Астрономический вестник, 2020, T. 54, № 4, стр. 337-348
Динамическая структура околоземного орбитального пространства в области резонанса 1 : 2 со скоростью вращения Земли
И. В. Томилова a, *, Д. С. Красавин a, **, Т. В. Бордовицына a, ***
a Томский госуниверситет
Томск, Россия
* E-mail: irisha_tom@mail.ru
** E-mail: iosfixed@gmail.com
*** E-mail: tvbord@sibmail.com
Поступила в редакцию 06.08.2019
После доработки 30.12.2019
Принята к публикации 29.01.2020
Аннотация
В работе представлены результаты исследования динамической структуры околоземного орбитального пространства в области резонанса 1 : 2 со скоростью вращения Земли. Излагаются результаты обширного численно-аналитического эксперимента по исследованию орбитальной эволюции объектов, движущихся в диапазоне больших полуосей от 26 550 до 26 570 км, с наклонениями от 0° до 180°. В этой области выявлены зоны действия пяти компонент орбитального резонанса и апсидально-нодальных вековых резонансов низких порядков. Построены карты распределения выявленных резонансов. Динамическая структура орбитального пространства исследована также с использованием быстрой ляпуновской характеристики MEGNO и представлена MEGNO-картой области в сечении плоскостью {наклонение орбиты, большая полуось}. Показано, что особенностью динамической эволюции большинства исследованных орбит является хаотичность, возникающая под действием наложения резонансов различных типов.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей статье представлены результаты, которые продолжают исследования, опубликованные в (Томилова и др., 2018), где были описаны данные анализа динамической структуры только той части орбитального пространства области МЕО (Medium Earth Orbits), где функционируют навигационные системы ГЛОНАСС и GPS. Следует сказать, что исследованию динамики объектов систем ГЛОНАСС и GPS и изучению структуры орбитального пространства, где эти системы функционируют, посвящено немало работ (Chao, Gick, 2004; Rossi, 2008; Rosengren и др., 2015; Daquin и др., 2016; Томилова, Бордовицына, 2017; Томилова и др., 2018). Здесь же мы даем динамическую структуру всей области резонанса 1 : 2 со скоростью вращения Земли в диапазоне больших полуосей от 26 550 до 26 570 км и в диапазоне наклонений от 0° до 180°.
В работе (Томилова и др., 2019) было отмечено, что группа авторов из Томского университета планирует построить динамическую структуру всего околоземного орбитального пространства и это третья работа запланированной серии. Все работы объединены общим подходом. Мы используем численное моделирование для построения орбитальной эволюции объектов, а аналитическую методику для выявления действующих на объекты резонансов. Это позволяет нам рассматривать совместное влияние не только вековых резонансов различных типов, но и вековых, и орбитального резонансов, что очень существенно для объектов рассматриваемой зоны околоземного орбитального пространства.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ
Для исследования динамических особенностей движения объектов, находящихся в окрестности резонанса 1 : 2 со скоростью вращения Земли, применялась методика, изложенная в (Томилова и др., 2018; 2019). Методика состоит из нескольких этапов:
– построение динамической карты области с использованием быстрой ляпуновской характеристики MEGNO (Cincotta, Simo, 2000; Cincotta и др., 2003; Valk и др., 2009);
– анализ структуры всех резонансных возмущений, действующих на движение объектов рассматриваемой орбитальной области;
– изучение особенностей долговременной эволюции орбит.
Численное моделирование движения объектов осуществлялось на кластере “СКИФ Cyberia” НИ ТГУ с использованием программного комплекса “Численная модель движения систем ИСЗ” (Александрова и др., 2017), построенного с использованием высокоточного интегратор Гаусса–Эверхарта (Авдюшев, 2010). В процессе моделирования учитывались возмущения от гармоник геопотенциала до 4 порядка и степени, а также возмущения от Луны и Солнца. Совместно с уравнениями движения интегрировались уравнения для вычисления параметров MEGNO (Бордовицына и др., 2010), по методике, которая была предложена в (Volk и др., 2009).
Выявление орбитальных резонансов производилось с использованием методики предложенной Allan (1967a; 1967b) и уточненной Кузнецовым (Кузнецов и др., 2012). Подробно методика изложена также в (Томилова и др., 2019).
