Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 493, № 1, стр. 29-33
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦЕПОЧКИ МАСС В ЖИДКОСТИ
Академик РАН О. В. Руденко 1, 2, 3, *
1 Московский государственный университет
имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия
2 Институт общей физики им. А.М. Прохорова Российской академии наук
Москва, Россия
3 Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта Российской академии наук
Москва, Россия
* E-mail: rudenko@acs366.phys.msu.ru
Поступила в редакцию 12.05.2020
После доработки 12.05.2020
Принята к публикации 12.05.2020
Аннотация
Исследованы нелинейные регулярные и случайные колебания метаматериала, представляющего собой цепочку погруженных в вязкую жидкость массивных элементов. Ближайшие соседи связаны нелинейными силами упругости. Учтено стоксово трение. Получена система уравнений для колебаний масс. В континуальном длинноволновом приближении система сведена к упрощенному эволюционному уравнению в частных производных с нелинейным и диссипативным членами. Найдены точные решения. Показано, что конкуренция нелинейности и поглощения может привести к формированию установившейся формы профиля волны. Для шумовых волн приведены корреляционная функция и спектр интенсивности. Проанализирован процесс возбуждения пилообразной волны распределенными внешними источниками. Рассчитана предельная “пиковая” амплитуда. Рассмотрены волны в трубках переменного сечения, заполненных метаматериалом. На основе решения уравнения, содержащего зависящее от координаты сечение трубки, найдено выражение для амплитуды пилообразной волны.
Рассмотрим цепочку масс, расположенных на одинаковом расстоянии a друг от друга. Смещение массы с номером n из равновесного положения обозначим как Xn. Выделенная масса связана с ближайшими соседями нелинейными пружинками. Каждая из них создает силу f(Δ) = $\alpha \Delta - \beta {{\Delta }^{2}}$, которая стремится вернуть массу в положение равновесия. Здесь Δ – удлинение пружины. Уравнение колебаний имеет вид
(1)
$\begin{gathered} m\left( {\frac{{{{d}^{2}}{{X}_{n}}}}{{d{{t}^{2}}}} + 2\delta \frac{{d{{X}_{n}}}}{{dt}}} \right) = \\ \, = f\left( {{{X}_{{n + 1}}} - {{X}_{n}}} \right) - f\left( {{{X}_{n}} - {{X}_{{n - 1}}}} \right). \\ \end{gathered} $В модели (1) учтено трение Стокса, возникающее при обтекании массивных элементов цепочки вязкой жидкостью. Коэффициент трения зависит от формы тела. Для шариков, например, этот коэффициент, пропорциональный вязкости η, равен [1] $\delta = \frac{{3\pi {{r}_{0}}\eta }}{m}$.
Правую часть уравнения (1) для заданной формы f(Δ) запишем так:
(2)
$\left( {{{X}_{{n + 1}}} + {{X}_{{n - 1}}} - 2{{X}_{n}}} \right)\left[ {\alpha - \beta \left( {{{X}_{{n + 1}}} - {{X}_{{n - 1}}}} \right)} \right].$Теперь перейдем к континуальному пределу, считая
(3)
$\begin{gathered} {{X}_{n}} = X\left( {t,x} \right), \\ {{X}_{{n + 1}}} = X\left( {t,x + a} \right), \\ {{X}_{{n - 1}}} = X\left( {t,x - a} \right). \\ \end{gathered} $Для этого разложим выражения (3) в ряды по малому параметру – отношению периода решетки a к длине волны. Уравнение (1), (2) примет вид
(4)
$\frac{{{{\partial }^{2}}X}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{{2\delta }}{m}\frac{{\partial X}}{{\partial t}} = \frac{{\alpha {{a}^{2}}}}{m}\frac{{{{\partial }^{2}}X}}{{\partial {{x}^{2}}}} - \frac{{2\beta {{a}^{3}}}}{m}\frac{{\partial X}}{{\partial x}}\frac{{{{\partial }^{2}}X}}{{\partial {{x}^{2}}}}.$Обозначим для краткости
(5)
$\frac{{\alpha {{a}^{2}}}}{m} = {{с}^{2}},\quad \frac{{\beta {{a}^{3}}}}{{m{{с}^{2}}}} = \varepsilon .$Смысл обозначений: c – скорость звука, $\varepsilon $ – нелинейный параметр.
