Акустический журнал, 2019, T. 65, № 6, стр. 723-735

ВВЕДЕНИЕ

В акустоэлектронике и мехатронике используются ультразвуковые поверхностные акустические волны (ПАВ). Они распространяются вдоль границ упругого тела на сравнительно большие расстояния от источника и взаимодействуют с неоднородностями (дефектами) любой природы, выявляя тем самым их местоположение. Рассеянные дефектом ПАВ несут информацию о его виде, размере, форме и ориентации, позволяя создавать на этой основе системы обнаружения и оценки потенциальной опасности дефектов, зарождающихся в элементах тонкостенных конструкций (судостроение, аэрокосмические изделия, емкости для химреактивов и радиоактивных отходов и т.п.). К настоящему времени разработка таких систем постоянного волнового контроля состояния элементов конструкций с помощью сети активных пьезодатчиков, возбуждающих и регистрирующих ультразвуковые ПАВ, сформировалась в самостоятельное направление научно-технического развития – Structural Health Monitoring (SHM) [1, 2].

Разработка SHM систем существенным образом базируется на решении задач возбуждения, распространения и дифракции бегущих упругих волн в рассматриваемых образцах, в том числе и в волноводных структурах достаточно сложного строения, например, в слоистых волоконно-армированных композитах [3]. Среди указанных проблем важную роль играют задачи моделирования взаимодействия активных пьезоэлементов (пьезоактуаторов) с упругой подложкой. Их решение позволяет определять параметры работы пьезоактуатора, обеспечивающие максимальный отток волновой энергии возбуждаемыми ПАВ, повышая тем самым разрешающую способность SHM системы.

Для пленочных пьезоактуаторов, приклеенных к поверхности упругой пластины, хорошо известен эффект чередования частот максимального и минимального излучения энергии, уносимой бегущими волнами определенного типа [4–6]. В первую очередь интерес здесь представляют амплитудно-частотные характеристики возбуждаемых фундаментальных антисимметричной и симметричной волн Лэмба – ${{A}_{0}}$ и ${{S}_{0}}.$ Для частот, на которых энергия ${{A}_{0}}$ и ${{S}_{0}}$ мод достигает локальных максимумов, в SHM используется специальный термин “sweet spots” (“лучшие частоты”) [4]. Их конкретные значения зависят от соотношения радиуса актуатора, толщины пластины и сочетания упругих свойств пьезонакладки и волновода. На плоскости частота-радиус $({\omega },a)$ графики зависимости общего количества энергии пьезоактуатора ${{E}_{0}}({\omega },a)$ и энергии, уносимой модами ${{A}_{0}}$ и ${{S}_{0}},$ выглядят как чередующиеся светлые и темные полосы минимальных и максимальных значений, структура которых резко меняется на частотах отсечки, т.е. при появлении каждой следующей высшей моды (см., например, рис. 4–5 работы [7]).

Наряду со встроенными пьезоисточниками в последние годы в SHM все шире применяются бесконтактные преобразователи (air-coupled transducers – ACT [3, 8–10]) в сочетании с сетью пассивных пьезосенсоров. Взаимодействие акустического пучка, генерируемого АСТ, с упругой структурой также приводит к появлению бегущих волн, распространяющихся вдоль волновода, погруженного в акустическую среду (газ или жидкость), поэтому такие источники, перемещаемые вдоль поверхности специальными манипуляторами, также используются для инспекции больших площадей, например, подводной части корпуса судна или обшивки авиалайнера [11, 12].

Здесь возникает такая же задача определения лучших частот возбуждения бегущих волн, в которой появляются дополнительные параметры: расстояние от источника до поверхности инспектируемой структуры и соотношение ее упругих свойств и свойств окружающей среды. Взаимодействие акустических волн с упругими телами является классической задачей структурной акустики, возникающей в таких практических приложениях, как виброизоляция и акустическая скрытность, бесконтактное определение свойств материалов, неразрушающий контроль, акустоэлектроника, акустическая микроскопия и многих других. Развитые здесь методы и подходы [13–20] позволяют исследовать закономерности прохождения и отражения акустических сигналов через твердую преграду и характеристики возбуждаемых в ней бегущих упругих волн. Для определения оптимальных параметров бесконтактного преобразователя большое значение имеют также результаты по моделированию работы источника вблизи упругого препятствия и оценке количества отдаваемой им энергии в зависимости от расстояния до твердой поверхности и частоты [13, 16]. Тем не менее, определение доли излучаемой энергии, идущей на возбуждение бегущих волн, и изучение ее распределения между нормальными модами, все еще требует более детального исследования.

