Астрономический журнал, 2022, T. 99, № 10, стр. 847-880

2.1. Концепция “окна видимости”

Планеты, обнаруженные методом лучевых скоростей (далее RV-планеты) и представленные в каталогах, открыты на спектрографах разной чувствительности, у звезд с разным уровнем активности, в рамках наблюдательных программ разной продолжительности, с разным количеством измерений лучевой скорости. Все это делает существующие каталоги RV-планет существенно неоднородными. Для компенсации этой неоднородности предложен метод, названный “окно видимости”. “Окно видимости” – это матрица размерности (n × n) на плоскости “Проективная масса–Орбитальный период” (m, P), элементы которой V(m, P) представляют собой вероятность обнаружить планету с данными проективной массой m и орбитальным периодом P. Другими словами, элементы матрицы V описывают долю звезд, у которых возможно обнаружить планету с данными (m, P). Количество интервалов разбиения n может быть произвольным, но предпочтительно выбирать его по правилу Стерджеса [18].

Если обозначить истинное распределение (двумерную гистограмму) RV-планет на диаграмме “Проективная масса–Орбитальный период” как N(m, P), а наблюдаемое распределение как N₀(m, P), то наблюдаемое распределение может быть представлено как поэлементное скалярное произведение истинного распределения N(m, P) на матрицу V:

где индексы i,  j изменяются в диапазоне от 1 до n.

Соответственно, истинное распределение N(m, P) может быть получено делением каждого элемента наблюдаемого распределения на значение соответствующего элемента матрицы V, если последний не равен нулю:

Другими словами, для реконструкции истинного распределения N(m, P) следует брать каждую планету со статистическим весом, обратным вероятности ее обнаружения.

Аналогичный метод был предложен в [19] для учета наблюдательной селекции в распределениях по радиусам и орбитальным периодам транзитных экзопланет, обнаруженных космическим телескопом “Кеплер”.

В настоящей работе рассматриваются RV-планеты с проективными массами от 0.011 до 13 масс Юпитера и орбитальными периодами от 1 до 10⁴ сут. И выбранный диапазон масс, и выбранный диапазон орбитальных периодов был разбит на 12 интервалов, равных в логарифмическом масштабе, таким образом, плоскость (m, P) оказалась разбита на 144 ячейки. В середину каждой ячейки была помещена искусственная планета, тем самым сформировался массив из 144 искусственных планет. Для каждой искусственной планеты вычислялась вероятность ее обнаружения по алгоритму, описанному ниже.

Для каждой известной RV-планеты из литературы определялись следующие два параметра программы наблюдений, в рамках которой планета была обнаружена: полное время наблюдений T и среднее отклонение от наилучшей кеплеровской кривой σ(O–C) [4]. Полное время наблюдений определялось как разница между юлианскими датами первого и последнего измерения лучевой скорости родительской звезды. В случае наличия нескольких публикаций, посвященных данной планетной системе (например, в случае нескольких независимых наблюдений одной звезды), полное время наблюдений определялось как разница между юлианской датой самого позднего наблюдения и юлианской датой самого раннего наблюдения. Среднее отклонение от наилучшей кеплеровской кривой σ(O–C) бралось из публикации первооткрывателей, а в случае нескольких публикаций, посвященных одной планетной системе, выбиралось наименьшее значение σ(O–C) из имеющихся.

Параметр σ(O–C), имеющий размерность скорости и измеряющийся в м/с, характеризует уровень шума, который является суммой инструментальной погрешности спектрографа, шума, обусловленного хромосферной и магнитной активностью родительской звезды, и возможного вклада еще не открытых планет. Чем выше уровень шума, тем больше может быть амплитуда возможных колебаний лучевой скорости, которые останутся необнаруженными.

Для каждой звезды, у которой была обнаружена хотя бы одна RV-планета, изучался вопрос: могла ли у этой звезды быть обнаружена каждая из 144 искусственных планет? Искусственная планета считалась обнаруживаемой, если для нее одновременно выполнялись два условия:

Здесь δ, γ – числовые коэффициенты порядка 1, численные значения которых будут определены ниже.

Условие (6.1) означает, что орбитальный период искусственной планеты должен быть меньше, чем произведение δT. Для δ = 1 это означает, что за полное время наблюдений искусственная планета должна сделать хотя бы один полный оборот вокруг родительской звезды.

Условие (6.2) означает, что полуамплитуда колебаний лучевой скорости родительской звезды K, наводимых искусственной планетой, должна быть больше, чем произведение γσ(O–C). Для γ = 1 это означает, что полуамплитуда колебаний лучевой скорости K, наведенная искусственной планетой, должна быть больше, чем среднее отклонение от наилучшей кеплеровской кривой.

В работе [20] “окно видимости” W строилось по 547 звездам, у которых была открыта хотя бы одна RV-планета. Для каждой искусственной планеты в предположении эксцентриситета, равного нулю, вычислялась полуамплитуда колебаний лучевой скорости K. Если искусственная планета (m_i, P_j) удовлетворяла условиям (6), соответствующее значение элемента матрицы W(m_i, P_j) увеличивалось на 1. После рассмотрения всех звезд полученная матрица W нормировалась на 1 путем деления всех элементов матрицы W на количество рассмотренных звезд, т.е. на 547. В итоге все элементы матрицы W приняли значение от 0 до 1 : 0 в случае, если ни у одной из 547 звезд невозможно обнаружить планету с данными (m_i, P_j), 1, если планету с данными (m_i, P_j) можно было обнаружить у каждой из 547 звезд, и некоторым промежуточным значением, если планету с данными (m_i, P_j) можно было обнаружить только у части звезд.

На рис. 3 показан пример матрицы “окна видимости” W, построенной с коэффициентами δ = 1, γ = 1.

В работе [20] “окно видимости” W строилось по звездам, у которых была открыта хотя бы одна RV-планета. Однако такая коррекция не полна и не точна, поскольку для построения точной матрицы V необходимо учитывать также и звезды, которые наблюдались, но у которых не было обнаружено планет.

Действительно, зафиксируем орбитальный период P и рассмотрим L программ наблюдений, из которых 1-я может обнаружить только наиболее массивные из искусственных планет с массой m₁; 2-я может обнаружить искусственные планеты с массами m₁ и m₂ (m₁ > m₂); 3-я – искусственные планеты с массами m₁, m₂ и m₃ (m₁ > m₂ > m₃), и т.д., L-я – искусственные планеты всех масс: m₁, m₂, …, m_L. Примем, что в рамках 1-й наблюдательной программы наблюдались ${{N}_{*}}_{1}$ звезд, в рамках 2-й – ${{N}_{*}}_{2}$ звезд, и т.д., в рамках L-той ${{N}_{*}}_{L}$ звезд. Распространенности планет каждого типа обозначим как f₁, f₂, …, f_L.