Рассмотрим волны, бегущие в одну сторону, для определенности, в положительном направлении оси x. Переходя в движущуюся со скоростью звука систему координат $\tau = t - \frac{x}{c}$ и пользуясь методом медленно изменяющегося профиля [2], получим из (4) эволюционное уравнение первого порядка:
(6)
$\frac{{\partial u}}{{\partial x}} - \frac{\varepsilon }{{{{c}^{2}}}}u\frac{{\partial u}}{{\partial \tau }} = - \frac{\delta }{c}u.$Уравнение (6) выводилось ранее для нелинейных электромагнитных волн [3] и акустических волн в релаксирующей среде [4] (см. также [5], формула (4.3.18)).
Уравнение (6) имеет простое решение, описывающее один полупериод пилообразной волны:
(7)
$u = A\left( x \right)\left( {1 - \frac{{\omega \tau }}{\pi }} \right),\quad 0 < \omega \tau \leqslant \pi .$Второй (отрицательный) полупериод описывается продолжением функции (7) на область $ - \pi \leqslant \omega \tau $ < 0 нечетным образом. Подставляя (7) в (6), получим уравнение для амплитуды A(x):
(8)
$\frac{{dA}}{{dx}} + \frac{{\varepsilon \omega }}{{\pi {{c}^{2}}}}{{A}^{2}} = - \frac{\delta }{c}A.$Решение (8), удовлетворяющее условию $A(x = 0)$ = = A0, имеет вид
(9)
$A\left( x \right) = \frac{{{{A}_{0}}\exp \left( { - \frac{\delta }{c}x} \right)}}{{1 + \frac{{\varepsilon \omega }}{{\pi c\delta }}{{A}_{0}}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{\delta }{c}x} \right)} \right]}}.$Видно, что амплитуда “пилы” уменьшается по нелинейному закону, а на больших расстояниях и при больших A0 наступает “насыщение” – зависимость A(x) от исходного значения амплитуды A0 пропадает.
Используя метод характеристик, можно найти решение [2, 5] уравнения (6), удовлетворяющее более общему условию:
Оно имеет форму неявной функции:
(11)
$\begin{gathered} \left[ {\frac{u}{{{{u}_{0}}}}\exp \left( {\frac{\delta }{c}x} \right)} \right] = \\ \, = \Phi \left\{ {{{\omega }_{0}}\tau + \frac{{\varepsilon {{\omega }_{0}}{{u}_{0}}}}{{c\delta }}\left[ {\frac{u}{{{{u}_{0}}}}\exp \left( {\frac{\delta }{c}x} \right)} \right]\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{\delta }{c}x} \right)} \right]} \right\}. \\ \end{gathered} $Удобно в дальнейшем использовать (11) в сокращенной записи:
(12)
$\begin{gathered} V = \Phi \left\{ {\theta + Vs\left( x \right)} \right\}, \\ s\left( x \right) = \frac{{\varepsilon {{\omega }_{0}}{{u}_{0}}}}{{c\delta }}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{\delta }{c}x} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $Смысл использованных обозначений нетрудно понять, сравнивая формулы (11) и (12). Приведенное расстояние s(x) содержит как характерную нелинейную длину (или длину образования разрыва) ${{x}_{{SH}}}\, = \,\frac{{{{c}^{2}}}}{{\varepsilon {{\omega }_{0}}{{u}_{0}}}}$, так и диссипативную длину xDIS = $\frac{c}{\delta }$ и может быть записано так:
(13)
$s\left( x \right) = \frac{{{{x}_{{DIS}}}}}{{{{x}_{{SH}}}}}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{x}{{{{x}_{{DIS}}}}}} \right)} \right].$В том случае, когда ${{x}_{{DIS}}} < {{x}_{{SH}}}$, нелинейные искажения профиля волны не приводят к формированию разрывов. При этом на расстояниях $x \gg {{x}_{{DIS}}}$ функция $s\left( x \right)$ достигает максимального значения $\frac{{{{x}_{{DIS}}}}}{{{{x}_{{SH}}}}}$. Профиль волны перестает искажаться, а “стационарная” (в смысле сохранения своей формы) волна начинает затухать по линейному закону, определяемому вязкостью жидкости.
Для гармонического исходного сигнала выражение (12) удается разложить в ряд Бесселя–Фубини по гармоникам [2, 5]. Из этого разложения следует, что амплитуды гармоник “стационарного” профиля, формирующегося на указанных выше расстояниях, изменяются по закону
(14)
$\frac{{{{u}_{n}}}}{{{{u}_{0}}}} = \exp \left( { - \frac{x}{{{{x}_{{DIS}}}}}} \right) \cdot 2{{J}_{n}}\left( {n\frac{{{{x}_{{DIS}}}}}{{{{x}_{{SH}}}}}} \right){{\left( {n\frac{{{{x}_{{DIS}}}}}{{{{x}_{{SH}}}}}} \right)}^{{ - 1}}}.$Здесь Jn – функция Бесселя порядка n. Отношения амплитуд всех гармоник остаются постоянными, поскольку гармоники затухают экспоненциально с одним и тем же декрементом.
Перейдем теперь к особенностям распространения случайных (шумовых) волн. Общие выражения для спектра интенсивности и корреляционной функции шума, описываемого уравнением Хопфа, при нормальной статистике на входе в нелинейную среду имеют вид [4] (см. также [5], формулы (10.2.11) и (10.2.10) соответственно):
(15)
$\begin{gathered} S(\omega ,z) = \frac{{{{\sigma }^{2}}}}{\pi }\frac{{\exp [ - {{{(z\omega )}}^{2}}]}}{{{{{\left( {z\omega } \right)}}^{2}}}} \times \\ \, \times \int\limits_0^\infty {\{ \exp ({{{(z\omega )}}^{2}}R) - 1\} } \cos (\omega t)dt, \\ \end{gathered} $(16)
$B(\tau ,z) = - {{\sigma }^{2}}\int\limits_0^\infty {\frac{{dR}}{{dt}}{\text{erf}}\left[ {\frac{{t - \tau }}{{2z\sqrt {1 - R\left( t \right)} }}} \right]} dt.$Здесь ${\text{erf}}\left( t \right)$ – функция ошибок,
(17)
$\begin{gathered} B\left( {\tau = {{t}_{1}} - {{t}_{2}},z} \right) = \left\langle {u\left( {{{t}_{1}},z} \right)u\left( {{{t}_{2}},z} \right)} \right\rangle , \\ B\left( {\tau ,z = 0} \right) = {{\sigma }^{2}}R\left( \tau \right) \\ \end{gathered} $Используя аналогию с решением (12), перепишем результат (15) для спектра нелинейного шума в следующем виде:
(18)
$\begin{gathered} S = \frac{{{{\sigma }^{2}}}}{\pi }{{\left( {s\frac{\omega }{{{{\omega }_{0}}}}} \right)}^{{ - 2}}}\exp \left( { - 2\frac{\delta }{c}x - {{{\left( {s\frac{\omega }{{{{\omega }_{0}}}}} \right)}}^{2}}} \right) \times \\ \, \times \int\limits_0^\infty {\left\{ {\exp \left( {{{{\left( {s\frac{\omega }{{{{\omega }_{0}}}}} \right)}}^{2}}R} \right) - 1} \right\}} \cos \left( {\omega t} \right)dt. \\ \end{gathered} $В общем виде интеграл (18) не вычисляется. Можно лишь, используя метод перевала, найти универсальную высокочастотную асимптотику спектра. Положим для широкополосного шума исходный коэффициент корреляции равным $R \approx 1 - \omega _{0}^{2}{{t}^{2}}$. При этом получится
(19)
$S(\omega ,s) = \frac{{{{\sigma }^{2}}}}{{2\sqrt \pi {{\omega }_{0}}}}\exp \left( { - 2\frac{\delta }{c}x} \right){{\left( {\frac{{{{\omega }_{0}}}}{{s\left( x \right)\omega }}} \right)}^{3}}.$Однако асимптотика ω–3 не вполне корректна, поскольку не учитывает факт образования ударных фронтов на участках реализации шума с большими выбросами. Этот факт, обозначенный в книге [5], подробно обсуждается в работах [7, 8].
