 63, № 7, 2023

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 7, стр. 1128-1144

“Паразитные” собственные значения спектральных задач для оператора Лапласа с краевыми условиями третьего типа

С. А. Назаров 1, *

1 ИПМаш РАН
199178 Санкт-Петербург, Большой проспект В.О., 61, Россия

* E-mail: srgnazarov@yahoo.co.uk

Поступила в редакцию 15.08.2022
После доработки 28.02.2023
Принята к публикации 30.03.2023

Аннотация

Рассматриваются спектральные задачи для оператора Лапласа с условиями Робэна и Стеклова (третьими краевыми) на гладкой границе плоской области. Эти условия содержат малый параметр и коэффициент “неправильного” знака, вызывающий появление отрицательных собственных значений. Подобные задачи и собственные значения, называемые “паразитными”, возникают в вычислительных схемах при моделировании регулярной вариации границ (малых неравномерных сдвигов вдоль нормали) посредством возмущений дифференциальных операторов в краевых условиях. Построена и обоснована асимптотика некоторых паразитных собственных значений и получены априорные оценки, способствующие выяснению их положения на вещественной оси и влияния на погрешности моделирования. Библ. 47.

Ключевые слова: спектральная задача для оператора Лапласа, краевые условия Робэна и Стеклова с малым параметром, асимптотика отрицательных собственных значений, пограничный слой, моделирование.

Список литературы

  1. Hadamard J. Mémoire sur le problème d’analyse relatif à l’équilibre des plaques élastiques encastrées // 1968. Œuvres V. 2. P. 515–631.

  2. Sokolowski J., Zolésio J.-P. Introduction to Shape Optimization. Shape Sensitivity Analysis. Springer Ser. Comput. Math. V. 16. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

  3. Delfour M.C., Zolésio J.-P. Shapes and Geometries. Analysis, Differential Calculus, and Optimization. Adv. Design and Control, V. 4. Philadelphia: Soc. Indust. Appl. Math. (SIAM), 2001.

  4. Kawohl B. Some nonconvex shape optimization problems. In: Optimal Shape Design (Tróia, 1998). Lect. Not. Math. V. 1740. Berlin: Springer, 2000. P. 7–46.

  5. Henrot A. Extremum Problems for Eigenvalues of Elliptic Operators. Front. Math. Basel: Birkhäuser Verlag, 2006.

  6. Kozlov V. On the Hadamard formula for nonsmooth domains // J. Diff. Equat. 2006. V. 230. P. 532–555.

  7. Kozlov V.A., Nazarov S.A. On the Hadamard formula for second order systems in non-smooth domains // Comm. Part. Different. Equat. 2012. V. 37. P. 901–933.

  8. Назаров С.А. Двучленная асимптотика решений спектральных задач с сингулярными возмущениями // Матем. сб. 1990. Т. 181. № 3. С. 291–320.

  9. Назаров С.А. Асимптотическое моделирование упругих тел с поврежденными или упрочненными поверхностями // Докл. РАН. 2007. Т. 415. № 5. С. 611–616.

  10. Назаров С.А. Асимптотика решений и моделирование задач теории упругости в области с быстроосциллирующей границей // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. Т. 72. № 3. С. 103–158.

  11. Камоцкий И.В., Назаров С.А. Спектральные задачи в сингулярно возмущенных областях и самосопряженные расширения дифференциальных операторов // Тр. Санкт-Петербург. матем. общества. 1998. Т. 6. С. 151–212.

  12. Назаров С.А. Моделирование сингулярно возмущенной спектральной задачи при помощи самосопряженных расширений операторов предельных задач // Функц. анализ и его приложения. 2015. Т. 49. № 1. С. 31–48.

  13. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

  14. Levitin M., Parnovski L. On the principal eigenvalue of a Robin problem with a large parameter // Math. Nachr. 2008. V. 281. № 2. P. 272–281.

  15. Pankrashkin K. On the asymptotics of the principal eigenvalue problem for a Robin problem with a large parameter in a planar domain // Nanosystems: Phys., Chem., Math. 2013. V. 4. № 4. P. 474–483.

  16. Exner P., Minakov A., Parnovski L. Asymptotic eigenvalue estimates for a Robin problem with a large parameter // Port. Math. 2014. V. 71. № 2. P. 141–156.

  17. Pankrashkin K., Popoff N. An effective Hamiltonian for the eigenvalue asymptotics of the Robin Laplacian with a large parameter // J. Math. Pures Appl. 2016. V. 106. P. 615–650.

  18. Helffer B., Kachmar A. Eigenvalues for the Robin Laplacian in domains with variable curvature // Trans. Am. Math. Soc. 2017. V. 369. P. 3253–3287.