В настоящей работе формулы, выведенные для анализа распределения энергии контактного источника между объемными и поверхностными волнами многослойного упругого полупространства [21, 22], модифицируются на случай бесконтактного АСТ-излучателя, работающего вблизи погруженного упругого волновода. Как и ранее, явные выражения для потока энергии, переносимой волнами различных типов, получены через элементы матрицы Грина рассматриваемой слоистой среды и характеристики источника. Возможность практического использования этих выражений определяется наличием эффективных алгоритмов построения Фурье-символа матрицы Грина рассматриваемой волноводной структуры, поиска их вещественных и комплексных полюсов, вычисления контурных интегралов и вычетов в этих полюсах. Для структур с плоскопараллельными границами, к которым относится рассматриваемая погруженная пластина, применение преобразования Фурье по горизонтальным координатам позволяет получить явное интегральное представление функции Грина в виде контурных интегралов обратного преобразования Фурье [23, 24].

Основываясь на опыте разработки методов построения матрицы Грина для многослойных упругих сред, в том числе и с такими усложненными свойствами как произвольная анизотропия, пористость и градиентность (см., например, обзор в работе [25]), создан набор математических и компьютерных моделей для иерархии погруженных упругих волноводов различной сложности, начиная от пластин Кирхгофа-Лява до многослойных композитов с произвольной анизотропией слоев. В их рамках рассматривались такие вопросы, как трансформация классических волн Лэмба в вытекающие бегущие волны и особенности проявления феномена обратных волн, зависимость коэффициентов прохождения и отражения от строения (многослойности) пластины и частоты, эффект резонансного прохождения сигнала через пластину, энергетический баланс и структура энергетических потоков, уходящих от источника на бесконечность (см. [26] и цитируемые в ней статьи). Настоящая работа посвящена исследованию зависимости количества волновой энергии, поступающей от плоского кругового источника, моделирующего работу бесконтактного преобразователя, от его размера, расстояния до пластины и частоты, а также анализу ее распределения между отраженными, прошедшими и возбуждаемыми в пластине бегущими волнами.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассматриваются установившиеся гармонические колебания $u(x){{e}^{{ - i{\omega }t}}},$ $u = ({{u}_{x}},{{u}_{y}},{{u}_{z}}),$ $x = (x,y,z)$ упругого слоя толщины $h,$ погруженного в акустическую среду (рис. 1a); гармонический множитель ${{e}^{{ - i{\omega }t}}}$ далее опущен. Акустическое давление $p({\mathbf{x}})$ в верхнем и нижнем полупространствах $z \geqslant 0$ и $z \leqslant - h$ удовлетворяет уравнению Гельмгольца

где ${{\kappa }_{0}} = {{\omega } \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega } {{{c}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{0}}}}$ – волновое число, ${{c}_{0}}$ – скорость звука в акустической среде, а функция ${{q}_{0}}$ описывает распределение некоторой силы ${\mathbf{F}}$ на ограниченной поверхности ${{D}_{0}}$ излучающего элемента источника, моделируя его действие.

Предполагается, что источник расположен в верхнем полупространстве, поэтому поле давлений может быть представлено в следующем виде:

где ${{p}_{0}}$ – поле источника в безграничной среде (частное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям излучения на бесконечности), а $p_{{{\text{sc}}}}^{ - }$ и $p_{{{\text{sc}}}}^{ + }$ – поле отраженных от пластины и прошедших сквозь нее объемных волн; индексы минус и плюс используются для функций, определенных в верхнем и нижнем акустических полупространствах $z \geqslant 0$ и $z \leqslant - h$ соответственно. Волновые поля в пластине и жидкости связаны условиями непрерывности нормальных смещений ${{u}_{z}}(x)$ и напряжений на границах пластины: Здесь учтена связь между комплексными амплитудами вектора смещений и поля давлений в акустической жидкости [27]: $u = {{\nabla p} \mathord{\left/ {\vphantom {{\nabla p} {{\text{(}}{{{\rho }}_{{\text{0}}}}{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{\text{)}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{(}}{{{\rho }}_{{\text{0}}}}{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{\text{)}}}};$ компоненты вектора напряжений $\tau = ({{\tau }_{{xz}}},{{\tau }_{{yz}}},{{\sigma }_{z}})$ выражаются через компоненты перемещений u в соответствии с линейными соотношениями закона Гука для рассматриваемого образца. Кроме того, на границах пластины выполняются условия отсутствия касательных напряжений:

В случае контакта пластины с акустической жидкостью только с одной стороны $z = 0$ ее нижняя поверхность считается свободной от напряжений, т.е. $p_{{sc}}^{ + } = 0.$ Замыкают постановку условия излучения на бесконечности, вытекающие из принципа предельного поглощения [23, 28].

При наличии функции Грина для поля давлений $g(x,{\mathbf{\xi }})$ и вектор-функции Грина для поля смещений ${{g}_{u}}(x,{\mathbf{\xi }})$ решение рассматриваемой краевой задачи представимо в виде поверхностных интегралов [29]:

в которых занимаемая источником область ${{D}_{0}}$ может быть не только плоской, как в рассматриваемом случае круговой излучающей пластины ACT, но, например, и вогнутой поверхностью излучающего элемента акустического микроскопа [30].