Другие тенденции в трансформации спектра могут быть изучены с помощью численного анализа решения (18). Эти тенденции во многом аналогичны тем, которые отмечены для иной динамической модели – уравнения Хопфа и подробно описаны в работах [5, 9]. Различие состоит лишь в темпах эволюции спектров, связанных с учетом вязкого трения элементов цепочки, а также с ограниченностью приведенного расстояния s(x) (12) при $x \to \infty $.
Перейдем теперь к новой модели, которая будет описывать процесс возбуждения нелинейной пилообразной волны внешним источником. Рассмотрим неоднородное уравнение
(20)
$\frac{{\partial u}}{{\partial x}} - \frac{\varepsilon }{{{{c}^{2}}}}u\frac{{\partial u}}{{\partial \tau }} + \frac{\delta }{c}u = F\left( \tau \right).$Наиболее простое решение получается для формы внешней “силы” $F\left( \tau \right)$ в виде периодической пилообразной волны. В пределах одного полупериода положим
(21)
$F = {{F}_{0}}\frac{{2c}}{\delta }\left( {1 - \frac{{\omega \tau }}{\pi }} \right),\quad 0 < \omega \tau \leqslant \pi .$Второй (отрицательный) полупериод описывается нечетным продолжением функции (21) на область $ - \pi \leqslant \omega \tau < 0$.
Отыскивая решение уравнения (20) с правой частью (21) в виде (7), найдем решение:
(22)
$A\left( x \right) = {{F}_{0}}\frac{{{\text{th}}\left( {\frac{\delta }{{2c}}x\sqrt {1 + \frac{{2\varepsilon \omega }}{{\pi c\delta }}{{F}_{0}}} } \right)}}{{\sqrt {1 + \frac{{2\varepsilon \omega }}{{\pi c\delta }}{{F}_{0}}} + {\text{th}}\left( {\frac{\delta }{{2c}}x\sqrt {1 + \frac{{2\varepsilon \omega }}{{\pi c\delta }}{{F}_{0}}} } \right)}}.$Это решение удовлетворяет условию $A(x = 0)$ = 0, т.е. амплитуда волны нарастает от нуля при ее распространении вглубь среды. Кроме того, при отсутствии внешней силы (F0 = 0) волна вовсе не зарождается, и $A\left( x \right) \equiv 0$. Наконец, на больших расстояниях, при $x \to \infty $, амплитуда стремится к своему предельному значению, которое равно
(23)
${{A}_{{LIM}}} = \frac{{\pi c\delta }}{{2\varepsilon \omega }}\left( {\sqrt {1 + \frac{{2\varepsilon \omega }}{{\pi c\delta }}{{F}_{0}}} - 1} \right).$При малых и больших значениях “силы” имеем соответственно
(24)
${{A}_{{LIM}}} = \frac{1}{2}{{F}_{0}},\quad {{A}_{{LIM}}} = \sqrt {\frac{{\pi c\delta }}{{2\varepsilon \omega }}} \sqrt {{{F}_{0}}} .$В первом случае (24) реализуется линейная зависимость от пикового значения “силы”, во втором случае – нелинейная.
