Астрономический вестник, 2022, T. 56, № 6, стр. 418-426

ВВЕДЕНИЕ

Харон (Charon) – спутник Плутона – был открыт в 1978 г. Джеймсом Кристи. Он входит в состав системы Плутон–Харон, где оба тела находятся в двойном спин-орбитальном резонансе. Вследствие резонанса, обращение вокруг общего центра масс и собственные спиновые вращения Плутона и Харона происходят с одним и тем же периодом $6.387{\text{ дней}}.$ По массе и размерам Харон превосходит карликовую планету Цереру. Много интересной информации о Плутоне и Хароне с 2015 г. дал космический аппарат NASA New Horizons (см., например, Nimmo и др., 2017; Stern и др., 2018). Установлено, в частности, что альбедо спутника почти в два раза меньше, чем у Плутона, а на экваторе Харона существует уникальная деталь ландшафта: обширный разлом ледяной оболочки (см. рис. 1). Этот разлом носит глобальный характер, и высота гор в некоторых его местах достигает $11\;{\text{км}}.$

Харон вращается вокруг Плутона по почти круговой орбите $\left( {e \approx 0.0002} \right)$ с большой полуосью 19571.4 км и имеет осесимметричную, почти сферическую фигуру со средним радиусом $R = 606\; \pm 0.5\;{\text{км}}.$ Сжатие фигуры Харона весьма мало и не превышает $\varepsilon < 0.05$ (Nimmo и др., 2017), угловая скорость его осевого вращения $\Omega = {\text{2}}{\text{.732627607}} \times {\text{1}}{{{\text{0}}}^{{ - 4}}}{\text{ }}{{{\text{с}}}^{{ - 1}}}.$ Масса Харона равна $M = \left( {{\text{1}}.{\text{586}} \pm 0.0{\text{15}}} \right) \times {\text{1}}{{0}^{{{\text{24}}}}}{\text{ г}}$ (Stern и др., 2018), а средняя плотность ${{\rho }_{{\text{m}}}} = 1.702{\text{ г/}}с{{{\text{м}}}^{3}}$ свидетельствует о том, что спутник состоит в основном изо льда и камня.

Внутреннее строение Харона представляет большой интерес и до сих пор обсуждается в литературе. Были предложены две гипотезы. По одной из них, тело Харона не дифференцировано на оболочки и состоит из квазиоднородной смеси мелких обломков камня и льда. Вторая гипотеза предполагает, что в ходе эволюции произошла дифференциация материала, и сейчас Харон состоит из каменного ядра и ледяной оболочки. Внутренний океан на Хароне, если он и был в раннюю эпоху, сейчас замерз (Charon: An ice machine in the ultimate deep freeze. Gemini Observatory. 2007).

До сих пор остается невыясненной причина, приведшая к появлению экваториального разлома на Хароне. В данной работе предложен механизм, который может объяснить эту загадку. Построена двухкомпонентная модель небесного тела, состоящая из сфероидального каменного ядра и ледяной оболочки. В разделе “Постановка проблемы и гравитационный потенциал неоднородной сфероидальной модели” выяснено, что для равновесия необходимо, чтобы внутренняя и внешняя поверхности оболочки были софокусными сфероидами; исходя из этого, найдены квадратичные гравитационные потенциалы обеих подсистем. В разделе “Эквипотенциальные поверхности и угловые скорости вращения равновесных подсистем”, в предположении того, что внешняя ($S$) и внутренняя ($S{\kern 1pt} {\text{'}}$) поверхности ледяной мантии должны быть софокусными и уровенными сфероидами, методами теории фигур равновесия найдены угловые скорости вращения обеих подсистем, которые они имели бы в состоянии относительного равновесия. Эти угловые скорости оказываются отличными друг от друга, т.к. вследствие большей плотности, ядро должно вращаться быстрее ледяной оболочки. Но в реальном небесном теле обе компоненты сцеплены молекулярным трением, поэтому конфигурация в целом вынуждена вращаться с одной угловой скоростью. В этих условиях, поверхности $S$ и $S{\kern 1pt} {\text{'}}$ одновременно не могут быть уровенными; в системе возникают небольшие отклонения от равновесия и, как следствие, дополнительные внутренние напряжения. Эти отклонения от равновесия приводят в действие механизм вековой эволюции ядра и оболочки, когда сфероидальное ядро вынуждено постепенно уменьшать свою угловую скорость и округляться. При округлении ядро начинает оказывать дополнительное давление изнутри на области льда в направлении оси вращения фигуры. Это давление растягивает ледяную оболочку в направлении полюсов, и на интервалах в миллиарды лет приводит к возникновению трещин и разрывов на экваторе фигуры. В разделах “Расчеты для модели Харона” и “Механизм вековой эволюции модели Харона” действие данного механизма поясняется на конкретных расчетах для Харона. В последнем разделе “Заключение” обсуждаются особенности предлагаемого метода и границы его применимости.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ И ГРАВИТАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ НЕОДНОРОДНОЙ СФЕРОИДАЛЬНОЙ МОДЕЛИ