ФУНКЦИЯ ГРИНА

Функции $g(x,{\mathbf{\xi }})$ и ${{{\mathbf{g}}}_{u}}(x,{\mathbf{\xi }})$ определяются как решение связной краевой задачи с дельта-функцией в правой части уравнения Гельмгольца вместо ${{q}_{0}}{\text{:}}$

Функции $g$ и ${{{\mathbf{g}}}_{u}}$ стоят в уравнениях и граничных условиях на месте $p$ и u соответственно. Вектор-функция ${{{\mathbf{g}}}_{u}},$ определенная как решение в слое $ - h \leqslant z \leqslant 0,$ доопределяется во внешней акустической среде соотношением

Аналогично представлению (3), функция Грина давления $g$ для источника, расположенного в точке верхнего полупространства ($\zeta = d > 0,$ $d$ – расстояние от источника до пластины), также может быть представлена как сумма падающего поля ${{g}_{0}}(x)$ и отраженного $g_{{{\text{sc}}}}^{ - }(x):g = {{g}_{0}} + g_{{{\text{sc}}}}^{ - }.$ Сферические объемные волны, излучаемые точечным источником, описываются классическим частным решением уравнения Гельмгольца

Применение преобразования Фурье ${{\mathcal{F}}_{{xy}}}$ по горизонтальным координатам $x$ и $y$ к уравнениям и граничным условиям позволяет получить явные интегральные представления функций Грина через их Фурье-символы $G = {{\mathcal{F}}_{{xy}}}[g]$ и ${{{\mathbf{G}}}_{u}} = {{\mathcal{F}}_{{xy}}}[{{{\mathbf{g}}}_{u}}]{\text{:}}$

и аналогично для ${{{\mathbf{g}}}_{u}}.$ Контуры интегрирования ${{\Gamma }_{1}}$ и ${{\Gamma }_{2}}$ идут вдоль вещественных осей комплексных плоскостей ${{{\alpha }}_{1}}$ и ${{{\alpha }}_{2}},$ обходя вещественные полюса ${{\zeta }_{n}}$ подынтегральной функции в соответствии с принципом предельного поглощения. Здесь и далее используются обозначения работ [22, 25, 26].

Для получения Фурье-символов $G$ и ${{{\mathbf{G}}}_{u}}$ используются разработанные ранее алгоритмы построения символа матрицы Грина K упругого стратифицированного полупространства $z \leqslant 0,$ к поверхности которого приложена нагрузка ${\mathbf{q}}:{\tau }{\kern 1pt} {{|}_{{z = 0}}} = {\mathbf{q}}.$ Матрица K определяет связь между Фурье-символами поверхностных напряжений ${\mathbf{Q}} = {{\mathcal{F}}_{{xy}}}[{\mathbf{q}}]$ и смещений ${\mathbf{U}} = {{\mathcal{F}}_{{xy}}}[u]{\text{:}}$

где $\alpha = ({{{\alpha }}_{1}},{{{\alpha }}_{2}})$ – вектор параметров обратного преобразования Фурье. В соответствии с условиями (5) ${\mathbf{q}} = {{(0,0,q)}^{{\text{T}}}},$ т.е. в соотношении (10) работает только третий столбец ${{{\mathbf{K}}}_{3}}$ матрицы K. Учитывая условия непрерывности (4), Фурье-символ $Q = {{\mathcal{F}}_{{xy}}}[q]$ несложно выразить через Фурье-символ ${{\mathcal{F}}_{{xy}}}{{\left. {[{{g}_{0}}]} \right|}_{{z = 0}}} = ({{ - {{e}^{{ - {{\sigma }_{0}}\zeta }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{e}^{{ - {{\sigma }_{0}}\zeta }}}} {{\text{2}}{{\sigma }_{{\text{0}}}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{2}}{{\sigma }_{{\text{0}}}}}}){{e}^{{i({{{\alpha }}_{{\text{1}}}}\xi + {{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{\eta })}}}$ поля источника (8) при $z = 0{\text{:}}$где ${{\hat {K}}_{{33}}}(\alpha ,z)$ и $\Delta (\alpha )$ – числитель и знаменатель элемента ${{K}_{{33}}}$ матрицы K: ${{K}_{{33}}} = {{{{{\hat {K}}}_{{33}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\hat {K}}}_{{33}}}} \Delta }} \right. \kern-0em} \Delta }.$

Таким образом, приходим к следующему представлению Фурье-символов функций Грина:

Эти представления справедливы для произвольного вертикально-неоднородного упруго-акустического полупространства $z \leqslant 0,$ контактирующего с акустическим полупространством $z \geqslant 0.$ В случае контакта нижней поверхности слоя с вакуумом, K – матрица Грина упругого слоя конечной толщины h, а в случае полностью погруженного волновода – матрица Грина многослойного полупространства $z \leqslant 0,$ в котором нижнее полупространство $z \leqslant - h$ – акустическая среда. Используя разработанные алгоритмы построения матрицы K, функции Грина вида (12)–(13) можно использовать для анализа волновых процессов в погруженных волноводах с усложненными свойствами, например, в случае волоконно-армированных углепластиков [31].