Тогда 1-я наблюдательная программа обнаружит f₁${{N}_{*}}_{1}$ планет с массой m₁, 2-я наблюдательная программа обнаружит f₁${{N}_{*}}_{2}$ планет с массой m₁ и f₂${{N}_{*}}_{2}$ планет с массой m₂, 3-я наблюдательная программа – f₁${{N}_{*}}_{3}$ планет с массой m₁, f₂${{N}_{*}}_{3}$ планет с массой m₂ и f₃${{N}_{*}}_{3}$ планет с массой m₃, и т.д., а L-тая наблюдательная программа – f₁${{N}_{*}}_{L}$ планет с массой m₁, f₂${{N}_{*}}_{L}$ планет с массой m₂, …, f_L${{N}_{*}}_{L}$ планет с массой m_L. Общее наблюдаемое количество наиболее тяжелых планет с массой m₁ окажется равным f₁${{N}_{*}}_{1}$ + f₁${{N}_{*}}_{2}$ + … + f₁${{N}_{*}}_{L}$ = f₁(${{N}_{*}}_{1}$ + + ${{N}_{*}}_{2}$ + … + ${{N}_{*}}_{L}$). Общее наблюдаемое количество планет с массой m₂ окажется равным f₂(${{N}_{*}}_{2}$ + + … + ${{N}_{*}}_{L}$), с массой m₃ – f₃(${{N}_{*}}_{3}$ + … + ${{N}_{*}}_{L}$), и т.д., с массой m_L – f_L${{N}_{*}}_{L}$.

При этом в реальности количество планет с массой m₁ у всех наблюдаемых звезд будет равно f₁(${{N}_{*}}_{1}$ + ${{N}_{*}}_{2}$ + … + ${{N}_{*}}_{L}$), планет с массой m₂ – f₂(${{N}_{*}}_{1}$ + ${{N}_{*}}_{2}$ + … + ${{N}_{*}}_{L}$), планет с массой m₃ – f₃(${{N}_{*}}_{1}$ + ${{N}_{*}}_{2}$ + … + ${{N}_{*}}_{L}$), и т.д., а планет с массой m_L – f_L(${{N}_{*}}_{1}$ + ${{N}_{*}}_{2}$ + … + ${{N}_{*}}_{L}$). Таким образом, элементы v_i матрицы “окна видимости” для планет с массами m₁, m₂, …, m_L будут равны:

Другими словами, каждый коэффициент матрицы “окна видимости” является отношением суммы звезд, возле которых планету с данной массой можно обнаружить, к общему числу наблюдаемых звезд.

Однако полные списки звезд, наблюдаемых в рамках той или иной наблюдательной программы, в общем случае не публикуются, распространенности планет разных масс f_i остаются неизвестными или плохо определенными, поэтому прямое вычисление коэффициентов v_i оказывается недоступным. Из Экзопланетного архива НАСА [1] мы можем узнать лишь количество звезд, у которых были обнаружены планеты с массами m₁, m₂, …, m_L.

Оценим систематическую ошибку, возникающую, если учитывать только звезды с известными RV-планетами, а не все наблюдаемые звезды. Количество звезд, у которых были обнаружены планеты в рамках i-й наблюдательной программы, обозначим как S_i.

Количество звезд с планетами, обнаруженными 1-й наблюдательной программой:

Количество звезд с планетами, обнаруженными 2-й наблюдательной программой:

Количество звезд с планетами, обнаруженными L-й наблюдательной программой:

По определению, коэффициенты d_i обозначают отношение количества родительских звезд, у которых были найдены планеты, к количеству самих планет. При малых значениях распространенности f коэффициент d близок к 1 (как правило, у звезды есть только одна планета). При росте f коэффициент d уменьшается и в пределе f ≫ 1 стремится к 1/f (в этом случае у каждой наблюдаемой звезды есть планеты, т.е. S = ${{N}_{*}}$). Для планет-гигантов с массами 2–13 масс Юпитера, рассмотренных в данной работе, d = 0.931 (у 231 звезды обнаружено 248 планет). Для планет с массами меньше 0.1 масс Юпитера d = 0.676 (145 планет у 98 звезд). Чтобы исключить дополнительный фактор d, в дальнейшем каждая звезда учитывается столько раз, сколько планет у нее известно. В этом случае уравнения (8) могут быть переписаны в виде:

Зная ${{\tilde {S}}_{I}}$, можно построить промежуточную матрицу ${\mathbf{\tilde {W}}}$, элементы которой вычисляются по формулам, приведенным ниже.

Для планет с массой m₁:

для планет с массой m₂: для планет с массой m_L:

Формулы (7) и (10) структурно идентичны, но включают в себя: (7) – наблюдаемые звезды, (10) – обнаруженные планеты.

Выразим ${{\tilde {S}}_{i}}$ через элементы матрицы ${{\tilde {w}}_{i}}$:

В краткой форме выражения (11) могут быть записаны как

если принять граничные значения ${{\tilde {w}}_{1}}$ = 1 и ${{\tilde {w}}_{{L + 1}}}$ = 0.

Выразим количество звезд ${{N}_{*}}_{i}$, наблюдаемых i-й наблюдательной программой, через количество обнаруженных ею планет ${{\tilde {S}}_{i}}$:

Наконец, выразим элементы матрицы V через элементы матрицы ${\mathbf{\tilde {W}}}$. Для планет с массами m₁:

для планет с массами m₂:

В случае, если f_i = const (“плоское” распределение в логарифмическом масштабе $~\frac{{{\text{d}}N}}{{{\text{d}}\log (m)}}$, соответствующее распределению по массам $\frac{{{\text{d}}N}}{{{\text{d}}m}}$ ∝ ∝ m^–1), $\sum\nolimits_{k = 1}^i {{{f}_{k}}} {\text{/}}\sum\nolimits_{k = 1}^j {{{f}_{k}}} $ = i/j.

Если dN/dlog m ∝ m^–α, что соответствует распределению по массам dN/dm ∝ ${{m}^{{--\alpha --1}}}$, т.е. f_i = = ${{f}_{1}}m_{{{\text{step}}}}^{{i - 1}}$, где m_step есть ${{({{m}_{i}}{\text{/}}{{m}_{i}}_{{ + 1}})}^{\alpha }}$, $\sum\nolimits_{k = 1}^i {{{f}_{k}}} {\text{/}}\sum\nolimits_{k = 1}^j {{{f}_{k}}} $ = = ($m_{{{\text{step}}}}^{{i + 1}}$ – 1)/($m_{{{\text{step}}}}^{{j + 1}}$ – 1).

