Акустический журнал, 2020, T. 66, № 3, стр. 327-331

Малые рассеиватели при определенных условиях являются эффективными поглотителями звука. В свободном пространстве газовый пузырек в жидкости или резонатор Гельмгольца при оптимальном трении имеют максимально возможное поглощение, которое может быть достигнуто рассеивателем монопольного типа [1]. Параметры резонатора Гельмгольца, при которых поглощение звука, характеризуемое коэффициентами затухания собственных колебаний помещения, максимально, найдены в работе [2]. Коэффициенты затухания первых мод помещения с резонатором зависят от его массы: чем она меньше, тем больше коэффициенты затухания. Но даже при нулевой длине горла резонатора его масса ненулевая и определяется присоединенной массой отверстия. Поэтому резонатор Гельмгольца в помещении не обеспечивает максимальное поглощение, достижимое монопольным рассеивателем.

Вместе с тем, задача о максимальном поглощении звука на первых резонансах помещения актуальна для акустики малых помещений: для выравнивания частотной характеристики помещений часто используются активные методы гашения звука [3, 4]. Активные методы [5–8] позволяют реализовать любой импеданс локального рассеивателя, а следовательно, достичь максимального демпфирования собственных мод помещения. В связи с этим в настоящей работе решена задача о максимальном поглощении звука монополем в помещении с абсолютно жесткими стенками. В качестве характеристики поглощения выбран коэффициент затухания свободных колебаний системы “помещение–монополь”. Монополь представляет собой встроенный в стенку поршень, малый по сравнению с размерами помещения. В первую очередь вычисляется его импеданс излучения [9, 10], а затем определяются собственные частоты системы “помещение–монополь” [2].

Рассмотрим прямоугольное помещение с размерами L, D, H с абсолютно жесткими стенками (рис. 1). Среда в помещении характеризуется плотностью $\rho $ и скоростью звука с. В стенке, находящейся в плоскости $x = 0,$ установлен квадратный поршень со стороной a, положение поршня задается координатами одной из его вершин $({{y}_{0}},{{z}_{0}})$. Пусть поршень колеблется по гармоническому закону с частотой $\omega $ и амплитудой скорости V.

Звуковое поле в помещении может быть найдено стандартным методом Фурье. Звуковое давление записывается в виде суммы

где $n,m = 0,1,2...,$ ${{\eta }_{n}} = {{\pi n} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi n} D}} \right. \kern-0em} D},$ ${{\zeta }_{m}} = {{\pi m} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi m} H}} \right. \kern-0em} H},$ ${{\xi }_{{nm}}} = \sqrt {{{k}^{2}} - \eta _{n}^{2} - \zeta _{m}^{2}} ,$ $k = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega c}} \right. \kern-0em} c},$ ${{\varepsilon }_{0}} = 2,$ ${{\varepsilon }_{{n \geqslant 1}}} = 1,$ ${{\alpha }_{0}} = {{\beta }_{0}} = a,$

Сила, действующая на поршень со стороны среды, определяется выражением

где S – площадь поверхности поршня. Из (1) и (4) находим импеданс поршня

Коэффициенты ${{\alpha }_{n}}$ и ${{\beta }_{m}}$ описывают влияние положения поршня на стенке на его импеданс. Если поршень расположен в углу, т.е. если ${{y}_{0}} = {{z}_{0}} = 0,$ то его колебания возбуждают все моды помещения. Если поршень расположен в центре стенки, т.е. если ${{y}_{0}} = {{(D - a)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(D - a)} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ и ${{z}_{0}} = {{(H - a)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(H - a)} 2}} \right. \kern-0em} 2},$ то его колебания возбуждают только нулевую и четные по n и m моды.

Для расчетов рассмотрим два вида помещений: кубическое ($L:D:H = 1:1:1$) и вытянутое ($L:D:H = 1:0.2:0.2$). Введем безразмерные импеданс и частоту

где ${{\omega }_{1}} = {{\pi c} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi c} L}} \right. \kern-0em} L}$ – первая резонансная частота помещения без монополя. Далее штрихи у величин $Z_{r}^{'}$ и $\omega {\kern 1pt} '$ будем опускать.

На рис. 2 приведен расчет импеданса поршня ${{Z}_{r}}$ в углу помещения и в центре стенки для двух помещений в зависимости от частоты. На собственных частотах возбуждаемых мод импеданс обращается в бесконечность. В вытянутом помещении импеданс слабо зависит от положения поршня на стенке, что также имеет место в одномодовых волноводах [11].

Пусть импеданс монополя имеет произвольное комплексное значение Z, которое, как и импеданс излучения (6), приведем к безразмерному виду $Z{\kern 1pt} ' = \frac{Z}{{\rho c{{a}^{2}}}},$ опуская при этом штрих у величины $Z{\kern 1pt} '.$ Тогда собственные частоты системы “помещение–монополь” определяются уравнением [6]

В первую очередь рассмотрим влияние вещественной части импеданса на значение корней (7) для кубического помещения с монополем в углу. На рис. 3 приведены первые три корня уравнения (7), найденные численно, для двух значений мнимой части импеданса $Z$. Если рассматриваемая система бездиссипативна, т.е. $\operatorname{Re} Z = 0,$ то корни вещественны, обозначим их ${{\Omega }_{n}}$ и отметим на комплексной плоскости на рис. 3 проколотыми точками. Частоты ${{\omega }_{n}}$ – собственные частоты помещения без поршня. Наименьшая собственная частота помещения согласно (7) равна ${{\omega }_{1}} = 1,$ вторая – ${{\omega }_{2}} = \sqrt 2 .$

Нумерация ${{\Omega }_{n}}$ начинается с $n = 0,$ поскольку помещение с поршнем имеет дополнительную степень свободы и собственную частоту. На этой частоте звуковое давление во всем объеме помещения постоянно, что становится возможным в помещении с источником или стоком объемной скорости.