В изотропном случае компоненты вектора-столбца ${{{\mathbf{K}}}_{3}} = ( - i{{{\alpha }}_{1}}S({\alpha },z),$ $ - i{{{\alpha }}_{2}}S({\alpha },z),$ $R({\alpha },z){{)}^{{\text{T}}}}$ выражаются через две функции $S({\alpha },z)$ и $R({\alpha },z)$, зависящие в плоскости $\alpha $ только от радиальной координаты ${\alpha } = \left| \alpha \right|$ = $\sqrt {{\alpha }_{1}^{2} + {\alpha }_{2}^{2}} $ [23], что позволяет свести двукратные контурные интегралы вида (10) к однократным интегралам по α. Конкретный вид функций $S({\alpha },z)$ и $R({\alpha },z)$ зависит от строения пластины (однородная, многослойная, градиентная и т.п.). В случае однородного изотропного слоя, лежащего на акустическом полупространстве, они выписываются в явном виде [26].

ПОЛЕ БЕСКОНТАКТНОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ

В приведенных ниже численных примерах предполагается, что круговая излучающая пластина преобразователя радиуса $a$ расположена параллельно погруженному слою на расстоянии $d$ от него (рис. 1a), а моделирующая ее действие нагрузка $F$ – равномерно распределена в области ${{D}_{0}}{\text{:}}$ $0 \leqslant r$ = $\sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}}} \leqslant a.$ В этом случае подстановка функций Грина (10), (13)–(14) в выражения для генерируемых волновых полей (6) и замена порядка интегрирования приводит к представлениям в виде двукратных контурных интегралов обратного преобразования Фурье (как (10)) от произведений Фурье-символов $G{{Q}_{0}}$ и ${{{\mathbf{G}}}_{u}}{{Q}_{0}}$ для $p$ и u соответственно; здесь ${{Q}_{0}} = {{\mathcal{F}}_{{xy}}}[{{q}_{0}}]$. Для равномерно-распределенной нагрузки (${{q}_{0}} = {F \mathord{\left/ {\vphantom {F {{\pi }{{a}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{\pi }{{a}^{2}}}}$ при $r \leqslant a$) ${{Q}_{0}}({\alpha })$ = ${{2F{{J}_{1}}(a{\alpha })} \mathord{\left/ {\vphantom {{2F{{J}_{1}}(a{\alpha })} {(a{\alpha })}}} \right. \kern-0em} {(a{\alpha })}}.$ В силу осевой симметрии эти интегралы сводятся к однократным интегралам по контуру $\Gamma ,$ идущему вдоль положительной полуоси комплексной плоскости ${\alpha ,}$ отклоняясь от нее при обходе вещественных полюсов ${{{\zeta }}_{n}}$ в соответствии с принципом предельного поглощения:

где ${{J}_{0}}$ и ${{J}_{1}}$ – функции Бесселя нулевого и первого порядка.

Представления (14) дают решение рассматриваемой задачи, являясь основой для численного анализа. В ближней зоне он может проводиться с помощью прямого численного интегрирования, а в дальней зоне используются асимптотические представления, которые обычно применимы, начиная от расстояния 3–5 длин волн. Для отраженных и прошедших объемных волн $p_{{{\text{sc}}}}^{ \pm }$ асимптотики получены методом стационарной фазы, а для цилиндрических бегущих и вытекающих волн, распространяющихся вдоль пластины в радиальном направлении, – как вклад вычетов в первых $N$ вещественных и близких к вещественным полюсах подынтегральных функций ${{\zeta }_{n}}{\text{:}}$

$H_{0}^{{(1)}}$ – функция Ханкеля. Полюса ${{\zeta }_{n}}$ играют роль волновых чисел, определяя дисперсионные свойства возбуждаемых бегущих волн (фазовые скорости ${{c}_{n}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{\text{Re}}{{\zeta }_{n}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{Re}}{{\zeta }_{n}}}}$).

Следует отметить, что в интегралах (14) общий знаменатель элементов матрицы K сокращается с $\Delta ,$ входящей в числитель $Q$ вида (11), и общим знаменателем всех подынтегральных функций становится ${{\Delta }_{0}}.$ Поэтому волновые числа ${{\zeta }_{n}}$ определяются из характеристического уравнения

которое в случае однородного изотропного волновода совпадает с классическим характеристическим уравнением для погруженной пластины [32, 33]. При ${{\rho }_{0}}{{\omega }^{2}} \to 0$ оно вырождается в дисперсионное уравнение ${{\Delta }_{L}} = 0$ для не нагруженного жидкостью упругого слоя.

ВЕРИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ

Для проверки полученных представлений численно контролировалось выполнение энергетического баланса и проводилось сопоставление с результатами других авторов. В качестве примера таких тестовых сопоставлений на рис. 2 приводятся нормированные к значениям в начале координат частотные зависимости давления в дальнем поле, полученные в работе [34] для пластины Кирхгофа (пунктир) и упругого слоя (сплошные линии), контактирующих с акустическим полупространством только с одной стороны. Источник – точечная вертикальная нагрузка ${{F}_{0}},$ приложенная к поверхности пластины со стороны жидкости (рис. 2а) и вакуума (рис. 2б); частота $f$ отнесена к частоте ${{f}_{c}},$ на которой длина изгибной волны в пластине совпадает с длиной звуковой волны в акустической среде. Круговыми маркерами нанесены результаты, полученные с помощью асимптотик, выведенных из интегральных представлений (14).

Для верификации разрабатываемой ¹модели особенно полезными оказались результаты работы [35], в которой численно и экспериментально исследуется взаимодействие волнового поля, излучаемого ACT преобразователем, с погруженной в воду стальной пластиной. В этой работе численное моделирование проводится с помощью метода конечных элементов (МКЭ), учитывая реальное строение источника (корпус, излучающая пластина и другие элементы конструкции). Результаты, полученные на основе представлений (14), в которых источник моделируется распределенной нагрузкой ${{q}_{0}},$ показали такое же хорошее совпадение с экспериментальными данными, как и МКЭ моделирование, что подтверждает их практическую применимость. Сопоставления проводились как для волновых полей, так и для коэффициента прохождения ${{\kappa }_{T}}$ = $20{\text{lg}}\left| {{{H}_{{pp}}}(0,0,{{z}_{2}},f)} \right|,$ где ${{H}_{{pp}}} = {{p({{x}_{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{p({{x}_{2}})} {p({{x}_{1}})}}} \right. \kern-0em} {p({{x}_{1}})}}$ для точек x₁ и x₂, взятых на верхней границе пластины $\left( {{{z}_{1}} = 0} \right)$ и в воде на глубине 100 мм от ее нижней границы; бесконтактный преобразователь радиуса a = 15 мм расположен на расстоянии d = 270 мм от пластины толщины $h = 6.05$ мм.

Сплошной линией на рис. 3 показана экспериментальная частотная зависимость коэффициента ${{\kappa }_{T}}$ [35], пунктирной – рассчитанная по формулам (14). Пики резонансного прохождения, исследованию которого посвящена работа [35], наблюдаются на частотах появления новых вытекающих волн Лэмба (на частотах отсечки). Изменение структуры потоков волновой энергии в пластине при резонансном прохождении изучается также в работе [26].

БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ

Взаимодействие акустических пучков, генерируемых бесконтактным преобразователем, с погруженной пластиной приводит к появлению бегущих волн, описываемых асимптотикой (15). В свободном упругом слое это классические волны Лэмба [36], распространяющиеся вдоль него без экспоненциального затухания и потому переносящие энергию на бесконечность. Для пластины, погруженной в акустическую среду, распространение бегущих волн сопровождается переизлучением волновой энергии в окружающую среду, поэтому волны Лэмба трансформируются в вытекающие бегущие волны, которые уже не переносят энергию на бесконечность из-за ее оттока в акустическую среду возбуждаемыми в процессе их распространения объемными волнами.

Математически на трансформацию волн Лэмба в вытекающие бегущие волны указывает появление у волновых чисел ${{\zeta }_{n}}$ ненулевой мнимой части, определяющей декремент их затухания ${{\delta }_{n}}$ = = ${{2\pi {\text{Im}}{{\zeta }_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi {\text{Im}}{{\zeta }_{n}}} {{\text{Re}}{{\zeta }_{n}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{Re}}{{\zeta }_{n}}}}$ [37, 38]. При переходе к дисперсионному уравнению (16) чисто вещественные корни дисперсионного уравнения волн Лэмба сдвигаются с вещественной оси в комплексную плоскость α. Типичный вид получающихся дисперсионных кривых показан на рис. 4. Сплошными и пунктирными линиями изображены вещественная и мнимая части ${\text{Re}}{{\zeta }_{n}}$ и ${\text{Im}}{{\zeta }_{n}}$ комплексных волновых чисел ${{\zeta }_{n}}$ в зависимости от безразмерной круговой частоты $\omega = {{2\pi fh} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi fh} {{{c}_{s}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{s}}}},$ где ${{c}_{s}}$ – скорость поперечных волн в упругой среде.