Не зная количество звезд, наблюдаемых в рамках каждой наблюдательной программы, мы не можем определить распространенности планет f_i. Однако поскольку f_i входят в выражения для ${{{v}}_{i}}$ только в виде отношений $\sum\nolimits_{k = 1}^i {{{f}_{k}}} {\text{/}}\sum\nolimits_{k = 1}^j {{{f}_{k}}} $, мы можем вычислить ${{{v}}_{i}}$ из ${{\tilde {w}}_{i}}$, предполагая определенный вид зависимости распространенности f(m) при фиксированном периоде P.

Наглядно оценить систематическую погрешность, вызванную построением матрицы “окна видимости” только по звездам с планетами, а не по всем наблюдаемым звездам, можно, положив L = 2 (т.е. рассмотрев планеты только двух типов, обнаруженные в рамках двух наблюдательных программ). В этом случае матрицы V и W содержат только две ячейки, причем w₁ = ${{{v}}_{1}}$ = 1, ${{{v}}_{2}}$ = = N₂/(N₁ + N₂), w₂ = S₂/(S₁ + S₂) = 1/(1 + S₁/S₂).

Отсюда S₁/S₂ = 1/w₂ – 1, и ${{{v}}_{2}}$ = N₂/(N₁ + N₂) = = 1/(1 + N₁/N₂) = 1/(1 + S₁/S₂d₂/d₁(f₁ + f₂)/f₁) = = 1/(1 + (1/w₂ – 1)d₂/d₁(f₁ + f₂)/f₁).

Обозначив k = d₂/d₁(f₁ + f₂)/f₁, получим ${{{v}}_{2}}$ = = 1/(1 + (1/w₂ – 1) k), а w₂/${{{v}}_{2}}$ = w₂(1 – k) + k.

При f₁, f₂ ≪ 1 d₂/d₁ → 1, и k = (f₁ + f₂)/f₁ = 1 + f₂/f₁.

В этом случае w₂/${{{v}}_{2}}$ = –f₂/f₁w₂ + 1 + f₂/f₁.

При малых значениях w₂ недооценка количества маломассивных планет достигает (1 + f₂/f₁), т.е. может превышать порядок величины. На рис. 4 приведены соотношение между элементами матриц “окна видимости” ${{{v}}_{2}}$ и w₂ при разных отношениях распространенностей планет двух типов f₂/f₁.

При f₁ ≪ 1 и f₂ ≫ 1 d₂/d₁ → 1/f₂ и k = (f₁ + + f₂)/(f₁f₂) → 1/f₁. w₂/${{{v}}_{2}}$ = w₂(1 –1/f₁) + 1/f₁.

При малых значениях w₂ недооценка количества маломассивных планет достигает 1/f₁.

Вместе с тем при малом отношении распространенностей f₂/f₁ систематическая ошибка, вызванная учетом только звезд с планетами, оказывается невелика, и в первом приближении ею можно пренебречь.

Представленный в выражениях (7)–(13) линейный подход применим, если вероятность обнаружения RV-планеты зависит только от одного параметра, в рассмотренном случае – от ее проективной массы. Однако в общем случае эффективность обнаружения зависит от нескольких параметров. В представленной работе рассматривается зависимость эффективности обнаружения RV‑планет от двух важнейших параметров – проективной массы и орбитального периода (неравенство (6)). Однако следует отметить, что для ряда областей на плоскости (m, P) одно из условий (6) выполняется всегда, и можно применять линейный подход (7)–(13).

Далее для построения матриц W, ${\mathbf{\tilde {W}}}$ и V следует более точно определить параметры γ и δ.

2.2. Параметры “окна видимости” γ и δ

Априорные значения коэффициентов γ и δ в выражениях, определяющих обнаружимость искусственной планеты (6) γ = 1, δ = 1 неточны, поскольку не соответствуют фактам обнаружения планет с орбитальными периодами, превышающими полное время наблюдений, например, WASP-8 c [21] и HD 181234 b [22]. Следовательно, δ > 1. Аналогично, известны планеты, вызывающие колебания лучевой скорости родительских звезд с полуамплитудой K, меньшей σ(O–C), например, GJ 433 d [23] и HD 26965 b [24]. Следовательно, γ < 1.

Чтобы определить δ, построим распределение в форме гистограммы известных RV-планет в зависимости от отношения орбитального периода к полному времени наблюдений P/T (рис. 5).

Согласно гистограмме, представленной на рис. 3, для 97.7% планет P/T < 1.5, и для 99.1% P/T < < 2.5. Выбирая величину δ, следует иметь в виду, что планеты, за все время наблюдений прошедшие только часть одного оборота вокруг своей звезды, также могут быть обнаружены. Однако чем меньше эта часть, тем с меньшей точностью могут быть определены и проективная масса планеты, и ее орбитальный период. Если часть орбиты, пройденная планетой за все время наблюдений, мала, то кеплеровская кривая вырождается в линейный или квадратичный дрейф лучевой скорости, который свидетельствует о наличии в системе тела на долгопериодической орбите, но не позволяет определить его массу и орбитальный период. Например, большинство планет с P/T > > 2.5 (HD 221420 b, Pr0211 c, HAT-P-17 c, HR 5183 b, HD 190984 b и HD 133131 B b) находится на орбитах с высоким эксцентриситетом, причем за время наблюдений они прошли перицентр своей орбиты, когда орбитальная скорость быстро меняется. Если бы эти планеты наблюдались вблизи апоцентра, они могли быть пропущены как плохо определенные источники дрейфа лучевой скорости их родительских звезд (работы об их открытии не были бы опубликованы). Для большинства планет с P/T > 2.5 их массы и орбитальные периоды определены с большими погрешностями.

Стоит отметить, что вариации коэффициента δ влияют на вероятность обнаружения лишь наиболее долгопериодических планет и почти не оказывают влияния на вероятность обнаружения планет с малыми и средними орбитальными периодами.

В разделе 4 представлены распределения RV‑планет по проективным массам и орбитальным периодам при δ = 1.5, 2.0 и 2.5. Эти вычисления показывают слабую зависимость полученных результатов от величины δ, за исключением распределения наиболее долгопериодических планет. Без утраты общности, для регуляризации данных и для анализа максимального количества планет в дальнейшем будет использоваться δ = = 2.0, другими словами, искусственная планета будет считаться обнаруживаемой, если за полное время наблюдений она сделала хотя бы половину одного оборота вокруг своей звезды.

Далее рассматривается возможность выбора универсального значения коэффициента γ, такого, что для большинства планет ${{\gamma }} < \frac{{{{\sigma }}({\text{O}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {\text{C}})}}{K}$.

Распределение RV-планет в зависимости от отношения K/σ(O–C) в форме гистограммы представлено на рис. 6.