При $\operatorname{Im} Z = 0.2$ все частоты ${{\Omega }_{n}}$ оказываются выше ${{\omega }_{n}}$, при этом ${{\Omega }_{0}}$ оказываeтся ниже ${{\omega }_{1}}$. При $\operatorname{Im} Z = 0.3$ частота ${{\Omega }_{0}}$ оказывается между ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{2}}$, т.е. частота собственного колебания, связанного с дополнительной степенью свободы, обусловленной движением поршня, увеличивается с увеличением значения $\operatorname{Im} Z$.

Далее будем увеличивать значение действительной части импеданса поршня от нулевого значения до бесконечности и отслеживать, как изменяются собственные частоты. При ненулевом значении $\operatorname{Re} Z$ собственные частоты становятся комплексными, а соответствующие им моды затухающими. С увеличением $\operatorname{Re} Z$ мнимые части собственных частот уменьшаются, достигают минимального значения (за исключением нулевой моды), а затем стремятся к нулю. Мнимая часть нулевой собственной частоты не имеет экстремума, поэтому соответствующее собственное колебание системы становится все более затухающим. Таким образом, в пределе $\operatorname{Re} Z \to \infty $ собственные частоты стремятся к собственным частотам помещения без поршня ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$, т.е. сильно задемпфированный поршень не оказывает влияния на звуковое поле в помещении.

Между значениями $\operatorname{Im} Z = 0.2$ и $\operatorname{Im} Z = 0.3$ существует значение $\operatorname{Im} Z$, при котором поведение корней (7) принципиально отличается. На рис. 4 приведены собственные частоты системы “помещение–поршень” для $\operatorname{Im} Z = 0.26$ при изменении $\operatorname{Re} Z$от 0 до $\infty $. Ветви корней, соответствующие нулевой и первой моде, имеют общую точку ${{\tilde {\omega }}_{{01}}}$. Как показано в работе [2] на примере резонатора Гельмгольца, максимальное поглощение звука на двух первых модах происходит на кратной собственной частоте. Можно также подобрать такое значение импеданса поршня, при котором одинаковую собственную частоту будут иметь нулевая и вторая моды, т.е. максимальное поглощение будет достигнуто в окрестности второй моды.

Далее вычислим коэффициент затухания первого собственного колебания системы. В окрестности первой резонансной частоты помещения ${{\omega }_{1}}$ будет два собственных колебания, имеющих в случае бездиссипативного поршня собственные частоты ${{\Omega }_{0}}$ и ${{\Omega }_{1}}$. Обозначим два первых корня уравнения (7) ${{\tilde {\omega }}_{1}}$ и ${{\tilde {\omega }}_{2}}$. Скорости затухания этих мод определяются величинами $\operatorname{Im} {{\tilde {\omega }}_{1}}$ и $\operatorname{Im} {{\tilde {\omega }}_{2}}$. Длительность затухания колебаний системы “помещение–поршень” в окрестности частоты ${{\omega }_{1}}$ будет, очевидно, определяться меньшим из двух коэффициентов затухания. Введем коэффициент затухания колебания системы следующим образом

Коэффициент затухания $\delta $ является функцией импеданса Z. На рис. 5 приведена зависимость коэффициента затухания от комплексного импеданса Z в виде линий равных значений $\delta $, рассчитанных согласно (8). Функция $\delta (Z)$ имеет максимальное значение ${{\delta }_{m}} = 0.15$ при ${{Z}_{m}} = 0.12 + 0.26i.$

Аналогичным образом можно найти оптимальный импеданс поршня ${{Z}_{m}}$ и максимальный коэффициент затухания первого собственного колебания помещения ${{\delta }_{m}}$ для вытянутого помещения и для поршня, расположенного в центре стенки. Результаты расчетов приведены в таблице. Импедансы излучения поршня ${{Z}_{r}}$ для этих случаев приведены на рис. 2.

Как следует из расчетов, в вытянутом помещении коэффициент затухания значительно выше, чем в кубическом, из-за меньшего влияния резонансов помещения с ненулевыми номерами n и m на движение поршня. Большее поглощение обеспечивается также при расположении поршня в центре стенки, поскольку нечетные по n и m моды помещения не возбуждаются.

Найденные коэффициенты затухания также значительно выше, чем характерные коэффициенты затухания, обеспечиваемые резонатором Гельмгольца. В соразмерном помещении с поглощающим резонатором Гельмгольца [2] коэффициент затухания первого собственного колебания помещения составляет около 0.05, в то время как в кубическом помещении с монополем с оптимальным импедансом он в 3–4 раза выше.

Таким образом, найден импеданс монополя, при котором обеспечивается максимальное поглощение звука в помещении с жесткими стенками на его первой резонансной частоте. Такой монополь может быть реализован в виде поршня, встроенного в одну из стенок помещения, а требуемый импеданс может быть обеспечен с помощью активных методов управления импедансом локальных излучателей [6–8]. Рассмотренный в статье подход может быть использован для практических расчетов активных систем и подбора оптимального импеданса для демпфирования нескольких первых собственных колебаний помещения.