1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
  4. T. 492, № 1, 2020

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 492, № 1, стр. 58-62

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПРИТЯЖЕНИЯ АСТЕРОИДА (433) ЭРОС С ТОЧНОСТЬЮ ДО ЧЛЕНОВ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

А. А. Буров 1, 2, *, В. И. Никонов 1, 2, **

1 Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Федерального исследовательского центра “Информатика и управление” Российской академии наук
Москва, Россия

2 Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”
Москва, Россия

* E-mail: jtm@narod.ru
** E-mail: nikon_v@list.ru

Поступила в редакцию 29.11.2019
После доработки 24.03.2020
Принята к публикации 25.03.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Описывается способ вычисления компонент тензоров Эйлера–Пуансо вплоть до четвертого порядка, присутствующих в разложении гравитационного потенциала. Результаты иллюстрируются на примере астероида (433) Эрос.

Ключевые слова: приближение гравитационного потенциала, астероид (433) Эрос, тензор Эйлера–Пуансо

1. ГРАВИТАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ

Пусть $\mathcal{B}$ – гравитирующее тело, $O{{X}_{1}}{{X}_{2}}{{X}_{3}}$ – связанная с ним ортогональная система координат, G – гравитационная постоянная, $\rho ({\mathbf{x}})$ – плотность тела в точке X: $\overrightarrow {OX} = {\mathbf{x}} = {{({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})}^{T}}$. Как известно (см., например, [1–5]), потенциал силы притяжения в точке P: $\overrightarrow {OP} = {\mathbf{r}} = {{({{r}_{1}},{{r}_{2}},{{r}_{3}})}^{T}}$ и напряженность гравитационного поля в этой точке определяются как

(1)
$\begin{gathered} U({\mathbf{r}}) = - G\int\limits_\mathcal{B} \,\frac{{\rho ({\mathbf{x}})\,{\text{d}}{\mathbf{x}}}}{r}, \\ r = {{({\mathbf{r}} - {\mathbf{x}},{\mathbf{r}} - {\mathbf{x}})}^{{1/2}}},\quad {\mathbf{g}}({\mathbf{r}}) = - \frac{{\partial U({\mathbf{r}})}}{{\partial {\mathbf{r}}}}. \\ \end{gathered} $

2. МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЬЮТОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА

Для описания движения вдали от гравитирующего тела $\mathcal{B}$ применяют разложения подынтегрального выражения в (1) в ряд по степеням параметра, определяющего малость отношения размеров тела к расстоянию до изучаемой точки. Пусть

$\varepsilon = \varepsilon ({\mathbf{r}},{\mathbf{x}}) = \frac{{ - 2({\mathbf{r}},{\mathbf{x}}) + ({\mathbf{x}},{\mathbf{x}})}}{{{{r}^{2}}}}.$

Разложение подынтегрального выражения в (1) в ряд по степеням этого параметра имеет вид

$\begin{gathered} U(P) = - \frac{G}{r}\int\limits_\mathcal{B} \,\left( {1 - \frac{1}{2}\varepsilon + \frac{3}{8}{{\varepsilon }^{2}} - \frac{5}{{16}}{{\varepsilon }^{3}} + } \right. \\ \, + \left. {\frac{{35}}{{128}}{{\varepsilon }^{4}} + ...} \right)\rho ({\mathbf{x}})\,{\text{d}}{\mathbf{x}} \equiv - \frac{G}{r}\sum\limits_{i = 0}^\infty \,\frac{{{{C}_{i}}}}{{{{r}^{i}}}}, \\ \end{gathered} $
где Ci – гармонические многочлены (см., например, [2, с. 213]).

Обозначим

${{J}_{{{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{3}}}}} = \int\limits_\mathcal{B} \,\rho ({\mathbf{x}})x_{1}^{{{{k}_{1}}}}x_{2}^{{{{k}_{2}}}}x_{3}^{{{{k}_{3}}}}{\text{d}}{\mathbf{x}}.$

