1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
  4. T. 495, № 1, 2020

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 495, № 1, стр. 9-13

О ВЫВОДЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И ГРАВИТАЦИИ ИЗ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

В. В. Веденяпин 1, *, М. Ю. Воронина 1, А. А. Руссков 1

1 Федеральный исследовательский центр Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук
Москва, Россия

* E-mail: vicveden@yahoo.com

Поступила в редакцию 22.09.2020
После доработки 29.09.2020
Принята к публикации 30.09.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Проблема обоснования уравнений гравитации и электродинамики с помощью принципа наименьшего действия является классической. Предлагается вывод уравнений Власова–Максвелла–Эйнштейна из классического, но немного более общего принципа наименьшего действия. При этом получается впервые вывод правых частей уравнений Максвелла и Эйнштейна, а потому и замкнутая система уравнений для гравитации и электродинамики.

Ключевые слова: уравнение Власова, уравнение Власова–Эйнштейна, уравнение Власова–Максвелла, уравнение Власова–Пуассона

В классических работах (см. [1–4]) уравнения для полей даются без вывода правых частей. Здесь мы предлагаем вывод правых частей уравнений Максвелла и Эйнштейна в рамках уравнений Власова–Максвелла–Эйнштейна из классического, но немного более общего принципа наименьшего действия.

1. Действие в общей теории относительности и уравнения для полей. Пусть $f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right)$ – функция распределения частиц по пространству ${\mathbf{x}} \in {{\mathbb{R}}^{3}}$, по скоростям ${\mathbf{v}} \in {{\mathbb{R}}^{3}}$, массам $m \in \mathbb{R}$ и заряду $e \in \mathbb{R}$ в момент времени $t \in \mathbb{R}$. Это означает, что число частиц в объеме $d{\mathbf{x}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} d{\mathbf{v}}{\kern 1pt} dm{\kern 1pt} {\kern 1pt} de$ равно$f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right)d{\mathbf{x}}{\mkern 1mu} d{\mathbf{v}}{\mkern 1mu} dm{\mkern 1mu} de$. Рассмотрим действие:

(1)
$\begin{gathered} S = - c\int {mf} \left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right)\sqrt {{{g}_{{\mu \nu }}}{{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }}} \,{{d}^{3}}x{{d}^{3}}{v}dmdedt - \\ \, - \frac{1}{c}\int {ef} \left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right){{A}_{\mu }}{{u}^{\mu }}{{d}^{3}}x{{d}^{3}}{v}dmdedt + \\ \, + {{k}_{1}}\int {\left( {R + \Lambda } \right)} \sqrt { - g} \,{{d}^{4}}x + {{k}_{2}}\int {{{F}_{{\mu \nu }}}} {{F}^{{\mu \nu }}}\sqrt { - g} \,{{d}^{4}}x, \\ \end{gathered} $
где c – скорость света, ${{u}^{0}} = c$ и ${{u}^{i}} = {{{v}}^{i}}$ $(i = 1,2,3)$ – трехмерная скорость, ${{x}^{0}} = c{\mkern 1mu} t$ и ${{x}^{i}}\;(i = 1,2,3)$ – координата, ${{g}_{{\mu \nu }}}({\mathbf{x}},t)$ – метрика $(\mu ,\nu = 0,1,2,3)$, Aμ(x, t) – 4-потенциал электромагнитного поля, ${{F}_{{\mu \nu }}}({\mathbf{x}},t) = \frac{{\partial {{A}_{\mu }}({\mathbf{x}},t)}}{{\partial {{x}^{\nu }}}} - \frac{{\partial {{A}_{\nu }}({\mathbf{x}},t)}}{{\partial {{x}^{\mu }}}}$ – электромагнитные поля, R – полная кривизна, $\Lambda $ – лямбда-член Эйнштейна, ${{k}_{1}} = - \frac{{{{c}^{3}}}}{{16\pi \gamma }}$ и ${{k}_{2}} = - \frac{1}{{16\pi c}}$ – константы [1–4], g – определитель метрики ${{g}_{{\mu \nu }}}$, γ – постоянная тяготения, по повторяющимся индексам, как обычно, идет суммирование.

Вид действия (1) удобен для получения уравнений Эйнштейна и Максвелла при варьировании по полям ${{g}_{{\mu \nu }}}$ и ${{A}_{\mu }}$. Такой способ вывода уравнений Власова–Максвелла и Власова–Эйнштейна использовался в работах [5–8]. При варьировании (1) по ${{g}_{{\mu \nu }}}$ получим уравнение Эйнштейна:

(2)
$\begin{gathered} {{k}_{1}}\left( {{{R}^{{\mu {\kern 1pt} \nu }}} - \frac{1}{2}{{g}^{{\mu \nu }}}\left( {R + \Lambda } \right)} \right)\sqrt { - g} = \\ \, = \int m \frac{{f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right)}}{{2\sqrt {{{g}_{{\mu \nu }}}{{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }}} }}{{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }}{{d}^{3}}{v}dmde - \\ \, - \frac{1}{2}{{k}_{2}}{{F}_{{\mu \nu }}}{{F}^{{\mu \nu }}}{{g}^{{\mu \nu }}}\sqrt { - g} . \\ \end{gathered} $

Первое слагаемое правой части этого уравнения и является по определению Гильберта тензором энергии-импульса. Он выписан впервые в таком виде в работах [7, 8] в менее общем виде без распределения по массам и зарядам. Попытки выписать тензор энергии-импульса через функцию распределения предпринимались, насколько нам известно, только в релятивистской кинетической теории для уравнения Власова–Эйнштейна [5–15]. Однако использование функции распределения от четырехмерного импульса приводило к необходимости использовать дельта-функцию $\delta ((m{\mkern 1mu} {{c}^{2}}) - {{g}^{{\mu \nu }}}{\mkern 1mu} {{P}_{\mu }}{\mkern 1mu} {{P}_{\nu }})$. Также и уравнения движения, приводящие к уравнению типа Власова, также оказывались неудовлетворительными.

Уравнение электромагнитных полей получается варьированием (1) по ${{A}_{\mu }}$ и называется уравнением Максвелла:

(3)
${{k}_{2}}\frac{{\partial \sqrt { - g} {{F}^{{\mu \nu }}}}}{{\partial {{x}_{\nu }}}} = \frac{1}{{{{c}^{2}}}}\int e {{u}^{\mu }}f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right){{d}^{3}}{v}dmde.$

Покажем, что вид действия (1) является более общим, чем в [1–4]. Для получения стандартного вида действия возьмем функцию распределения в виде δ-функции для одной частицы:

(4)
$\begin{gathered} f\left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e,t} \right) = \\ \, = \delta \left( {{\mathbf{x}} - {\mathbf{x}}{\kern 1pt} '\left( t \right)} \right)\delta \left( {{\mathbf{v}} - {\mathbf{v}}{\kern 1pt} '\left( t \right)} \right)\delta \left( {m - m{\kern 1pt} '} \right)\delta \left( {e - e{\kern 1pt} '} \right). \\ \end{gathered} $

Подставляя (4) в действие (1) и опустив знак $\left( ' \right)$, получаем стандартные [1–4] выражения для всех слагаемых:

(5)
$\begin{gathered} S = - cm\int {\sqrt {{{g}_{{\mu \nu }}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right){{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }}} } \,dt - \frac{e}{c}\int {{{A}_{\mu }}} \left( {{\mathbf{x}},t} \right){{u}^{\mu }}dt + \\ \, + {{k}_{1}}\int {\left( {R + \Lambda } \right)} \sqrt { - g} {{d}^{4}}x + {{k}_{2}}\int {({{F}_{{\mu \nu }}}{{F}^{{\mu \nu }}})} \sqrt { - g} \,{{d}^{4}}x. \\ \end{gathered} $

В роли частиц могут быть электроны и ионы в плазме, планеты в галактиках, галактики в супергалактиках, скопление галактик во Вселенной. В равенстве (4) мы можем взять сумму дельта-функций и получить обычное действие [1–4] для конечной системы частиц: этим обосновывается выбор более общего действия (1).

2. Уравнения движения частиц в заданных полях,  уравнение Лиувилля и уравнение Власова–Максвелла–Эйнштейна. Воспользуемся инвариантностью первых двух слагаемых уравнения (5) относительно замены $t = \phi \left( \lambda \right)$. Здесь $\lambda $ – произвольный параметр. Такая инвариантность хорошо известна [1–4]. Перепишем первые два слагаемых из уравнения (5):

(6)
$S = - cm\int {\sqrt {{{g}_{{\mu {\kern 1pt} \nu }}}{{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }}} \,d\lambda } - \frac{e}{c}\int {{{A}_{\mu }}{{u}^{\mu }}d\lambda } ,$
и варьируя по ${\mathbf{x}}\left( \lambda \right)$, получаем уравнение Эйлера–Лагранжа:

(7)
$\begin{gathered} cm\frac{d}{{d\lambda }}\left[ {\frac{{{{g}_{{\mu \nu }}}{{u}^{\nu }}}}{{\sqrt {{{g}_{{\eta {\kern 1pt} \xi }}}{{u}^{\eta }}u_{\nu }^{\xi }} }} + \frac{e}{c}{{A}_{\mu }}} \right] = \\ \, = cm\frac{1}{{\sqrt {{{g}_{{\eta {\kern 1pt} \xi }}}{{u}^{\eta }}u_{\nu }^{\xi }} }}\frac{{\partial {{g}_{{\mu \nu }}}}}{{\partial {{x}^{\mu }}}}{{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }} + \frac{e}{c}\frac{{\partial {{A}_{\nu }}}}{{{{x}^{\mu }}}}{{u}^{\nu }}. \\ \end{gathered} $

Уравнение (7) перепишем, обозначив через I = = ${{g}_{{\eta \xi }}}\frac{{\partial {{x}^{\eta }}}}{{\partial \lambda }}\frac{{\partial {{x}^{\xi }}}}{{\partial \lambda }}$ интеграл движения:

(8)
$\frac{{{{d}^{2}}{{x}^{\mu }}}}{{d{{\lambda }^{2}}}} + \Gamma _{{\nu \eta }}^{\mu }\frac{{d{{x}^{\eta }}}}{{d\lambda }}\frac{{d{{x}^{\nu }}}}{{d\lambda }} = \frac{e}{{m{{c}^{2}}}}\sqrt I F_{\nu }^{\mu }\frac{{d{{x}^{\nu }}}}{{d\lambda }},$
здесь $\Gamma _{{\nu \eta }}^{\mu }$ – символ Кристофеля:

$\Gamma _{{\nu \eta }}^{\mu } = \frac{1}{2}{{g}^{{\mu m}}}\left( {\frac{{\partial {{g}_{{mk}}}}}{{\partial {{x}^{\nu }}}} + \frac{{\partial {{g}_{{m\nu }}}}}{{\partial {{x}^{k}}}} + \frac{{\partial {{g}_{{k\nu }}}}}{{\partial {{x}^{m}}}}} \right).$

Уравнение (8) отличается от приведенных в руководствах [1–4] наличием $\sqrt I $ в правой части: в этих руководствах дифференцирование идет по собственному времени $ds = d\lambda \sqrt I $. Это неудобно, так как для каждой частицы это собственное время индивидуально. Далее будет использована формула (8), которая обладает симметрией при замене ${\mathbf{x}} \to \alpha {\mathbf{x}}$, $\lambda \to \alpha \lambda $, что и позволяет понизить ее порядок. Для этого перепишем уравнение (8) в виде

(9)
$\begin{gathered} \frac{{d{{x}^{\mu }}}}{{d\lambda }} = {{v}^{\mu }}, \\ \frac{{d{{v}^{\mu }}}}{{d\lambda }} = - \Gamma _{{\nu \eta }}^{\mu }\frac{{d{{x}^{\eta }}}}{{d\lambda }}\frac{{d{{x}^{\nu }}}}{{d\lambda }} + \frac{{e\sqrt I }}{{m{{c}^{2}}}}F_{\nu }^{\mu }\frac{{d{{x}^{\nu }}}}{{d\lambda }}. \\ \end{gathered} $

Избавляемся от λ, поделив остальные уравнения на первое из уравнений системы (9). Так как ${{x}^{0}} = \,c{\mkern 1mu} t$ пропорционально времени, обозначим ${{v}^{\mu }}{\text{/}}{{v}^{0}} = \frac{{d{{x}^{\mu }}}}{{d{{x}^{0}}}}$ = wμ – безразмерная скорость, где ${{w}^{0}}$ = 1. При этом из-за симметрии, описанной выше, можно избавиться от уравнения $\frac{{d{{v}^{0}}}}{{d{{x}^{0}}}}$ и написать уравнения по ${{x}^{i}},{{w}^{i}}$ $(i = 1,2,3)$. Такое понижение порядка описано для гравитации в книгах Фока [1] и Вейнберга [3]. Там этот переход в уравнениях приведен для гравитации, где уравнения не отличаются для параметра λ и собственного времени s. Однако если добавляется электромагнетизм, то отличие заключается как раз в появлении корня в правой части, который обеспечивает необходимую симметрию. Нам это понижение переходом к собственному времени необходимо, так как наша цель – получить уравнение на функцию распределения $f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right)$. Тогда

(10)
$\begin{gathered} \frac{{d{{x}^{i}}}}{{d{{x}^{0}}}} = {{v}^{i}}, \\ \frac{{d{{v}^{i}}}}{{d{{x}^{0}}}} = {{G}^{i}}, \\ \end{gathered} $
где Gi обозначено следующее выражение:
${{G}^{i}} = - \Gamma _{{\nu \eta }}^{i}{{{v}}^{\nu }}{{{v}}^{\eta }} + \frac{{{{{v}}^{i}}}}{c}\Gamma _{{\eta \nu }}^{0}{{{v}}^{\eta }}{{{v}}^{\nu }} + \frac{{e\sqrt J }}{{m{{c}^{2}}}}\left[ {F_{\eta }^{i}{{{v}}^{\eta }} - \frac{{{{{v}}^{i}}}}{c}F_{\eta }^{0}{{{v}}^{\eta }}} \right],$
а $J = {{g}_{{\nu \xi }}}{{{v}}^{\nu }}{{{v}}^{\xi }}$, ${{{v}}^{i}}$ – трехмерная скорость.

Мы получили уравнения движения заряженных частиц в электромагнитных и гравитационных полях в релятивистской форме из принципа наименьшего действия.

В заключение выпишем уравнение Лиувилля для функции распределения $f\left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e,t} \right)$ и системы (10):

(11)
$\frac{{\partial f}}{{\partial t}} + {{{v}}^{i}}\frac{{\partial f}}{{\partial {{x}^{i}}}} + \frac{{\partial ({{G}^{i}}f)}}{{\partial {{{v}}^{i}}}} = 0.$

Уравнения (10), (2) и (3) образуют систему уравнений Власова–Максвелла–Эйнштейна. Это замкнутая система уравнений релятивистской электродинамики и гравитации. Общий смысл уравнений типа Власова именно таков: они позволяют замкнуть систему электродинамики (уравнение Власова–Максвелла) и гравитации (уравнение Власова–Эйнштейна) и вывести их из принципа наименьшего действия.

3. Общий переход к гидродинамике [6, 7]. Рассмотрим произвольную систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

$\frac{{dx}}{{dt}} = {v}(x),\quad x \in {{R}^{n}},\quad v(x) \in {{C}^{1}}({{R}^{n}}).$

Перепишем ее в виде $x = (q,p)$, $q \in {{R}^{m}}$, $p \in {{R}^{{n - m}}}$:

$\frac{{dq}}{{dt}} = w(q,p),\quad \frac{{dp}}{{dt}} = g(q,p).$

Выпишем уравнение Лиувилля для функции распределения $f(t,q,p)$:

$\frac{{\partial f}}{{\partial t}} + \frac{{\partial ({{w}_{i}}f)}}{{\partial {{q}_{i}}}} + \frac{{\partial ({{g}_{j}}f)}}{{\partial {{p}_{j}}}} = 0.$

Выполним гидродинамическую подстановку $f(t,q,p) = \rho (q,t)\delta (p - Q(q,t))$:

$\begin{gathered} \frac{{\partial f}}{{\partial t}} = \frac{{\partial \rho \left( {q,t} \right)}}{{\partial t}}\delta \left( {p - Q\left( {q,t} \right)} \right) - \\ \, - \rho (q,t)\frac{{\partial \delta (p - Q(q,t))}}{{\partial {{p}_{i}}}}\frac{{\partial {{Q}_{i}}(q,t)}}{{\partial t}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \frac{{\partial ({{w}_{i}}(q,p)f)}}{{\partial {{q}_{i}}}} = \frac{{\partial ({{w}_{i}}(q,Q)\rho (q,t))}}{{\partial {{q}_{i}}}}\delta (p - Q(q,t)) - \\ \, - \rho (q,t){{w}_{i}}(q,Q(q,t))\frac{{\partial (p - Q(q,t))}}{{\partial {{p}_{k}}}}\frac{{\partial {{Q}_{k}}(q,t)}}{{\partial {{q}_{i}}}}, \\ \end{gathered} $
$\frac{{\partial ({{g}_{j}}(q,p)f)}}{{\partial {{p}_{j}}}} = \rho (q,t){{g}_{j}}(q,Q(q,t))\frac{{\partial \delta (p - Q(q,t))}}{{\partial {{p}_{j}}}}.$

При дифференцировании мы воспользовались правилами дифференцирования обобщенных функций. Собирая множители при дельта-функции и ее производных, получаем систему уравнений:

$\begin{gathered} \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \frac{{\partial (\rho {{w}_{i}}(q,Q))}}{{\partial {{q}_{i}}}} = 0, \\ \rho (q,t)\left( {\frac{{\partial {{Q}_{j}}(q,t)}}{{\partial t}} + } \right. \\ \, + \left. {{{w}_{i}}(q,Q(q,t))\frac{{\partial {{Q}_{j}}(q,t)}}{{\partial {{q}_{i}}}} - {{g}_{j}}(q,Q(q,t))} \right) = 0. \\ \end{gathered} $

Гидродинамическая подстановка была изобретена в рамках уравнений Власова [4], а для произвольных систем обыкновенных дифференциальных уравнений введена в [6]. Это система уравнений имеет яркий геометрический смысл: она описывает движение m-мерных поверхностей в n-мерном пространстве в силу исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Получающаяся система квазилинейных уравнений не общая, а в терминологии Куранта и Гильберта называется системой уравнений с одинаковой главной частью. Для гамильтоновых систем из нее получается уравнение Гамильтона–Якоби естественным способом: проходит подстановка для скоростей в виде градиента функции, которая оказывается действием [6]. В случае линейной исходной системы ОДУ решение системы с одинаковой главной частью можно искать в виде ${{Q}_{k}}\left( {t,q} \right) = \lambda _{k}^{a}\left( t \right){{q}_{a}}$, линейном по координатам q. Получается система обыкновенных дифференциальных уравнений в матричном виде на матрицу $\lambda _{k}^{a}(t)$. Это обобщение слет-разлетных решений, которые мы используем ниже.

4. Нерелятивистская гидродинамика. Применим этот способ в нерелятивистском случае для вывода уравнений Власова–Пуассона–Пуассона и гравитационной газодинамики заряженных частиц, действуя по той же схеме. Нерелятивистский случай соответствует действию [5, 6]:

(12)
$\begin{gathered} S = \int {\left[ {\frac{{m{{v}^{2}}}}{2} - e\varphi - mU} \right] \times } \\ \, \times f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right)d{\mathbf{x}}d{\mathbf{v}}dmdedt + \\ + \frac{1}{{8\pi }}\int {{{{\left( {\nabla \varphi } \right)}}^{2}}d{\mathbf{x}}dt} - \frac{1}{{8\pi \gamma }}\int {{{{\left( {\nabla U} \right)}}^{2}}{\kern 1pt} d{\mathbf{x}}dt} . \\ \end{gathered} $

Варьируем по $\varphi $ и по U, получая дважды уравнения Пуассона:

(13)
$\begin{gathered} \Delta \varphi = - 4\pi \int {e{\kern 1pt} f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right)d{\mathbf{v}}dmde,} \\ \Delta U = 4\pi \gamma \int {m{\kern 1pt} f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right)d{\mathbf{v}}dmde.} \\ \end{gathered} $