Ниже численные результаты приводятся в безразмерном виде, получающемся при отнесении линейных размеров к толщине пластины h, скоростей – к скорости ${{c}_{s}}$ и плотностей – к плотности пластины ρ. Безразмерные параметры стальной пластины: ${{c}_{p}} = 1.85,$ ${{c}_{s}} = 1,$ $\rho = 1$ и $h = 1;$ параметры жидкости (вода): ${{c}_{0}} = 0.47$ и ${{\rho }_{0}} = 0.125.$

Вещественные части дисперсионных кривых вытекающих бегущих волн расположены ниже луча ${{\kappa }_{0}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{{c}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{0}}}}$ (их фазовая скорость больше скорости звука ${{c}_{0}}$). Они мало отличаются от дисперсионных кривых классических волн Лэмба для свободной упругой пластины, а амплитуда мнимых частей сравнительно мала (см. рис. 4в; практически такие же кривые приведены на рис. 8 [39], хорошее качественное совпадение наблюдается также с кривыми рис. 2 [37], построенными методом возмущения по малому параметру). Кроме вытекающих волн в случае погруженного слоя появляются две новые незатухающие бегущие волны Шолте-Стоунли [32, 33] (вещественные кривые для антисимметричной волны $A$ и симметричной $S$, рис. 4б). Эти волны распространяются с почти такой же фазовой скоростью, что и объемные акустические волны в жидкости, поэтому их дисперсионные кривые, идущие выше луча ${{\kappa }_{0}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{{c}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{0}}}},$ тесно прижимаются к нему с ростом частоты, но не сливаются. В то время как энергия, полученная вытекающими волнами Лэмба от источника, рассеивается вверх и вниз, не доходя вместе с ними до бесконечности, волны Шолте-Стоунли обеспечивают перенос энергии вдоль пластины на бесконечность.

Следует отметить, что для свободного слоя дисперсионная кривая моды ${{A}_{0}}$ выходит из начала координат вертикально вверх, поэтому в случае погруженного волновода должен существовать некоторый низкочастотный диапазон $0 < \omega < {{\omega }_{0}},$ в котором ${\text{Re}}{{\zeta }_{n}} > {{\kappa }_{0}},$ т.е. ее фазовая скорость меньше ${{c}_{0}}$. С физической точки зрения такая волна должна распространяться без переизлучения энергии в окружающую среду (волновое число остается вещественным). Однако, соответствующий корень ${{\zeta }_{n}}$ оказывается на нефизическом листе римановой поверхности, который отделяется от физического листа разрезом ${\text{Re}}\alpha = {{\kappa }_{0}},$ ${\text{Im}}\alpha > 0,$ идущим в комплексной плоскости $\alpha $ из точки ветвления ${{\kappa }_{0}}.$ Соответственно, дисперсионная кривая моды ${{A}_{0}}$ начинается на рис. 4б с частоты ${{\omega }_{0}} = 0.44,$ на которой этот корень выходит на физический лист, пересекая разрез.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ ИСТОЧНИКА

Осредненный за период колебаний поток энергии E, переносимой в поле гармонических колебаний через некоторую поверхность D, определяется интегралом [40]:

Здесь ${{e}_{n}}$ – нормальная компонента вектора плотности энергии ${\mathbf{e}}$, ${{{\mathbf{\tau }}}_{n}}$ – вектор напряжений на площадке с нормалью ${\mathbf{n}}$ (в жидкости ${{{\mathbf{\tau }}}_{n}} = - p{\mathbf{n}}$).

Визуализация траекторий переноса энергии от источника на бесконечность обеспечивается линиями тока энергии, задаваемыми векторным полем ${\mathbf{e}}(x).$ В качестве примера, на рис. 5 показаны линии тока энергии, излучаемой круговым преобразователем безразмерного радиуса $a = 3.75,$ расположенным на расстоянии $d = 4$ от пластины при частоте $\omega = 1$ (в размерных переменных это может быть тот же преобразователь, что и в примере рис. 3, но на расстоянии 16 мм от стальной пластины толщиной 4 мм).

Линии тока показывают осредненный за период колебаний путь переноса энергии, однако не дают информации о мощности потоков. Для количественной оценки распределения энергии источника между волнами различного типа и по направлениям излучения используются формулы, полученные из общего представления (17).

Энергия ${{E}_{0}},$ поступающая от источника в среду (т.е. осредненная мощность источника), в общем случае вычисляется интегрированием плотности потока ${{e}_{n}}$ по окружающей источник замкнутой поверхности D; причем, в силу закона сохранения энергии результат не зависит от ее размера и формы. Для рассматриваемой модели бесконтактного преобразователя удобно взять в качестве D верхнюю и нижнюю поверхности круговой излучающей пластины D₀, что с учетом выражения для плотности потока энергии в акустической среде ${{e}_{z}}$ = ${\text{Im}}{{[p_{z}^{'}p{\text{*}}]} \mathord{\left/ {\vphantom {{[p_{z}^{'}p{\text{*}}]} {(2\omega {{\rho }_{0}})}}} \right. \kern-0em} {(2\omega {{\rho }_{0}})}}$ и выражений (12), (14) приводит к представлению:

(звездочкой сверху обозначены комплексно-сопряженные величины). При выводе этой формулы, а также приведенных ниже формул (20)–(22) для энергии объемных и бегущих волн, применяется техника работы [21], детали реализации которой подробно обсуждаются также в статье [22].