Тогда слагаемые Ck примут вид

${{C}_{0}} = {{J}_{{000}}},\quad {{C}_{1}} = \frac{1}{r}({{J}_{{100}}}{{r}_{1}} + {{J}_{{010}}}{{r}_{2}} + {{J}_{{001}}}{{r}_{3}}),$
$\begin{gathered} {{C}_{2}} = - \frac{1}{2}({{J}_{{200}}} + {{J}_{{020}}} + {{J}_{{002}}}) + \frac{3}{{{{r}^{2}}}}\left( {{{J}_{{110}}}{{r}_{1}}{{r}_{2}} + } \right. \\ \, + \left. {{{J}_{{101}}}{{r}_{1}}{{r}_{3}} + {{J}_{{011}}}{{r}_{2}}{{r}_{3}}} \right) + \frac{3}{{2{{r}^{2}}}}\left( {{{J}_{{200}}}r_{1}^{2} + {{J}_{{020}}}r_{2}^{2} + {{J}_{{002}}}r_{3}^{2}} \right), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{C}_{3}} = - \frac{3}{{2r}}\left[ {({{J}_{{300}}} + {{J}_{{120}}} + {{J}_{{102}}}){{r}_{1}} + } \right. \\ \, + \left. {({{J}_{{210}}} + {{J}_{{030}}} + {{J}_{{012}}}){{r}_{2}} + ({{J}_{{201}}} + {{J}_{{021}}} + {{J}_{{003}}}){{r}_{3}}} \right] + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, + \frac{5}{{2{{r}^{3}}}}[{{J}_{{300}}}r_{1}^{3} + {{J}_{{030}}}r_{2}^{3} + {{J}_{{003}}}r_{3}^{3} + 6{{J}_{{111}}}{{r}_{1}}{{r}_{2}}{{r}_{3}} + \\ \, + 3({{J}_{{210}}}r_{1}^{2}{{r}_{2}} + {{J}_{{201}}}r_{1}^{2}{{r}_{3}} + {{J}_{{120}}}{{r}_{1}}r_{2}^{2} + {{J}_{{102}}}{{r}_{1}}r_{3}^{2} + \\ \, + {{J}_{{021}}}r_{2}^{2}{{r}_{3}} + {{J}_{{012}}}{{r}_{2}}r_{3}^{2})], \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{C}_{4}} = \frac{3}{8}\left[ {{{J}_{{400}}} + {{J}_{{040}}} + {{J}_{{004}}} + 2({{J}_{{220}}} + {{J}_{{202}}} + {{J}_{{022}}})} \right] - \\ \, - \frac{{15}}{{4{{r}^{2}}}}[({{J}_{{400}}} + {{J}_{{220}}} + {{J}_{{202}}})r_{1}^{2} + \\ \, + ({{J}_{{040}}} + {{J}_{{220}}} + {{J}_{{022}}})r_{2}^{2} + ({{J}_{{004}}} + {{J}_{{202}}} + {{J}_{{022}}})r_{3}^{2} + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, + 2{{\left( {({{J}_{{310}}} + {{J}_{{112}}} + {{J}_{{130}}}){{r}_{1}}{{r}_{2}} + ({{J}_{{301}}} + {{J}_{{121}}} + {{J}_{{103}}}){{r}_{1}}r} \right.}_{3}} + \\ \left. { + \,({{J}_{{211}}} + {{J}_{{031}}} + {{J}_{{013}}}){{r}_{2}}{{r}_{3}}} \right)] + \frac{{35}}{{16{{r}^{4}}}}[{{J}_{{400}}}r_{1}^{4} + {{J}_{{040}}}r_{2}^{4} + \\ \, + {{J}_{{004}}}r_{3}^{4} + 12({{J}_{{211}}}r_{1}^{2}{{r}_{2}}{{r}_{3}} + {{J}_{{121}}}{{r}_{1}}r_{2}^{2}{{r}_{3}} + {{J}_{{112}}}{{r}_{1}}{{r}_{2}}r_{3}^{2}) + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, + 4({{J}_{{130}}}{{r}_{1}}r_{2}^{3} + {{J}_{{103}}}{{r}_{1}}r_{3}^{3} + {{J}_{{301}}}r_{1}^{3}{{r}_{3}} + {{J}_{{310}}}r_{1}^{3}{{r}_{2}} + \\ \, + {{J}_{{031}}}r_{2}^{3}{{r}_{3}} + {{J}_{{013}}}r_{3}^{3}{{r}_{2}}) + 6({{J}_{{220}}}r_{1}^{2}r_{2}^{2} + \\ \, + {{J}_{{202}}}r_{1}^{2}r_{3}^{2} + {{J}_{{022}}}r_{2}^{2}r_{3}^{2})]. \\ \end{gathered} $

3. ПОРЯДОК ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ${{J}_{{{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{3}}}}}$