Полагаем, что фигура двухслойной планеты (спутника) состоит из однородного сфероидального каменного ядра с плотностью ${{\rho }_{{core}}}$ и поверхностью $S{\kern 1pt} '$

на который наложен однородный слой льда плотностью ${{\rho }_{{sh}}},$имеющий форму сфероидальной оболочки с внешней поверхностью $S$и полуосями ${{a}_{1}} > {{a}_{3}}.$

Рассмотрим уравнение равновесия тела, вращающегося вокруг оси с угловой скоростью $\Omega $

где $p\left( x \right)$ есть внутреннее давление, а полный потенциал $\Phi \left( x \right)$ равен сумме гравитационного $\varphi \left( x \right)$ и центробежного потенциала

Из уравнения (3) следует, что для равновесия фигуры поверхности равного давления $p\left( x \right) = const$ и плотности $\rho \left( x \right) = const$ должны совпадать с уровенными поверхностями

Поскольку границы раздела плотности у нас эллипсоидальные (сжатый сфероид – частный случай трехосного эллипсоида), для равновесия модели гравитационный потенциал на внешней $S$ и внутренней $S{\kern 1pt} '$ поверхностях ледяной оболочки должен описываться квадратичной функцией координат. Это требование накладывает строгие ограничения на модель. Очевидно, оболочка не может быть обычным гомеоидом, поскольку внешний потенциал однородного эллипсоидального ядра в точках такого слоя (Кондратьев, 1982)

не является квадратичной функцией координат. В (6) эллипсоидальная координата $\lambda \left( x \right)$ есть наибольший (положительный) корень кубического уравнения

Как уже отмечалось, важным свойством рассматриваемой двухкомпонентной модели является то, что внешняя эллипсоидальная оболочка должна быть софокусна поверхности ядра. Следовательно, однородный внешний слой в равновесной модели должен быть фокалоидом. Это требование связано с особыми гравитационными свойствами однородных и неоднородных фокалоидов, которые ранее изучались в классических работах Maclaurin, Laplace и Hamy (см. Todhunter, 1973; Pizzetti, 1933), а в настоящее время в более общем плане рассматривались в монографиях (Кондратьев 1989; 2007).

Общий случай трехосных моделей, имеющих каменное ядро и ледяную оболочку на примере карликовой планеты Хаумеа ранее изучался в статье (Kondratyev, 2016). Здесь следует подчеркнуть, что физические механизмы вековой эволюции двухкомпонентных моделей трехосных эллипсоидов и двухосных сфероидов не только принципиально отличаются друг от друга, но и приводят к совершенно разным следствиям. Поэтому в данной работе мы специально рассмотрим именно тот случай, когда ядро и оболочка имеют ось симметрии и представляют собой софокусные сжатые сфероиды.

Напомним, что условие софокусности поверхностей (1) и (2) означает, что фокальные точки их меридиональных сечений совпадают:

где $\lambda $ – наибольший корень уравнения (7).

Прежде всего, надо найти потенциалы в указанной сфероидальной двухкомпонентной модели (потенциалы для трехосных фигур найдены в статье (Kondratyev, 2016)). Исходим из того, что потенциал в точках ${{x}_{i}}$ внешней поверхности фигуры $S$ можно представить суммой