Если F0 – случайная величина, распределенная по закону Рэлея, нетрудно показать, что распределение для ${{A}_{{LIM}}}$ будет таким:
(25)
$\begin{gathered} \frac{{\sigma _{F}^{2}}}{4}W = {{A}_{{LIM}}}\left( {1 + \alpha {{A}_{{LIM}}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{2}\alpha {{A}_{{LIM}}}} \right) \times \\ \, \times \exp \left[ { - \frac{2}{{\sigma _{F}^{2}}}A_{{LIM}}^{2}{{{\left( {1 + \frac{1}{2}\alpha {{A}_{{LIM}}}} \right)}}^{2}}} \right]. \\ \end{gathered} $Здесь σF – дисперсия величины F0, а комбинация констант, пропорциональная нелинейному параметру ε, обозначена как $\alpha = \frac{{2\varepsilon \omega }}{{\pi c\delta }}$.
Функция распределения (25) изображена на рис. 1 для трех значений параметра α = 0, 0.5, 1 и дисперсии $\sigma _{F}^{2} = 2$. Видно, что с усилением нелинейности ширина этой функции уменьшается. Максимум смещается в сторону меньших амплитуд, поскольку выбросы с большими амплитудами из-за нелинейного затухания убывают быстрее.
Рис. 1.
Функция распределения предельных значений амплитуд пилообразной волны, возбуждаемой “силой” (21) для различных значений параметра $\alpha = \frac{{2\varepsilon \omega }}{{\pi c\delta }}$.
Стационарная волна с “пиковым” значением (23) формируется в результате конкуренции между потоками энергии. Распределенные источники F(τ) вносят энергию в среду, возбуждая волну. На малых расстояниях форма волны повторяет распределение источников. Эта энергия “перетекает” в пределах периода волны к ударному фронту, где поглощается в результате нелинейных и диссипативных процессов.
Обратим теперь внимание на более сложную модель, которая служит обобщением уравнения (6) [10, 11]:
(26)
$\frac{{\partial u}}{{\partial x}} - \frac{\varepsilon }{{{{c}^{2}}}}u\frac{{\partial u}}{{\partial \tau }} + \frac{\delta }{c}u + \frac{u}{2}\frac{d}{{dx}}\ln S\left( x \right) = 0.$Уравнение (26) описывает распространение волн в трубах, рупорах, концентраторах и других направляющих системах с переменным поперечным сечением S(x) [12]. При этом расстояние x отсчитывается вдоль оси системы. Уравнение (26) служит также уравнением переноса в нелинейной геометрической акустике неоднородной среды. В этом случае S(x) есть поперечное сечение лучевой трубки, а расстояние x отсчитывается вдоль криволинейного центрального луча.
Обратим внимание на то, что сужение трубки по специальному закону
приводит к компенсации потерь. Это означает, что волны в экспоненциальном концентраторе (27) описываются обычным уравнением Хопфа.В общем случае, для произвольной зависимости S(x) сечения от координаты для амплитуды пилообразной волны (7) получается обыкновенное дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению (8):
(28)
$\frac{{dA}}{{dx}} + \frac{{\varepsilon \omega }}{{\pi {{c}^{2}}}}{{A}^{2}} + \frac{\delta }{c}A + \frac{1}{2}A\frac{d}{{dx}}\ln S\left( x \right) = 0.$Это уравнение можно проинтегрировать в общем виде для произвольной функции S(x). Для этого перепишем (28) так:
(29)
$\frac{d}{{dx}}\ln (S{{A}^{2}}) + \frac{{2\varepsilon \omega }}{{\pi {{c}^{2}}}}A + \frac{{2\delta }}{c} = 0.$Отсюда следует
(30)
$\frac{d}{{dx}}\exp \left( {\frac{{\varepsilon \omega }}{{\pi {{c}^{2}}}}\int {Adx} } \right) = \frac{{\varepsilon \omega }}{{\pi {{c}^{2}}}}\frac{1}{{\sqrt {S\left( x \right)} }}\exp \left( { - \frac{\delta }{c}x} \right).$Интегрируя уравнение (30) с условием $A = {{A}_{0}}$, S = S0 при x = 0, придем к следующему выражению:
(31)
$\begin{gathered} \frac{A}{{{{A}_{0}}}} = \sqrt {\frac{{{{S}_{0}}}}{{S\left( x \right)}}} \exp \left( { - \frac{\delta }{c}x} \right) \times \\ \times {{\left[ {1 + \frac{{\varepsilon \omega }}{{\pi {{c}^{2}}}}{{A}_{0}}\int\limits_0^x {\sqrt {\frac{{{{S}_{0}}}}{{S\left( x \right)}}} } \exp \left( { - \frac{\delta }{c}x} \right)dx} \right]}^{{ - 1}}}. \\ \end{gathered} $Приведенные здесь результаты по распространению регулярных и шумовых волн, полученные выше на основе моделей (6) и (20), можно в дальнейшем обобщить для (26) и целого ряда других распределенных систем, обладающих более “экзотическими” нелинейными и диссипативными свойствами [13, 14].
Список литературы
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
Руденко О.В., Гурбатов С.Н., Хедберг К.М. Нелинейная акустика в задачах и примерах. М.: Физматлит, 2007. 176 с.
Хохлов Р.В. К теории ударных волн в нелинейных линиях // Радиотехн. электрон. 1961. Т. 6. № 6. С. 917–925.
Солуян С.И., Хохлов Р.В. Акустические волны конечной амплитуды в среде с релаксацией // Акуст. журн. 1962. Т. 8. № 2. С. 220–227.
Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.
Руденко О.В., Чиркин А.С. О нелинейной трансформации спектров случайных волновых полей // ДАН СССР. 1974. Т. 214. № 5. С. 1045–1048.
Gurbatov S.N., Rudenko O.V. Nonlinear Decay of Random Waves Described by an Integrodifferential Equation // Phys. Rev. E. 2014. V. 90. 032924. P. 1–7.
Gurbatov S.N., Rudenko O.V., Tyurina A.V. Singularities and Spectral Asymptotics of a Random Nonlinear Wave in a Nondispersive System // Wave Motion. 2020. V. 95. 102519. P. 1–15.
Руденко О.В. Взаимодействия интенсивных шумовых волн // Успехи физ. наук. 1986. Т. 149. № 3. С. 413–447.
Руденко О.В. Нелинейные пилообразные волны // Успехи физ. наук. 1995. Т. 165. № 9. С. 1011–1036.
Enflo B.O., Rudenko O.V. To the Theory of Generalized Burgers’ Equations // Acta Acustica/Acustica. 2002. V. 88. P. 155–162.
Руденко О.В., Гурбатов С.Н. Статистические задачи для обобщенного уравнения Бюргерса: интенсивный шум в волноведущих системах // ДАН. 2018. Т. 478. № 1. С. 25–28. https://doi.org/10.7868/S086956521801005X
Руденко О.В. “Экзотические” модели физики интенсивных волн: линеаризуемые уравнения, точно решаемые задачи и неаналитические нелинейности // Прикл. нел. динамика. 2018. Т. 26. № 3. С. 7–34. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2018-26-3-7-34
Руденко О.В. Разрушение сингулярности профиля сильно нелинейной волны в диссипативной среде // ДАН. Физика, техн. науки. 2020. Т. 492. С. 61–65. https://doi.org/10.31857/S2686740020030098
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
Пн.-пт.: 10.00-19.00