Для 95.1% планет K/σ(O–C) > 1.0, другими словами, полуамплитуда колебаний лучевой скорости родительской звезды K, вызванных гравитационным влиянием планеты, больше, чем среднее отклонение от наилучшей кеплеровской кривой σ(O–C). Однако для 34 планет из 695 (4.9%) 0.5 < K/σ(O–C) < 1.0. В первом приближении в качестве универсальной аппроксимации в настоящей работе было принято γ = 0.75, хотя в дальнейшем для каждого интервала проективных масс выбор величины γ обсуждается отдельно.

На рис. 7 показан пример “окна видимости” W с коэффициентами γ = 0.75, δ = 2.0, вместе с известными 695 RV-планетами, аналогично рис. 3. Как можно видеть, с коэффициентами γ = 0.75, δ = 2.0 вероятности обнаружения планет f_p во многих ячейках определены более аккуратно, в частности, в ячейке W(2,4), в которую попадает планета GJ 229A b (Feng et al., 2020), вероятность обнаружения планеты f_p = 0.0037, а не f_p = 0 при γ = 1, δ = 1 (рис. 3).

Тем не менее даже с коэффициентами γ = = 0.75, δ = 2.0 ряд ячеек матрицы W содержит нули, соответствующие нулевой вероятности обнаружить планету f_p = 0: W(1,1), W(2,1), W(3,1), W(1,2), W(2,2), W(1,3), W(1,4) и W(1,5). Эти “вырожденные” ячейки соответствуют планетам малых масс с большими орбитальными периодами. Область с нулевой вероятностью обнаружения планет мы назвали “слепым пятном”. Обнаружить планету из “слепого пятна” при текущем состоянии наблюдательной техники невозможно, количество планет в той области остается неизвестным.

Необходимо отметить, что при W(i, j) = 1, ${{\tilde {W}}}$(i, j) = 1 и V(i, j) = 1, а при W(i, j) = 0, ${{\tilde {W}}}$(i,j) = 0 и V(i, j) = 0, так что размеры “слепого пятна” не меняются при переходе от неточной матрицы W к точной матрице V и наоборот.

3.1. Скорректированная гистограмма распределения RV-планет

Чтобы построить скорректированную гистограмму N(m, P), запишем сначала количество планет, попавших в каждую ячейку на плоскости (m, P) (они показаны числами в верхней части каждой ячейки на рис. 3 и 7) как двумерную гистограмму N₀(m, P). Чтобы перейти от двумерной не скорректированной гистограммы N₀(Δm, ΔP) к скорректированному распределению по массам RV-планет N(m) = dN/dm, просуммируем элементы матрицы N₀ × (1/W) по столбцам, т.е. по орбитальным периодам:

Однако из-за наличия “слепого пятна” (нулевого значения вероятности обнаружения планет в ячейках W(1,1), W(2,1), W(3,1), W(1,2), W(2,2), W(1,3), W(1,4) и W(1,5) соответствующие элементы матрицы N не могут быть определены из-за операции деления на ноль. Соответственно, невозможно построить распределение N(m) на всей плоскости (m, P), т.е. для всех индексов i, j, пробегающих значения от 1 до 12. Можно предложить два пути обхода этой проблемы:

(А) Рассмотреть планеты всех масс с малыми орбитальными периодами, т.е. i = 1–12 и j = 7–12:

(Б) Рассмотреть планеты всех орбитальных периодов, но ограничиться достаточно массивными планетами, т.е. i = 4–12 и j = 1–12:

На рис. 8а и 8в показаны распределения в форме гистограммы N_A(m) планет всех рассмотренных масс с орбитальными периодами ${{{{\Delta }}}_{{j = 7 - 12}}}P$ от 1 до 100 сут., полученные из уравнения (14.2) для нескольких различных значений коэффициентов γ и δ. На рис. 8б и 8г показаны распределения в форме гистограммы N_Б(m) планет всех рассмотренных орбитальных периодов с массами больше 0.065 масс Юпитера (21 масс Земли), полученные из уравнения (14.3), также для нескольких различных значений коэффициентов γ и δ.

При переходе от целого (см. рис. 7, верхнее число в таблице) числа планет N₀ в формуле (13.1) к дробному числу планет ${\mathbf{N}}$ в формулах (13.2) и (13.3) была учтена погрешность определения масс планет с помощью KDE (Kernel Density Estimation) с гауссовым профилем в случае равенства верхней и нижней погрешности (методика сглаживания описана в [25] и более подробно приведена в [4], и с профилем скошенного нормального распределения в случае их неравенства [26].

В первом приближении распределение по проективным массам RV-планет на рис. 8 следует кусочно-степенному закону с изломами в точках 0.14 и 1.7 масс Юпитера (см. рис. 8б и 8г). Важно, что положение точек изломов не зависит от выбора значений коэффициентов γ и δ. Положение изломов определено с точностью ширины интервала разбиения на гистограмме.

Следует отметить, что распределение по проективным массам планет с орбитальными периодами 1–100 сут. существенно отличается от распределения планет с периодами 1–10⁴ сут. даже в диапазоне проективных масс, общих для обоих распределений (0.065–13 масс Юпитера). Если положение минимума (0.14 масс Юпитера) совпадает на обоих распределениях, положения максимума различаются (~0.5 масс Юпитера для короткопериодических планет и ~1.7 масс Юпитера для планет со всеми орбитальными периодами). Как будет показано в разделе 4, наиболее массивные планеты находятся преимущественно на широких орбитах с периодами больше 100 сут.

Как видно из рис. 8в, распределение планет с периодами 1–100 сут. не зависит от выбора δ (распределения полностью идентичны для δ = 1.5, 2.0 и 2.5). Это объясняется тем, что для короткопериодических планет полное время наблюдений всегда больше орбитального периода, т.е. P/T < 1.

Если положение точек излома кусочно-степенного закона не зависит от конкретных значений коэффициентов γ и δ, наклоны распределений в трех интервалах масс существенно зависят от γ. Чтобы определить показатели степени на каждом из интервалов, следует рассмотреть каждый из них по отдельности.