  19. Helffer B., Kachmar A. Semi-classical edge states for the Robin Laplacian // Mathematika. 2022. V. 68. P. 454–485.

  20. Камоцкий И.В., Назаров С.А. О собственных функциях, локализованных около кромки тонкой области // Пробл. матем. анализа. Вып. 19. Новосибирск: Науч. книга, 1999. С. 105–148.

  21. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of the Dirichlet Laplacian in a narrow strip // Israel J. Math. 2009. V. 170. P. 337–354.

  22. Назаров С.А. Асимптотика отрицательных собственных чисел задачи Дирихле при плотности переменного знака // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. Вып. 27. М.: Изд-во МГУ, 2009. С. 235–275.

  23. Nazarov S.A., Pankratova I.L., Piatnitski A.L. Homogenization of the spectral problem for periodic elliptic operators with sign-changing density function // Arch. Ration. Mech. Anal. 2011. V. 200. № 3. P. 747–788.

  24. Chesnel L., Claeys X., Nazarov S.A. Spectrum of a diffusion operator with coefficient changing sign over a small inclusion // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik. 2015. V. 66. P. 2173–2196.

  25. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. № 5. С. 3–122.

  26. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15. № 3. С. 3–80.

  27. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстроменяющимися коэффициентами и граничными условиями // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15. № 4. С. 27–95.

  28. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of narrow periodic waveguides // Russ. J. Math. Phys. 2008. V. 15. № 2. P. 238–242.

  29. Borisov D., Freitas P. Singular asymptotic expansions for Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions on thin planar domains // Ann. Inst. Henri Poincaré. Anal. Non Linèaire. 2009. V. 26. № 2. P. 547–560.

  30. Borisov D., Freitas P. Asymptotics of Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian on thin domains in ${{\mathbb{R}}^{d}}$ // J. Funct. Anal. 2010. V. 258. № 3. P. 893–912.

  31. Nazarov S.A., Perez E., Taskinen J. Localization effect for Dirichlet eigenfunctions in thin non-smooth domains // Trans. Amer. Math. Soc. 2016. V. 368. № 7. P. 4787–4829.

  32. Pankrashkin K. On the Robin eigenvalues of the Laplacian in the exterior of a convex polygon // Nanosyst. Phys. Chem. Math. 2015. V. 6. P. 46–56.

  33. Pankrashkin K. On the discrete spectrum of Robin Laplacians in conical domains // Math. Model. Nat. Phenom. 2016. V. 11. № 2. P. 100–110.

  34. Khalile M., Ourmières-Bonafos T., Pankrashkin K. Effective operators for Robin eigenvalues in domains with corners // Ann. Institut Fourier. 2020. V. 70. P. 2215–2301.

  35. Daners D. Robin boundary problems on arbitrary domains // Trans. Amer. Math. Soc. 2000. V. 352. № 9. P. 4207–4236.

  36. Daners D. A Faber–Krahn inequality for Robin problems in any space dimansion // Math. Ann. 2006. V. 335. № 4. P. 767–785.

  37. Назаров С.А., Таскинен Я. О спектре задачи Стеклова в области с пиком // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2008. Вып. 1. С. 56–65.

  38. Nazarov S.A., Taskinen J. Spectral anomalies of the Robin Laplacian in non-Lipschitz domains // J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 2013. V. 20. P. 27–90.

  39. Nazarov S.A., Taskinen J. “Blinking eigenvalues” of the Steklov problem generate the continuous spectrum in a cuspidal domain // J. Different. Equat. 2020. V. 269. № 4, 5. P. 2774–2797.

  40. Nazarov S.A., Popoff N., Taskinen J. Plummeting and blinking eigenvalues of the Robin Laplacian in a cuspidal domain // Proceed. Royal Soc. Edinburgh: Sect. A Math. 2019. P. 1–23.

  41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (релятивиская теория). М.: Наука, 1974. 752 с.

  42. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 264 с.

  43. Бутузов В.Ф. Асимптотика решения уравнения ${{\mu }^{2}}\Delta u - {{k}^{2}}(x,y)u = f(x,y)$ в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 9. С. 1654–1660.

  44. Назаров С.А. Метод Вишика–Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. 1. Задача в конусе // Сиб. матем. журн. 1981. Т. 22. № 4. С. 142–163.

  45. Назаров С.А. Метод Вишика–Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. 2. Задача в ограниченной области // Сиб. матем. журн. 1981. Т. 22. № 5. С. 132–152.

  46. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

  47. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск : Науч. книга, 2002.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал