Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 495, № 1, стр. 57-62

1. Преамбула. В настоящем сообщении представлен новый и неожиданный эффект в задаче о двух пластинах Кирхгофа, соединенных периодическими рядами мелких заклепок, которые моделируются точечными условиями Соболева, связывающими прогибы пластин. В сообщении [1] при расстояниях $\ell = O(h)$ между рядами, сравнимых по порядку с малым периодом h, было описано отличие многорядья заклепок и однорядья: в первом случае реализуется “почти полное” сцепление пластин (поля смещений и напряжений в пределе при $h \to + 0$ оказываются непрерывными на линии стыка), а во втором – лишь шарнирное сочленение (углы поворота одной пластины относительно другой не фиксируется, но на стыке аннулируется изгибающий момент). Далее будет продемонстрировано, что почти полное сцепление сохраняется и при малых расстояниях $\ell = o(h)$, а именно, в ситуациях “визави” (${\text{V}}$ на рис. 1 а) и “зиг-заг” (${\text{Z}}$ на рис. 1 б) нужны соответственно такие ограничения:

Иными словами, при клепании весьма сближенными (на экспоненциально малое расстояние) парами (рис. 1 а) пластины в пределе соединяются в цельную пластину, но при разрозненном клепании (рис. 1 б) даже гораздо большее расстояние между рядами приводит к шарнирному сочленению пластин. Именно сдвоенное расположение заклепок рекомендуется в инженерной практике (см., например, справочник [2]). Уменьшение расстояний между заклепками позволяет сузить область перехлеста пластин при сохранении прочности соединения и тем самым способствует экономии материала. Однако соотношения (1) и (2) относятся исключительно к идеализированной модели клепания, и в реальности сближение заклепок приходится ограничивать по причине возможного разрушения перемычек. К сожалению, применяемая модель не приспособлена к детализированному изучению процесса разрушения, который на практике обычно осуществляется путем “срезания головок”, а не разрывом заклепок, который все-таки можно включить в разрабатываемую модель.

При предельном значении α = 1/2 показателя в (1) и (2) установлены новые предельные условия сопряжения на линии стыка, оставляющие непрерывными прогибы и перерезывающие силы, но связывающие моменты на краях пластин со скачком углов поворотов. Эти условия выводятся путем построения разномасштабных пограничных слоев, а предложенные асимптотические конструкции встретились в теории пластин Кирхгофа, по-видимому, впервые.

2. Постановка задачи. Пусть $\Omega $ – односвязная область на плоскости , ограниченная простым замкнутым кусочно-гладким контуром $\Gamma = \partial \Omega $ с двумя уплощенными участками {x = (x₁, x₂): ${\text{|}}{{x}_{1}}{\text{|}} < L,{{x}_{2}} = \pm 1\} $ – масштабированием полудлина отрезка $\Upsilon = \{ x \in \Omega {\kern 1pt} :\;{{x}_{1}} = 0\} $ сведена к двум, и декартова система координат x сделана безразмерной. Возьмем большое натуральное число $N \in \mathbb{N}$ и введем налегающие одна на другую пластины

и точки внутри общей их части Q^h = $\Omega _{ + }^{h} \cap \Omega _{ - }^{h}$ = = {x ∈ Ω: |x₁| < hH}:

Здесь $h = {{(1 + 2N)}^{{ - 1}}}$ – малый параметр, а следующие безразмерные величины зафиксированы:

Положим $\Upsilon _{ \pm }^{h} = \{ x \in \Omega {\kern 1pt} :\; \pm {\kern 1pt} {{x}_{1}} = - hH\} $ и выделим непустые замкнутые дуги ${{\Sigma }_{ \pm }} \subset \partial \Omega _{ \pm }^{0}{\backslash }\overline \Upsilon $, причем $\Omega _{ \pm }^{0} = \{ x \in \Omega $: ±x₁ > 0}.