Рассмотрим распределение известных 695 RV-планет на плоскости m − K/σ(O–C) (рис. 9). Как можно видеть на рис. 9, минимальные значения K/${{\sigma }}$(O–C) различаются для планет из разных диапазонов масс (0.011–0.14 масс Юпитера, 0.14–1.7 масс Юпитера, 1.7–13 масс Юпитера, показаны серой пунктирной линией и приблизительно равны 0.75, 1.6 и 2, соответственно). Вероятно, это связано с тем, что при поиске планет малых масс требуется регистрация RV-сигналов малой амплитуды, сравнимых с уровнем шума ${{\sigma }}$(O–C), поэтому исследователи накапливают более богатые и плотные ряды измерений. Так, чтобы обнаружить планету Проксима Центавра b [27], вызывающую колебания лучевой скорости звезды с полуамплитудой 1.38 ± 0.21 м/с, потребовалось получить 216 измерений, а чтобы обнаружить планету у звезды Барнарда [28], вызывающую колебания лучевой скорости с полуамплитудой 1.20 ± 0.12 м/с – 771 измерений. При этом для обнаружения массивных планет, вызывающих колебания лучевой скорости большой амплитуды K, достаточно 20–30 измерений. Так, для обнаружения планет-гигантов HD 208527 b и HD 220074 b [29], наводящих на родительские звезды колебания лучевой скорости с полуамплитудой 155.4 ± ± 3.2 м/с и 230.8 ± 5.0 м/с, потребовалось всего 24 и 32 измерения соответственно.

3.2. Распределение по проективным массам планет малых масс (m <0.14 масс Юпитера)

Гистограмма распределения планет с проективными массами 0.011–0.14 масс Юпитера в зависимости от отношения K/${{\sigma }}$(O–C) показана на рис. 10. С уменьшением отношения K/${{\sigma }}$(O–C) от 5.0 до 1.0 количество планет в среднем растет. Далее, при K/${{\sigma }}$(O–C) < 1 количество подтвержденных планет начинает быстро уменьшаться. Это может означать, что значительная часть планет с 0.5 < K/σ(O–C) < 1 пока еще не обнаружена и не подтверждена, а быстрое уменьшение количества подтвержденных планет при уменьшении K/σ(O–C) от 1 до 0.5 объясняется уменьшением эффективности их обнаружения.

Значение γ разделяет области вдоль оси K/σ(O–C), где планета гарантированно будет обнаружена (справа от красной пунктирной линии на рис. 10), от области, где ее обнаружение невозможно (слева от красной пунктирной линии на рис. 10). Поскольку строго порог детектируемости на оси K/σ(O–C) определить невозможно, величина γ имеет смысл усредненного коэффициента, при котором количество пропущенных планет с K/σ(O–C) > γ приблизительно равно количеству известных планет с K/σ(O–C) < γ, наличием которых мы пренебрегаем. При значениях K/σ(O–C) = [0.5–1] часть планет детектируется, а часть не детектируется – или теряется в шумах, или остается RV-сигналами низкой достоверности, планетная природа которых еще не подтверждена.

Самые маломассивные планеты открываются, во-первых, на самых точных спектрографах (HIRES, HARPS, HARPS-N, PFS, с недавних пор ESPRESSO) с примерно одинаковой инструментальной точностью единичного измерения ~1 м/с, а во-вторых, у звезд с низкой активностью, так что значения σ(O–C) для большинства маломассивных планет лежат в диапазоне 1–3 м/с. В среднем, уменьшение отношения K/σ(O–C) означает уменьшение масс планет, при этом мы ожидаем, что по мере уменьшения массы планет количество планет будет расти. Поэтому быстрое уменьшение количества зарегистрированных планет при уменьшении K/σ(O–C) от 1 до 0.5 маркирует порог детектируемости RV-планет современными средствами. Приближенно оценка γ соответствует середине области [0.5–1] по оси K/σ(O–C), т.е. значению 0.75.

Распределение по проективным массам маломассивных планет возможно построить лишь для орбитальных периодов короче 100 сут. (более долгопериодические планеты попадают в вырожденную область с нулевой вероятностью обнаружения (“слепое пятно”) и не обнаруживаются современными средствами). Для уточнения формы распределения маломассивных планет были рассмотрены планеты с проективными массами 0.011–0.21 масс Юпитера и орбитальными периодами 1–100 сут. (всего 129 планет), и построено “окно видимости” в виде матрицы (10 × 10), не содержащей вырожденную область с вероятностью обнаружения f_p = 0 (рис. 11a).

В диапазоне 0.011–0.087 масс Юпитера (3.5–28 масс Земли) скорректированные распределения с хорошей точностью следуют степенному закону (рис. 11б). Однако в области 0.087–0.14 масс Юпитера (28–43 масс Земли) скорректированные распределения отклоняются от степенного закона, существенно выходя за диапазоны ошибок (по Пуассону). Показатель степени определен по методу наименьших квадратов: для γ = 0.7 он равен –1.99 ± 0.093, для γ = 0.75 – –2.01 ± 0.06, для γ = 0.8 – –2.07 ± 0.074, причем для масс планет больше 4.7 масс Земли все три распределения отличаются друг от друга менее, чем на одно стандартное отклонение.

Чтобы избежать возможных систематических ошибок, связанных с некорректным вычислением матрицы вероятностей обнаружения W (“окна видимости”), и для проверки полученного результата, были рассмотрены планеты c теми же характеристиками (массами 0.011–0.21 масс Юпитера и орбитальными периодами 1–100 сут.), но входящие в состав систем с низким уровнем шума σ(O–C) < 4 м/с (115 планет). Матрица “окна видимости” для этой группы планет показана на рис. 11в. Отбор малошумных систем увеличивает вероятности обнаружения планет, приближая их к 1, и уменьшает влияние “окна видимости” на скорректированное распределение, что видно из сравнения вероятности обнаружения (нижнее число в ячейке) на рис. 11a и 11в.

Скорректированное распределение планет из малошумных систем в целом имеет тот же вид, что и распределение планет из всех систем: в области 0.011–0.087 масс Юпитера (3.5–28 масс Земли) оно с хорошей точностью следует степенному закону с показателем степени –1.97 ± 0.07 для γ = 0.8, –1.95 ± 0.03 для γ = 0.75 и –1.75 ± 0.05 для γ = 0.7 (рис. 11г), причем в области масс 4.7–28 масс Земли все три распределения отличаются друг от друга меньше, чем на одно стандартное отклонение. В области масс 0.087–0.14 масс Юпитера наблюдается глубокий минимум, природа которого обсуждается в разделе 3.6.

Таким образом, распределение по проективным массам планет с массами 0.011–0.087 масс Юпитера (3.5–28 масс Земли) и орбитальными периодами 1–100 сут., скорректированное при помощи “окна видимости” W, построенного по звездам с уже известными RV-планетами, следует степенному закону с показателем степени –2 $\left( {\frac{{{\text{d}}N}}{{{\text{d}}m}} \propto {{m}^{{ - 2}}}} \right)$. Однако, как было показано в п. 1.1. (7)–(13), такой подход чреват систематическими ошибками, тем большими, чем больше отношение распространенностей планет с близкими массами, т.е. чем круче зависимость $\frac{{{\text{d}}N}}{{{\text{d}}m}}$.

