Астрономический журнал, 2020, T. 97, № 9, стр. 754-764
Увод астероида с помощью двигателя малой тяги, направленной по касательной к орбите
К. В. Холшевников 1, 2, *, Д. В. Миланов 1, **, К. И. Оськина 1, ***, В. Б. Титов 1, ****
1 Санкт-Петербургский государственный университет
Санкт-Петербург, Россия
2 Институт прикладной астрономии РАН
Санкт-Петербург, Россия
* E-mail: kvk@astro.spbu.ru
** E-mail: danila.milanov@gmail.com
*** E-mail: zegzithsa@gmail.com
**** E-mail: tit@astro.spbu.ru
Поступила в редакцию 08.05.2020
После доработки 30.05.2020
Принята к публикации 30.05.2020
Аннотация
Рассмотрена задача увода опасного астероида с орбиты столкновения с Землей с помощью двигателя малой тяги, направленной по касательной к траектории. Двигатель может быть смонтирован на астероиде, или на “гравитационном тягаче”. Целью статьи является установление принципиальной возможности увода астероида на безопасное расстояние за время порядка месяца и года. Это приемлемо, поскольку падение астероида диаметром порядка 100 м сразу после его открытия маловероятно. Мы ограничились модельной постановкой задачи: двигатель обеспечивает постоянное касательное ускорение. Соответствующие уравнения типа Эйлера были нами преобразованы методом осреднения ранее. Здесь мы решили их методом рядов по степеням “медленного времени” и показали адекватность решения на временах в десятки лет. Оказалось, что астероиды до 55 м в диаметре можно увести за год при тяге двигателя в 1 Н. При тяге в 20 Н астероиды до 50 м в диаметре можно увести за месяц, а с диаметром до 150 м – за год. Увод более крупных астероидов требует больше времени или более мощных двигателей. Результаты сравнены с полученными ранее аналогичными данными для случая, когда возмущающее ускорение направлено по трансверсали. Во всех случаях касательная тяга приводит к лучшим результатам. Однако для орбит с эксцентриситетами до 0.4 оба варианта практически совпадают. Различие становится значимым при $e > 0.5$.
1. ВВЕДЕНИЕ
В статьях [1, 2] сформулирована задача о движении точки $\mathcal{A}$ нулевой массы под действием притяжения к центральному телу $\mathcal{S}$ и возмущающего ускорения ${\mathbf{P}}$, постоянного в одной из привилегированных системах отсчета. Здесь мы рассматриваем орбитальную систему ${{\mathcal{O}}_{2}}$ с ортами ${{{\mathbf{i}}}_{2}}$, ${{{\mathbf{j}}}_{2}}$, ${{{\mathbf{k}}}_{2}}$. Орты направлены по касательной, главной нормали к оскулирующей орбите и бинормали (направленной по вектору площадей) соответственно. Отношение модулей возмущающего ускорения $P$ и вызванного притяжением к центральному телу основного ускорения ${{\varkappa }^{2}}{\text{/}}{{r}^{2}}$ считается малым, квадратом этой величины пренебрегается. Здесь ${{\varkappa }^{2}}$ – произведение постоянной тяготения на массу $\mathcal{S}$, $r = {\text{|}}{\mathbf{r}}{\text{|}}$, $r = \mathcal{S}\mathcal{A}$. К уравнениям движения применено осредняющее преобразование. Найдены уравнения движения в средних элементах и формулы перехода от оскулирующих элементов к средним.
В статье [3] осредненные уравнения проинтегрированы в квадратурах, если хотя бы один из трех компонентов $\mathfrak{T} = {\mathbf{P}}{{{\mathbf{i}}}_{2}}$, $\mathfrak{N} = {\mathbf{P}}{{{\mathbf{j}}}_{2}}$, $W = {\mathbf{P}}{{{\mathbf{k}}}_{2}}$ вектора возмущающего ускорения ${\mathbf{P}}$ равен нулю. Здесь мы применим эти результаты к задаче об уводе опасного астероида с орбиты столкновения с Землей с помощью двигателя малой тяги. Последний может быть установлен на астероиде, или на “гравитационном тягаче” [4]. Малая тяга позволяет сдвинуть астероид на приемлемое расстояние лишь за длительное время (годы, в лучшем случае месяцы). Это приемлемо, поскольку падение астероида диаметром порядка 100 м сразу после его открытия маловероятно. Заметим, что, к счастью, маловероятно само столкновение с Землей. Частота оценивается в одно событие за 200 лет [5–7]. Вероятность же столкновения сразу после открытия опасного объекта еще существенно ниже11. В общем случае он несколько раз пролетает мимо Земли на близком расстоянии (и тогда обнаруживается), прежде чем столкнуться с ней [8].
