Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 491, № 1, стр. 71-74

Большое внимание в последние годы уделяется исследованию задач проектирования функциональных устройств, служащих для управления тепловыми полями в сплошных средах. В первых работах по решению указанных задач применялся метод оптических преобразований (ТО-метод) [1], перенесенный в теплообмен из электромагнетизма. Но нужно отметить, что полученные с помощью ТО-метода решения задач проектирования обладают существенным недостатком. Они описывают параметры сред, которые невозможно реализовать на практике [2, 3]. Поэтому для решения указанных задач проектирования исследователи стали разрабатывать другие подходы. Особую роль среди них играют оптимизационные методы, поскольку они позволяют получать максимально эффективные устройства, учитывающие практические ограничения (см. подробнее об этом в [4–8]).

Оптимизационный анализ применяется и в настоящем сообщении, посвященном разработке и анализу эффективного численного алгоритма решения задач проектирования тепловых концентраторов. Мы рассмотрим два сценария, математически описываемые задачей чистого концентрирования и задачей концентрирования-маскировки соответственно. На основе анализа вычислительных экспериментов мы продемонстрируем, что применение разработанного алгоритма, основанного на методе роя частиц (PSO) [9], позволяет проектировать концентраторы, обладающие наивысшей эффективностью в рассматриваемом классе устройств и простотой технической реализации.

Начнем с постановки прямой задачи теплопереноса, рассматриваемой в прямоугольнике D = = {(x, y): $ - {{x}_{0}} < x < {{x}_{0}}, - {{y}_{0}} < y < {{y}_{0}}\} $ (см. рис. 1). Будем предполагать, что фоновое поле T ^b создается двумя нагретыми до разных температур ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ пластинами $x = \mp {{x}_{0}}$, тогда как нижняя и верхняя граница теплоизолированы. Предположим также, что внутри D находится оболочка ($\Omega $, $k$), где $\Omega $ – кольцо $\left\{ {a < \left| {\mathbf{x}} \right| < b} \right\}$ с границами ${{\Gamma }_{i}}$ и ${{\Gamma }_{e}}$, а k – коэффициент теплопроводности неоднородной среды, заполняющей $\Omega $. Будем считать, что внутренность ${{\Omega }_{i}}{\text{:}}\;\left| {\mathbf{x}} \right| < a$ и внешность ${{\Omega }_{e}}{\text{:}}\;\left| {\mathbf{x}} \right| > b$ области $\Omega $ заполнены однородной средой с коэффициентом теплопроводности k_b.

В таком случае прямая задача теплопереноса состоит в нахождении тройки функций ${{T}_{i}}$ в ${{\Omega }_{i}}$, T в $\Omega $ и ${{T}_{e}}$ в ${{\Omega }_{e}}$, удовлетворяющих уравнениям

граничным условиям и условиям сопряжения на границах ${{\Gamma }_{i}}$ и ${{\Gamma }_{e}}$ оболочки $\Omega $, имеющим вид

Будем предполагать, что оболочка $\Omega $ симметрична относительно координатных осей и состоит из $4M$ секторов ${{\Omega }_{j}}$, заполненных однородными изотропными материалами, где $M$ – число секторов в первой четверти $\Omega {\text{*}}$. Тогда $k\left( {\mathbf{x}} \right)$ представима в виде

Здесь ${{\chi }_{j}}\left( {\mathbf{x}} \right)$ – характеристическая функция сектора ${{\Omega }_{j}}$ в $\Omega {\text{*}}$, а k_j – коэффициент теплопроводности среды, заполняющей ${{\Omega }_{j}}$, $j = 1,\;2,\; \ldots \;M$.

Напомним, что задача чистого концентрирования (в рамках первого сценария) заключается в нахождении параметров среды, заполняющей $\Omega $, из условия максимального концентрирования потока тепла в ${{\Omega }_{i}}$. Во втором сценарии также требуется, чтобы концентратор как можно меньше искажал поле ${{T}^{b}}$ в ${{\Omega }_{e}}$ [6]. Указанные задачи сводятся к нахождению чисел k_j путем решения экстремальных задач.

Чтобы их сформулировать, введем M-мерный вектор ${\mathbf{k}} = \left( {{{k}_{1}},{{k}_{2}},\; \ldots ,\;{{k}_{M}}} \right)$ и определим множество $K$ формулой

Здесь ${{k}_{{\min }}}$ и ${{k}_{{\max }}}$ – положительные константы.

Пусть $T[{\mathbf{k}}]$ – решение задачи (1)–(3), отвечающее функции (4). Введем функционалы

Mаксимум функционала ${{J}_{i}}\left( {\mathbf{k}} \right)$ на множестве K не превосходит 1. Поэтому ${{J}_{i}}\left( {\mathbf{k}} \right)$ имеет смысл нормализованной меры концентрационной эффективности оболочки $\left( {\Omega ,{\mathbf{k}}} \right)$, которая тем выше, чем ближе ${{J}_{i}}\left( {\mathbf{k}} \right)$ к единице. Точно также ${{J}_{e}}$ является мерой возмущения фонового поля T ^b в ${{\Omega }_{e}}$. Чем меньше ${{J}_{e}}\left( {\mathbf{k}} \right)$, тем выше внешний маскировочный эффект, создаваемый оболочкой $\left( {\Omega ,{\mathbf{k}}} \right)$ (см. [6]).

Задача концентрирования потока тепла в ${{\Omega }_{i}}$ сводится к задаче максимизации функционала ${{J}_{i}}\left( {\mathbf{k}} \right)$, эквивалентной задаче

Задача (7) направлена на проектирование устройства, обладающего наивысшей концентрационной эффективностью. Но ее решение ${{{\mathbf{k}}}^{{opt}}}$ не обязано обладать маскировочным эффектом. Поэтому мы также будем рассматривать более общую задачу

Для решения задач (7) и (8) будем использовать метод роя частиц [9] по схеме, предложенной в [6–8].

Как и в [4], мы выбрали значения ${{x}_{0}} = 4.5$ см, ${{y}_{0}} = 9$ см, a = 1 см, $b = 3.25$ см, ${{T}_{1}} = 321.25$ K, T₂ = = $283.15$ K и параметры

где k₀ = 1 Вт/(м ⋅ K). Эти параметры отвечают, соответственно, агаровой воде, оргстеклу (ПММА) и меди. В (9), наряду с k_b, ${{k}_{{\min }}}$ и ${{k}_{{\max }}}$, мы приводим также значение контраста ${{k}_{{\max }}}{\text{/}}{{k}_{{\min }}}$. Число управлений $M$ было четным и изменялось от 4 до 20.

Применение PSO для решения задачи (8) показало, что для всех значений M управления $k_{j}^{{opt}}$ принимают одно из значений ${{k}_{{\min }}}$ или ${{k}_{{\max }}}$, причем

Здесь $p \in \left[ {1,M} \right]$ – некоторый номер, зависящий от M. Из (10) следует, что спроектированная оболочка ($\Omega $, ${{{\mathbf{k}}}^{{opt}}}$) состоит из четырех глобальных секторов, изображенных при $M = 10$ и $p = 6$ на рис. 2. Вычисленные значения $p$, ${{J}_{i}}({{{\mathbf{k}}}^{{opt}}})$ и ${{J}_{e}}({{{\mathbf{k}}}^{{opt}}})$ приведены в табл. 1.

Кроме того, в табл. 1 приведены значения величины

используемой в [5, 10, 11] в качестве меры концентрационной эффективности проектируемых концентраторов. Отметим, что в нашей работе в качестве меры эффективности оболочки $\left( {\Omega ,{\mathbf{k}}} \right)$ используется значение ${{J}_{i}}\left( {\mathbf{k}} \right)$, определенное в (6). В общем случае величины CE и ${{J}_{i}}\left( {\mathbf{k}} \right)$ не совпадают, поскольку СЕ лишь приближенно описывает концентрационные свойства оболочки $\left( {\Omega ,{\mathbf{k}}} \right)$.

Спроектированные нами оптимальные концентраторы обладают высокими значениями CE. Действительно, ${\text{CE}} = 0.997$ для всех значений M, что существенно превышает значения CE, полученные в [5, 10, 11].

Второй тест соответствует параметрам

где ${{k}_{b}} = 16{{k}_{0}}$ и ${{k}_{{\min }}} = 0.03{{k}_{0}}$ описывают теплопроводности нержавеющей стали и полистирола. Значения $p$, ${{J}_{i}}({{{\mathbf{k}}}^{{opt}}})$, ${{J}_{e}}({{{\mathbf{k}}}^{{opt}}})$ и CE, полученные для этих параметров, представлены в табл. 2.

Сравнение табл. 1 и 2 показывает, что увеличение контраста $\frac{{{{k}_{{\max }}}}}{{{{k}_{{\min }}}}}$ (с 1832 до 13 433) и ${{k}_{b}}$ существенно увеличивает эффективность проектируемых концентраторов. Однако их маскировочная эффективность, описываемая значением ${{J}_{e}}({{{\mathbf{k}}}^{{opt}}}) \approx 10{}^{{ - 3}}$, не высока.

Обратимся теперь к общей задаче (8) и обсудим результаты, полученные при ее численном решении для значения $\alpha = {{10}^{3}}$ при условии, что ${{k}_{{\min }}}{{k}_{{\max }}} \leqslant k_{b}^{2}$. В этом случае, в отличие от (10), для решения задачи (8) выполняются соотношения

отвечающие технологии чередующихся материалов [8]. Значения величин ${{J}_{i}}({{{\mathbf{k}}}^{{opt}}})$, ${{J}_{e}}({{{\mathbf{k}}}^{{opt}}})$, CE и структура концентратора для параметров (11) представлены в табл. 3 и на рис. 3. Из табл. 3 видно, что с ростом M значения ${{J}_{i}}({{{\mathbf{k}}}^{{opt}}})$ увеличиваются, а значения ${{J}_{e}}({{{\mathbf{k}}}^{{opt}}})$ уменьшаются. Таким образом, увеличение числа M приводит к повышению как концентрационной, так и маскировочной эффективностей оболочек. Соответствующее поле температуры показано на рис. 4.

Проведенный анализ позволяет заключить, что для построения высокоэффективных концентраторов достаточно использовать лишь два материала с высококонтрастными проводимостями k_min или k_max. Полученные результаты могут найти широкое применение при создании легко реализуемых концентраторов потоков тепла нового типа, осуществляющих накопление тепловой энергии с высокой эффективностью.