Астрономический журнал, 2020, T. 97, № 9, стр. 747-753

1. ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим движение точки нулевой массы $\mathcal{A}$ (например, астероида) под действием притяжения к центральному телу $\mathcal{S}$ (например, к Солнцу) и возмущающего ускорения ${\mathbf{P}}{\kern 1pt} '$. Введем обычную в астрономии неинерциальную систему отсчета $\mathcal{O}$ с началом $\mathcal{S}$ и ортами осей ${\mathbf{i}}$, ${\mathbf{j}}$, ${\mathbf{k}}$, направленными по радиусу-вектору, трансверсали (перпендикуляру к радиусу-вектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения) и бинормали (направленной по вектору площадей).

Пусть возмущающее ускорение подчиняется закону обратных квадратов ${\mathbf{P}}{\kern 1pt} ' = {\mathbf{P}}{\text{/}}{{r}^{2}}$, где компоненты $S,\;T,\;W$ вектора ${\mathbf{P}}$ постоянны в системе $\mathcal{O}$, и малó по сравнению с основным ускорением ${{\varkappa }^{2}}{\text{/}}{{r}^{2}}$:

Здесь ${\mathbf{r}} = \mathcal{S}\mathcal{A}$, $r = {\text{|}}{\mathbf{r}}{\text{|}}$, ${{\varkappa }^{2}}$ – произведение постоянной тяготения на массу $\mathcal{S}$. Рассматриваемая модель может найти применение при исследовании движения небесного тела с учетом давления солнечного света и эффекта Ярковского-Радзиевского [1, 2], а также при движении КА с солнечным парусом [3].

В [4] мы получили уравнения движения типа Эйлера в оскулирующих элементах, явный вид осредняющей замены переменных и уравнения движения в средних элементах. В этой статье мы займемся интегрированием последних уравнений.

Задачи при ${\mathbf{P}}{\kern 1pt} ' = {\text{const}}$ и ${\mathbf{P}} = {\text{const}}$ во многом схожи, что позволяет иногда ограничиваться ссылками на [5], где интегрировались осредненные уравнения движения при ${\mathbf{P}}{\kern 1pt} ' = {\text{const}}$.

В первом порядке малости уравнения движения в средних элементах выведены в [4]:

Здесь в качестве шести независимых элементов приняты среднее движение $\omega $, эксцентриситет $e$, наклон $i$, долгота восходящего узла $\Omega $, аргумент перицентра $g$, средняя аномалия $M$. Используются также зависимые элементы $a = {{\varkappa }^{{2/3}}}{{\omega }^{{ - 2/3}}}$ – большая полуось, $\eta = \sqrt {1 - {{e}^{2}}} $. Производная по времени $t$ обозначена точкой (для $i$ – жирной точкой).

2. ЭВОЛЮЦИЯ КРУГОВЫХ ОРБИТ

Пусть ${{e}_{0}} = 0$, где индекс $0$ указывает на значения переменных в начальную эпоху $t = 0$. Очевидно, в этом случае уравнения (2) допускают решение

Оставшиеся уравнения (2) упрощаются: При $e = 0$ средняя аномалия и аргумент перицентра теряют смысл. Угловое положение определяется единственной переменной – средней долготой $\lambda = \Omega + g + M$.

Если $T = 0$, то

Решение определено на всей оси времени $ - \infty < t < \infty $.

Пусть $T \ne 0$. В первом уравнении (3) переменные разделяются, и его решение элементарно. Подстановка решения во второе уравнение (3) позволяет легко найти $\lambda $:

где Согласно (1) коэффициент $1 - 2S{{\varkappa }^{{ - 2}}}$ положителен.

Заметим, что при $T \to 0$, ${{t}_{1}} \to \infty $ решение (5) переходит в (4).

Определим интервал задания непродолжаемого решения [6, 7], т.е. область определения $t \in ({{t}_{*}},t{\kern 1pt} *)$ решения (5).

Пусть $T > 0$, ${{t}_{1}} > 0$. Очевидно, ${{t}_{*}} = - {{t}_{1}}$, $t{\kern 1pt} * = \infty $. При убывании $t$, т.е. при движении в прошлое, $\omega $ возрастает до бесконечности, $a$ убывает до нуля, $\lambda $ убывает до минус бесконечности за конечное время. Точка $\mathcal{A}$ падает на $\mathcal{S}$ по спирали, делая бесконечное число оборотов. При возрастании $t$ величина $\omega $ убывает до нуля, $a$ возрастает до бесконечности, $\lambda $ возрастает до бесконечности за бесконечное время. Точка $\mathcal{A}$ удаляется на бесконечность по спирали, делая бесконечное число оборотов.

Пусть $T < 0$, ${{t}_{1}} < 0$. Очевидно, ${{t}_{*}} = - \infty $, $t{\kern 1pt} * = - {{t}_{1}}$. При убывании $t$ величина $\omega $ убывает до нуля, $a$ возрастает до бесконечности, $\lambda $ убывает до минус бесконечности за бесконечное время. Точка $\mathcal{A}$ удаляется на бесконечность по спирали, делая бесконечное число оборотов. При возрастании $t$ величина $\omega $ возрастает до бесконечности, величина $a$ убывает до нуля, $\lambda $ возрастает до бесконечности за конечное время. Точка $\mathcal{A}$ падает на $\mathcal{S}$ по спирали, делая бесконечное число оборотов.

Перейдем к некруговым орбитам. Осреднение по средней аномалии подразумевает эллиптичность оскулирующей орбиты. Поэтому в дальнейшем полагаем, что $0 < {{e}_{0}} < 1$, $0 < {{\eta }_{0}} < 1$.

3. ЭВОЛЮЦИЯ $\omega $ И $e$

Первые два уравнения (2) не зависят от остальных и легко решаются.

Пусть $T = 0$. Тогда $\omega $, $e = {\text{const}}$.

Пусть $T \ne 0$. Переходя от $e$ к $\eta $, придадим первым двум уравнениям (2) вид

Отсюда выводим линейное однородное уравнение Вот его решение: С ростом $\eta $ от 0 до 1 правая часть возрастает от нуля до бесконечности.

Подставим (8) во второе уравнение (7) и разделим переменные:

Интегрируя (9), выразим время в виде явной функции $\eta $: при С ростом $\eta $ от 0 до 1 функция $f$ убывает от бесконечности до нуля, а правая часть (10) убывает от бесконечности до $ - f({{\eta }_{0}}) < 0$. Обозначим

Пусть $T > 0$, ${{t}_{2}} > 0$. Тогда ${{t}_{*}} = - {{t}_{2}}$, $t{\kern 1pt} * = \infty $. По доказанному выше каждому $t \in ({{t}_{*}},t{\kern 1pt} *)$ отвечает единственное значение $\eta $. При $t \to {{t}_{*}}$ справедливо $\eta \to 1$, $e \to 0$, $\omega \to \infty $, $a \to 0$. При $t \to t{\kern 1pt} *$ справедливо $\eta \to 0$, $e \to 1$, $\omega \to 0$, $a \to \infty $.

Пусть $T < 0$, ${{t}_{2}} < 0$. Теперь ${{t}_{*}} = - \infty $, $t{\kern 1pt} * = - {{t}_{2}}$. По-прежнему каждому $t \in ({{t}_{*}},t{\kern 1pt} *)$ отвечает единственное значение $\eta $. При $t \to {{t}_{*}}$ справедливо $\eta \to 0$, $e \to 1$, $\omega \to 0$, $a \to \infty $. При $t \to t{\kern 1pt} *$ справедливо $\eta \to 1$, $e \to 0$, $\omega \to \infty $, $a \to 0$.

При $e \sim 0$, $\eta \sim 1$ вычисления $f(\eta )$ по формуле (11) содержат разности почти одинаковых чисел, что приводит к потере точности. При ${{e}_{0}} \sim 0$, ${{\eta }_{0}} \sim 1$ правая часть (12) содержит неопределенность вида $0:0$. Поэтому при малых эксцентриситетах следует пользоваться рядом

легко выводимым из стандартных биномиального и логарифмического разложений. По индукции легко доказать положительность ${{c}_{n}}$, а из формулы Стирлинга получить асимптотику

Вывести общий член аналогичного ряда по степеням ${{e}_{0}}$ для ${{t}_{2}}$ не удалось. Однако представить нужные нам величины простой комбинацией рядов по степеням $e$ и ${{e}_{0}}$ несложно. Действительно,

Отсюда получаем представление для ${{t}_{2}}$ и для кинематического уравнения (10) Как и следовало ожидать, при ${{e}_{0}} \to 0$ формула (14) переходит в (6); предел ${{t}_{2}}$ при ${{e}_{0}} \to 1$ выводим из (12):

Ряды по степеням $e$ и ${{e}_{0}}$ сходятся при $e < 1$ и ${{e}_{0}} < 1$ и расходятся к бесконечности при $e = 1$ и ${{e}_{0}} = 1$.

4. ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТ ПРИ $S \ne 0$, $T = W = 0$

Если $T = W = 0$, то $\omega $, $e$, $i$, $\Omega $, $g = {\text{const}}$, а правая часть последнего уравнения (2) постоянна. Поэтому

причем ${{t}_{*}} = - \infty $, $t{\kern 1pt} * = \infty $.

В рассмотренном случае дополнительное возмущение не приводит к изменению конфигурации орбиты, а влияет только на положение тела на орбите, вызывая в зависимости от знака $S$ постепенное отставание или опережение от невозмущенного положения.

5. ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТ ПРИ $T \ne 0$, $S = W = 0$

В рассматриваемом случае $i,\Omega ,g = {\text{const}}$. С учетом результатов § 3 осталось решить лишь последнее уравнение (2). Используя (8), (9), представим его в форме

что легко интегрируется:

Пусть $T > 0$, ${{t}_{2}} > 0$, ${{t}_{*}} = - {{t}_{2}} < 0$, $t{\kern 1pt} * = \infty $. При $t \to {{t}_{ * }}$ справедливо $M \to - \infty $. Точка $\mathcal{A}$ падает на $\mathcal{S}$ по спирали за конечное время, делая бесконечное число оборотов. При $t \to t{\kern 1pt} *$ справедливо

Точка $\mathcal{A}$ удаляется на бесконечность по спирали за бесконечное время, делая конечное число оборотов.

Пусть $T < 0$, ${{t}_{2}} < 0$, ${{t}_{*}} = - \infty $, $t{\kern 1pt} * = - {{t}_{2}} > 0$. Формула (16) слегка меняется

При движении в прошлое точка $\mathcal{A}$ удаляется на бесконечность по спирали за бесконечное время, делая конечное число оборотов. При $t \to t{\kern 1pt} *$ справедливо $M \to \infty $. Точка $\mathcal{A}$ падает на $\mathcal{S}$ по спирали за конечное время, делая бесконечное число оборотов.

6. ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТ ПРИ $W \ne 0$, $S = T = 0$

Если $S\; = \;T\; = \;0$, то $\omega ,a,e\; = \;{\text{const}}$, $M\; = \;{{M}_{0}} + {{\omega }_{0}}t$. Правые части нетривиальных уравнений (2) запишем в виде

Первое и третье уравнения (17) не зависят от второго. Перепишем их в форме уравнений Лагранжа [8]:

при Очевидно, функция (19) является интегралом системы, т.е. $V = {\text{const}}$. Постоянная $V$ может принимать значения из отрезка $[ - 1,1]$.

Соотношения (17)–(19) совпадают с приведенными в [5] с точностью до значения постоянной $A$. В этой статье уравнения (17) проинтегрированы в элементарных функциях и приведен фазовый портрет динамической системы. За подробностями отсылаем читателя к указанной статье. Здесь приведем лишь окончательные формулы.

Движение определено на всей оси времени: ${{t}_{*}} = - \infty $, $t{\kern 1pt} * = \infty $.

Введем вспомогательный угол $\varphi $

Переменные $i,\;g$ зависят от $\varphi $ периодически с периодом $2\pi $:

Начальные данные для $\varphi $, $i$, $g$ связаны условиями Долгота узла имеет вековой ход плюс периодические по φ колебания с периодом $\pi $: где Постоянные ${{\Omega }_{1}}$, ${{\Omega }_{2}}$ определяются условием обращения правой и левой части (23) в ${{\Omega }_{0}}$ при $\varphi = {{\varphi }_{0}}$.

При $V = 1$ формулы (23) принимают вид $\Omega = {{\Omega }_{1}} - \varphi $, при $V = - 1$ они принимают вид $\Omega = {{\Omega }_{2}} + \varphi $, а при $V = 0$ – вид $\Omega = {{\Omega }_{0}}$.

Общий период по времени колебаний $i$, $g$ зависит от начальных данных ${{\omega }_{0}}$, ${{e}_{0}}$, но не от начальных данных ${{i}_{0}}$, ${{g}_{0}}$.

7. ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТ ПРИ $TW \ne 0$, $S = 0$

В этом случае упрощается только последнее уравнение системы (2), его решение рассмотрено в § 5, а для первых двух уравнений по-прежнему справедливо решение, приведенное в § 3.

Соотношения (17)–(19) остаются справедливыми, но величина $A$ теперь переменна. Введем угол $\varphi $ соотношением

Зависимость элементов $i$, $g$, $\Omega $ от $\varphi $ остается такой же, как и в § 6, и определяется формулами (20)–(23). Однако теперь $\varphi $ – ограниченная функция времени. Формула (24) задает ее зависимость от эксцентриситета, а неявная зависимость эксцентриситета от времени выражена формулами (10), (11), (15).

Напомним, что одна из двух концевых точек ${{t}_{*}}$, $t{\kern 1pt} *$ промежутка определения непродолжаемого решения конечна, а другая бесконечна, см. § 3. Угол же $\varphi $ изменяется в конечных пределах

8. ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТ ПРИ $WS \ne 0$, $T = 0$

Так как $T = 0$, то $\omega $, $e$, $A = {\text{const}}$. Уравнение для $M$ решено в § 4. Решение уравнений для элементов $i$, $\Omega $, $g$ приведено в § 6.

Область определения: ${{t}_{*}} = - \infty $, $t{\kern 1pt} * = \infty $.

9. ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТ ПРИ $ST \ne 0$, $W = 0$

В рассматриваемом случае $i$, $\Omega $, $g = {\text{const}}$. Первые два уравнения решены в § 3. Последнее отличается от решенного в § 5 только постоянным множителем. Поэтому

Решение определено на временах от ${{t}_{*}} = - {{t}_{2}} < 0$ до $t{\kern 1pt} * = \infty $ при $T > 0$ и от ${{t}_{*}} = - \infty $ до $t{\kern 1pt} * = - {{t}_{2}} > 0$ при $T < 0$.

10. ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТ ПРИ $STW \ne 0$

Переходим к случаю общего положения $S \ne 0$, $T \ne 0$, $W \ne 0$.

Первые два уравнения (2) решены в § 3, третье, четвертое и пятое – в § 7, последнее – в § 9. Точнее, переменные $\omega $, $i$, $\Omega $, $g$, $M$ представлены элементарными функциями эксцентриситета. Кинематическое уравнение выражает время как строго монотонную функцию эксцентриситета. Найдена область существования непродолжаемого решения ${{t}_{*}} < t < t{\kern 1pt} *$.

Выпишем соответствующие формулы.

1. Величины, связанные со временем:

где $f$, ${{c}_{n}}$ даются формулами (11, 13).

Если $T > 0$, то ${{t}_{2}} > 0$, ${{t}_{*}} = - {{t}_{2}} < 0$, $t{\kern 1pt} * = \infty $, каждому $t \in ({{t}_{*}},t{\kern 1pt} *)$ отвечает единственное значение $\eta $ и соответственно $e$. При $t \to {{t}_{ * }}$ справедливо $\eta \to 1$, $e \to 0$, $\omega \to \infty $, $a \to 0$, $\varphi \to {{\varphi }_{0}} - \tfrac{W}{T}arcsin{{e}_{0}}$, $M \to - \infty $. При движении в прошлое точка $\mathcal{A}$ падает на $\mathcal{S}$ по спирали за конечное время, делая бесконечное число оборотов. При $t \to t{\kern 1pt} *$ справедливо $\eta \to 0$, $e \to 1$, $\omega \to 0$, $a \to \infty $, $\varphi \to {{\varphi }_{0}} + $ $ + \;\tfrac{W}{T}\left( {\tfrac{\pi }{2} - arcsin{{e}_{0}}} \right)$,

Точка $\mathcal{A}$ удаляется на бесконечность по спирали за бесконечное время, делая конечное число оборотов.