Направим тягу двигателя коллинеарно вектору скорости. Такой выбор направления локально оптимален для разгона или торможения объекта [9, 10]. В предыдущей статье [11] мы рассмотрели математически более простой случай возмущающего ускорения, направленного вдоль трансверсали. Для круговых орбит оба варианта совпадают. Для эллиптических первый случай предпочтительнее, как будет показано ниже.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Обозначим через $\omega $, $e$, $i$, $\Omega $, $g$, $M$, $a$ угловую скорость (среднее движение по астрономической терминологии), эксцентриситет, наклон к основной неподвижной плоскости с ортами ${\mathbf{i}}$, ${\mathbf{j}}$, долготу восходящего узла, аргумент перицентра, среднюю аномалию и большую полуось. Независимы первые 6 элементов, параметр
считается функцией от $\omega $. Выбор угловой скорости вместо большой полуоси в качестве независимой переменной упрощает операции осреднения, поскольку скорость изменения $M$ в невозмущенном движении линейно зависит от $\omega $, но существенно нелинейно от $a$.Пусть компоненты возмущающего ускорения ${\mathbf{P}}$ в системе ${{\mathcal{O}}_{2}}$ равны $(\mathfrak{T},0,0)$, $\mathfrak{T} = {\text{const}}$. В статье [2] выполнено осредняющее преобразование [12–14] уравнений Эйлера [13, 15] для изменения оскулирующих элементов с точностью до первого порядка относительно отношения ${\text{|}}{\mathbf{P}}{\text{|}}$ к основному ускорению ${{\varkappa }^{2}}{\text{/}}{{r}^{2}}$. Переход от оскулирующих элементов к средним выполняется по формулам
Здесь ${{\epsilon }_{n}}$ – семь оскулирующих элементов, взятых в указанном выше порядке; ${{\bar {\epsilon }}_{n}}$ – семь средних элементов. Величины ${{u}_{n}}$ считаются функциями средних элементов ${{\bar {\epsilon }}_{k}}$. Впрочем, в первом приближении безразлично, считать ли аргументы ${{u}_{n}}$ средними или оскулирующими.Замкнутые выражения ${{u}_{n}}$ содержат неполные эллиптические интегралы [2]. Предпочтительнее пользоваться приведенными там же рядами по степеням эксцентриситета:
(3)
$\begin{gathered} \, - \left. {\frac{{17}}{{256}}{{e}^{4}}} \right)cos2E + \left( { - \frac{1}{{12}}e - \frac{1}{{192}}{{e}^{3}} + } \right. \\ \, + \left. {\frac{7}{{1536}}{{e}^{5}}} \right)cos3E + \left( {\frac{1}{{32}}{{e}^{2}} + \frac{1}{{128}}{{e}^{4}}} \right)cos4E - \\ \end{gathered} $Замечание 1. В статье [2] содержится досадная опечатка. В формулах (9) и (11) следует поменять знак в выражениях для ${{u}_{1}}$, $\mathcal{I}{{u}_{1}}$. В формуле (11) выражение для ${v}$ ошибочно. Однако все коэффициенты при компонентах $\mathfrak{N}$ и $W$ в [2] верны. В приведенных формулах выше (в которых ${{u}_{6}}$ соответствует ${v}$ из [2]) погрешность устранена.
Замечание 2. Метод осреднения определяет ${{u}_{n}}$ с точностью до слагаемого, не зависящего от быстрой переменной. В (3) оно выбрано из условия нулевого среднего ${{u}_{n}}$ по переменной $M$.
Замечание 3. Мы считаем разложения типа (3) рядами по степеням эксцентриситета, но для удобства группируем слагаемые при косинусах и синусах одинаковой кратности.
Замечание 4. В статье [2] аналогичные (3) выражения представляли собой многочлены невысокой степени от $e$. Переход к средней аномалии от эксцентрической превращал бы их в бесконечные ряды. Переход же к средней аномалии в рядах (3) кажется на первый взгляд разумным. Это не так, поскольку радиус сходимости в этом случае понизился бы от единицы до предела Лапласа ${{e}_{L}} = 0.6627$.
Дифференциальные уравнения для средних элементов просты [2]:
(4)
$\begin{gathered} \dot {\omega } = - \frac{3}{a}{{F}_{1}}(x)\mathfrak{T},\quad \dot {e} = - \frac{e}{{\omega a}}{{F}_{2}}(x)\mathfrak{T}, \\ \dot {M} = \omega ,\quad \mathop \imath \limits^ \bullet = \dot {\Omega } = \dot {g} = 0. \\ \end{gathered} $Мы опустили черту над средними элементами, поскольку это не приводит к недоразумениям.
Найдем решение уравнений (4) и оценим вклад периодических возмущений (3).
3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В СРЕДНИХ ЭЛЕМЕНТАХ
Описывающие ориентацию эллипса элементы $i$, $\Omega $, $g$ постоянны. Уравнения (4) автономны, поэтому за начальную эпоху удобно принять $t = 0$. Начальные значения переменных будем снабжать индексом 0. Далее следует рассмотреть два случая в зависимости от начального значения эксцентриситета.
3.1. Круговая начальная орбита
Пусть ${{e}_{0}} = 0$. В этом случае касательное ускорение $\mathfrak{T}$ совпадает с трансверсальным $T$ и мы можем воспользоваться точным решением, полученным в статье [3]:
(5)
$\begin{gathered} e = 0,\quad \omega = {{\omega }_{0}}{{(1 - \tau )}^{3}},\quad a = \frac{{{{a}_{0}}}}{{{{{(1 - \tau )}}^{2}}}}, \\ M = {{M}_{0}} + \frac{{{{\omega }_{0}}t{\kern 1pt} *}}{4}[1 - {{(1 - \tau )}^{4}}] = \\ \, = {{M}_{0}} + {{\omega }_{0}}t\left( {1 - \frac{3}{2}\tau + {{\tau }^{2}} - \frac{1}{4}{{\tau }^{3}}} \right). \\ \end{gathered} $(6)
$t{\kern 1pt} * = \frac{{{{a}_{0}}{{\omega }_{0}}}}{\mathfrak{T}} = \frac{{{{\varkappa }^{{2/3}}}\omega _{0}^{{1/3}}}}{\mathfrak{T}},\quad \tau = \frac{t}{{t{\kern 1pt} *}}.$Пусть $\mathfrak{T} > 0 \Rightarrow t{\kern 1pt} * > 0$. Решение (5) существует при $ - \infty < \tau < 1$, $ - \infty < t < t{\kern 1pt} *$. Поведение решения на концах интервала тривиально: $a \to 0$, $\omega \to + \infty $ при $\tau \to - \infty $, $t \to - \infty $; $a \to \infty $, $\omega \to 0$ при $\tau \to 1$, $t \to t{\kern 1pt} *$. Что касается средней аномалии, то $M \to - \infty $ при $\tau \to - \infty $, $t \to - \infty $; $M \to {{M}_{0}} + {{\omega }_{0}}t{\kern 1pt} {\text{*/}}4$ при $\tau \to 1$, $t \to t{\kern 1pt} *$. При нулевом эксцентриситете истинная аномалия совпадает со средней. Поэтому орбита $\mathcal{A}$ представляет собой спираль, делающую бесконечное число витков в прошлом (наматывается на притягивающий центр), и конечное число витков в будущем (уходя на бесконечность за конечное время).
