Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 494, № 1, стр. 21-24

ВВЕДЕНИЕ

Среди многочисленных видов применения микро- и нанопроволок, нанопленок может быть указано также использование их в качестве детекторов и сенсоров в химии, биологии и т.д. Ввиду уникального применения изучению их эксплуатационных свойств уделяется в литературе большое внимание. Например, в [1, 2] дается обзор 440 статей, посвященных главным образом консольным резонаторам из нанопленок и нанопроволок. Ввиду малой толщины пленки и проволоки адсорбированные на их поверхности молекулы вируса, ДНК и т.д. приводят к заметному уменьшению собственных частот резонатора. При этом в теории учитывается молекулярное взаимодействие в зависимости от числа молекул [2]. Чем меньше резонатор, тем выше его чувствительность.

Резонатор приводится в действие электрическим полем, магнитным полем, оптическим и электромеханическим приводом. Резонаторы могут иметь слоистую структуру в зависимости от предназначения. Например, внешние слои из пьезокристалла позволяют не только поддерживать колебания, но и генерировать слабый электрический ток при возбуждении изгибных колебаний другим источником [3].

Поскольку для рассматриваемых резонаторов характерно большое отношение поверхности к объему, то поверхностные эффекты играют важную роль в их динамике. Это отношение изменяется обратно пропорционально диаметру проволоки. При уменьшении диаметра миллиметровой проволоки до 10² нм удельная поверхность увеличивается в 10⁴ раз. Как указано в [1, 2] и в других работах (например, [4–8]), при описании динамики учитывались поверхностное натяжение, различие упругих свойств приповерхностного слоя и основного объема, термоупругая диссипация, влияние контактирующей среды и т.д. Насколько известно, до сих пор не учитывалось взаимодействие кривизны осевой линии нанопроволоки и среднего давления на ее поверхности. Такой учет был сделан в [9] для статической задачи изгиба проволоки. При этом учитывалось также указанное выше различие упругих свойств.

В данной работе определяется спектр частот шарнирно закрепленной проволоки с учетом различия упругих свойств приповерхностного слоя и основного объема (первый поверхностный эффект), а также взаимодействия давления среды на поверхности проволоки и кривизны ее осевой линии (второй поверхностный эффект).

Согласно работам [4–9], продольная сила N, изгибающий момент М проволоки круглого поперечного сечения диаметром d, распределенная поперечная сила q выражаются через деформацию ε осевой линии и ее кривизну κ формулами

где Е – модуль упругости основного объема проволоки, определяемый в классической теории упругости, параметр Е_s относится к поверхностному слою, ${{K}_{*}}$, ${{D}_{*}}$ – эффективные жесткости при растяжении и изгибе, р – равномерное давление на боковую поверхность проволоки. Размерность модуля Е в МПа, а Е_s – в МПа⋅м. Толщина приповерхностного слоя в этой модели не вводится в рассмотрение. Она неявно входит в Е_s. Поэтому размерности Е и Е_s различаются.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

На круговую поверхность прямой проволоки длиной L и диаметром d действует равномерное давление p₀ + р. Для определенности под p₀ будем подразумевать атмосферное давление, которое действует также на поверхности концевых сечений х = 0, L проволоки. Это ее состояние под всесторонним равномерным давлением p₀ считаем ненапряженным. Избыточное давление p на концевые сечения не действует. Не учитываются внутреннее трение в материале и излучение волн в окружающую среду, а также ее присоединенная масса. Доля последней имеет порядок ρ_f L/(ρd), где ρ_f, ρ – плотности среды и материала. Для рассматриваемых резонаторов L/d ∼ 10. В случае металлов и воздушной среды ρ_f /ρ ∼ 10^–4. Соответствующая присоединенная масса мала. В случае жидкостей ρ_f L/(ρd) ∼ 1, который здесь не рассматривается. Если резонатор обтекается потоком газа, то даже при малом отношении ρ_f L/(ρd) необходимо учитывать влияние среды [10]. Здесь предполагается отсутствие потока газов около поверхности проволоки. Положительное направление поперечной силы q и перемещения w принято вниз. При этих допущениях распределенная поперечная сила q на проволоку определяется выражением (1). Здесь необходимо положить κ = w_хх, где w – прогиб, индексы х обозначают производные.

В уравнении динамики изгиба проволоки

под М, N и q будем подразумевать эффективные изгибающий момент, продольную и поперечную силы по (1). Таким образом, в уравнении (2) коэффициентами ${{D}_{*}}$, ${{K}_{*}}$ учитывается первый поверхностный эффект, а распределенной поперечной силой q определяется второй поверхностный эффект.

Продольная сила N образуется в результате изгиба и радиального сжатия проволоки под действием избыточного давления p. В случае отсутствия перемещения на опорах (и = 0 при х = 0, L) эта сила равна [9]

где ν – коэффициент Пуассона материала.

Из (3) видно, что отклонение оси от прямой линии приводит к продольной растягивающей силе, а внешнее давление p > 0 – к продольной сжимающей силе. Уравнению (2) при учете M = Dw_xx, q = = pFw_xx и (3) можно придать вид

Здесь параметрами α, γ и μ определяется влияние на динамический изгиб обоих рассматриваемых поверхностных эффектов. Если они не учитываются, то α = 0, πγ = 8d^–2, μ = (ρ/Еd ²)(2L/π)⁴.

ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Рассмотрим наиболее простой случай линейных колебаний проволоки, шарнирно закрепленной на обеих концевых опорах (w = 0, w_ξξ = 0 при ξ = 0, π). Из (4) при функции прогиба

удовлетворяющей указанным условиям, получаем Здесь Ω_n – собственные частоты изгибных колебаний проволоки с шарнирными опорами, определенные без учета поверхностных эффектов.