В соответствии с этой методикой для рассматриваемого в данной работе резонанса 1 : 2 со скоростью вращения Земли резонансные (критические) аргументы будут иметь вид (Кузнецов и др., 2012)
(1)
$\begin{gathered} {{\Phi }_{1}} = (M + \Omega + \omega ) - 2\theta ,\,\,\,{{\Phi }_{2}} = (M + \omega ) + 2(\Omega - \theta ), \\ {{\Phi }_{3}} = M + 2(\Omega + \omega - \theta ), \\ {{\Phi }_{4}} = M - \Omega + \omega - 2\theta ,\,\,\,{{\Phi }_{5}} = M + 2( - \omega + 2\Omega - \theta ), \\ \end{gathered} $(2)
$\begin{gathered} {{{\dot {\Phi }}}_{1}} = (\dot {M} + \dot {\Omega } + \dot {\omega }) - 2\dot {\theta }, \\ {{{\dot {\Phi }}}_{2}} = (\dot {M} + \dot {\omega }) + 2(\dot {\Omega } - \dot {\theta }), \\ {{{\dot {\Phi }}}_{3}} = \dot {M} + 2(\dot {\Omega } + \dot {\omega } - \dot {\theta }), \\ {{{\dot {\Phi }}}_{4}} = \dot {M} - \dot {\Omega } + \dot {\omega } - 2\dot {\theta }, \\ {{{\dot {\Phi }}}_{5}} = \dot {M} + 2( - \dot {\omega } + 2\dot {\Omega } - \dot {\theta }), \\ \end{gathered} $Для вековых резонансов также изучается эволюция во времени резонансных аргументов, полученных из аргументов разложения возмущающей функции (Murray, Dermott, 2000) для однократно (3) и двукратно (4) осредненной ограниченной задачи трех тел
(3)
$\begin{gathered} \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\psi } = (l - 2p{\kern 1pt} '\,\, + q{\kern 1pt} ')M{\kern 1pt} '\,\, + (l - 2p)\omega - \\ - \,\,(l - 2p{\kern 1pt} ')\omega {\kern 1pt} '\,\, + \bar {m}(\Omega - \Omega {\kern 1pt} '), \\ \end{gathered} $(4)
$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\psi } } = (l - 2p)\omega - (l - 2p{\kern 1pt} ')\omega {\kern 1pt} '\,\, + \bar {m}(\Omega - \Omega {\kern 1pt} '),$(5)
$\dot {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\psi } } \approx 0,\,\,\,\,\dot {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\psi } } } \approx 0,$(6)
$\begin{gathered} M{\kern 1pt} ' = M_{0}^{'} + n{\kern 1pt} '\left( {t - {{t}_{0}}} \right),\,\,\,\,\omega {\kern 1pt} ' = \omega _{0}^{'} + \dot {\omega }{\kern 1pt} '\left( {t - {{t}_{0}}} \right), \\ \Omega {\kern 1pt} ' = \Omega _{0}^{'} + \dot {\Omega }{\kern 1pt} '\left( {t - {{t}_{0}}} \right), \\ \omega = {{\omega }_{0}} + \dot {\omega }\left( {t - {{t}_{0}}} \right),\,\,\,\,\Omega = {{\Omega }_{0}} + \dot {\Omega }\left( {t - {{t}_{0}}} \right). \\ \end{gathered} $Вековые частоты в движении спутника $\dot {\Omega } = {{\dot {\Omega }}_{{{{J}_{2}}}}} + {{\dot {\Omega }}_{L}} + {{\dot {\Omega }}_{S}},$ $\dot {\omega } = {{\dot {\omega }}_{J}} + {{\dot {\omega }}_{L}} + {{\dot {\omega }}_{S}}$ определяются влиянием второй зональной гармоники с коэффициентом ${{J}_{2}}$, а также влиянием Луны (L) и Солнца (S) и вычисляются по известным формулам (Бордовицына, Авдюшев, 2007).
Полагая индексы, содержащиеся в формулах (5) равными l = 2, $p,p{\kern 1pt} ',\bar {m} = 0,1,2,$ $q{\kern 1pt} ' = - 1,0,1,$ получим резонансные соотношения для вековых резонансов низких порядков. Типы рассматриваемых в настоящей работе вековых апсидально-нодальных резонансов первого-шестого порядков приведены в таблице. Соотношение 20 представляет собой резонанс Лидова‒Козаи (Лидов, 1961; Kozai, 1962).
Таблица 1.
№ | Тип резонансного соотношения |
№ | Тип резонансного соотношения |
№ | Тип резонансного соотношения |
---|---|---|---|---|---|
1 | $\left( {\dot {\Omega } - \Omega _{{S,L}}^{'}} \right) + \dot {\omega } - \dot {\omega }_{{S,L}}^{'}$ | 8 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) - 2\dot {\omega } - 2\dot {\omega }_{{S,L}}^{'}$ | 15 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) + 2\dot {\omega }_{{S,L}}^{'}$ |
2 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) - \dot {\omega } + \dot {\omega }_{{S,L}}^{'}$ | 9 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) + \dot {\omega }$ | 16 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) - 2\dot {\omega }_{{S,L}}^{'}$ |
3 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) + \dot {\omega } + \dot {\omega }_{{S,L}}^{'}$ | 10 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) - \dot {\omega }$ | 17 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right)$ |
4 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) - \dot {\omega } - \dot {\omega }_{{S,L}}^{'}$ | 11 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) + 2\dot {\omega }$ | 18 | $\dot {\omega } - \dot {\omega }_{{S,L}}^{'}$ |
5 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) + 2\dot {\omega } - 2\dot {\omega }_{{S,L}}^{'}$ | 12 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) - 2\dot {\omega }$ | 19 | $\dot {\omega } + \dot {\omega }_{{S,L}}^{'}$ |
6 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) - 2\dot {\omega } + 2\dot {\omega }_{{S,L}}^{'}$ | 13 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) + \dot {\omega }_{{S,L}}^{'}$ | 20 | $\dot {\omega }$ |
7 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) + 2\dot {\omega } + 2\dot {\omega }_{{S,L}}^{'}$ | 14 | $\left( {\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{{S,L}}^{'}} \right) - \dot {\omega }_{{S,L}}^{'}$ |
Классификация основной части вековых резонансов, действующих на движение ИСЗ, была впервые дана Куком (Cook, 1962), а аналитическая теория вековых спутниковых резонансов представлена в работах (Breiter, 2001a; 2001b).
Следует отметить, что характер изменения резонансных аргументов (1), (3) и (4) играет важную роль в оценке устойчивости резонанса (Murray, Dermott, 1999). Если резонансный аргумент либрирует, резонанс устойчив, если резонансный аргумент в процессе эволюции меняет изменение с либрационного характера на циркуляционный, резонанс неустойчив. В том случае, когда резонансный аргумент циркулирует на всем рассматриваемом интервале времени, считается, что резонанс отсутствует.
Действие вековых резонансов со скоростью движения возмущающего тела в процессе исследования динамической структуры рассматриваемой области орбитального пространства выявлено не было, поэтому мы не будем на них останавливаться.
ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ОБЛАСТИ РЕЗОНАНСА 1 : 2 СО СКОРОСТЬЮ ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ
Для общей оценки динамической структуры области орбитального резонанса 1 : 2 со скоростью вращения Земли был проведен обширный численный эксперимент. Принимались во внимание только гравитационные возмущения, определяемые влиянием несферичности гравитационного поля Земли, а также притяжением Луны и Солнца. Особенности динамики объектов рассматривались в орбитальном пространстве $\left\{ {a{{,}_{{}}}e,{\text{ }}i} \right\}$. Это сделано для того, чтобы выявить общие закономерности в динамической структуре орбитального пространства, не связанные с особенностями строения самого аппарата и условиями вывода его в точку стояния.
Вопросы совместного влияния гравитационных возмущений и светового давления рассмотрены в работе Томилова, Бордовицына, 2018), оценки влияния начальных значений параметров $\Omega ,{\text{ }}\omega $ на эволюцию орбит в области МЕО под действием вековых возмущений представлены в работе (Бордовицына и др., 2012).
В работе (Томилова и др., 2018) было показано, что область рассматриваемого орбитального резонанса ограничивается диапазоном больших полуосей 26550–26570 км, поэтому в настоящей работе был выполнен MEGNO-анализ области орбитального пространства, расположенного в указанном диапазоне больших полуосей и в диапазоне наклонений от 0° до 180° для почти круговых орбит с начальным эксцентриситетом ${{e}_{0}} = 0.01$. В работе (Томилова и др., 2018) рассматривался диапазон наклонений 50°–70°, охватывающий области размещения навигационных систем ГЛОНАСС и GPS.