Для анализа распределения энергии источника между возбуждаемыми волнами в качестве $D$ используется поверхность цилиндра большого радиуса ${{r}_{c}}$ (рис. 1б). Потоки энергии $E_{V}^{ + }$ и $E_{V}^{ - }$ через горизонтальные поверхности цилиндра $z = {{z}_{1}}$ и $z = {{z}_{2}}$ дают часть энергии источника, уносимой на бесконечность прошедшими и отраженными волнами $p_{{{\text{sc}}}}^{ + }$ и $p_{{{\text{sc}}}}^{ - },$ а поток ${{E}_{R}}$ через боковую поверхность – долю энергии бегущих волн. При ${{\kappa }_{0}}{{r}_{c}} \gg 1$ поток ${{E}_{R}}$ фактически складывается только из энергии, переносимой модами $A$ и $S$, так как количество энергии, переносимое вытекающими модами, убывает с расстоянием экспоненциально. Исходя из закона убывания амплитуды n-той моды

степень уменьшения переносимой ей энергии ${{E}_{n}}(r)$ по отношению к начальному значению в ближней зоне ${{E}_{0}}(0)$ описывается следующей линейной зависимостью от расстояния r: (здесь учтено, что энергия пропорциональна квадрату амплитуды). Это соотношение позволяет оценить границу средней зоны, в которой вклад вытекающей волны еще заметен. Например, для мод, у которых ${\text{Im}}{{\zeta }_{n}} \approx 0.1$ (см. рис. 4в), потеря энергии более 50 дБ происходит на расстоянии $r{\text{/}}h > 60.$

В силу закона сохранения суммарное количество энергии через полную поверхность цилиндра ${{E}_{c}}$ должно совпадать с энергией источника ${{E}_{0}}{\text{:}}$

При осевой симметрии вектор плотности энергии выражается через две не зависящие от полярного угла $\varphi $ компоненты – радиальную ${{e}_{r}}$ и вертикальную ${{e}_{z}}{\text{:}}$ ${\mathbf{e}} = ({{e}_{r}},{{e}_{z}}).$ Используя представления для потоков энергии через горизонтальную плоскость и боковую поверхность цилиндра [21], выражения для $E_{V}^{ \pm }$ и ${{E}_{R}}$ сводятся в этом случае к виду

где

В качестве примера распределения энергии кругового источника ${{E}_{0}}$ (a = 3.75, d = 4) между потоками $E_{V}^{ - },$ $E_{V}^{ + }$ и ${{E}_{R}}$ на рис. 6а и его укрупненных фрагментах 6в и 6г приведены частотные зависимости этих величин и суммарного потока ${{E}_{c}}$ (19), нормированные на мощность ${{E}_{\infty }}$ такого же источника, но в безграничной акустической среде без пластины. Для количественной оценки изменения энергии источника с частотой на рис. 6б приведен график ${{{{E}_{\infty }}(\omega )} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{\infty }}(\omega )} {{{{\tilde {E}}}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\tilde {E}}}_{0}}}},$ где ${{\hat {E}}_{0}} = {F \mathord{\left/ {\vphantom {F {(8\pi {{\rho }_{0}}{{c}_{0}})}}} \right. \kern-0em} {(8\pi {{\rho }_{0}}{{c}_{0}})}}$ – мощность эквивалентного по силе точечного источника ${{q}_{0}} = F\delta ({\mathbf{x}})$ в безграничной среде.

Данный и другие численные примеры показывают, что баланс энергии (19) сохраняется для любых горизонтальных плоскостей $z = {{z}_{1}} < - h,$ $z = {{z}_{2}} > d$ и боковой поверхности цилиндра достаточно большого радиуса ${{\kappa }_{0}}{{r}_{c}} \gg 1$ (круговые маркеры для ${{E}_{c}}$ лежат на сплошной линии для ${{E}_{0}}$). Видно, что доля энергии прошедших через пластину и бегущих волн $E_{V}^{ + }$ и ${{E}_{R}}$ значительна только на низких частотах (рис. 6в), а для $E_{V}^{ + }$ – и при резонансном прохождении в окрестности частот отсечки и в диапазонах обратных волн, например, при $\omega \approx 5.7$ на рис. 6а. Для остальных частот с ростом $\omega $ основная часть энергии уходит на бесконечность через верхнюю плоскость $z = {{z}_{2}}$ вместе с полем объемных волн ${{p}_{0}} + p_{{{\text{sc}}}}^{ - }$ ($E_{V}^{ - }$ практически совпадает с ${{E}_{0}}$). Деформация пластины при этом фактически не влияет на мощность источника, на этих частотах она работает как жесткая преграда. Это согласуется с хорошо известными в структурной акустике законами рассеяния акустических волн на упругих телах – на высоких частотах последние можно рассматривать как недеформируемые [13, 16, 41].