Вычисление или по крайней мере оценка коэффициентов ${{J}_{{{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{3}}}}}$ в разложении потенциала осложняется тем, что, как правило, распределение плотности внутри тела неизвестно. В дальнейшем плотность тела $\rho $ предполагается постоянной. Кроме того, известно лишь приближение поверхности тела $\mathcal{B}$ триангуляционной сеткой, вычисленной на основании результатов фотометрии. Поэтому в дальнейшем под телом будет пониматься часть пространства, ограниченная такой триангуляционной сеткой, а под границей такого тела $\partial{ \mathcal{B}}$ – задаваемая такой сеткой поверхность многогранника. Таким образом, тело $\mathcal{B}$ можно рассматривать как совокупность тетраэдров с общей вершиной в точке O, пересекающихся в случае выпуклого тела разве что по своим границам.

Предлагается следующая последовательность действий:

1) вычисление коэффициента J000, задающего массу ${{m}_{\mathcal{B}}} = {{{\mathbf{J}}}_{0}}$ тела $\mathcal{B}$;

2) вычисление коэффициентов J100, J010, J001 определяющих центр масс тела $\mathcal{B}$ – точки Z:

$\overrightarrow {OZ} = {\mathbf{z}} = {{({{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}})}^{T}} = m_{\mathcal{B}}^{{ - 1}}{{({{J}_{{100}}},{{J}_{{010}}},{{J}_{{001}}})}^{T}} = m_{\mathcal{B}}^{{ - 1}}{{{\mathbf{J}}}_{1}};$

3) переход от системы координат $O{{X}_{1}}{{X}_{2}}{{X}_{3}}$ к соосной системе координат $Z{{X}_{1}}{{X}_{2}}{{X}_{3}}$. Заметим, что C1 = 0 в этой и вводимой ниже системе координат $Z{{\xi }_{1}}{{\xi }_{2}}{{\xi }_{3}}$;

4) вычисление компонент ${{J}_{{200}}}$, ${{J}_{{020}}}$, ${{J}_{{002}}}$, ${{J}_{{110}}}$, ${{J}_{{011}}}$, ${{J}_{{101}}}$ тензора Эйлера – Пуансо второго порядка:

${{{\mathbf{J}}}_{2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{J}_{{200}}}}&{{{J}_{{110}}}}&{{{J}_{{101}}}} \\ {{{J}_{{110}}}}&{{{J}_{{020}}}}&{{{J}_{{011}}}} \\ {{{J}_{{101}}}}&{{{J}_{{011}}}}&{{{J}_{{002}}}} \end{array}} \right),$
а также компонент центрального тензора инерции ${\mathbf{I}} = {\text{Tr}}({{{\mathbf{J}}}_{2}}){\mathbf{E}} - {{{\mathbf{J}}}_{2}};$

5) вычисление единичных собственных векторов ${{{\mathbf{e}}}_{1}},$ ${{{\mathbf{e}}}_{2}},$ ${{{\mathbf{e}}}_{3}}$ и собственных значений ${{I}_{1}},$ ${{I}_{2}},$ ${{I}_{3}}$ – главных центральных моментов инерции – тензора I;

6) переход в систему $Z{{\xi }_{1}}{{\xi }_{2}}{{\xi }_{3}}$ с осями, направленными вдоль векторов ${{{\mathbf{e}}}_{1}},$ ${{{\mathbf{e}}}_{2}},$ ${{{\mathbf{e}}}_{3}}$;

7) вычисление компонент тензоров Эйлера–Пуансо третьего и четвертого рангов ${{J}_{{{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{3}}}}},$ ${{k}_{1}} + {{k}_{2}}$ + + k3 = 3 и ${{k}_{1}} + {{k}_{2}} + {{k}_{3}} = 4$.

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ${{J}_{{{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{3}}}}}$

Пусть триангуляционная сетка $\mathcal{B}$ определяется наборами вершин $\mathcal{V}$ и граней $\mathcal{F}$. Обозначим Af, ${{B}_{f}}$ и Cf вершины произвольной грани $f \in \mathcal{F}$. Тогда ${{\overrightarrow {OA} }_{f}} = {{{\mathbf{a}}}_{f}}$, ${{\overrightarrow {OB} }_{f}} = {{{\mathbf{b}}}_{f}}$ и ${{\overrightarrow {OC} }_{f}} = {{{\mathbf{c}}}_{f}}$ – их радиус-векторы; nf  – внешняя нормаль к этой грани (рис. 1). Будем считать, что нумерация вершин грани введена таким образом, что переход ${{A}_{f}} \to $ ${{B}_{f}} \to $ ${{C}_{f}} \to $ ${{A}_{f}}$ из конца нормали nf “виден” против часовой стрелки.