Чтобы установить итоговую зависимость N(m) в форме гистограммы с помощью истинного “окна видимости” V, построенного по всем наблюдаемым звездам, а не только по звездам с известными планетами, были вычислены отношения $\sum\nolimits_{k = 1}^i {{{f}_{k}}} {\text{/}}\sum\nolimits_{k = 1}^j {{{f}_{k}}} $ (13) в предположении, что истинное распределение по проективным массам планет малых масс следует степенному закону $f(m) \propto {{m}^{{ - \alpha }}}$ с показателем степени α = 1, 2, 3, 4. Это позволило перейти от элементов матрицы ${\mathbf{\tilde {W}}}$(m, P) к элементам матрицы V(m, P) для каждой строки, т.е. для каждого фиксированного P.

На рис. 12 показаны скорректированные распределения N(Δm) для каждого из рассмотренных случаев, т.е. для $f(m) \propto {{m}^{{ - \alpha }}}$ при α = 1, 2, 3, 4. Самосогласованным является распределение $\frac{{{\text{d}}N}}{{{\text{d}}m}} \propto {{m}^{{ - 2.95 \pm 0.08}}}$, полученное в предположении, что истинное распределение по проективным массам планет малых масс следует степенному закону $f(m) \propto {{m}^{{ - 3}}}$.

Аналогичные вычисления были проведены для планет из систем с уровнем шума σ(O–C) < < 8 м/с и σ(O–C) < 15 м/с. Полученные распределения N(Δm) были аппроксимированы степенным законом, показатели степени которого совместимы с –3 для всех рассмотренных случаев (см. рис. 13).

В области 0.087–0.14 масс Юпитера (28–43 масс Земли) наблюдается минимум, характеристики которого обсуждаются в разделе 3.6.

3.3. Распределение по проективным массам планет средних масс (0.12–2.2 масс Юпитера)

Гистограмма распределения количества RV-планет в зависимости от отношения K/σ(O–C) для планет с массами от 0.12 до 2.2 масс Юпитера показана на рис. 14. В этот диапазон попадает 315 планет.

При уменьшении величины K/σ(O–C) от 5 до 1.75 количество планет в каждом интервале разбиения остается приблизительно постоянным и в среднем равным 12. Продолжая эту тенденцию для значений K/σ(O–C) в диапазоне 1.50–1.75, получаем ожидаемое количество планет, которое существенно превышает наблюдаемое. Полагая, что резкое уменьшение количества планет с K/σ(O–C) от 1.5 до 1.75 вызвано уменьшением эффективности их обнаружения, находим, что для планет с проективными массами от 0.12 до 2.2 масс Юпитера γ = 1.5–1.7.

Матрица “окна видимости” W для планет с проективными массами 0.12–2.2 масс Юпитера и орбитальными периодами 1–10⁴ сут., построенная с γ = 1.6, δ = 2, показана на рис. 15а. На рис. 15б представлено распределение планет с проективными массами 0.12–2.2 масс Юпитера, скорректированное посредством матрицы W с γ = 1.5 и 1.7, δ = 2.

Скорректированное с помощью матрицы W(m, P), распределение по проективным массам планет dN/dm с массами 0.21–2.2 масс Юпитера следует степенному закону с показателем степени −0.71 ± 0.03 и −0.80 ± 0.04 для γ = 1.5 и 1.7 соответственно. При аппроксимации степенным законом была исключена из рассмотрения крайняя левая точка, т.е. область масс 0.12–0.21 масс Юпитера, которая обсуждалась в разделе 3.2.

Для проверки полученного результата были рассмотрены планеты c такими же характеристиками (массами 0.12–2.2 масс Юпитера и орбитальными периодами 1–10⁴ сут.), но входящие в состав систем с низким уровнем шума σ(O–C) < < 8 м/с (225 планет) (рис. 15в, г). Скорректированное с помощью матрицы W(m, P) распределение по проективным массам dN/dm планет из малошумных систем следует степенному закону с показателем степени −0.74 ± 0.03 и −0.82 ± 0.04 для γ = 1.5 и 1.7 соответственно. Как можно видеть, выбор планет из малошумных систем не существенно влияет на показатели степени степенных законов, аппроксимирующих распределения RV-планет средних масс (эти показатели отличаются друг от друга меньше, чем на одно стандартное отклонение).

В области средних масс эффективность обнаружения планет зависит и от уровня шума σ(O–C) (который ограничивает эффективность обнаружения со стороны малых масс), и от времени наблюдения T (которое ограничивает эффективность обнаружения со стороны больших орбитальных периодов), поэтому нельзя прямо применить подход, описанный в разделе 2.1 (7)–(13). Однако возможно выбрать системы с достаточно долгим временем наблюдений так, чтобы для них условие (6.1) всегда было выполнено. Чтобы по возможности охватить как можно больше планет, были рассмотрены системы со временем наблюдений, большим ≈2000 (1990.5) сут. Для планет в этих системах с орбитальными периодами меньше 3981 сут. условие (6.1) выполняется всегда, и можно применять формализм (7)–(13). Таким образом, при построении гистограмм исключаются из рассмотрения планеты с наибольшими орбитальными периодами (3981–10⁴ сут.), попадающими в самую верхнюю строку матрицы W (рис. 15а, в).

Чтобы вычислить элементы матрицы V(m, P) через элементы матрицы ${\mathbf{\tilde {W}}}$(m, P), было принято, что распределение по проективным массам планет средних масс (0.12–2.2 масс Юпитера) следует степенному закону $f(m) \propto {{m}^{\alpha }}$ с показателем степени α = –0.8, –1, –1.2. На рис. 16 показано распределение по проективным массам, полученное в предположении α = –1.

В табл. 1 проведено сравнение предполагаемых показателей степени α истинного распределения по проективным массам $f(m) \propto {{m}^{\alpha }}$ планет с массами 0.12–2.2 масс Юпитера и орбитальными периодами 1–3981 сут., с показателями степени, полученными аппроксимацией степенным законом распределений, скорректированных при помощи матрицы V(m, P). Рассматривались три гипотезы о значении α: –0.8, –1.0, –1.2, для систем с уровнем шума σ(O–C) < 50 м/с, σ(O–C) < < 15 м/с и σ(O–C) < 8 м/с. Гипотеза с α = –1.2 исключается, однако имеющиеся данные не позволяют сделать выбор между гипотезами с α = –0.8 и α = –1.0.

