Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 493, № 1, стр. 57-61

ВВЕДЕНИЕ

Классическая модель Кирхгофа–Лява (КЛ) [1, 2], основанная на гипотезе прямой недеформируемой нормали, является основной двухмерной моделью теории тонких пластин (и оболочек). Область применимости этой модели ограничена однослойными пластинами из однородного изотропного материала. Для анизотропных пластин с малой жесткостью на поперечный сдвиг, для пластин с косой анизотропией, для многослойных пластин с чередующимися мягкими и жесткими слоями модель КЛ приводит к большим погрешностям. Модель Тимошенко–Рейсснера (ТР) [3, 4], учитывающая поперечный сдвиг, приводит к существенному уточнению результатов по сравнению с моделью КЛ. Для многослойных пластин вводится в рассмотрение эквивалентная однослойная пластина ТР из однородного материала [5–10], моделирующая многослойную пластину при исследовании ее прогибов, колебаний и устойчивости. Если эквивалентная изгибная жесткость может быть найдена по тем же формулам, что и в модели КЛ, то определение жесткости на поперечный сдвиг представляет определенные трудности и подробно обсуждается ниже на примере задачи о свободных колебаниях многослойной пластины с трансверсально изотропными слоями. Проводится сравнение с точным решением трехмерной задачи.

1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ

Рассмотрим свободные изгибные колебания пластины с прогибом

Такую форму могут иметь колебания бесконечной пластины, а также прямоугольной пластины с шарнирно опертыми сторонами длиной L_x, L_y (тогда $p = {{p}_{m}} = \frac{{m\pi }}{{{{L}_{x}}}}$, $q = {{q}_{n}} = \frac{{n\pi }}{{{{L}_{y}}}}$, $m,n = 1,2$, ...). По модели ТР с учетом поперечного сдвига для трансверсально изотропной однородной пластины частота колебаний ω связана с безразмерным параметром частоты $\lambda = \frac{{\rho ~{{h}^{2}}{{\omega }^{2}}}}{{{{E}_{0}}}}$ и определяется из соотношений где ${{E}_{0}} = \frac{E}{{1 - {{\nu }^{2}}~}},~~\mu = rh = \frac{{2\pi h}}{L},~~~{{r}^{2}} = {{p}^{2}} + {{q}^{2}}$. Здесь ρ – плотность материала, h – толщина пластины, $L = {{(L_{x}^{{ - 2}} + L_{y}^{{ - 2}})}^{{ - \frac{1}{2}}}}~$ – характерная длина волны, E – модуль Юнга, ν – коэффициент Пуассона, μ – малый параметр толщины, $D = \frac{1}{{12}}$ – безразмерный параметр изгибной жесткости, g = $\frac{{{{E}_{0}}{{\mu }^{2}}}}{{10{{G}_{{13}}}~}}$ – параметр влияния поперечного сдвига, G₁₃ – модуль упругости поперечного сдвига. Для изотропных слоев ${{G}_{{13}}} = \frac{E}{{2\left( {1 + \nu ~} \right)}}$, а для трансверсально изотропных слоев G₁₃ – независимый параметр. При $\frac{E}{{{{G}_{{13}}}}}\sim 1$ слагаемым g в (1) можно пренебречь, а при ${{G}_{{13}}} \ll E$ поправка на сдвиг становится существенной. Без учета сдвига (g = 0) формула (1) переходит в формулу КЛ ${{\lambda }^{{KL}}} = D{{\mu }^{4}}.$ Целью работы является применить формулу вида (1) для многослойных пластин.

2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ

Для многослойной пластины модули упругости и плотность становятся кусочно-постоянными функциями поперечной координаты z, 0 ≤ z ≤ h. Точное значение параметра частоты λ может быть найдено из трехмерной краевой задачи, которая приводится к системе обыкновенных уравнений с малым параметром. Ее асимптотическое интегрирование [6–8] дает выражение для параметра частоты λ в виде, аналогичном (1):

где

Здесь ${{E}_{*}},~{{\rho }_{*}}$ – средние по толщине значения жесткости на растяжение и плотности, ${{D}_{*}}$ – параметр жесткости на изгиб, a – координата нейтрального слоя. Слагаемые второго порядка малости g^a учитывают податливость на поперечный сдвиг (A_g), пуассоновское растяжение нормального волокна (A_ν), инерцию его вращательного движения (J) и инерцию пуассоновского растяжения (J_ν) (величины ${{A}_{\nu }},J$ и J_ν здесь не приводятся, см. [8]).