На рис. 1 приведена MEGNO-карта данной области орбитального пространства. Модельные объекты выбирались с шагом 1 км по большой полуоси и 2° по наклонению. Здесь и во всех остальных рассматриваемых в данной работе численных экспериментах начальный эксцентриситет принимался равным 0.001. Орбитальная эволюция прослеживалась на интервале времени 100 лет. На графике приведены значения усредненного параметра MEGNO ${{\bar {Y}}_{\phi }}\left( t \right)$. Как известно (Cincotta и др., 2003), эволюция этого параметра во времени позволяет определить характер движения. Так, например, для квазипериодических (регулярных) орбит ${{\bar {Y}}_{\phi }}\left( t \right)$ осциллирует около 2. Причем для квазипериодических орбит ${{\bar {Y}}_{\phi }}\left( t \right) \to 2$, а для устойчивых орбит типа гармонического осциллятора ${{\bar {Y}}_{\phi }}\left( t \right) \to 0$.
Как показывают данные, приведенные на рис. 1, область очень неоднородна по степени хаотизации движения рассмотренных объектов. Источником возникновения хаотичности в движении околоземных объектов может являться наложение резонансов различных типов, поэтому структура всех действующих резонансов была исследована очень тщательно.
Обратимся к результатам исследования структуры резонансов, действующих на объекты, движущиеся в рассматриваемой области околоземного орбитального пространства. На рис. 2 показана локализация зон действия мультиплетов орбитального резонанса 1 : 2 со скоростью вращением Земли. В области околоэкваториальных наклонений орбит все пять компонент показывают либо неустойчивое действие резонанса, либо его отсутствие. В области больших наклонений компоненты с устойчивым и неустойчивым действием распределены неравномерно. Симметрии в распределении резонансов по наклонению между прямым и обратным движением не наблюдается.
На рис. 3 представлено распространение векового резонанса Лидова–Козаи в рассматриваемой области орбитального пространства. На рис. 4 показаны все устойчивые вековые резонансы, связанные с Луной, на рис. 5 – неустойчивые резонансы того же типа. На рис. 6 приведены все устойчивые вековые резонансы, связанные с Солнцем, действующие на объекты изучаемой области орбитального пространства, а на рис. 7 – все неустойчивые вековые резонансы, связанные с Солнцем.
На рис. 3 показаны полосы проявления резонанса Лидова–Козаи11 ${{\dot {\psi }}_{{L{\text{ - }}K}}} = \dot {\omega } \approx 0$ в динамике объектов рассматриваемой зоны околоземного орбитального пространства. Резонанс устойчив, неустойчивые островки очень малы.
Устойчивые вековые резонансы, связанные с Луной, покрывают рассматриваемую область орбитального пространства в диапазоне наклонений от 20° до 160° (рис. 4), а неустойчивые концентрируются в околоэкваториальной области (рис. 5). Вековые резонансы, связанные с Солнцем, концентрируются в области, ограниченной наклонениями от 40° до 140° (рис. 6 и 7).
Если объединить данные о распространенности резонансов, приведенные на рис. 2–7, то практически вся область орбитального резонанса 1 : 2 будет покрыта резонансами, причем с большим количеством наложений резонансов различных типов. Это не может не сказываться на орбитальной эволюции объектов.
ОСОБЕННОСТИ ОРБИТАЛЬНОЙ ЭВОЛЮЦИИ ОБЪЕКТОВ
Перейдем теперь к рассмотрению динамической эволюции объектов зоны орбитального резонанса 1 : 2 со скоростью вращения Земли. Рассмотрим движение около-экваториальных объектов, орбиты которых имеют малые наклонения. На рис. 8 показана динамическая эволюция объекта под действием только орбитального резонанса. А на рис. 9 орбитальная эволюция такого же типа объекта, но под влиянием как орбитального, так и вековых резонансов.
Следует отметить, что компоненты ${{\Phi }_{4}}$ и ${{\Phi }_{5}}$ мультиплета (1) циркулируют на всем рассматриваемом интервале времени и не оказывают влияния на исследуемые объекты, поэтому их эволюция не представлена на рис. 8 и 9.
И в том, и в другом случаях появление слабой хаотичности движения объясняется действием неустойчивых компонент орбитального резонанса.
Объект, орбитальная эволюция которого показана на рис. 10, имеет обратное движение и подвержен действию устойчивых вековых апсидально-нодальных резонансов: ${{\dot {\psi }}_{{6,S}}} = (\dot {\Omega } - \dot {\Omega }{{_{S}^{'}}_{{}}})$ – $ - \,\,2\dot {\omega } + 2\dot {\omega }_{S}^{'} \approx 0$, ${{\dot {\psi }}_{{{\text{8,}}S}}}$ = $(\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{S}^{'}) - 2\dot {\omega } - 2\dot {\omega }_{S}^{'} \approx 0,$ ${{\dot {\psi }}_{{12,S}}} = (\dot {\Omega } - \dot {\Omega }_{S}^{'}) - 2\dot {\omega } \approx 0$ и ${{\dot {\psi }}_{{12,L}}} = (\dot {\Omega } - \dot {\Omega }{{_{L}^{'}}_{{}}})$ – $ - \,\,2\dot {\omega } \approx 0.$ Этим объясняется непрерывный рост его эксцентриситета на всем рассматриваемом интервале времени. Хаотичность же возникает из-за действия неустойчивых, проходящих через нулевое значение компонент орбитального резонанса.
На рис. 11 приведена орбитальная эволюция объекта с обратным движением под действием мультиплета орбитального резонанса. Вековые резонансы в движении объекта отсутствуют. Объект показывает высокую хаотичность движения, поскольку три из пяти компонент мультиплета неустойчивы.
Интересно отметить, что анализ орбитальной эволюции всей совокупности модельных объектов рассматриваемой области на 100-летнем интервале времени показал отсутствие заметного проявления в динамике объектов эффекта Лидова–Козаи, связанного с перекачкой энергии между эксцентриситетом и наклонением.
Рассмотрим этот вопрос более подробно на примере одного из объектов, принадлежащих левой резонансной полосе на рис. 3. Орбитальная эволюция выбранного объекта в деталях представлена на рис. 12.
Начальные параметры объекта: большая полуось составляет 26 565 км, наклонение к экваториальной плоскости равно 62.8°, эксцентриситет равен 0.01, долготы восходящего узла и перицентра от узла равны 180°. На 100-летнем интервале времени (рис. 12а) движение устойчиво на всем интервале времени, хаотичность нулевая. Заметен рост эксцентриситета от начального значения 0.01 до 0.12 и связанный с этим рост амплитуды колебаний большой полуоси. Чтобы понять причину возрастания эксцентриситета, была рассмотрена эволюция объекта на 300-летнем интервале времени в системе координат, связанной с эклиптикой. Как известно, действие механизма Лидова–Козаи зависит от наклонения объекта к орбите возмущающего тела. Эклиптика совпадает с орбитой Солнца в геоцентрической системе координат и достаточно близка к орбите Луны. Кроме того, было рассмотрено влияние каждого из возмущающих факторов отдельно. Поскольку влияние сжатия вызывает только небольшие долгопериодические колебания в эксцентриситете и наклонении, мы его здесь не приводим. Источником возникновения эффекта Лидова–Козаи является, прежде всего, действие Луны (рис. 12б). Солнце также вносит свой вклад в действие этого механизма (рис. 12в). Интересно, что совместное действие Луны и Солнца приводит к уменьшению периода долгопериодических колебаний, но не меняет их амплитуду (рис. 12г). В то же время совместное влияние трех возмущающих факторов: двух внешних тел и сжатия Земли искажает картину влияния механизма Лидова–Козаи. Еще М.Л. Лидовым было замечено (Вашковьяк, Тесленко, 2016), что влияние сжатия способно нивелировать открытый им эффект. Интеграл Лидова‒Козаи сохраняется на всем 300-летнем интервале прогнозирования (рис. 12ж). Острый резонанс Лидова–Козаи и соответственно максимальное возрастание эксцентриситета появляется при прохождении долготы перицентра $\omega $ через значения $ \pm {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}$.
Механизм Лидова–Козаи, как было показано в (Александрова и др., 2016) начинает проявляться в динамике околоземных объектов, начиная с 20 000 км по большой полуоси, и вполне естественно, что он впервые проявляется в районе критических наклонений (рис. 3), где вековое влияние сжатия Земли минимально.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе представлены результаты численного эксперимента по построению динамической структуры орбитального пространства резонанса 1 : 2 со скоростью вращения Земли в диапазоне больших полуосей от 26 550 до 26 570 км и в диапазоне наклонений от 0° до 180°. Исследования показали, что в рассматриваемой области присутствуют все пять компонент мультиплета орбитального резонанса 1 : 2 со скоростью вращения Земли. Однако четвертая и пятая компоненты мультиплета устойчивы только в области обратного движения.
Кроме того, на объекты рассматриваемой области действует большое количество вековых апсидально-нодальных резонансов, включая резонанс Лидова–Козаи.
Области с высокой хаотизацией движения приходятся на зоны совместного влияния устойчивых и неустойчивых резонансов различных типов. Особенно выделяется по хаотичности зона между наклонениями 120°–160° в области обратного движения. На эту зону приходятся неустойчивые участки действия мультиплетов орбитального резонанса и большое количество устойчивых и неустойчивых вековых апсидально-нодальных резонансов.
Совместное действие устойчивых апсидально-нодальных резонансов приводит к значительному росту эксцентриситета.
Механизм Лидова–Козаи, связанный с характерной перекачкой энергии между эксцентриситетом и наклонением, в движении объектов этой области орбитального пространства заметно проявляется только на больших интервалах времени. Объекты, подверженные влиянию механизма Лидова–Козаи, при отсутствии других резонансов сохраняют устойчивое движение с незначительным ростом эксцентриситета на больших интервалах времени.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 18-32-00735 мол_а “Исследование особенностей динамики околоземных космических объектов в условиях наложения резонансов различных типов”.
Список литературы
Авдюшев В.А. Интегратор Гаусса–Эверхарта // Вычисл. технологии. 2010. Т. 15. № 4. С. 31–47.
Александрова А.Г., Бордовицына Т.В., Чувашов И.Н. Численное моделирование в задачах динамики околоземных объектов // Изв. вузов. Физика. 2017. Т. 60. С. 69–76.
Александрова А.Г., Бордовицына Т.В., Томилова И.В. Резонанс Лидова–Козаи и его влияние на орбитальную эволюцию околоземных космических объектов // М.Л. Лидов – яркое имя в космической науке. Сб. докл. / Ред. Вашковьяка М.А. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2016. С. 49–66.
Александрова А.Г., Бордовицына Т.В., Томилова И.В. Особенности совместного влияния вековых резонансов низких порядков и светового давления на движение околоземных космических объектов // Изв. вузов. Физика. 2018. Т. 61. № 4. С. 75–80.
Бордовицына Т.В., Авдюшев В.А. Теория движения искусственных спутников Земли. Аналитические и численные методы. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. 220 с.
Бордовицына Т.В., Александрова А.Г., Чувашов И.Н. Комплекс алгоритмов и программ для исследования хаотичности в динамике искусственных спутников Земли // Изв. вузов. Физика. 2010. Т. 53 № 8/2. С. 14–21.
Бордовицына Т.В., Томилова И.В., Чувашов И.Н. Влияние вековых резонансов на долговременную орбитальную эволюцию неуправляемых объектов спутниковых радионавигационных систем в области МЕО // Астрон. вестн. 2012. Т. 46. № 5. С. 356–368. (Bordovitsyna T.V., Tomilova I.V., Chuvashov I.N. The effect of secular resonances on the long-term orbital evolution of uncontrollable objects on satellite radio navigation systems in the MEO region // Sol. Syst. Res. 2012. V. 46. Is. 5. P. 329–340.)
Вашковьяк М.А., Тесленко Н.М. Михаил Львович Лидов – яркое имя в космической науке С. 9–38 // М.Л. Лидов – яркое имя в космической науке. Сб. докл. / Ред. Вашковьяк М.А. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2016. С. 9–38.
Кузнецов Э.Д., Захарова П.Е., Гламазда Д.В., Шагабутдинов А.И., Кудрявцев С.О. О влиянии светового давления на орбитальную эволюцию объектов, движущихся в окрестности резонансов низких порядков // Астрон. вестн. 2012. Т. 46. № 6. С. 480–488. (Kuznetsov E.D., Zakharova P.E., Glamazda D.V., Shagabutdinov A.I., Kudryavtsev S.O. Light pressure effect on the orbital evolution of objects moving in the neighborhood of low-order resonances // Sol. Syst. Res. 2012. V. 46. Is 6. P. 442–449.)
Лидов М.Л. Эволюция искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений от внешнего тела // Искусственные спутники Земли. 1961. Т. 8. С. 5–45.
Томилова И.В., Блинкова Е.В., Бордовицына Т.В. Особенности динамики объектов, движущихся в окрестности резонанса 1 : 3 с вращением Земли // Астрон. вестн. 2019. Т. 53. № 5. С. 1–16. (Tomilova I.V., Blinkova E.V. Bordovitsyna T.V. Features of the Dynamics of Objects Moving in the Neighborhood of the 1 : 3 Resonance with the Earth’s Rotation //Sol. Syst. Res. 2019. V. 53. № 5. Р. 1–15.)
Томилова И.В., Бордовицына Т.В. Особенности структуры резонансных возмущений неуправляемых объектов навигационных систем ГЛОНАСС и GPS. Влияние на орбитальную эволюцию // Изв. вузов. Физика. 2017. Т. 60. № 4. С. 119–125.
Томилова И.В., Бордовицына Т.В., Красавин Д.С. Динамическая структура орбитального пространства ГЛОНАСС и GPS. Проблема утилизации отработавших объектов // Астрон. вестн. 2018. Т. 52. № 5. С. 1–17. (Tomilova I.V., Bordovitsyna T.V., Krasavin D.S. Dynamical structure of the GLONASS and GPS orbital space: Problem of disposal of retired objects // Sol. Syst. Res. 2018. V. 52. Is. 5. P. 450–465.)
Allan R.R. Resonance effects due to the longitude dependence of the gravitational field of a rotating primary // Planet. and Space Sci. 1967a. V. 15. P. 53–76.
Allan R.R. Satellites resonance with the longitude dependent gravity. II. Effects involving the eccentricity // Planet. and Space Sci. 1967b. V. 15. P. 1829–1845.
Breiter S. On the coupling of lunisolar resonances for Earth satellite orbits // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2001a. V. 80. P. 1–20.
Breiter S. Lunisolar resonances revisited // Celest. Mech. Dyn. Astr. 2001b. V. 81. P. 81–91.
Chao C., Gick R. Long-term evolution of navigation satellite orbits // Adv. Space Res. 2004. V. 34. P. 1221–1226.
Cincotta P.M., Simó C. Simple tools to study global dynamics in non-axisymmetric galactic potentials – I // Astron. and Astrophys. Suppl. 2000. V. 147. P. 205–228.
Cincotta P.M., Girdano C.M., Simo C. Phase space structure of multi-dimensional systems by means of the mean exponential growth factor of nearby orbits // Physica D. 2003.V. 182. P. 151–178.
Cook G.E. Luni-Solar Perturbations of the Orbit of an Earth Satellite // Geophys. J. 1962. V. 6. № 3. P. 271–291.
Daquin J., Rosengren A.J., Alessi E.M., Deleflie F., Valsecchi G.B., Rossi A. The dynamical structure of the MEO region: long-term stability, chaos, and transport // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2016. V. 124(4). P. 335–336.
Kozai Y. Secular perturbations of asteroids with high inclination and eccentricity // Astron. J. 1962. V. 67. P. 591–598.
Murray C.D., Dermott S.F. Solar System Dynamics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. XIII+592 p.
Rosengren A.J., Alessi E.M., Rossi A., Valsecchi G.B. Chaos in navigation satellite orbits caused by the perturbed motion of the Moon // Mon. Notic. Roy. Astron. Soc. 2015. V. 449. P. 3522–3526.
Rossi A. Resonant dynamics of Medium Earth Orbits: space debris // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2008. V. 100. P. 267–286.
Takashi Ito, Katsuhito Ohtsuka. The Lidov–Kozai Oscillation and Hugo von Zeipel // Monogr. Environ. Earth Planets. 2019. V. 7. № 1. P. 1–113.
Valk S., Delsate N., Lemaitre A., Carletti T. Global dynamics of high area-to-mass ratios GEO space debris by means of the MEGNO indicator // Adv. Space Res. 2009. V. 43. P. 1509–1526.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Астрономический вестник