Оценим изменение спектра частот ω_n за счет поверхностных эффектов. Приведем значения модулей для двух материалов [4–6]: Е = 0.62 × 10⁵ МПа, Е_s = 0.84 × 10^–5 МПа ⋅ м (Cu), Е = 0.72 × 10⁵ МПа, Е_s = –1.24 × 10^–5 МПа ⋅ м (Al). Соответствующие параметры равны βd = 5.42 × 10^–10 м (Cu), βd = = ‒6.89 × 10^–10 м (Al). Если d = 10^–7 м (10² нм), то первый поверхностный эффект не оказывает никакого влияния на значение ω_n. При d ≤ 10 нм начинается заметное влияние этого эффекта. Таким образом, он зависит только от материала и диаметра проволоки. Как видно из (6), в зависимости от знака β(Е_s) первый эффект повышает или понижает собственные частоты.

Подкоренное выражение в (6) выразим также через входные параметры. С учетом обозначений (4) имеем

Второй эффект повышает частоты ω_n в зависимости от отношений рЕ ^–1 и Ld^–1. Некоторое влияние на него оказывает также второй эффект. Если р = 1 МПа, Ld ^–1 = 20, ν = 0.3, n = 1, то последний член подкоренного выражения (7) мал по сравнению с единицей. При р = 10 МПа, Ld^–1 = 40 он составляет около 0.25. Таким образом, при этих данных второй поверхностный эффект приводит к повышению первой собственной частоты (n = 1) более чем на 10%.

Как видно из (6) и (7), влияние второго поверхностного эффекта быстро убывает для высших гармоник. Это объясняется изменением знака кривизны по длине проволоки, что ведет к самоуравновешиванию сил, направленных в разные стороны в соответствии с изменением знака кривизны.

В том случае, когда избыточное давление р отрицательное (вакуумирование), собственная частота ω_n уменьшается (ω_n < Ω_n). В газовой среде абсолютное значение р не может быть больше, чем давление сборки р₀. Наибольшее снижение ω_n происходит для первой гармоники (n = 1). По линейной теории ω₁ обращается в нуль при α = –1 или по (4) при избыточном давлении

Значение давления (8) является критическим [9].

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

При определении первой частоты нелинейных колебаний в (5) принимаем n = 1. Приближенно ее значение находим подстановкой в уравнение (4) функции W₁sinξ sinω₁t, умножением на эту функцию и интегрированием уравнения по ξ в пределах от 0 до π и по t – в пределах от 0 до 2π/ω₁

Как видно из (9), положительные значения параметров α и β приводят к возрастанию собственной частоты. Из литературы хорошо известно влияние нелинейности на частоту. Оно также усиливается при положительном значении β, но не зависит от параметра α. Так же, как в линейном случае, отрицательные значения α и β приводят к снижению собственной частоты. Однако в нелинейной теории при α = –1 частота ω₁ не обращается в нуль.

Если одна из опор допускает свободное осевое перемещение проволоки, то вместо условия и = 0 на опорах имеем N = 0. При этом по всей длине проволоки N = 0. Тогда в (2)–(4) N = 0, ν₀ = 0 и нелинейный член также отсутствует. При этом по данной модели нелинейности формула (9) совпадает с выражением (6) при n = 1. Если избыточное давление р действует на подвижные опоры, то N = –pF. При этом второй эффект не проявляется [9].

Численные значения параметра β или Е_s для многих материалов еще не определены ввиду сложности и необходимой высокой точности экспериментов. Последние носят разнообразный характер. Одним из возможных способов определения Е_s при всех других известных данных и нулевом избыточном давлении (р = 0, α = 0) является экспериментальное определение первой собственной частоты (ω₁) и использование формул (7), (9) 1 + 2β = = ((ω₁)/Ω₁)² или

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По классической теории спектр частот Ω_n изгибных колебаний проволоки с шарнирным закреплением ее концов определяется формулой (6). В литературе установлено, что при диаметре проволоки менее 10^–7 м начинает проявляться поверхностный эффект, определяемый безразмерным параметром β (1). Для одних материалов значение β является положительным, что в соответствии с (6)–(8) приводит к увеличению частот резонанса ω_n по сравнению с Ω_n. Для других материалов β имеет отрицательное значение, тогда ω_n < Ω_n. Вид граничных условий не влияет на первый поверхностный эффект. В сообщении указан один из возможных способов определения параметров β или Е_s исходя из экспериментального значения первой собственной частоты (10).

Второй поверхностный эффект, определяемый безразмерным параметром α (4), зависит от отношений избыточного давления на поверхности к модулю упругости материала и длины проволоки между опорами к ее диаметру. Имеется слабая зависимость значения α от коэффициента Пуассона материала и параметра β. Значение α сильно зависит от вида закреплений концов проволоки, так как они влияют на изменение кривизны осевой линии по длине. Положительное избыточное давление приводит к увеличению частот ω_n по сравнению с Ω_n, отрицательное значение (вакуумирование) к ω_n < Ω_n. При достижении отрицательным избыточным давлением критического значения первая собственная частота может снижаться до нуля. Второй эффект проявляется не только при малых диаметрах проволоки.

Эти результаты не могут быть получены без учета второго поверхностного эффекта, обусловленного взаимодействием давления газовой среды и разности площадей выпуклой и вогнутой частей поверхности проволоки, образующейся при изгибе. Определение спектра частот резонатора слоистой структуры, а также при наличии присоединенных масс различной природы является предметом отдельного исследования.