Пусть $\mathfrak{T} < 0 \Rightarrow t{\kern 1pt} * < 0$. Критическое значение $\tau = 1$, $t = t{\kern 1pt} *$ теперь в прошлом, с ростом $\tau $ время уменьшается. Решение существует при $ - \infty < \tau < 1$, $t{\kern 1pt} * < t < + \infty $, и его поведение аналогично описанному выше при перестановке прошлого и будущего.
Замечание 1. Уход на бесконечность за конечное время не имеет физического смысла. Такое поведение решения говорит лишь о том, что метод осреднения применим только при $\tau $, не слишком близком к единице: например, при $\tau < 1{\text{/}}2$, т.е. $t < t{\kern 1pt} {\text{*/}}2$. Действительно, метод предполагает малость величин ${{u}_{n}}$. Между тем при ${{e}_{0}} = 0$ согласно (3)
(7)
${{u}_{2}} = \frac{{2\mathfrak{T}}}{{{{\omega }^{2}}a}}sinE = \frac{{2\mathfrak{T}}}{{\omega _{0}^{2}{{a}_{0}}{{{(1 - \tau )}}^{4}}}}sinE,$Замечание 2. Согласно (7) на половине каждого оборота $\pi (2k - 1) < E < 2\pi k$ оскулирующий эксцентриситет отрицателен. Это нормально, т.к. отрицательность эксцентриситета меняет местами перицентр и апоцентр.
3.2. Некруговая начальная орбита
Уравнения (4) при $0 < {{e}_{0}} < 1$ проинтегрированы в [3] в квадратурах, приводящих к неполным эллиптическим интегралам. Здесь мы рассматриваем случай малого $\mathfrak{T}$ (оценки см. ниже), так что гораздо проще использовать ряды по степеням медленного времени. Получим решение методом рядов Ли [16–19]. Первые два уравнения (4) не зависят от остальных. Запишем их решение в виде ряда Ли
(8)
${{\epsilon }_{n}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,\frac{{{{t}^{k}}}}{{k!}}{{D}^{k}}{{\epsilon }_{n}},\quad n = 1,2.$Легко доказать, что
(9)
${{D}^{k}}\omega = \mathop {\left( {\frac{\mathfrak{T}}{{{{\varkappa }^{{2/3}}}}}} \right)}\nolimits^k {{\omega }^{{(3 - k)/3}}}{{A}_{k}}(x).$Аналогично для эксцентриситета
(11)
${{D}^{k}}e = \mathop {\left( {\frac{\mathfrak{T}}{{{{\varkappa }^{{2/3}}}}}} \right)}\nolimits^k {{\omega }^{{ - k/3}}}e{{B}_{k}}(x),$(12)
${{B}_{0}} = 1,\quad {{B}_{{k + 1}}} = (k{{F}_{1}} - {{F}_{2}}){{B}_{k}} - 2x{{F}_{2}}B_{k}^{'}.$Таким образом, потери точности не происходит: все ${{D}^{k}}\omega $ точны до ${{e}^{{2\sigma }}}$, а все ${{D}^{k}}e$ точны до ${{e}^{{2\sigma + 1}}}$.
Замечание. Множитель $(k - 3)$ в (10) приводит к тому, что ${{A}_{k}}(x)$ при $k \geqslant 4$ содержат $x$ множителем. Множитель $(k{{F}_{1}} - {{F}_{2}})$ в (12) при $k = 1$ равен $x{{F}_{3}}$. Это приводит к тому, что ${{B}_{k}}(x)$ при $k \geqslant 2$ содержат $x$ множителем.
Согласно (6)
Поэтому ряды (8) с учетом (9, 11) становятся рядами по степеням $\tau $:(13)
$\omega = {{\omega }_{0}}\sum\limits_{k = 0}^\infty \,\frac{{{{A}_{k}}}}{{k!}}{{\tau }^{k}},\quad e = {{e}_{0}}\sum\limits_{k = 0}^\infty \,\frac{{{{B}_{k}}}}{{k!}}{{\tau }^{k}}.$(14)
$\begin{gathered} e = {{e}_{0}}\left[ {1 - \left( {1 - \frac{5}{8}{{e}^{2}} - \frac{9}{{64}}{{e}^{4}}} \right)\tau - } \right. \\ \left. {\, - \frac{{13}}{{16}}{{e}^{2}}\left( {1 + \frac{{19}}{{104}}{{e}^{2}}} \right){{\tau }^{2}} + \ldots } \right], \\ \end{gathered} $(15)
$\begin{gathered} \delta M = {{\omega }_{0}}t{\kern 1pt} *{{\tau }^{2}}\left[ { - \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{1}{4}{{e}^{2}} - \frac{3}{{64}}{{e}^{4}}} \right) + } \right. \\ \, + \left. {\left( {1 - \frac{3}{4}{{e}^{2}} + \frac{1}{{32}}{{e}^{4}}} \right)\tau + \ldots } \right]. \\ \end{gathered} $Замечание. При ${{e}_{0}} = 0$ решение (14), (15) совпадает с (5) с принятой точностью рядов по степеням $\tau $.
3.3. Сходимость рядов
1. Пусть ${{e}_{0}} = 0$.
Элементы $\omega ,M$ являются согласно (5) многочленами по времени, и вопрос о сходимости не стоит.
Для большой полуоси имеется замкнутое выражение, см. (5). Его можно разложить в ряд
радиус сходимости $\tau {\kern 1pt} *$ которого равен единице.2. Пусть $0 < {{e}_{0}} < 1$.
Воспользуемся точными выражениями для первых двух уравнений (4) [2], переходя к медленному времени в качестве независимой переменной:
(16)
$\begin{gathered} \frac{{d\omega }}{{d\tau }} = - \frac{{6\omega _{0}^{{1/3}}}}{\pi }{\mathbf{E}}(e){{\omega }^{{2/3}}}, \\ \frac{{de}}{{d\tau }} = - \frac{{4\omega _{0}^{{1/3}}}}{\pi }e(1 - {{e}^{2}}){\mathbf{D}}(e){{\omega }^{{ - 1/3}}}. \\ \end{gathered} $Оценим радиус сходимости $\tau {\kern 1pt} *$ решений (16) с помощью теоремы Коши [19, теорема 8.2.2]):
Здесь(17)
$\begin{gathered} \mathfrak{M} = max\left\{ {\frac{{{{\mathfrak{M}}_{1}}}}{{{{r}_{\omega }}}},\frac{{{{\mathfrak{M}}_{2}}}}{{{{r}_{e}}}}} \right\}, \\ {{\mathfrak{M}}_{1}} = max{\text{|}}{{f}_{1}}{\text{|}},\quad {{M}_{2}} = max{\text{|}}{{f}_{2}}{\text{|}}, \\ \end{gathered} $По принципу максимума модуля, для вычисления ${{\mathfrak{M}}_{1}}$ и ${{\mathfrak{M}}_{2}}$ достаточно рассмотреть лишь точки граничных окружностей:
(18)
${\text{|}}{{f}_{1}}{\text{|}} \leqslant \frac{{6\omega _{0}^{{1/3}}}}{\pi }{{L}_{1}}\omega _{0}^{{2/3}}\mathop {\left| {1 + \gamma \operatorname{Exp} \xi } \right|}\nolimits^{2/3} \leqslant \frac{{6{{\omega }_{0}}{{L}_{1}}}}{\pi }{{(1 + \gamma )}^{{2/3}}},$(19)
${\text{|}}{{f}_{2}}{\text{|}} \leqslant \frac{{4\omega _{0}^{{1/3}}}}{\pi }{{L}_{2}}\omega _{0}^{{ - 1/3}}\mathop {\left| {1 + \gamma \operatorname{Exp} \xi } \right|}\nolimits^{ - 1/3} \leqslant \frac{{4{{L}_{2}}}}{\pi }{{(1 - \gamma )}^{{ - 1/3}}}.$Поскольку $ma{{x}_{e}}{\text{|}}{\mathbf{E}}(e){\text{|}} \leqslant {\mathbf{E}}(\mathfrak{i})$, можно положить
(20)
$\begin{gathered} \frac{{{{\mathfrak{M}}_{1}}}}{{{{r}_{\omega }}}} \leqslant \frac{{6{{L}_{1}}}}{\pi }\frac{{{{{(1 + \gamma )}}^{{2/3}}}}}{\gamma }, \\ \frac{{{{\mathfrak{M}}_{2}}}}{{{{r}_{e}}}} \leqslant \frac{{4{{L}_{2}}({{e}_{0}})}}{{\pi (1 - {{e}_{0}}){{{(1 - \gamma )}}^{{1/3}}}}}. \\ \end{gathered} $(21)
$\frac{{{{{(1 - \gamma )}}^{{1/3}}}{{{(1 + \gamma )}}^{{2/3}}}}}{\gamma } = {{L}_{3}}({{e}_{0}}).$Решая уравнение (21) численно, представим $\gamma $ и ${{\tau }_{*}}$ в табл. 1 и на рис. 1. Заметим, что полученные по теореме Коши оценки существенно занижают область сходимости. Так, ${{\tau }_{*}}(0) = 0.056$, тогда как $\tau {\kern 1pt} *(0) = 1$.
Таблица 1.
Значения $\gamma $ и ${{\tau }_{ \star }}$ в зависимости от ${{e}_{0}}$
| ${{e}_{0}}$ | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\gamma $ | 0.9619 | 0.9556 | 0.9468 | 0.9342 | 0.9155 | 0.8867 | 0.8405 |
| ${{\tau }_{ \star }}$ | 0.0561 | 0.0558 | 0.0555 | 0.0550 | 0.0542 | 0.0531 | 0.0511 |
| ${{e}_{0}}$ | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 0.95 | 0.99 | 0.999 | 0.9999 |
| $\gamma $ | 0.7627 | 0.6385 | 0.4512 | 0.3131 | 0.1344 | 0.0413 | 0.0130 |
| ${{\tau }_{ \star }}$ | 0.0478 | 0.042 | 0.0322 | 0.0239 | 0.0113 | 0.0037 | 0.0012 |
4. НОРМА СМЕЩЕНИЯ
Пусть ${{\epsilon }_{n}}$, $n = 1, \ldots ,5$ – первые пять оскулирующих элементов, постоянных в невозмущенном движении (медленные переменные); ${{\epsilon }_{6}} = M$ – средняя аномалия (быстрая переменная). Восстановим черту над средними элементами. Нас интересует смещение $\Delta {\mathbf{r}}$ положения $\mathcal{A}$ за время $t$, вызванное возмущающим ускорением $\mathfrak{T}$. По определению
(22)
$\Delta {\mathbf{r}} = {\mathbf{r}}({{\epsilon }_{n}},M) - {\mathbf{r}}({{\epsilon }_{n}}(0),{{M}_{0}} + {{\omega }_{0}}t).$Заменим (2) соотношением
Теперь в начальную эпоху ${{\tilde {u}}_{n}}(0) = 0$, ${{\epsilon }_{n}}(0) = {{\bar {\epsilon }}_{n}}(0)$.Соотношение (22) представим в форме
(24)
$\Delta {\mathbf{r}} = \Delta {{{\mathbf{r}}}_{1}} + \Delta {{{\mathbf{r}}}_{2}} + \Delta {{{\mathbf{r}}}_{3}},$(25)
$\begin{gathered} \Delta {{{\mathbf{r}}}_{1}} = {\mathbf{r}}({{{\bar {\epsilon }}}_{n}} + {{{\tilde {u}}}_{n}},{{{\bar {M}}}_{0}} + {{{\bar {\omega }}}_{0}}t + \delta M + {{{\tilde {u}}}_{6}}) - \\ \, - {\mathbf{r}}({{{\bar {\epsilon }}}_{n}} + {{u}_{n}},{{{\bar {M}}}_{0}} + {{{\bar {\omega }}}_{0}}t + \delta M + {{u}_{6}}), \\ \end{gathered} $(26)
$\begin{gathered} \Delta {{{\mathbf{r}}}_{2}} = {\mathbf{r}}({{{\bar {\epsilon }}}_{n}} + {{u}_{n}},{{{\bar {M}}}_{0}} + {{{\bar {\omega }}}_{0}}t + \delta M + {{u}_{6}}) - \\ \, - {\mathbf{r}}({{{\bar {\epsilon }}}_{n}},{{{\bar {M}}}_{0}} + {{{\bar {\omega }}}_{0}}t + \delta M), \\ \end{gathered} $(27)
$\Delta {{{\mathbf{r}}}_{3}} = {\mathbf{r}}({{\bar {\epsilon }}_{n}},{{\bar {M}}_{0}} + {{\bar {\omega }}_{0}}t + \delta M) - {\mathbf{r}}({{\epsilon }_{n}}(0),{{M}_{0}} + {{\omega }_{0}}t).$4.1. Влияние отличия оскулирующих элементов от средних
Оценим смещения $\Delta {{{\mathbf{r}}}_{1}}$, $\Delta {{{\mathbf{r}}}_{2}}$. Поскольку ${{\tilde {u}}_{n}}$, ${{u}_{n}}$ малы и периодически зависят от M, разности (25), (26) также малы и периодичны, так что вековой тренд отсутствует. Для оценки достаточно вычислить среднеквадратические нормы
(28)
${{\varrho }_{k}}: = \sqrt {\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {\mathop {(\Delta {{{\mathbf{r}}}_{k}})}\nolimits^2 dM} } ,\quad k = 1,2.$(29)
${{\varrho }_{2}} = \frac{{4{\text{|}}\mathfrak{T}{\text{|}}}}{{{{\omega }^{2}}}}\sqrt {1 - \frac{{39}}{{128}}{{e}^{2}} + \frac{{52{\kern 1pt} {\kern 1pt} 505}}{{73{\kern 1pt} {\kern 1pt} 728}}{{e}^{4}}} .$Заметим, что при $e = 0$ и замене $\mathfrak{T}$ на $T$ формула (29) совпадает с формулой (16) из [11], как и должно быть.
Величина $\Delta {\mathbf{r}}_{2}^{2}$ является квадратичной формой от ${{u}_{n}}$. Величина $\Delta {\mathbf{r}}_{1}^{2}$ отличается от $\Delta {\mathbf{r}}_{2}^{2}$ заменой ${{u}_{n}}$ на ${{\tilde {u}}_{n}} - {{u}_{n}}$, или, что то же самое, на ${{v}_{n}}$. Она неудобна тем, что зависит от всех начальных данных. Для оценки примем, что интегралы (28) от них равны, так что ${{\varrho }_{1}} = {{\varrho }_{2}}$.
4.2. Влияние дрейфа средних элементов
В этом разделе все элементы считаются средними. При $\mathfrak{T} = 0$ пять из них ${{\epsilon }_{1}}, \ldots ,{{\epsilon }_{5}}$ постоянны, а шестой ${{\epsilon }_{6}} = M$ линейно зависит от времени. Поскольку $\delta i = \delta \Omega = \delta g = 0$, с точностью до второго порядка малости смещение (27) согласно [21] равно
где $u$ – аргумент широты. Вычислим среднеквадратичную норму:(30)
$\varrho _{3}^{2}: = {{\left\| {\Delta {{{\mathbf{r}}}_{3}}} \right\|}^{2}} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } \,{{(\Delta {{{\mathbf{r}}}_{3}})}^{2}}dM.$(31)
$\begin{gathered} \frac{2}{{{{a}^{2}}}}\varrho _{3}^{2} = \frac{{2 + 3{{e}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}\delta {{a}^{2}} + \frac{{5 - 4{{e}^{2}}}}{{{{\eta }^{2}}}}\delta {{e}^{2}} + \\ \, + 2\delta {{M}^{2}} + 6\frac{e}{a}\delta a\delta e. \\ \end{gathered} $(33)
$\begin{gathered} {{Q}_{1}}(\tau ) = \frac{{2 + 3{{e}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}}\delta {{a}^{2}} + \frac{{5 - 4{{e}^{2}}}}{{{{\eta }^{2}}}}\delta {{e}^{2}} + 6\frac{e}{a}\delta a\delta e = \\ = (8 + {{e}^{2}} - {{e}^{4}}){{\tau }^{2}} + \left( {24 + 4{{e}^{2}} - \frac{{25}}{4}{{e}^{4}}} \right){{\tau }^{3}} + \ldots , \\ {{Q}_{2}}(\tau ) = 2\delta {{M}^{2}} = \frac{9}{2}{{({{\omega }_{0}}t{\kern 1pt} *)}^{2}}{{\tau }^{4}}\left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}{{e}^{2}} - \frac{1}{{32}}{{e}^{4}}} \right) - } \right. \\ \, - \left. {\frac{4}{3}\left( {1 - {{e}^{2}} + \frac{{11}}{{64}}{{e}^{4}}} \right)\tau + \ldots } \right]. \\ \end{gathered} $Обратим внимание, что ${{Q}_{2}} \ll {{Q}_{1}}$, если $t$ отвечает дуге в несколько градусов; ${{Q}_{2}}$ и ${{Q}_{1}}$ сопоставимы по величине на дуге порядка полуоборота; ${{Q}_{2}} \gg {{Q}_{1}}$ на дуге в один и более оборотов. Действительно,
(34)
$\frac{{{{Q}_{2}}(\tau )}}{{{{Q}_{1}}(\tau )}} \sim \frac{9}{{16}}{{({{\omega }_{0}}t)}^{2}}\left( {1 - \frac{5}{8}{{e}^{2}} + \frac{{11}}{{64}}{{e}^{4}}} \right)$Замечание 1. Правая часть (29) инвариантна относительно замены $T \mapsto - T$, $\tau \mapsto - \tau $. Это не так для правой части (32). Однако она становится инвариантной, если пренебречь нечетными (поправочными) степенями $\tau $.
Замечание 2. Формулы (29), (32) оценивают периодическое и вековое смещения $\mathcal{A}$ в системе отсчета ${{\mathcal{O}}_{2}}$. По инвариантности расстояний относительно сдвигов и вращений оба соотношения остаются справедливыми в любой декартовой системе отсчета.
4.3. Сравнение со случаем возмущающего ускорения, направленного вдоль трансверсали
Сравним полученные результаты с приведенными в [11], где рассматривался случай постоянства возмущающего ускорения в системе отсчета ${{\mathcal{O}}_{1}}$, орты которой ${{{\mathbf{i}}}_{1}}$, ${{{\mathbf{j}}}_{1}}$, ${{{\mathbf{k}}}_{1}}$ направлены по радиусу-вектору, трансверсали (перпендикуляру к радиусу-вектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения) и бинормали (направленной по вектору площадей). Считалось ${\mathbf{P}} = (0,T,0)$, $T = {\text{const}}$.
Пусть $\mathfrak{T} = T$.
При ${{e}_{0}} = 0$ результаты совпадают, как и должно быть: трансверсаль в этом случае служит касательной.
Считаем далее ${{e}_{0}} > 0$. Величины, описывающие случай постоянства ${\mathbf{P}}$ в системе ${{\mathcal{O}}_{2}}$, снабдим символом $(*)$.
Опираясь на (33) и аналогичные формулы из [11], образуем отношения
(35)
$\begin{gathered} \frac{{Q_{1}^{*}}}{{{{Q}_{1}}}} \sim 1 + \frac{{15}}{{32}}{{e}^{2}} + \frac{{421}}{{1024}}{{e}^{4}}, \\ \frac{{Q_{2}^{*}}}{{{{Q}_{2}}}} \sim 1 + \frac{1}{2}{{e}^{2}} + \frac{{15}}{{32}}{{e}^{4}}, \\ \end{gathered} $Формулы (35) показывают, что как смещение поперек орбиты, так и смещение вдоль орбиты больше в системе отсчета ${{\mathcal{O}}_{2}}$. Различие увеличивается с ростом эксцентриситета. При малых $e$ различие незначительно. При $e = 0.3$ различие достигает 5%, а при $e = 0.8$ достигает 50%.
5. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
А. Выберем то же подсемейство $\mathcal{F}$ семейства потенциально опасных астероидов с известными элементами и диаметром $d$, использованное в статье [11]. Считаем, что на каждый из этих 66 астероидов действует возмущающая сила22 в 1 Н, вызывающая возмущающее ускорение $\mathfrak{T} = 1{\text{/}}m$.
В табл. 2 представлены следующие сведения: номер (предварительное обозначение) астероида; диаметр $d$; масса $m$; элементы $a$, $e$, ${{\omega }^{2}}$; ускорение $\mathfrak{T}$; критическое время $t{\kern 1pt} *$; безразмерные времена ${{\tau }_{1}} = {{t}_{1}}{\text{/}}t{\kern 1pt} *$ и ${{\tau }_{2}} = {{t}_{2}}{\text{/}}t{\kern 1pt} *$, отвечающие ${{t}_{1}} = {{30}^{d}}$, ${{t}_{2}} = 1$ тропический год; норма периодического смещения ${{\varrho }_{2}}$; вековые смещения ${{\varrho }_{3}}({{\tau }_{1}})$, ${{\varrho }_{3}}({{\tau }_{2}})$. Данные упорядочены по возрастанию $d$. Приведены значения для первых 14 и последних 4 астероидов.
Таблица 2.
Параметры 14 астероидов в верхней части списка и 4 – в нижней
| Объект | d | m × 10–7 | a, au | e | ${{\omega }^{2}}$ × 1014 | $\mathfrak{T}$ × 108 | t* × 10–12 | ${{\tau }_{1}}$ × 106 | ${{\tau }_{2}}$ × 105 | ${{\rho }_{2}}$ × 10–6 | ${{\rho }_{3}}({{\tau }_{1}})$ × 10–5 | ${{\rho }_{3}}({{\tau }_{2}})$ × 10–6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2010 YD | 26 | 2.30 | 2.04 | 0.538 | 0.466 | 4.35 | 0.480 | 5.40 | 6.58 | 36.8 | 33.7 | 74.5 |
| 2002 JR100 | 28 | 2.87 | 0.924 | 0.299 | 5.03 | 3.48 | 0.890 | 2.91 | 3.54 | 2.74 | 8.78 | 52.3 |
| 1998 KY26 | 30 | 3.53 | 1.23 | 0.202 | 2.12 | 2.83 | 0.948 | 2.73 | 3.33 | 5.32 | 10.5 | 43.8 |
| 2010 FX9 | 30 | 3.53 | 1.13 | 0.367 | 2.74 | 2.83 | 0.990 | 2.62 | 3.19 | 4.08 | 9.35 | 42.9 |
| 2010 HA | 32 | 4.29 | 0.960 | 0.196 | 4.48 | 2.33 | 1.30 | 1.99 | 2.42 | 2.07 | 6.18 | 35.3 |
| 2010 JJ3 | 32 | 4.29 | 2.23 | 0.578 | 0.356 | 2.33 | 0.855 | 3.03 | 3.69 | 25.9 | 20.7 | 41.6 |
| 2010 CO44 | 34 | 5.14 | 1.07 | 0.231 | 3.23 | 1.94 | 1.48 | 1.75 | 2.13 | 2.39 | 5.95 | 29.6 |
| 2010 JO71 | 37 | 6.63 | 1.17 | 0.387 | 2.46 | 1.51 | 1.82 | 1.42 | 1.73 | 2.41 | 5.23 | 22.9 |
| 2010 QG2 | 38 | 7.18 | 1.67 | 0.517 | 0.846 | 1.39 | 1.65 | 1.57 | 1.91 | 6.48 | 8.05 | 22.3 |
| 2010 JH3 | 39 | 7.76 | 1.76 | 0.470 | 0.731 | 1.29 | 1.74 | 1.49 | 1.81 | 6.93 | 7.99 | 21.0 |
| 2010 JW39 | 39 | 7.76 | 1.64 | 0.390 | 0.903 | 1.29 | 1.81 | 1.43 | 1.75 | 5.62 | 7.19 | 20.7 |
| 2010 EX11 | 40 | 8.38 | 0.956 | 0.110 | 4.54 | 1.19 | 2.55 | 1.02 | 1.24 | 1.05 | 3.15 | 18.2 |
| 2010 MY1 | 43 | 10.4 | 1.21 | 0.211 | 2.21 | 0.961 | 2.81 | 0.921 | 1.12 | 1.73 | 3.49 | 14.8 |
| 2010 UC7 | 43 | 10.4 | 1.88 | 0.567 | 0.593 | 0.961 | 2.26 | 1.15 | 1.40 | 6.40 | 6.62 | 15.9 |
| 2004 KH17 | 197 | 1000 | 0.712 | 0.499 | 11.0 | 0.00999 | 353 | 0.00734 | 0.00893 | 0.00358 | 0.0184 | 0.146 |
| 2010 CB55 | 198 | 1020 | 1.13 | 0.148 | 2.72 | 0.00984 | 284 | 0.00912 | 0.0111 | 0.0144 | 0.0325 | 0.151 |
| 2010 FH81 | 200 | 1050 | 1.23 | 0.210 | 2.15 | 0.00955 | 282 | 0.00920 | 0.0112 | 0.0176 | 0.0351 | 0.148 |
| Apophis | 325 | 4490 | 0.922 | 0.191 | 5.06 | 0.00223 | 1390 | 0.00186 | 0.00226 | 0.00175 | 0.0056 | 0.0337 |
Масса $m$ известна с точностью, на несколько порядков худшей по сравнению с точностью остальных исходных данных. Но наша задача на данном этапе – оценить возможности метода, а для этого имеющейся точности вполне хватает.