Здесь ${{\varphi }_{{sh}}}\left( {{{\rho }_{{sh}}}} \right)$ есть вклад в искомый потенциал от оболочки; согласно обобщенной теореме о притяжении фокалоидов (Кондратьев, 2007, стр. 146), этот вклад равен где ${{\varphi }_{{core}}}\left( {{{\rho }_{{sh}}}} \right)$ есть внутренний потенциал однородного сжатого сфероида с плотностью ${{\rho }_{{sh}}}$ и поверхностью $S$а коэффициенты${{A}_{i}},$ как известно, выражаются через эксцентриситет меридионального сечения сфероида $e = \sqrt {1 - {{a_{3}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{a_{3}^{2}} {a_{1}^{2}}}} \right. \kern-0em} {a_{1}^{2}}}} $ и равны

Второй член в правой части (9) ${{\varphi }_{{core}}}\left( {{{\rho }_{{core}}}} \right)$ представляет собой потенциал на внешнюю точку сфероида с поверхностью $S{\kern 1pt} '$ и плотностью ${{\rho }_{{core}}}.$ По классической теореме Маклорена–Лапласа, потенциал ${{\varphi }_{{core}}}\left( {{{\rho }_{{core}}}} \right)$ можно выразить через уже найденный в (10) потенциал ${{\varphi }_{{sh}}}\left( {{{\rho }_{{sh}}}} \right)$:

Тогда, учитывая сказанное, потенциал (9) на внешней поверхности двухкомпонентной модели можно записать в виде

где вводится новая переменная – “средняя плотность” ${{\rho }_{m}}$,

Подчеркнем, что введение средней плотности (15) и позволяет в итоге представить потенциал (9) на внешней поверхности модели в виде квадратичной функции координат.

Далее найдем потенциал $\Phi {\kern 1pt} '(x)$ на внутренней поверхности $S{\kern 1pt} ',$ отделяющей каменное ядро от ледяной оболочки. Согласно теории фигур равновесия, этот потенциал также следует представить квадратичной функцией координат, и мы запишем его в виде суммы

Отметим, что формулы (9) и (16) отличаются друг от друга. Действительно, в (16) первый член $\varphi _{{sh}}^{'}\left( {{{\rho }_{{sh}}}} \right)$ представляет потенциал оболочки на ее нижней поверхности $S{\kern 1pt} '$, а второй член $\varphi _{{core}}^{'}\left( {{{\rho }_{{core}}}} \right)$ дает вклад в потенциал на поверхности $S{\kern 1pt} '$ от самого ядра

где коэффициенты суть

Коэффициенты $A_{i}^{'}$ в (18) те же самые, что и в (12), однако эксцентриситет поверхности ядра e' = $ = \sqrt {1 - \frac{{a_{3}^{{'2}}}}{{a_{1}^{{'2}}}}} $ будет уже другим. Заметим, что потенциал оболочки $\varphi _{{sh}}^{'}\left( {{{\rho }_{{sh}}}} \right)$ на внутренней поверхности $S{\kern 1pt} '$ можно представить как разность потенциалов двух однородных (одинаковой плотности ${{\rho }_{{sh}}}$) сфероидов с поверхностями $S$ и $S{\kern 1pt} '$

С учетом (17) и (19), формула (16) приводится к виду

После дополнительных преобразований и введения средневзвешенного коэффициента потенциала

формулу (20) для потенциала на поверхности ядра $S{\kern 1pt} '$ действительно можно записать в требуемом квадратичном виде

Для контроля заметим, что, с учетом тождеств для ${{A}_{i}}$ из (12) и $A_{i}^{'}$ из (18), должно выполняться следующее равенство

Для модели с неравенствами полуосей ядра $a_{1}^{'} > a_{3}^{'}$ должно выполняться также неравенство для коэффициентов

На практике, формулу (22) удобно записать, как и (14), в цилиндрических координатах

Конкретное значение $const$ здесь несущественно. То, что гравитационные потенциалы (14) и (25) на внешней и внутренней поверхностях оболочки являются квадратичными функциями координат, оказывается необходимым для построения равновесных фигур (см. Kondratyev, 2016; Pizzetti, 1933; Martinez и др., 1990).

ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И УГЛОВЫЕ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ РАВНОВЕСНЫХ ПОДСИСТЕМ

Выше уже подчеркивалось, что для равновесия вращающейся двухкомпонентной модели надо потребовать, чтобы ее внешняя поверхность $S$ и поверхность между ядром и мантией $S{\kern 1pt} '$ обе были уровенными (см. условие (5)). Рассмотрим следствия из этих условий равновесия.

Для случая внешней поверхности (2), подставляя в уравнение уровенной поверхности (5) выражение потенциала (14) и исключая $x_{3}^{2}$ с помощью формулы (2), получим

По смыслу, чтобы левая часть последнего равенства не зависела от координат, в (26) коэффициент при ${{r}^{2}}$ следует приравнять нулю. Это дает уравнение для квадрата нормированной угловой скорости на поверхности модели

Отметим, что построенная двухкомпонентная модель отличается от сфероида Маклорена тем, что квадрат угловой скорости $\frac{{{{\Omega }^{2}}}}{{2\pi G{{\rho }_{m}}}}$ нормируется в (27) на введенную выше среднюю плотность ${{\rho }_{m}}$ из (15).

Поступая аналогичным образом с формулами (25) и (1), в итоге находим, что условие уровенности полного потенциала (5) на внутренней границе оболочки $S{\kern 1pt} '$ выполняется, если

Формула (28) определяет угловую скорость вращения $\Omega {\kern 1pt} '$ каменного ядра в построенной двухкомпонентной модели. Коэффициенты ${{\bar {A}}_{i}}$ в формуле (28) даны в (21). Для проверки заметим, что в случае равенства ${{\rho }_{{core}}} = {{\rho }_{{sh}}}$ уравнение (28) действительно преобразуется в уравнение (27).

РАСЧЕТЫ ДЛЯ МОДЕЛИ ХАРОНА

Применим полученные выше формулы к построенной двухкомпонентной модели Харона. Напомним, что плотность каменного ядра, внешней ледяной оболочки и средняя плотность Харона соответственно равны

Выражение для средней плотности (15) с учетом условий софокусности (8) будем рассматривать как уравнение для неизвестной $x = {\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda {a_{1}^{2}}}} \right. \kern-0em} {a_{1}^{2}}}:$

Отметим, что величина $x = {\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda {a_{1}^{2}}}} \right. \kern-0em} {a_{1}^{2}}}$ характеризует толщину ледяной оболочки в модели. Связанный с этим вопрос о форме Харона требует обсуждения. Харон и Плутон находятся в поясе Койпера, и в настоящее время ошибки наблюдений не позволяют точно определить сплюснутость Харона $\varepsilon = 1 - \frac{{{{a}_{3}}}}{{{{a}_{1}}}}$. Известно лишь, что сплюснутость фигуры Харона весьма мала и составляет $\varepsilon < 0.05$ (см. раздел “Введение”). Учитывая малость сжатия $\varepsilon ,$ уравнение (30) для нормированного значения эллипсоидальной координаты $x$ представим в виде

В ситуации, когда прямые наблюдения не позволяют выявить сплюснутость поверхности Харона, для решения задачи применим здесь два метода.

МЕХАНИЗМ ВЕКОВОЙ ЭВОЛЮЦИИ МОДЕЛИ ХАРОНА

Выше (см. формулу (58)) было показано, что в состоянии равновесия угловая скорость вращения на внешней поверхности модели должна быть немного меньше равновесной угловой скорости ядра. Чтобы прояснить значение этого результата для рассматриваемой задачи, запишем (58) в виде:

Как видим, найденная поправка составляет заметную часть (почти 84%) от квадрата угловой скорости вращения равновесного ядра. Причиной указанного расхождения является то, что из-за трения между льдом и камнем обе поверхности $S$ и $S{\kern 1pt} {\text{'}}$ одновременно не могут быть уровенными. Как следствие, в данной двухкомпонентной модели появляются малые отклонения от равновесия.

Указанные отклонения от равновесия приводят к вековой эволюции формы каменного ядра и ледяной оболочки. Суть механизма вековой эволюции (см. также раздел “Введение”) заключается в следующем. Лед более пластичен, чем камень, поэтому внешняя граница Харона первой приходит в равновесие. Но процесс эволюции фигуры на этом не останавливается, потому что поверхность ядра еще не эквипотенциальна (как показано выше, для равновесия ядро должно вращаться чуть быстрее оболочки). Поэтому при адаптации оболочки к равновесию каменное ядро вынуждено вращаться вместе с ней медленнее, чем ему положено для равновесия. В этих условиях ядро неизбежно начнет округлять свою форму. Здесь начинается вторая фаза эволюции: ядро постепенно сферизуется, за счет чего в оболочке возникает дополнительное давление изнутри на области льда в направлении оси вращения фигуры. Когда это давление становится критическим, в ледяной оболочке на экваторе возникают трещины и разрывы.

Для иллюстрации действия механизма мы рассмотрели Харон, крупный спутник Плутона. Для него изменению квадрата угловой скорости, найденному в формуле (59), соответствует изменение оси $a_{3}^{'}$ у ядра (или толщины оболочки $\Delta {{h}_{3}},$ см. формулы (36) и (49))

поэтому относительное изменение толщины оболочки в направлении оси вращения составит $\frac{{\Delta a{\kern 1pt} '}}{R} = \frac{{\Delta {{h}_{3}}}}{R} \approx 2\% .$ Это заметная величина деформации каменного ядра и она приводит к появлению дополнительных напряжений в ледяной оболочке в направлении к полюсам Харона.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе построен механизм вековой эволюции каменно-ледяных тел, симметричных относительно оси вращения. Отмечалось уже, что общий случай трехосных моделей на примере карликовой планеты Хаумеа изучался ранее в статье (Kondratyev, 2016). Следует подчеркнуть, что физические механизмы вековой эволюции трехосных эллипсоидов и двухосных сфероидов принципиально отличаются друг от друга и приводят к совершенно разным следствиям.

Рассматриваемая здесь двухкомпонентная модель небесного тела состоит из сфероидальных каменного ядра и ледяной оболочки; для равновесия системы необходимо (но еще недостаточно!), чтобы внешняя $S$ и внутренняя $S{\kern 1pt} {\text{'}}$ поверхности раздела плотности были софокусными и уровенными сфероидами.

Применяя методы теории потенциала и теории фигур равновесия, были найдены квадратичные гравитационные потенциалы и угловые скорости вращения обеих подсистем модели. Было показано, что эти угловые скорости не равны друг другу, так как согласно теории фигур равновесия, ядро должно вращаться чуть быстрее мантии. Но из-за трения между льдом и камнем, обе компоненты в реальных небесных телах должны вращаться вместе с одной и той же скоростью. Установлено, что внешняя поверхность фигуры $S$ и граничная поверхность $S{\kern 1pt} {\text{'}}$ между каменным ядром и ледяной оболочкой одновременно не могут быть уровенными, вследствие чего возникают малые отклонения от равновесия и начинает действовать механизм релаксации формы каменного ядра. В ходе этой релаксации сфероидальное каменное ядро вынуждено уменьшать свою угловую скорость; при этом оно постепенно сферизуется и начинает оказывать дополнительное давление изнутри на области льда в направлении оси вращения. Это давление от округляющегося ядра растягивает ледяную оболочку в направлении полюсов, и когда (на интервалах в миллиарды лет) оно достигает критического значения, возникают трещины и разрывы на экваторе фигуры. В связи с этим следует также напомнить принципиально другой метод решения задачи о происхождении мощной экваториальной горной гряды на поверхности спутника Сатурна Япета (Кондратьев, 2018).

Для иллюстрации действия нового механизма мы рассмотрели Харон, крупный спутник Плутона, у которого, по данным миссии NASA New Horizons, действительно есть глобальный экваториальный разлом. Наш метод позволил найти размеры и форму каменного ядра и ледяной оболочки: при среднем радиусе Харона $R \approx 606\;км$ полуоси ядра равны $a_{1}^{'} \approx {\text{433 км;}}$ $a_{3}^{'} \approx {\text{416}}\;{\text{км,}}$ причем камень и лед составляют $62$ и $38{\text{\% }}$ от полной массы спутника, соответственно. Эти результаты уточняют высказанные ранее в литературе предположения для отношений масс ядра и оболочки у Харона (55% камня и 45% льда (±5%); Stern и др., 2018).

В итоге, разработанный метод позволил объяснить глобальный разлом оболочки на экваторе Харона и уточнить параметры строения этого небесного тела. Получены веские аргументы в пользу гипотезы дифференциального строения Харона.

Система Плутон–Харон является во многом уникальной. В ней сложились условия, при которых эволюция привела к двойному резонансу. Заметим, что у самого Плутона экваториальный разлом отсутствует. Это можно объяснить тем, что у Плутона, в отличие от Харона, между камнем и льдом осталась прослойка в виде океана воды. Так как жидкая прослойка нейтрализует эффект сферизации каменного ядра, то указанный механизм вековой эволюции ледяной мантии на самом Плутоне не работает.