В зависимости от частоты отраженное поле $p_{{{\text{sc}}}}^{ - }$ складывается с прямым полем источника ${{p}_{0}}$ в фазе или противофазе. Соответственно, график ${{{{E}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{0}}} {{{E}_{\infty }}}}} \right. \kern-0em} {{{E}_{\infty }}}}$ (рис. 6а) быстро выходит на режим колебаний вокруг единицы с минимумами и максимумами, близкими к нулю и двум. Периодичность их чередования слегка нарушается только при переходе через диапазон появления обратной волны (мода $S_{1}^{*}$ на рис. 4а). Здесь же наблюдается и резонансное прохождение звука сквозь пластину (рост значений энергии прошедших волн $E_{V}^{ + }$). Это тот же резонансный пик, что и на частоте $f = 457$ кГц на рис. 3 (безразмерная частота $\omega = 5.5$). Следующий пик на частоте $f = 774$ кГц ($\omega = 9.4$) вызван появлением обратной волны $A_{2}^{*}.$ Анализ изменения картины линий тока и плотности потока энергии при переходе от нерезонансных частот (как на рис. 5) к резонансным проводится в работе [20].

Общие закономерности изменения суммарной мощности ${{E}_{0}}$ при варьировании положения и размера источника иллюстрируют линии уровня функций ${{{{E}_{0}}(\omega ,d)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{0}}(\omega ,d)} {{{E}_{\infty }}}}} \right. \kern-0em} {{{E}_{\infty }}}}$ (рис. 7а) и ${{{{E}_{0}}(\omega ,a)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{0}}(\omega ,a)} {{{E}_{\infty }}}}} \right. \kern-0em} {{{E}_{\infty }}}}$ (рис. 7б) (относительное по сравнению с безграничной средой изменение отдаваемой мощности источника ${{E}_{0}}$ как функция частоты и расстояния при фиксированном $a = 3.75,$ и как функция частоты и размера при фиксированном $d = 4$). Горизонтальными пунктирными линиями показаны сечения этих поверхностей, дающие график ${{{{E}_{0}}(\omega )} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{0}}(\omega )} {{{E}_{\infty }}}}} \right. \kern-0em} {{{E}_{\infty }}}}$ на рис. 6. Чередование максимумов и минимумов на рис. 7а, как и ожидалось, определяется четным или нечетным числом акустических полуволн длины $\lambda = {{2\pi {{c}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi {{c}_{0}}} \omega }} \right. \kern-0em} \omega },$ укладывающихся в расстояние d. Соответственно, полосы максимумов идут в плоскости $(\omega ,d)$ вдоль гипербол с небольшим сдвигом при переходе через диапазон обратных волн и частоты отсечки моды ${{S}_{2}}$ (после $\omega = 5.5$). А вот рис. 7б демонстрирует отсутствие зависимости лучших частот от радиуса источника $a$ в отличие от случая контактного пьезоактуатора, для которого характерны такие же идущие вдоль гипербол полосы максимумов, как и на рис. 7а [7].

На укрупненном графике для энергии бегущих волн ${{{{E}_{R}}(\omega )} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{R}}(\omega )} {{{E}_{\infty }}}}} \right. \kern-0em} {{{E}_{\infty }}}}$ (рис. 6г) видно такое же чередование максимумов и минимумов, как и у ${{E}_{0}},$ т.е. для бегущих волн, возбуждаемых в пластине акустическим пучком, также существуют периодически повторяющиеся лучшие частоты, однако их значения не совпадают с максимумами энергии, отдаваемой источником. Это означает, что работа источника на максимуме мощности совсем не обязательно приводит к возбуждению бегущих волн максимальной амплитуды. Рис. 8 иллюстрирует зависимость ${{{{E}_{R}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{R}}} {{{E}_{\infty }}}}} \right. \kern-0em} {{{E}_{\infty }}}}$ от частоты и от параметров d и a.

Что касается распределения энергии бегущих волн между двумя модами Шолте-Стоунли, то графики ${{E}_{A}}$ и ${{E}_{S}},$ приведенные на рис. 9, показывают, что при расположении источника возле пластины большую часть энергии переносит антисимметричная волна $A$ (рис. 8а для d = 1), а с увеличением расстояния ее вклад уменьшается и энергия волн $A$ и $S$ становится сопоставимой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе интегральных и асимптотических представлений для функции Грина рассматриваемой задачи разработаны, реализованы и верифицированы математические и компьютерные модели, предназначенные для численного анализа волновых полей и энергетических потоков в системе бесконтактный ультразвуковой преобразователь –акустическая среда – погруженный упругий волновод. В рамках разработанной модели анализируется распределение волновой энергии бесконтактного ультразвукового преобразователя между отраженными, прошедшими и бегущими волнами, возбуждаемыми в погруженной однородной упругой пластине в зависимости от размера источника, расстояния до зондируемой пластины и частоты. Численные примеры показывают, что лучшие частоты возбуждения бегущих волн не обязательно совпадают с частотами локальных максимумов мощности источника, чередование которых с минимумами мощности определяется хорошо известными в акустике закономерностями сложения прямого и отраженного полей в фазе или противофазе.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Научного Фонда (проект № 17-11-01191).