Вычисленные характеристики 66 астероидов из семейства $\mathcal{F}$ показали следующее.
1. Для всех астероидов
так что ${{\tau }_{1}}$, ${{\tau }_{2}}$ лежат глубоко внутри круга сходимости. Более того, квадратичного по $\tau $ приближения в (14) и кубичного в (15) более чем достаточно. С принятой точностью в формуле (33) можно считать
(36)
$\begin{gathered} {{Q}_{1}}(\tau ) = (8 + {{e}^{2}} - {{e}^{4}} + \ldots ){{\tau }^{2}}, \\ {{Q}_{2}}(\tau ) = \frac{9}{2}{{({{\omega }_{0}}t{\kern 1pt} *)}^{2}}{{\tau }^{4}}\left( {1 - \frac{1}{2}{{e}^{2}} - \frac{1}{{32}}{{e}^{4}} + \ldots } \right). \\ \end{gathered} $2. На месячном интервале ${{Q}_{2}}(\tau )$ в несколько раз меньше ${{Q}_{1}}(\tau )$: сдвиг вдоль орбиты меньше сдвига поперек орбиты. Противоположная ситуация на годичном интервале за одним исключением для 130-м астероида 2002 CX58. На обоих интервалах различия доходят до двух$ - $трех порядков.
3. На месячном интервале ${{\varrho }_{2}} > {{\varrho }_{3}}({{\tau }_{1}})$: периодические возмущения превосходят вековые. Противоположная ситуация на годичном интервале ${{\varrho }_{2}} < {{\varrho }_{3}}({{\tau }_{2}})$ за одним исключением для того же 130‑м астероида 2002 CX58.
4. Величина ${{\varrho }_{2}}$ для большинства астероидов оказалась меньше радиуса Земли ${{R}_{ \oplus }}$. Лишь для четырех астероидов ${{\varrho }_{2}} > {{R}_{ \oplus }}$. Мы приняли ${{R}_{ \oplus }} = 6.5 \times {{10}^{6}}$ с учетом атмосферы.
5. Величина ${{\varrho }_{3}}({{\tau }_{1}})$ для всех астероидов оказалась меньше радиуса Земли. Увод астероидов за месяц невозможен. Правда, возможно тонкое маневрирование с привлечением периодических возмущений для упомянутых четырех астероидов. Но это слишком опасно.
6. Для всех 19 астероидов с диаметром до 55 м включительно ${{\varrho }_{3}}({{\tau }_{2}})$ превысило радиус Земли. Для таких опасных астероидов увод возможен за время около года. Учет периодических возмущений необходим.
7. Увод астероидов крупнее 55 м за год невозможен.
Б. Увеличим возмущающую силу в $N$ раз, сохраняя остальные предположения п. А. При расчетах положим N = 20.
1. Значения $\mathfrak{T}$, $1{\text{/}}t{\kern 1pt} *$, ${{\tau }_{1}}$, ${{\tau }_{2}}$, ${{\varrho }_{2}}$ увеличиваются в $N$ раз. В частности, при $N = 20$
По-прежнему ${{\tau }_{1}}$ и ${{\tau }_{2}}$ находятся глубоко внутри круга сходимости; квадратичного по $\tau $ приближения в (13) и кубичного в (14) достаточно, и можно пользоваться формулой (36). Поэтому значения ${{Q}_{s}}({{\tau }_{k}})$ увеличиваются в ${{N}^{2}}$ раз, а ${{\varrho }_{3}}({{\tau }_{k}})$ – в $N$ раз.
2. Соотношения между ${{Q}_{2}}(\tau )$ и ${{Q}_{1}}(\tau )$ не изменяются.
3. Соотношения между ${{\varrho }_{2}}$ и ${{\varrho }_{3}}(\tau )$ не изменяются.
4. Для всех 18 астероидов с диаметром, меньшим 54 м, и еще для 11 астероидов с диаметром до 130 м ${{\varrho }_{2}}$ превысило радиус Земли. Учет периодических возмущений для таких астероидов обязателен.
5. Для всех 11 астероидов с диаметром, меньшим 40 м, и еще для 5 астероидов с диаметром до 53 м ${{\varrho }_{3}}({{\tau }_{1}})$ превысило радиус Земли. Таким образом, для небольших опасных астероидов увод возможен за время около месяца. Учет периодических возмущений обязателен.
6. Для всех 55 астероидов с диаметром до 152 м включительно ${{\varrho }_{3}}({{\tau }_{2}})$ превысило радиус Земли. Для таких астероидов увод возможен за время около года. Учет периодических возмущений также необходим.
7. Увод астероидов крупнее 150 м, в частности, увод Апофиса, за год невозможен.