Прогибы $u_{ \pm }^{h}$ пластин Кирхгофа (3), скрепленных в точках (4), удовлетворяют уравнению Софи Жермен (см., например, [3, § 30])

краевым условиям свободного и защемленного края а также условиям сопряжения Соболева корректность постановки которых обеспечена теоремой Соболева (см., например, [4]) о вложении ${{H}^{2}} \subset C$ на плоскости. Здесь ${{\nabla }_{x}} = {\text{grad}}$, Δ_x = = ${{\nabla }_{x}} \cdot {{\nabla }_{x}}$ – оператор Лапласа, а операторы краевых условий имеют вид [5, 3 ] где (n, s) – система криволинейных координат в окрестности $\mathcal{V}$ контура $\Gamma $, $n$ – ориентированное расстояние до $\Gamma $, n < 0 в $\Omega \cap \mathcal{V}$, s – длина дуги, измеренная в направлении против часовой стрелки, а $\varkappa (s)$ – кривизна в точке $s \in \Gamma $. На прямолинейных участках, разумеется, $\varkappa = 0$, а угловые точки границы не принимаются во внимание в краевых условиях (6) и (7). Наконец, $\nu \in \left[ {0,\,\,\frac{1}{2}} \right)$ – коэффициент Пуассона, отсутствующий в бигармонических уравнениях (5), но фигурирующий в функционале упругой энергии $\frac{1}{2}DE(u_{ \pm }^{h},\,\,u_{ \pm }^{h};\,\,\Omega _{ \pm }^{h})$, запасенной пластиной $\Omega _{ \pm }^{h}$ под действием поперечной нагрузки $D{{f}_{ \pm }}$, D > 0 – цилиндрическая жесткость пластин,

При учете формулы Грина (см. [3, § 30]), включающей дифференциальные операторы (9), вариационная формулировка задачи (5)–(8)

осуществляется на пространстве

Здесь ( , )_Ω – натуральное скалярное произведение в пространстве Лебега ${{L}^{2}}(\Omega )$, а ${{H}^{l}}(\Omega )$ – пространство Соболева порядка $l \in \mathbb{N}$.

В силу условий Дирихле (7) и простого неравенства

задача (10) с правыми частями ${{f}_{ \pm }} \in {{L}^{2}}(\Omega )$ имеет единственное решение ${{u}^{h}} \in {{\mathcal{H}}^{h}}$ и верна оценка

Следовательно, сужения полей $u_{ \pm }^{h}$ на подобласти $\Omega _{ \pm }^{0}$ подчинены сходимостям

Предел ${{u}^{0}} = (u_{ + }^{0},u_{ - }^{0})$ удовлетворяет интегральному тождеству

а строение пространства ${{\mathcal{H}}^{0}}$ составных функций ${{\psi }^{0}} = (\psi _{ + }^{0},\psi _{ - }^{0})$ представлено далее для различных ситуаций.

3. Не слишком сближенные ряды заклепок. Сначала допустим, что в обеих ситуациях ${\text{Z}}$ и ${\text{V}}$ справедливо соотношение

с показателем $\alpha \in [0,1{\text{/}}2)$. Для следов на $\overline \Upsilon = \partial \Omega _{ + }^{0} \cap \partial \Omega _{ - }^{0}$ функций $u_{ \pm }^{h} \in {{H}^{2}}(\Omega _{ \pm }^{h})$, подчиненных условиям Соболева (8), выполнено неравенство

Таким образом, ${{L}^{2}}(\Upsilon )$-нормы из левой части (14) оказываются бесконечно малыми при $h \to + 0$, т.е. предел ${{u}^{0}} = (u_{ + }^{0},u_{ - }^{0})$ из (11) и его градиент становятся непрерывными на разделительном отрезке $\Upsilon $. Таким образом, в случае (13) имеем

В итоге ${{\Delta }^{2}}{{u}^{0}} = f$ в $\Omega $ и ${{u}^{0}} \in {{H}^{4}}(\Omega )$, т.е. все упругие поля оказываются непрерывными на стыке пластин $\Omega _{ \pm }^{0}$, которые тем самым в пределе образуют единое целое.

4. Ситуация ${\text{Z}}$: заклепки сближены. Предположим, что $\alpha > 1{\text{/}}2$ в формуле (13). Тогда в интегральном тождестве (12) появляется более широкое, чем (15), пространство

в котором углам поворота $\frac{{\partial u_{ \pm }^{0}}}{{\partial {{x}_{1}}}}$ разрешено претерпевать скачки на общей кромке $\Upsilon $ пластин $\Omega _{ \pm }^{0}$. Если при $\alpha \in [0,1{\text{/}}2)$ предельный переход в интегральном тождестве (10) осуществляется для пробных функций $\psi _{ \pm }^{h}$, полученных сужением ${{\psi }^{0}} \in C_{c}^{\infty }(\overline \Omega {\backslash }\overline \Sigma )$ на подобласти $\Omega _{ \pm }^{h}$, и потому заведомо удовлетворяющие условиям Соболева (8), то теперь нужна пробная функция $(\psi _{ + }^{h},\psi _{ - }^{h})$, для которой пределы $\psi _{ \pm }^{0}$ совпадают на $\Upsilon $, но производным $\frac{{\partial \psi _{ \pm }^{0}}}{{\partial {{x}_{1}}}}$ разрешены разрывы. Из-за последнего условия конструкция нужной пробной функции усложняется:

При этом ${{\Psi }_{ \pm }}$ – продолжение ${{\psi }_{ \pm }}$ с $\Omega _{ \pm }^{0}$ на $\Omega $ при сохранении гладкости,

а $\chi \in C_{c}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{2}})$ – срезающая функция, равная единице вблизи начала координат. Поскольку в ситуации ${\text{Z}}$ расстояния между парами точек из множества ${{\mathcal{P}}^{h}}$ превосходят ch, c > 0, уменьшением носителя срезки χ добиваемся дизъюнктности семейства носителей слагаемых суммы из (17). Таким образом, квадрат ${{H}^{2}}({{Q}^{h}})$-нормы поправочной суммы не превосходит $C{{h}^{{ - 4}}}{{h}^{2}}(1 + 2N){{h}^{{2 + 2\alpha }}}$ (соответственно вклады вторых производных функции $\chi ({{h}^{{ - 1}}} \cdot )$, площадей носителей слагаемых и их количества, а также мажоранты из оценки (18)) и оказывается бесконечно малой $O({{h}^{{2\alpha - 1}}})$ при α > 1/2. В итоге предельный переход $h \to + 0$ в соотношении (10) действительно дает интегральное тождество (12) на пространстве (16).

Дифференциальная постановка полученной предельной задачи на сочленении пластин $\Omega _{ + }^{0} \cup \Omega _{ - }^{0}$ включает два условия сопряжения

и два краевых условия

Операторы (9) упрощаются на $\Upsilon $, так как $\varkappa = 0$, а функциональное пространство в интегральном тождестве (12) принимает вид (16).

5. Ситуация ${\text{V}}$: критический показатель. При d = 0 расстояние между соседними точками $P_{{(j + )}}^{h}$ и $P_{{(j - )}}^{h}$ равно $2h\ell $ (см. формулу (4)) и составляет o(h) в случае (13) при α > 1/2, а значит, рассуждения из предыдущего раздела не приводят к успеху. К сожалению, автор не знает простого приема, позволяющего осуществить предельный переход в ситуации ${\text{Z}}$ при $\ell = o({{h}^{{1/2}}})$, но заменяет его более сложным асимптотическим анализом. Примем соотношения

и поясним, почему в случае (1) при α < 1/2 пределом служит задача (12), (15) о цельной пластине Ω.

При растяжении координат $x \mapsto \xi = {{h}^{{ - 1}}}x$ и переходе к h = 0 получаем следующую задачу о двух полуполосах ${{\Pi }_{ \pm }} = \{ \xi \in {{\mathbb{R}}^{2}}{\kern 1pt} :\; \pm {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\xi }_{1}} > - H,\;{\text{|}}{{\xi }_{2}}{\text{|}} < 1{\text{/}}2\} $, соединенных в начале координат,

Множество ${{\mathcal{P}}^{0}}$ содержит только начало координат ${{P}^{0}} = (0,0)$, так как точки $P_{{(j - )}}^{h}$ и $P_{{(j + )}}^{h}$ совпали в пределе. Медленная переменная ${{x}_{2}} \in ( - 1,1)$ осталась в качестве параметра, и

Такая задача не имеет решения, если $g_{ \pm }^{2} \ne 0$.

Для того чтобы учесть малое расстояние 2lh между точками $P_{{(j + )}}^{h}$ и $P_{{(j - )}}^{h}$ (см. формулы (4) и (20)), введем сверхбыстрые переменные $\eta \, = \,{{\ell }^{{ - 1}}}\xi \, = \,{{h}^{{ - 1}}}{{e}^{{\beta /h}}}x$ и получим еще одну предельную задачу

с условиями Соболева в двух точках ${{P}_{ \pm }} = ( \pm {{l}_{0}},0)$, т.е. $\mathcal{P} = \{ {{P}_{ + }},{{P}_{ - }}\} $. Вспомнив фундаментальное решение $\Phi (\eta ) = - \,{{(8\pi )}^{{ - 1}}}{\text{|}}\eta {{{\text{|}}}^{2}}ln{\text{|}}\eta {\text{|}}$ бигармонического оператора на плоскости, находим решения ${{v}_{ \pm }} = \pm V$ задачи (26), где бигармоническая функция имеет такое поведение в координатах η и ξ:

При учете множителя h^–1 в правой части (28) члены внутреннего разложения около пар точек $P_{{(j \pm )}}^{h}$

которое предстоит срастить с внешним разложением приобретает вид $v_{ \pm }^{0}({{x}_{2}}) = u_{ + }^{0}( + 0,{{x}_{2}}) = u_{ - }^{0}( - 0,{{x}_{2}})$ и

Кроме того, производная фундаментального решения, присутствующая в (28), уточняет уравнения (21) для члена ${{h}^{2}}{{w}_{ \pm }}(\xi ,{{x}_{2}})$ типа пограничного слоя:

Правая часть содержит производную дельта-функции Дирака. Условия разрешимости задачи (30), (22)–(25) принимают вид

с коэффициентом $m = 2{\text{/}}\beta $, которые заменяют краевые условия (19) в предельной задаче и означают шарнирное соединение пластин с трением. В вариационной постановке новой задачи функциональное пространство (16) сохраняется, но в левую часть интегрального тождества (5) добавляется положительная билинейная форма и полученная задача остается однозначно разрешимой.

5. Замечания. 1°. Для критического показателя в ситуации ${\text{Z}}$, т.е. при d > 0 и α = 1/2 в формулах (4) и (2), соответственно, в пределе при $h \to + 0$ также возникают краевые условия (31), однако коэффициент m > 0 определяется более сложной формулой, включающей некую интегральную характеристику задачи (21)–(24) о скреплении полубесконечности полос в двух точках ${{\mathcal{P}}^{0}} = \{ {{P}^{ \pm }} = (0, \pm d)\} $.

2°. Если в ситуации ${\text{V}}$ выполнено соотношение (1) с α < 1/2, то в правой части (28) появляется слагаемое $ - \beta {{h}^{{2\alpha }}}{{\xi }_{1}}$, у которого прядок роста при $h \to + 0$ недостаточен для взаимодействия с членами ${{\eta }_{1}}a{\kern 1pt} '({{x}_{2}})u$ и $ \pm ha{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '({{x}_{2}})V(\eta )$ внутреннего разложения (29). В итоге предельная задача (12) ставится на пространстве (15) и описывает сцепление пластин $\Omega _{ \pm }^{0}$ в единое целое.

3°. Ключевое различие ситуаций ${\text{Z}}$ и ${\text{V}}$ обусловлено разным количеством точек, в которых назначены условия сопряжения Соболева в предельной задаче (26) о мелком пограничном слое. Если d > 0 в определении (4), то расстояние между соседними точками $P_{{(j \pm )}}^{h}$ составляет $O(h)$, а значит, после введения сверхбыстрых переменных условия Соболева в задаче (26) ставятся в одной точке $\mathcal{P} = \{ {{P}^{0}} = (0,0)\} $, а решение однородной задачи растет на бесконечности как $O({\text{|}}\eta {{{\text{|}}}^{2}}ln{\text{|}}\eta {\text{|}})$. Если же d = 0, то упомянутое расстояние есть o(h), и у дву-точечной (т.е. $\mathcal{P} = \{ {{P}^{ \pm }} = ( \pm {{l}_{0}},0)\} )$) задачи (26) появляется решение (27) с меньшим ростом $O({\text{|}}\eta {\text{|}}ln{\text{|}}\eta {\text{|}})$. Расхождение порядков роста сказывается на процедуре сращивания, которая, в свою очередь, требует существенно отличающихся ограничений (2) и (1) для обеспечения полного сцепления пластин в пределе.