Рис. 1.

При вычислении коэффициентов ${{J}_{{{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{3}}}}}$ формула Гаусса–Остроградского позволяет перейти от интегралов по объему к интегралам по поверхности (см., например, [6, 7]). Искомые интегралы равны сумме интегралов по всем граням из $\mathcal{F}$. Вклад в них суммы интегралов по смежным граням двух соседних тетраэдров с общей вершиной в точке O равен нулю. Тогда для любых неотрицательных целых чисел ${{k}_{1}}$, ${{k}_{2}}$, ${{k}_{3}}$

(2)
$\begin{gathered} \int\limits_{{{V}_{B}}} \,x_{1}^{{{{k}_{1}}}}x_{2}^{{{{k}_{2}}}}x_{3}^{{{{k}_{3}}}}{\text{d}}{{x}_{1}}{\text{d}}{{x}_{2}}{\text{d}}{{x}_{3}} = \\ \, = \sum\limits_{f \in \mathcal{F}} \,\int\limits_{{{S}_{f}}} \,\frac{{x_{1}^{{{{k}_{1}}}}x_{2}^{{{{k}_{2}}}}x_{3}^{{{{k}_{3}}}}}}{{{{k}_{1}} + {{k}_{2}} + {{k}_{3}} + 3}}({\mathbf{x}},{{{\mathbf{n}}}_{f}}){\text{d}}s. \\ \end{gathered} $

Входящее множителем в подынтегральные выражения скалярное произведение имеет вид

$\begin{gathered} ({\mathbf{x}},{{{\mathbf{n}}}_{f}}) = ({{x}_{1}}{{{\mathbf{a}}}_{f}} + {{x}_{2}}{{{\mathbf{b}}}_{f}} + {{x}_{3}}{{{\mathbf{c}}}_{f}},{{{\mathbf{n}}}_{f}}) = \\ = ({{x}_{1}} + {{x}_{2}} + {{x}_{3}}){{h}_{f}} = {{h}_{f}}, \\ \end{gathered} $
поскольку конец вектора ${\mathbf{x}}$ лежит в плоскости грани f. Для вычисления интегралов (2) на грани f выбираются безразмерные координаты $u$ и $v$:

$\begin{gathered} {\mathbf{x}} = {{{\mathbf{a}}}_{f}} + u{{{\mathbf{u}}}_{f}} + v{{{\mathbf{v}}}_{f}} \\ ({{{\mathbf{u}}}_{f}} = {{{\mathbf{b}}}_{f}} - {{{\mathbf{a}}}_{f}},{{{\mathbf{v}}}_{f}} = {{{\mathbf{c}}}_{f}} - {{{\mathbf{a}}}_{f}}). \\ \end{gathered} $

В них элемент площади выражается как ds = = ${\text{|}}{{{\mathbf{u}}}_{f}} \times {{{\mathbf{v}}}_{f}}{\text{|d}}u{\text{d}}v$ и, кроме того,

(3)
$\int\limits_0^1 \,\int\limits_0^{1 - v} \,{{u}^{a}}{{v}^{b}}{\text{d}}u{\text{d}}v = \frac{{a!b!}}{{(a + b + 2)!}},\quad a,b \in \{ 1,2,3, \ldots \} .$

В силу формулы для объема тетраэдра Vf = = $\frac{{({{{\mathbf{a}}}_{f}},{{{\mathbf{b}}}_{f}} \times {{{\mathbf{c}}}_{f}})}}{6}$ и определения центра масс

$\begin{gathered} {{{\mathbf{J}}}_{0}} = \rho {{V}_{\mathcal{B}}},\quad {{V}_{\mathcal{B}}} = \sum\limits_{f \in \mathcal{F}} \,{{V}_{f}}, \\ {{{\mathbf{J}}}_{1}} = \rho \sum\limits_{f \in \mathcal{F}} \,{{V}_{f}}{{{\mathbf{z}}}_{f}} = {{m}_{\mathcal{B}}}\overrightarrow {OZ} \\ \left( {\overrightarrow {O{{Z}_{f}}} = {{{\mathbf{z}}}_{f}} = \frac{1}{4}({{{\mathbf{a}}}_{f}} + {{{\mathbf{b}}}_{f}} + {{{\mathbf{c}}}_{f}})} \right). \\ \end{gathered} $