Результаты вычислений, представленные в табл. 1, показывают, что распределение по проективным массам планет с массами 0.12–2.2 масс Юпитера и орбитальными периодами 1–3981 сут., следует степенному закону с показателем степени –0.8…–1: $N(\Delta m) \propto {{m}^{{ - 0.8 \ldots - 1}}}$. Для планет из малошумных систем (σ(O–C) < 8 м/с) самосогласованной является гипотеза, что показатель степени равен –1: $N(\Delta m) \propto {{m}^{{ - 1}}}$. Для шумных систем (σ(O–C) < 50 м/с) показатель степени ближе к –0.8: $N(\Delta m) \propto {{m}^{{ - 0.8}}}$. Имеющиеся данные не позволяют сделать выбор между этими гипотезами.

3.4. Распределение по проективным массам планет больших масс (2.2–13 масс Юпитера)

На рис. 17 показаны гистограммы распределения количества RV-планет в зависимости от отношения K/σ(O–C) для планет с массами 1.2–13 и 2.2–13 масс Юпитера. В первый диапазон попадает 361 планета, во второй – 231 планета.

Значение 1.7 масс Юпитера соответствует середине интервала разбиения, левая граница которого – 1.2 масс Юпитера, а правая – 2.2 масс Юпитера. Хотя в диапазоне 1.2–13 масс Юпитера у 10 планет K/σ(OC) < 2, 7 из них попадают в интервал 1.2–2.2 масс Юпитера, и только 3 – в диапазон 2.2–13 масс Юпитера (см. рис. 17). Поскольку только для 3 планет из 231 (1.3%) K/σ(OC) < 2, для планет с проективными массами 2.2–13 масс Юпитера было принято γ = 2.

Скорректированное с помощью матрицы W, распределение по проективным массам планет с массами 2.2–13 масс Юпитера следует степенному закону плохо (рис. 18б): в области 6–9 масс Юпитера на распределении наблюдается особенность (избыток количества планет). Если аппроксимировать распределение степенным законом (черная линия на рис. 18б), показатель степени окажется равным –1.69 ± 0.11 (при аппроксимации была исключена из рассмотрения крайняя левая точка, т.е. область масс 1.2–2.2 масс Юпитера, которая обсуждалась в разделе 3.3). Если описать распределение в виде суммы степенного закона и избытка массивных планет (красная линия на рис. 18б), то показатель степени окажется равным –1.83 ± 0.03.

Для проверки полученного результата были рассмотрены планеты с теми же характеристиками (проективные массы 2.2–13 масс Юпитера, орбитальные периоды 1–10⁴ сут.), но входящие в состав систем с низким уровнем шума σ(O–C) < < 15 м/с (268 планет) (рис. 18в и 18г).

Распределение по проективным массам планет из малошумных систем демонстрирует форму, аналогичную распределению планет из систем с произвольным уровнем шума (рис. 18г) – в области 6–9 масс Юпитера наблюдается избыток планет. Если аппроксимировать распределение единым степенным законом (черная линия на рис. 18г), показатель степени будет равен –1.91 ± ± 0.13, а если представить распределение в виде суммы степенного закона и избытка массивных планет (красная линия на рис. 18г), показатель степени будет равен –2.06 ± 0.03.

Различия в наклоне обоих распределений обусловлены не влиянием “окна видимости” W, которое в этой области масс почти прозрачно (т.е. вероятности обнаружения планет в соответствующих ячейках матрицы W близки к 1), а отбором планет (ср. рис. 18б, г). Наблюдаемые распределения планет из “шумных” и “не шумных” систем значительно различаются между собой (рис. 19).

58 из 85 планет (~68%) “шумной” группы вращаются вокруг звезд красных гигантов (звезд с радиусами больше 4 радиусов Солнца), среди остальных – планеты у молодых звезд с очень высоким уровнем хромосферной активности и у быстро вращающихся F-звезд (HD 1666 b, HD 113337 b). Значительная часть планет с массами 1–5 масс Юпитера у звезд этого типа может быть пропущена, кроме того, распределение планет у звезд промежуточной массы (1.3–3 солнечных масс) может отличаться от распределения планет у солнцеподобных звезд и красных карликов.

Для планет с проективными массами 2.2–13 масс Юпитера, открытых в системах с низким уровнем шума σ(O–C) < 15 м/с, условие (6.2) выполняется всегда, т.е. эффективность обнаружения планет определяется одним фактором – временем наблюдений T. Соответственно, можно применить формализм, описанный в разделе 2.1, с заменой проективной массы искусственных планет m на орбитальный период P, и перейти от матрицы ${\mathbf{\tilde {W}}}$(Δm, ΔP) к матрице V(Δm, ΔP). В качестве предположений о зависимости распространенности массивных планет-гигантов от их орбитального периода были рассмотрены 3 гипотезы: ${\text{d}}N{\text{/d}}\log (P) \propto {\text{const}}$, ${\text{d}}N{\text{/d}}\log (P) \propto {{P}^{{0.25}}}$ и $~{\text{d}}N{\text{/d}}\log (P) \propto {{P}^{{0.5}}}$. Более детально распределение планет-гигантов в зависимости от орбитального периода рассмотрено в разделе 4.

Как можно видеть на рис. 20, финальная коррекция с помощью матрицы V(Δm, ΔP) почти не влияет на форму распределения по проективным массам планет с массами 2.2–13 масс Юпитера.

Распределение по проективным массам массивных планет-гигантов, скорректированное матрицей V, плохо описывается степенным законом – наблюдается максимум в области 6–9 масс Юпитера. Если аппроксимировать степенным законом распределение массивных планет-гигантов из малошумных систем с σ(O–C) < 15 м/с, показатель степени совместим с –2 независимо от предположений о зависимости распространенности планет от их орбитального периода f(P). Если аппроксимировать степенным законом распределение массивных планет-гигантов из систем с произвольным уровнем шума σ(O–C), показатель степени оказывается равен –1.7 ± 0.15.

3.5. Составное распределение RV-планет по проективным массам. Сравнение с космогонической теорией популяционного синтеза

Распределение RV-планет по проективным массам, скорректированное с помощью алгоритма “окна видимости”, с хорошей точностью следует кусочно-степенному закону. В области 0.011–0.087 масс Юпитера (3.5–28 масс Земли) показатель степени равен –3: dN/dm ∝ m⁻³ (рис. 12). В области 0.087–0.21 масс Юпитера (28–67 масс Земли) распределение демонстрирует минимум, глубина которого максимальна в области 0.12–0.16 масс Юпитера (37–50 масс Земли), где количество планет в 7.7 раза меньше значения, предсказанного степенным законом с показателем степени –3 (рис. 13). В области 0.21–2.2 масс Юпитера распределение следует степенному закону с показателем степени, находящемся в диапазоне –0.8…–1.0: dN/dm ∝ ${{m}^{{ - 0.8 \ldots - 1}}}$ (рис. 16). В области 2.2–13 масс Юпитера распределение может быть аппроксимировано степенным законом с показателем степени, находящемся в диапазоне –1.7… –2.0: dN/dm ∝ ${{m}^{{ - 1.7 \ldots - 2.0}}}$ (рис. 18).