В. При каких условиях становится возможным увод более крупных астероидов? Очевидно, следует либо увеличить тягу двигателя, либо время маневра, либо и то, и другое. Для Апофиса нужно увеличить отвечающее $N = 1$ значение ${{\varrho }_{3}}({{\tau }_{2}})$ примерно в 200 раз, чтобы оно превысило ${{R}_{ \oplus }}$.
1. Добьемся этого за счет тяги. Полагая $N = 200$, получим ${{\tau }_{2}} = 4.53 \times {{10}^{{ - 6}}}$, что по-прежнему позволяет пользоваться упрощенной формулой (36). Норма уклонения возрастет в те же 200 раз. Более точный расчет показывает, что Апофис можно увести с орбиты соударения за 0.98 года при тяге в 200 Н.
2. Добьемся этого за счет продолжительности маневра. Величина ${{Q}_{2}}({{\tau }_{2}})$ в 28 раз превышает ${{Q}_{1}}({{\tau }_{2}})$. Поэтому ${{\varrho }_{3}}(\tau )$ в этом диапазоне приблизительно пропорциональна ${{\tau }^{2}}$. Таким образом, Апофис можно увести с орбиты соударения за $\sqrt {10} $ лет при тяге в 20 Н. Более точный расчет дает для этого 3.14 года.
Столь большая тяга, или столь большое время не позволяют сейчас передвинуть Апофис на безопасную орбиту. Но в не очень далекой перспективе это представляется вполне реальным.
Г. Сравним данные табл. 2 с данными аналогичной таблицы из [11]. Результат соберем в табл. 3. В ней представлены следующие сведения для 10 астероидов: номер (предварительное обозначение); эксцентриситет $e$; отношения ${{\beta }_{1}}$, ${{\beta }_{2}}$, ${{\beta }_{3}}$, где
Таблица 3.
Сравнение эффективности касательного и трансверсального ускорений
| Объект | e | ${{\beta }_{1}}$ | ${{\beta }_{2}}$ | ${{\beta }_{3}}$ |
|---|---|---|---|---|
| 2009 UY19 | 0.03 | 1.00 | 1.00 | 1.00 |
| 2010 FK | 0.10 | 1.00 | 1.00 | 1.00 |
| 1998 KY26 | 0.20 | 1.00 | 1.01 | 1.01 |
| 2002 JR100 | 0.30 | 1.00 | 1.02 | 1.04 |
| 2010 JO71 | 0.39 | 1.01 | 1.04 | 1.06 |
| 2002 LT24 | 0.50 | 1.03 | 1.07 | 1.11 |
| 2010 EC43 | 0.60 | 1.09 | 1.12 | 1.16 |
| 2004 FG11 | 0.72 | 1.22 | 1.20 | 1.31 |
| 2010 DO | 0.75 | 1.26 | 1.22 | 1.35 |
| 2010 LK34 | 0.81 | 1.41 | 1.29 | 1.46 |
Теоретические выводы раздела 4.3 подтверждаются полностью. Во всех случаях тяга по касательной дает лучшие результаты по сравнению с тягой по трансверсали. Различие пренебрежимо мало при малых и даже умеренных эксцентриситетах и возрастает вместе с $e$. Различие становится заметным, начиная с $e = 0.5$, достигая 45% при $e = 0.8$.
Список литературы
Т. Н. Санникова, К. В. Холшевников, Вестн. СПбГУ. Сер. 1: Математика. Механика. Астрономия, Вып. 4. 134 (2013).
Т. Н. Санникова, К. В. Холшевников, Астрон. журн. 91(12), 1060 (2014).
Н. Батмунх, Т. Н. Санникова, К. В. Холшевников, Астрон. журн. 95(4), 307 (2018).
E. T. Lu and S. G. Love, Nature 438(11), 177 (2005).
Ю. Д. Медведев, М. Л. Свешников, А. Г. Сокольский, Е. И. Тимошкова, Ю. А. Чернетенко, Н. С. Черных, В. А. Шор, Астероидно-кометная опасность, под ред. А. Г. Сокольского (СПб: ИПА РАН, 1996).
А. М. Микиша, М. А. Смирнов, в Угроза с неба: рок или случайность?, под ред. А. А. Боярчука (М.: Космоинформ, 1999).
Н. Н. Горькавый, А. Е. Дудоров (ред.), Челябинский суперболид (Челябинск: Челябинский ГУ, 2016).
А. В. Елькин, Л. Л. Соколов, в Астероидная опасность-95. 23$--$25 мая 1995 г. С.-Петербург. Тезисы докладов (СПб.: Изд-во МИПАО и ИТА РАН, 1995) 2, 41.
Г. Л. Гродзовский, Ю. Н. Иванов, В. В. Токарев, Механика космического полета (проблемы оптимизации) (М.: Наука, 1975).
В. Н. Лебедев, Расчет движения космического аппарата с малой тягой (М.: ВЦ АН СССР, 1968).
Н. Батмунх, К. И. Оськина, Т. Н. Санникова, В. Б. Ти-тов, К. В. Холшевников, Астрон. журн. 96(11), 961 (2019).
Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний (М.: ФМ, 1963).
Д. Брауер, Дж. Клеменс, Методы небесной механики (М.: Мир, 1964).
А. Пуанкаре, Лекции по небесной механике (М.: Наука, 1965).
М. Ф. Субботин, Введение в теоретическую астрономию (М.: Наука, 1968).
W. Gröbner, Die Lie-Reihen und ihre Anwendungen (Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1967).
Г. Е. О. Джакалья, Методы теории возмущений для нелинейных систем (М.: Наука, 1979).
А. Х. Найфе, Методы возмущений (М.: Наука, 1976).
К. В. Холшевников, Асимптотические методы небесной механики (Л.: Изд-во ЛГУ, 1985).
К. В. Холшевников, Н. Батмунх, К. И. Оськина, В. Б. Титов, Астрон. журн. 97(4), 348 (2020).
Н. Батмунх, Т. Н. Санникова, К. В. Холшевников, В. Ш. Шайдулин, Астрон. журн. 93(3), 331 (2016).
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Астрономический журнал
Пн.-пт.: 10.00-19.00