Аналогично, после преобразований с учетом (3) и обозначения ${{\sigma }_{f}} = {{h}_{f}}{\text{|}}{{{\mathbf{u}}}_{f}} \times {{{\mathbf{v}}}_{f}}{\text{|}}$ имеем

$\begin{gathered} {{{\mathbf{J}}}_{2}} = \frac{\rho }{{120}}\sum\limits_{f \in \mathcal{F}} \,{{\sigma }_{f}}\left[ {{{{\mathbf{a}}}_{f}} \otimes {{{\mathbf{a}}}_{f}} + {{{\mathbf{b}}}_{f}} \otimes {{{\mathbf{b}}}_{f}} + } \right. \\ \, + \left. {{{{\mathbf{c}}}_{f}} \otimes {{{\mathbf{c}}}_{f}} + 16{{{\mathbf{z}}}_{f}} \otimes {{{\mathbf{z}}}_{f}}} \right], \\ \end{gathered} $
где $ \otimes $ обозначает диадное произведение векторов (см., например, [8]).

Аналитические выражения для компонент тензоров Эйлера–Пуансо третьего и четвертого ранга ${{{\mathbf{J}}}_{3}}$ и ${{{\mathbf{J}}}_{4}}$ даже после преобразований остаются весьма громоздкими, см., например,

${{J}_{{300}}} = \frac{\rho }{{120}}\sum\limits_{f \in \mathcal{F}} \,{{\sigma }_{f}}{{[{{a}_{1}}{{b}_{1}}{{c}_{1}} + 4(a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}){{z}_{1}}]}_{f}},$
$\begin{gathered} {{J}_{{210}}} = \frac{\rho }{{360}}\sum\limits_{f \in \mathcal{F}} \,{{\sigma }_{f}}[4(a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}){{z}_{2}} + \\ \mathop {\, + \left. {8({{a}_{1}}{{a}_{2}} + {{b}_{1}}{{b}_{2}} + {{c}_{1}}{{c}_{2}}){{z}_{1}} + {{a}_{1}}{{b}_{1}}{{c}_{2}} + {{a}_{1}}{{b}_{2}}{{c}_{1}} + {{a}_{2}}{{b}_{1}}{{c}_{1}}} \right]}\nolimits_f , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{J}_{{111}}} = \frac{\rho }{{720}}\sum\limits_{f \in \mathcal{F}} \,{{\sigma }_{f}}\left[ {{{a}_{1}}({{b}_{2}}{{c}_{3}} + {{b}_{3}}{{c}_{2}}) + {{a}_{2}}({{b}_{1}}{{c}_{3}} + {{b}_{3}}{{c}_{1}})} \right. + \\ \, + {{a}_{3}}({{b}_{1}}{{c}_{2}} + {{b}_{2}}{{c}_{1}}) + 8\left( {({{a}_{1}}{{a}_{2}} + {{b}_{1}}{{b}_{2}} + {{c}_{1}}{{c}_{2}}){{z}_{3}} + } \right. \\ \mathop {\, + \left. {({{a}_{3}}{{a}_{1}} + {{b}_{3}}{{b}_{1}} + {{c}_{3}}{{c}_{1}}){{z}_{2}} + ({{a}_{2}}{{a}_{3}} + {{b}_{2}}{{b}_{3}} + {{c}_{2}}{{c}_{3}}){{z}_{1}}} \right)]}\nolimits_f , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{J}_{{400}}} = \frac{\rho }{{210}}\sum\limits_{f \in \mathcal{F}} \,{{\sigma }_{f}}[4(a_{1}^{3} + b_{1}^{3} + c_{1}^{3} + {{a}_{1}}{{b}_{1}}{{c}_{1}}){{z}_{1}} + \\ \, + a_{1}^{2}b_{1}^{2} + b_{1}^{2}c_{1}^{2} + c_{1}^{2}a_{1}^{2}{{]}_{f}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{J}_{{310}}} = \frac{\rho }{{840}}\sum\limits_{f \in \mathcal{F}} \,{{\sigma }_{f}} \cdot \left[ {256z_{1}^{3}{{z}_{2}}\;\mathop + \limits_{_{{_{{}}}}}^{^{{}}} } \right. \\ {{\left. {\, + \sum\limits_{(a,b,c)} \,{{a}_{2}}({{a}_{1}}(3a_{1}^{2} - {{{({{b}_{1}} + {{c}_{1}})}}^{2}}) - 8{{b}_{1}}{{c}_{1}}{{z}_{1}})} \right]}_{f}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{J}_{{220}}} = \frac{\rho }{{1260}}\sum\limits_{f \in \mathcal{F}} \,{{\sigma }_{f}} \cdot \sum\limits_{(a,b,c)} \,\left[ {a_{1}^{2}(6a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2})\;\mathop + \limits_{_{{}}}^{^{{}}} } \right. \\ {{\left. {\, + 2{{a}_{1}}{{a}_{2}}({{b}_{1}} + {{c}_{1}})({{b}_{2}} + {{c}_{2}}) + \sum\limits_{(1,2)} \,a_{2}^{2}\left( {3{{a}_{1}}({{b}_{1}} + {{c}_{1}}) + {{b}_{1}}{{c}_{1}}} \right)} \right]}_{f}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{J}_{{211}}} = \frac{\rho }{{2520}}\sum\limits_{f \in \mathcal{F}} \,{{\sigma }_{f}} \cdot \left[ {\sum\limits_{(a,b,c)} \,a_{1}^{2}} \right.\left( {{{b}_{2}}{{c}_{3}} + {{c}_{2}}{{b}_{3}}\;\mathop + \limits_{_{{_{{}}}}}^{^{{}}} } \right. \\ \left. {\, + 2\left( {3{{a}_{2}}{{a}_{3}} + {{b}_{2}}{{b}_{3}} + {{c}_{2}}{{c}_{3}}} \right) + 12\sum\limits_{(2,3)} \,{{a}_{2}}{{z}_{3}}} \right) + \\ \, + \sum\limits_{(a,b,c)} \,2{{a}_{1}}{{c}_{1}}({{a}_{2}}(2{{c}_{3}} + {{b}_{3}} + 3{{a}_{3}}) + \\ {{\left. {\mathop + \limits_{_{{}}}^{^{{}}} \;{{b}_{2}}({{a}_{3}} + {{b}_{3}} + {{c}_{3}}) + {{c}_{2}}({{b}_{3}} + 3{{c}_{3}} + 2{{a}_{3}}))} \right]}_{f}}. \\ \end{gathered} $