Из-за наличия “слепого пятна”, т.е. области на плоскости “Проективная масса – Орбитальный период”, где эффективность обнаружения планет методом лучевых скоростей равна нулю, невозможно построить скорректированное распределение всех RV-планет с проективными массами 0.011–13 масс Юпитера и орбитальными периодами 1–10⁴ сут. Однако возможно построить составное распределение, расположив на одном графике распределение маломассивных планет с массами 0.011–0.21 масс Юпитера и орбитальными периодами 1–100 сут., и распределение планет средних и больших масс (0.21–13 масс Юпитера) с орбитальными периодами 1–3981 сут. Для большего единообразия учитывались только системы с уровнем шума σ(O–C) < 15 м/с (598 планет). При построении распределений планет средних и больших масс учитывались только системы, для которых время наблюдений превышает 1990.5 сут.

На рис. 21 распределение маломассивных планет представлено дважды, в оригинальном виде и умноженное на 3.75 (последнее показано синей пунктирной линией). Коэффициент 3.75 был получен как отношение количества планет с проективными массами 0.16–0.38 масс Юпитера с периодами 1–3981 сут. и 1–100 сут. Тем самым было проиллюстрировано предположение, что распределение не поддающихся обнаружению (на сегодняшний день) маломассивных планет из “слепого пятна”, т.е. с периодами 10²–10⁴ сут., имеет тот же вид, что и распределение маломассивных планет с периодами 1–100 сут.

С помощью методов популяционного синтеза в [30] Кристоф Мордасини обобщил созданную большим коллективом исследователей теоретическую модель формирования и эволюции планет, следовательно, теоретическое распределение планет по массам можно сравнить с наблюдаемым. Предсказанное в [30] распределение экзопланет по массам, представленное на рис. 10 (верхний левый график) его работы, воспроизведено в настоящей работе на рис. 21 черной штрихпунктирной линией. В диапазоне 1–30 масс Земли (0.003–0.1 масс Юпитера) предсказанное распределение следует степенному закону с показателем степени –2, т.е. dN/dm ∝ m⁻². В диапазоне 0.1–5 масс Юпитера это распределение следует степенному закону с показателем степени –1, т.е. dN/dm ∝ m⁻¹ (плоское в логарифмическом масштабе), а для планет с массами больше 5 масс Юпитера показатель степени снова становится равным –2. Распределение по проективным массам RV-планет, скорректированное с помощью алгоритма “окна видимости”, хорошо согласуется с предсказаниями теории популяционного синтеза [30] в области 0.21–13 масс Юпитера, но не согласуется для маломассивных планет (m < 0.21 масс Юпитера). Однако новое поколение моделей популяционного синтеза (например, [31]) предсказывает распределение dN/dm ∝ m⁻³ в области масс планет, равных 5–50 масс Земли. В диапазоне 0.087–0.21 масс Юпитера наблюдается дефицит планет (т.н. “пустыня горячих нептунов”), природа которого обсуждается ниже.

3.6. Минимум в области 0.087–0.21 масс Юпитера

В области масс 0.087–0.21 масс Юпитера скорректированное распределение RV-планет по проективным массам демонстрирует глубокий минимум. Вместе с тем стоит отметить, что в этой области происходит скачок в эффективности обнаружения планет: для планет меньших масс применяется коэффициент γ = 0.75, для планет больших масс – γ = 1.6. Необходимо определить, может ли наблюдаемый минимум быть следствием некорректной оценки эффективности обнаружения планет с массами 0.087–0.21 масс Юпитера, т.е. локальной некорректной оценкой коэффициента γ (скачкообразным переходом от γ = = 0.75 к γ = 1.6).

На рис. 22 показано распределение в форме гистограммы 58 RV-планет с массами 0.087–0.38 масс Юпитера в зависимости от отношения K/σ(O–C) полуамплитуды K колебаний лучевой скорости родительской звезды к среднему отклонению σ(O–C) от наилучшей кеплеровской кривой, аналогичное распределениям, представленным на рис. 10, 14 и 17.

Хотя для данного диапазона масс γ = 0.75, было проанализировано влияние изменения коэффициента γ на глубину минимума в распределении RV-планет по проективным массам путем сравнения скорректированных распределений, полученных с помощью γ = 0.75 и γ = 1.6. Были рассмотрены планеты с орбитальными периодами 1–100 сут. из систем с уровнем шума σ(O–C) < < 8 м/с. Результат представлен на рис. 23а.

Как можно видеть на рис. 23а, изменение коэффициента γ качественно не меняет вида распределения. В области минимума (0.108–0.135 масс Юпитера или 34–43 масс Земли) количество планет, предсказанное степенным законом со стороны малых масс (черная пунктирная линия на рис. 23а), в ~7 раз больше количества планет, скорректированного “окном видимости” V для γ = 0.75. При этом количество планет в этой же области, скорректированное “окном видимости” с γ = 1.6, в 3.6 раза меньше количества планет, предсказанного степенным законом. Таким образом, можно сделать вывод, что минимум в области 0.087–0.21 масс Юпитера не может быть объяснен только за счет скачка в значении γ.

На рис. 23б исследованы распределения RV‑планет по проективным массам в зависимости от орбитальных периодов: 10–1000 сут., 4.64–464 сут., 2.15–215 сут. и 1–100 сут. (были выбраны интервалы периодов, равные в логарифмическом масштабе, так, чтобы верхняя граница диапазона в 100 раз превосходила нижнюю границу). Рисунок 23б наглядно демонстрирует, что глубина минимума увеличивается по мере уменьшения орбитальных периодов. Таким образом, можно сделать вывод, что минимум в области 0.087–0.21 масс Юпитера вызван резким дефицитом планет с периодами короче 10 сут. и соответствует т.н. “пустыне горячих нептунов” [32, 33].

3.7. Максимум в области 6–9 масс Юпитера

Распределение RV-планет по проективным массам в диапазоне 1.7–13 масс Юпитера может быть представлено в виде суммы степенного закона и дополнительной особенности, избытка планет в области 6–9 масс Юпитера (рис. 18б, г). Эта особенность проявляется и на общем скорректированном распределении, и на скорректированном распределении планет из не шумных систем с σ(O–C) < 15 м/с, и на нескорректированном распределении (малиновая точечная линия на рис. 21).

Возможно, данная особенность объясняется вкладом планет, сформировавшихся в результате гравитационной неустойчивости в протопланетном диске [34], тогда как остальные гиганты сформировались в результате аккреции на ядро [35, 36]. Однако подробное обсуждение этого вопроса выходит за рамки настоящей работы.