3. ЖЕСТКОСТЬ НА ПОПЕРЕЧНЫЙ СДВИГ

Вычисления по формулам (2), (3) для многослойных пластин, связанные с вычислением повторных интегралов от кусочно постоянных функций, весьма громоздки, поэтому рассмотрим возможность их упрощения. Рассмотрим пластину с чередующимися изотропными жесткими и мягкими слоями и через η обозначим отношение модулей Юнга жестких и мягких слоев. Если параметр η растет, то модули G₁₃ мягких слоев пластины уменьшаются и в силу формулы (4) коэффициент A_g также растет в то время, как остальные коэффициенты второго порядка малости ${{A}_{\nu }},~J,~{{J}_{\nu }}$ остаются существенно меньшими A_g.

Рассмотрим, например, трехслойную пластину с толщинами слоев ${{h}_{1}} = 0.3,~~{{h}_{2}} = 0.6,~~{{h}_{3}} = 0.1$. Модули Юнга жестких и мягкого слоев, соответственно, равны ${{E}_{1}} = {{E}_{3}} = 1,{{E}_{2}} = \frac{1}{\eta }$. Коэффициенты Пуассона ${{{\nu }}_{1}} = {{{\nu }}_{3}} = 0.3$, ${{{\nu }}_{2}} = 0.35$. Для ряда значений η коэффициенты второго порядка малости приведены в табл. 1.

Положим приближенно ${{g}^{a}} = {{\mu }^{2}}{{A}_{g}}$, возвращаясь тем самым к модели ТР, учитывающей из членов второго порядка малости только сдвиг. Расчеты [7, 8] показали, что при η ≤ 1000, μ = 0.1 погрешность формулы (3) при $g = {{g}^{a}} = {{\mu }^{2}}{{A}_{g}}$ не превосходит 4%. Ниже погрешность указанной замены обсуждается более подробно.

4. ТОЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ НА СДВИГ

В силу формулы (3) имеет место оценка

При весьма больших η (т.е. при большом отношении жесткостей слоев) ${{g}^{a}} > 1$, формула (2) при g = g^a становится неточной, и нужно найти точное значение g = g^e, при котором формула (3) дает точное значение ${\lambda } = {{{\lambda }}^{e}}$. Для его вычисления рассмотрим вспомогательную краевую задачу

в которой из эффектов второго порядка малости удержан только сдвиг ${{c}_{g}} = \frac{1}{{{{G}_{{13}}}}}$. После ее решения находим $\lambda = - \mathop \smallint \limits_0^1 \sigma \left( z \right)dz$ и значение

5. О МОДЕЛИ ТИМОШЕНКО–РЕЙССНЕРА ДЛЯ ОДНОРОДНОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ

Согласно модели ТР параметр частоты λ для однородной трансверсально изотропной пластины определяется по формуле (2), в которой g = g₀ = $\frac{q}{{10}}$, $q = \frac{{{{\mu }^{2}}{{E}_{0}}}}{{{{G}_{{13}}}}}$. Оценим погрешность этой формулы при g₀ > 1. Для однородной пластины задача (5) имеет явное решение

и формула (6) дает

Вычисления по формуле (7) дали следующие результаты:

из которых следует, что с ростом q точная величина g^e отклоняется в меньшую сторону от значения q/10, рекомендуемого по модели ТР.

6. ДРУГИЕ СПОСОБЫ АНАЛИЗА МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН

В классической работе [5] для вычисления g была предложена формула

в которой для вычисления g складываются податливости слоев на сдвиг. В ней G_n – модули поперечного сдвига слоев, N – их число, γ_n – не зависящие от G_n коэффициенты, формулы для которых не приводятся. Заметим, что формула (3) для A_g после вычисления интегралов приводится к виду (8).

В монографии [9] Э.И. Григолюком и Г.М. Куликовым (ГК) был предложен алгоритм учета эффекта поперечного сдвига для многослойных пластин и оболочек. К этому алгоритму целесообразно вернуться, ибо в недавней книге [10], а также в ряде других работ он был использован для решения частных задач. Этот алгоритм основан на гипотезе о распределении деформаций поперечного сдвига по толщине пластины. Согласно [9] формула для g может быть записана в виде

где α_n и β_n – не зависящие от G_n коэффициенты. Явный вид формулы для g приведен в [9, 10]. Расчеты показали, что алгоритм ГК можно использовать лишь для пластин с небольшим отношением η модулей Юнга слоев (о чем написано и в [9]). С ростом η погрешность Δ(η) формулы (10) быстро растет. Например, для пластины, рассмотренной в табл. 1, погрешность Δ(1) = 1.2%, Δ(10) = 42%, а при η = 100 найденная по формуле (10) величина g в 10 раз превосходит точное значение. По-видимому, гипотезы, положенные в основу модели ГК и нарушающие непрерывность напряжений сдвига на границе слоев, нуждаются в корректировке.

Еще одной возможностью анализа многослойных пластин является раздельное рассмотрение слоев с выполнением условий непрерывности на границах слоев [11].

7. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассмотрим пластину с параметрами ${{h}_{1}} = {{h}_{3}}$ = = 0.3, ${{h}_{2}}$ = 0.4, ${{E}_{1}} = {{E}_{3}}$ = 1, ${{E}_{2}} = \frac{1}{\eta }$, ${{\nu }_{1}} = {{\nu }_{2}} = {{\nu }_{3}}$ = 0.3, ${{\rho }_{1}} = {{\rho }_{3}} = 1$, ${{\rho }_{2}} = \frac{1}{\eta }$. Осталось два свободных параметра: параметр толщины μ и отношение модулей Юнга η. Как следует из оценки (4), учет поперечного сдвига связан с величиной μ²η, поэтому введем совмещенный параметр $p = {{\mu }^{2}}\eta $ и проведем расчеты при фиксированном значении параметра μ = 0.1.

В табл. 2 для ряда значений p приведены: приближенное значение параметра сдвига ${{g}^{a}} = {{\mu }^{2}}{{{\text{A}}}_{g}}$, найденное по асимптотической формуле (3), и точное значение g^e, найденное по формуле (6); точное значение λ^e параметра частоты λ, полученное при решении трехмерной задачи (2). Остальные значения параметра λ приближенные. Они получены по формуле (2), причем значения λ^ap, λ^TR, λ^KL вычисляются при g = g^e, $~g = {{g}^{a}} = {{\mu }^{2}}{{A}_{g}}$ и g = 0 соответственно. Значение λ^TR соответствует модели ТР при учете сдвига по приближенной модели (3). Значение λ^KL соответствует модели КЛ, не учитывающей поперечный сдвиг.

Сравнение столбцов 3–4 и 5–8 позволяет судить об областях применимости приближенных моделей. Модель КЛ применима лишь при η ≤ 10 (или при p ≤ 0.1). Асимптотический подход второго порядка точности, приведший к значениям g^a и λ^TR, безусловно, применим при η ≤ 100 и дает заметную погрешность при η ≤ 1000. При этом параметр g^a превышает точное значение g^e. Использование значения g^e дает достаточно точные результаты во всем рассмотренном диапазоне η ≤ ≤ 10 000, о чем говорит сравнение столбцов 5 и 6 (при вычислении λ^ap точно учитывается только сдвиг, а остальные эффекты второго порядка игнорируются).

Были проведены расчеты также при μ = 0.316 и при μ = 0.0316, однако численные результаты не приводятся, ибо они отличаются от приведенных в табл. 2 менее, чем на 1% (за исключением параметра η, который в 10 раз меньше или больше, соответственно).

В табл. 2 приведены результаты для симметричной по толщине пластины. Аналогичные выводы относительно определяющей роли совмещенного параметра p были получены также в результате расчетов для несимметричных по толщине трехслойных и многослойных пластин.

8. ОБСУЖДЕНИЕ

Установлено, что частота изгибных колебаний многослойной пластины вычисляется по формуле (2), соответствующей модели ТР, в которой знаменатель 1 + g учитывает влияние поперечного сдвига. Введен совмещенный параметр $p = {{\mu }^{2}}\eta ,~$ определяющий область применимости различных подходов при вычислении g. При p ≤ 1 для однородной пластины $g = \frac{{{{E}_{0}}{{\mu }^{2}}}}{{10{{G}_{{13}}}~}},$ а для многослойной $g = {{g}^{a}} = {{\mu }^{2}}{{A}_{g}}~$ (см. (3)). Если же p > 1, эти формулы становятся неточными. Для однородной пластины g вычисляется по явной формуле (7). Тем самым дана оценка погрешности модели ТР при $g = \frac{{{{E}_{0}}{{\mu }^{2}}}}{{10{{G}_{{13}}}~}}$. Для многослойной пластины величину g = g^e вычисляем по формуле (6). Использование этого значения g дает достаточно точные результаты во всем рассмотренном диапазоне параметров

что подтверждается сравнением с точным решением трехмерной задачи.

Полученные результаты для множителя 1 + g, учитывающего влияние поперечного сдвига, без изменений применимы и для задачи о прогибе многослойной пластины под действием статической гармонической нагрузки вида

Для многослойных трансверсально изотропных пластин представленные результаты могут считаться окончательными. В [12] для неоднородной по толщине пластины с анизотропией общего вида (с 21 модулем упругости) построено асимптотическое приближение второго порядка точности, приводящее к весьма громоздкой модели, требующей упрощений и соответствующего анализа погрешностей. В частности, многослойная пластина с ортотропными слоями в общем случае не имеет нейтрального слоя, в результате чего продольные и изгибные деформации не разделяются и расчет усложняется. Получены лишь частные результаты [13] и требуются дальнейшие исследования.