Остальные компоненты получаются из выписанных заменами индексов и для краткости не приводятся.

5. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АСТЕРОИДА (433) ЭРОС

Для вычисления инерциальных характеристик астероида (433) Эрос в предположении о постоянстве его плотности используется триангуляционная сетка из [9] из 856 вершин и 1708 граней, заданных в некоторой системе координат $O{{X}_{1}}{{X}_{2}}{{X}_{3}}$. Прежде всего вычисляются объем и положение центра масс астероида:

$\begin{gathered} {{V}_{\mathcal{B}}} = {{{\mathbf{J}}}_{0}}{\text{/}}\rho = 2491.61\;{\text{к}}{{{\text{м}}}^{3}}, \\ \overrightarrow {OZ} = {{{\mathbf{J}}}_{1}}{\text{/}}{{m}_{\mathcal{B}}} = ( - 0.01727478648, \\ 0.007878044242,0.04628722113{{)}^{T}}\;({\text{км}}). \\ \end{gathered} $

В осях $Z{{X}_{1}}{{X}_{2}}{{X}_{3}}$ компоненты тензора J2, отнесенные к массе астероида, имеют вид (в км2)

${{{\mathbf{J}}}_{2}}{\text{/}}{{m}_{\mathcal{B}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {64.2585837604470}&{ - 9.26463627833634}&{0.0392505207944415} \\ { - 9.26463627833634}&{9.62349923611978}&{ - 0.00710101480803384} \\ {0.0392505207944415}&{ - 0.00710101480803384}&{6.89403948475695} \end{array}} \right).$

Единичные, образующие правую тройку, собственные векторы этого тензора в тех же осях имеют вид

$\begin{gathered} {{{\mathbf{e}}}_{1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.986665607279634} \\ { - 0.162759088215227} \\ {0.000677211089560} \end{array}} \right), \\ {{{\mathbf{e}}}_{2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.162759447739462} \\ {0.986665646266587} \\ { - 0.000514440360086} \end{array}} \right), \\ {{{\mathbf{e}}}_{3}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.000584451073391} \\ {0.000617803113233} \\ {0.999999638368063} \end{array}} \right). \\ \end{gathered} $

Эти векторы задают главные центральные оси инерции, определяющие базис $Z{{\xi }_{1}}{{\xi }_{2}}{{\xi }_{3}}$.

Результаты вычислений объема и центральных моментов инерции приведены в первой строке табл. 1. Во второй и третьей строках таблицы приведены аналогичные результаты, полученные ранее другими авторами.

Таблица 1.

Объем (в км3) и главные центральные моменты инерции, отнесенные к массе астероида (в км2)

Источник Объем V I1/mℬ I2/mℬ I3/mℬ
авторы 2491.61 14.99 72.68 73.88
[10] 2505 15.06 73.31 74.57
[11] 2503 15.56 73.32 74.49

Компоненты тензоров ${{{\mathbf{J}}}_{3}}{\text{/}}{{m}_{\mathcal{B}}}$ и ${{{\mathbf{J}}}_{4}}{\text{/}}{{m}_{\mathcal{B}}}$, выписанные в осях $Z{{\xi }_{1}}{{\xi }_{2}}{{\xi }_{3}},$ собраны в табл. 2 и 3 соответственно.

Таблица 2.

Компоненты тензора ${{{\mathbf{J}}}_{3}}{\text{/}}{{m}_{\mathcal{B}}}$ (в км3)

J300 = –44.6264 J021 = –0.2608 J012 = 0.9234 J030 = 2.96780 J102 = 3.3485
J111 = –0.2643 J003 = –0.2539 J201 = 10.2070 J210 = –69.8072 J120 = –0.1965
Таблица 3.

Компоненты тензора ${{{\mathbf{J}}}_{4}}{\text{/}}{{m}_{\mathcal{B}}}$ (в км4)

J400 = 8370.3885 J103 = –2.2374 J022 = 38.3500 J040 = 147.0651 J301 = 3.76816
J202 = 354.4814 J004 = 102.7193 J130 = –17.3855 J211 = –7.9898 J310 = 206.3211
J013 = –0.2309 J121 = 6.4170 J031 = –1.5343 J220 = 558.7348 J112 = –4.6225

Замечание 1. Компоненты тензора ${{{\mathbf{J}}}_{3}}{\text{/}}{{m}_{\mathcal{B}}}$ обращаются в нуль, как правило, при наличии у тела трех ортогональных плоскостей симметрии. Уже для такого тела, как правильный тетраэдр с равными массами в вершинах, компоненты тензора ${{{\mathbf{J}}}_{3}}{\text{/}}{{m}_{\mathcal{B}}}$ отличны от нуля [13].

Замечание 2. В теоретической механике и механике космического полета случаи использования слагаемых высокого порядка в разложении потенциала довольно редки, а потому – хорошо известны (см., например, [5], а также [12, 13]). В то же время в химии и ядерной физике такие разложения не являются редкостью [14, 15].

Список литературы

  1. Дубошин Г.Н. Теория притяжения. М.: ГИФМЛ, 1961.

  2. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968.

  3. Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потен-циала. М.–Л.: Гостехиздат, 1946.

  4. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс. М.: Наука, 1965.

  5. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977.

  6. Dobrovolskis A.R. // Icarus. 1996. V. 124. № 2. P. 698–704.

  7. Mirtich B. // J. Graphics Tools. 1996. V. 1. № 2. P. 31–50.

  8. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. 9-е изд. М.: Наука, 1965.

  9. Thomas P.C., Joseph J., Carcich B., et al. // Icarus. 2002. V. 155. № 1. P. 18–37.

  10. Zuber M.T., Smith D.E., Cheng A.F., et al. // Science. 2000. V. 289. P. 2097–2100.

  11. Miller J.K., Konopliv A.S., Antreasian P.G., et al. // Icarus. 2002. V. 155. № 1. P. 3–17.

  12. Суликашвили P.C. // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 2. С.286.

  13. Суликашвили Р.С. // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 4. С. 582-586.

  14. Зацепина Г.Н. Свойства и структура воды. М.: МГУ, 1974.

  15. Kielich S. // Acta physica polonica. 1965. V. 27. P. 457–464.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал