Астрономический журнал, 2022, T. 99, № 5, стр. 382-388

1. ВВЕДЕНИЕ

Интерес к ПЧД значительно усилился после недавнего детектирования LIGO гравитационных волн от сливающихся черных дыр [1]. В ходе анализа данных было обнаружено, что собственный момент вращения этих черных дыр близок к нулю, что сложно объяснить для астрофизических черных дыр, но вполне логично для ПЧД. Помимо этого, массы сливающихся черных дыр, детектированных LIGO, оказались гораздо больше, чем у черных дыр, известных по другим наблюдательным данным (например, по анализу рентгеновских двойных) (см., напр., обзор [2] и анализ, проведенный в [3]). Кроме того, до сих пор открыт вопрос о том, что является носителем темной материи (см. недавний обзор [4]): стерильные нейтрино с массой около 3 эВ, в пользу существования которых были недавно получены обнадеживающие результаты [5–7] не могут полностью решить проблему темной материи. Поэтому, на данный момент рассматриваются и такие кандидаты на эту роль, как ПЧД, космологические свойства которых делают их реальными кандидатами в холодную темную материю. Впервые идея о том, что ПЧД могут составлять темную материю, была высказана в [8].

В данной работе мы рассматриваем ПЧД в диапазоне масс от ${{10}^{{15}}}$ до ${{10}^{{17}}}$ г. ПЧД могли возникнуть в результате гравитационного коллапса неоднородностей первичного вещества в ранней Вселенной и могут составлять значительную часть темной материи [9–15]. Рождающиеся черные дыры будут иметь массы порядка величины массы внутри горизонта в момент их образования: $M \sim {{c}^{3}}t{\text{/}}G \simeq 5 \times {{10}^{{ - 19}}}(t{\text{/}}{{10}^{{ - 23}}}\;{\text{c}}){{M}_{ \odot }}$, где $c$ – скорость света, $G$ – гравитационная постоянная, ${{M}_{ \odot }}$ – масса Солнца. Имеются ограничения на фракцию ПЧД в темной материи, полученные путем анализа внегалактического и галактического фонов гамма-излучения ([16–19] и [20–25], соответственно), фона реликтового излучения [26–30] и фона космических лучей [31].

2. МЕЖЗВЕЗДНАЯ ПЫЛЬ

Как известно, межзвездная пыль является одним из компонентов межзвездной среды наряду с межзвездным газом, межзвездными электромагнитными полями, космическими лучами и темной материей [32]. Масса межзвездной пыли составляет примерно 1% от массы межзвездного газа. Образование пыли в основном происходит в медленно истекающих атмосферах звезд – красных карликах, а также при взрывных процессах на звездах и выбросе газа из ядер галактик. Также пыль образуется в планетарных и протозвездных туманностях, звездных атмосферах и межзвездных облаках. Под действием газовых потоков и давления излучения пылинки выносятся в межзвездную среду, где они тормозятся, взаимодействуя с газом, и остывают до температур 10–20 К. Это приводит к намерзанию малолетучих молекул из межзвездного газа, в результате чего на пылинках образуется оболочка из “грязного льда” – молекул воды с примесью многих других молекул. Под действием налипания электронов и фотоионизации пылинок излучением звезд, пылинки становятся электрически заряженными и поэтому способны взаимодействовать с электромагнитными полями. Наблюдательными проявлениями межзвездной пыли является поглощение ею света звезд, в результате чего свет звезд ослабевает и краснеет, поскольку в оптическом диапазоне экстинкция обратно пропорциональна длине волны. Спектр излучения межзвездной пыли в инфракрасном и субмиллиметровом диапазоне частот служит индикатором физических условий, а излучаемая мощность может давать информацию о популяциях звезд, которую невозможно узнать другими способами. Межзвездная пыль принимает активное участие в охлаждении межзвездной среды, а значит, способствует процессам звездообразования [32].

Фотон, поглощаемый пылинкой, приводит в тепловое движение частицы пылинки. При этом пылинка начинает излучать в непрерывном спектре, который может быть аппроксимирован планковским спектром излучения абсолютно черного тела. В Галактике большая часть ультрафиолетового излучения звезд перерабатывается в инфракрасное излучение пылинок.

В настоящее время нет единого мнения о химическом составе и форме межзвездной пыли. Существует несколько моделей, объясняющих свойства межзвездной пыли. В данной работе рассматривается модель MRN, предложенная в [33]. Согласно этой модели межзвездная пыль состоит из смеси графитовых и силикатных частиц примерно в равной массовой пропорции, при этом частицы имеют сферическую форму и размеры $0.005 < a < 0.25$ мкм, а их распределение по размеру имеет степенной характер, $n(a) \sim {{a}^{{ - 3.5}}}$. Преимущество этой модели в том, что она хорошо объясняет кривую межзвездного поглощения в диапазоне длин волн 1100–10 000 Å. На рис. 1 приведены наблюдательные данные по межзвездному поглощению, теоретическая кривая, следующая из модели MRN, и показан вклад графитовых частиц. Графитовые частицы ответственны за избыточное поглощение на длине волны 2175 Å.

3. ТЕПЛОВОЙ БАЛАНС И ТЕМПЕРАТУРА ПЫЛИ

Эффективность поглощения пыли играет важную роль в энергетическом балансе. Она равна отношению сечения поглощения к геометрическому сечению пылинки:

где геометрическое сечение пылинки ${{\sigma }_{d}}$ равно $\pi {{a}^{2}}$, $a$ – радиус пылинки.

Часто для оценочных расчетов эффективность поглощения принимают как предложено в [34]

Одной из важнейших характеристик пыли является ее температура. Равновесная температура пылинки определяется из условий энергетического баланса нагрева и охлаждения пылинки. Скорость нагрева пылинки определяется выражением

где $J(\lambda )$ – интенсивность излучения на длине волны $\lambda $, в которое помещена пылинка [34]. Скорость охлаждения пылинки равна где ${{T}_{d}}$ – равновесная температура пылинки, $B({{T}_{d}},\lambda )$ – функция Планка.

Выражения (3) и (4) справедливы только для крупных частиц ($a \geqslant 0.01$ мкм). Для малых частиц характерна малая теплоемкость, что приводит к резкому возрастанию температуры мелких пылинок даже при поглощении небольших порций энергии, и поэтому температура пыли меняется скачкообразно. Между скачками температуры большинство мелких частиц охлаждаются до температуры реликтового излучения (2.7 К). Излучение пылинок происходит в основном, когда ${{T}_{d}}$ выше равновесной [32]. Поэтому в нашей модели мы будем рассматривать только крупные пылинки с размерами от 0.01 до 0.25 мкм.

Температура пыли варьируется в зависимости от того, в какой области Галактики она находится. Вдали от околозвездных оболочек, в областях атомарного и молекулярного водорода, температура пыли может опускаться до 10–20 К. Если пыль находится в зонах HII, то ее температура лежит в диапазоне 30–200 К. Самые высокие значения температуры у пыли возникают в околозвездных оболочках. Здесь температура пылинок достигает 1000–1500 К [32]. Также внутри плотных облаков, где излучение от звезд сильно ослаблено, и пыль нагревается преимущественно за счет реликтового микроволнового излучения, температура пыли может падать до 6 К [34].

В работе [34] также приведены приближенные значения температуры для силикатной и графитовой составляющей пыли в зависимости от размера пылинки. Так, для силикатной составляющей пыли приближенное значение температуры равно

для графитовой составляющей

4. МОДЕЛЬ ИЗЛУЧЕНИЯ ПЧД

Предполагая, что ПЧД равномерно распределены во Вселенной, а пылинки – в нашей Галактике, рассмотрим ПЧД с массами ${{10}^{{15}}} \leqslant M \leqslant {{10}^{{17}}}$ г. Пылинки принимают фотоны, излученные первичными черными дырами вследствие эффекта Хокинга. Считаем, что фотоны распространяются свободно, и поэтому взаимодействием с материей можно пренебречь. Поглощая энергию на всех длинах волн от ПЧД, пылинки нагреваются и излучают как абсолютно черное тело в инфракрасном диапазоне с равновесной температурой ${{T}_{d}}$, которая определяется из условия теплового баланса. При расчете скорости нагрева пылинки мы не учитываем нагрев от других источников. Сравнивая скорость нагрева и скорость охлаждения пыли, мы получаем ограничение на долю ПЧД, составляющих темную материю.

Согласно [35, 36], температура излучения ПЧД, $T$, определяется выражением:

где ${{k}_{{\text{B}}}}$ – постоянная Больцмана, при этом энергетический спектр фотонов от испарения одной ПЧД дается формулой: где $\Gamma $ – серый фактор, который для высоких энергий принимает вид $\Gamma = \frac{{27{{G}^{2}}{{M}^{2}}{{E}^{2}}}}{{{{\hbar }^{2}}{{c}^{6}}}}$ [37].

5. РЕЗУЛЬТАТЫ

Поток излучения от ПЧД как функцию энергии и времени можно рассчитать следующим образом:

где $u$ – плотность энергии, $t$ – космологическое время, на котором испаряется черная дыра.

Плотность энергии ПЧД, регистрируемая в настоящий момент времени, задается выражением [16, 17, 38]

где ${{E}_{0}}$, ${{n}_{{PBH}}}({{t}_{0}})$, ${{\rho }_{{DM}}}$ – энергия фотона, концентрация ПЧД и плотность темной материи на данный момент, соответственно; $g(M)$ – функция масс ПЧД; ${{t}_{{rec}}}$, ${{z}_{{rec}}}$ – время и красное смещение момента рекомбинации; где ${{H}_{0}}$ – постоянная Хаббла, ${{\Omega }_{m}}$, ${{\Omega }_{\Lambda }}$, ${{\Omega }_{\gamma }}$ – космологические плотности вещества, темной энергии и излучения соответственно.

Таким образом, поток излучения от ПЧД на настоящий момент времени равен

Подставляя (12) в (3), получаем скорость нагрева пылинки:

Поскольку мы рассматриваем ПЧД с массами ${{10}^{{15}}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{10}^{{17}}}$ г, энергия их излучения $ \sim {\kern 1pt} 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 100$ МэВ. Даже если они расположены на $z = {{z}_{{rec}}}$, на данный момент фотоны от таких ПЧД должны доходить с энергией $ \sim {\kern 1pt} 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 100$ кэВ, что соответствует рентгеновскому излучению. Поэтому длины волн, на которых излучают ПЧД, ${{\lambda }_{{PBH}}} \ll 2\pi a$, и для расчета скорости нагрева пылинки мы принимаем $Q(\lambda ) = 1$.

Пылинка при охлаждении излучает в инфракрасном диапазоне, поэтому для нее ${{\lambda }_{d}} > 2\pi a$, и для расчета скорости охлаждения мы принимаем $Q(\lambda ) = 2\pi {\text{/}}\lambda $. Подставляя $Q(\lambda )$ в (4), найдем скорость охлаждения пылинки:

где ${{F}_{d}}$ – поток излучения пылинки.

В качестве функции масс мы рассмотрели два варианта – монохроматическую функцию масс ($\delta $-функцию) и впервые предложенное в [9] логнормальное распределение, плотность вероятности которого имеет вид [39]:

где $\mu $ и $\sigma $ – параметры распределения. Нормировка логнормального распредления на $f$ учтена в формуле (10).

Самые строгие ограничения на долю ПЧД, составляющих темную материю, получаются, если принять минимальный размер пылинки $a = 0.01$ мкм. Для данного размера температура пыли графитовой и силикатной составляющей соответственно равна ${{T}_{{gra}}} = 17.93$ К, ${{T}_{{sil}}} = 20.83$ К. В результате получилась следующая скорость нагрева пылинки фотонами излучения Хокинга:

Скорость охлаждения для силикатной составляющей пыли получается

А для графитовой составляющей скорость охлаждения равна

Ограничение на долю ПЧД, составляющих темную материю, может быть получено при сравнении скорости нагрева и охлаждения пыли из предположения о том, что скорость нагрева должна быть меньше скорости охлаждения. Температуры пыли рассматриваем те, которые указаны в выражениях (5) и (6).

На рис. 2 приведены результаты для монохроматической функции масс, т.е. показан верхний предел на долю ПЧД в космологической плотности темной материи $f$ в зависимости от массы $M$. Эти ограничения можно сравнить с ограничениями, полученными по внегалактическому и галактическому фонам [16, 22, 23, 31]. Полученные при нашем анализе ограничения для монохроматической функции масс оказались значительно слабее.

На рис. 3 приведены результаты для логнормального распределения и показан верхний предел на долю ПЧД $f$ в зависимости от значения $\mu $. Также на рисунке показаны ограничения, полученные ранее другими авторами по внегалактическому и галактическому фонам излучения для логнормального распределения при значении параметра $\sigma = 2$ [22, 24, 31]. Для этого значения $\sigma $, полученные данным методом ограничения, получились слабее, чем в работе [24] (на основе данных по гамма-фону), но строже, чем в работе [22] и в [31] при $\mu \sim {{10}^{{15}}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 3 \times {{10}^{{16}}}$ г.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Важность изучения ПЧД заключается в том, что они могут быть важны при объяснении различных явлений, от темной материи до формирования сверхмассивных черных дыр. Разнообразие явлений, в которых могут участвовать ПЧД, обусловлено широким диапазоном их масс. Однако необходимо учитывать, что физические эффекты ПЧД не должны противоречить измеренным эффектам.

В данной работе впервые был рассмотрен процесс нагрева пылинок ПЧД, равномерно заполняющих Вселенную. Вклад остальных источников излучения в нагрев пыли не учитывался. В работе были рассмотрены монохроматическая функция масс и логнормальное распределение. Для монохроматической функции масс полученные в работе ограничения оказались слабее, чем в предыдущих работах, где ограничения были получены от вклада ПЧД в гамма-фон. Для логнормального распределения ПЧД по массе ограничения получились более строгими, чем в работах [22, 31], но менее строгими, чем в [24], для того же значения $\sigma = 2$.