Действие для одной частицы следует при выборе

$\begin{gathered} f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right) = \\ \, = \delta \left( {e - q} \right)\delta \left( {m - M} \right)\delta \left( {{\mathbf{x}} - {\mathbf{y}}\left( t \right)} \right)\delta \left( {{\mathbf{v}} - {\mathbf{y}}{\kern 1pt} '\left( t \right)} \right). \\ \end{gathered} $

Рассмотрим для такой функции распределения первое слагаемое в (12), получая стандартное действие:

${{S}_{1}} = \int {\left[ {\frac{{my{\kern 1pt} {{'}^{2}}}}{2} - q\varphi ({\mathbf{y}}) - MU({\mathbf{y}})} \right]{\kern 1pt} {\mkern 1mu} dt} .$

Варьируем, как обычно в механике, и получаем уравнение Ньютона:

$M{\kern 1pt} {\mathbf{y}}{\kern 1pt} ''\, - M{\kern 1pt} \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathbf{y}}}} - q{\kern 1pt} \frac{{\partial \varphi }}{{\partial {\mathbf{y}}}} = 0.$

Переходим к уравнению Лиувилля для соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

$\begin{gathered} {\mathbf{\dot {y}}} = {\mathbf{v}}, \\ {\mathbf{\dot {v}}} = - \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathbf{x}}}} - \frac{q}{M}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial {\mathbf{x}}}}, \\ \end{gathered} $
тогда

(14)
$\frac{{\partial f}}{{\partial t}} + \left( {{\mathbf{v}},\frac{{\partial f}}{{\partial {\mathbf{x}}}}} \right) - \left( {\frac{{\partial U}}{{\partial {\mathbf{x}}}} + \frac{q}{M}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial {\mathbf{x}}}},\frac{{\partial f}}{{\partial {\mathbf{v}}}}} \right) = 0.$

Система (13)–(14) и есть система уравнений Власова–Пуассона–Пуассона.

Получим гидродинамические следствия этих уравнений, как это было сделано выше в п. 3 [4–6]: $f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right) = \rho \left( {t,{\mathbf{x}},m,e} \right)\delta \left( {{\mathbf{v}} - {\mathbf{w}}\left( {t,{\mathbf{x}},m,e} \right)} \right)$. Тогда

$\begin{gathered} \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + {\text{div}}\left( {\rho {\mathbf{w}}} \right) = 0, \\ \frac{{\partial {{w}_{k}}}}{{\partial t}} + {{w}_{i}}\frac{{\partial {{w}_{k}}}}{{\partial {{x}_{i}}}} + \frac{{\partial U}}{{\partial {{х}_{k}}}} + \frac{q}{M}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial {{х}_{k}}}} = 0, \\ \Delta \varphi = - 4\pi \int {e{\kern 1pt} \rho dmde,} \\ \Delta U = 4\pi \gamma \int {m{\kern 1pt} \rho dmde.} \\ \end{gathered} $

Получим автомодельное решение этой системы, предполагая однородность по пространству правых частей в (12). Пусть ${{w}_{k}}(t,{\mathbf{x}},m,e)$ = xkw(t) – слет-разлетные решения, $\rho \left( {t,{\mathbf{x}},m,e} \right) = h\left( {t,m,e} \right)$ (однородность по пространству). Тогда

$\varphi = - {{x}^{2}}\frac{{2\pi }}{3}\int {eh(t,m,e){\kern 1pt} dm{\kern 1pt} de} ,$
$U = {{x}^{2}}\frac{{2\pi \gamma }}{3}\int {mh(t,m,e)dmde} .$

Поэтому получаем уравнение

$\begin{gathered} \frac{{\partial h}}{{\partial t}} + 3hw = 0, \\ \frac{{\partial w}}{{\partial t}} + {{w}^{2}} + \frac{{2\pi \gamma }}{3}\int {mh\left( {t,m,e} \right)dmde} - \\ \, - \frac{{2\pi q}}{{3M}}\int {eh\left( {t,m,e} \right)dmde} = 0. \\ \end{gathered} $

Получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для w(t) и

$\begin{gathered} \alpha (t) = - \frac{{2\pi q}}{{3M}}\int {eh(t,m,e)dmde} + \\ + \,\,\frac{{2\pi \gamma }}{3}\int {mh(t,m,e)dmde\,{\text{:}}} \\ \end{gathered} $
(15)
$\begin{gathered} \frac{{d\alpha }}{{dt}} + 3w\alpha = 0, \\ \frac{{dw}}{{dt}} + {{w}^{2}} + \alpha = 0. \\ \end{gathered} $

Это есть нерелятивистский аналог уравнений Фридмана – обобщенные уравнения Милна–МакКри. В случае нейтральности функция $\rho (t,{\mathbf{x}},m,e) = h(t,m,e)$ положительная и четная по зарядам, поэтому первое слагаемое в α(t) равно нулю и функция α(t), связанная только с гравитацией, положительна. Отметим, что это точное решение уравнения Власова–Пуассона и его гидродинамического следствия. Из второго уравнения видим, что ускорение $\frac{{dw}}{{dt}}$ отрицательно, и единственный способ сделать его положительным – это сделать α(t) отрицательным, т.е. включить первое слагаемое. Либо добавить лямбда-член Эйнштейна, и тогда к α(t) добавляется отрицательная постоянная. Это дает то, что наблюдается в эксперименте как ускоренное расширение галактик, что ассоциируется с темной энергией. Это случай заряженных частиц одного знака или случай каких-либо гипотетических отталкивающих взаимодействий. Таким образом, при отрицательных α(t) мы получаем модель ускоренного расширения в области под параболой $\alpha < - {{w}^{2}}$ (уравнение (15) как возможная математическая модель).

Итак, мы получили уравнения электродинамики и гравитации в замкнутой форме из принципа наименьшего действия в форме уравнения Власова (ср. [5–15]). Проясняется смысл уравнений типа Власова: это единственный пока способ получить и уравнение гравитации, и уравнения электродинамики из принципа наименьшего действия, а также единственный пока способ замкнуть систему уравнений гравитации и электродинамики с помощью принципа наименьшего действия, используя функцию распределения объектов (электронов, ионов, звезд в галактиках, галактик в супергалактиках или Вселенной) по скоростям и пространству. Соответствующие уравнения гидродинамического уровня (например, уравнения магнитной гидродинамики) также естественно получать из уравнений типа Власова гидродинамической подстановкой (пока единственный способ связи с классическим действием и для этих уравнений).

Список литературы

  1. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: ЛКИ, 2007.

  2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988.

  3. Вейнберг С. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975. 696 с.

  4. Власов А.А. Статистические функции распределения. М.: Наука, 1966. 356 с.

  5. Веденяпин В.В., Негматов М.А. // Теоретическая и математическая физика. 2012. Т. 170. № 3. С. 468–480.

  6. Веденяпин В.В., Негматов М.-Б.А., Фимин Н.Н. // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. Т. 81. № 3. С. 45–82.

  7. Vedenyapin V., Fimin N., Chechetkin V. // European Physical J. Plus. 2020. № 400. 14 c.

  8. Vedenyapin V.V., Fimin N.N., Chechetkin V.M. // Intern. J. Modern Physics D. 2020. V. 29. № 1. 23 p.

  9. Huanchun Ye., Morrison P. Action principles for the Vlasov equations // Phys. Fluids. 1992. V. 4. № 4. P. 771–777.

  10. Choquet-Bruhat Y. General Relativity and the Einstein Equations. Oxford: Oxford Univ. Press, 2009.

  11. O’Neill E. Hamiltonian structure and stability of relativistic gravitational theories: Dissertation for degree D. Ph. University of Florida, 2000.

  12. Cercigniani C., Kremer G.M. The relativistic Boltzmann Equation: theory and applications. Boston, Basel, B.: Birghause, 2002.

  13. Choquet–Bruhat Y., Damour T. Introduction to general relativity, black holes and cosmology. N.Y.: Oxford University Press, 2015.

  14. Rein G., Rendall A.D. Global existence of solutions of the spherically symmetric Vlasov–Einstein system with small initial data // Commun. Math. Phys. 1992. V. 150. P. 561–583.

  15. Kandrup H.E., Morrison P.J. Hamiltonian structure of the Vlasov–Einstein system and the problem of stability for spherical relativistic star clusters // Ann. Phys. 1993. V. 225. P. 114–166.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал