Астрономический вестник, 2019, T. 53, № 6, стр. 423-427

ВВЕДЕНИЕ

Геодезическое вращение, впервые рассмотренное Виллемом де Ситтером в 1916 г. (De Sitter, 1916), включает в себя два эффекта: систематический – геодезической прецессии – и периодический – геодезической нутации. Эти эффекты являются наиболее существенными в релятивистском вращении и имеют формальное сходство с известными в классической механике явлениями прецессии и нутации. Их появление не связано с действием на тело каких-либо сил, в отличие от вышеупомянутых эффектов классической механики, а обусловлено изменением направления его оси вращения в результате параллельного переноса вектора углового момента тела вдоль его орбиты в искривленном пространстве-времени.

Основной целью данного исследования является определение наиболее существенных вековых и периодических членов геодезического вращения Марса в углах Эйлера и его спутников в углах Эйлера и в возмущающих членах их физической либрации.

Для этого будем использовать, разработанный в статье (Пашкевич, 2016) метод для вычисления величин геодезического вращения любых тел Солнечной системы, для которых имеется долгосрочная эфемерида.

ОПИСАНИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Суть применяемого метода (Пашкевич, 2016) состоит в следующем:

1) Задача о геодезическом (релятивистском) вращении Марса и его спутников изучается относительно кинематически невращающейся (Kopeikin и др., 2011) собственной координатной системы исследуемых тел (Archinal и др., 2018). Положения, скорости и орбитальные элементы для Фобоса и Деймоса берутся из Horizons On-Line Ephemeris System (Giorgini и др., 2001). Для Солнца, Луны, Плутона и больших планет положения и скорости вычисляются с помощью фундаментальной эфемериды JPL DE431/LE431 (Folkner и др., 2014).

2) Для каждого исследуемого тела в углах Эйлера, а для марсианских спутников еще и в возмущающих членах физической либрации, с шагом в 57 мин на 900-летнем интервале времени (от AD1600 01 января 00 ч 00 мин до AD2499 14 октября 14 ч 03 мин) получаются значения скоростей их геодезического вращения.

Вид вектора угловой скорости геодезического вращения для любых тел солнечной системы определяется следующей формулой (Eroshkin, Pashkevich, 2007):

Здесь c – скорость света в вакууме; G – гравитационная постоянная; индекс i соответствует исследуемым телам (Марсу и его спутникам), а j – возмущающим телам; ${{\bar {R}}_{i}},\;{{\dot {\bar {R}}}_{i}},{{\bar {R}}_{j}},\;{{\dot {\bar {R}}}_{j}}$ – барицентрические векторы положений и скоростей i-го и j-го тела, соответственно; m_j – масса j-го тела; символ × означает векторное произведение. Далее в формулах индекс i будет опущен.

С помощью формул (3)–(5) (Пашкевич, 2016) производится редукция компонент вектора угловой скорости геодезического вращения спутников Марса от геоцентрической системы координат (координатная система эфемериды DE431/LE431) к планетоцентрической координатной системе (Archinal и др., 2018).

Скорости геодезического вращения тел Солнечной системы определяются для спутников Марса в углах Эйлера и в возмущающих членах физической либрации с использованием следующих выражений (Пашкевич, 2016):

Здесь ψ, θ, φ – углы Эйлера (ψ – угол долготы нисходящего узла экватора тела на эклиптике эпохи J2000; θ – угол наклона экватора тела к неподвижной эклиптике эпохи J2000; φ – угол собственного вращения тела между нисходящим узлом эпохи J2000.0 и главной осью минимального момента инерции тела); τ, ρ, и σ – возмущающие члены физической либрации исследуемого тела для неподвижной эклиптики эпохи J2000.0 в долготе, в наклоне и в долготе узла, соответственно; I – постоянный угол наклона экватора исследуемого тела к плоскости Лапласа; $\Delta \dot {\psi } = {{\dot {\psi }}_{r}} - \dot {\psi },$ $\Delta \dot {\theta } = {{\dot {\theta }}_{r}} - \dot {\theta }$ и $\Delta \dot {\varphi } = {{\dot {\varphi }}_{r}} - \dot {\varphi }$ – разности релятивистских и ньютоновых углов Эйлера исследуемого тела, соответственно; $\Delta ({\text{I}}\dot {\sigma }) = {\text{I}}{{\dot {\sigma }}_{r}} - {\text{I}}\dot {\sigma },$ $\Delta \dot {\rho } = {{\dot {\rho }}_{r}} - \dot {\rho }$ и $\Delta \dot {\tau } = {{\dot {\tau }}_{r}} - \dot {\tau }$ – разности релятивистских и ньютоновых возмущающих членов физической либрации исследуемого тела, соответственно; точка означает дифференцирование по времени.

3) Наиболее существенные составляющие скорости геодезического вращения исследуемого тела находятся методами наименьших квадратов и спектрального анализа. В результате вычисляются значения коэффициентов основных систематических и периодических членов скорости геодезического вращения тела.

Выражения для систематических и периодических членов скорости геодезического вращения тела имеют вид, соответствующий формуле (7) из (Пашкевич, 2016):

где $\Delta {{\dot {x}}_{n}}$ – коэффициенты систематических членов; $\Delta {{\dot {x}}_{{Sjk}}},$ $\Delta {{\dot {x}}_{{Cjk}}}$– коэффициенты периодических членов; $\dot {x} = \dot {\psi },{\text{ }}\dot {\theta },{\text{ }}\dot {\varphi },{\text{ }}\dot {\tau },{\text{ }}\dot {\rho },{\text{ I}}\dot {\sigma };$ ${{\nu }_{{j0}}},{{\nu }_{{j1}}}$ – фазы и частоты исследуемого тела, являющиеся комбинациями соответствующих аргументов Делоне и средних долгот возмущающих тел; индекс суммирования j определяет количество суммируемых периодических членов и его значение изменяется для каждого исследуемого тела; t – время в юлианских днях.

На рис. 1 в углах Эйлера представлена скорость изменения геодезической нутации Марса и его спутников на 75-летней части исследуемого интервала.

После их аналитического интегрирования вычисляются систематические и периодические члены геодезического вращения тела:

где $\Delta {{x}_{n}} = \frac{{\Delta {{{\dot {x}}}_{n}}}}{n},$ x = ψ, θ, φ, τ, ρ, Iσ, а коэффициенты при синусах и косинусах вычисляются следующим образом:

В результате исследований методом наименьших квадратов были определены значения величин N и M для различных объектов, обеспечивающие наилучшую аппроксимацию параметров геодезического вращения. Соответственно, для Фобоса и Деймоса N = 2, M = 4, а для Марса N = = 3, M = 4.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Для Фобоса и Деймоса в углах Эйлера и в возмущающих членах физической либрации вычислены их систематические (табл. 1) и периодические члены их геодезического вращения (табл. 2).

Для Марса в углах Эйлера определены новые высокоточные, динамически согласованные с эфемеридой DE431/LE431, наиболее существенные систематические (табл. 1) и периодические члены его геодезического вращения (табл. 2).

Введем обозначения для углов, приведенных в выражении (4), для данных табл. 1 и 2:

где $\Delta x = {{x}_{{{\text{релятивистское}}}}} - {{x}_{{{\text{ньютоновое}}}}},$ x = ψ, θ, φ, τ, ρ, Iσ.

Заметим, что в похожих таблицах предыдущей работы (Пашкевич, 2016) приведены разности ньютоновых и релятивистских углов $(\Delta x = {{x}_{{{\text{ньютоновое}}}}} - {{x}_{{{\text{релятивистское}}}}}),$ поэтому полученные в данном исследовании величины членов геодезического вращения для Марса в таблицах имеют противоположный знак.

В табл. 1 и 2: D₄₁ = λ₄₁ – λ₄ + 180°, D₄₂ = λ₄₂ – λ₄ + + 180° – средние элонгации Фобоса и Деймоса от Солнца; λ₄ – средняя долгота Марса; λ₄₁, λ₄₂ – средние марсоцентрические долготы Фобоса и Деймоса; T – Динамическое Барицентрическое Время (Dynamical Barycentric Time) (TDB) измеряется в юлианских тысячелетиях (tjy) (365250 дней) от эпохи J2000. Средняя долгота Марса взята из работы (Brumberg, Bretagnon, 2000). Средние долготы спутников Марса и их средние элонгации от Солнца вычислены с использованием данных Horizons On-Line Ephemeris System (Giorgini и др., 2001).

Поскольку масса Солнца является доминирующей в Солнечной системе, основная часть вектора угловой скорости геодезического вращения ${{\bar {\sigma }}_{i}}$ для каждого тела Солнечной системы является результатом его гелиоцентрического орбитального движения. Марс и его спутники Фобос и Деймос находятся в среднем на одном расстоянии от Солнца и движутся относительно него в среднем с одной скоростью. Вследствие этого величины их геодезического вращения, вызванные влиянием Солнца, подобно Земле и Луне (Пашкевич, 2016), должны быть достаточно близки между собой. В то же время, величины полного геодезического вращения Фобоса и Деймоса значительно превосходят величину геодезического вращения Марса. Поэтому величины их коэффициентов в Δψ и Δτ при вековых составляющих (табл. 1) заметно отличаются друг от друга. Это связано с тем, что из-за близкого к ним расстояния Марс оказывает большее влияние на их геодезическое вращение, чем Солнце. Так же из табл. 1 и 2 видно, что величина геодезического вращения спутников Марса убывает с увеличением их расстояния от Марса.

В данной работе также было проведено исследование взаимного релятивистского влияния спутников Марса друг на друга (т.е. включение другого спутника в число возмущающих тел). Так изменение величины геодезической прецессии Деймоса от релятивистского влияния Фобоса в долготе узла составляет –6.9 × 10^–17 мкс дуги за 1000 лет, в наклоне –5.5 × 10^–18 мкс дуги за 1000 лет и в угле собственного вращения –6.7 × 10^–17 мкс дуги за 1000 лет; а изменение величины геодезической прецессии Фобоса от релятивистского влияния Деймоса: в долготе узла составляет ‒7.3 × 10^–17 мкс дуги за 1000 лет, в наклоне –6.4 × × 10^–18 мкс дуги за 1000 лет и в угле собственного вращения –6.9 × 10^–17 мкс дуги за 1000 лет.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном исследовании впервые в углах Эйлера и в возмущающих членах физической либрации для спутников Марса вычислены их систематические (табл. 1) и периодические (табл. 2) члены геодезического вращения. Взаимное релятивистское влияние спутников Марса друг на друга по сравнению с влиянием Марса является несущественным. Полученные аналитические значения для геодезического вращения Фобоса и Деймоса могут быть использованы для численного исследования их вращения в релятивистском приближении.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-02-00811.