Если $T < 0$, то ${{t}_{2}} < 0$, ${{t}_{*}} = - \infty $, $t{\kern 1pt} * = - {{t}_{2}} > 0$, каждому $t \in ({{t}_{*}},t{\kern 1pt} *)$ отвечает единственное значение $\eta $ и соответственно $e$. При $t \to {{t}_{*}}$ справедливо $\eta \to 0$, $e \to 1$, $\omega \to 0$, $a \to \infty $, $\varphi \to {{\varphi }_{0}} + \tfrac{W}{T}\left( {\tfrac{\pi }{2} - arcsin{{e}_{0}}} \right)$,

При движении в прошлое точка $\mathcal{A}$ удаляется на бесконечность по спирали за бесконечное время, делая конечное число оборотов. При $t \to t{\kern 1pt} *$ справедливо $\eta \to 1$, $e \to 0$, $\omega \to \infty $, $a \to 0$, $\varphi \to {{\varphi }_{0}} - $ $ - \;\tfrac{W}{T}arcsin{{e}_{0}}$, $M \to \infty $. Точка $\mathcal{A}$ падает на $\mathcal{S}$ по спирали за конечное время, делая бесконечное число оборотов.

2. Вспомогательный угол $\varphi $:

Его начальное значение однозначно определяется по ${{i}_{0}}$ и ${{g}_{0}}$:

3. Элементы $\omega $, $a$, $M$ как функции эксцентриситета:

4. Элементы $i$, $g$, $\Omega $ как функции вспомогательной переменной $\varphi $:

Здесь Постоянные ${{\Omega }_{s}}$ определяются начальными данными ${{\varphi }_{0}}$, ${{\Omega }_{0}}$:

11. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы показали, что уравнения (2) поставленной во введении задачи интегрируются в квадратурах, причем квадратуры оказались элементарными.

В случае $T = 0$ непродолжаемое решение определено на всей оси времени $ - \infty < t < \infty $. В остальных случаях одна из двух концевых точек определения непродолжаемого решения ${{t}_{*}} < t < t{\kern 1pt} *$ конечна, а другая бесконечна. Именно, при $T > 0$ конечна ${{t}_{*}}$, а $t{\kern 1pt} * = \infty $; при $T < 0$ конечна $t{\kern 1pt} *$, а ${{t}_{*}} = - \infty $. При стремлении к конечной предельной точке тело $\mathcal{A}$ падает на $\mathcal{S}$ по спирали за конечное время, делая бесконечное число оборотов. При стремлении к бесконечной предельной точке тело $\mathcal{A}$ удаляется на бесконечность по спирали за бесконечное время, делая конечное число оборотов.

При $T = 0$ или ${{e}_{0}} = 0$ все 6 элементов орбиты представлены элементарными функциями времени.

Если $T \ne 0$ и ${{e}_{0}} \ne 0$, ситуация несколько сложнее. Как известно, в интегрируемых задачах механики материальной точки (например, в задаче двух неподвижных центров) фазовые переменные ${{\epsilon }_{1}}, \ldots ,{{\epsilon }_{6}}$ представляются неявными функциями времени, а время является явной строго монотонной функцией каждой из фазовых координат. В относительно простых интегрируемых задачах (например, в задаче двух тел) фазовые координаты ${{\epsilon }_{1}}, \ldots ,{{\epsilon }_{5}}$ выражаются явно через шестую переменную ${{\epsilon }_{6}}$. Последняя связана со временем так называемым кинематическим уравнением $t = \Phi ({{\epsilon }_{6}})$, в котором время – строго монотонная функция указанной фазовой координаты. В задаче двух тел за ${{\epsilon }_{6}}$ выбирают обычно эксцентрическую аномалию, а кинематическим уравнением служит уравнение Кеплера. В рассмотренной нами задаче пять элементов орбиты $\omega $, $i$, $\Omega $, $g$, $M$ представлены явными элементарными функциями эксцентриситета. В кинематическом уравнении $t = \Phi (e)$ функция $\Phi $ также элементарна. Доказана ее строгая монотонность, так что каждому $t$ отвечает единственное значение $e$.

Сравним задачи, поставленные здесь (возмущающее ускорение обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца) и в [5] (возмущающее ускорение постоянно). Дифференциальные уравнения в средних элементах очень похожи. Есть лишь одно существенное различие. Скорость изменения аргумента перицентра согласно (2) пропорциональна одному компоненту возмущающего ускорения, $W$. В то же время в задаче из [5] эта скорость является линейной комбинацией уже двух компонентов, $S$ и $W$. Различие привело к тому, что рассмотренная в настоящей статье задача оказалась полностью интегрируемой, тогда как задача из [5] интегрируется лишь в том случае, если хотя бы один из компонентов возмущающего ускорения равен нулю.