Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 490, № 1, стр. 57-62

Решение задачи о притоке жидкости к несовершенной скважине с затопленным фильтром (т.е. осесимметричной задачи) в точной гидродинамической постановке связано с большими математическими трудностями (особенно для течений со свободной поверхностью) и до настоящего времени отсутствует [1–6] (здесь не рассматриваются многочисленные численные и приближенные решения). Поэтому в качестве первого приближения к решению этой проблемы были рассмотрены [1, 5–8] ее плоские аналоги – задачи о притоке жидкости к прямоугольной перемычке с экраном и к несовершенной прямолинейной галерее, которые дают определенное качественное представление о возможной зависимости фильтрационных характеристик от степени несовершенства скважины. В работе [9] приводится точное аналитическое решение задачи о движении грунтовых вод в безнапорном пласте к несовершенной галерее при наличии испарения со свободной поверхности. А также приближенное решение задачи в случае, когда область течения слева ограничивается некоторой эквипотенциалью, определяемой из решения. Показано, что картина течения вблизи непроницаемого экрана существенно зависит не только от несовершенства галереи, но и от наличия испарения, что сильно отражается на расходе галереи и ординате точки выхода кривой депрессии на непроницаемую стенку.

В представленной работе дается точное решение задачи о фильтрации в прямоугольной перемычке с экраном при наличии испарения со свободной поверхности грунтовых вод. В этом случае, как и в [9] (в отличие от [7, 8]), в области годографа скорости потока возникают не прямолинейные, а круговые многоугольники, что не позволяет воспользоваться классической формулой Кристоффеля–Шварца. Влияние испарения со свободной поверхности изучается с применением метода П.Я. Полубариновой-Кочиной [1–6]. С помощью разработанных для областей специального вида [10–12] способов конформного отображения круговых многоугольников [13] решается смешанная многопараметрическая краевая задача теории аналитических функций. Учет характерных особенностей рассматриваемого течения позволяет получить решение через элементарные функции, что делает их использование наиболее простым и удобным. Приведены результаты численных расчетов и дан гидродинамический анализ влияния всех физических параметров модели на фильтрационные характеристики. Полученные результаты решения плоской задачи дают по крайней мере некоторое качественное представление о зависимости параметров течения от степени несовершенства скважины (или трубчатого колодца).

1. На рис. 1 представлена прямоугольная перемычка с откосами A₀A₁ и D₀B на непроницаемом горизонтальном основании длины L. Высота воды в верхнем бьефе равна H, нижний бьеф с уровнем воды H₂, имеющий частично непроницаемую вертикальную стенку CD₀ (экран), примыкает к подошве пласта. Если рабочая часть перемычки CB (фильтр) ширины H₁ затоплена, т.е. H₂ > H₁, то обычный для плотин промежуток высачивания отсутствует [1]. Верхней границей области движения является свободная поверхность AD, выходящая на непроницаемый экран CD₀, с которой происходит равномерное испарение интенсивности ε (0 < ε < 1). Грунт считается однородным и изотропным, течение жидкости подчиняется закону Дарси с известным коэффициентом фильтрации κ = const.

Введем комплексный потенциал движения ω = φ + iψ, где потенциал скорости, функция тока и комплексная координата z = х + iy отнесены соответственно к κH и H, где H – напор в точке A. При указанном на рис. 1 выборе системы координат и совмещении плоскости сравнения напоров с плоскостью y = 0 на границе области фильтрации выполняются следующие краевые условия:

Задача состоит в определении положения свободной поверхности AD и нахождении ординаты H₀ точки выхода кривой депрессии на экран, а также фильтрационного расхода Q.

2. Для решения задачи используем метод П.Я. Полубариновой-Кочиной, который основан на применении аналитической теории линейных дифференциальных уравнений класса Фукса [1, 6, 14]. Введем вспомогательную каноническую переменную ζ и функции: z(ζ), конформно отображающую верхнюю полуплоскость ζ > 0 на область течения z при соответствии точек ζ_D = 0, ζ_E = e, ζ_A = 1, ${{\xi }_{{{{A}_{1}}}}}$ = a₁, ζ_B = b (a₁, b – неизвестные аффиксы точек A₁ и B в плоскости ζ), ζ_C = ∞, а также функции $\frac{{d\omega }}{{d\zeta }}$ и $\frac{{dz}}{{d\zeta }}$. Подчеркнем, что по сравнению с [9] в области течения z здесь появляется дополнительная граничная угловая особая точка A₁, что значительно осложняет решение.

Определяя характеристические показатели функций $\frac{{d\omega }}{{d\zeta }}$ и $\frac{{dz}}{{d\zeta }}$ около регулярных особых точек [1, 6, 14], найдем, что они являются линейными комбинациями двух ветвей следующей функции Римана [1, 6, 14]:

где $\nu \pi = 2{\text{arctg}}\sqrt {\varepsilon } $. Последнему символу Римана соответствует следующее линейное дифференциальное уравнение класса Фукса с четырьмя регулярными особыми точками:

Хорошо известно [1–6, 14], что при интегрировании уравнений подобного рода возникают трудности принципиального характера. Они обусловлены тем, что коэффициенты уравнения (3), помимо неопределенного аффикса e, содержат еще и дополнительный, так называемый акцессорный параметр λ, также неизвестный заранее, и до сих пор не существует какого-либо эффективного способа их фактического нахождения.

Обратимся к области комплексной скорости w, соответствующей граничным условиям (1), которая изображена на рис. 2. Эта область, представляющая собой круговой четырехугольник ABCDE с разрезом с вершиной в точке E (соответствующей точке перегиба кривой депрессии) и углом νπ при вершине A, принадлежит классу круговых многоугольников в полярных сетках и была исследована ранее [13]. Важно подчеркнуть, что подобные области, несмотря на свой частный вид, однако, весьма типичны и характерны для многих задач подземной гидромеханики: при фильтрации из каналов, оросителей и водоемов, в течениях пресных вод над покоящимися солеными водами, в задачах обтекания шпунта Жуковского при наличии соленых подпорных вод (см., например, [11–13, 15]).

Замена переменных ζ = th²t переводит верхнюю полуплоскость ζ в горизонтальную полуполосу Ret > 0, 0 < Imt < 0.5π параметрической плоскости t при соответствии точек t_A = ∞, t_D = 0, t_C = 0.5π, t_B = arcth$\sqrt b $ + 0.5πi,

а интегралы Y уравнения (3), которые построены по методике [13], преобразует к виду где C (C ≠ 1) – неизвестная подходящая константа.

Принимая во внимание соотношение (2) и учитывая, что w = $\frac{{d\omega }}{{d\zeta }}$, придем к искомым зависимостям

где М > 0 – масштабная постоянная моделирования.

Можно проверить, что функции (5) удовлетворяют граничным условиям (1), переформулированным в терминах функций $\frac{{d\omega }}{{dt}}$ и $\frac{{dz}}{{dt}}$ и, таким образом, являются параметрическим решением исходной краевой задачи. Запись представлений (5) для разных участков границы полуполосы с последующим интегрированием по всему контуру области параметрической переменной t приводит к замыканию области течения и, тем самым, служит контролем вычислений.

В результате получаем выражения для задаваемых величин: ширины L перемычки, уровней воды в верхнем H и нижнем H₂ бьефах и длины H₁ фильтра

искомых координат точек свободной поверхности ADи выражений для фильтрационного расхода Q и ординаты точки выхода свободной поверхности на экран

Для контроля расчетов служат другие выражения для величин Q, H₀ и L:

а также выражение непосредственно вытекающее из граничных условий (1).

В формулах (5)–(10) подынтегральные функции – выражения правых частей равенств (3) на соответствующих участках контура вспомогательной области t.

Предельные случаи:

1) при L → ∞, т.е. при слиянии точек A₁ и A, в плоскости t, т.е. при a₁ → 1 (arcth a₁ = ∞), перемычка вырождается в полубесконечный слева безнапорный пласт. Таким образом, получается точное решение о течении грунтовых вод к несовершенной галерее, исследованное ранее [9];

2) при ε → 0, т.е. при малых значениях интенсивности испарения, получаются результаты работ [7, 8].

3. Представления (5)–(10) содержат четыре неизвестные постоянные M, C, a₁ и b. Параметры a₁, b (1 < a₁ < b < ∞), C (C ≠ 1) определяются из уравнений (6) для задаваемых величин H₁, H₂ (H₁ ≤ H₂ < < H) и L, постоянная моделирования M при этом находится из второго уравнения (6), фиксирующего уровень H воды в верхнем бьефе перемычки. После определения неизвестных постоянных последовательно находятся фильтрационный расход Q и ордината H₀ точки выхода кривой депрессии на непроницаемый участок DC по формулам (8) и координаты точек свободной поверхности DA по формулам (7).

На рис. 1 изображена картина течения, рассчитанная при ε = 0,5, H = 3, L = 2, H₁ = 1.0, H₂ = 1.4 (базовый вариант [9]). Результаты расчетов влияния определяющих физических параметров ε, H, H₁, H₂ и L на величины Q и H₀ приведены в табл. 1, 2. На рис. 3 и 4 представлены зависимости расхода Q (кривые 1) и ординаты H₀ точки выхода кривой депрессии на экран (кривые 2) от параметров H₁ и H₂. Анализ расчетов данных таблиц и графиков позволяет сделать следующие выводы:

1) уменьшение интенсивности испарения ε и увеличение напора H сопутствуют увеличению расхода Q и ординаты H₀ точки выхода кривой депрессии на экран;

2) уменьшение заглубления экрана H₁ и увеличение уровня воды в нижнем бьефе H₂ сопровождаются уменьшением расхода Q и увеличением ординаты H₀;

3) с ростом ширины перемычки L расход Q и ордината H₀ точки выхода свободной поверхности на экран уменьшаются.

Из табл. 2 и рис. 3, 4 следует, что уменьшение параметров H₁ и H₂, соответственно, в 1.44 и 1.28 раза влечет изменение величины Q на 20% (при фиксировании H₁) и на 12% (при фиксировании H₂). Отмеченные закономерности приводят к заключению о том, что расход перемычки зависит от величины понижения уровня в несколько большей степени, чем от длины фильтра (или от несовершенства скважины или колодца).

Для базового варианта почти все зависимости величин Q и H₀ от параметров ε, H, H₁, H₂ и L близки к линейным.

Сравнение точных значений, полученных для базового варианта Q = 1.155 и H₀ = 1.776, с приближенными значениями Q = 1.141 и H₀ = 1.768 для базового варианта [9], где область течения слева ограничивалась эквипотенциалью, показывает, что относительная погрешность вычислений весьма мала и составляет всего 0.5 и 1.3% соответственно.

Сопоставление точного значения расхода Q = 1.16, полученного для базового варианта, с приближенным значением Q = 1.26, которое вытекает при применении обобщенной формулы И.А. Чарного [1, c. 267] для обычной прямоугольной перемычки (без экрана) при наличии испарения

приводит к погрешности 8.3%.

Для сравнения с данными H = 1, H₁ = 0.05, H₂ = 0.238, L = 4 работы [7] при отсутствии испарения, т.е. при ε = 0, для которых по приближенным формулам в полуобратной постановке получены значения Q = 0.118, H₀ = 0.29, рассмотрим вариант ε = 0.1, H = 1, H₁ = 0.05, H₂ = 0.238, L = 4, приводящий к точным значениям Q = 0.42, H₀ = = 0.75. Здесь относительные погрешности вычислений составляют 71 и 61% соответственно. Следовательно, как и в [9], испарение существенно влияет на картину течения.

4. Разработана методика построения точного аналитического решения задачи о движении в жидкости в прямоугольной перемычке с экраном при наличии испарения со свободной поверхности грунтовых вод. Исследование показывает, что схема фильтрации в прямоугольной перемычке с непроницаемым экраном, во-первых, весьма схожа с рассмотренной ранее [9] задачей о движении грунтовых вод к несовершенной галерее, причем одна из них является предельной по отношению к другой. Во-вторых, картина течения вблизи экрана существенно зависит не только от размера фильтра, но и от наличия испарения, что сильно отражается на величине расхода и ординате точки выхода кривой депрессии на экран. Полученные результаты дают некоторое представление (по крайней мере качественно) о возможной зависимости характеристик движения при рассмотрении задачи фильтрации уже к несовершенной скважине или трубчатому колодцу.